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1 Matemtica, doutorado em Matemtica Aplicada. Docente, Faculdade
de Matemtica, Pontifcia UniversidadeCatlica de Campinas
(PUC-Campinas). Campinas, SP, Brasil. 2 Discente, curso de
Licenciatura em Matemtica, PUC-Campinas. Campinas, SP, Brasil. 3
Discente, curso de Anlise de Sistemas. PUC-Campinas. Campinas, SP,
Brasil.
MODELOS MATEMTICOS PARA O CRESCIMENTODA POPULAO DO ESTADO DE SO
PAULO
E A EXPLORAO DE DIFERENTESTAXAS DE CRESCIMENTO
Mathematical models for So Paulo population growthand the
exploration of different growth rates
927Cincia & Educao, v. 17, n. 4, p. 927-940, 2011
Maria Beatriz Ferreira Leite1Gabriella Helena Jorge da
Silva2
Livia Fernandes de Sousa3
Resumo: A utilizao de modelos matemticos que descrevem a evoluo
temporal de populaes(crescimento ou decrscimo) pode ser
extremamente til para a escolha de medidas preventivas e/oude
controle. So muitas as ferramentas matemticas disponveis, e uma
escolha adequada dependetanto do tipo de informaes disponveis
quanto dos objetivos almejados. Buscando explorar conte-dos
matemticos do Ensino Mdio, neste trabalho so apresentados alguns
modelos matemticos quedescrevem o crescimento da populao do Estado
de So Paulo, a partir da utilizao de diferentesfunes. Diferentes
taxas de crescimento so exploradas, e as caractersticas e hipteses
bsicas decada modelo proposto so apresentadas. Uma comparao
quantitativa e qualitativa feita para validaros modelos
obtidos.
Palavras-chave: Modelos matemticos. Dinmica populacional. Taxas
de crescimento.
Abstract: The use of mathematical models which describe the
evolution of populations through thetime (increase or decrease) can
be very useful for making choices in preventing or controlling
growth.There are so many mathematical tools available and an
appropriate choice depends not only on theinformation but also on
the expected goals as well. Aiming to explore mathematical ideas in
highschool, in this work some models are presented to describe the
increase of So Paulo States popula-tion, using different functions.
Different growth rates are explored and the basic features and
hypo-theses of each proposed model are presented. A quantitative
and qualitative comparison is made tovalidate the obtained
models.
Keywords: Mathematical models. Dynamics of population. Growth
rates.
1 Rod. D. Pedro I, km 136 - Parque das UniversidadesCampinas,
SP13.086-900
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Leite M. B. F.; Silva, G. H. J.; Sousa, L. F.
Cincia & Educao, v. 17, n. 4, p. 927-940, 2011
Introduo
Neste artigo so apresentados modelos matemticos que resultaram
do desenvolvi-mento de um trabalho realizado no mbito da iniciao
cientfica, envolvendo alunas de dife-rentes reas de conhecimento
(dos cursos de Licenciatura em Matemtica e Anlise de Siste-mas). A
proposta era trabalhar a contextualizao de contedos matemticos a
partir da apli-cao da modelagem matemtica aliada utilizao de
recursos computacionais. No caso daaluna do curso de Licenciatura
em Matemtica, enfatizou-se a modelagem matemtica comoestratgia no
processo de ensino e aprendizagem. Vale notar que diferentes
abordagens para autilizao da modelagem como instrumento pedaggico
so apresentadas na literatura, comoas perspectivas pragmtica e
cientfica (KAISER, 1995) e sociocrtica (BARBOSA, 2003). Adiferena
entre cada uma dessas perspectivas a forma como o processo de
modelagem conduzido. Em linhas gerais, nas perspectivas pragmtica e
cientfica, maior nfase dada construo dos modelos e aos contedos
matemticos envolvidos. Por outro lado, na perspec-tiva sociocrtica,
exploram-se mais as discusses que podem decorrer da anlise do
problemaabordado. No escopo deste trabalho foi enfatizada a
construo de modelos matemticos e aexplorao de contedos do Ensino
Mdio, evidenciando, assim, a abordagem pragmtica ecientfica. A
principal razo do enfoque assumido foi apresentar a modelagem
matemticacomo uma estratgia para um ensino de Matemtica mais
significativo, por meio da contextu-alizao de contedos matemticos
na resoluo e anlise de problemas. Para a aluna do Cursode Anlise de
Sistemas, a nfase foi dada na aplicao de recursos computacionais na
resolu-o e simulao de modelos. A integrao das duas reas
proporcionou um enriquecimentosignificativo do plano de trabalho de
ambas as alunas, ampliando o carter especfico dosplanos de trabalho
e viabilizando a prtica da interdisciplinaridade.
