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8/11/2019 Molino de bolas.pdf

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BALANCE POBLACIONAL EN UN MOLINO DE BOLASPARA UNA LEY DE DESGASTE DE TIPO

EXPONENCIAL E HIPERBLICO EN TIEMPOS LARGOS

ISMAEL EDUARDO RIVERA MADRID

Tesis o trabajo de investigacin presentado como requisito parcial para optar el ttulo de:

Doctor en Ingeniera Ciencia y Tecnologa de Materiales

Director:

Ph.D Moises Oswaldo Bustamante Ra

Linea de Investigacin

Procesamiento de Minerales

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Minas

Medelln, Colombia

2013


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Dedicado a Dios, a mi familia, mi madre, mi hermano y miabuela.


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Agradecimientos

A la Universidad Nacional de Colombia sede Medelln, por brindarme todas las herramientasnecesarias para realizar mis estudios de doctorado.

Agradezco de manera especial a mi director de tesis, el Dr. Moises Oswaldo Bustamante Ra,por si apoyo incondicional, en el desarrollo de mi formacin doctoral.

A la compaia Argos S.A, por su apoyo en la toma de la base de datos, en especial al gerentede procesos productivos Fredy Quintero.

Al instituto de minerales CIMEX de la Universidad Nacional de Colombia sede Medelln.

A la Institucin Universitaria Pascual Bravo.

Al profesor Dr. Raimund Brger, por su apoyo, al profesor Carlos A. Agudelo, al ingenieroqumico Andrs Felipe Obando.

A los jurados, por el gran apoyo brindado y por el tiempo dedicado a la calificacin de estetrabajo de investigacin.

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Resumen

En el procesamiento de minerales y ms especficamente en la molienda ha sido estudiado eldesgaste de bolas con el fin de determinar qu tipo ecuacin describe el desgaste de bolas enuna operacin de molienda convencional de un molino rotatorio. Los efectos de comprender lacintica y el mecanismo de desgastes de bolas, impacta fuertemente sobre los costos de energaen la industria minera.

Esta investigacin se enfoca en el anlisis del desgaste de medios moledores de acero en laindustria del cemento, cuando se utiliza con modelos de balance poblacional y su aplicacin enla recarga de bolas del molino y el consumo de acero de las bolas dentro del molino. La parteexperimental fue muy intensa y se us la tcnica de bola marcada, la cual es mundialmenteaceptada como vlida para estos estudios.

Metodolgicamente, el trabajo se divide en dos etapas: la primera etapa se enfoca en determi-nar la ecuacin constitutiva que mejor se ajusta a los datos experimentales de desgaste de lasbolas, donde se obtuvieron datos en intervalos de cada 600 horas aproximadamente, despusde haber sido operado el molino las bolas durante 3000 horas y se determin que el mejor

ajuste se obtuvo para una curva exponencial y otra lineal. En la segunda etapa es se aplicauna ecuacin de balance poblacional; teniendo en cuanta la ecuacin constitutiva lineal y ex-ponencial previamente obtenida y se verific que el nuevo modelo planteado posee un excelenteajuste con los datos experimentales; permitiendo establecer el flujo de bolas en la recarga delmolino y el mecanismo cintico de desgaste de bolas al interior del mismo.

Palabras clave: molienda , desgaste de bolas , balance poblacional, recarga de bolas,

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Abstract

In mineral processing, and more specifically in the grinding has been studied wear balls in orderto determine what type equation describes wear balls in a conventional milling operation of arotary mill. The effects to understand the kinetics and mechanism of wear of balls, a strongimpact on energy costs in the mining industry.

This research focuses on the analysis of wear steel grinding media in the cement industry,when used with population balance models and their application in recharging ball mill andsteel consumption in the mill balls. The experimental part was intense and used the markedball technique, which is globally accepted as valid for these studies.

Methodologically, the work is divided into two stages: the first stage focuses on determiningthe constitutive equation that best fits the experimental data of wear of the balls, where datawere obtained at intervals of every 600 hours, after having been balls mill operated for 3000hours and found that the best fit was obtained for an exponential curve and the other linear.In the second step is applying a population balance equation, taking into account the linearand exponential constitutive equation previously obtained and verified that the new proposed

model has an excellent fit with the experimental data, thus allowing for the flow of balls inthe recharge mill and kinetic mechanism balls wear within it.

Keywords: grinding ball wear, population balance, recharge balls,

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ndice general

Introduccin 4

1. Fundamentos Tericos 9

1.1. Investigaciones en consumo energtico del proceso de molienda y desgaste decuerpos moledores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2. La ecuacin poblacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3. Modelo fenomenolgico del desgaste de cuerpos moledores . . . . . . . . . . . . 22

1.4. Forma explcita del modelo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.5. Solucin exacta del modelo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2. Metedologa Experimental 36

2.1. Prueba de bola marcada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.2. Procedimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.3. Materiales y Mtodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3. Resultados y anlisis 40

3.1. Simulacin del desgaste de medios moledores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2. Balance Poblacional del desgaste de medios moledores . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3. Distribucin msica y frecuencia msica de bolas . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.4. Flujo de entrada de bolas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.5. Consumo de acero por desgaste de bolas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.6. Balance poblacional tiempo dependiente del desgaste de medios moledores . . . 49

3.7. Balance poblacional en estado estacionario con cernidor de descarga . . . . . . 51

3.8. Flujo de entrada de bolas con cernidor de descarga . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.9. CONCLUSIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

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Bibliografa 75


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Lista de figuras

INTRODUCCIN

Figura1.Movimiento de la carga en un molino rotatorio de bolas.

CAPITULO I

Figura1.1 Balance de cuerpos moledores en un molino rotatorio.Figura1.2 La cintica de orden cero en molinos industriales chilenos.Figura1.3 Distribucin de tamao de bolas de alimentacin y descarga.

CAPITULO III

Figura3.1 Ajuste exponencial tipo de bola I.Figura3.2 Ajuste lineal tipo de bola I.

Figura3.3 Simulacin del perfil del tamao de bolas dentro del molino g(d) =Ad.Figura3.4 Simulacin del perfil del tamao de bolas dentro del molino g(d) =.Figura3.5 Flujo de bolas tipo I y tipo II con = 0, 0042.Figura3.6 Flujo de bolas tipo I y tipo II con g(d) =Ad y A= 0, 000064171.Figura3.7 Consumo de acero por desgaste, tipo de bola I y II g(d) = = 0, 0042Figura3.8 Consumo de acero por desgaste, tipo de bola I y II g(d) = Ad y A =0, 000064171Figura3.9 Flujo de bolas con cernidor de descarga QSy= 1Figura3.10 Flujo de bolas con cernidor de descargaQSy = 0

ANEXOS I

Figura4.1 Datos de peso, dimetro y profundidad de bola Vegaplus.Figura4.2 Datos de peso, dimetro y profundidad de bola Vegaplus.Figura4.3 Variabilidad del dimetro de Vegaplus. Figura4.4 Variabilidad para la pro-


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fundidad de perforacin Vegaplus.Figura4.5 Variabilidad del peso Vegaplus.Figura4.6 Resumen estadstico para Vegaplus.Figura4.7 Variabilidad del dimetro de Vegatough.

Figura4.8 Datos de peso, dimetro y profundidad de la bola Vegatough 18.Figura4.9 Variabilidad del dimetro de Vegatough 18.Figura4.10 Variabilidad para la profundidad de perforacin Vegatough 18.Figura4.11 Variabilidad del peso Vegatough 18.Figura4.12 Resumen estadstico para Vegatough 18.

ANEXOS II

Figura5.1 Fotografa de bola marcada al inicio de la operacin en el molina

Figura5.2 Fotografa de bolas marcadas despus de 2000 horas.Figura5.3 Fotografa de algunas bolas marcadas al final de la operacin.Figura5.4 Fotografa de peso de bola marcada.Figura5.5 Fotografa interior de un molino de bolas.


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Lista de tablas

INTRODUCCIN

Tabla1. Composicin Qumica de Bolas.Tabla2. Especificaciones del Molino.Tabla3. Tabla de desgaste en milmetros.


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Introduccin

En los procesos de beneficio de minerales, la molienda gasta aproximadamente el 80 %de la energa necesaria en el beneficio de minerales metlicos e industriales (Austin [1],D.W. Fuerstenau y A.-Z.M. Abouzeid 2002 [2]). Este consumo est determinado, prin-cipalmente, por las prdidas de energa y el desgaste de los medios moledores y en elcaso particular de la molienda de clinker en la industria del cemento, se ha consideradoque el factor de consumo de energa solamente en esta operacin es del 45 % aproxima-damente, respecto a la dems procesos involucrados en esta industria. N.A Madlool etal [3] .

De todas las etapas de procesamiento de minerales la molienda es la ms ineficiente, yaque tan slo usa el 1 % de la energa suministrada al molino, como energa efectivamenteutilizada para fracturar el mineral (D.W. Fuerstenau y A.-Z.M. Abouzeid. Ibid, p162), loque permite advertir, que las etapas de fragmentacin son determinantes para establecerla eficiencia de las operaciones en una planta de beneficio de minerales.

El consumo de medios moledores, y en particular de bolas en molinos rotatorios, hasido estudiado desde tiempo atrs (Menacho 1985 Op.Cit., Lynch, etc), pero, lamenta-blemente, tales investigaciones se han centrado en el estudio de bolas de acero, ligadoprincipalmente a la minera de cobre.

De otro lado, se tiene evidencia de que estos fenmenos de desgaste de bolas y tambinde revestimientos en la minera de minerales industriales, afectan la productividad delos equipos, las distribuciones granulomtrica generadas, las razones de recirculacin, laeficiencia de los separadores de tamao y en general, de las diferentes operaciones queestn alrededor del proceso de molienda, generando sobre costos en el producto final.

Austin et al. (1984 [4]) y Austin y Concha (Op.Cit. 1994) han propuesto modelos debalanceo de bolas, sin embargo, sigue existiendo poca claridad acerca de si la recarga

se debe hacer con bolas de un nico tamao (monotamao) o con una distribucin debolas de diferentes tamaos. En particular en Colombia, se desconoce la aplicacin deestos tipos de modelos.

Desde esta perspectiva es importante el estudio de la recarga de bolas y el desgaste de losmedios moledores. La utilizacin de una ley de desgaste en un molino industrial para seraplicada en un modelo matemtico fue realizada por Menacho y Concha [5],[6] donde laley de desgaste encontrada en sus molinos obedeci a una ley de desgaste constante, un

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Introduccin 5

estudio realizado tambin en una planta piloto para la molienda de carbn encontr quela ley de desgaste era constante pero eran muy cortos los tiempos en los que operaban losmolinos, E. Albertin et al [7],toma importancia entonces hacer investigaciones para eldesgaste de bolas en tiempos largos de operacin de los molinos porque esto supone que

se pueden encontrar otro tipo de cinticas de desgaste como las de tipo exponencial y lasde tipo hiperblico y utilizarlas para ser aplicadas en modelos de balance poblacionaly obtener predicciones mas optimas de la recarga de bolas.

