Módulo III: Difusão Paulo R. Guimarães Jr Marcus A. M. de Aguiar

Módulo III: Difusão Módulo III: Difusão

Paulo R. Guimarães JrPaulo R. Guimarães Jr

Marcus A. M. de AguiarMarcus A. M. de Aguiar

Instituto de Física “Gleb Wataghin” Instituto de Física “Gleb Wataghin”

UNICAMPUNICAMP

F016: Física aplicada à Ecologia

Módulo III

ConteúdoConteúdo

1. Difusão como força criativa?2. Modelos de duas espécies com difusão3. Instabilidades de Turing4. Resumo

Módulo III


Ao final desta aula, você deve ser capaz de: Ao final desta aula, você deve ser capaz de:

1. Entender como difusão pode se tornar uma força criativa2. Compreender os passos para a análise da instabilidade

espacial

Módulo I


ConteúdoConteúdo

1.1. Difusão como força criativa?Difusão como força criativa?2. Modelos de duas espécies com difusão3. Instabilidades de Turing4. Resumo

Módulo III


Módulo III


Módulo III


Módulo III


1 21 2

212

121

NNDdt

dN

NNDdt

dN

Módulo III


1 21 2

212

121

NNDdt

dN

NNDdt

dN

Módulo III


1 21 2

21

21

NCN

NNC

Módulo III


1 21 2

22

212

2NCDdt

dN

NNDdt

dN

Módulo III


1 21 2 Dte

CtN 2

2 12

DteC

tN 22 2

Módulo III


1 21 2

Difusão por si só é um processo destrutivo

Módulo III


Como?Como?

1. Difusão 2. Certas interações não-lineares3. Alan Turing

Módulo III


ConteúdoConteúdo

1. Difusão como força criativa?2.2. Modelos de duas espécies com difusãoModelos de duas espécies com difusão3. Instabilidades de Turing4. Resumo

Módulo III



Módulo III

2

1222

2

1

2111

1

1

1

K

NNNr

dt

dN

K

NNNr

dt

dN


Módulo III

2122

2111

,

,

NNfdt

dN

NNfdt

dN


Módulo III

2

22

22122

21

2

12111

,

,

x

NDNNf

dt

dN

x

NDNNf

dt

dN


Módulo III

2

22

22122

21

2

12111

,

,

x

NDNNf

dt

dN

x

NDNNf

dt

dN


Módulo III

Fluxo

Um tubo com N elementos

Fluxo: número de elementos que passam por um certo ponto do tubo

4038


Módulo III

4038

Lei de Fick

x

NJ

-D


Módulo III

40404040404040

0

0

21

t

N

Jx

N

NN


Módulo III

2

22

22122

21

2

12111

,

,

x

NDNNf

dt

dN

x

NDNNf

dt

dN


Módulo III

40383634323028

cte

)(

DJx

N

xN

x

x


Módulo III

40383634323028

0

2

23436

2

2

t

N

x

DJ

xxxx

x

N


Módulo III

2

22

22122

21

2

12111

,

,

x

NDNNf

dt

dN

x

NDNNf

dt

dN


Módulo III

0t

N


Módulo III

cte

0

x

Nt

N


Módulo III

78655445383330

2

2

13

136578

xDJ

xxxx

x

N


Módulo III

78655445383330

2

2

3

33033

xDJ

xxxx

x

N


Módulo III

78655445383330

2

2

x

ND

x

ND

x

x

ND

xJxt

N


Módulo III

2

22

22122

21

2

12111

,

,

x

NDNNf

dt

dN

x

NDNNf

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dN


Módulo III

2

22

22122

21

2

12111

,

,

x

NDNNf

dt

dN

x

NDNNf

dt

dN

InteresseInteresse

Quando modelos de campo médio estáveis se tornam instáveis apenas como conseqüência do espaço

Módulo III


ConteúdoConteúdo

1. Difusão como força criativa?2. Modelos de duas espécies com difusão3.3. Instabilidades de TuringInstabilidades de Turing4. Resumo

Módulo III



Módulo III

2

22

22122

21

2

12111

,

,

x

NDNNf

dt

dN

x

NDNNf

dt

dN

InteresseInteresse

Quando modelos de campo médio estáveis se tornam instáveis

apenas como conseqüênciaapenas como conseqüência do espaçodo espaço

Módulo III


PassosPassos

• Analisar as equações sem o espaço• Identificar os pontos de equilíbrio estáveis• Incorporar o espaço• Identificar quando o sistema fica instável

Módulo III


PassosPassos

• Analisar as equações sem o espaçoAnalisar as equações sem o espaço• Identificar os pontos de equilíbrio estáveis• Incorporar o espaço• Identificar quando o sistema fica instável

Módulo III



Módulo III

2

22

22122

21

2

12111

,

,

x

NDNNf

dt

dN

x

NDNNf

dt

dN

SoluçãoSolução

Módulo III


0,

0,

*,

*,

212

211

22

11

NNf

NNf

NtxN

NtxN

EstabilidadeEstabilidade

Módulo III


*

*

*

222

111

ii Nc

cNN

cNN


Módulo III

22212122

2

11

22

21211122

1

11

11

cLcLcc

fc

c

f

t

c

cLcLcc

fc

c

f

t

c


Módulo III

22212122

2

11

22

21211122

1

11

11

cLcLcc

fc

c

f

t

c

cLcLcc

fc

c

f

t

c


Módulo III

t

t

eAc

eAc

22

11


Módulo III

2221212

2121111

cLcLt

c

cLcLt

c

quadroquadro


Módulo III

02221

1211

LL

LL

detL

Ldet42

1

2

1

0

22112211

2112221122112

LLLL

LLLLLL

PassosPassos

• Analisar as equações sem o espaço• Identificar os pontos de equilíbrio Identificar os pontos de equilíbrio

estáveisestáveis• Incorporar o espaço• Identificar quando o sistema fica instável

Módulo III



Módulo III

Ldet42

1

2

122112211 LLLL

0


Módulo III

Ldet42

1

2

122112211 LLLL

0


Módulo III

0det

e 0

0

2211

L

LL

PassosPassos

• Analisar as equações sem o espaço• Identificar os pontos de equilíbrio estáveis• Incorporar o espaçoIncorporar o espaço• Identificar quando o sistema fica instável

Módulo III


Incorporar uma perturbaçãoIncorporar uma perturbação

• Uma perturbação genérica é muito difícil de analisar

• Opção: qualquer função de x pode ser decomposta em funções simples (série de Fourier)

Módulo III


http://mathworld.wolfram.com/FourierSeries.html


Módulo III

tektAc cos11


Módulo III

tekxAc cos11


Módulo III

tekxAc cos11


Módulo III

tekxAc cos11

k

2


Módulo III

tekxAc cos11


Módulo III

tektA

A

c

c cos2

1

2

1

0k


Módulo III

tekxAc cos11

kP

2


Módulo III

tektA

A

c

c cos2

1

2

1

quadroquadro

PassosPassos

• Analisar as equações sem o espaço• Identificar os pontos de equilíbrio estáveis• Incorporar o espaço• Identificar quando o sistema fica Identificar quando o sistema fica

instávelinstável

Módulo III



Módulo III

0det

e 0

0

2211

L

LL

ConteúdoConteúdo

1. Difusão como força criativa?2. Modelos de duas espécies com difusão3. Instabilidades de Turing4.4. ResumoResumo

Módulo III


Difusão por si só é um processo destrutivo

Módulo III


Como?Como?

1. Difusão 2. Certas interações não-lineares3. Alan Turing

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