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Momento Angular
r
v
O
Ilustração 1: Movimento Uniforme
r’
O’
b
Momento Angular de uma Partícula
v2
r1’
O’
r2’
v1r1
O
r2
Ilustração 2: Movimento Circular Uniforme
Sistema de Partículas (Eq. do momento angular)
O
r1
r2
f
- f
F1
F2
( válido para qualquer ponto O inercial )
Outra apresentação dessa mesma equação…
O
CR
V rivi
Observação chave:
Outra apresentação dessa mesma equação…
Observação Chave:
Válido mesmo que C seja não-inercial
Equação de Movimento para a Rotação maisgeral
Caso particular da rotação pura (eixo fixo)
• O pode ser qualquer ponto no eixo fixo de rotação
• A componente de LO ao longo do eixo de rotação é IOw
• A componente de tOext ao longo do eixo de eixo de rotação é RFext
ꓕ(R é o braço de alavanca e Fꓕ é a componente de F ortogonal aoeixo e ao braço)
Tome a componente aolongo do eixo dos doislados da equação vetorial
Conservação de Momento Angular em rotação pura-1
O
C
w
O
C
w’
Mg
Mg
N N
LO = I w LO = I’ w’
tOext permanence nulo, então LO não muda
Conservação de Momento Angular em rotação pura-2
1. A componente do torque das forças externas (peso total e eixo) ao longo do eixo é nulo. O peso tem torque em relação a O, mas esse torque é ortogonal ao eixo (tende a tombar o eixo, não fazê-lo girar).
2. As forças do eixo também exercem torque, mas não na direção do eixo (o torque do eixo anula o torque do peso).
3. Usando LO = m (R x V) + LC para o disco preto, produz (mr2w/2) (R e Vseriam a posição e a velocidade do centro do disco em relação a O)
4. Portanto a componente do momento angular total (em relação a O) ao longo do eixo é (mr2/2)w.
(M+m)g
C
w
R
O
r
(M+m)g
Cw
R
O
W
1. A inversão do eixo de rotação do disco envolve forças internas e não é capaz de alterar o momento angular
2. Agora o centro do disco preto executa um MCU de raio R e velocidade angular W
3. A componente de LO ao longo do eixo agora é IO W + (mR2) W – (mr2/2) w (IO é o momento de inércia do corpo azul)
4. (mr2/2) w = IO W + (mR2) W – (mr2/2) w
5. Ω =𝑚𝑟2
𝐼𝑂+𝑚𝑅2
video: conservation of angular momentum
Caso particular do rolamento (rotação com eixo de direção fixa)
• No caso de objetos com eixo de simetria (discos, esferas, cilindros, etc.) o CM está ao longo do eixo de simetria
• O momento angular em relação a qualquer ponto no eixo de simetria é (ICw z) [z é um versor na direção do eixo]
• Como o eixo de rotação tem direção fixa (por hipótese) as forçasexternas só tem torque na direção do eixo de rotação
Equação vetorial vira escalar
LC de um corpo simétrico girando na direção do eixo de simetria
ri
vi
bi
C
ri x vi
LC aponta na direção do eixo de rotação/simetria
w
Obs: O momento angular em relação a qualquer outro ponto sobre o eixo de simetria também é esse
𝐳
Equações do rolamento
Mg
N
f
+
+
Problemas de rotação com eixo de direçãovariável
Problema do pião
Mg
f
LO
O
C
Z
Q
LO
tO
Z
w
Lo sinQ
tO dtW dt
vista de cima
|LO|=IC w
|tO|=Mgh sinQΩ =
𝑀𝑔ℎ
𝐼𝐶𝜔 quanto maior w, menor W
1. O CM descreve um MCU com velocidade angular W
2. Pensando em MA = Fext, que força externa produz a aceleração centrípeta do CM?
3. O pião funciona no gelo?
O movimento do CM do pião
Gyroscope tricks (0:55 em diante, quase vertical) Gyroscope tricks (1:10 em diante, quase horizontal)
Versão light do problema da motocicleta fazendouma curva: Disco rolando em uma curva
Rcw
Mgf
• Rc é raio da curva
• V é a velocidade do centro da roda(para dentro do slide)
• w é a velocidade angular da roda (no sentido mostrado ao lado)
• r é o raio da roda (suposta um disco uniforme)
• V = rw
QLOtO
Z
MgO
LO = LC + Mr x V
|LO| = (IC + Mr2) w = (3Mr2/2) w
V = rw IC = Mr2/2
Lo cosQ
tO dtW dt
vista ao longo do eixo da roda
C
r
|tO| = Mgr sinQ
Ω =𝜏𝑂
𝐿𝑂 cosΘ=
2𝑔 tanΘ
3𝑟𝜔=
2𝑔 tanΘ
3𝑉
1. CM descreve um MCU de raio Rc e velocidade angular W
2. Portanto V = RcW é outra expressão para a velocidade do CM (i.e. do centro da roda)
V = Rw
tanΘ =3𝑉2
2𝑔𝑅𝑐
Q = 0 (roda na vertical) apenas se Rc ꚙ(linha reta) ou se V 0 (fazendo a curvabem devagar)
Obs: essa fórmula exagera Q em relação ao que acontece de fato com uma motocicleta. Para Rc = 100 m e V = 300 km/h essa expressão prevê Q = 84,6o....