AULA 14- A Dick DE MOMENTO ANGULAR

1 Momento angular total em M.Q

.

Come amos considerate um sistema de duos

particularsque miao interagem entre si

, pore 'm sujeitasao

mesmopotenciol central Vir ) . Neste cane,

ahamiltoniando sistema e-

simplexment

H = Hi t Hz

com Hi = LIM,

t Vert e Hz = L÷ t Viral .

Gaberones de aulos prana das que

[ In,

A , ] = O e I Ea,

Ha ] = o ⇒ I I l .,

m ..

.la

, ma > I

Obviamente,

uma vez que miao hoi interacts entrees

particular ① e ②,

[ E, ,

Hz ] = I I,

HD - O. tho sign -

f .

ca que o momento angular de cada particular i

conservator individual ment,

e potato tambim o

Momento angular total .

Consider mos agora o case em que as particulars

intra geneentire si atra

cisde um pete na al v Cli, -RTD :

IT,-I ,

I = V f x ,- x a ) '

t ly , - ya ) 2+ fz,

- zd ''

Neste case,

o hamiltonians do sistema e-

H = A,

t Hz t V ( IF-Tz I )

Agora ,IT, ,

H ] =IT,

WE-ri ) ], que em geral e-

diferente de zero . Veja Mos,

e. g. , para a component Liz

[ Liz,

v f it , -521 ) ] = I x. py,- y, px , ,

v CIF - ri ) ]

= x. I py, ,

v Cl ni - nil ) ] - y , I px, ,v Chi-521 ) ]

= - it fxizy.ve tri - ri I ) - y , ¥,

voi .- id ) ) .

Po de - se mostar que o mes mo vote para as

components de Iz. 1st signifier que .

em geral ,

a momento angular de cada particular ncis e- corner -

vado individual me rite .

Porin.

se definiens o operator memento

angular total

I =LT t LT

obteremos um operator aejas components scio

constant es de movimento . Por exempt ,

[ Lz,

H ] = I Liz t Laz,

H ] = [ Liz, Vtr, - It )) tf Laz

,vhni - sit )]

= - it I x.Iguchi - nil ) - y , ¥,

vein - rill )-ihfxzayevflr- nil ) - y , ¥ vein - nil ) )

2 2

2115- Tal ) = v' IIri - ri I = v

' Cx.2x , 2x , tr - ri I

e expresses si mi fares para as outa derivates.

[ Lz,

H ] = - gintz, { X , Cy,- y a ) - YiHe - x z ) t xz I - Cy,

- ya ) ]

- ya E - Cx .- xD ] }

= -it ,f÷ ,

fly ,- ya ) f x

,- xz ) - Cy,

- ya ) C x . - xz ) ) = o

Ati agora anumimos implicit ment que asparticularsestudadas min possum spin .Vamos considerate

agora uma cini ca part Tula com spin sujeita a une

pretended central Vili l ) . Neste case . a hamiltonian

do sistema e- dadopor

H = 210mL + Vfr ) + for ) I . 5

on deo itti mo terms i o chamade acopla mento spin -

oibita e for ) e- u ma fun scio contre cida de r up

significant f- siwrrremos quando tratarmos o citemo

de hidrogineo .

Mas o fate e- que neste case mm I nem5

e- constant de movimento,

i . e.,

[ Lz,

H ] = fer ) [ Lt.

Lx S x t Lys y t Lz Sz ]

= fin { I Lt,

Lx ] Sx t [ Lz, Ly ) S y )

it ¥↳= it fly Sx - ↳ Sy )

[ Sz,

H ] = fer ) I Sz.

Lx Sx t Ly Sy t Lz Sz )

= fir ) { Lx Tsz,

s x ) + Ly I Sz ,Sy ] )if

= - itfrnfhysx - ↳ Sy}

Entretanto,

se definirmos o memento angular total

F = I +5

as this components de I seiao constante de mon.

-

mento. Veja mos

, par exempt ,

[ Jz,H ] = I Lz

, H ] t I Sz,

H ]

= it fer ) {Ly Sx - Lx Sy) - it fer ) {Ly Sx - Lx Sy) = O

Nos do is cases ex posts acirma terms do is mementos

anguhares Je e Jaque cornuta m e centre ce mos o

espa.code estados Ej compost plos auto vetoes commsi

a

Jez,

J,

'

,Jaz e

522.

