Capítulo 5

Modulação Digital em Canais comDesvanecimento

5.1 Introdução

Neste capítulo, vamos analisar o desempenho de sistemas digitais em canais com desvanecimento. Vamos inicialmente de-terminar o receptor ótimo em um canal com desvanecimento lento e plano. A seguir, vamos analisar o desempenho demodulações binárias e não-binárias neste tipo de canal. Posteriormente, vamos introduzir o conceito de diversidade, queconsiste na transmissão de uma mesma informação diversas vezes e que tem o objetivo de combater os efeitos do desvane-cimento. A seguir, vamos estudar o receptor ótimo em canais com desvanecimento lento e seletivo, denominado de receptor“rake”. Posteriormente, vamos investigar a diversidade conseguida pelos códigos corretores de erros. Finalmente, vamosanalisar a diversidade obtida pelos arranjos de antenas de recepção e de transmissão.

5.2 Receptor Ótimo

Vamos supor que um sinal modulado apenas com componente em fase é transmitido em um canal com múltiplos raios, istoé, xc(t) = Axi(t) cos(2πfct). Os resultados obtidos a seguir são facilmente generalizados para sinais com componentes emfase e em quadratura.

Vamos considerar que o canal é plano e portanto existe somente um raio resolvível e também que o desvanecimento élento, portanto nem a amplitude, nem a fase variam dentro de um intervalo de bit, ou seja, α(t) = α e φ(t) = φ. O equivalentepassa-baixas do canal é mostrado na Fig. 5.1 e é dado por:

hpb(τ) = αejφδ(τ) (5.1)

Neste caso, o sinal recebido é dado por:

y(t) = αAxi(t) cos(2πfct+ φ) + n(t) (5.2)

isto é, a amplitude do sinal modulado depende de α e a fase depende de φ.Como vimos no Cap. ??, o melhor receptor que se pode construir é aquele casado com o sinal recebido. Como o

desvanecimento é lento, tanto α, quanto a fase φ podem ser estimados e utilizados no receptor, de tal modo que podemosrealizar detecção coerente na recepção. Portanto, α e φ correspondem à estimação do desvanecimento e da fase. Caso oestimador seja perfeito, podemos ainda escrever que α = α e φ = φ.

A Fig. 5.1 ilustra o receptor casado ao sinal recebido. Portanto, ele é composto de um multiplicador pelo desva-necimento do canal α e a seguir faz a correlação com a forma de onda recebida, onde nesta correlação está implícita ademodulação com correção de fase e o filtro casado com o pulso em banda-base, de acordo com a Fig. ??.

Por outro lado, como a multiplicação por α no receptor não modifica a relação sinal-ruído, pois ambos sinal e ruídosofrem esta mesma multiplicação, o receptor ótimo não necessita deste multiplicador, eliminado assim a necessidade de seestimar o desvanecimento.

1

Figura 5.1: Receptor Coerente para Canal com Desvanecimento Plano e Lento.

5.3 Análise de Desempenho de Modulações Binárias em Canais com Desvaneci-mento

5.3.1 Modulação PSKConsidere a transmissão de um sinal 2-PSK em um canal plano com desvanecimento lento, onde o sinal recebido é dadopor y(t) = ±αA cos(2πfct + φ). Além disso, vamos supor a existência de circuitos entrelaçadores que foram estudados naSec. ??, tanto no transmissor, quanto no receptor. Os entrelaçadores têm o objetivo de se quebrar surtos de erros, causadospelo desvanecimento que é correlacionado no tempo. Circuitos entrelaçadores com profundidade infinita fazem com que asamostras do desvanecimento passem a ser descorrelacionadas no tempo.

Na ausência de desvanecimento, a relação sinal-ruído de sistemas de transmissão digital é dada por Eb/N0. Napresença de desvanecimento, a mesma tem que ser definida como:

γb(t) = α2(t)EbN0

(5.3)

Como o desvanecimento varia com o tempo, a relação sinal-ruído e a probabilidade de erro também variam.Para um dado valor de α e portanto para um dado valor de γb, a probabilidade de erro de bit condicional pode ser

obtida usando-se (??) é igual a:Pb|γb(t) = Q

(√2γb(t)

)(5.4)

onde γb(t) é dada por (5.3).Vamos supor que o desvanecimento é modelado por uma variável aleatória Rayleigh. É fácil mostrar que a relação

sinal-ruído, γb, é uma variável aleatória exponencial negativa, dada por:

p(γb) =1

γbe−γb/γb (5.5)

onde γb é a relação sinal-ruído média, dada por:

γb = 2σ2α

A2Tb2N0

(5.6)

onde usamos que o segundo momento de uma variável Rayleigh é dado por α2 = 2σ2α e que Eb/N0 = A2Tb/2N0.

Assim para obter a probabilidade de erro de bit média precisamos calcular a probabilidade de erro para todos os valoresdo desvanecimento:

Pb =

∫ ∞0

Pb|γb(γb)p(γb)dγb (5.7)

Usando (5.5) em (5.7), temos que a probabilidade de erro de bit média para a modulação 2-PSK com desvanecimentoRayleigh é dada por:

Pb =1

2

(1−

√γb

1 + γb

)(5.8)

A Fig. 5.2 apresenta a probabilidade de erro de bit média em função da relação sinal-ruído média, γb.

2

Figura 5.2: Probabilidade de Erro de Bit Média em Função da Relação Sinal-Ruído por Bit Média, para Diversos Esquemasde Modulação Binários.

Para γb � 1 a probabilidade de erro de bit média apresenta uma boa aproximação, dada por:

Pb ≈1

4γb(5.9)

onde usamos que 1/(1 + ε) ≈ 1− ε e que√1 + ε ≈ 1 + ε/2 para ε ≈ 0.

Observe que na presença de desvanecimento, a probabilidade de erro de bit média cai com a proporção inversa darelação sinal-ruído média, ou seja, a probabilidade de erro cai uma década se a relação sinal-ruído média aumentar uma décadae assim por diante. Vimos anteriormente que na ausência de desvanecimento, a probabilidade de erro de bit da modulação2-PSK caía com a exponencial da relação sinal-ruído, isto é, com Q(

√2Eb) ≈ e−Eb/N0 . Desse modo, o desvanecimento tem

um comportamento bastante destrutivo no que se refere ao desempenho de sistemas de comunicações digitais.

Exemplo 1 Sem desvanecimento, a modulação 2-PSK apresenta taxa de erro aproximada de 10−3 para Eb/N0 = 7 dB e10−6 para 11 dB.

Para um canal com desvanecimento, a modulação 2-PSK necessita de 25 dB para alcançar a taxa de erro de 10−3 e55 dB para alcançar 10−6.

♣

5.3.2 Modulação DPSKA modulação DPSK, por ser diferencial, necessita que a fase do canal fique constante por pelo menos 2 bits consecutivos. De(??), temos que a probabilidade de erro de bit para um dado valor de γb(t) é igual a:

Pb|γb(t) =1

2e−γb(t) (5.10)

onde γb(t) é dada por (5.3).Usando (5.10) e (5.5) em (5.7), temos que a probabilidade de erro de bit média para a modulação DPSK binária é dada

por:

Pb =1

2(1 + γb)(5.11)

3

A probabilidade de erro de bit média em função da relação sinal-ruído média é apresentada na Fig. 5.2.Se a relação sinal-ruído for suficientemente grande, γb � 1, a probabilidade de erro de bit média pode ser simplificada

para:

Pb ≈1

2γb(5.12)

Assim, a modulação DPSK tem desempenho 3 dB inferior ao da modulação 2-PSK na presença de desvanecimento.

5.3.3 Modulação 2-FSK Ortogonal CoerenteDe (??), temos que a probabilidade de erro de bit para um dado valor de γb(t) é igual a:

Pb|γb = Q(√γb) (5.13)

Substituindo (5.13) e (5.5) em (5.7), podemos obter a probabilidade de erro de bit média, dada por:

Pb =1

2

(1−

√γb

2 + γb

)(5.14)

A Fig. 5.2 apresenta uma curva da probabilidade de erro de bit média em função da relação sinal-ruído média para a modulação2-FSK com demodulação coerente.

Para γb � 1 a probabilidade de erro de bit média também pode ser simplificada para:

Pb ≈1

2γb(5.15)

onde usamos também que 1/(1+ ε) ≈ 1− ε e que√1 + ε ≈ 1+ ε/2 para ε ≈ 0. Podemos perceber que a modulação 2-FSK

tem mesmo desempenho que a modulação DPSK e é aproximadamente 3 dB inferior à modulação 2-PSK.