Es sumamente importante estudiar los fenmenos asociados al consumo energtico delos sistemas de molienda-clasificacin, a fin de identificar y optimizar las parmetrosde diseo y operacionales que causan variaciones significativas en la productividad yeficiencia de esta etapa del proceso de fabricacin de cemento.

Sujeto a lo anterior, est la estabilidad de las operaciones de molienda a travs del tiem-po. Las distribuciones granulomtricas que se generan en las operaciones de molienda-clasificacin son muy sensibles a los cambios en la carga de bolas dentro del molino yen general, al volumen de llenado y empaquetamiento de medios moledores al interiorde molinos rotatorios causando problemas en el desempeo del cemento. De hecho, elconsumo de potencia est directamente asociado a la energa necesaria para mover lacarga de bolas, tal y como fue afirmado por Bond (1952 [8]) mediante la relacin:

mp = 7.33AJc(1 0.937J)

1 0.1

2910c

bLD

2.3

Donde mp es la potencia del molino(potencia del motor) y Jes el factor de llenado demedios moledores.L y D son la longitud y el dimetro del molino, c es la fraccin develocidad crtica yb es la densidad de las bolas.

Esta problemtica ha motivado a la Universidad Nacional de Colombia a travs delInstituto de Minerales CIMEX para adelantar trabajos de investigacin que le permitanoptimizar la operacin de estos equipos.

Al final, ser posible conocer la cantidad y distribucin de bolas que deben recargarseal molino a travs del tiempo, para obtener unas condiciones ptimas de molienda. Estoconstituye el aporte principal de esta investigacin.

La relacin entre el rgimen de movimiento de la carga en un molinorotatorio y los mecanismos de desgaste de los cuerpos moledores

Un molino rotatorio gira sobre un eje horizontal y dentro del mismo se mueven li-bremente los cuerpos moledores. Cuando el molino empieza a girar, las bolas de aceroascienden por el lado del tambor que sube hasta que alcanzan una posicin de equilibriodinmico. Una vez alcanzado este estado, un cuerpo moledor puede caer en rgimen decatarata o cascada, dependiendo de la velocidad de giro del molino. Desde este puntode vista, el movimiento de un cuerpo moledor al interior de un molino est determina-do por su forma, la configuracin de la superficie interna del tambor y el dimetro yvelocidad de este ltimo.


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Introduccin 6

De lo anterior se deduce que un cuerpo moledor al interior de un molino rotatorio tienedos tipos de movimientos: Menacho Jorge, Jofr Javier , Zivkovic Yandranka [9].

1. Ascenso de las bolas en medio de la masa de stas, gobernado bsicamente por

la friccin bola-bola y bolas revestimiento interno del molino y algunas vecesintermediada por la instalacin de barras levantadoras (lifters) que a manera derugosidades mejoran la friccin bolas-revestimiento interno de molino.

2. Descenso o cada bien sea en cascada o catarata segn la velocidad de giro delmolino, la cual suele asociarse a la fraccin de velocidad crtica c.

La figura 1 muestra el movimiento de la carga en un molino rotatorio. Con una veloci-dad baja y revestimientos lisos, los cuerpos moledores suben hasta cierta altura con eltambor y luego resbalan y ruedan hacia abajo, como se ve en la figura. Este movimientose conoce como "rgimen de cascada".

A medida que se aumenta la velocidad de rotacin, los cuerpos moledores son proyecta-dos desde el revestimiento para describir una serie de parbolas antes de caer en la zonade impacto. Este movimiento se conoce como "rgimen de catarata". Si la velocidad derotacin es tal que la fuerza centrfuga iguala el peso de los cuerpos moledores de mayortamao, estos se mueven junto con el molino como un cilindro.

El rgimen de cascada fractura las partculas por el mecanismo de abrasin, condu-ciendo a una molienda ms fina (lo que conlleva a una mayor produccin de lamas) ya un mayor desgaste de los medios moledores y el revestimiento del molino, medianteeste mecanismo, Menacho Jorge [10]. De otro lado, el rgimen de catarata fractura laspartculas por impacto y, de igual manera, el mecanismo de desgaste de los medios

moledores es el impacto.A escala industrial, se requieren valores de fraccin de velocidad crtica c entre 0.6 y0.7para obtener un rgimen de cascada solamente, mientras que se requiere de valoresde c entre 0.8 y 0.9. . En la prctica coexisten ambos regmenes se utiliza un conun fuere predominio del rgimen de cascada, el cual suele asociarse directamente a lasacciones de molienda en trminos metalrgicos, dado que el rgimen de catarata seasocia ms al impacto y por ende al la trituracin y/o destruccin de la partcula enun nico evento al rgimen de catarata

Planteamiento del problema

Con todo lo dicho anteriormente es claro que el desgaste de cuerpos moledores dependeprincipalmente, del rgimen de movimiento al interior del molino (el cual puede ser alte-rado cambiando parmetros como la distribucin de tamao de los cuerpos moledores,la geometra de los mismos, el tipo de revestimiento, la fraccin de llenado con cuerposmoledores, la fraccin de llenado con polvo y la fraccin de velocidad crtica c) y dela dureza, forma y tamao de las partculas de mineral que est siendo fragmentado.


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Introduccin 7

Figura 1: Movimiento de la carga en un molino rotatorio de bolas. [Menacho Op.Cit.].

Por tal razn, el problema principal radica en que existe un vaco de conocimiento enlo referente al uso de modelos de cintica de desgaste de cuerpos moledores de acero enmolinos rotatorios y su influencia en la eficacia de los sistemas molienda-clasificacin entrminos de los parmetros cinticos de molienda del mineral y el consumo de mediosmoledores en especial en tiempos largos.

La resolucin de tal problema tiene repercusiones directas sobre la industria cementeray minera. En principio, esta investigacin ayudar a ampliar el conocimiento sobre cmo

el desgaste de los cuerpos moledores de acero altera el comportamiento de los sistemasmolienda-clasificacin. Dicho conocimiento ser un referente para estudios posterioresen funcin del control de calidad de los procesos de tratamiento de minerales valiososen Colombia.

Objetivo general

Desarrollar un modelo matemtico que describa el desgaste de cuerpos moledores deacero en molinos rotatorios continuos, en funcin de variables operacionales del procesomediante un balance poblacional, y que permita modelar el comportamiento de unsistema molienda-clasificacin en estado estacionario.

Objetivos especficos

1. Aplicar la prueba de bola marcada a escala industrial.

2. Identificar el orden cintico de desgaste de cuerpos moledores de acero en molinos


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Introduccin 8

rotatorios en la industria del cemento en tiempos largos.

3. Obtener un modelo de desgaste de medios moledores en molienda de caliza conbola de acero.

4. Establecer la cintica de recarga de bolas a travs del tiempo en un molino rota-torio que contiene cuerpos moledores de acero, en funcin de su tasa de desgaste.

5. Conocer la distribucin de cuerpos moledores dentro del molino en cualquier ins-tante y as poder definir cundo se debe realizar un cambio de carga total.


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Captulo 1

Fundamentos Tericos

1.1. Investigaciones en consumo energtico del proceso de mo-

lienda y desgaste de cuerpos moledores

El anlisis del movimiento de los cuerpos moledores en molinos data de la segunda dca-da del siglo XX, cuando Davis (1919 [11]) calcul las trayectorias de una bola al interiorde un molino rotatorio, basado en un simple balance de fuerzas pero despreciando losefectos de la friccin.

Este hecho, sumado a la complejidad del problema debido a la gran cantidad de partcu-las (bolas y mineral) presentes durante el proceso, produjo resultados que fueron pocosatisfactorios, y slo hasta la dcada de los 50 en el siglo XX, Rose y Sullivan (1958[12])enfatizaron en la necesidad de considerar la friccin en los clculos correspondientes.

Hasta la dcada del 90 el anlisis del movimiento de la carga en molinos rotatorios selimitaba a crculos de las trayectorias de una sola bola. No fue sino hasta la segundamitad de esta dcada que M.S. Powell y G.N. Nurick (1996 [13]) calcularon con buenosresultados las trayectorias que deberan seguir los cuerpos moledores en un molinorotatorio de bolas, mediante un modelo en el cual se hace uso del concepto de superficiede equilibrio.

Los investigadores basaron su xito en la definicin correcta del centro de masa y elcentro de circulacin de la carga. Con ello, es posible calcular el torque al cual la mismaes sometida en funcin de la fraccin de velocidad crtica del molino. La importanciade estudios como ste radica en el hecho de que el torque de la carga al interior del

molino determina la cantidad de energa disponible para la fractura de las partculasde mineral y por lo tanto, el consumo de potencia.

Aadido a sto, se sumaron nuevas herramientas al desarrollo terico y constitutivodel esfuerzo por entender la dinmica de los sistemas de molienda, las computadorasdigitales y el mtodo de los elementos discretos DEM. El DEM se refiere a un esquemanumrico que permite rotaciones finitas y desplazamientos de cuerpos discretos queinteractuan con sus vecinos, por medio de leyes de contacto, donde se tiene en cuenta

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CAPTULO 1. FUNDAMENTOS TERICOS 10

para los crculos, tanto la prdida como el nacimiento de contactos.

El DEM fue desarrollado inicialmente por Cundall y Strack (1979 [14]) para ser aplicadoa partculas de materiales granulares bajo condiciones de carga dinmica. Esta tcnicase ha convertido en una alternativa a la mecnica del medio continuo en la modelacin

de muchos sistemas fsicos. Algunos resultados de esta tcnica de simulacin puedenencontrarse en las publicaciones de B.K. Mishra (2003 [15],[16]).

En el primero de ellos, Mishra explica cmo, mediante el DEM, es posible tambin pre-decir la distribucin de tamaos de partcula producida por los impactos bola-mineral,mediante un balance poblacional equivalente a la ya bien conocida ecuacin de lamolienda discontinua (Austin y Concha Op.Cit.p71). Este balance de masa est de-terminado por la expresin:

dMi(t)

dt =

N

k=1 kmi,kMi(t)

H +

N

k=1N

j1 kmj,kbij,kMi(t)

H (1.1)

Donde k es el nmero de impactos, Nes el nmero de partculas, k es el nmero decolisiones por segundo, bij,k es la funcin de fractura basada en la energa y definidacomo la fraccin de partculas mj,k de tamao j que se reportan en el tamao i yel trmino Mi(t)/H la fraccin de masa instantnea de partculas de tamao i en elmolino. Paul W. Cleary (2001 [17]) utiliz el DEM para estudiar los efectos de lasvariables operacionales como la fraccin de llenado de bolas y polvo, tipo y distribucinde tamao de las bolas y polvo, fraccin de velocidad crtica y diseo del revestimientointerno en el consumo de potencia en un molino de bolas de 5mde dimetro.

