MÓDULO 5 DISTRIBUIÇÃO DE WEIBULL - sucena.eng.brsucena.eng.br/IME/Mod5_Weibull2008.pdf · Curso de Especialização em Transporte Ferroviário de Carga O físico Ernest HjalmarWallodiWeibull

Curso de Especialização em Transporte Ferroviário de Carga

MÓDULO 5MÓDULO 5

DISTRIBUIÇÃO DE WEIBULLDISTRIBUIÇÃO DE WEIBULL


O físico Ernest Hjalmar Wallodi Weibull nasceu no dia 18 de junho de 1887

na Suécia. Ele publicou vários trabalhos na área de engenharia dos materiais,

inclusive estudos sobre resistência de materiais, fadiga e ruptura em sólidos,

e propriedades de esferas e de rolos.

A distribuição de probabilidade que leva seu nome foi estudada a partir de

seu artigo A Statistical Distribution Function of Wide Applicability, publicada

no Journal of Applied Mechanics, em 1951, baseando-se nos estudos sobre a

resistência de aços.


Aplica-se na Análise da Confiabilidade pois permite:

� Representar falhas típicas de partida (mortalidade infantil);

� Falhas aleatórias;

� Falhas devido ao desgaste;

� Obter parâmetros significativos da configuração das falhas;

� Representação gráfica simples.


A probabilidade de falhar um componente é dada por:

Considerando que t ≥ t0 e β > 0.

β

η)( 0

1)(

tt

etF

−−

−=

A confiabilidade de um componente é dada por:

β

η)( 0

)(

tt

etR

−−

=

A taxa de falhas instantânea é expressa por:

10 )()( −−= β

ηηβ

λtt

t


Significado dos parâmetros t0, β e η da Distribuição de Weibull.

t0 - Vida Mínima ou Confiabilidade Intrínseca (tempo de operação o qual o

equipamento passa a apresentar falhas, ou seja, intervalo de tempo

que o equipamento não apresenta falhas).

Em muitos casos típicos de desgaste, transcorre um intervalo de tempo

(t0) significativo até que ocorram as primeiras falhas. A taxa de falhas

λ(t) só é diferente de zero e crescente após o tempo t0, de modo que o

fator tempo nas expressões de Weibull aparece sempre sob a forma t -

t0.


η - Vida Característica ou Parâmetro de Escala

Intervalo de tempo entre t0 e t no qual ocorrem 63,2% das falhas,

restando portanto, 36,8% de itens sem falhar.

Quando t - t0 = η, R(t) = e-1 = 0,368 = 36,8%.

β - Fator de Forma (indica a forma da curva e a característica das falhas).

Quando β < 1 - mortalidade infantil.

Quando β = 1 - falhas aleatórias (função exponencial

negativa).

Quando β > 1 - falhas por desgaste.


Outras verificações para β:

β > 1 - Pode ocorrer situações as quais as falhas por desgaste ocorram

depois de um tempo finito livre de falhas, e um valor de “ b = 1 " é obtido.

Isto pode ocorrer quando uma amostragem contém uma proporção de

itens imperfeitos, acarretando falhas antes de um tempo finito livre de

falhas. Os parâmetros da Distribuição de Weibull dos modos de falhas

por desgaste podem ser deduzidos se forem eliminados os itens

imperfeitos e analisados os seus dados separadamente.


β = 1 - Pode ser uma indicação que os modos de falhas múltiplos estão

presentes ou que os dados coletados dos tempos para falhar são

suspeitos. Este é freqüentemente o caso dos sistemas os quais

diferentes componentes têm diferentes idades, e o tempo individual de

operação dos componentes não estão disponíveis. Uma taxa de falhas

constante pode também indicar que as falhas são provocadas por

agentes externos, tais como: uso inadequado do equipamento ou

técnicas inadequadas de manutenção.


Análise de Weibull pelo Microsoft Excel

1 – Coletar os dados de TPF (Tempo Para Falhar) do componente.

2 – Calcular a amplitude do ROL:

R = Maior Valor Observado – Menor Valor Observado

3 – Calcular a quantidade de classes (Regra de Sturges):

K = 1 + 3,3 log N,

sendo N a quantidade de observações da amostra.

4 – Calcular a amplitude do intervalo da classe: h = R / K

5 – Colocar o número de ordem, seqüencial, de cada classe, ou seja, de 1

até K, na primeira coluna de uma tabela.

6 – Colocar em duas colunas da planilha os limites inferior e superior de

cada intervalo da classe.

7 – Colocar em uma terceira coluna o valor médio de cada intervalo.


8 – Determinar e colocar em uma quarta coluna a freqüência das classes

(Fi). Fi é a quantidade de dados que estão contidos na classe.

9 – Calcular e colocar em uma quinta coluna a freqüência acumulada (Fa).

Fa é a soma de todas as observações inferiores ao limite superior de um

dado intervalo de classe.

10 – Calcular e colocar em uma sexta coluna a freqüência relativa simples

observada (Frso). Frso é a relação entre freqüência da classe e a

quantidade total de observações: Frso (%) = Fi / N.


11 - Calcular e colocar em uma sétima coluna a freqüência relativa

acumulada observada (Frao). Frao é a relação entre a freqüência

absoluta e a quantidade total de observações: Frao (%) = Fa / N. Neste

caso, Frao será denominado F(t).

