GEOMETRIA ESPACIAL

GEOMETRIA DE POSIÇÃO

Noções primitivas Um ponto não tem dimensão, nem massa, nem volume. 

Podemos imaginar um ponto ao ver um pequeno furo em uma folha de papel.

Podemos imaginar uma reta ao ver uma linha fina esticada, como a linha de uma pipa.

Uma reta não tem espessura, nem começo, nem fim.

Noções primitivas Um plano não tem espessura nem fronteiras.

Podemos imaginar um plano ao ver as águas tranquilas de um lago.

Vamos representar: os pontos por letras maiúsculas (A, B, C, ...); as retas por letras minúsculas (r, s, t, ...); os planos por letras gregas minúsculas (, , , ...).

É o conjunto dos infinitos pontos existentes.

Espaço

Qualquer conjunto de pontos, com pelo menos um ponto considerado no espaço, é chamado de figura. 

Definição de figura

Figura I

Figura II

Figura III

Figura IV

Pontos coplanaresDois ou mais pontos são denominados coplanares se existe um plano que contém todos eles.

Os pontos A, B, C e D são coplanares. Em linguagem simbólica: A ∈, B ∈, C ∈e D ∈. O ponto P não é simultaneamente coplanar a A, B, C e D, pois P não

pertence ao plano ; em linguagem simbólica: P ∉ .

Exemplo

Pontos colinearesDois ou mais pontos são ditos colineares se existe uma reta que contém todos eles.Exemplo

Os pontos A, P e M são colineares, pois pertencem à reta r. Em linguagem simbólica, indicamos assim: A ∈ r, P ∈ r e M ∈ r. 

Pontos coplanares

Figura PontosPlana /

Não plana Representação

4 pontos coplanares

plananão recebe

nome especial

infinitos pontos plana linha

infinitos pontos plana superfície

infinitos pontos não plana sólido

Os postulados: um ponto de partida da Geometria

P1. O espaço tem infinitos pontos. P2. Toda reta e todo plano são conjuntos de infinitos pontos. P3. Fora de uma reta, bem como fora de um plano, há infinitos pontos. P4. Dois pontos distintos determinam uma única reta.

POSTULADO OU AXIOMAS: Verdades iniciais aceitas sem demonstração

P6. Três pontos não colineares determinam um único plano.

Plano ou plano (PQR)

P5. Postulado de Euclides: Por um ponto P fora de uma reta r passa somente uma reta s paralela a r.

Os postulados

P7. Se dois pontos distintos estão em um plano, a reta que passa por eles está contida nesse plano.

Observações Quando uma reta está contida em um plano, todos os pontos que

pertencem à reta também pertencem ao plano. Dada uma reta r que passa por dois pontos, A e B, como mostra a

figura acima, ela pode ser representada por r ou AB.

Os postulados

P8. Se dois planos distintos, e , se interceptam, a intersecção é uma reta.

Os postulados

Dada uma reta m e um ponto X fora dela, existe um único plano que contém o ponto X e a reta m.

Teorema 1

Exemplos1. Classifique cada sentença em verdadeira (V) ou falsa (F).a) Dois pontos determinam uma única reta.b) Três pontos, dois a dois distintos, determinam um único plano.

Resolução

a) Sabemos que dois pontos podem ser coincidentes ou distintos. Se dois pontos são distintos, determinam uma única reta.

Se dois pontos são coincidentes, existem infinitas retas passando por eles.

Portanto, a afirmação é falsa. 

Resolução

b) Já vimos que três pontos, dois a dois distintos, podem ser colineares ou não colineares. 

Sabemos que por três pontos, dois a dois distintos, colineares, passam infinitos planos, e que três pontos, dois a dois distintos, não colineares, determinam um único plano; logo, a afirmação é falsa.

2. Na figura abaixo, pintar de vermelho o plano determinado pelos pontos M, S e T e de verde o plano determinado pelo ponto M e pela reta PQ.

Exemplos

Resolução

Posição relativa entre retas – RETAS PARALELAS

Em linguagem simbólica, podemos escrever:r // s ⇔ r s ou r ⊂ , s ⊂ e r ∩ s = Ø

Duas retas, r e s, são paralelas se têm todos os pontos comuns (coincidem) ou se estão em um mesmo plano e não têm nenhum ponto comum (intersecção vazia).

Duas retas paralelas não coincidentes determinam um único plano.

Duas retas, r e s, são concorrentes quando têm apenas um ponto P comum.

Para indicar simbolicamente que r e s são concorrentes, escrevemos: r ∩ s = {P}.

Posição relativa entre retas – RETAS CONCORRENTES

ObservaçãoDuas retas concorrentes também determinam um plano.

Se duas retas, r e s, são concorrentes em um ponto P, então elas determinam um único plano .

Duas retas, r e s, são reversas (ou não coplanares) quando não existe um mesmo plano que as contenha.

Em linguagem simbólica, escrevemos: ∄ tal que r ⊂ e s ⊂ .

Não existe um mesmo plano que contenha as retas r e s, ou seja, elas são reversas.

  As retas r e s não têm nenhum ponto

comum, ou seja, r ∩ s = Ø.

Exemplo

Posição relativa entre retas – RETAS REVERSAS

Posição relativa entre RETA E PLANO

Uma reta r e um plano são paralelos se a reta r está contida no plano ou se a reta r e o plano não têm nenhum ponto comum.

