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Módulo IV. Módulo IV: Leis de potência e auto-similaridade Paulo R. Guimarães Jr Marcus A. M. de Aguiar Instituto de Física “Gleb Wataghin” UNICAMP. F016: Física aplicada à Ecologia. Módulo IV. Conteúdo Fractais Leis de Potência Passeios aleatórios Resumo. - PowerPoint PPT Presentation
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Módulo IV: Leis de potência e auto-similaridadeMódulo IV: Leis de potência e auto-similaridade
Paulo R. Guimarães JrPaulo R. Guimarães Jr
Marcus A. M. de AguiarMarcus A. M. de Aguiar
Instituto de Física “Gleb Wataghin” Instituto de Física “Gleb Wataghin”
UNICAMPUNICAMP
F016: Física aplicada à Ecologia
Módulo IV
ConteúdoConteúdo
1. Fractais2. Leis de Potência3. Passeios aleatórios4. Resumo
Módulo IV
F016: Física aplicada à Ecologia
Ao final desta aula, você deve ser capaz de: Ao final desta aula, você deve ser capaz de:
1. Entender a relação entre auto-similaridade e lei de potência
2. Entender as implicações para a diversidade da estrutura fractal da natureza
Módulo IV
F016: Física aplicada à Ecologia
ConteúdoConteúdo
1.1. FractaisFractais2. Leis de Potência3. Passeios aleatórios4. Resumo
Módulo IV
F016: Física aplicada à Ecologia
Cálculo da Dimensão FractalCálculo da Dimensão Fractal
Cobrindo uma reta de comprimento 1 com segmentos menores:
Tamanho Número
1 1
Tamanho Número
1 1
½ 2
Tamanho Número
1 1
½ 2
Dividindo o lado do segmento por 2, o número de segmentos multiplica por 2. Veja que N() = 1/.
Tamanho Número
1 1
½ 2
¼ 4
Cobrindo um quadrado de lado 1 com quadrados menores:
Tamanho Número
1 1
Tamanho Número
1 1
½ 4=22
Tamanho Número
1 1
½ 4=22
¼ 16=4*4=42
Tamanho Número
1 1
½ 4=22
¼ 16=42
1/2k (2k)2 = (1/)2
Dividindo o lado por 2, o número de quadrados multiplica por 4 = 22. Veja que N() = (1/)2 .
Cobrindo cubo de lado 1 com cubos menores:
Tamanho Número
1 1
Tamanho Número
1 1
½ 8=23
Tamanho Número
1 1
½ 8=23
¼ 64=43
1/2k (2k)3 = (1/)3
Dividindo o lado por 2, o número de cubos multiplica por 8 = 23.
Agora temos que N() = (1/)3 .
Podemos então definir a dimensão de uma figura com base nesse processo:
]/1log[
)](log[
N
d
d
N
1)(
Tomando o logaritmo dos dois lados podemos isolar d:
1
log1
log)](log[ dNd
e
Dimensão da Curva de Koch:
Tamanho Número
1 1
1/3 4
1/9 16=42
1/27 64=43
1/3k 4k
....26185.13log
4log
3log
4log
3log
4log
]/1log[
)](log[
k
kNd
k
k
FractaisFractais
1. Estruturas auto-similares
Módulo IV
F016: Física aplicada à Ecologia
Auto-similaridade estatísticaAuto-similaridade estatística
Idéia:Idéia:
A medida de uma característica em uma certa parte do sistema é proporcional ao valor da medida da mesma característica para o sistema inteiro.
Módulo IV
F016: Física aplicada à Ecologia
Auto-similaridade estatísticaAuto-similaridade estatística
Módulo IV
F016: Física aplicada à Ecologia
espacial escala certa uma em medida população
(ha) espacial escala r
população
N(r)
N
Auto-similaridade estatísticaAuto-similaridade estatística
Módulo IV
F016: Física aplicada à Ecologia
N(r)r)N( ~
Auto-similaridade estatísticaAuto-similaridade estatística
Módulo IV
F016: Física aplicada à Ecologia
kN(r)r)N(
Auto-similaridade estatísticaAuto-similaridade estatística
Módulo IV
F016: Física aplicada à Ecologia
kN(r)r)N(
Como investigar auto-similaridade estatística?Como investigar auto-similaridade estatística?
• A assinatura: leis de potência
Módulo IV
F016: Física aplicada à Ecologia
ConteúdoConteúdo
1. Fractais2.2. Leis de PotênciaLeis de Potência3. Passeios aleatórios4. Resumo
Módulo IV
F016: Física aplicada à Ecologia
Lei de potênciaLei de potência
Módulo IV
F016: Física aplicada à Ecologia
ArrN
Lei de potênciaLei de potência
Módulo IV
F016: Física aplicada à Ecologia
ArrN
Lei de potência: exemploLei de potência: exemplo
Módulo IV
F016: Física aplicada à Ecologia
2rrN
Lei de potência: exemploLei de potência: exemplo
Módulo IV
F016: Física aplicada à Ecologia
2rrN
Lei de potência: exemploLei de potência: exemplo
Módulo IV
F016: Física aplicada à Ecologia
222 rrrN
Lei de potência e auto-similaridadeLei de potência e auto-similaridade
Módulo IV
F016: Física aplicada à Ecologia
2rrN
)(222 rNrrN
Lei de potência e auto-similaridadeLei de potência e auto-similaridade
Módulo IV
F016: Física aplicada à Ecologia
)()(2 rkNrNrN
Lei de potência e auto-similaridadeLei de potência e auto-similaridade
Módulo IV
F016: Física aplicada à Ecologia
)()(2 rkNrNrN
Lei de potência e auto-similaridadeLei de potência e auto-similaridade
Módulo IV
F016: Física aplicada à Ecologia
)log(
)log(
brrN
brrN
Lei de potênciaLei de potência
Módulo IV
F016: Física aplicada à Ecologia
ArrN
r
N(r) ArrN
N(r)
r
ArrN
inclinação
Maioria das espécies tem poucas interações
Freqüência baixa de espécies com muitas
interações
ConteúdoConteúdo
1. Fractais2. Leis de Potência3.3. Passeios aleatóriosPasseios aleatórios4. Resumo
Módulo IV
F016: Física aplicada à Ecologia
Passeios aleatórios
Idéia:Idéia:
Um processo estocástico no qual uma partícula se move pelo espaço através de saltos aleatórios.
Módulo IV
F016: Física aplicada à Ecologia
Passeios aleatóriosPasseios aleatórios
D = 2 o passeio aleatório garante a cobertura de planos, mas não de espaços tridimencionais
Reações biológicas ocorrem em superfícies
E a estrutura tridimencional dos ambientes?
Módulo IV
F016: Física aplicada à Ecologia
Dimensão da Curva de Koch:
Tamanho Número
1 1
1/3 4
1/9 16=42
1/27 64=43
1/3k 4k
....26185.13log
4log
3log
4log
3log
4log
]/1log[
)](log[
k
kNd
k
k
d = 1.5
DL 1~
ConteúdoConteúdo
1. Fractais2. Leis de Potência3. Passeios aleatórios4. Resumo
Módulo IV
F016: Física aplicada à Ecologia
FractaisFractais
1. Estruturas auto-similares
Módulo IV
F016: Física aplicada à Ecologia
Auto-similaridade estatísticaAuto-similaridade estatística
Módulo IV
F016: Física aplicada à Ecologia
kN(r)r)N(
N(r)
r
ArrN
inclinação
Maioria das espécies tem poucas interações
Freqüência baixa de espécies com muitas
interações