5.3.4 Modulação 2-FSK Não-CoerentePara o caso da modulação 2-FSK com demodulação não-coerente, a fase não precisa sequer ser estimada, tal que neste caso,o desvanecimento não precisa nem mesmo ser lento. De (??), temos que a probabilidade de erro de bit para um dado valor deγb(t) é igual a:

Pb|γb =1

2e−γb/2 (5.16)

Substituindo (5.16) e (5.5) em (5.7), podemos obter a probabilidade de erro de bit média, dada por:

Pb =1

2 + γb(5.17)

A Fig. 5.2 apresenta a taxa de erro de bit média em função da relação sinal-ruído média para a modulação FSK não-coerente.Para γb � 1, a probabilidade de erro de bit média pode ser simplificada para:

Pb ≈1

γb(5.18)

Esta modulação tem desempenho 3 dB inferior ao da modulação 2-FSK com demodulação coerente e 6 dB inferior ao damodulação 2-PSK.

5.4 Análise de Desempenho de Modulações M -árias em Canais com Desvaneci-mento

Para modulações não-binárias, o cálculo da probabilidade de erro de bit na presença de desvanecimento pode ser obtidausando um desenvolvimento parecido àquele utilizado em (5.7). Seja Ps|γb a probabilidade de erro de símbolo de umamodulação M -ária condicionado a um valor de γb. A probabilidade de erro de símbolo média pode ser obtida a partir de

Ps =

∫ ∞0

Ps|γb(γb)p(γb)dγb (5.19)

Supondo então codificação de Gray, a probabilidade de erro de bit pode ser obtida de:

Pb ≈Ps

log2M(5.20)

4

5.4.1 Modulação 4-PSKPara a modulação 4-PSK, a taxa de erro de símbolo é dada por:

Ps = 2Q(√

2γb

)−Q2

(√2γb

)≈ 2Q

(√2γb

)(5.21)

É fácil mostrar que para a modulação 4-PSK, a probabilidade de erro média por bit é dada por:

Pb ≈ 1

2

(1−

√γb

1 + γb

)≈ 1

4γb(5.22)

para γb � 1. Ou seja, a modulação 4-PSK tem um desempenho similar ao da modulação 2-PSK na presença de desvaneci-mento.

5.4.2 Modulação M -QAMPara a modulação M -QAM, a taxa de erro de símbolo é dada por:

Ps ≈ 4Q

(√3log2M

M − 1γb

)(5.23)

Portanto, a probabilidade de erro de bit média é dada por:

Pb ≈2

log2M

1−

√√√√ 32

log2MM−1 γb

1 + 32

log2MM−1 γb

(5.24)

que pode ser aproximada por:

Pb ≈2

3

M − 1

(log2M)21

γb(5.25)

para γb � 2(M − 1)/3 log2M e que vale para M ≥ 16.A Fig. 5.3 mostra a probabilidade de erro de bit média para as modulações M -QAM. A perda de desempenho se

passarmos da modulação 16-QAM para a modulação 64-QAM é da ordem de 3 dB. No entanto, esta perda diminui aindamais à medida que M cresce. Podemos concluir portanto, que a perda de desempenho pelo aumento da constelação é bemmenor que no caso AWGN.

Concluímos para todas as modulações investigadas que a probabilidade de erro de bit média decresce apenas com oinverso da relação sinal-ruído. Uma maneira de se melhorar esta situação é através do uso de diversidade.

5.5 Diversidade

5.5.1 IntroduçãoTécnicas de diversidade são muito utilizadas para combater os efeitos do desvanecimento. Consiste da transmissão de umamesma informação várias vezes, seja através do uso de frequência, ou do tempo, ou do espaço, ou ainda através de outrorecurso. Deste modo, se houver desvanecimento em um canal, é muito provável que não haja desvanecimento nos outros,melhorando assim o desempenho do sistema como um todo. Para que a diversidade seja efetiva, os desvanecimentos noscanais precisam ser descorrelatos ou ainda independentes.

Assim, os métodos mais comuns de diversidade são:

• Diversidade em Frequência. Consiste em enviar a mesma informação através de L canais com frequências de portadoradiferentes. A separação em frequência entre os canais, para que os seus desvanecimentos sejam descorrelatos, deveexceder a banda de coerência do canal.

5

Figura 5.3: Probabilidade de Erro em Função da Energia por Bit Média, para a Modulação M -QAM.

• Diversidade Temporal. Consiste em enviar a mesma informação utilizando instantes de tempo diferentes. Esta separa-ção temporal tem que ser maior que o intervalo de tempo de coerência do canal, para que os desvanecimentos sejamdescorrelatos. Existem várias maneiras de se prover diversidade temporal. A primeira delas é através de códigos cor-retores de erros. Os bits de redundância são transmitidos em instantes diferentes dos bits de informação e deste modoobtém-se diversidade temporal. Outro modo de se conseguir diversidade temporal é através de um canal seletivo emfrequência, que tem a característica de apresentar mais de um percurso resolvível no receptor. O receptor que combinatodos estes sinais é conhecido na literatura como receptor “rake”, que será estudado posteriormente.

• Diversidade Espacial. Existem basicamente dois modos de se conseguir diversidade espacial. A primeira delas con-siste em utilizar diversas antenas de recepção. Neste caso, a mesma informação é recebida por diferentes antenas derecepção. Os desvanecimentos nas diferentes antenas serão descorrelatos, desde que a separação entre as mesmas sejamaior que 10λ [?], onde λ é o comprimento de onda. O segundo modo, descoberto apenas mais recentemente, con-siste em utilizar mais de uma antena de transmissão. Para isto, um código corretor é usado para correlacionar os bitstransmitidos pelas antenas e deste modo conseguir diversidade de transmissão, como veremos posteriormente.

5.5.2 Sistema de Comunicações com Diversidade

Um modo simples de se entender como a diversidade apresenta melhoria de desempenho é explicado a seguir. Se transmi-tirmos a mesma informação em diversos canais cujos desvanecimentos são descorrelatos é de se esperar que a probabilidadede erro de bit diminua. Suponha que um erro ocorra quando o canal apresenta desvanecimento abaixo de um certo limiar.Se p é a probabilidade de que o desvanecimento esteja abaixo de um certo limiar, então pL é a probabilidade de que osdesvanecimentos de todos os L canais estejam abaixo do mesmo limiar. Como pL � p é possível diminuir os efeitos dodesvanecimento no desempenho através do uso de diversidade.

A Fig. 5.4 apresenta um sistema de comunicações com diversidade. Neste sistema, um mesmo símbolo é transmitidoatravés de L canais em que os desvanecimentos são descorrelatos. Os ruídos associados a cada canal também são descorre-latos. Este sistema utiliza ainda L receptores, como os da Fig. 5.1 sem o circuito decisor, um para cada canal. O que umreceptor com diversidade tem de diferente é um combinador que recebe as L amostras dos filtros casados e produz uma únicaamostra em sua saída.

6

Figura 5.4: Sistema de Comunicações Digitais com Diversidade.

5.5.3 CombinadorBasicamente, existem duas classes de combinadores. A primeira classe é denominado de combinador por seleção, enquantoque a segunda classe é conhecido como combinador por ganho. A Fig. 5.5 apresenta a classe dos combinadores por seleçãoe por ganho.

A característica mais importante dos combinadores por seleção é que somente uma das amostras é selecionada e emgeral aquela com a maior relação sinal-ruído naquele instante.

Diferentemente dos combinadores por seleção, nos combinadores por ganho todas as amostras são utilizadas. Oscombinadores por ganho são basicamente circuitos somadores coerentes, isto é, são circuitos que somam as amplitudesdas amostras, desde que a fase do canal tenha sido corrigida no receptor. Existem duas abordagens bastante utilizadas decombinação por ganho: o combinador de máxima razão (“Maximal Ratio”) e o combinador de ganhos iguais (“Equal Gain”).No combinador de máxima razão, o receptor da Fig. 5.1 utiliza um multiplicador por α, além de corrigir a fase do canal.No combinador de ganhos iguais, o receptor da Fig. 5.1 não utiliza o multiplicador por α, apenas faz a correção de fase, oque o torna mais simples, pois os circuitos de estimação dos desvanecimentos não serão necessários. Em contrapartida, ocombinador de ganhos iguais tem desempenho levemente inferior ao do combinador de máxima razão. Além disso, pode-semostrar que o combinador de máxima razão é ótimo, no sentido de que nenhum outro possui desempenho melhor que ele,e com a característica de que é o combinador que apresenta a análise matemática de desempenho mais simples. Portanto,vamos estudar o desempenho das modulações binárias, desta vez com diversidade de ordem L, utilizando um combinador demáxima razão.