De otro lado, este mismo investigador ha hecho uso del DEM para estudiar el movi-

miento de la carga en un molino semiautgeno de 600mmde dimetro y comparandolocon fotografas que registran tal movimiento, en tiempo real (2003 [18]).

Recientemente, M.S. Powell junto con A.T. McBride (2004 [19]) refin su modelo pro-puesto en 1996 mediante el uso del DEM, dando lugar a una superficie que puede serderivada analticamente de los datos posicionales de la carga del molino. Los resultadosde este trabajo son potencialmente interesantes para estimar el desgaste de los revesti-mientos internos y de los medios moledores, en trminos del impacto entre ellos, para locual es til estimar la velocidad de impacto, el valor absoluto de la fuerza en el puntode impacto, el nmero de impactos, la probabilidad de ocurrencia de un impacto y lospuntos de mximo y medio impacto.

H. Dong y M.H. Moys (2001 [20], y 2003 [21]) desarrollaron tcnicas para medir lavelocidad de las bolas y las propiedades de impacto entre bolas en molinos rotatorios.Con ello es posible calcular las trayectorias en funcin de la fraccin de velocidad crticaa partir del anlisis de imgenes.

Estas tcnicas se convierten en una herramienta til para calcular cantidades de interscomo la energa transferida durante un impacto y el coeficiente de restitucin. Esteltimo da una medida de la disipacin de energa en los procesos de colisin bola-pared


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y bola-bola en los molinos, lo cual constituye una variable de inters a la hora de estimarel desgaste por impacto y un parmetro necesario en la simulacin mediante el DEM,como puede verse en las revisiones mencionadas con anterioridad (Mishra 2003 Op.Cit),adems de una reciente revisin realizada por N.S. Weerasekara et al .(2013 [22]).

En lo referente al desgaste de medios moledores se han encontrado trabajos como elde Radziszewski .P. y Tarasiewucz .S. (1993 [23]), quienes, mediante un balance deenerga cintica al interior de un molino de bolas de acero alto en carbono y de aceroaustentico, lograron establecer, la tasa de desgaste de bolas y revestimientos:

mst/b= sttan

HrEgrc +

P

3HrEcr+

P

3HrEtum

(1.2)

Donde mst/b es la tasa de desgaste de bolas en kg/s, st es la densidad de las bolas, es un factor de abrasin (representacin angular de un grano abrasivo cnico), Hr es ladureza del material,Pes la probabilidad de adhesin y Egrc, Ecr, Etum son las tasas de

energa cintica distribuidas en la carga de bolas en las zonas de abrasin e impacto alinterior del molino.

Un anlisis sencillo de este modelo, indica que escribindola a manera de tasa de des-gaste, esta ecuacin toma la forma:

d(d)

dt =

2

d2

tan Hr

Egrc + P

3HrEcr+

P

3HrEtum

=

k

d2 =kd2 (1.3)

Dondek es una constante que involucra los parmetros ,Hr,P, Egrc, Ecr y Etum. Elloindicara que las bolas ms grandes se desgastan mucho ms lentamente que las bolas

pequeas, y por lo tanto, la cintica de desgaste no es la misma para diferentes tamaosde bola.

Lo interesante de este modelo, es ver cmo se relaciona la dureza del material con su tasade desgaste, algo que no es muy comn en la literatura. Adems, segn este estudio, latasa de consumo de energa cintica durante la fragmentacin por abrasin permanece,prcticamente constante y es independiente de la velocidad de rotacin del molino y sufraccin de llenado, mientras que el consumo energtico por impacto, aumenta con elaumento de estas variables.

Ms adelante, el mismo Radziszewski (2002 [24]) propuso una metodologa para deter-minar el desgaste global de medio moledores de acero mediante el uso del DEM.

Otros trabajos que hacen uso del DEM para identificar la incidencia de variables dediseo y variables operacionales en el movimiento de la carga en molinos rotatoriosy el consumo de potencia de los mismos, pueden verse en las investigaciones de O.Hlungwani, J, [25] Rikhotso, H. Dong, y M.H. Moys (Op.Cit. 2003), R.D. Morrison,[26]y P.W. Cleary (Op.Cit. 2004 ) y N. Djordjevic, [27].

Como puede verse, el DEM se ha convertido en una herramienta muy til para simularel comportamiento de los medios moledores en molinos rotatorios, lo que ha permitido


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predecir las trayectorias de las partculas individuales, la distribucin de las fuerzas decontacto y las energas asociadas a las colisiones, el desgaste y el consumo de potencia.

Las investigaciones mencionadas hasta aqu y que corresponden a un punto de vistapuramente mecnico, son tiles para predecir el desgaste y la distribucin de tamaos

de mineral al interior del molino, entre otras cosas. Sin embargo, en ninguno de ellos larecarga de bolas aparece como un tem de inters, lo que constituye un punto de vistano muy conveniente para la ingeniera del proceso de molienda.

En este sentido, cobra inters una segunda clase de trabajos cuyo objetivo es la bsquedade leyes de cintica desgaste de cada medio moledor en particular, para optimizar elconsumo energtico por desgaste a partir de balances de poblacin.

La relacin de tamaos de bola y de tamaos de partcula fue inicialmente modeladapor Bond (1952 Op.Cit. y 1961 [28]), quien, utilizando un criterio basado en la carac-terizacin de la distribucin de tamaos a la entrada de molino por un d80, desarrolloecuaciones que permiten seleccionar los tamaos de bola al inicio de la operacin, pero

poco informan acerca del recarga a travs del tiempo.En la dcada del 80 la minera del cobre chilena dio importancia a la determinacinde leyes de cintica de desgaste de bolas de acero a fin de tener una idea de la recargautilizando balances de poblacin. Tarifeo et al. (1984 [29]), utilizaron ensayos de bolamarcada, abrasin sobre lija (pin test) e impacto repetitivo sobre bolas de acero de 5

de dimetro en un molino semiautgeno, para determinar la tasa promedio de desgastede las bolas, en trminos de la prdida de masa.

En este caso se parti del supuesto de que la prdida de masa de un cuerpo moledores proporcional al rea superficial expuesta y que dicho proceso se desarrolla en estadoestacionario, es decir:

dW

dt =kr2 (1.4)

Donde r es el radio de la bola, Wes el peso de la bola en un instante t y k es la tasade desgaste msica. Como se vi con anterioridad, esto equivale a decir que el cambiodel tamao de la bola en el tiempo es constante y por lo tanto el fenmeno obedece auna cintica de orden cero.

Con ello, los investigadores determinaron que la masa de una bola en un proceso dedesgaste en estado estacionario es de la forma:

W = R2

3000m0k(r4i r

4f) (1.5)

DondeR es la tasa de recarga de bolas al molino en kg/h, es la densidad de las bolas,m0 es la masa inicial de la bola en kg y ri y rfson los radios inicial y final de la bolarespectivamente.

Los resultados de esta investigacin mostraron una buena correlacin entre los datos


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experimentales y la ley de desgaste determinada. Adems, se encontr una fuerte de-pendencia entre la tasa de desgaste y la recarga de bolas. Tarifeo et al. (1984 Op.Cit.).

Posteriormente, el mismo Tafireo (1987 [30]) midi la tasa de desgaste por abrasine infiri la tasa de desgaste por impacto de bolas de acero de diferentes marcas y

diferentes tamaos en un molino semiautgeno, utilizando ensayos de bola marcadacon trazador radiactivo. En todos los casos estudiados, la tasa de desgaste presentun comportamiento lineal, es decir, obedece a una cintica de orden cero. An hoy, lacintica de desgaste de medios moledores se estima con base en teoras planteadas pocoantes de la segunda mitad del siglo XX, como puede evidenciarse en la publicacinde Seplveda (2004 [31]), donde se utiliza la teora de desgaste lineal para calcular laconstante de velocidad especfica de desgaste.

Como consecuencia de esta teora, en cualquier instante t despus de que el cuerpomoledor se ha cargado al molino, su velocidad de prdida de masa es directamenteproporcional a su rea superficial expuesta a mecanismos de desgaste por abrasin ocorrosin. En otras palabras la velocidad de disminucin de su dimetro es constanteen el tiempo, por lo tanto, el desgaste obedece a una cintica de orden cero.

Desde el punto de vista de las ecuaciones constitutivas de cintica de desgaste de bolas deacero, el trabajo que constituye la punta del conocimiento es el realizado por Menacho(1985 Op.Cit.). En su trabajo doctoral, Menacho obtuvo un modelo fenomenolgicode desgaste en molinos rotatorios a partir del balance de poblacin planteado por laecuacin de balance poblacional 2.13.

Con sus resultados fue posible describir la distribucin de cuerpos moledores en molinoscontinuos, operando en condiciones de estado transiente o estacionario, y desarrollarun esquema de optimizacin del perfil de tamao de cuerpos moledores, tendiendo amaximizar la eficiencia de los circuitos industriales de molienda-clasificacin.

Una de las dificultades ms relevantes en la investigacin del desgaste de cuerpos mo-ledores es el hecho de que, como se mencionar en la seccin 1.3, el desgaste globales el resultado de mecanismos simultneos, principalmente el impacto, la abrasin yla corrosin. Por tal razn, es difcil, a escala de laboratorio, determinar con precisinla contribucin de cada uno de estos mecanismos al desgaste global y se hace crucialrealizar pruebas a escala industrial.

Problemas como estos se han comenzado a resolver por algunos investigadores. Tales el caso de Fiset et al. (1998 [32]) quienes construyeron un dispositivo a escala delaboratorio que somete una probeta cilndrica (extrada de las bolas) a un ensayo dedesgaste donde existen, simultneamente, los fenmenos de impacto y abrasin. La

versatilidad de este dispositivo permite que el material con el cual la probeta se sometea abrasin puede ser el mismo mineral que se est moliendo.

Un aporte significativo de este trabajo lo constituye el hecho de que mediante estatcnica es posible establecer correlaciones lineales entre los ensayos de laboratorio y losensayos de bola marcada, las cuales son mejores cuando el abrasivo se humedece. Eneste sentido, esta tcnica se convierte en una alternativa ms econmica que el ensayo


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convencional de bolas marcadas, aunque an no ha sido muy aceptado.

En las investigaciones han sido identificados trabajos que tienen dos puntos de vistadiferentes, pero cuyo fin es minimizar el consumo energtico de la operacin de molien-da: trabajos con una perspectiva puramente mecnica y trabajos basados en balances

poblacionales.

Las investigaciones del primer tipo buscan simular el rgimen de movimiento de la cargade cuerpos moledores al interior del molino (velocidad, fuerzas de impacto, trayectorias,puntos de impacto, etc.), y los diferentes tipos de interaccin mecnica entre los mediosmoledores, el mineral y las paredes del molino, a fin de ser relacionados con la eficienciaenergtica del proceso y la contribucin del desgaste de los cuerpos moledores y elrevestimiento interno con esta ltima.

