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UNIDAD 3: UN MODELO ANALTICO PROGRAMACIN LINEAL

3.1 Simulacin. Definiciones Simulacin es la imitacin de un proceso real o sistema de tiempo. La simulacin

involucra la generacin de una historia artificial del sistema y la observacin de esa

historia artificial para imaginar inferencias concernientes a las operaciones

caractersticas del sistema real que est representado.

La simulacin es utilizada para describir y analizar el comportamiento de un

sistema, realizar preguntas Qu pasara si? (What if analysis) sobre el sistema real y

ayudar en el diseo del sistema.

Si las relaciones y los componentes que constituyen el modelo son lo

suficientemente simples, podemos utilizar mtodos matemticos para obtener respuestas

exactas sobre ciertos interrogantes, en lo que se denomina una solucin analtica

(investigacin operativa y teora de colas). Sin embargo la complejidad de muchos

sistemas del mundo real hace difcil el uso de estas tcnicas, por lo que se recurre a la

simulacin.

Las reas de aplicacin de la simulacin son muchas y diversas

Diseo y anlisis de sistemas de manufacturas.

Evaluacin de requerimientos de hardware y de software.

Evaluacin de nuevas tcticas o armas militares.

Determinacin de polticas de reordenamiento para un sistema de inventario.

Diseo de sistemas de comunicacin y sus protocolos

Diseo y operacin de instalaciones de transporte, tales como autopistas, puertos, aeropuertos, etc.

Evaluacin y diseo de organizaciones de servicio como hospitales, oficinas, restaurantes

3.2 Propsitos de la Simulacin

La simulacin ayuda a identificar problemas permitiendo:

Experimentar nuevas situaciones y generar polticas de decisin

Experimentar en un tiempo reducido

Analizar, en algunos segundos, procesos que llevara meses o aos en tiempo real.

Reducir procesos analticos de investigacin y desarrollo convencional

Estudiar situaciones complejas.

Educar y entrenar

Tener una visin global de un sistema.

Dividir el sistema en subsistemas.

3.3 Fundamentos Consideremos la operacin de un cajero automtico de un banco (Teller Bank),

donde los clientes arriban entre 1 y 10 minutos (solo valores enteros e igualmente

probables). El objetivo es simular la operacin del cajero a mano hasta que 20 clientes sean atendidos y calcular medidas de performance como el tiempo de espera, etc.

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SIMULACION AD-HOC (Manual)

Tabla de Simulacin

Cliente Tiempo entre cada arribo

t arribo t servicio Servicio Inicio

Servicio Termina

Tiempo en Sistema

Tiempo Ocioso

Tiempo en Espera

1 - 0 2 0 2 2 0 0

2 5 5 2 5 7 2 3 0

3 1 6 6 7 13 7 0 1

79 30 10

Medidas de Performance

Tiempo Promedio en el Sistema min95,320

min79

clientes

Tiempo en Espera Promedio x Cliente min25

min10

clientes

Porcentaje de Tiempo Ocioso del Cajero o sin Operar %30100*)301079(

30

Tiempo entre Arribo + Tiempo de Arribo = boottrapping

3.4 Clasificacin de las simulaciones

Existen 4 estructuras de simulacin.

1 Mtodo de interaccin de procesos (Process Interaction) 2 Mtodo de secuenciacin de sucesos (Event Scheduling)

Cajero

Automtico

Cliente t arribo = 1 - 10

Generador Random t

Servicio Cliente t servicio = 1 6 min

Generador Random t

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3 Mtodo de monitores de actividad (Activity Scanning) 4 Mtodo de Tres Fases 3.4.1 Mtodo de Interaccin de Procesos

En esta estructura de simulacin el programa debera emular el flujo de un

objeto a travs del sistema. La entidad se mueve lo ms lejos posible en el sistema hasta

que: es retrasado, entra a una actividad o sale del sistema.

Tambin se la conoce como simulacin orientada a sucesos (asincrnica).

Ej: en un modelo de lavandera automtica un cliente puede entrar al sistema,

esperar por la mquina lavadora, lavar su ropa, esperar una canasta vaca, transportar su

ropa al secador, cargar el secador, secar la ropa, abandonar la lavandera.

3.4.2 Mtodo de Secuenciacin de Sucesos

El concepto bsico de la secuenciacin es avanzar el tiempo hasta que algo a

continuacin ocurra. Este suceso libera algn recurso. El suceso relocaliza objetos o

entidades por secuenciacin donde ellos puedan participar.

