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Disciplina: FÍSICA – Prof. Claudio Ichiba – 3ª. Série - Matemática

MÓDULO 10

UM MUNDO ENTRE O INFINITAMENTE PEQUENO E O INFINITAMENTE GRANDE

Potência de Dez

A física mede grandezas que podem ser expressas por números muito pequenos ou muito grandes. Esses valores são decorrentes dos objetos estudados pela física, desde partículas subatômicas até o tamanho de todo Universo conhecido. Além disso, há uma gigantesca quantidade de átomos que compõe os corpos. Esses tipos de números podem ser escritos de uma forma mais compacta. Este modo de escrever os números é conhecido como “notação científica”, ou “notação em potência de dez”, ou “notação exponencial”. Por exemplo, a distância de 1 ano-luz (distância que a luz leva para percorrer durante um ano) é igual a 9 460 730 472 580 800m. Esse número, na forma em que está escrito, é inconveniente para se utilizar. Podemos escrevê-lo na forma 9,46.1015m considerando o arredondamento em três algarismos significativos. Essa “notação científica” torna mais prática a manipulação desse tipo de número e segue algumas regras básicas:

a) Os números são escritos como unidade e decimais de acordo com os algarismos

significativos a serem considerados (ex. 9,46 – 3 algarismos significativos) multiplicados por uma potência de dez com um certo expoente (ex. 1015);

b) Se o expoente é positivo, a vírgula decimal deve ser deslocada para a direita um número de

posições igual ao valor do expoente para se obter o número original (ex. 3,45.103 = 3450); c) Se o expoente é negativo a vírgula decimal dever ser deslocada para a esquerda um número

de posições igual ao valor do expoente para se obter o número original (ex. 2,16.10-4 = 0,000216).

Quando consideramos cortar um objeto em tamanho cada vez menor até atingir um único

átomo, nos deparamos com o infinitamente pequeno. Quando olhamos para o céu noturno e a imensidão do Universo nos deparamos com o infinitamente grande. Porém, essas dimensões não são verdadeiramente infinitas. O infinito é maior do que qualquer número que se possa imaginar, não importa o tamanho. Um matemático chamado Edward Kasner certa vez pediu para o seu sobrinho ainda criança para que desse um nome para um número muito grande: 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000. O menino chamou-o de “googol”. Esse número pode ser expresso na forma compacta de potência de dez: 10100. Se esse número parece ser grande, considere o número 10(10100) o “googolplexo”, ou seja o número 1 seguido de googol zeros. Para se ter a idéia do quanto esse número é grande, o número de células contidas no corpo humano é cerca de 1014. Um

número muito menor do que o googol e extremamente pequeno se comparado ao “googolplexo. Qualquer um desses números, ou outro ainda maior possível de imaginar, será tão insignificante quanto o número 1 quando comparado ao infinito. O infinito pode ser expresso pelo símbolo: ∞. Qualquer número de qualquer tamanho pode ser expresso em uma forma compacta, a notação

científica, o ∞, o π, o 2 , entre outros.

A notação científica por tratar de números representados na forma de potência obedece algumas propriedades:

a) 10n . 10m = 10n + m; Ex. 104m . 103m = 107m2. b) 10n / 10m = 10n - m; Ex. 105g / 102ml= 103g/m . c) 10-n = 1/10n; Ex. 10-6m = 1/106m. d) (10n)m = 10n . m; Ex. (102)5s = 1010s. e) a . 10n + b . 10n = (a + b) . 10n; Ex. 3 .103km + 5 . 103km = (3 + 5) . 103km = 8 . 103km . f) a . 10n + b . 10m = (a + b . 10m - n) . 10n; Ex. 2 . 102m + 3 . 104m = (2 + 3 . 104-2) . 102m= (2 + 300) . 102m = 302 . 102m = 3,02.104m. g) a.10n . b.10m = (a . b).10n + m; Ex. . 4 . 102cm . 2 . 104cm = 8 . 106cm 2. h) a.10n / b.10m = (a / b).10n + m; Ex. . 6 . 102kg / 2 . 104L = 3 . 10-2kg/L .

Ordem de Grandeza

Há muitas situações em que a física faz medidas pouco precisas, nesses casos, em geral, o primeiro algarismo significativo é duvidoso. Essas medidas ocorrem quando não há instrumentos confiáveis ou capazes de fazer medidas muito pequenas ou muito grandes. Nessas condições, em geral, faz-se uma estimativa procurando obter a melhor potência de dez em notação científica. Por exemplo, a estimativa citada anteriormente do número de células contidas no corpo humano ~ 1014 - o símbolo ~ significa da ordem de - não é obtida de forma precisa, mas não significa que esteja incorreto. Esse número significa que há uma imprecisão, na qual é mais confiável considerar apenas a potência de dez. Observe como isso pode ser feito (metodologia extraída do livro Curso de Física Básica do profl H. Moysés Nussenzveig, Ed. Edgard Blücher, 3ª.