5.5.4 Análise de Desempenho de Sistemas com DiversidadeModulação 2-PSK

Vamos assumir que existem L canais, que transportam a mesma informação. Estes L canais apresentam desvanecimento lentoque tem distribuição Rayleigh em um canal não-seletivo. Além disso, os desvanecimentos dos L canais são estatisticamenteindependentes dois a dois e identicamente distribuídos.

Os ruídos que contaminam as transmissões são aditivos, brancos, com PDF gaussiana, com densidade espectral depotência N0/2 e de média nula. Os ruídos em todos os L canais são também estatisticamente independentes dois a dois, commesma densidade espectral de potência.

Vamos considerar um combinador de máxima razão. Vamos ainda supor que o bit 1 foi transmitido. Considere que osinal recebido pelo i-ésimo receptor é dado por:

y(t) = Aαi cos(2πfct+ φi) + ni(t) (5.26)

onde αi é o desvanecimento e φi é a fase do i-ésimo canal. Além disso, ni(t) é o ruído aditivo do i-ésimo canal.A variável de decisão na saída do i-ésimo receptor no instante Tb é dada por:

zi(Tb|αi) =α2iA

2+ ni(Tb) (5.27)

7

Figura 5.5: a) Combinador por Seleção. b) Combinador por Ganho.

8

onde foi suposto estimação perfeita, ou seja, αi = αi e além disso ni(Tb) é a amostra de ruído na saída do i-ésimo filtrocorrelator, dado por:

ni(Tb) =αiTb

∫ Tb

0

ni(t) cos(2πfct+ φi)dt (5.28)

A relação sinal-ruído instantânea do i-ésimo canal é dada por:

γbi = α2i

EbiN0

= α2i

A2Tb2N0

(5.29)

Na saída do combinador de máxima razão, temos a soma das variáveis de decisão de cada um dos receptores:

z(Tb|α1, α2, · · · , αL) =

L∑i=1

zi(Tb|αi)

=

L∑i=1

[α2iA

2+ ni(Tb)

](5.30)

Para um determinado bit, os desvanecimentos de todos os canais precisam ser estimados e portanto podem ser con-hecidos. Neste caso, a variável de decisão condicional z(Tb|α1, α2, · · · , αL) é gaussiana, sendo caracterizada pela sua média:

µZ =A

2

L∑i=1

α2i (5.31)

e pela sua variância:

σ2Z =

L∑i=1

n2i

=N0

4Tb

L∑i=1

α2i (5.32)

onde n2i = α2

iN0/4Tb é a variância da variável de decisão na saída do i-ésimo receptor.A relação sinal-ruído instantânea de um sistema com diversidade de ordem L é dada por:

γb =µ2Z

2σ2Z

=A2Tb2N0

L∑i=1

α2i (5.33)

onde utilizamos (5.31) e (5.32). Ou seja, a relação sinal-ruído instantânea total é igual à soma das relações sinal-ruído decada um dos L canais, isto é, γb =

∑Li=1 γbi .

E portanto, a probabilidade de erro de bit condicionada ao conhecimento dos desvanecimentos é dada por:

Pb|α1,α2,··· ,αL(γb) = Q

(√2γb

)(5.34)

A probabilidade de erro de bit média pode ser obtida utilizando-se (5.7). Para isto, precisamos da PDF de γb. Comoa relação sinal-ruído é uma soma de variáveis Rayleigh ao quadrado, temos que a PDF da relação sinal-ruído é uma variávelaleatória chi-quadrado com 2L graus de liberdade, ou seja,

p(γb) =LL

(L− 1)!γbLγL−1b e−Lγb/γb (5.35)

onde γb = Lγbi = Lα2A2Tb/2N0 é a relação sinal-ruído média total do sistema.Pode-se mostrar que a probabilidade de erro de bit média para a modulação 2-PSK com diversidade de ordem L é

dada por:

Pb = pLL−1∑k=0

(L− 1 + k

k

)(1− p)k (5.36)

9

onde

p =1

2

(1−

√γb

L+ γb

)Para γb � L, temos que p ≈ 1/4γc e 1− p ≈ 1. Além disso, temos que:

L−1∑k=0

(L− 1 + k

k

)=

(2L− 1L

)(5.37)

Portanto, para γb � L, temos que a probabilidade de erro de bit média pode ser aproximada por:

Pb ≈(

2L− 1L

)(L

4γb

)L(5.38)

Observe que para L = 1 temos o desempenho de um sistema com modulação 2-PSK sem diversidade, dado por (5.9).Observe também que a probabilidade de erro de bit é inversamente proporcional à relação sinal-ruído média elevada à L-ésima potência. A Fig. 5.6 apresenta a probabilidade de erro de bit média em função da relação sinal-ruído total do sistema.Podemos concluir através desta figura que a diversidade produz uma melhoria substancial no desempenho do sistema. Parauma diversidade de ordem L, uma década de melhoria na relação SNR produz uma redução de L décadas na taxa de erro debit.

Figura 5.6: Desempenho de Sistemas de Comunicações Digitais com Diversidade.

Modulação DPSK

Repetindo o raciocínio realizado no caso 2-PSK com diversidade, pode-se mostrar para γb � L, que a probabilidade de errode bit média para a modulação DPSK binária é dada por:

Pb ≈(

2L− 1L

)(L

2γb

)L(5.39)

A Fig. 5.6 apresenta a probabilidade de erro de bit média em função da relação sinal-ruído total do sistema para a modulaçãoDPSK, tendo como parâmetro a ordem de diversidade. Observe, que a modulação DPSK é 3 dB inferior em relação àmodulação 2-PSK, não importando a ordem da diversidade.

Modulação 2-FSK Coerente

Pode-se mostrar para γb � L, que a modulação 2-FSK com demodulação coerente apresenta expressão aproximada daprobabilidade de erro de bit dada por (5.39). Deste modo, as modulações 2-FSK e 2-DPSK têm desempenho similar.

10

Modulação 2-FSK Não-Coerente

Para γb � L, pode-se mostrar que a modulação 2-FSK com detecção não-coerente apresenta desempenho dado por:

Pb ≈(

2L− 1L

)(L

γb

)L(5.40)

isto é, a modulação 2-FSK com detecção não-coerente é 3 dB inferior ao desempenho da modulação 2-FSK com detecçãocoerente, ou ainda 6 dB pior que o desempenho da modulação 2-PSK.

Modulação 4-PSK

Para γb � L, pode-se mostrar que a modulação 4-PSK apresenta desempenho aproximado dado por (5.38), portanto amodulação 4-PSK tem desempenho similar à modulação 2-PSK na presença de diversidade.

Modulação M -QAM

Para γb � 2(M − 1)/3 log2M , pode-se mostrar para a modulação M -QAM que:

Pb ≈(

2L− 1L

)(2(M − 1)L

3(log2M)2γb

)L(5.41)

que vale para M ≥ 16.

5.6 Receptor “Rake”Vimos na Fig. ?? que um canal seletivo produz L réplicas temporais de um mesmo sinal. Vamos considerar a modulação2-PSK e vamos supor a transmissão de um bit 1. Usando (??), o sinal recebido através de um canal seletivo com diversidadeL é igual a:

y(t) =

L∑k=1

αkA cos

[2πfc

(t− k

W

)+ φk

]+ n(t) (5.42)

onde W é a banda do canal, αk, k/W e φk são o desvanecimento, o atraso e a fase introduzidos pelo canal no k-ésimo pulsoresolvível. Estamos considerando também que o canal seletivo é lento, ou seja, αk(t) = αk e φk(t) = φk em pelo menos umintervalo de símbolo.

O receptor ótimo consiste de uma estrutura casada com a estrutura de um canal seletivo, apresentada na Fig. ??. Assim,temos que a variável de decisão na saída do receptor “rake” pode ser escrita como:

z =

L∑i=1

1

Tb

∫ Tb

0

αiy(t) cos

[2πfc

(t− i

W

)+ φi

]dt (5.43)

onde αi e φi são as estimativas do desvanecimento e da fase do i-ésimo pulso resolvível.Fazendo uma mudança de variáveis t

′= t − i/W e retornando para a variável t temos uma realização alternativa a

(5.43), isto é,

z =

L∑i=1

1

Tb

∫ Tb

0

αiy

(t+

i

W

)cos(2πfct+ φi)dt (5.44)

que é a realização mostrada na Fig. 5.7.Este tipo de estrutura recebe o nome de receptor “rake” em analogia das derivações do receptor com os dentes de um

rastelo (“rake”). O receptor “rake” foi proposto em 1958 por Price e Green. A idéia básica de um receptor “rake” é compensaros diferentes atrasos, corrigir as fases dos diferentes percursos resolvíveis e depois somá-los. Observe que o receptor “rake”da Fig. 5.7 é um combinador de máxima razão. Se eliminarmos os multiplicadores das estimativas dos desvanecimentos,estaremos realizando um combinador de ganhos iguais.