Se puede concluir entonces que el estado del conocimiento, en lo referente al desgastede cuerpos moledores, tiene las siguientes caractersticas:

1. Actualmente, el estudio del desgaste de los medios moledores presenta dos en-foques distintos, a saber: un enfoque puramente mecnico donde predomina lasimulacin con herramientas tecnolgicas disponibles en la actualidad, como elmtodo de elementos discretos (DEM), y un enfoque basado en el balance pobla-cional, donde el inters es la determinacin de ecuaciones constitutivas de desgastede cuerpos moledores, siendo este ltimo enfoque el que constituye inters paraesta investigacin.

2. El enfoque mecnico no relaciona el desgaste y la recarga de los medios moledorescon la cintica de fractura del mineral, lo cual no lo hace muy atractivo a la horade optimizar las plantas de beneficio de minerales, aunque desde el punto de vista

fenomenolgico aporta gran conocimiento del proceso de molienda.

3. Los modelos de desgaste publicados hasta el momento slo se aplican a fenmenosde desgaste superficiales (abrasin y corrosin), debido a que experimentalmentees muy difcil medir el desgaste por impacto y ms an, es difcil medir el efectocombinado de los diferentes mecanismos de desgaste en el desgaste global.

4. El enfoque cintico ha centrado su atencin en el desgaste de cuerpos moledoresde acero, sobre todo porque fenmenos como la corrosin, el astillamiento y elrayado, aportan la mayor cantidad de desgaste en las plantas de beneficio queutilizan este material como medio de moledor. Como puede verse, se ha aceptadoque el desgaste de las bolas de acero obedece a una cintica de orden cero.

1.2. La ecuacin poblacional

Para hacer la deduccin la ecuacin fundamental se considera un conjunto de partculascuyo estado est definido por una funcin densidad poblacional (x, y, z, 1...,n, t),donde x, y y z representan las coordenadas espaciales, t es el tiempo y 1, .2...,n son


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n propiedades caractersticas del sistema. As.dxdydzd1...dn = d(d) es el nmerode partculas contenidas en la regin incremental del espacio de fase en el instante t.Tal espacio tiene dimensin4 y sus coordenadas estn constituidas por las coordenadasexternas o espaciales y las coordenadas internas o de las propiedades caractersticas del

sistema particulado. Note que dxdydzes un elemento diferencialdV de volumen fsico,de modo que dG(t) =dV(t)d[(.t)]siendo d(t) =d(d(t)).

En cualquier instantetel estado de una partcula o conjunto de partculas similares, estrelacionado nicamente con su localizacin especfica en el espacio de fase. De este modo,el problema de caracterizar el comportamiento fsico de un sistema de multipartculas,se reduce al problema matemtico de describir su trayectoria en dicho espacio de fase:

r(t) = [x(t), y(t), z(t), d(t)] (1.6)

La variacin del vector r(t)en el tiempo est constituida por la velocidad espacial y lavelocidad de cambio de las propiedades d(t) en el tiempo:

d

dt{r(t)}= [

dx

dt

dy

dt

dz

dt

d(d(t))

dt ] (1.7)

El anlisis anterior es aplicable a sistemas cuyas propiedades experimentan una evolu-cin temporal continua, es decir, cuando las trayectorias r(t) son funciones continuasen el tiempo. Sin embargo, en la prctica existen muchos casos de inters donde ocu-rren eventos catastrficos involucrando cambios discretos de propiedades. As, cuandouna partcula se fractura en el interior de un molino ocurre un evento instantneo de"muerte", ya que la partcula original no existe ms. Al mismo tiempo ocurren al menos2 eventos de "nacimiento"de los fragmentos resultantes. Al igual que el caso continuo,

se debe proporcionar alguna informacin a priori acerca de tales funciones discretas develocidad de nacimiento y muerte de la propiedad que se analiza. Estas funciones sedefinen como sigue:

La funcin velocidad de nacimiento,A(x,y,z,d,t) es tal que:

Adx,dy,dz,d(d) = AdG(t) = nmero de partculas por unidad de tiempo queaparecen en la regin incremental dG(t) del espacio de fase en el instante t.

La funcin velocidad de muerte, M(x,y,z,d,t) es tal que:

Mdx,dy,dz,d(d) = MdG(t) = nmero de partculas por unidad de tiempo que

desaparecen de la regin incremental dG(t) en el espacio de fase en el instante t.

Sobre la base de las funciones de densidad poblacional y velocidades de nacimiento ymuerte se puede ahora formular la ecuacin de balance poblacional.

En una regin de control arbitraria R(t) G(t), se puede establecer que:


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velocidad devariacin del

nmero de

partculas enR(t)

=

flujo neto departculas atravs de la

frontera de R(t)

+

velocidad neta degeneracin de

partculas enR(t)

(1.8)

En forma matemtica:

d

dt

R(t)

dR=

R(t)

J dS+

R(t)

(A M)dR (1.9)

Donde R(t) es la frontera de R(t) y Jes la densidad de flujo numrico total.

La velocidad de variacin del nmero de partculas en R(t) est dada por:

d

dt

R(t)

dR= d

dt

d(t)

V(t)

dV

d(d) (1.10)

El flujo numrico neto de partculas a travs de la frontera R(t) es aquel que atraviesala superficie V(t) que envuelve al volumen activo V(t) , sumado a travs del espaciode fase interno d(t):

d(t)

V(t)

(J n)ds

d(d) =

R(t)

Jdx (1.11)

Esto se obtiene utilizando el teorema de la divergencia, donde dx = nds d(d)

La generacin neta de partculas corresponde a:

R(t)

(A M)dR=

d(t)

V(t)

(A M)dV

d(d) (1.12)

Reemplazando 1.10,1.11 y 1.12 en 1.9, se tiene:

ddtd(t)

V(t)

dV

d(d) =d(t)

V(t)

(J n)ds

d(d) +d(t)

V(t)

(A M)dV

d(d)

(1.13)

Se puede introducir el operador derivada dentro del primer signo integral del ladoizquierdo de 1.13, mediante uso de la regla de Leibnitz para diferenciacin de integralesdefinidas cuyos lmites son variables en el tiempo. La prueba de la regla de laibnitz seescribe a continuacin


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Teorema 1.2.1. SeanI, J intervalos reales no triviales, conIcompacto yJabierto.Seaf :I J R una funcin tal que:

a) f(, y) es integrable enIpara todo y Jb) f(x, ) es derivable enJpara todo x I.

Supongamos adems que fy

es continua enI J. Entonces:

a) fy f(, y) es integrable para todo y J

b)If(x, y)dx es derivable con derivada continua enJpara todo x I.

Y se cumple la regla de derivacin bajo la integral, ddy

If(x, y)dx =

Idfdy

(x, y)dx paratodo y J.

Observacin. : todas las integrales que aparecen son en el sentido de Riemann. ElintervaloI, se eligi cerrado, porque la integral de Riemann est definida en intervaloscerrados.

El intervalo Jse eligi abierto para evitar preocuparse de la derivada en los extremos.

Demostracin. Seay Jfijo. Demostremos que existe el lmite de la derivada en y dela funcin

If(x, y)dx, es decir,lmh0(

If(x, y +h)dx

If(x, y)dx) =

ddy

If(x, y)dxy

que este lmite es:Ify

(x, y)dx. Sea >0. Tomemos und >0 suficientemente pequeo

de manera que [y d, y+ d] J por hiptesis fy es continua en IJ y por tanto

continua enI [y d, y + d]y comoI [y d, y + d]es cerrado entonces por el teorema5, fy es uniformemente continua en I [y d, y+ d], as podemos elegir un 0 < =d

tal que | fy (x, y1) fy (x, y2)|

|I| para todo x I, para todo y1, Y2 [y d, y+d]

tales que| y1 y2| .()

Tomemos ahora cualquierh R con|h| ,h= 0. El teorema del valor medio aseguraque para cada x Ihay un cierto yx en el intervalo delimitado por x y y+h tal que1h

(f(x, y+h) f(x, y)) = fy

(x, yx). Esto nos permite probar que el lmite que define

la derivada de fcon respecto a y es uniforme | 1h(f(x, y+h) f(x, y)) fy (x, y)|=|

fy (x, yx)

fy (x, y)|

|I| .

Entonces, como fy

es tambin integrable enI(ya que es continua), estamos en condicin

de probar que el lmite de la derivada en y de la funcin

If(x, y)dx existe y es el

esperado


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| 1

h

I

(f(x, y+h)

I

f(x, y)dx

I

f

y(x, y)|

=|I

1h(f(x, y+h)dx f(x, y)) fy (x, y)

dx|

I

|

1

h(f(x, y+h)dx f(x, y))

f

y(x, y)

| dx

=

I

|

f

y(x, yx)

f

y(x, y)

|

I

|I|dx= .

Que es precisamente la derivada deIf(x, y)dx por medio de la definicin de lmite.

Con esto tenemos que ddy

If(x, y)dx=

Ify

(x, y)dx. Falta comprobar que la derivada

es continua. Sea y J cualquiera, y dado > 0 elijamos d, > 0 igual que en ().

Entonces para h R,|h| < , por teorema 7. |Ify (x, y)dx

Ify (x, y +h)dx|

I| fy (x, y)

fy (x, y+h)|dx

I

|I|dx= ,luego la derivada es continua.

Lema 1.2.1. SeanI, J intervalos reales no triviales, con I cerrado yJ abierto. Seaf :I J Runa funcin continua tal quef(x, ) es derivable enJpara todo x I.Supongamos adems que fy es continua enI J. Fijemosto I. Entonces, la funcin:G: I J R(t, y)

tt0

f(x, y)dx Es derivable en cualquier punto del interior deI J.

Demostracin. Calculemos las derivadas parciales de G y veamos que son continuas;entonces, por teorema 8 G sera diferenciable en los puntos anterior. El teorema fun-

damental del clculo dice que para (t, ) IJ, ddttt0 f(x, y)dx = f(t, y) la cual es

una funcin continua. De otro lado, la funcin fest en las hiptesis del teorema 1.2.1en cualquier conjunto [t0, t] J cont I, luego G tiene derivada parcial con respectoa y as: d

dy

tt0

f(x, y)dx=tt0

fy

f(x, y)dx (Observar que se cumple sin importar si t es

mayor o menor quet0). Veamos que esta funcin es continua en I J. Sea(t, y) IJ,y >0.

Elijamos >0 tal que [y , y+ ] Jy para todo h con | h|< ,I| fy (x, y)dx

fy

(x, y+h)|dx < 2 (Sabemos que esto puede hacerse, ver final de la demostracin del

teorema 1.2.1). Por teorema 9. Elijamos tambin una cota M >0 de fy

en el cerrado

I [y , y +]veamos por teorema 7 que en efectott0 fy (x, y)dxes continua. Entonces,

parah1, h2 Rtales que |h1| 2M

, |h2| .