Ej: si la ropa lavada de un cliente est lista y hay una canasta disponible esta es

reasignada inmediatamente al cliente y la descarga de ropa se inicia.

El tiempo es avanzado hasta el suceso siguiente y las actividades son

examinadas para ver si alguna puede iniciarse como consecuencia.

Simulacin asncrona u orientada a sucesos.

3.4.3 Mtodo de Monitoreo de Actividad

Este mtodo es conocido tambin como mtodo de 2 fases. El monitoreo de

actividad est compuesto por una simulacin de mdulos independientes esperando ser

ejecutados. El monitoreo se maneja por incrementos fijos de tiempo en las cuales se

toma una decisin si un evento ocurri o no ocurri.

Si el suceso o evento ocurri el sistema es actualizado.

Simulacin sincrnica u orientada a intervalos.

3.4.4 Mtodo de Tres Fases

En este mtodo el tiempo es avanzado hasta que hay un cambio de estado en el

sistema o hasta que algo ocurriese. Solo cuando todos los recursos en este intervalo han

sido liberados se inicia la reasignacin para nuevas actividades en la tercera etapa de la

simulacin.

Resumimos: la primera fase es el avance del tiempo, la segunda fase es la

liberacin de recursos que finalizan su actividad y la tercera es el inicio de actividades

con los recursos reasignados.

Simulacin sincrnica u orientada a intervalos.

3.5 Ventajas de utilizar Simulacin por computadora

Cada nuevo desarrollo en la industria de la computacin tiene un efecto de empuje

hacia las industrias relacionadas, este es en caso del software de simulacin.

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Ventajas

a) Elegir correctamente. Se pueden testear los diseos sin realizar adquisiciones

materiales.

b) Comprimir y expandir el tiempo. Se puede examinar un cambio real de horas

en pocos minutos y viceversa.

c) Entender el porqu. Se pueden explicar los porqu de ciertos fenmenos

reconstruyendo los escenarios.

d) Explorar posibilidades. Se pueden explicar nuevos mtodos, nuevas tcnicas

sin afectar el sistema real utilizando el modelo.

e) Diagnosticar problemas. Se refiere a los sistemas complejos. La simulacin

incluye las interacciones de sistemas complejos.

f) Identificar limitaciones. Se pueden identificar los cuellos de botella.

g) Desarrollar entendimiento. Los estudios de simulacin proveen

entendimiento sobre como un sistema opera (en vez de seguir las

predicciones de otro).

h) Visualizar el plan. Traducir los diseos de CAD a paquetes de simulacin.

Ayudan a ver defectos de diseo.

i) Construir consenso. Es ms sencillo aceptar una simulacin que la opinin

personal sobre los resultados de cambio en un diseo.

j) Preparar para el cambio. Se refiere a la construccin de escenarios para el

anlisis (que pasar si).

k) Invertir con inteligencia. El costo de una simulacin es mucho mas bajo que

el rediseo de una instalacin.

l) Entrenar el equipo de personal. Los modelos son excelentes para entrenar

equipo de personal.

m) Especificar requerimientos. Se puede especificar requerimientos de una

mquina o dispositivo por simulacin.

3.6 Desventajas de usar la simulacin por computadora

a) Aunque muchos paquetes de software permiten obtener un mejor escenario a partir de una combinacin de variaciones posibles, la simulacin no es una

herramienta de optimizacin.

b) La simulacin puede ser costosa cuando se quiere emplearla en problemas relativamente sencillos de resolver, en lugar de utilizar soluciones analticas

que se han desarrollado de manera especfica para este tipo de casos.

c) Se requiere bastante tiempo (generalmente meses) para realizar un buen estudio de simulacin; por desgracia, no todos los analistas tienen la

disposicin (o la oportunidad) de esperar ese tiempo para obtener una

respuesta.

d) Es preciso que el analista domine el uso del paquete de simulacin y que tenga slidos conocimientos de estadstica para interpretar los resultados.

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3.7 Elementos claves para garantizar el xito de un modelo de simulacin

Tamao suficiente de la corrida: Como se mencion en la unidad anterior, para poder llegar a conclusiones estadsticas vlidas a partir de los

modelos de simulacin es necesario que las variables aleatorias de respuesta

estn en un estado estable. El problema estriba en que, generalmente, cuando

el modelo consta de ms de una variable de decisin, es difcil que estas

alcancen el estado estable al mismo tiempo.