Ed, vol I, p6): É possível estimar o número de células contidas no corpo humano, a começar pelo

diâmetro médio de uma célula. Para saber o tamanho de uma célula se considera que os menores objetos visíveis num bom micro scópio ótico têm dimensões da ordem de 1µm = 10-6m – daí o nome do aparelho. Sabe-se que o diâmetro médio de uma célula é algumas vezes maior (porque no microscópio é possível ver estruturas que compõem as células, N. Autor), diga-se,

da ordem de 10µm = 10-5m. O volume médio de uma célula será então da ordem de (10-5)3 = 10-15m3, ver figura 6 (a) O volume do corpo humano pode ser estimado como um cilindro de diâmetro ~ 40 cm e altura ~ 1,7m, o que dá um volume da ordem de π . (0,2)2 . 1,7 ~ 10-1m3 (não tem sentido preocupar-se com um fator ~ 2 numa estiva como esta), ver figura 6 (b).

Concluí-se então que o número total de células do corpo humano deve ser da ordem de 10-1/10-15 = 1014 (100 trilhões de células – nesta estimativa, leva-se em conta todas as células inclusive as simbióticas que não têm o gene humano). Esse resultado não merece nenhuma confiança em algarismos que possam estar multiplicando essa potência de dez, dada a imprecisão dos dados da qual se partiu. No entanto, em termos de potência de dez o número de células contidas no corpo humano não se diferencia muito disso. A leve confiança nesse número mostra porque ninguém até hoje resolveu contar quantas células há no corpo humano. Em geral, se aplica outra metodologia na qual o resultado não difere muito em termos de potência de dez. Assim, quando se quer uma estimativa o que é procurado é a melhor potência de 10 daquela medida.

Como se sabe qual é a melhor potência de 10 numa estimativa? Para encontrar esse resultado se deve usar a notação científica: n . 10q e comparar o valor

do fator n com 100,5 = 10 , pois se n ≥ 10 ,

acrescenta-se uma unidade na potência de 10

(10q +1), ou se n < 10 , mantém-se a potência

de 10 (10q). Exemplo:

a) Estimativa: 2,1 . 105s, neste caso 2,1 < 10 , logo a ordem de grandeza é 105s.

b) Estimativa: 4,3 . 109min, neste caso 4,3 > 10 , logo a ordem de grandeza é 1010min.

Na tabela 7 a seguir, há uma escala decrescente de ordens de grandezas no universo,

40cm

Volumecorpo humano =π . (0,2) 2 . 1,7 ~ 10-1m3

1,7m

(b)Figura 6.

Volumecélula = (10 µ m) 3 = 10-15m 3

1 0 µm

1 0 µ m 1 0µ m

(a)

ORDENS DE GRANDEZAS NO UNIVERSO 1022 m 1021m 102 0m 1019m 1018m

1017 m 1016m 1015m 1014 m 1013m

1012m 1011m 101 0m 109m 108m

107m

106m

105 m

104m

103m

102m 101m 100 m 10 -1m 10-2m

10 -3m 10 -4m 10 -5m 10 -6m 10-7m

10 -8m 10 -9m 10 -10m 10 -11m 10 -12m

Grupo de galáxias Parte da Via-Láctea Periferia da Via-Láctea Estrelas da Via-Láctea Estrelas a 100 anos-luz

Estrelas a 10 anos-luz O Sol a 1 anos-luz O Sol está ficando maior O Sistema Solar Orbitas dos Planetas

Planetas Interiores Orbita da Terra e vizinhos Parte da orbita da Terra Terra e a orbita da Lua Terra a 100 000 km

Hemisfério Ocidental Sudeste Americano Municípios da Florida Cidade da Florida Laboratório de Magnetismo

Envolta do Laboratório Copa de uma árvore Folhas em galhos Folhas Superfície de uma folha

Superfície de uma folha 100 x Células da folha Células individuais Núcleo da célula Cromatina

DNA Bloco de nucleotídeo Nuvem eletrônica de átomo Elétrons na camada interna Núcleo do átomo

Tabela 7 .

Relações Básicas Trigonométricas do Triângulo Retân gulo

O triângulo retângulo básico possui um ângulo reto (90º) e outros dois ângulos agudos (<90º), além disso, cada ângulo se encontra entre dois lados que formam um vértice. O maior lado e oposto ao ângulo reto é denominado hipotenusa e os outros dois de catetos, veja a figura 14

αa =

h ipoten usa β

b = cateto

c = cateto Figura 14.

Os catetos podem ser chamados de cateto oposto ou cateto adjacente. Essa denominação depende da posição dele em relação ao ângulo. Por exemplo, na figura 14 , o cateto b é oposto ao ângulo α, mas é adjacente ao ângulo β. O cateto c é oposto ao ângulo β e adjacente a α. As relações trigonométricas básicas são relações entre as medidas dos lados do triângulo retângulo e seus ângulos. As três relações básicas mais importantes da trigonometria são: seno, cosseno e tangente. O seno , o cosseno , e a tangente de um ângulo, podem ser definidos como sendo:

hipotenusaopostocateto

seno = ; hipotenusa

adjacentecatetosenocos = ;

adjacentecatetoopostocateto

gentetan = .