De maneira geral, os modelos matemticos podem ser elaborados a
partir da utiliza-o de ferramentas matemticas distintas, dependendo
das caractersticas dos problemas, dotipo de dados disponveis, tais
como: equaes contnuas ou discretas, matrizes, conjuntosfuzzy, entre
outras (BASSANEZI, 2002; EDELSTEIN-KESHET, 1988; BARROS;
BASSA-NEZI, 2006). Exemplos de modelos matemticos aplicados a
problemas ambientais que utili-zam contedos matemticos distintos so
apresentados em Leite, Ferreira e Scrich (2009).
Buscando aplicar a modelagem matemticae trabalhar com contedos
matemticoscompatveis com o currculo do Ensino Mdio, o tema abordado
neste artigo foi DinmicaPopulacional. A descrio do tamanho de
populaes ao longo do tempo, por meio de mode-los matemticos, pode
ser bastante til no apenas para prever a evoluo populacional
como,tambm, para possibilitar a anlise de fatores que contribuem na
sua dinmica. A partir daanlise e simulao de modelos matemticos,
possvel avaliar, por exemplo, quando umadeterminada populao corre
risco de se extinguir, ou estimar o tempo necessrio para queatinja
um determinado nvel e, desta forma, planejar aes adequadas.
Contudo, nesta anlise,uma populao raramente pode ser considerada
isolada de um biossistema, no qual vriaspopulaes se relacionam de
diferentes formas. O estudo da dinmica populacional
tambmpossibilita perceber como ocorreu o processo de evoluo na
prpria construo dos modelosmatemticos, a partir de diferentes
hipteses e suposies incorporadas.
Dentro deste vasto e abrangente assunto, escolheu-se modelar o
crescimento da po-pulao do estado de So Paulo. Uma vez que o
objetivo era contextualizar contedos mate-
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929Cincia & Educao, v. 17, n. 4, p. 927-940, 2011
Modelos matemticos para o crescimento ...
mticos do Ensino Mdio, o crescimento desta populao foi modelado
por trs tipos defunes: linear, exponencial e logstica. As taxas de
crescimento foram calculadas consideran-do-se as caractersticas
particulares e hipteses bsicas de cada tipo de modelo. Os grficos
esimulaes foram feitos atravs dos softwares Winplot e Excel, tambm
visando recursosacessveis para utilizao dos mesmos em sala de
aula.
A modelagem matemtica e a elaborao dos modelos matemticos
O desenvolvimento do trabalho das alunas envolvidas baseou-se,
essencialmente, namodelagem matemtica como metodologia.
Inicialmente, ambas estudaram o processo demodelagem, suas etapas,
caractersticas e exemplos de aplicaes. De modo geral, na modela-gem
matemtica, aps a definio do tema, procede-se a coleta de dados.
Quando no se temum problema a priori, a investigao sobre o tema
possibilita que seja identificado e definidoum problema a ser
abordado. Na fase denominada abstrao, as hipteses so formuladas,
eassumidas as simplificaes que fundamentam a elaborao do modelo
matemtico. A linhatracejada indica a retomada do processo, a partir
de novos dados e/ou modificao das hip-teses. A Figura 1 sintetiza
as etapas do processo.