O grande problema de um receptor “rake” é a interferência entre os múltiplos percursos, que o torna inviável, excetocomo veremos nos casos em que há espalhamento espectral, quando então em um canal seletivo em frequência o receptor“rake” apresenta ganho de desempenho em relação ao receptor com apenas uma derivação.

11

Figura 5.7: Receptor “Rake” para a Modulação 2-PSK.

Para o cálculo de desempenho de um receptor “rake”, vamos utilizar a implementação dada por (5.43). Além disso,vamos supor estimação perfeita do desvanecimento e da fase, ou seja, αi = αi e φi = φi. Substituindo (5.42) em (5.43),temos que a variável de decisão é dada por:

z =A

2

L∑i=1

L∑k=1

αiαk cos

[2πfc

(k

W− i

W

)+ φi − φk

]

+1

Tb

L∑i=1

αi

∫ Tb

0

n

(t− i

W

)cos (2πfct+ φi) dt (5.45)

onde usamos que cosA cosB = 1/2 cos(A−B)+1/2 cos(A+B) e que o termo cos(A+B) não passa pelo filtro passa-baixa.A variável de decisão irá apresentar um valor médio não-nulo somente se k = i. Assim, vamos dividir a variável de

decisão em três termos:

z =A

2

L∑i=1

α2i +

A

2

L∑i=1

L∑k=1,k 6=i

αiαk cos

[2πfc

(k

W− i

W

)+ φi − φk

]

+1

Tb

L∑i=1

αi

∫ Tb

0

n

(t− i

W

)cos (2πfct+ φi) dt (5.46)

O primeiro termo é o sinal propriamente dito e foi obtido para k = i, o segundo termo é a interferência entre os múltiplospercursos e foi obtida para k 6= i e o terceiro termo é devido ao ruído.

Em um intervalo de bit, os desvanecimentos são conhecidos e a variável de decisão z é gaussiana, tal que a sua médiae variância são dadas por:

µZ =A

2

L∑i=1

α2i (5.47)

σ2Z =

A2

8

L∑i=1

L∑k=1,k 6=i

α2iα

2k +

N0

4Tb

L∑i=1

α2i (5.48)

12

O primeiro termo da variância é devido à interferência entre os múltiplos percursos, enquanto que o segundo termoé devido ao ruído. Diferentemente do que conclui [?], podemos ver que σ2

Z é tão grande quanto µ2Z , de tal modo que

a interferência entre os múltiplos percursos torna-se um impeditivo para o bom funcionamento de um receptor “rake” emsistemas de transmissão digital. Como veremos, para sistemas com espalhamento espectral, é possível tornar a interferênciaentre múltiplos percursos desprezível, tal que neste caso o receptor “rake” apresenta variável de decisão igual à de um sistemacom L graus de diversidade, cuja média e variância são dadas por (5.31) e (5.32).

5.7 Diversidade Temporal de Códigos Corretores de ErrosCódigos corretores de erros são uma excelente fonte de diversidade temporal, como veremos a seguir. Vamos inicialmenteanalisar a diversidade dos códigos convolucionais e posteriormente dos códigos de bloco.

5.7.1 Códigos ConvolucionaisA probabilidade de erro de bit média de um codificador convolucional na presença de desvanecimento é dada por [?]:

Pb <1

k

∞∑d=dfree

BdPd (5.49)

onde k é o número de entradas do codificador convolucional, dfree é a distância livre do codificador e Pd é dado por:

Pd = pdd−1∑i=0

(d− 1 + i

i

)(1− p)i

e p para a modulação BPSK é dado por:

p =1

2

(1−

√rcγb

1 + rcγb

)onde rc é a taxa do codificador convolucional e γb é a relação sinal-ruído média.

Para rcγb � 1, temos que p ≈ 1/(4rcγb) e portanto p � 1. Além disso, usando (5.37), temos que Pd ≈

pd(

2d− 1d

). Como p � 1, o primeiro termo do somatório de (5.49) é dominante e portanto temos o limitante de

probabilidade de erro dado por:

Pb <1

kBdfree

(2dfree − 1dfree

)(1

4rcγb

)dfree

(5.50)

Como o limitante da probabilidade de erro de bit de códigos convolucionais dado por (5.50) é inversamente pro-porcional a γbdfree e ainda comparando com (5.38) podemos concluir que códigos convolucionais apresentam ordem dediversidade dada por:

L ≈ dfree (5.51)

A Fig. 5.8 apresenta a probabilidade de erro de bit média em função da relação sinal-ruído média para códigos con-volucionais de taxa 1/2, sendo um deles com 1 memória e distância livre 3 e o outro com 2 memórias e distância livre iguala 5. Nesta figura são apresentadas curvas teóricas e de simulação, que comprovam (5.51).

5.7.2 Códigos de BlocoEm analogia ao obtido na seção anterior, pode-se mostrar que códigos de bloco apresentam ordem de diversidade dada por:

L ≈ dmin (5.52)

onde dmin é a distância mínima do código de bloco.

5.8 Diversidade Espacial de Arranjo de Antenas na Recepção

É conhecido há bastante tempo que mais de uma antena de recepção apresenta diversidade. Existem três tipos de fenômenosque podem ser explorados através de um arranjo de antenas na recepção: o ganho do arranjo, o ganho de diversidade espaciale o ganho devido à filtragem espacial.

13

Figura 5.8: Probabilidade de Erro de Bit em Função da Relação Sinal-Ruído Média para Códigos Convolucionais de Taxa1/2 e Distância Livre 3 e 5. Simulação e Teoria.

5.8.1 Ganho do Arranjo

O ganho do arranjo é obtido pelo fator que Nr antenas de recepção conseguem captar N vezes mais potência que apenas umaantena. Assim:

Garr = Nr (5.53)

5.8.2 Ganho de Diversidade Espacial

O fenômeno da diversidade já foi estudado na Sec. 5.5. A diversidade espacial consiste em utilizar um combinador queescolha quais amostras entrarão no circuito decisor e quais os seus pesos. Vimos naquela seção que existem combinadorespor seleção e combinadores por ganho.

Combinador por Seleção

Vamos obter a relação SNR média na saída de um combinador por seleção que escolhe a amostra com a maior relaçãosinal-ruído naquele instante.

Para este combinador por seleção, temos que γb é a relação SNR na saída do combinador:

γb = max(γb,1, γb,2, · · · , γb,L) (5.54)

onde L é a ordem da diversidade.Para o caso em que o desvanecimento é Rayleigh, temos que a relação SNR de cada um dos L canais tem distribuição

exponencial negativa, dada por (5.5). Supondo que todos os canais têm mesma relação SNR média γb,1, e utilizando [?]pode-se mostrar que:

pΓb(γb) =

L

γb,1e−γb/γb,1

(1− e−γb/γb,1

)L−1

(5.55)

14

Pode-se mostrar que o valor médio da relação SNR na saída do combinador por seleção é dada por:

γb =

∫ ∞0

γbpΓb(γb)dγb

= γb,1

L∑i=1

1

i(5.56)

isto é, a relação SNR média de um combinador por seleção aumenta com a ordem da diversidade, mas não linearmente.

Combinador de Razão Máxima

O combinador de razão máxima foi estudado na Sec. 5.5. Lá foi obtida a PDF da relação SNR que é dada por (5.35) e tambéma relação SNR dada por (5.33).

Combinador de Ganhos Iguais

Não existe forma fechada da PDF da relação SNR na saída do combinador [?]. A perda de um combinador de ganhos iguaisem relação a um combinador de razão máxima de menos de 1 dB.

5.8.3 Ganho devido à Filtragem EspacialO nosso objetivo é o de mostrar que um arranjo de antenas produz uma eliminação de parte da interferência de co-canalpresente em uma célula. Esta eliminação da interferência pode ocorrer, tanto no enlace direto, quanto no reverso.

Máximo na Posições do Usuário de Interesse

A técnica de filtragem espacial mais conhecida consiste em criar um diagrama de radiação que apresente máximo na posiçãoangular do usuário desejado.