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|

tt0

f

y(x, y)dx

tt0

f

y(x+h1, y+h2)dx|=|

tt0

f

y(x, y)dx

th1t0

f

y(x, y+h2)dx|

=| tt0

f

y (x, y)dx t

t0

f

y (x, y+h2)dx+

th1t0

f

y (x, y+h2)dx

|

=|

tt0

f

y(x, y)dx

f

y(x, y+h2)

+

tth1

f

y(x, y+h2)dx|

tt0

|f

y(x, y)dx

f

y(x, y+h2)|dx+ |

tth1

f

y(x, y+h2)dx|

I

|f

y(x, y)dx

f

y(x, y+h2)|dx+ |h1|M

2+

2=

Corolario 1.2.1. (regla de derivacin de Leibnitz). SeanI,J intervalos reales no tri-viales, conIcerrado yJabierto. Seaf :I J Runa funcin continua enI J tal

quef(x, ) es derivable enJ para todo x I supongamos adems que fy es continuaenI J. Seat0 I yg : JIuna funcin derivable. Entonces,

a)fy

(, y) es integrable para todo y J

b)g(y)t0

f(x, y)dx es derivable enJ para todo x Jy se cumple la regla de derivacin

de leibnitz, ddyg(y)t0

f(x, y)dx= f(g(y), y)g(y) +g(y)t0

fy (x, y)dx par todo y J

Demostracin. SeaH=G F :J Ry g(y)

t0f(x, y)dx

Luego derivandoHcon la regla de la cadena se tiene: H(y) =G(f(y)) F(y)

ddy

g(y)t0

f(x, y)dx=

f(g(y), y)

g(y)t0

fy (x, y)dx

g(y)

1

ddy

g(y)t0

f(x, y)dx= f(g(y), y)g(

g(y)t0

fy (x, y)dx

Corolario 1.2.2. (regla de derivacin de Leibnitz). SeanI,J intervalos reales no tri-viales, conIcerrado yJabierto. Seaf :I J Runa funcin continua enI J talquef(x, ) es derivable enJ para todo x I supongamos adems que f

y es continua

enI J. Seanh, g: JIuna funcin derivable. Entonces,

a)fy (, y) es integrable para todo y J

b)g(y)h(y)

f(x, y)dx es derivable enJ para todo x Jy se cumple la regla de derivacin

de leibnitz, ddyg(y)t0

f(x, y)dx=g(y)h(y)

f(x,y)y dx+f(g(y), y)g

(y) f(h(x), y) h(y)

=g(y)h(y)

f(x,y)dx

y + d

dx

ddx

f(x, y)

dx


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Demostracin. ddyg(y)h(y) f(x, y)dx

= ddy

g(y)h(y) f(x, y)dx+

g(x)t0

f(x, y)dx

= ddy h(y)

t0f(x, y)dx+

g(y)

t0f(x, y)dx

por el corolario anterior se tiene:

f(h(y), y) h(y) +h(y)t0

fy

(x, y)dx

+

f(g(y), y) g(y) +g(y)t0

fy

(x, y)dx

= ddyg(y)h(y)

f(x, y)dx+f(g(y), y)g(y) g(y) f(h(y), y) h(y)

El lado izquierdo de la ecuacin 1.13 por la regla de leibnitz queda as:

d

dt

d(t)

V(t)

dV

d(d) =

d(t)

d

dt

V(t)

dV

+

d

d(d)

V(t)

dV

d(d)

dt

d(d)

(1.14)Reemplazo 1.14 en 1.13 y reordenando de modo de colocar todos los trminos bajo unsolo signo integral:

d(t)

d

dt

V(t)

dV

+

d

d(d)

V(t)

dV

d(d)

dt

+

V(t)

(Jn)ds

V(t)

(AM)dV

d

(1.15)

Como la regin de control del subespacio de coordenadas internas d(t)se eligi arbitra-riamente, una condicin suficiente para que se satisfaga 1.15 es que el integrando sea

nulo, es decir:

d

dt

V(t)

dV

+

d

d(d)

V(t)

dV

d(d)

dt

+

V(t)

(Jn)ds

V(t)

(AM)dV = 0

(1.16)

Esta ltima ecuacin constituye una forma general del balance macroscpico de pobla-cin, donde la propiedad est integrada de V(t).

El flujo numrico neto de partculas que atraviesan la frontera de V(t)puede separarseen una componente convectiva, esto es, asociada al movimiento y en otros flujos. Usandopara estos ltimos la nomenclatura JD , entonces:

V(t)

(J n)ds=

V(t)

(v w) nds+

V(t)

(JD n)ds (1.17)

Donde v es la velocidad de las partculas contenidas en el volumen de control V(t) , lafrontera del cual, a su vez, se mueve con velocidad w . Si se considera un volumen del


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control con una entrada y una salida por la cual puede pasar el flujo convectivo de lapropiedad, entonces:

V(t)

(v w) nds= A1(t)

v1ds+ A0(t)

v0ds (1.18)

Donde:

A1(t) = rea de entrada al volumen V(t)

A0(t) = rea de salida del volumen V(t)

V1= (v w) nen A1(t)

V0= (v w) nen A0(t)

Definiendo las magnitudes promedio del sistema:

A= 1

V(t)

V(t)

AdV (1.19)

M= 1

V(t)

V(t)

MdV (1.20)

= 1

V(t)

V(t)

dV (1.21)

1 =

A1(t)

v1dsA1(t)

v1ds =

A1(t)

v1ds

Q1(t) (1.22)

0 =

A0(t)

v0dsA0(t)

v0ds =

A0(t)

v0ds

Q0(t) (1.23)

JD = 1

s(t)

s(t)

JD nds (1.24)

Donde s(t) es la frontera V(t).Reemplazando las ecuaciones 1.17 a la 1.24 en 1.16 y reordenando se obtiene:

t

V(t)

= Q1(t)1 Q0(t)0 JDs(t)

d

d(d)

V(t)

d(d)

dt

+V(t)

A M

(1.25)


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En 1.25 se ha reemplazando la derivada total por la derivada espacial ya que la funcin no tiene distribucin espacial.

Esta ltima relacin es la forma final de la ecuacin de balance macroscpico para ladensidad poblacional de entidades particuladas en un volumen de control V(t), ence-

rrado por una superficie s(t) y provisto de una entrada y una salida de reas A1(t) yA0(t) , respectivamente.

En la formulacin anterior se puede representar la evolucin temporal de la distribu-cin de cualquier propiedad extensiva de inters, previa especificacin de la cintica decambio de dicha propiedad para las entidades particuladas individuales.

1.3. Modelo fenomenolgico del desgaste de cuerpos moledores

El consumo de medios moledores, y en partcular de bolas, ha sido estudiado desde una

visin fenomenolgica (Menacho 1985 Op.Cit., Lynch, etc). Y a continuacin se pretendeformalizar matemticamente, algunos de los pasos para la obtencin del modelo debalance aplicado al proceso de desgaste de bolas en un molino rotatorio convencional.

Modelo general

La aplicacin de la ecuacin 1.25 al desgaste de bolas en un molino rotatorio involucralas siguientes consideraciones:

1. La fractura de bolas u otro evento catastrfico es despreciable dentro del molino:

A= M= 0 (1.26)

2. No hay flujo difusivo de las bolas a travs de la superficie s(t) de V(t):

JD = 0 (1.27)

3. El volumen de control V(T) es el volumen de VB(t) de la carga de bolas en elmolino

V(t) =VB(t) (1.28)

Reemplazando 1.26 a 1.28 en 1.25 se obtiene:

t

VB(t)

= Q1(t)1 Q0(t)0

d

VB(t)

d(d)

dt

(1.29)

Definiendo las siguientes variables extensivas:

N(d, t) =VB(t)(d, t) (1.30)


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I(d, t) =Q1(t)1(d, t); 0(d, t) =Q0(t)0(d, t) (1.31)

Definiendo adems:

d(d)

dt =g(d); con g(d)0 (1.32)

Reemplazando 1.30, 1.31 y 1.32 en 1.29 y reordenando se llega a:

N(d, t)

at +

d{N(d, t)g(d)}= I(d, t) 0(d, t) (1.33)

Donde N(d, t)d(d) es el nmero de bolas con tamao entre d y d+ (d) en la carga debolas en el instante t.

I(d, t)d(d) y 0(d, t)d(d) son los nmeros de bolas con tamao entre dyd +d(d) queentran y salen de la carga de bolas por unidad de tiempo, respectivamente. g(d) es lavelocidad de desgaste de una bolsa de dimetro d.

La ecuacin 1.33 representa una forma general del balance macroscpico de poblacinaplicado al desgaste de bolas en un molino rotatorio. La figura 1.1 muestra la interpre-tacion fisica del balance expresado en la ecuacion 1.33

Previo a su resolucin bajo condiciones inicial y de contorno adecuadas, se debe esta-blecer una ecuacin constitutiva para g(d) y se debe explicitar la forma funcional deI(d, t) y 0(d, t).

Forma explcita del modelo de desgaste de bolas

El tipo de ecuacin diferencial que resulte como modelo est supeditado a la forma dela funcin g si sta dependiera de N, la ecuacin 1.33 se hara no lineal y apareceranvarias complicaciones en su resolucin.

De la discusin presentada en el captulo 1.2 se desprende que los mecanismos principalesde desgaste de cuerpo moledores son la abrasin, el impacto y la corrosin-erosin, todosellos influenciados por la existencia de gradientes de dureza y distribucin radial demacro y microconstituyentes. A continuacin se describen matemticamente los casosde mayor inters.

Abrasin pura en bolas con desgaste isotrpico.

En el caso de abrasin pura con desgaste isotrpico, la prdida de masa ocurre pormicromecanizado y rayado de superficies y es un fenmeno netamente superficial queno provoca solicitaciones apreciables al anterior de la bola. La velocidad de prdida demasa dw(d)

dt , es directamente proporcional al rea superficiala(d)de una bola de tamao

d:


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Figura 1.1: Balance de cuerpos moledores en un molino rotatorio. [ Menacho Jorge, Jofr Javiery Zivkovic Yandranka, 1995 ].

dw(d)

dt =RAd

2

; RA< 0 (1.34)

Donde RA es la constante cintica de desgaste por abrasin pura, la que depende dela abrasividad de la pulpa y de caractersticas fsicas de las bolas tales como dureza ymacro y microestructura, entre otras. Recordando que:

dw(d)

dt =

dw(d)

d(d)

d(d)

dt (1.35)

w(d) =p

6d3 (1.36)

Combinando 1.35 y 1.36 resulta:

dw(d)

dt =

1

2pd2g(d) (1.37)

Igualando las ecuaciones 1.34 y 1.37 se obtiene:


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g(d) =d(d)

dt =A; A=

2RA

(1.38)

Luego, decir que la velocidad de prdida de masa de una bola es directamente pro-

porcional al rea superficial es equivalente a decir que la velocidad de disminucin desu dimetro es constante en el tiempo. Este comportamiento, conocido como cinticade desgaste de orden cero, se ilustra en la figura 1.2 donde se muestran resultados ex-perimentales obtenidos en molinos industriales chilenos. Las velocidades especficas dedesgasteA, comnmente llamadas tasas de desgaste, corresponden a las pendientes delas respectivas relacionadas lineales.