Figura 1. Etapas do processo de modelagem matemtica.
Fonte: Leite, Silva e Sousa, dados da pesquisa.
Tema Coleta de dados Definio do problema Abstrao
Modelos temticosResoluoValidao
Dentre as diversas possibilidades que se apresentam no amplo e
abrangente temaescolhido, Dinmica Populacional, optou-se pela
anlise do crescimento da populao doEstado de So Paulo. Como a
principal proposta do trabalho de iniciao cientfica era elabo-rar
modelos matemticos para o Ensino Mdio, visando contextualizao de
contedos euma aprendizagem mais significativa, optou-se por
explorar o contedo de funes, usandodiferentes formulaes para
descrever a evoluo da populao considerada. O principal ob-jetivo na
construo de diferentes modelos foi enfatizar a flexibilidade da
modelagem mate-mtica como estratgia de ensino, viabilizando a
modificao de modelos por meio da incor-porao de novas hipteses.
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Leite M. B. F.; Silva, G. H. J.; Sousa, L. F.
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Os dados utilizados foram coletados no site da Fundao Sistema
Estaduais de An-lise de Dados (SEADE, 2008). O ano de 1994 foi
identificado como instante inicial (t=0) e,dessa forma, o ano de
2003 corresponde a t=9. Os valores da populao do Estado de SoPaulo
nesse perodo esto na Tabela 1 e representados na Figura 2.
A seguir, so apresentados os modelos matemticos elaborados a
partir da utilizaode trs tipos de funes: linear, exponencial e
logstica. Buscou-se evidenciar como, a partir daincorporao de
diferentes suposies e hipteses, a formulao dos modelos
matemticospode evoluir. Vale observar que essa prtica no to simples
e, em um primeiro contato com
Tabela 1. Populao do Estado de So Paulo.
Ano
1994199519961997199819992000200120022003
Tempo
0123456789
Nmero de habitantes
33.162.86233.486.39634.074.64434.581.83835.124.97936.276.63236.909.20037.542.52138.123.69538.718.301
Fonte: Fundao Sistema Estadual de Anlise de Dados (SEADE).
Figura 2. Populao do Estado de So Paulo de 1994 a 2003.
Fonte: Leite, Silva e Sousa, dados da pesquisa.
39.000.000
38.000.000
37.000.000
36.000.000
35.000.000
34.000.000
33.000.000
32.000.000
Popu
la
o to
tal
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Ano
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Modelos matemticos para o crescimento ...
a modelagem matemtica, muitas foram as dvidas apresentadas pelas
alunas, tanto na prpriacontextualizao dos contedos matemticos como,
tambm, na elaborao dos modelosmatemticos.
O modelo linear
No modelo linear, a suposio bsica que a variao do nmero total de
indivduos constante. Em outras palavras, admite-se que o acrscimo
(ou decrscimo) da quantidade deindivduos por unidade de tempo no
varia com o tempo. Alm disso, supe-se que no hrestries nem tampouco
limitaes para o crescimento (ou decrescimento), e, dessa forma,
apopulao cresce (ou decresce) ilimitadamente.
A expresso geral que representa o nmero de indivduos N em funo
do tempo tadmitindo-se crescimento linear dada por N = r t + N0,
onde r a taxa de crescimento, t otempo e N0 a populao inicial.
Usando os dados apresentados na Tabela 1, consideramos N(0) =
33162862, quecorresponde populao total do Estado de So Paulo no ano
de 1994. A estimativa da taxade crescimento
foi feita a partir da mdia da variao anual do nmero de indivduos
(t = 1),conforme valores exibidos na Tabela 2.
r =N
t
r = = 617.2715.555.4399O valor mdio obtido foi de
A Figura 3 mostra o grfico da funo de primeiro grau que
representa o ModeloLinear e os pontos originais apresentados na
Tabela 1.