Para um arranjo linear de N antenas, obtivemos em (??) que as fases incidentes nas antenas de um arranjo são dadaspor:

a =1√N

[1 e−jφ e−j2φ · · · e−j(N−1)φ

]T(5.57)

onde φ = βd cos θ, β = 2π/λ é a constante de fase, d é o espaçamento entre antenas e θ é a posição angular de um usuárioem relação ao arranjo. O fator 1/

√N tem apenas o objetivo de normalizar para que o produto |aHa|2 = 1, onde H indica

conjugação e transposição. Para um espaçamento entre antenas de λ/2 temos que φ = π cos θ.Considere o arranjo de antenas da Fig. 5.9. Considere dois usuários: um desejado e um interferente. Considere

o usuário desejado na posição θd e o usuário interferente na posição θi. Considere que o sinal é proveniente do usuáriointerferente no receptor do usuário desejado.

O diagrama de radiação normalizado visto pelo receptor do usuário desejado é igual a:

Rn(θd, θi) = |aHd (θd)ai(θi)|2 (5.58)

Para o caso em que θd = θi, o diagrama de radiação normalizado é máximo e igual a 1.Pode-se mostrar que o diagrama de radiação normalizado visto pelo receptor do usuário desejado é dado por [?]:

Rn(θd, θi) =1

N2

sin2[Nπ dλ (cos θd − cos θi)

]sin2

[π dλ (cos θd − cos θi)

] (5.59)

Considerando que ambos usuários têm distribuição angular uniforme, ou seja, p(θd) = p(θi) =1

2π , temos que o valormédio do fator de redução de interferência é dado por [?]:

η =

∫ 2π

0

∫ 2π

0

Rn(θd, θi)p(θd)p(θi)dθddθi

=1

N+

2

N2

N−1∑m=1

(N −m) J20

(2πmd

λ

)(5.60)

onde J0 (x) é a função de Bessel de primeira espécie e ordem zero.

15

Figura 5.9: Arranjo de Antenas.

Como J20 (

2πmdλ )� 1 para m ≥ 1, temos a seguinte aproximação:

η ≈ 1

N(5.61)

Portanto, a interferência decresce com o número de antenas do arranjo.Observamos ainda que uma redução no espaçamento entre as antenas para valores um pouco abaixo de λ/2, fornece

uma redução da interferência. A Tab. 5.1 apresenta uma comparação entre os valores exato e aproximado do valor médio dainterferência normalizada para arranjos lineares de antenas com espaçamento normalizado dado por 2d/λ. O espaçamentofornecido pela tabela apresenta o menor valor de interferência média. Observe ainda a boa concordância entre os valoresexatos e aproximado para o espaçamento ótimo.

N 2dλ η (5.60) η (5.61)

2 0, 765 0, 500 0, 5003 0, 822 0, 340 0, 3334 0, 856 0, 261 0, 2505 0, 878 0, 213 0, 20010 0, 931 0, 115 0, 100

Tabela 5.1: Comparação entre os valores exatos e aproximados da interferência média normalizada para um arranjo de antenascom espaçamento normalizado dado por 2d/λ.

Cancelamento da Interferência

Outra técnica de filtragem espacial consiste em criar um diagrama de radiação que apresente nulos nas posições dos interfe-rentes. Para um arranjo com N antenas é possível cancelar até N − 1 interferentes.

Considere um arranjo linear com N antenas e a presença de M usuários, sendo M − 1 interferentes. Neste caso, ovetor de pesos wT = [w1 w2 · · · wN ] deve ser escolhido tal que se maximize a potência na direção do usuário de interesse(usuário 1) e anule a potência na direção dos usuários interferentes, isto é,

wTa = I (5.62)

onde a = [a1 a2 · · · aM ] é a matriz composta pelos vetores de fase dos M usuários e I = [1 0 0 · · · 0] é um vetor dedimensão 1×M .

16

O diagrama de radiação normalizado pode ser obtido através de:

Rn(θ) = |wTa(θ)|2 (5.63)

Esta técnica embora superior em desempenho em relação à anterior, é mais complexa pois precisamos conhecer as posiçõesdos interferentes.

Exemplo 2 Considere um exemplo em que o arranjo linear tem 3 antenas com espaçamento de λ/2 e há 3 usuários queestão situadas nas posições 90, 150 e 60 graus, sendo que os dois últimos são interferentes. Portanto, as fases incidentes doscampos elétricos nas antenas do arranjo para os três usuários são iguais a:

a1 =1√3[1 1 1]

a2 =1√3[1 ejπ

√3/2 ejπ

√3]

a3 =1√3[1 e−jπ/2 e−jπ]

Resolvendo-se o sistema linear de equações dado por (5.62), temos que:

wT = [0, 53 + j0, 34 0, 68 0, 53− j0, 34]

A Fig. 5.10 apresenta o diagrama de radiação normalizado em função do ângulo de incidência. Observe que nasposições dos interferentes o diagrama de radiação é nulo, enquanto que na posição do usuário desejado o diagrama deradiação é igual a 1. Além disso, observe que o diagrama de radiação apresenta simetria para ângulos acima de 180 graus.Assim, existe outro ponto de máximo em 270 graus e dois pontos de nulo em 210 e 300 graus.

♣

Figura 5.10: Diagrama de Radiação Normalizado em Função do Ângulo de Incidência.

5.9 Diversidade Espacial de Arranjo de Antenas na TransmissãoO conceito de diversidade espacial de transmissão é bem mais recente que o de recepção. Apenas no final dos anos 90 é queAlamouti [?] mostrou como conseguir diversidade na transmissão. Diferentemente da diversidade de recepção, como existemais de uma antena de transmissão, pode haver interferência.

17

A Fig. 5.11 apresenta um sistema com diversidade de transmissão. Ele consiste de Nt antenas de transmissão e deuma antena de recepção. A diversidade de transmissão pode ser do tipo malha aberta ou malha fechada.

Na diversidade de transmissão do tipo malha fechada, existe um canal de realimentação que informa a amplitude ea fase recebidas de cada uma das antenas. Deste modo, as antenas de transmissão podem compensar a fase ou a fase e aamplitude, de tal modo que o receptor pode combinar os sinais transmitidos.

No caso de malha aberta, para se conseguir diversidade, as Nt antenas transmitem sinais que são correlacionados notempo. Para se conseguir correlação podem ser usados códigos de bloco ou códigos convolucionais. A idéia inicial utilizadapor Alamouti é com códigos de bloco.

Figura 5.11: Sistema com Diversidade de Transmissão.

5.9.1 Malha Aberta

Vamos iniciar descrevendo o esquema de Alamouti, que é o esquema mais simples de se obter diversidade de transmissão. Oesquema de Alamouti é um esquema que utiliza código de blocos (tempo) com duas antenas de transmissão (espaço). Comoos sinais produzidos pelas antenas são ortogonais este esquema é também conhecido como OSTBC (“Orthogonal Space-TimeBlock Codes”).

OSTBC 2× 1

No esquema de Alamouti, os sinais transmitidos são mostrados na Tab 5.2, ou seja, se no instante 0 são transmitidos ossímbolos x1 e x2 pelas antenas 1 e 2, respectivamente, então no próximo instante de tempo Ts são transmitidos os símbolos−x∗2 e x∗1 pelas mesmas antenas, onde x1 e x2 são os equivalentes passa-baixa dos sinais x1(t) e x2(t).

Antena 1 Antena 2Intervalo de 0 a Ts x1 x2

Intervalo de Ts a 2Ts −x∗2 x∗1

Tabela 5.2: Símbolos Transmitidos pelo Esquema de Alamouti.

Como dois símbolos (x1 e x2) são transmitidos em dois intervalos de sinalização, o esquema de Alamouti possui taxade 1 símb/Ts. Vamos supor que existe apenas uma antena de recepção, que o equivalente passa-baixa do canal entre a antenade transmissão 1 e a de recepção é h1 = α1e

jφ1 e que o canal entre a antena 2 e a antena de recepção é h2 = α2ejφ2 .

18

Portanto, as amostras na saída do filtro casado nos instantes Ts e 2Ts são dadas por:

z1 = h1x1 + h2x2 + n1 (5.64)z2 = −h1x

∗2 + h2x

∗1 + n2 (5.65)

onde n1 e n2 são as amostras dos equivalentes passa-baixa dos ruídos nos instantes Ts e 2Ts. Além disso, estamos supondoque o desvanecimento e a fase se mantém constantes nos dois intervalos de sinalização.