Figura 1.2: La cintica de orden cero en molinos industriales chilenos [Menacho .M. Jorge,1985.]

En la figura 1.2, se puede apreciar diferentes pruebas de bolas marcadas, en donde lascurvas 1,2 y 3 fueron obtenidas en ensayos con un molino de bolas Marcy de 12x 16pulgadas con 3 tipos de diferentes marcas de bolas y la curva 4 corresponde a datosobtenidos en un molino de bolas Marcy de 9:5X12 pulgadas . En ambos molinos ladescarga es con parrilla de de 0:75 pulgadas de abertura nominal.

Impacto puro en bolas con desgaste isotrpico

En el caso de solicitaciones de impacto puro, la disminucin de masa ocurre por micro-

fractura. La velocidad de prdida de esta masa es directamente proporcional a la fuerzade impacto la cual, para condiciones dadas de operacin, depende solamente del pesode las bolas y por lo tanto de su masa. Matemticamente:

dw(d)

dt =R1w(d) =R1

6d3; R1 < 0 (1.39)


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DondeR1es la constante cintica de desgaste por impacto, la cual depende de la fluidezde la pulpa dentro del molino, tamao y densidad de las bolas, porcentaje de velocidadcrtica de giro del molino y resistencia de las bolas al impacto, entre otras variables.

Igualando 1.37 y 1.39 resulta:

dw(d)

dt 1d; 1 =

R13

(1.40)

Corrosin - erosin pura en bolas con desgaste isotrpico

En el caso de corrosin - erosin el desgaste es nuevamente un proceso que slo com-promete a la superficie de las bolas.

No obstante, se diferencia de la abrasin pura en que la constante cintica de desgasteRc es ahora una funcin de las condiciones electroqumicas del medio; en efecto, la

velocidad de prdida de masa est regida por la ley de Faraday:

dw(d)

dt =

Mw1ccF

=Mwic

eF a(d) =Rca(d) (1.41)

DondeMw es el peso atmico de elemento que se oxida, F een este caso;c es el nmerode electrones transferidos por tomo de F eque se oxida, Fes la constante de Faraday(96500cb) e Ic , ic son la intensidad y densidad de corriente generada por la corrosinde las bolas segn (50), (51):

F e= F e2+ + 2e

F e2+ + 2OH =F e(OH)2, E0 =0.887volts

F e+ 20H =F e(OH)2+ 2e

Y por la reduccin catdica del oxgeno de la pulpa:

O2+ 2H2O+e = 40H, E0 = 0.401volts

La densidad de corriente de corrosin est ligada el potencial mixto EM, acidez opH ,presin del oxgeno disueltopO2 y actividad de otras especies presentes cj , susceptiblesde oxidar al fierro metlico de las bolas.

Combinando 1.41 con 1.37 se obtiene:

g(d) =d(d)

dt =ae; ae=

2Mwic(EM,pH,pO2, cj)

ceF (1.42)


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Para condiciones dadas de operacin, 1.42 es formalmente idntica a 1.38. La diferen-cia radica en que normalmente | ae |>>| aA |. La dependencia de ie con las variablesindependientes sealadas antes, obedece a modelos electroqumicos cinticos bien es-tablecidos. Debido al rol preponderante de la corrosin en los consumos de acero en

molienda hmeda de menas, recientemente se ha iniciado el estudio de este fenmenoen forma separada al presente trabajo y con el propsito final de explorar alternativasde proteccin a la corrosin electroqumica.

Desgaste por mecanismo nico con distribucin radial de dureza y de microcons-tituyentes

Las velocidades especficas de desgaste por mecanismo nico, con distribucin radial dedureza y de microconstituyentes, son funciones del dimetro de las bolas y para ellasrigen las siguientes relaciones:

Abrasin pura: g(d) =A(d) (1.43)

Impacto puro: g(d) =I(d)d (1.44)

Corrosin - erosin pura: g(d) =c(d)d (1.45)

Del trabajo de numerosos autores, Menacho. Jorge, [4], Austin .G. Leonard, ConchaFernando,[4], se desprende que las relaciones (d) pueden ser bien representadas porfunciones de potencia ded. Ello significa que cualquiera de las 3ecuaciones precedentesse puede escribir como:

g(d) =d (1.46)

Dondeyson parmetros independientes del dimetrodde las bolas. Note que todaslas expresiones cinticas derivadas antes son casos particulares de 1.46, que formalmenterepresenta una cintica de desgaste de orden con respecto al dimetro d de las bolas.

Desgaste por mecanismos simultneos con posible distribucin radial de dureza yde microconstituyentes

En el caso de desgaste por mecanismos simultneos con posible distribucin radial dedureza y de microestructura, hay U mecanismos paralelos de desgaste, cada uno de loscuales obedece a la expresin 1.46. Para el conjunto rige la relacin:


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g(d) =u

j=1

jdj (1.47)

El uso de la ecuacin de control mixto est limitado por la dificultad de determinar lacontribucin individual de cada mecanismo en la operacin de molinos industriales.

Por otro lado, la ecuacin 1.46 permite, en muchos casos, una buena aproximacin a lafuncin de control mixto. Sin embargo, para efectos prcticos una solucin asintticaconsiderando solamente el efecto de desgaste ms importante genera una buena aproxi-macin y por ello es prcticamente suficiente considerar un slo mecanismo controlanteen la interpretacin de datos cinticos de desgaste de bolas a nivel industrial y utilizarla ecuacin constitutiva final 1.46.

Los flujos de entrada y de salida de bolas

Puesto que el desgaste de bolas en un molino rotatorio es un proceso muy lento, laprctica industrial de cargar bolas una vez por da o por turno, puede considerarsecontinua en relacin a los largos intervalos de tiempo involucrados en el proceso. Porotra parte, en los molinos se carga bolas de un nmero limitado de tamaos y la descargao rechazo de bolas se distribuye estrechamente en torno a un solo tamao caracterstico.La figura 3.2 muestra la frecuencia msica relativamj3(d)de bolas en la entrada y salidade un molino industrial de parrilla.

Figura 1.3: Distribuciones de tamao de bolas de alimentacin y descarga

Molino Marcy de 12.5 16 , 0.75 pulgadas [tomado de Menacho .M. Jorge.1985.]

Segn lo expuesto, el flujo de entrada de bolas al molino puede representarse por unasuma de varios impulsos en los tamaos dR, r = 1, 2,...,k y aproximadamente inde-pendiente del tiempo. Esto ltimo se justifica porque en las operaciones industriales se


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suele reponer una masa diaria de bolas prcticamente constante. La aplicacin de unanueva recarga genera un transiente en el perfil de tamao y nivel de llenado de bolas,cuya magnitud depende de la diferencia entre el estado estacionario inicial y el estadoestacionario final correspondiente al modo de operacin elegido. Segn lo anterior, el

flujo1(d, t) de entrada de bolas es:

I(d, t) =I

kR1

m10(d)(d dR) (1.48)

Donde 1 es el nmero total de bolas en la entrada por unidad de tiempo, m10(d) es la

frecuencia numrica relativa de tamao de bolas en la entrada y es la funcin DeltaDirac definida segn:

(d dR) = 0 para d=dR (1.49)

(d dR)d(d) = 1 (1.50)

Y losdR son los tamaos de las bolas alimentadas al molino.

El flujo de descarga de bolas de aproximadamente un solo tamao d0 , luego el trmino0(d, t) puede tambin expresarse a travs de una funcin Delta Dirac en la forma:

0(d, t) = 0m00(d)(d d0) (1.51)

Donde 0(t) es el flujo numrico de bolas a la salida, m00(d) es la frecuencia numricarelativa, que en este caso es 1 para d = d0 . En las ecuaciones 1.48 y 1.51 la funcinDelta Dirac tiene dimensiones de L1.

Forma explcita del modelo de desgaste de bolas

Introduciendo 1.48 y 1.51 en 1.33 se obtiene una forma manejable del modelo de desgastede bolas:

N(d, t)t

+ d

{N(d, t)g(d)}= I

kR=1

mIo(d)(d dR) 0m00(d)(d d0) (1.52)

Sujeta a la condicin inicial y de contorno:

N(d, 0) =N0(d) (1.53)


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N(d0, t) = 0 (1.54)

Donde g(d) corresponde a alguna de las expresiones cinticas propuestas antes.

Al aplicar la condicin de contorno 1.54 a la ecuacin 1.52 se obtiene:ComoN(d0, t) = 0 tenemos en 1.52

N

0

(d0, t)

t +

d{N

0(d0, t)g(d)}= I

kR=1

mIo(d) 0

(d0 dk) 0m00(d)(d0 d0)

Porque (d0 dk) = 0 si d =dk, por tanto 0(t) = 0

N(d, t)t

+ d

{N(d, t)g(d)}= I

kR=1

mIo(d)(d dR) (1.55)

Ecuacin que seala que las bolas abandonan instantneamente el molino al alcanzarel tamao d0 y que para los tamaos superiores no existe flujo de salida de bolas. Loprimero es discutible pudiendo establecerse una condicin de salida alternativa en quepor ejemplo el flujo de salida de las bolas de tamaod0 sea proporcional a su frecuenciaen el molino. Lo segundo es estrictamente correcto debido al efecto de clasificacin dela parrilla de descarga.

1.4. Forma explcita del modelo 2

El modelo anterior (modelo 1) y el nuevo modelo (modelo 2) difieren en la descripcindel mecanismo de descarga. Segn Menacho y Concha [13,14] existe un tamao dmina la cual las bolas dejan el molino. Bolas de este tamao se extraen a la velocidad dedescargaQD(t) tal que

qD(d,t,u) =QD(t)(d dmin) (1.56)

Ahora determinamos una solucin exacta para el Modelo 1 por el principio de Duhamel

[23] es decir, a 1.56 con condicin inicial. Usando el mtodo de las caractersticas parael problema homogneo

u

t +

d(g(d)u) = 0, u(d, 0) =u0(d)

se obtiene la solucin homognea


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uH(d, t) =g((d, t))

g(d) u0((d, t)).

donde (d, t) es la ecuacin caracterstica que se intersecta a travs de (d, t) con el

eje d. Una frmula explcita para (d, t) cuando g(d) viene dada por g(d) =

dd0

,

0 1,


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Donde

[a,b](d) =

1 si d [a, b], a b

1 si d [b, a], b a

0 en otro caso

(1.59)

denota la funcin caracterstica de el intervalo [a, b]. Note que 1.57 deflne una funcinque es en general discontinua a travs de la linea d = d1, . . . , dp, dmin y la curva t ((dk, t), t), k = 1, . . . , p y t ((min, t), t). Por consiguiente 1.57 no satisface elmodelo1, en un sentido puntual, esta funcin es una solucin dbil.El modelo 1 ha resuelto con xito algunos problemas de ingeniera, pero tiene un defectoque se presenta en 1.57. Es decir, la velocidad de descarga de las bolas en un punto detiempo dado no implica la solucin u.