Tabela 2. Acrscimos anuais do nmero de indivduos noEstado de So
Paulo
Tempo
0123456789
Populao Total
33.162.86233.486.39634.074.64434.581.83835.124.97936.276.63236.909.20037.542.52138.123.69538.718.301
Taxa de crescimento(nmero de habitantes/ano)
323.534588.248507.194543.141
1.151.653632.568633.321581.174594.606
Fonte: Leite, Silva e Sousa, dados da pesquisa.
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Leite M. B. F.; Silva, G. H. J.; Sousa, L. F.
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Vale observar que o mesmo resultado poderia ser obtido por meio
do estudo de umaprogresso aritmtica (PA), possibilitando a explorao
de outros contedos matemticos equi-valentes.
Entretanto, na modelagem de crescimento populacional, nem sempre
razovel su-por que a quantidade de indivduos acrescida na populao
constante. Esta suposio podeser vlida para um determinado perodo de
tempo ou para alguma populao em particular.Admitindo que o nmero de
indivduos que acrescido depende, por exemplo, do tamanho daprpria
populao, o modelo linear no mais adequado. A seguir apresentamos
outras possi-bilidades para modelar o crescimento populacional.
O modelo exponencial
No modelo exponencial, a hiptese bsica que a populao cresce sem
qualquerrestrio, no admitindo fatores que regulam seu crescimento,
tais como: epidemias, guerras,fome, entre outros. Supe-se que o
nmero total de indivduos varia com o tempo, dependen-do da
quantidade presente em cada instante. Admitindo-se que a taxa de
crescimento cont-nua, o modelo exponencial descrito pela funo N =
N0 e
rt , onde N0 a populao inicial, r a taxa de crescimento e t o
tempo.
Figura 3. Modelo linear N = 617.217t + 33.162.862 para a populao
do Estado de So Paulo.
Fonte: Leite, Silva e Sousa, dados da pesquisa.
Populao (n)
Tempo (t)
302010
50.000.000
40.000.000
30.000.000
20.000.000
10.000.000
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Modelos matemticos para o crescimento ...
A estimativa da taxa de crescimento foi feita considerando-se o
crescimento relativoem cada ano, isto , comparando-se o acrscimo do
nmero de indivduos em relao popu-lao anterior. Dois procedimentos
distintos foram adotados para a obteno da taxa de cres-cimento r:
uma mdia das taxas relativas anuais e a taxa relativa total do
perodo, conforme oscasos a e b descritos a seguir.
a) Mdia das taxasA estimativa da taxa de crescimento, neste
caso, foi feita considerando-se o cresci-
mento relativo em cada ano, isto , comparando-se o acrscimo do
nmero de indivduos emrelao populao anterior.
Neste caso foram calculados os acrscimos relativos anuais e a
taxa foi obtida consi-derando-se a mdia dos acrscimos relativos no
perodo, conforme valores mostrados na Ta-bela 3.
Assim, obtemos
b) Taxa total Neste caso foi obtido o acrscimo relativo total do
perodo,
e a taxa de crescimento resultante foi de .
A Figura 4 mostra o grfico da funo exponencial e os pontos
originais apresentadosna Tabela 1.
= = = 0,1675Nfinal - Ninicial
Nnicial
NN
38.718.301 - 33.162.862 33.162.862
r = = 0,0174 .0,15649
r = r = 0,01860,16759
Tabela 3. Acrscimos relativos anuais do nmero deindivduos no
Estado de So Paulo.
Tempo
0123456789Total
Populao Total
33.162.86233.486.39634.074.64434.581.83835.124.97936.276.63236.909.20037.542.52138.123.69538.718.301
Crescimento relativo
0,00980,01760,01490,01570,03280,01740,01720,01550,01560,1564
Fonte: Leite, Silva e Sousa, dados da pesquisa.
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importante ressaltar que foi admitido crescimento contnuo e, por
isso, a funoexponencial considera a base natural e. Entretanto,
tambm possvel trabalhar, por exemplo,com o crescimento anual (ou
mensal) e, com isso, explorar diferentes bases para as
funesexponenciais do tipo N = N0 a
rt. Novamente, vale observar que possvel tambm, a partir
dasmesmas hipteses, explorar o estudo de uma progresso geomtrica
(PG).