Aplicando o complexo conjugado na amostra z2, podemos reescrever as equações anteriores como:

z1 = h1x1 + h2x2 + n1 (5.66)z∗2 = h∗2x1 − h∗1x2 + n∗2 (5.67)

Se combinarmos as amostras z1 e z∗2 da seguinte forma:

z′

1 = h∗1z1 + h2z∗2 (5.68)

z′

2 = h∗2z1 − h1z∗2 (5.69)

então pode-se mostrar que as novas amostras z′

1 e z′

2 são dadas por:

z′

1 = (α21 + α2

2)x1 + α1e−jφ1n1 + α2e

jφ2n∗2 (5.70)

z′

2 = (α21 + α2

2)x2 + α2e−jφ2n1 − α1e

jφ1n∗2 (5.71)

Observe que as amostras z′

1 e z′

2 estão livres de interferência. Na primeira delas aparece somente x1 e na segunda somentex2. Observe ainda que o termo α2

1 + α22 significa a presença de uma diversidade de ordem 2.

Pode-se mostrar ainda que a relação sinal-ruído instantânea de ambos intervalos de sinalização é dada por:

γb(t) =1

2(α2

1 + α22)EbN0

(5.72)

O fator de 1/2 se deve ao fato que com duas antenas a potência transmitida em cada uma delas deve ser a metade da potênciatransmitida em um sistema com apenas uma antena. Ainda assim, a perda de potência de 3 dB é mais do que compensadapelo aumento da diversidade de transmissão. Portanto, o sistema de Alamouti apresenta uma perda de 3 dB em relação aum sistema com duas antenas de recepção. Nos sistemas de transmissão OFDM, a diversidade de transmissão é conseguidausando-se a técnica de Alamouti em subportadoras adjacentes, ao invés de em símbolos consecutivos.

A Fig. 5.12 apresenta o desempenho do sistema 2×1 de Alamouti para a modulação QPSK. Para efeitos de comparaçãoé mostrado o desempenho da modulação QPSK com diversidade 1, 2 e 4. Observe que de fato o sistema de Alamouti apresentadiversidade de ordem 2 e também uma perda de 3 dB em relação a um sistema de diversidade 2.

OSTBC 2× 2

Vamos explorar um sistema que apresenta simultaneamente diversidade de transmissão e de recepção. Considere portanto apresença de duas antenas de transmissão e duas de recepção. Vamos utilizar o esquema de Alamouti.

O equivalente passa-baixa do canal entre a antena de transmissão 1 e a antena 1 de recepção é h11 = α11ejφ11 , que o

canal entre a antena de transmissão 1 e a antena de recepção 2 é h12 = α12ejφ12 , que o canal entre a antena de transmissão

2 e a antena de recepção 1 é h21 = α21ejφ21 e finalmente que o canal entre a antena de transmissão 2 e a antena de recepção

2 é h22 = α22ejφ22 . Portanto, as amostras na saída do filtro casado nos instantes Ts e 2Ts no receptor da antena 1 são dadas

por:

z11 = h11x1 + h21x2 + n11 (5.73)z∗21 = h∗21x1 − h∗11x2 + n∗21 (5.74)

Por outro lado, as amostras na saída do filtro casado nos instantes Ts e 2Ts no receptor da antena 2 são dadas por:

z12 = h12x1 + h22x2 + n12 (5.75)z∗22 = h∗22x1 − h∗12x2 + n∗22 (5.76)

Se combinarmos as quatro amostras da seguinte forma:

z1 = h∗11z11 + h21z∗21 + h∗12z12 + h22z

∗22 (5.77)

z2 = h∗21z11 − h11z∗21 + h∗22z12 − h12z

∗22 (5.78)

19

Figura 5.12: Taxa de Erro de Bit do Sistema de Alamouti 2× 1 e 2× 2 em Função da Relação γb em dB.

então pode-se mostrar que as novas amostras z1 e z2 são dadas por:

z1 = (α211 + α2

12 + α221 + α2

22)x1 + α11e−jφ11n11 + α21e

jφ21n∗21 + α12e−jφ12n12 + α22e

jφ22n∗22

(5.79)z2 = (α2

11 + α212 + α2

21 + α222)x2 + α21e

−jφ21n11 − α11ejφ11n∗21 + α22e

−jφ22n12 − α12ejφ12n∗22

(5.80)

Novamente as amostras z1 e z2 estão livres de interferência, porém a diversidade obtida é de ordem 4.Pode-se mostrar ainda que a relação sinal-ruído instantânea de ambos intervalos de sinalização é dada por:

γb(t) =1

2(α2

11 + α212 + α2

21 + α222)EbN0

(5.81)

Este sistema também apresenta a perda de potência de 3 dB pelo fato de usar duas antenas de transmissão. Portanto, estesistema apresenta mesma diversidade, mas uma perda de 3 dB em relação a um sistema com quatro antenas de recepção. AFig. 5.12 apresenta o desempenho do sistema 2× 2 de Alamouti com a modulação QPSK.

De modo geral, seNt é o número de antenas de transmissão eNr é o número de antenas de recepção, então o esquemageral de Alamouti Nt ×Nr, que apresenta diversidade plena dada por NtNr existe apenas para algumas combinações de Nte Nr e em algumas situações o esquema não é ortogonal. Em caso afirmativo, este esquema apresenta diversidade dada porNtNr e perda de 10 log10Nt dB em relação a um sistema com NrNt antenas de recepção.

É possível também de se obter diversidade de transmissão utilizando códigos convolucionais (STTC - “Space TimeTrellis Codes”). Os esquemas STTC são aproximadamente 2 dB melhores que os esquemas STBC, mas por outro ladoapresentam maior complexidade de decodificação [?] [?].

5.9.2 Malha FechadaNeste caso, uma estimativa da amplitude e a fase do desvanecimento entre uma antena de transmissão e uma de recepçãopode ser enviada ao transmissor pelo canal de realimentação, conforme mostra a Fig. 5.11.

Existem algumas maneiras de se conseguir diversidade de transmissão utilizando malha fechada.

Diversidade por Ganho

Suponha que existam Nt antenas de transmissão e uma antena de recepção. Suponha que o transmissor conhece a amplitudee a fase do desvanecimento e suponha que o canal entre a i-ésima antena de transmissão e a antena de recepção é dada porhi = αie

jφi .

20

Para que o receptor possa fazer uma soma coerente dos sinais enviados pelas diversas antenas de transmissão, as fasesprecisam ser compensados nos transmissores. Além disso, se compensarmos também a amplitude, estaremos realizando umcombinador de razão máxima. No caso de um combinador de razão máxima, a antena 1 envia o sinal cujo equivalente passa-baixa é xh∗1, enquanto a antena 2 envia xh∗2 e assim sucessivamente. Portanto, a amostra na saída do filtro casado é dadapor:

z =

Nt∑i=1

α2ix+ n (5.82)

Pode-se mostrar ainda que a relação sinal-ruído instantânea é dada por:

γb(t) =1

Nt

Nt∑i=1

α2i

EbN0

(5.83)

isto é, este sistema apresenta diversidade igual a Nt. Além disso, apresenta a perda de potência igual a 10 log10Nt dB pelofato de usar simultaneamente todas estas antenas de transmissão. Se tivéssemos compensado apenas a fase teríamos realizadoum combinador de ganhos iguais, que possui um desempenho levemente inferior ao do combinador de razão máxima.

Diversidade por Seleção

Outra possibilidade é permitir que apenas uma antena transmita de um conjunto deNt antenas. Neste caso, estamos realizandoum combinador por seleção no transmissor. Como apenas uma antena transmite não existe a perda de 10 log10Nt dB dosesquemas que utilizam diversidade de tranmissão, embora a diversidade obtida seja igual a Nt. A relação sinal-ruído médiadeste tipo de esquema é dada por (5.56).

5.10 Multiplex EspacialO objetivo principal no caso do multiplex espacial não é conseguir diversidade de transmissão, mas sim transmitir símbolosdiferentes através de antenas diferentes, de tal modo a se aumentar a taxa de bits transmitidos.

Vamos supor que o transmissor utiliza Nt antenas e o receptor Nr. A amostra recebida na k-ésima antena é dada por:

yk =

Nt∑i=1

hikxi + nk

onde hik = αikejφik é a resposta do canal entre a i-ésima antena de transmissão é a j-ésima antena de recepção, αik é a

amplitude do desvanecimento Rayleigh e φik é a fase daquele enlace. Além disso, xi é o símbolo enviado pela i-ésima antenade transmissão e nk é o ruído gaussiano na k-ésima antena de recepção.

Usando notação vetorial, temos que o vetor dos símbolos recebidos y é dado por:

y = Hx+ n (5.84)

onde y tem dimensão Nr × 1, H é a matriz do canal com dimensão Nr × Nt, x é o vetor de símbolos transmitidos comdimensão Nt × 1 e n é o vetor de ruídos com dimensão Nr × 1.

Assim como no caso de diversidade de transmissão, existem dois enfoques de multiplex espacial: malha aberta emalha fechada.