Entre tanto,

J , e Jz trio Fao cons -

tant es de movimento ( ou seja H new i diagonal em Ej ) .

Portanto. mosso problems agora i tentar constrain

,man -

do Ej ,uma mona base for mada

por auto vetoes de J'

e

Iz f que soir constant es de movimento ) .

2 A di caio de 2 spins 1/2 .

Sip I e 5. operators de spin de 2 particulars .A

base orto normal date espa,co e- I I Ei,

ED I,

{ I E , ,Ez ) ) = I It , t )

. It . -7 ,I -

,t > , I -

. - 7 ) .

Taisvetoes Rio auto vetoes de si,

S, z

,SE e Saz

,

satizfazen do

S ? I E , ,E z > = SE I E

, ,Ea ) = 3yh I E

, ,Ea )

St z I Ei .E z ) = Ei LI IE , , Ez )

S2z I Ei .E 2 ) =Es ta I Ei , Ez )

Si,

si,

Size Saz constrtu em um conjunto complete de

opera dores que cornuta m .

• Spin total

Vamos definin o spin total 5 come

5 = It 52

remos que .e. g. ,

[ Sx, Sy ] = [ Sext Sax

, Say + Say ]

= I Six,

S , y ] t [ Six, Say ] t [ Sax

,S , y ] t I S 2x , Say ]

To To

= it ( Si z t Szz ) = its Sz

O operator 5 e- obtido come

5=15,+52 )2

= S ! + sit 25, .52

Uma veg queI 5

,527=0 .

§,. 52 = S

, × Szxt Say Say t S e z Saz

lembrando que St = Sx ± isy ,

Sx = I ( St t S- )

e Sy = at ( St - s - ),

entire

ST . SI = I&it t S . - ) f s , + t Ss - )

- ¥ (sit - S, - ) f Sat - Se - )

+ S e z S2 Z

= I I #ttShifa- t

SIEt

5¥- 5¥t SITE- tSISI-¥ ) t S iz5225,

. Is = I ( s, + Sa - t Se - Sat ) t S iz 522

Agora ,note que

( voir f. car de exuviae mortar )

[ Sz,

S ? ] = [ Sz,

si ] = O

-15,

s ? ] .

. [ s'

,si ] - o

[ Sz,

S , z ] = [ St , Saz ] = O

Entretanto,

S?

miao cornuta com Si z e Sze

[ 5,

S. z ] = I sit Sit 25 . I

,S

, z ]

= 2 Is , × S a x t Si y Say t S , a Saz,

Si z )

= 2 I Six, Set ] Sz x t 2 I Say , Sit ] Say = - 2 it§, y S2 × - Six Say )

e resealfado analogo para Is ? Sez ] .

Contre amos a base co mum one conjunto Is ?,Si

,Sir

,Sir ) .

Mostra mos que as 4 operators si,

si,

5,

Sz tambour

cornuta m, potato sues auto vetoes

• mum aos opera -

does tontine pete - for man uma base, que seria

deferent do primeiro poi s S2 newcornuta com Size Saz .

Vamos were ver os bones vetoes como

si Is ,M > = Sits .m > = ft

'Is ,

m >

S2 I s,

M > = S ( St 15h21 s,

M >

Sz Is , M > = Mt Is,

M >

Vamos agora determiner as auto valores de Sz.

Sz I Ei ,ED = ( S , z t Saz ) I E

, , Ez ) = HI f E,

t Ez ) I E, ,

Ez )

portraits I e. . ED e- auto veto de Sz com auto valor

M = 12 ( E , t Ea )

Saber doque

E , e Es scio igneous a ± I,

entao M

deve assumed as valores - I,

O et I.

Os auto valines I I roio Wao degenerates , enquianto o

auto valor O i dupbamente degenerate : do is vetoes onto -

gonads entre si vivo associates a 14=0,

It,

- > e I -

,t >

,

e por toute

S z ( X ,It

,-7 t X , I - it > ) = O ( X ,

It,

-7 tha I - it > )

Na base I I E, ,

Er > I Sz i diagonal , padendo ur

represented por

Sz its ftoo ! !! )

• Diagonal zagato de 5

Usan doque

S2 = 5,2 t SI t 25 , z Saz t S , + Sz - t Si - S2 t

S2 It,

t > = ( It 't ÷ hit 2¥LI ) It ,t ) = 242 It ,

t )

5 I -

,- > = 2h21 -

,- >

S + It > = S - I -3=0,

St I - > = t It > e S - It > = thI - S

S 2 It ,-7 = (5,2 t SI t 25 , z Sz z t S , + Sa - t Si - Sz t ) It , -7

= I It 't ft 't 2 If - ta)] It ,- S t t

'I - it >

= t '

[ It ,- > t I - it > ]

S2 I -

,t > = htt-

, t > t t'

It ,- > = t ' It - it > t It , -7 ]

De forma que a matriz que represent I ma base

HE , EDI i

⇐at::::o)Spode see quebrada em 3 sub matrizes .