Como o modelo exponencial no prev qualquer tipo de inibio para o
crescimentopopulacional, o mesmo pode no ser adequado para
representar o que ocorre em muitaspopulaes em longo prazo. Em
muitas situaes, razovel considerar que o crescimento dapopulao
inibido por fatores como: falta de espao, escassez de alimentao,
etc. Em outraspalavras, pode-se supor que a taxa de crescimento
populacional diminui com o crescimento dapopulao, e que existe uma
capacidade mxima sustentvel para essa populao. Vrios mo-delos
matemticos podem representar essa hiptese, como, por exemplo, o
modelo Logstico,que descrito a seguir.
O modelo logstico
A formulao do modelo logstico supe que a populao sofre inibies
naturais noseu crescimento. Em outras palavras, admite-se que a
taxa de crescimento decresce com apopulao. Para pequenas
quantidades de indivduos, quando no h escassez de recursos, o
Figura 4. Modelos exponenciais para os casos (a) e (b) descritos
acima.
Fonte: Leite, Silva e Sousa, dados da pesquisa.
Populao (n)
Tempo (t)
302010
50.000.000
40.000.000
30.000.000
20.000.000
10.000.000
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modelo comporta-se de forma anloga ao modelo exponencial. medida
que a populaocresce, a competio entre os indivduos faz com que a
taxa de crescimento diminua, emborao nmero de indivduos continue
crescendo. Neste modelo, admite-se que h um nvel popu-lacional
mximo, que descreve a capacidade suporte do meio. Uma vez atingido
este nvel, apopulao seria estvel. A funo que descreve este modelo
dada por
,
onde N o nmero de indivduos no instante t, K representa o
valor-limite da popu-lao, N0 a populao inicial, r a taxa de
crescimento, e t o tempo.
Para estimar qual seria esse valor-limite para a populao do
Estado de So Paulo,utilizou-se o mtodo de Ford-Walford (BASSANEZI,
2002, p. 72). Para que este mtodofornea uma boa estimativa do valor
de K, necessrio que sejam conhecidos nveis populaci-onais, no do
incio do processo (onde o modelo funciona como o modelo
exponencial), masvalores populacionais do perodo no qual a taxa de
crescimento j comeou a diminuir. Obser-vando a Tabela 3,
verifica-se que isto ocorre a partir de 1999 (t=5).
Basicamente, este mtodo supe que, uma vez em equilbrio, a
populao no variamais, isto Nt+1 = Nt. Assim, a estimativa deste
valor-limite pode ser obtida relacionando osvalores das populaes
nos instantes t e t+1. A partir dos pontos obtidos, ajusta-se uma
retaque descreve como as populaes consecutivas esto relacionadas
Nt+1= f (Nt ) = aNt + b,conforme mostrado na Figura 5. Para
encontrar o valor de equilbrio, basta determinar ainterseco desta
reta com a bissetriz, uma vez que estamos supondo que, no
valor-limite, apopulao no varia, isto Nt+1 = Nt .
Assim, nas estimativas dos valores de k e r para este modelo,
consideramos os valorespopulacionais de 1999 a 2003 (ver Tabela
4).
Fazendo a interseco desta reta com a bissetriz, obtemos o
valor-limite da populaoK = 2000000/(1 - 0,9729) = 73800738.
A estimativa da taxa de crescimento r foi feita com base nos
valores do SEADE(2008) e na expresso do prprio modelo. Isolando-se
o valor de r no modelo, obtemos
r = 1n1
tN0 ( - 1)
KN0 K - N0
Tabela 4. Valores utilizados nomtodo de Ford-Walford
t
5678
Nt36.276.63236.909.20037.542.52138.123.695
Nt+136.909.20037.542.52138.123.69538.718.301
Fonte: Leite, Silva e Sousa, dadosda pesquisa.