Variable(s) de respuesta mal definidas(s): aun cuando el modelo de simulacin sea muy eficiente y representante de la realidad en gran medida,

si la variable de respuesta no es la apropiada ser imposible tomar decisiones

que tengan impacto sobre las operaciones del sistema bajo estudio.

Por ejemplo: si la variable de respuesta es el nivel de inventarios de ciertos

productos. Al mismo tiempo, la poltica de la empresa establece que no se

debe parar ninguno de los procesos de fabricacin. En consecuencia, el

problema no ser el inventario final, sino el ritmo de produccin necesario.

Errores al establecer las relaciones entre variables aleatorias: Un error comn de programacin es olvidar las relaciones lgicas que existen

entre las variables aleatorias del modelo, o minimizar su impacto. Si una de

estas variables no est definida de manera correcta an es posible tener un

modelo que se apegue a la realidad actual. Sin embargo, si el sistema no se

lleva hasta su mxima capacidad para observar su comportamiento, podra

resultar imposible visualizar el verdadero impacto de las deficiencias.

Errores al determinar el tipo de distribucin asociados a las variables aleatorias del modelo: Este tipo de problema es muy similar al

anterior, solo que en este caso se utilizan distribuciones que no son las ms

adecuadas o que responden nicamente a un intento de simplificar los

estudios estadsticos.

Falta de anlisis estadstico de los resultados: Un problema comn por el que la simulacin suele ser objeto de crtica, radica en asumir que se trata

de una herramienta de optimizacin. Esta apreciacin es incorrecta, ya que

involucra variables aleatorias y caractersticas propias de un modelo que

incluye probabilidades. Por ello es necesario realizar varias corridas a fin de

producir diferentes resultados para las variables de respuesta y, a partir de

estos valores, encontrar un intervalo de confianza que puedan dar un rango

en donde encontrar valores definitivos

Uso incorrecto de la informacin obtenida: Un problema que se presenta en ocasiones es el uso incorrecto de la informacin recabada para la

realizacin del estudio, ya sea a travs de un cliente o de cualesquiera otras

fuentes. Muchas veces esta informacin se recolecta, analiza y administra d

acuerdo a las necesidades propias de la empresa, lo que implica que no

siempre est en el formato y la presentacin que se requiere para la

simulacin. Si la informacin se utiliza para determinar los parmetros del

modelo sin ser depurada y reorganizada, es muy probable que la precisin de

los resultados del estudio se vea afectada

Falta o exceso de detalle en el modelo: Otro punto importante a considerar es el nivel de detalle del modelo. En muchas ocasiones algn

proceso se simplifica tanto que tiende a verse como una caja negra que nos

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impide ver que ocurre en el interior, aunque si haya entrada y salida de datos

que interactan con el modelo. Cuando esto sucede, el impacto que podran

tener los subprocesos que se llevan a cabo en la caja negra (es decir el proceso sobre simplificado) no se incluyen en la simulacin.

Por ejemplo: si se analiza un sistema de distribucin y se da por sentado que

el almacn siempre surte sus pedidos, no incluiremos el impacto de los

tiempos necesarios parta surtir las rdenes, ni la posibilidad de que haya

faltantes del producto.

Por otra parte si el modelo se hace demasiado detallado, tanto el tiempo

dedicado al estudio como el costo de llevarlo a cabo podran incrementarse

sustancialmente. La labor del encargado de simulacin es sugerir y clasificar

los niveles de detalle que se requieren en el modelo, resaltando los alcances

y limitaciones de cada uno.

3.8 Etapas en el desarrollo de experimentos de Simulacin.

Formulacin

Problema

Definicin de Objetos

Plan de Proyecto Completo

Conceptualizacin

del Modelo

Recoleccin de

Datos

Traduccin del

Modelo

Diseo Experimental

Verificado?

Validado?

NO

NO NO

Mas Ensayos?

SI SI

NO

Documentacin. Generacin de

Reporte

Implementacin

Ensayos de Produccin y

Anlisis

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Etapa 1: Formulacin del problema

Se sugiere que un set de suposiciones se prepare entre el analista simulador y el

cliente. Es posible que se necesite reformular el problema. Esta etapa tambin se conoce

como Anlisis de Requerimientos.

Etapa 2: Definicin de Objetos. Plan de Proyecto Completo

Los objetivos indican las preguntas a ser respondidas por el estudio de

Simulacin. El plan de proyecto debera incluir diferentes escenarios a investigar.