Do as delos,

rat auto vetoes de S2,

It,

t > e I -

, -7 . Terms entaoque

diagonalizes a submatingso = ( : : )

que represents S'

nvm sub espace 2 D co berto por

It,

- > e I - it >, que correspond em are sub espace de

Sz corn 14=0 .

Os automatons It' de Si soo obtidos a

partin da equaga-ocaractnistr.ca

det (So'

- th'

1) = O

det ( l ' -

fth,

If= o ⇒ t ' ft - H '

-t '

⇒

I - 21=0 ⇒ X CX - 2) = O i. µ-

- O

f = 2

Asim.

dethminamos autos do is auto values de S2

come sends O e at 2.

Portanto times 3 esta dos ajo auto valor de 5 e-

252,

e um estado cone auto valor O.

Uma veg que

5 It ,-7 = t 2 It

,-7 t t '

I -

,t > ( I I

5 I -

, t > = t 2I - it > t t 2 It , -7 (2)

lil ta ) results em

524t ,- > t I -

, t > ) = 2t2 ( It , -7 + I - it ) )Do rip , para o auto valor at ' limos o auto estado

normalizedo fz ( It,

- > t I -

,t > )

E fazenda I I ) - la )

S2 ( It ,- > - I -

, t > ) = O

e potato para o auto valor o terms o auto other

normalizedo ¥ ( It ,- > - I -

, t S) .

Uma hey que as automatons de 5 assume - os valores

O e242

,entao de 5 Is ,

M > = S f Stl ) 52 Is ,M > remos

que s pote name min as melons s = O e S -- I .

Para S = o ⇒ M = O

to , o ) = fan I It,-3 - I - it > ]

e para S - I → M = - l,

O, l

I i, I > = It

,t >

Ii::¥!' " ' ⇒

A familia de 3 vetoes 11 , M > constitute o que e-

chamade um triplets ; enquanto o actor to ,o > i

chamade de estado singlets .

Alternativa ment poderiamos astir os auto vetoes

Is,

m >

do subespacio s - i a part n da identification

I 1,

I > = It , t >

atuando o operator S -sobre I 1 , 17 . Da thoria genal

do momento angular tin harms determinate

J± I j ,m ) = tjljtil-mlmt.FI j ,

m t I >

As sine,

S - I 1 , D = KREFT I a, o > = rat In , o >

per outro lado,

S- = Si - t Sa -

S- I 1 ,

I > = ( Si -t Sz - ) It

,t >

= TV I - it > th I 's hat it - ICE - it It .- >

= t (I -

,t > t It ,

-7 )

Comparando as duos expression obtemos

I 1, O > = If ( It ,

- > t I -

,t > )

Atoando s - em 11,

o > obtemos

S - In ,o > = t ITI 1 ,

- I >

que por outro lado po de ser escrito come

S.

I 1 , o > = ( s , - t S z - ) ( It ,- > t I -

,t > )

= rat ftp.tzr.IT I -

,-7 t tV¥-z I -

. - > I= fast I -

,- >

Comparando,

obtemos I 1,

- D = I -

,- > .

O iinico estado to ,o > do subespa.co E Cs = o ) e

-

determinate a partin da imposisao de que tal estado

deva ser ontogonal aos outro 3 .

10,0 > = a It ,- > t pl -

, t >

< 0,0/0 , o > = 22 t p?

= I

(1,0/0.0) = 0 = ¥ I Lt ,- I t L - it I) I 2 It , -7 t p I -

, t ) ]= a t p i

. a = - p

ocseja a = af em,

entire

to , o > = I It ,- > - I -

,t > ]

on de X pode see end hi to I = O rem nenhum prejuizo ,

de forma que

to,

0 > = ¥ I It ,- > - I -

,t > ]

Desta forma ,ealailamos as 4 vetoes Is

,m > seem

preciser determiner a representative matric alpara s

?

ma base { I E, ,

E z > I .