N =K.N0
N0 + (K - N0). e-rt
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A Tabela 5 apresenta os valores obtidos para r a cada ano, a
partir de 1999.
Figura 5. Reta ajustada para Nt+1 = f (Nt).
Fonte: Leite, Silva e Sousa, dados da pesquisa;
38.500.000
40.000.000
38.400.000
38.000.000
37.000.000
38.000.00037.500.00037.000.00036.500.00036.000.00036.800.000
37.200.000
38.800.000
38.600.000
38.200.000
37.800.000
37.600.000
37.400.000
Y = 0,9729x + 2E + 06R2 = 0,9996
O valor mdio obtido para o perodo considerado foi de 0,033821.
Nos clculos esimulaes, o valor utilizado foi de 0,0338.
A Figura 6 mostra o grfico da funo obtida no Modelo Logstico e
os pontosoriginais apresentados na Tabela 1.
Tabela 5. Estimativa da taxa decrescimento r para o modelo
logstico
t
56789
Nt36.276.63236.909.20037.542.52138.123.69538.718.301
r
0,0338920270,03395809
0,0340111510,03369981
0,033542406
Fonte: Leite, Silva e Sousa, dados dapesquisa.
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Modelos matemticos para o crescimento ...
Comparando os modelos
Uma comparao bsica entre os trs modelos propostos foi feita a
partir do clculoda diferena entre os valores originais e os valores
estimados. Os resultados esto na Tabela 6.
Figura 6. Modelo Logstico para a populao do Estado de
SoPaulo.
Fonte: Leite, Silva e Sousa, dados da pesquisa.
Populao (n)
Tempo (t)
7060
70.000.000
40.000.000
30.000.000
20.000.000
10.000.000
N =(73.800.738) (33.162.862)33.162.862 + 40.637.876 e -0,0338
t
5040302010
50.000.000
60.000.000
Tabela 6. Diferena entre os valores obtidos pelos modelos e
ovalores apresentados pelo SEADE (2008).
t
0123456789
NOBS - NLINEAR0
293.737322.760432.837506.96727.41542.71258.76222.665
01.707.855
Fonte: Leite, Silva e Sousa, dados da pesquisa.
NOBS - NEXP0
258.549262.601358.104428.23899.37696.95184.1347.829
66.5851.662.367
NOBS - NLOG0
294.684326.423440.636519.972
8.48717.50127.26214.77242.668
1.692.405
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Nota-se que, para os valores no perodo de 1994 a 2003, o modelo
que mais seaproxima dos dados observados o exponencial (a soma das
diferenas a menor). Entretan-to, sabe-se que o crescimento
ilimitado no razovel em longo prazo, o que faria com quefosse
descartado tanto o modelo linear quanto o exponencial para projees
populacionaisfuturas. Alm disso, observa-se que o erro do modelo
logstico proposto se aproxima do errodo modelo exponencial e
contempla a questo da populao-limite.
Outra forma de validar os modelos propostos comparar o valor
obtido por meiodas funes com valores reais. Por exemplo, para o ano
de 2007 (t=13), o valor fornecido peloInstituto Brasileiro de
Geografia e Estatstica IBGE (2009) foi de 39.827.570. Na Tabela
7,as diferenas das estimativas de cada modelo so apresentadas.
Para este valor do tempo t, o erro cometido atravs do modelo
linear novamente omenor e est prximo do modelo logstico, que
contempla a hiptese de a populao ter umacapacidade-limite. Para
projees em curto prazo, tanto o modelo linear como o exponencialso
adequados, mas, pelo fato de admitirem um crescimento ilimitado,
espera-se que, medidaque o tempo passe, a estimativa atravs do
modelo logstico seja mais razovel, e o errocometido menor.
Vale observar ainda que muitos outros modelos populacionais
podem ser elaboradosa partir da incorporao de novas suposies. O
objetivo aqui foi sem avanar em contedosmatemticos do Ensino
Superior aplicar o estudo de funes e explorar o conceito de taxasa
partir de diferentes hipteses.