El modelo 1 puedo ser mejorado si se introduce otro concepto para el mecanismo de des-

carga de las bolas de una manera diferente. En lugar de asumir que existe un mecanismode descarga que asume que las bolas salen instantneamente en un cierto tamao ds, elcual no es lo suficientemente realista y dificulta su implementacin, se considera mejor,que las bolas de tamao d ds, salen automticamente en todo tiempo a travs de laparrilla de descarga, de dimetro ds. Este efecto de seleccin, puede ser considerado,si hacemos un cambio en forma del trmino del mecanismo de descarga y reescribimosla ecuacin de forma integral. Entonces tenemos, primero sin la parrilla de descarga yconsideremosda, db=d1, . . . , dp,

n(da, db, t+ t) n(da, db, t) =

t+t

t

(g(db)u(db, ) g(da)u(dda, ))d

+

pk=1,da


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Observe que la ecuacin del modelo 1 en conjuncin con 1.61 es cuasilineal, pero unpoco ms complicado que la ecuacin para el modelo 1, ya que el trmino sumiderodepende ahora de la solucin u. Reescribimos la ecuacin gobernada para el modelo 2as.

u

t +

d

g(d)u(d, t) QF(t)

pk=1

mKFH(d dk)

= Qs(t)[0,ds](d)u(d, t) (1.62)

Limitaremos el anlisis fuerte a ese caso. Debemos esperar que, a diferencia del modelol, el modelo 2 produce slamente soluciones no negativas.

1.5. Solucin exacta del modelo 2

Para simplificar el anlisis, asumiremos que los coeficientes son independientes del tiem-

po, y simplificaremos la notacin para el trmino cernidor establecido por:

b(d) :=Qs[0,ds](x) (1.63)

Usando el mtodo de las caractersticas para resolver el problema homogneo:

u

t +

d(g(d)u) b(d)u= 0, u(d, 0) =u0(d)

Obtenemos la solucin homognea

uH(d, t) =g()

g(d)0()

d

b(s)

g(s)ds

Donde (d, t) es dada por 1.57 si g(d) est definida por g(d) = d

d0

, 0 1,


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Donde

w(d,t,) :=g()

g(d)

R()expd

b(s)

g(s)

ds, := (d, t ).Con el cambio de variables = = (d, t ), =d/g(), la solucin se reduce a:

u(d, t) :=uH(d, t) 1

g(d)

(d,t)d

R()exp d

b(s)

g(s)ds

d. (1.65)

Para el modelo 2 con una razn de alimentacin constante, el lado derecho R, consistede una suma de trminos:

R(d) =QF

pk=1

mkF(d dk)

La presencia de las funciones , simplifica la solucin exacta:

(d,t)d

R()exp d

b(s)

g(s)ds

d=

(d,t)d

QF

pk=1

mkF( dk)exp

d

b(s)

g(s)ds

d

=QF

pk=1

mkF[d,(d,t)](dk)exp ddk

b(s)g(s)

ds

Sustituyendo esta expresin en 1.65, obtenemos:

u(d, t) :=uH(d, t) QFg(d)

pk=1

mkF[d,(d,t)](dk)exp

ddk

b(s)

g(s)ds

(1.66)

Usando 1.63 podemos calcular frmulas explcitas para las integrales de la forma

l(z1, z2) :=

z2z1

b(s)

g(s)ds

Que aparecen tanto en las porciones homogneas y no homognea de la solucin. Espe-

cficamente para la ley de desgaste g(d) =d

d0

, 0 1,


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l(z1, z2) :=QSd

0

log(min{ds, z2}) log(min{ds, z1}) para= 1,

1

1 ((min{ds, z2})1 (min{ds, z1})1) para= 1.

Es evidente de esta frmula quel(z1, z2) = 0si ambas z1 ds yz2 ds, indicando queel cernidor no tiene efecto en la solucin para d > ds. Coloquemos en un slo lugar lasolucin exacta de la ecuacin:

u(d, t) :=uH(d, t) QFg(d)

pk=1

mkF[d,(d,t)](dk)exp(l(dk, d)) (1.67)

Donde

u(d, t) :=uH(d, t)g()

g(d)u0exp(l(d

k, d)), (d, t) =

d exp(t/d0) para =x1

d0(1 )

11

para


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Captulo 2

Metedologa Experimental

2.1. Prueba de bola marcada

La prueba de bola marcada es una potente herramienta en las manos de los inves-tigadores para determinar la calidad de cuerpos moledores ms apropiada para unascondiciones de molienda dadas. La prueba de bolas marcadas nos puede ayudar a deci-dir:

1. El tipo de cuerpo moledor con mejor desempeo.

2. Comparar el diseo de cuerpos moledores de diferentes proveedores.

3. Definir cul mecanismo de desgaste predomina en el molino: impacto, abrasin

y/o corrosin.

Los cuerpos moledores con diferente composicin y/o tamao, son perforados con di-ferentes patrones, en nuestro caso estas vienen perforadas por fabricacin para evitarun deterioro de la bola. Las bolas marcadas son pesadas y medidas a intervalos detiempo peridicos. La tasa de desgaste especfica para las diferentes calidades puede serdeterminada y expresada en alguna de las siguientes unidades:

1. Gramos / Ton de material molido

2. Reduccin en el rea superficial por tonelada molida de material cm2/ton.

3. Velocidad de desgaste en mm por 1000 horas de operacin.

La prueba asume que la velocidad de desgaste de todos los tamaos de bolas de unacalidad en particular, es constante.

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CAPTULO 2. METEDOLOGA EXPERIMENTAL 37

2.2. Procedimiento

1. La cantidad de bolas para la prueba deber ser suficiente para que cada vez quese realicen mediciones, por lo menos 8 a 10 bolas sean extradas. Un nmero de

bolas recomendable es:

a. 90/80mm 200 bolas

b.70/60mm 300 bolas

c.50/40mm 500 bolas

2. Las bolas seleccionadas para la prueba de bola marcada debern normalmente serlos tamaos ms grandes usados en la cmara del molino evaluada. Esto permitefcil identificacin durante las paradas para medicin. Bolas de menos de 30 mmde dimetro no son seleccionadas por su dificultad para ser perforadas.

3. El dimetro de la perforacin debe ser menor que 1/10 del dimetro de la bola.Profundidad del hueco recomendado:

Dimetro de bola (mm) Profundidad del hueco(mm)100/70 1560/50 1240 10

Nmero de huecos:1,23. Si dos calidades de bolas estn siendo probadas simult-neamente, huecos a90 y180 pueden ser perforados para una mejor identificacin.Resinas de colores se pueden usar como relleno en las perforaciones.

4. La bolas son fundidas con una variacin en su peso de:

Dimetro de bola (mm) Variacin de peso(gr)100/70 560/40 2

5. Para molinos de cemento la primera lectura o medicin puede ser tomada despusde500horas de operacin. Con intervalos500horas o1000horas se pueden realizarlas otras mediciones, dependiendo de la tasa de desgaste esperada.

6. 8 a 10 bolas son sacadas del molino en cada parada. El molino debe ser rotadohasta conseguir el nmero de bolas requerido.

7. Las bolas seleccionadas son limpiadas completamente con agua y las condiciones dela superficie deben ser observadas (pitting, spalling, deshaping, etc.). Las bolas sonindividualmente pesadas. El peso promedio es anotado. El dimetro es calculadodel peso medido. La frmula para calcular la tasa de desgaste es:


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CAPTULO 2. METEDOLOGA EXPERIMENTAL 38

Razndedesgaste(gr/ton) =

PerdidadelRadio(mm) AreaSuperficialTotalCarga(m2) 7.8gr/cm3 103

MaterialMolido(ton)

8. Las bolas con el ms alto y ms bajo dimetro son enviadas a la fbrica de bolaspara trabajos de investigacin.

9. La prueba de bolas marcada puede ser considerada completa cuando la tasa dedesgaste para la aleacin evaluada tiende a estabilizarse en un valor mnimo ocuando las bolas tienen menos de 15 a 20 mm sobre el dimetro de 70 a 100 mmy10 a 15 mm para bolas de 40a60mm.

10. Es recomendable disear un formato para recolectar informacin en cada parada.

2.3. Materiales y Mtodos

El trabajo experimental se efectu en la planta Yumbo propiedad de Cementos ArgosS.A. Se aplic la prueba de bola marcada a dos tipos de bolas diferentes, tomando 196bolas de 90mm de dimetro para ambas especificaciones, estas fueron suministradas porun mismo proveedor (Vega Industries), con las siguientes composiciones qumicas.

TABLA 1. Composicin Qumica de Bolas

REFERENCIA DE BOLAS Cr % C % DUREZA HRC

180-Vegaplus-tipo I 21-23 2.7-3.1 6390-Vegaplus-tipo II 18-21 2.1-2.8 60-66

Las 196 bolas fueron marcadas con dos agujeros de 13mm de profundidad, formandoentre los dos huecos180 para el tipo de bola I y90 para el tipo de bola II, estas fueronintroducidas dentro de un molino industrial con las siguientes especificaciones.

TABLA 2. Especificaciones del Molino


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Captulo 3

Resultados y anlisis

3.1. Simulacin del desgaste de medios moledores

La figura 3.1 y 3.2 muestra el ajuste por mnimos cuadrados de los datos de la tabla3 para el tipo de bola I y II. Para el tipo de bola I se obtuvo como mejor ajuste lacurva exponencial:Y =D exp(Ax) paraD = 90, 276866585 , A = 0, 000064171 conun error de 0,148349170, mejorando el error de la curva lineal que era de 0,193250159.Para el tipo de bola II el mejor ajuste lo obtuvo la recta Y = 0, 0039x+ 88, 7286con un error de 0,318809655, mejorando el error de la curva exponencial que era de0,351002945. En este sentido se usarn las leyes de desgaste lineal y exponencial en lasaplicaciones.

El ajuste de la curva de tipo hiperblico no parece tener una buena aproximacin a

los datos experimentales, a pesar de que se tena una leve sospecha de que este hechopodra ocurrir, por lo que se usarn las leyes de desgaste de tipo lineal y exponencial enlas aplicaciones. Adems es importante resaltar de que se complicaran las soluciones delas ecuaciones diferenciales que sern analizadas en las secciones siguientes del presentecapitulo, debido a que se tendran que utilizar otro tipo de herramientas matemticasnumricas para su solucin.

3.2. Balance Poblacional del desgaste de medios moledores

El modelo propuesto por Brger et al [33] es

N(d, t)

t +

d{g(d)N(d, t)QF(t)

pk=1

mkFH(ddk)}= QS(t)[0, d0](d)N(d, t) (3.1)

Donde d es el dimetro de bola, g(d) es la funcin asociada a la ley de desgaste,QF(t)es el nmero total de alimentacin de nuevas bolas en la entrada del molino, mkF es

40


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CAPTULO 3. RESULTADOS Y ANLISIS 41

Figura 3.1: Ajuste exponencial tipo de bola I.

la frecuencia numrica relativa de bolas de tamao d en la entrada del molino, H(.)esla funcin de Heaviside, QS(t) es la parrilla de descarga asociada con una funcin decontrol independiente del tiempo, [.]es la funcin caracterstica.