Etapa 3: Conceptualizacin o Formulacin del Modelo

Los sistemas reales bajo investigacin son abstrados por un modelo conceptual.

Se recomienda que el modelo se inicie en forma simple y luego se desarrolle hasta un

modelo de complejidad avanzada o apropiada.

Etapa 4: Recoleccin de Datos

Se requiere un cronograma de requerimientos de datos al cliente. Se precisan

datos individuales y no valores promedios acumulados.

Etapa 5: Traduccin del Modelo

Codificacin del Modelo conceptualizado.

Etapa 6: Verificacin

Concierne al modelo operativo. Esta trabajando correctamente? Se recomienda

que la verificacin sea un proceso continuo. (Depuracin de cdigo, y dems estrategias

como TOP-DOWN, Programacin estructurada, etc.).

Etapa 7: Validacin

La validacin es la determinacin de que el modelo conceptual es una

representacin precisa de sistema real. Una forma ideal de validar el modelo es

comparar las salidas con las del sistema base (el sistema real).

Etapa 8: Diseo Experimental

Estos diseos conciernen a la extensin de la simulacin, el nmero de

replicaciones y la forma de inicializacin.

Etapa 9: Replicaciones o Ensayos de Produccin

Estas replicaciones o ensayos se utilizan para estimar medidas de performance

en diferentes escenarios.

Etapa 10: Determinacin de Continuar los Ensayos

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El analista de simulacin y el cliente determinan si se necesitan escenarios

adicionales.

Etapa 11: Generacin de Reportes

Si el modelo de Simulacin se utilizar de nuevo por analistas diferentes ser

necesario entender como el modelo trabaja. Por ello existe la necesidad de una buena

documentacin.

Etapa 12: Implementacin

Consiste en la implantacin final del modelo.

Pasos de un estudio segn Law

3.8.1 Recoleccin de Datos

Debemos decidir cmo representar las variables aleatorias. Las tcnicas a utilizar

pueden variar de acuerdo:

A la cantidad de datos disponibles

Si los datos son crudos o son la sugerencia de alguien

Si cada variable es independiente de otras variables aleatorias de entrada o relacionadas de alguna forma

Si las variables son independientes de otras variables, las posibilidades son:

a) Asumir que la variable es determinstica Podemos estar tentados a asumir que la variable es determinstica o constante.

Ej: una mquina fabrica componentes den 1,5 min. La mquina requiere el

cambio de herramental de acuerdo a una distribucin exponencial, de un valor

esperado de 12 min. El tiempo de cambio de la herramienta es otra distribucin

exponencial con valor esperado de 3 min. Es posible simplificar este proceso

diciendo que la mquina opera en 1,875 min/min?

b) Ajustar una funcin de distribucin a los datos histricos Si poseemos al menos 50 puntos, podemos intentar ajustar una funcin de

distribucin. Si se va a realizar un test de bondad de ajuste, se recomienda seguir

los siguientes 3 pasos:

Sistema Real Modelo de

sistema

Modelo

Computacional Programa

Simulacin

Objetivos Representacin

Validacin

Codificacin

Validacin

Verificacin

Ajuste Datos Reales

Datos Simulados

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I) Realizar una hiptesis sobre la funcin candidata. Esta funcin puede ser continua o discreta. Entre las discretas sealamos: Poisson, Binomial,

Geomtrica. Entre las distribuciones continuas tenemos: Normal,

Student, Uniforme, Triangular, LogNormal, Gamma, Weibull.

II) Estimar los parmetros de la distribucin candidata o elegida. Por Ejemplo, si la distribucin es normal, los parmetros a estimar son la

varianza, el Valor Esperado o esperanza.

III) Realizar un test de bondad de ajuste como chi cuadrado (x2). Si el test rechaza la hiptesis es porque hay una fuerte indicacin de que no es

verdad. En ese caso se vuelve al paso 1 o se elige la distribucin

emprica.

c) Utilizar la distribucin emprica de los datos Cuando todas las posibilidades se han agotado, utilizamos la distribucin

emprica. Ejemplo: Un sistema de cinta transportadora tiene los siguientes datos:

El tiempo para reparar la cinta despus de una falla (x).