5.10.1 Malha AbertaDetector Ótimo - Máxima Verossimilhança - ML

O detector ótimo, ou seja, baseado no critério de ML, escolhe o vetor de símbolos transmitidos x que minimiza:

x = |y −Hx|2 (5.85)

Portanto, para todas as combinações possíveis de símbolos transmitidos pelasNt antenas de transmissão, aquela que apresen-tar menor distância em relação ao vetor de amostras recebidas será a escolhida. Assim, a complexidade deste decodificador éO(MNt), onde M é o número de símbolos da constelação e Nt é o número de antenas de transmissão.

Existem vários outros detectores lineares, tais como o detector descorrelacionador (D - “Decorrelating”), o detectorMMSE (“Minimum Mean Square Error”), além de detectores não-lineares como é o caso do detector SIC (“SuccessiveInterference Cancellation”) que cancela a interferência sucessivamente [?]. Estes detectores são sub-ótimos, isto é, inferioresao ML, porém apresentam menor complexidade.

21

Detector Descorrelacionador

Este detector cancela a interferência utilizando no receptor a inversa da matriz de canal, ou seja, G = H−1. Portanto, de(5.84) temos que:

H−1y = x+H−1n (5.86)

Embora este detector consiga eliminar toda a interferência, o preço a ser aumento é pelo aumento do ruído.Existirá inversa quando a matriz de canal H for quadrada, isto é, quando Nt = Nr. Quando a matriz H não for

quadrada, devemos usar a matriz pseudo-inversa, definida como G = (H∗H)−1H∗.

BLAST

O primeiro sistema prático a utilizar multiplex espacial foi inventado pelo Bell Labs e se tornou conhecido como BLAST(“Bell Labs Layered Space-Time”). As versões mais importantes são o D-BLAST (Diagonal) e V-BLAST (Vertical). OD-BLAST forma um arranjo diagonal das amostras recebidas pelas diversas antenas, enquanto que o V-BLAST forma umarranjo vertical. O V-BLAST é considerado mais eficiente, pois evita os vazios do arranjo no início e no final de cada bloco.

O esquema V-BLAST utiliza um detector SIC. A amostra de melhor relação SNR é detectada em primeiro lugar. Ainterferência produzida por este símbolo é eliminada dos demais. O símbolo com a segunda melhor relação SNR é detectadoa seguir, sendo a interferência produzida por ele eliminada dos demais símbolos, e assim sucessivamente. Protótipos doV-BLAST conseguem atingir eficiência espectral de até 20 b/s/Hz [?].

5.10.2 Malha FechadaNeste caso, o transmissor conhece a amplitude e a fase do desvanecimento entre cada antena transmissora e receptora. Nestecaso, o transmissor pode decompor a matriz de canal em:

H = UGVH (5.87)

onde U e V são matrizes unitárias, ou seja, UHU = I e VHV = I, onde I é uma matriz identidade e além disso G é umamatriz diagonal. A matriz U tem dimensãoNr×Nr, a matriz V tem dimensãoNt×Nt e a matriz G tem dimensãoNr×Nt.O transmissor modifica os símbolos transmitidos através de:

x′= Vx (5.88)

O receptor conhece H e também a sua decomposição. Multiplicando UH por (5.84) temos que:

z = UHy

= UHHx′+UHn

= Gx+UHn (5.89)

onde usamos (5.87) e (5.88). Como G é uma matriz diagonal as amostras recebidas estão livres de interferência e além dissocomo M é uma matriz unitária o ruído não tem a sua variância aumentada. Deste modo, conhecendo-se o estado do canal notransmissor, toda a interferência pode ser eliminada preservando a potência do ruído.

5.11 Leitura AdicionalProvavelmente, a melhor análise de desempenho de sistemas de transmissão digital em canais com desvanecimento planoe seletivo, o leitor vai encontrar em [?]. Um bom material de introdução aos diversos tipos de diversidade, principalmenteespacial e também sobre multiplex espacial pode ser obtido em [?]. Um livro bastante completo sobre técnicas de eliminaçãode interferência, mas não muito didático, o leitor vai encontrar em [?]. Um livro que apresenta outros esquemas de STBC,assim como as regras de construção de códigos espaço-temporais de treliça pode ser obtido em [?]. Os principais tópicosdeste capítulo podem ser encontrados em [?].

5.12 Rotinas de Simulação

5.12.1 Modulação 4-PSK com DesvanecimentoVamos apresentar a seguir, programa que permite realizar a simulação da modulação 4-PSK em um canal com desvanecimentolento e plano. Para o desvanecimento é gerada uma variável Rayleigh, em que o segundo momento é normalizado 2σ2 = 1,

22

tal que a relação SNR média é igual a γb = Eb/N0. Deste modo, o desvio padrão do ruído pode ser obtido usando que

σ =√

12γb

.

clcclearm=4;nn=1000;for gbdb=10:5:35;gb=10.^(gbdb./10);sig=sqrt(1/2./gb);e=0;cont=0;while e<100

bi=2*round(rand(1:nn))-1;bq=2*round(rand(1:nn))-1;b=bi+%i*bq;n=sig*rand(1:nn,’normal’)+%i*sig*rand(1:nn,’normal’);fad=sqrt((rand(1:nn,’normal’)/sqrt(2)).^2+(rand(1:nn,’normal’)/sqrt(2)).^2);r=fad.*b+n;for i=1:nn

if real(r(i))>=0 & imag(r(i))>=0ci(i)=1;cq(i)=1;

elseif real(r(i))<=0 & imag(r(i))>=0ci(i)=-1;cq(i)=1;

elseif real(r(i))<=0 & imag(r(i))<=0ci(i)=-1;cq(i)=-1;

elseif real(r(i))>=0 & imag(r(i))<=0ci(i)=1;cq(i)=-1;

endende=e+sum(abs(bi-ci’))/2+sum(abs(bq-cq’))/2;cont=cont+1;

enddisp(e/log2(m)/nn/cont)

end

5.12.2 Modulação 2-PSK com Desvanecimento e DiversidadeApresentamos a seguir, programa que permite realizar a simulação da modulação 2-PSK em um canal com desvanecimentolento e plano e diversidade de ordem L. Como a relação sinal-ruído média total é igual a γb = Lγbi, onde γbi é a relaçãosinal-ruído média do i-ésimo canal. Deste modo, o desvio padrão do ruído pode ser obtido usando que σ =

√L

2γb.

clcclearnn=1000;l=2;for gbdb=10:5:20;

gb=10.^(gbdb./10);sig=sqrt(l/2./gb);e=0;cont=0;while e<100

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b=2*round(rand(1:nn))-1;for i=1:l

n(i,:)=sig*rand(1:nn,’normal’);fad(i,:)=sqrt((rand(1:nn,’normal’)/sqrt(2)).^2+(rand(1:nn,’normal’)/sqrt(2)).^2);

endfor i=1:l

r(i,:)=fad(i,:).*b+n(i,:);r(i,:)=r(i,:).*fad(i,:);

endrr=0;for i=1:l

rr=rr+r(i,:);endc=sign(rr);e=e+sum(abs(b-c))/2;cont=cont+1;

enddisp(e/nn/cont)

end

5.12.3 Diagrama de Radiação com Anulação nas Posições dos InterferentesApresentamos a seguir um programa que permite obter o diagrama de radiação normalizado de um arranjo de antenas queproduz nulo nas posições dos interferentes.

clcclearangulo1=90;angulo2=150;angulo3=60;theta1=angulo1*%pi/180;theta2=angulo2*%pi/180;theta3=angulo3*%pi/180;a=[1 1 1;exp(-%i*%pi*cos(theta1)) exp(-%i*%pi*cos(theta2))exp(-%i*%pi*cos(theta3));exp(-2*%i*%pi*cos(theta1)) exp(-2*%i*%pi*cos(theta2))exp(-2*%i*%pi*cos(theta3))];a=a/sqrt(3);ii=[1 0 0];w=ii*inv(a);for i=1:100

theta(i)=2*%pi/100*(i-1);aaa=[1;exp(-%i*%pi*cos(theta(i)));exp(-2*%i*%pi*cos(theta(i)))];aaa=aaa/sqrt(3);y(i)=abs(w*aaa).^2;angulo(i)=theta(i)*180/%pi;

endplot(angulo,y)xgrid(1);xtitle(’ ’,’Ângulo (graus)’,’Diagrama de Radiação Normalizado’);

5.12.4 OSTBC - Sistema de Alamouti 2× 1

É apresenta a seguir programa que permite obter o desempenho em termos da taxa de erro de bit em função da relação sinal-ruído média (γb) em dB para a modulação QPSK utilizando o sistema de Alamouti com duas antenas de transmissão e umade recepção.