Para simplificar el anlisis, se asume que los coeficientes son independientes del tiempo,y se simplifica la notacin para la parrilla de descarga.

b(d) =QS(t)[0, d0](d) (3.2)

Usando el mtodo de las caractersticas para el problema homogneo resultante

N(d, t)

t +

d{g(d)N(d, t) b(d)N(d, t) = 0, N(d, 0) =N0(d)

Obtenemos la solucin homognea

NH(d, t) =g()

g(d)N0()exp

d

b(s)

g(s)ds

Donde

(d, t) =

d exp(t), para = 1

[d1 (1 )t] 1

, para


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Figura 3.2: Ajuste lineal tipo de bola I.

N(d, t) =NH(d, t) QFg(d)

pk=1

mkF[d, (d, t)](dk)exp

d

b(s)

g(s)ds

(3.3)

Usando (3) podemos trabajar con formulas explicitas para las integrales de la forma

l(z1, z2) :=z2z1

b(s)g(s) que aparecen en ambas porciones de las soluciones homogneas y no

homogneas. Especficamente para las leyes desgaste g(d) =d , obtenemos:

l(z1, z2) =QS

log(mn{d0, z2}) log(mn{d0, z1}), para = 11

1 ((mn{d0, z2})1 (mn{d0, z1})1), para = 1

Es evidente que l(z1, z2) = 0 si ambas z1 d0 y z2 d0 , indicando que la parrilla dedescarga no tiene efecto en la solucin para d d0 , en la prctica industrial esto es loque realmente ocurre, es decir, que z1 d0 yz2 d0 , por lo que l(z1, z2) = 0, ademsen el estado estacionario [d, (d, t)] 1 y

pk=1 m

kF(d

k) = 1 para recarga de bolas de90mm solamente, as

N(d, t) =NH(d, t) QFg(d)

pk=1

mkF[d, (d, t)](dk)exp

ddk

b(s)g(s)

ds

(3.4)

en el estado estacionario:

NSS(d) =QFg(d)


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3.3. Distribucin msica y frecuencia msica de bolas

La funcin frecuencia msica y3(d, t) de tamao de bolas, se define como:

y3(d, t) = d3N(d, t)d1

d0d3N(d, t)d(d)

(3.5)

En el estado estacionario para bolas de 90mm en la recarga se tiene

ySS3 (d) =d3

QFAd

QF3A

(d1)3 (d0)3

= 3d2(d1)3 (d0)3

(3.6)

La funcin de distribucin msica Y3(d, t) es definida por

Y3(d, t) =

dd0

z3N(z, t)dzd1d0

d3N(d, t)d(d)=

dd0

y3(z, t)dz (3.7)

Integrando todos los trminos y parag(d) =Ad en el estado estacionario se tiene:

YSS3 (d) =

dd0

ySS3 (d) =

dd0

3d2(d1)3 (d0)3

= d3 (d0)3(d1)3 (d0)3

(3.8)

Para una recarga con un solo tamao de 90mm, con d0 = 0 tenemos:YSS3 (60) = 60

3/903 = 0, 2962 29, 62 %

YSS3 (70) = 703/903 = 0, 4705 47, 05 %

YSS3 (80) = 803/903 = 0, 7023 70, 23 %

YSS3 (90) = 1 100%

La figura 3.3 muestra la simulacin del perfil de tamao de bolas dentro del molino segnla distribucin msica calculada cong(d) =Ad y la distribucin msica experimental.

Para g(d) = se tiene

y3(d, t) = d3N(d, t)d1d0

d3N(d, t)d(d)

En el estado estacionario para bolas de 90mm en la recarga obtenemos


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Figura 3.3: Simulacin del perfil del tamao de bolas dentro del molino, g(d) =Ad.

ySS3 (d) =d3

QF

QF

(d1)4 (d0)44

= 4d3(d1)4 (d0)4

(3.9)

La funcin de distribucin msica Y3(d, t) en el estado estacionario es

YSS3 (d) = d

d0

4d3

(d1)4

(d0)4

d(d) = d4 (d0)

4

(d1)4

(d0)4

(3.10)

Para una recarga con un solo tamao de 90mm, con d0 = 0 tenemos:

YSS3 (60) = 604/904 = 0, 1975 19, 75 %

YSS3 (70) = 704/904 = 0, 3660 36, 60 %

YSS3 (80) = 804/904 = 0, 6243 62, 4 %

YSS3 (90) = 1 100%

La figura 3.4 muestra la simulacin del perfil de tamao de bolas dentro del molino segnla distribucin msica calculada cong(d) = y la distribucin msica experimental.

Como puede evidenciarse en la figura 3.3 y 3.4 la distribucin msica calculada cong(d) = se aproxima mejor a la distribucin msica experimental.


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Figura 3.4: Simulacin del perfil del tamao de bolas dentro del molino, g(d) =

3.4. Flujo de entrada de bolas

En la prctica industrial se fija el nivel de llenado de bolas en el estado estacionario.Luego, considerando la ley de desgaste y tamao de bolas de entrada y salida, se estimael flujo de bolas a reponer diariamente. Esta forma de operar permite calcular el flujototal de entrada de bolas a partir de la ecuacin:

wSSB = d1

d0

6d3NSS(d)d(d) (3.11)

Donde wSSB es la masa de bolas en el interior del molino en el estado estacionario.Introduciendo (4) en (11) y con g(d) = donde = 0, 0042 e integrando:

wSSB =QF

24

(d1)

4 (d0)4

(3.12)

Por lo tanto

QF = 24wSSB

(d1)4

(d0)4 (3.13)

Para g(d) =Ad se define de la misma manera, donde A = 0, 000064171

wSSB =

d1d0

6d3NSS(d)d(d)


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wSSB =QF

18A

(d1)

3 (d0)3

(3.14)

De donde

QF = 18AwSSB

(d1)3 (d0)3 (3.15)

Para recarga con bolas de 90mm con d0= 0, la densidad de una bola = 7, 8ton/m3 y

de la tabla 2, la masa total de carga de bolas es wSSB = 48, 625

La figura 3.5 muestra el flujo de bolas para el tipo de bola I y II respectivamente conun desgaste lineal en ambos casos.

Figura 3.5: Flujo de bolas tipo I y tipo II con = 0, 0042

Es evidente que no existe una variacin significativa en el flujo de bolas para un cambioen la parrilla de descarga de entre [0,20].

La figura 3.6 muestra el flujo de bolas para el tipo de bolas I y II con un desgasteexponencial en ambos casos.


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Figura 3.6: Flujo de bolas tipo de bola I y II con g(d) =Ad y A= 0, 000064171

De la misma manera que en el caso lineal no existe una variacin significativa en el flujode bolas para un cambio en la parrilla de descarga de d0 entre [0,20].

3.5. Consumo de acero por desgaste de bolas

Este se define por:

CD(t) = d1d0

dw(d)dt N(d, t)d(d) = w(d1)w(d0)

N(d, t)g(d)dw(d) d1d0

N(d, t)g(d) 2 d2d(d)

(3.16)

Para g(d) = y en el estado estacionario se tiene

CSSD =

d1d0

NSS(d)g(d)

2d2d(d) =

d1d0

QF

2d2d(d)

C

SS

D =

QF

6

(d1)

3

(d0)3

=

4wSSB (d1)3 (d0)3

(d1)4 (d0)4

=

4wSSB (d1)3 (d0)3

(d1)4 (d0)4(3.17)

La figura 3.7 muestra la simulacin del consumo de acero por desgaste g(d) = =0, 0042.


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Figura 3.7: Consumo de acero por desgaste tipo de bola I y II con g(d) = = 0, 0042

De la misma manera para g(d) =Ad obtenemos

CSSD =

d1d0

NSS(d)g(d)

2d2d(d) =

d1d0

QF

Ad

2d2d(d) (3.18)

CSSD =18AwSSB

(d1)

3 (d0)3

6

(d1)3 (d0)3

=3AwSSB (3.19)

La figura 3.8 muestra el consumo de acero por desgaste g(d) =Ad.

Figura 3.8: Consumo de acero por desgaste tipo de bola I y II con g(d) = Ad y A =0, 000064171


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Por lo tanto el consumo de acero por desgaste es igual al consumo total de acero, siconsideramos que el consumo de acero por purga de bolas es cero , d0= 0, luego

CT =CSSD +C

SSP =C

SSD (3.20)

3.6. Balance poblacional tiempo dependiente del desgaste demedios moledores

La ecuacin gobernada por el modelo de Brguer et al. (2005) est dada por

N(d, t)

t +

tg(d)N(d, t) QF(t)

p

k=1mkFH(d dk)

=QS(t)[0,d0](d)N(d, t) (3.21)

donde d es el dimetro de bola, y g(d) es una funcin asociada con la ley de desgaste.Una escogencia comn es

g(d) =(d/dref), 1, asumimos que

d1 > d2> > dp, (3.24)

H() denota la funcin de Heaviside definida por:

H(x) = 1 si x 0,0 si x


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Simplificando la discusin asumimos que todos los coeficientes de las funciones sonindependientes del tiempo, y definimos

b(d) :=QS[0,d0](d) (3.26)

Finalmente asumimos que N0 = N0(d) denotando una distribucin de tamao inicialcon un tamao mximodmax, es decir

N0(d) = 0, para d dmax (3.27)

Usando el mtodo de las caractersticas para el problema homogneo

N(d, t)

t +

t(g(d)N(d, t)) b(d)N(d, t) = 0,

N(d, 0) =N0(d)

y definiendo

(z1, z2) :=

z2z1

b(s)

g(s)ds, (3.28)

obtenemos la solucin homognea

NH(d, t) = g()N0()g(d)

exp(((d, t), d)), (3.29)

donde por la escogencia 3.22 la funcin (d, t) queda definida por

(d, t) =

d exp(t/dref) para = 1

(d1 dref(1 )t) 1

1 para


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(z1, z2) =QSd

ref

log(min{d0, z2}) log(min{d0, z1}) para = 1(min{d0, z2})1 (min{d0, z1})1

1

para 0

((d, t), d) =QSd

ref

log(min{1,d/d0}) para = 1,

(min{d0, d})1 d10

1 para


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NH(d, t) 0 cuando t para d 0, (3.38)

Esta propiedad, aunque derivada por razones de forma, es completamente plausible, ya

que Esperamos que despus de un tiempo suficientemente grande, la poblacin inicialde las bolas ha sido completamente cernida. A continuacin, observemos que debido a3.35

[d,(d,t)](dk) H(dk d) cuando t para d 0, (3.39)

as obtenemos

N(d, t) NSS(d) QFg(d)

pk=1

mkFH(dk d)exp((dk, d)) (3.40)

cuando t

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Molino de bolas.pdf