Para las 100 veces anteriores u ocurrencias:

Intervalo (h) Frecuencia de Ocurrencia

0 x 1 27 1 < x 2 13 2 < x 3 31 3 < x 4 18 4 < x 8 11

A veces no hay datos disponibles porque el sistema no est constituido. Una

posibilidad es estimar subjetivamente un valor. Ej: el tiempo de reparacin es de 3 a 8

minutos y asumir que los datos siguen una distribucin uniforme.

30

20

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 x

27

13

31

18

11

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Por ello esta distribucin es referida como la distribucin de mxima ignorancia

(asume todos los valores por igual).

3.8.2 Verificacin y validacin del modelo

La verificacin es la determinacin de que el modelo conceptual en la

computadora es correcto para ello se sugiere tener en cuenta:

o Seguir principios de programacin (estructurada, etc). o Hacer que el modelo operativo est bien documentado. o Verificar el cdigo por ms de una persona. o Verificar que los datos de entrada son utilizados correctamente. o Verificar para un conjunto de datos de entrada que las salidas sean

razonables.

o Utilizar el depurador. o Utilizar la animacin como verificacin.

La validacin es la determinacin de que el modelo conceptual pueda sustituir al

sistema real para la experimentacin.

Nombraremos las siguientes tcnicas subjetivas:

La validacin a simple vista (Face Validation): debe ser razonable a los expertos en el rea.

Anlisis de sensibilidad: se modifican las entradas. Test de condiciones extremas.

En cuanto a tcnicas objetivas sealaremos:

Validacin de transformacin de E/S: se compara las salidas del modelo con datos reales. Ej: test t.

Validacin utilizando datos histricos de entrada: en vez de utilizar datos artificiales utilizaremos datos histricos. Luego se compara la salida con

el sistema real. Ej: paired test t.

3.8.3 Anlisis de los Datos Simulados

El anlisis de simulacin se inicia con las medidas de performance (los tiempos,

el montaje de ocurrencias, tabulacin de varianzas y promedios, etc.). Ej: una estadstica

f

3 8

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basada en el conteo de ocurrencias es el nmero de unidades aceptadas en 24hs de

simulacin.

Una herramienta para analizar o trabajar los datos de salida es el intervalo de

Confianza. Los 3 factores que influencian la amplitud del Intervalo de Confianza son: El

nmero de replicaciones (n), el nivel de confianza (1-) y la variacin de la medida de performance (s).

Resumimos: si el nmero de replicaciones se incrementa, la amplitud del

intervalo de confianza disminuye.

Si el nivel de confianza aumenta, la amplitud del intervalo de confianza

aumenta.

Si la variacin se incrementa, la amplitud del intervalo se incrementa.

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3.9 Seleccin de una distribucin de entrada 3.10 Estadstica Descriptiva

Siendo x una variable aleatoria mnima, mxima, media o valor esperado o

esperanza matemtica o mediana X0.5.

Estimaciones de Muestra

)()1( , nXX (C, D)

)(nX o x o )(xE (C, D)

)(5,0 nX )2)1(( nx , si n es par

21)2/(2/ nxnx , si n es impar

Varianza 2

Coeficiente de Variacin

2cv

Lexis Ratio

2r

n

i

i xpxnS1

22

nX

nSnvc

2

(C, D)

nXnS

nr2

Sesgo (Skewness)

2

32

3

xEv

23

2

1

3

nS

nnXX

y

n

i

i

Criterios a Utilizar

Para una distribucin simtrica o Continua (normal), la media es igual a la

mediana 5,0X , no as para una distribucin discreta.

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Si las estimaciones nX y la mediana 5,0X son casi iguales, la distribucin puede ser simtrica.

El coeficiente de variacin cv es igual a 1 para la distribucin exponencial, por

ello el vc (estimacin) cercano a 1, sugiere dicha distribucin. Para las distribuciones de Gamma y Weibull:

1

1

1

cv

cv

cv

1

1

1

Siendo un parmetro de forma:

Parmetro de localizacin: es una abscisa )( ix . Ej: la media para la

distribucin normal.

Parmetro de escala: Comprime o expande la distribucin sin cambiar su forma.

Parmetro de forma: Un cambio altera la forma (el sesgo o skewness).

La distribucin LogNormal, tiene un cv que puede ser cualquier nmero positivo

real, por eso si la forma concuerda, y el 1 nvc , esta distribucin puede ser mejor que la Gamma o Weibull.

Para las distribuciones discretas, el lexis ratio r , es fundamental:

1r Poisson 1r Binomial 1r Binomial Negativa o Geomtrica (Caso especial)

El sesgo de la distribucin es una medida de simetra.