Nos casos dos ângulos α e β usa-se os símbolos: sen como seno, cos como cosseno e

tan como tangente representados por:

ab

sen =α ; ac

cos =α ; cb

tan =α ; ac

sen =β ; ab

cos =β ; bc

tan =β .

onde,

β=α= cos.asen.ab e β=α= sen.acos.ac .

Para um mesmo ângulo a relação seno tem sempre o mesmo valor, pois se o cateto oposto varia de tamanho, a hipotenusa e o cateto adjacente variam na mesma proporção. O mesmo ocorre com as relações cosseno e tangente. Assim, algumas relações são conhecidas como ângulos notáveis, veja a tabela 8.

Relaçã

o 0o 30o 45o 60o 90o

sen 0 2

1 2

2 2

3 1

cos 1 2

3 2

2 2

1 0

Tan 0 3

3 1 3 ∞

Tabela 8.

Além dessas relações, o triângulo retângulo obedece ao teorema de Pitágoras. No triângulo da figura 14 é expresso por

a2 = b2 + c2

.

Substituindo, α= sen.ab e α= cos.ac com as relações trigonométricas o teorema de Pitágoras fica:

a2 = (a . sen α)2 + (a . cos α)2 ⇒ a2 = a2 . (sen2α + cos2α) ⇒

cos + sen = 1 22 αα , ou substituindo, β= cos.ab e β= sen.ac com as relações trigonométricas o teorema de Pitágoras fica:

a2 = (a . cos β)2 + (a . sen β)2 ⇒ a2 = a2 . (sen2β + cos2β) ⇒

cos + sen = 1 22 ββ . Essas relações podem ser usadas para medidas indiretas, por exemplo, na Agrimensura, na Astronomia na cartografia, na navegação oceânica, na óptica, entre outros.

Exercícios de Fixação 01. Estime a ordem de grandeza de quantos pingos de chuva caem em no Brasil anualmente? 02. Qual é a ordem de grandeza do número de batimentos cardíacos de uma pessoa que

alcançou maioridade civil, desde o seu nascimento? 03. Escreva os números a seguir em notação científica: a) 240 b) 1 223 000 c) 0,0000356 d) 0,000000000000081 e) 345 000 000 000 000 000 04. Determine a ordem de grandeza dos números a seguir: a) 50 b) 23 000 c) 4,53 . 1023 d) 0,0000078 e) 0,00024 05. Estime o número de átomos de hidrogênio que existe em 1 L de água. Dados: 6,02 . 1023

moléculas de água tem 18g. 06. O sino de uma igreja bate uma vez a cada hora, todos os dias. Qual é a ordem de grandeza

do número de vezes que o sino bate em uma ano?

07. Sabendo-se que em 1cm3 cabem aproximadamente 20 gotas de água, determine a ordem de grandeza do número de gotas de água necessárias para encher a banheira de um apartamento.

08. Estime a ordem de grandeza de quantos fios de cabelo há numa trança de cabelo? Dado:

área de um círculo = π . raio2; raio = diâmetro/2) 09. Estime o número médio de gotas de chuva que caem sobre uma área de 1km2 para uma

precipitação de 1 cm de chuva. 10. A população atual da Terra é da ordem de 6 bilhões de pessoas, e duplicou em menos de

50 anos. Se a população continuar duplicando a cada 50 anos, qual será a ordem de grandeza da população no planeta no ano 3000?

11. Gustavo e sua prima Débora ficaram entusiasmados com a possibilidade de medir coisas à

distância. Desta forma, eles resolveram calcular a altura de uma réplica da Torre Eiffel usando um teodolito (instrumento usado para medir ângulos). A base da réplica tinha uma largura de 20m e os dois estavam a 15 m dos pés da torre. Calcule a altura H da torre sabendo que Débora ao olhar pelo teodolito viu que a ponta da torre estava com uma elevação de 45o e que a altura do Teodolito é de 1 m.

1m

15m20m

60o

H

12. Cada volta no DNA de hélice dupla (forma B) tem 10,6 pares de base por cada volta

completa. Uma volta completa corresponde a 3,4 nm em comprimento. Qual seria o comprimento total do DNA em metros dos seguintes genomas

(a) Amoeba dubia 670 bilhões pares de bases. (b) H. sapiens com 3,4 bilhões pares de bases. 13. Gustavo adota o seguinte plano de atividades físicas: aos domingos corre durante 30

minutos, o que queima 12,0 quilocalorias por minuto. Às segundas, quartas e sextas, caminha por uma hora, queimando 4,0 quilocalorias por minuto. Às terças e quintas, joga voleibol durante uma hora e meia, queimando 5,5 quilocalorias por minuto. Aos sábados, descansa. Calcule a quantidade de quilocalorias que Joana queima por semana.