Em linguagem simbólica, podemos escrever: r // ⇔ r ⊂ ou r ∩ = Ø

Posição relativa entre RETA E PLANO

Uma reta r e um plano são concorrentes (ou secantes) quando r e têm somente um ponto em comum. 

Em linguagem simbólica, escrevemos: r ∩ = {P}

Dois planos, e , são paralelos se coincidem (têm todos os pontos comuns) ou se não têm nenhum ponto comum.

Em linguagem simbólica, podemos escrever: // ⇔ ≡ ou ∩ = Ø

planos coincidentes

planos paralelos distintos(não coincidentes)

Posição relativa entre PLANOS

Dois planos distintos, e , são secantes (ou concorrentes) quando têm uma reta em comum (intersecção não vazia).

∩ r ∩ AB

Posição relativa entre PLANOS

Algumas propriedades

1a propriedade: Pelo ponto P, não pertencente a , passa um único plano paralelo a .

2a propriedade: Se r ⊄ e é paralela a s de , então r é paralela a .

3a propriedade: Se r é paralela a e β, sendo que ∩ β = s, então r é paralela a s.

Propriedades

4a propriedade: Se é um plano paralelo a duas retas, r e s, contidas em um plano , tais que r ∩ s = {P}, então é paralelo a .

5a propriedade: Se dois planos são paralelos e distintos, então qualquer reta contida em um deles é paralela ao outro.

Propriedades6a propriedade: Se intercepta e , // , então as intersecções r e s de com esses planos são retas paralelas.

Exemplos

1. Considerando os pontos destacados na figura aolado, faça o que se pede.

a) Identifique um par de retas paralelas, um par de retas reversas e um par de retas nem paralelas nem reversas.

b) Qual é a posição relativa entre a reta CJ e o plano que contém a face CDJI?

c) Identifique dois planos paralelos por meio de três pontos não colineares.

Resolução

a) Respostas possíveis: retas paralelas: CI e DJ ; retas reversas: IJ e DF ; retas que não são paralelas nem reversas: JH e DF.

b) A reta CJ está contida no plano que contém a face CDJI. c) Resposta possível: planos (ABG) e (EFD).

Exemplos

2. Considerar a afirmação abaixo e verificar se é verdadeira ou falsa.Sejam e dois planos distintos e paralelos entre si. Se a intersecção do plano com e são as retas r e s, respectivamente, então r e s são paralelas entre si.

Resolução

Logo, r e s são paralelas entre si. Portanto, a afirmação é verdadeira.

Duas retas, r e s, são perpendiculares quando são concorrentes e determinam quatro ângulos retos.

Retas perpendiculares

r ⊥ s (lemos “a reta r é perpendicular à reta s”)

Duas retas, r e s, são ortogonais quando existe uma reta t que é paralela (não coincidente) a s e perpendicular a r. 

Retas ortogonais

As retas AB e CM são ortogonais, pois a reta PM é paralela a AB e é perpendicular a CM. Observação: Se duas retas são ortogonais, também são reversas. 

Exemplo

Dados uma reta r e um plano , concorrentes no ponto P, dizemos que r é perpendicular a quando r é perpendicular a todas as retas de que passam por P.

Reta e plano perpendiculares

Dois planos, e , são perpendiculares quando um deles contém uma reta r perpendicular ao outro plano.

Planos perpendiculares

A projeção ortogonal de um ponto P sobre uma reta r é o ponto P’, que é a intersecção de r com a reta perpendicular a r que passa por P.

Projeção ortogonal de um ponto sobre uma reta

Observação

Caso o ponto P pertença a r, sua projeção ortogonal sobre r é o próprio P.

A projeção ortogonal de um ponto A sobre um plano é o ponto A’, que é a intersecção, com esse plano, da reta que passa por A e é perpendicular a .

ObservaçãoCaso o ponto A pertença a , sua projeção ortogonal sobre esse plano é o próprio A.

Projeção ortogonal de um ponto sobre um plano

Se r ⊥ , com r ∩ = A}, então a projeção ortogonal de r sobre é o ponto A.

Projeção ortogonal de uma reta sobre um planoVamos considerar uma reta r e um plano .

Se a reta r não é perpendicular ao plano , então a projeção ortogonal de r sobre é a reta s determinada pela projeção de dois pontos distintos de r sobre

Observação

A projeção ortogonal sobre um plano de um segmento AB, cuja reta que o contém (reta suporte) não é perpendicular ao plano , é o segmento A’B’.

Projeção ortogonal de uma reta sobre um plano

A projeção ortogonal de uma figura, plana ou não plana, sobre um plano é a figura formada pelas projeções ortogonais dos pontos dessa figura sobre esse plano.

Projeção ortogonal de uma figura qualquer sobre um plano

Exemplos de projeção ortogonalNo cubo ao lado:a) a projeção ortogonal do ponto C sobre o plano (ABE) é o ponto A;b) a projeção ortogonal do ponto C sobre o plano (ACE) é o próprio ponto C;c) a projeção ortogonal do segmento CD sobre o plano (ABE) é o

segmento AB ; d) a projeção ortogonal do segmento AD sobre o plano (ABE) é o

segmento AB ;e) a projeção ortogonal do segmento AC sobre o plano (ABE) é o ponto

A.