Normal 0

Sesgada a la derecha o Positivy Skewed 0

Sesgada a la izquierda o Negativy Skewed 0

Mediana

Media

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Summary Stadistics

3.10.1 Histogramas y Grficos de Lnea

Podemos afirmar que las funciones de densidad tienden a poseer formas

reconocibles, por ello una estimacin grfica nos puede ser muy til para reconocer una

distribucin. Para el siguiente ejemplo construiremos un histograma basados en la regla

de Sturgis:

nk 10log322,31 Siendo k el nmero de intervalos Ejemplo de Aplicacin

Un modelo de simulacin fue desarrollado para una facilidad en un banco. Los

datos fueron recolectados en base al patrn de arribo de los autos, sobre un intervalo fijo

de 90 minutos, 220 autos, llegados a la facilidad y se anot el tiempo de interarribo x

(en minutos) entre los autos i e i+1 para i=1, 2, 3,, 219.

n=219 Tiempo de interarribo (minutos) ordenados en orden creciente

0.01 0.05 0.08 0.14 0.22 0.35 0.46 0.55 0.79 1.28

0.01 0.05 0.09 0.14 0.23 0.35 0.47 0.55 0.84 1.33

0.01 0.05 0.09 0.14 0.23 0.36 0.47 0.57 0.86 1.38

0.01 0.05 0.10 0.14 0.23 0.36 0.47 0.57 0.87 1.44

0.01 0.05 0.10 0.15 0.23 0.36 0.48 0.60 0.88 1.51

0.01 0.05 0.10 0.15 0.23 0.37 0.49 0.61 0.88 1.72

0.01 0.06 0.10 0.15 0.24 0.37 0.49 0.61 0.90 1.83

0.01 0.06 0.10 0.15 0.25 0.38 0.49 0.63 0.93 1.96

0.02 0.06 0.10 0.15 0.25 0.38 0.49 0.63 0.93

0.02 0.06 0.10 0.15 0.25 0.38 0.50 0.64 0.95

0.03 0.07 0.10 0.17 0.25 0.38 0.50 0.65 0.97

0.03 0.07 0.10 0.18 0.25 0.38 0.50 0.65 1.03

0.03 0.07 0.11 0.19 0.26 0.39 0.51 0.65 1.05

0.04 0.07 0.11 0.19 0.27 0.40 0.51 0.69 1.05

0.04 0.07 0.11 0.19 0.28 0.40 0.51 0.69 1.06

0.04 0.07 0.11 0.20 0.28 0.41 0.52 0.70 1.09

Mediana

Media

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621,09

95,1

977,8219log322,31

95,1

01,096,1

10

1219

k

Rb

k

R

XXR

Histograma

Los valores estn demasiado acumulados, por lo que se recomienda duplicar k, o

sea 2k = 18.

100,0

18

b

Rb

Estadstica Descriptiva

Mnimo 0,01 1X

Mximo 1,96 219X

Media 0,399

Mediana 0,270

0.04 0.07 0.11 0.21 0.29 0.41 0.52 0.72 1.10

0.04 0.07 0.12 0.21 0.29 0.43 0.53 0.72 1.11

0.04 0.07 0.12 0.21 0.30 0.43 0.53 0.72 1.12

0.05 0.07 0.12 0.21 0.31 0.43 0.53 0.74 1.17

0.05 0.08 0.12 0.21 0.31 0.44 0.54 0.75 1.13

0.05 0.08 0.13 0.22 0.32 0.45 0.54 0.76 1.24

0.05 0.08 0.13 0.22 0.35 0.45 0.55 0.77 1.24

h(x)

100

75

50

25

0,01 0,266 0,443 0,659 0,876 1,093

93

46

35

17

9 4 2

1

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Varianza 0,144

c.v. 0,953

Sesgo 1,458

BoxPlot

Necesitamos conocer el mnimo, el mximo, la mediana y los cuartiles.

Mnimo = 0,01

Mximo = 1,96

Mediana = 0,27

Cuartiles = 0,100 y 0,545

La naturaleza elongada hacia la derecha seala que es una distribucin

exponencial (adems de otros criterios).

3.11 Estimacin de Parmetros

Ahora que poseemos una hiptesis sobre que distribucin puede ser utilizada,

necesitamos estimar los parmetros. Un estimador es una funcin numrica de los datos.

Aqu vamos a considerar los denominados MLE o Estimadores de Mxima Probabilidad

(Maximum Likelyhood Estimators).