Comentrios finais
A elaborao dos modelos matemticos apresentados proporcionou, alm
do apro-fundamento dos conhecimentos especficos das alunas
envolvidas, a vivncia do trabalhointerdisciplinar e em equipe.
Neste sentido, vale ressaltar como a modelagem matemtica,como
estratgia pedaggica (por ser naturalmente interdisciplinar),
proporciona e viabiliza aprtica da interdisciplinaridade e facilita
a contextualizao de contedos matemticos. Cabeainda observar que,
como trabalho de pesquisa no mbito da Iniciao Cientfica, foi
utilizadaa metodologia da modelagem matemtica, proporcionando a
experimentao de todo o pro-
Tabela 7. Estimativas e o erro cometido para a populao do
Estadode So Paulo, em 2007, atravs dos modelos propostos.
N (13) NIBGE N(t)
Linear
41.187.3851.359.815
Fonte: Leite, Silva e Sousa, dados da pesquisa.
Exponencial
41.580.4721.752.905
Logstico
41.236.8851.409.315
-
939Cincia & Educao, v. 17, n. 4, p. 927-940, 2011
Modelos matemticos para o crescimento ...
cesso, desde a coleta de dados at a anlise e validao dos modelos
obtidos. Particularmentepara o modelo logstico, vale enfatizar a
importncia das simulaes (atravs da opo deanimaes) realizadas no
Winplot. S a partir destas simulaes foi possvel inferir sobre
ovalor ideal da taxa de crescimento para este modelo (que se
mostrava em torno de 0,0335), ebuscar uma forma de obt-la a partir
dos dados experimentais. Alm disso, foi possvel encon-trar uma
justificativa matemtica para isto de acordo com as suposies do
modelo (que, nocaso, foi considerar os dados referentes ao perodo
no qual a taxa de crescimento comea adiminuir). Outro aspecto
relevante do trabalho com a modelagem matemtica a possibilida-de
que ela traz para que sejam explorados e, at mesmo, construdos,
mesmo que intuitiva-mente, importantes conceitos matemticos. Por
exemplo, apesar de este trabalho no abordarcontedos do Ensino
Superior, o estudo das taxas de crescimento possibilita a introduo
doconceito de derivada, a partir da anlise da variao do tamanho da
populao.
Evidencia-se, tambm, como a construo de modelos matemticos
possibilita a inte-grao entre pesquisa e ensino, uma vez que, na
modelagem matemtica, a prtica da investi-gao indispensvel e foi
amplamente explorada no trabalho desenvolvido com as alunas,frente
s dvidas e questionamentos apresentados. De fato, para Biembengut
(2004, p. 23):
Como essencialmente um mtodo de pesquisa, no Ensino, a
modela-gem matemtica pode tornar-se caminho para despertar no aluno
inte-resse por assuntos de matemtica e, tambm, de alguma rea da
cin-cia que ainda desconhea ao mesmo tempo em que ele aprende a
artede modelar, matematicamente.
A modificao dos modelos a partir da incluso de novas suposies e
hipteses,compreendendo seus significados e suas implicaes,
caracteriza um importante aspecto damodelagem matemtica que, no
escopo deste trabalho, foi bastante explorado e indiscutivel-mente
colaborou para que ricas e produtivas discusses surgissem. Com a
incorporao dediferentes caractersticas, a modificao dos modelos
matemticos foi tambm essencial parapropiciar uma viso dinmica do
processo de ensino, na qual os contedos matemticos noso vistos como
prontos e acabados, mas como ferramentas de anlise, teis e
flexveis, quepodem ser adaptadas e aplicadas em diferentes
contextos.
-
940
Leite M. B. F.; Silva, G. H. J.; Sousa, L. F.
Cincia & Educao, v. 17, n. 4, p. 927-940, 2011
Artigo recebido em 22/09/2010. Aceito em 26/03/2011.
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