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clcclearm=4;nn=1000;for gbdb=0:5:20;gb=10.^(gbdb./10);sig=sqrt(2.*gb.^(-1));e=0;cont=0;while e<100

bi1=2*round(rand(1:nn))-1;bq1=2*round(rand(1:nn))-1;s1=bi1+%i*bq1;bi2=2*round(rand(1:nn))-1;bq2=2*round(rand(1:nn))-1;s2=bi2+%i*bq2;a1=sqrt((rand(1:nn,’normal’)/sqrt(2)).^2+(rand(1:nn,’normal’)/sqrt(2)).^2);a2=sqrt((rand(1:nn,’normal’)/sqrt(2)).^2+(rand(1:nn,’normal’)/sqrt(2)).^2);theta1=2*%pi*rand(1:nn);theta2=2*%pi*rand(1:nn);h1=a1.*exp(%i*theta1);h2=a2.*exp(%i*theta2);n1=sig*rand(1:nn,’normal’)+%i*sig*rand(1:nn,’normal’);n2=sig*rand(1:nn,’normal’)+%i*sig*rand(1:nn,’normal’);z1=h1.*s1+h2.*s2+n1;z2c=conj(-h1.*conj(s2)+h2.*conj(s1)+n2);z1n=conj(h1).*z1+h2.*z2c;z2n=conj(h2).*z1-h1.*z2c;for i=1:nn

if real(z1n(i))>=0 & imag(z1n(i))>=0ci1(i)=1;cq1(i)=1;

elseif real(z1n(i))<=0 & imag(z1n(i))>=0ci1(i)=-1;cq1(i)=1;

elseif real(z1n(i))<=0 & imag(z1n(i))<=0ci1(i)=-1;cq1(i)=-1;

elseif real(z1n(i))>=0 & imag(z1n(i))<=0ci1(i)=1;cq1(i)=-1;

endif real(z2n(i))>=0 & imag(z2n(i))>=0

ci2(i)=1;cq2(i)=1;

elseif real(z2n(i))<=0 & imag(z2n(i))>=0ci2(i)=-1;cq2(i)=1;

elseif real(z2n(i))<=0 & imag(z2n(i))<=0ci2(i)=-1;cq2(i)=-1;

elseif real(z2n(i))>=0 & imag(z2n(i))<=0ci2(i)=1;cq2(i)=-1;

end

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ende=e+sum(abs(bi1-ci1’))/2+sum(abs(bq1-cq1’))/2+sum(abs(bi2-ci2’))/2+sum(abs(bq2-cq2’))/2;cont=cont+1;

enddisp(e/log2(m)/nn/cont/2)

end

5.13 Exercícios de Simulação1. Obtenha a probabilidade de erro de bit média em função da relação γb para a modulação 2-PSK em canal com desva-

necimento plano e lento. Faça a simulação variando a probabilidade de erro no intervalo de 0 a 10−6. Compare com asexpressões teóricas.

2. Repita o Exerc. 1 para a modulação 4-PSK.

3. Repita o Exerc. 1 para a modulação 16-QAM.

4. Repita o Exerc. 1 para a modulação 2-FSK ortogonal coerente.

5. Obtenha a probabilidade de erro de bit média em função da relação γb para a modulação 2-PSK em canal com desva-necimento plano e lento e diversidade de ordem L. Faça a simulação variando a probabilidade de erro no intervalo de0 a 10−6. Use um combinador de razão máxima, para L igual a 1, 2, 4 e 8. Compare com as expressões teóricas.

6. Repita o Exerc. 5 para a modulação 4-PSK.

7. Repita o Exerc. 5 para a modulação 16-QAM.

8. Repita o Exerc. 5 para a modulação 2-FSK ortogonal coerente.

9. Repita o Exerc. 5 para as diversas modulações utilizando desta vez o esquema de diversidade de ganhos iguais. Comparecom a expressão teórica do combinador de razão máxima. Avalie a perda de desempenho.

10. Repita o Exerc. 5 para as diversas modulações utilizando desta vez o esquema de diversidade por seleção, em queapenas o canal com melhor relação SNR é utilizado. Compare com a expressão teórica do combinador de razãomáxima. Avalie a perda de desempenho.

11. Repita o Exerc. 1 para a modulação 2-PSK com código corretor de erros convolucional de taxa 1/2 e distância livre 5.

12. Utilizando o método de Monte Carlo, obtenha o valor médio do fator de redução de interferência, dado por (5.60).Coloque um número grande de usuários uniformemente distribuídos na sua posição angular. Obtenha o valor médiopara um arranjo linear com N = 2, N = 4 e N = 8 antenas.

13. Obtenha a probabilidade de erro de bit média em função da relação γb para o esquema OSTBC 2× 1 de Alamouti paraas modulações 4-PSK e 16-QAM.

14. Repita o Exerc. 13 para o esquema OSTBC 2× 2 de Alamouti para as modulações 4-PSK e 16-QAM.

15. Obtenha a probabilidade de erro de bit média em função da relação γb para um esquema que utiliza diversidade espaço-temporal de malha fechada. Utilize no receptor um combinador de máximo ganho.

16. Repita o Exerc. 15 para um combinador por seleção.

17. Obtenha a probabilidade de erro de bit média em função da relação γb para o caso de multiplex espacial. ConsidereNt = 2 e Nr = 2. Considere modulação 4-PSK e detector ML dado por (5.85). Compare com o desempenho de umesquema com mesma eficiência espectral como é o caso do 16-QAM.

18. Repita o Exerc. 17 para o caso em que Nt = 3 e Nr = 3 e modulação 4-PSK. Compare com o desempenho de umesquema com mesma eficiência espectral como é o caso do 64-QAM.

19. Repita o Exerc. 17 para o caso do detector descorrelacionador dado por (5.86).

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5.14 Problemas1. Obtenha (5.5), utilizando que γb = α2Eb/N0 para o caso em que α tem distribuição Rayleigh.

2. Outro modo de se determinar a probabilidade de erro de bit média da modulação 2-PSK em um canal plano comdesvanecimento lento, consiste em escrever a probabilidade de erro de bit condicional dada por (5.4) em função de:

γb = α2 EbN0

e resolver

Pb =

∫ ∞0

Pb|α(α)p(α)dα

sabendo que o desvanecimento α tem distribuição Rayleigh.

3. Obtenha (5.9) partir de (5.8). Utilize em primeiro lugar a expansão em série de:

x

1 + x≈ 1− 1

x

para x� 1. Em segundo lugar, use esta outra expansão em série:√1 +

1

x≈ 1 +

1

2x

para x� 1.

4. Obtenha a aproximação da probabilidade de erro por bit média para a modulação M -QAM dada por (5.25), a partir daprobabilidade de erro por símbolo instantânea dada por (5.23) e supondo que γb = 2(M − 1)/3 log2M .

5. Considere um canal seletivo em frequência. Escreva a variável de decisão e esboce um receptor “rake” para a modulaçãoDPSK.

6. Repita o Exerc. 5 para a modulação 2-FSK com demodulação coerente.

7. Repita o Exerc. 5 para a modulação 2-FSK com demodulação não-coerente.

8. Para o combinador por seleção γb = max(γb,1, γb,2, · · · , γb,L). Supondo que γb,i tem distribuição exponencial negativadada por (5.5), então usando (??) mostre que a função acumulativa de probabilidade de γb é dada por FΓb

(γb) =FΓb,1

(γb,1)FΓb,2(γb,2) · · ·FΓb,L

(γb,L). A partir disto mostre que pΓb(γb) = LpΓb,i

(γb)FL−1Γb,i

(γb) e obtenha tambémque (5.55).

9. Obtenha (5.70) e (5.71) substituindo (5.66) e (5.67) em (5.68) e (5.69).

10. Obtenha (5.72) a partir de (5.70) e (5.71).

11. Obtenha (5.79) e (5.80) a partir da substituição de (5.73), (5.74), (5.75), (5.76) em (5.77) e (5.78).

12. Obtenha (5.81) a partir de (5.79) e (5.80).

13. Suponha um sistema espaço-temporal com Nt = 2 e Nr = 1 que utiliza multiplex espacial. Considere que h1 = 1− j,h2 = 1+ j e que n = 0, 1 + j0, 1. Usando modulação 4-PSK em que os símbolos recebidos na ausência de ruído e dedesvanecimento são iguais 1, j, −1, −j. Usando o detector ML determine os símbolos mais prováveis de terem sidotransmitidos, sabendo que y = 0, 1− j1, 9.

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