3.11.1 Conceptos Tericos de MLE

Si utilizamos una distribucin discreta para nuestros datos y desconocemos el

valor del parmetro (theta), la funcin de probabilidad o de masa )(xp . Definimos

la funcin de probabilidad (likelyhood function) de la siguiente forma

nxpxpxpL ...21 , siendo L la funcin de masa conjunta o de probabilidad

h(x)

100

75

50

25

0,01 0,266 0,443 0,659 0,876 1,093 1,96

93

46

35

17

9 4 2

1

0,100 0,27 0,545

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conjunta que nos da la probabilidad de obtener nuestros datos, si es el valor del parmetro desconocido.

El MLE del parmetro desconocido es , y es definido como el valor de

que maximiza la funcin L . LL

para todo valor posible de .

Para funciones continuas la funcin de densidad xf , define la funcin de

probabilidad siguiente: nxfxfxfL ...21

donde el MLE , es definido a ser

el valor de que maximiza la funcin )(L sobre todos los valores posibles.

Ejemplo A: funcin exponencial y su estimador MLE

(parmetro de escala)

x

exf

1

)(

nX = media (Cmo se llega a esta conclusin?)

nxxx

eeeL

1

...11

21

n

i

i

n

xn

xxxn

eL

eL

1

21

1

...1

Aplicando ln a ambos miembros:

n

i

i

n

i

i

n

xnl

xl

Ll

1

1

1ln

1ln

ln

0 x

f(x)

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Como el logaritmo es estrictamente creciente, maximizamos la funcin l (

Ll ) ello implica que maximiza a la funcin L.

nXn

x

xn

xn

d

dl

n

i

i

i

n

i

i

1

12

1

1

Por lo tanto el MLE = = 0,399, con lo cual la funcin de distribucin

ajustada a los datos del problema es: 399,0399,0

1x

exf

El clculo diferencial y la bsqueda de mximos, a veces no funciona para todas

las distribuciones. Se puede utilizar, mtodos numricos para encontrar los estimadores

MLE.

Tabla de algunos MLEs para distribuciones sencillas (Law & Kelton)

Distribucin MLE

Exponencial nX media

Uniforme ixa min ixb max

Normal nX 2

1

21

nS

n

n

3.12 Evaluacin del Modelo 3.12.1 Distribucin Ji-Cuadrado

Definicin: Sea un entero positivo, entonces se dice que la variable aleatoria X posee una distribucin ji-cuadrado, con parmetro , si la funcin de densidad de

probabilidad de x es la funcin de densidad Gamma con 2

y 2 . La funcin de

densidad ji-cuadrado es:

xkfo

xf

,1

,

0,0

0,

22

1 21

2

2

x

xex

x

El parmetro es llamado nmero de grados de libertad de x. El smbolo 2X es usado para representar el ji-cuadrado (chi-squared).

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k = nro de intervalos.

k-1 = nro de grados de libertad.

3.12.2 Test de Bondad de Ajuste

Supongamos que en un experimento cada observacin iX en una muestra es

clasificada como perteneciente a un nmero finito de categoras, con ip definimos la

probabilidad que cualquier observacin particular pertenezca a una categora i.

Deseamos verificar 0H , que especifica completamente los valores de todas las

probabilidades. Ej:

05,0

15,0

35,0

45,0

4

3

2

1

p

p

p

p

El test estadstico ser una medida de la discrepancia entre los nmeros

observados en las categoras y los nmeros esperados cuando 0H es verdadero.

Como la decisin sera alcanzada al comparar un clculo del test con un valor

crtico de la distribucin ji-cuadrado, este test de bondad de ajuste se denomina ji-

cuadrado.

Notacin:

jN : nmero de observaciones ix en la categora j ( aleatoria)

jn : nmero de observaciones esperado

n : numero total de observaciones

n

j

j nN1

j : categora o clasificacin

jp : probabilidad de la categora j. La proporcin esperada de los valores iX

f(x)

0 1 x

No Rechaza Rechaza

Densidad ji-cuadrado

grados de libertad

Ji-crtico:

Regin Sombreada

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Teorema

Siendo 5jnp para cada j (j=1,2,,k).

La variable aleatoria es:

esperados

esperadosobservados

np

npNX

n

j j

jj2

1

2

2

Y tiene aproximadamente una distribucin ji-cuadrado con (k-1) grados de

libertad.