Obs.: Caso algum F(t) seja igual a 1, deve-se fazer Y = 0, senão acarretará

em erro de cálculo de Y = Ln { - Ln [1 – F(t)]}

12 – Na oitava coluna calcular os valores de Y baseando-se em Ln { - Ln [1

– F(t)]}.


13 – Nas próximas colunas, devem-se calcular tantos valores de X quantos

forem os valores estipulados de t0. Os valores de X são calculados por

Ln (t - t0). Para cada variável independente X, com a variável

dependente Y, deve-se efetuar a regressão linear para determinar os

coeficientes de Weibull conforme o que segue:

( )

β

η

−−

−=0

1

tt

etF

( )[ ]{ } ( ) ( )ηββ t tF-1 LnLnLnLn ⋅−⋅=−

bXaY +⋅=

βηb

e

−

=


Observações

� Os coeficientes da reta de regressão (angular e linear) são:

� O maior valor de t0 deve ser menor que o menor TPF, pois Ln (t - t0)

retornaria erro caso t = t0.

� Para cada t0, e conseqüentemente, para cada X, devem-se calcular os

Coeficientes de Correlação de Pearson (r) de cada regressão. O maior r

será aquele que fornecerá os parâmetros β e η da distribuição de Weibull.

a = ΣΣΣΣXY - nXY

(Σ(Σ(Σ(ΣX ) 2 - nX 2b = Y - aX


� O Coeficiente de Correlação de Pearson (r) varia de -1 a

1 e é calculado por:

nΣΣΣΣXY - ΣΣΣΣX ΣΣΣΣY

[nΣΣΣΣX 2 -(ΣΣΣΣX) 2][nΣΣΣΣY 2 - (ΣΣΣΣY) 2]r =


Exemplo – Baseando-se na tabela a seguir que apresenta os resultados de

medidas de tempos para falhar (TPF) de um truque, em dias, calcule os

parâmetros da distribuição de Weibull.

6323829374576317734

18522534184315294048

4921622116450172431

3829477721060508037

639232392939308648


12h considerado

7K considerado

12,11Amplit.do Interv.da Classe (h)

6,61Quant.de Classes (K)

50Quant. de Observações

80Amplitude do ROL (R)

6Menor Valor

86Maior Valor

≥

10,045028490787

0,960,064837278666

0,90,044526066545

0,860,184394854424

0,680,2634133642303

0,420,2421122430182

0,180,18991218<61

F(t) = FraoFrsoFaFiValor

Médio (t)ClassesOrdem

Até o item 11


5t0(6)

4t0(5)

3t0(4)

2t0(3)

1t0(2)

0t0(1)

24,66724,95225,21725,46425,69825,9200,585

4,3694,3824,3944,4074,4194,4310,000

4,2054,2204,2344,2484,2634,2771,169

4,0074,0254,0434,0604,0784,0940,834

3,7613,7843,8073,8293,8503,8710,676

3,4343,4663,4973,5263,5553,5840,131

2,9442,9963,0453,0913,1353,178-0,607

1,9462,0792,1972,3032,3982,485-1,617

Ln (t-t06)Ln (t-t05)Ln (t-t04)Ln (t-t03)Ln (t-t02)Ln (t-t01)

Valores de XY

Até parte do item 13

ΣΣΣΣ


Até parte do item 13

ΣΣΣΣ

6,3136,1185,9495,8005,6685,55091,22592,84094,39895,90697,36898,7885,521

0,0000,0000,0000,0000,0000,00019,09219,20219,31119,41919,52619,6320,000

4,9154,9334,9504,9674,9835,00017,67917,80417,92818,05018,17018,2901,367

3,3423,3573,3723,3873,4013,41516,05916,20316,34616,48716,62616,7640,696

2,5432,5582,5742,5882,6032,61714,14714,32014,49114,65814,82414,9860,457

0,4480,4520,4560,4600,4640,46811,79212,01112,22612,43512,64012,8420,017

-1,789-1,820-1,849-1,878-1,905-1,9318,6708,9749,2699,5559,83110,1000,369

-3,147-3,363-3,553-3,724-3,878-4,0193,7874,3244,8285,3025,7506,1752,615

X6YX5YX4YX3YX2YX1YX62X5

2X42X3

2X22X1

2Y2

Dados para o Cálculo da Regressão


0,87631,165-3,3990,988X6

0,87332,584-3,6051,034X5

0,87033,952-3,8051,079X4

0,86835,278-3,9971,122X3

0,86536,572-4,1861,163X2

0,86237,837-4,3691,203X1

rηb

(coef.linear)β

(a - coef. angular)

Resultados das Regressões


Branco Filho, Gil. Confiabilidade Aplicada a Manutenção, Comprove

Engenharia, Minas Gerais, 1995.

Bergamo Filho, Valentino. Confiabilidade Básica e Prática, 108 pgs, EditoraEdgard Blücher, São Paulo, 1997.

Scapin, Carlos Alberto. Análise Sistêmica de Falhas. 131 pgs, Editora de

Desenvolvimento Gerencial, ISBN 85-86948-18-7, Belo Horizonte, 1999.

Seixas, Eduardo, Confiabilidade e Manutenibilidade, Qualytek, Rio de Janeiro, 2001.

Lafraia, João Ricardo Barusso. Manual de Confiabilidade, Mantenabilidade e Disponibilidade. 374 pgs, Editora Qualitymark, ISBN 85-7303-294-4, Rio de

Janeiro, 2001.

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