Test ji-cuadrado

Hiptesis Nula

02021010 ,,,: kk ppppppH con kp : observado

con 0kp : distribucin

Hiptesis Alternativa

aH al menos un valor de probabilidad ip no es igual a 0ip

Frmula del Test

esperado

esperadoobservado

np

npnX

k

i i

ii

2

1 0

2

02

Regin de rechazo (rechazo de la hiptesis nula)

)1,1(22

kXX

Si se supera el valor crtico, la distribucin no sirve, se rechaza la bondad de

ajuste.

Observaciones

Esperamos que el ji-cuadrado 2X sea pequeo para un buen ajuste. El punto crtico del test es elegir el nmero y tamao de los intervalos. Algo de la ambigedad de

la seleccin del intervalo es eliminado si ellos son elegidos de tal forma que:

kpppp 321

Esto se denomina mtodo equiprobable o de probabilidades idnticas.

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Law & Kelton sugieren para elegir los intervalos el mtodo equiprobable y

5jnp para todas las categoras j en el caso continuo. En el caso discreto, sugieren los

jnp aproximadamente iguales y todos como mnimo de valor 5.

Ejemplo A: funcin exponencial y su MLE

399,0399,0

1x

exf

n = 219

Mtodo equiprobable

kppp 21 k = 20 intervalos

05,020

121 kppp

20

0

399,0

0

1

595,1005,0219

219

5

a

a

exF

np

n

np

x

j

j

para j = 1 19

201

201

20

399,0

399,0

je

je

jaF

j

j

a

a

j

Aplicando ln a ambos miembros

201ln399,0

201ln

399,0

ja

ja

j

j

j para 1 a 19

j Intervalos jj aa ,1 jN jnp j

jj

np

npN

1 (0, 0.0204) 8 10,950 0,7947

2 (0.0204, 0.042) 11 10,950 0,0002

19

188,222 X

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Valor crtico

10,0

203,2710,01,1202

X (por tabla de puntos crticos de ji-cuadrado)

Se acepta la Hiptesis nula. No se rechaza la bondad de ajuste.

Ejemplo B: Los valores y totales para n = 256 observaciones sobre el nmero de tems

demandados en una semana de un inventario de 3 aos, son los siguientes.

ITEM QTY ESCALADO

0 59 0,37

1 26 0,16

2 24 0,153

3 18 0,11

4 12 0,07

5 5 0,03

6 4 0,02

7 3 0,019

9 3 0,019

11 2 0,012

1. Estadstica descriptiva

Mnimo 0

Mximo 11

Media 8,91

Mediana 1

Varianza 5,285

Lexis ratio 2,795

Sesgo 1,655

2. Grfico de Lnea

Escala 59/156 = 0,37

No es simtrica, por lo tanto no es discreta uniforme. En consecuencia puede ser

Binomial, Binomial negativa, geomtrica o Poisson.

El Lexis Ratio es 2,795 > 1 es Binomial negativa o geomtrica.

0,4

0,3

0,2

0,1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

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El Sesgo es 1,655 > 1 es sesgada a la derecha

Elegimos un distribucin Geomtrica

3. Estimacin del parmetro MLE

xp ppxP 1 x = 0,1,,n 10 pp

Funcin de Probabilidad Conjunta 21 11 xx pppppL Aplicando ln a ambos miembros pxpnplL i 1lnlnln Derivamos e igualamos a 0

11

X

pMLE

xp ppxP 1

1891,1

1

p

345,0 p

xp xP 345,01345,0

xp xP 655,0345,0 x = 0,1,,11

Test de Bondad

La moda en este caso vale 0, sugeriremos 3 intervalos. Uno que contenga a la

moda, otro de 1 a 2 y de all a la 11, el 3er intervalo.

1ra condicin 321 ppp

260,0310,0370,0

321

IpIpIp

0,4

0,3

0,2

0,1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

I1 I2 I3

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2da condicin 5inp

345,0655,0345,00 0 pP

582,53345,01560 np OK

3739,0655,0345,0655,0345,021 21 pp PP

534,583739,015612 np OK

...113 pp PP

511,...,3,2,1 np OK

j intervalo jN jnp

j

jj

np

npN2

1 0 59 53,82 0,471

2 1-2 50 58,34 1,203

3 3-11 47 43,658 0,256

930,12 X

90.0,22

1,1 XX k

605,42 criticoX 22 XcriticoX por lo tanto est bien ajustado. La hiptesis nula no es rechazada.