Faculdade de Tecnologia SENAI Roberto Mange

TorçãoAluno: Leandro Fernandes de oliveira

Gilmar da Silva

Professor: Sergio Mateus

Turma: MI-19

Anápolis, maio de 2011

MOMENTO POLAR DE RESISTÊNCIA

O momento de resistência polar Wp é definido por

Wp = Jp / R #A.1#.

Assim, a fórmula da tensão máxima de torção da página anterior fica reduzida a

τmax = T / Wp #B.1#.

TABELA DE MOMENTOS POLARES PARA ALGUMAS SEÇÕES

Seção Nome Jp Wp Obs (ref torção)

Círculo cheioπ D4 / 32ou≈ D4 / 10

π D3 / 16ou≈ D3 / 5

Tensões máximas em quaisquer pontos da circunferência periférica.

Círculo vazado (tubo)

π (D4 - d4) / 32π (D4 - d4) / 16 D

Tensões máximas em quaisquer pontos da circunferência periférica.

Tubo de parede fina

π e D3 / 4 π e D2 / 2

Tensões máximas em quaisquer pontos da circunferência periférica.

Elipse cheia(a/b ≥ 1)

π a3 b3

/16 (a2 + b2)

π a b2 / 16

τmax nas extremidades do eixo menor. Nas extremidades do maior:τ = τmax / (a/b).

Tubo elípticoa/b = a'/b' ≥ 1

π (a/b)3 (b4 - b'4)/16 [ (a/b)2 + 1]

π (a/b) (b4 - b'4)/16 b

τmax nas extremidades do eixo menor. Nas extremidades do maior:τ = τmax / (a/b).

Triângulo eqüilátero

≈ a4 / 46,19ou≈ h4 / 26

a3 / 20ou≈ h3 / 13

Tensões máximas nos centros dos lados. Nos vértices, tensões nulas.

Quadrado≈ 0,1406 a4

ou≈ a4 / 7,11

≈ 0,208 a3

Tensões máximas nos centros dos lados. Nos vértices, tensões nulas.

Retângulo (a ≥ b)

(*) ver tabela no final deste tópico

c1 a b3 (c1/c2) a b2

Tensões máximas nos centros dos lados maiores. Nulas nos vértices. Nos centros dos menores vale:τ = c3 τmax.

Hexágono regular

≈ 1,847 a4 ≈ 1,511 a3Tensões máximas nos centros dos lados.

Octógono regular

≈ 1,726 a4 ≈ 1,481 a3Tensões máximas nos centros dos lados.

(*) para retângulos conforme tabela acima, os coeficientes são dados por:

c1 = (1/3) { 1 - 0,630 / (a/b) + 0,052 / [ (a/b)5 ] }.c2 = 1 - 0,65 / [1 + (a/b)2].

A tabela abaixo dá os valores para algumas relações a/b.

a/b 1 1,5 2 3 4 6 8 10

c1 0,141 0,196 0,229 0,263 0,281 0,298 0,307 0,312

c2 0,675 0,852 0,928 0,977 0,990 0,997 0,999 1,000

c3 1,000 0,858 0,796 0,753 0,745 0,743 0,743 0,743

CORPO RIGIDO

Pode ser definido como um corpo em que todos os pontos materiais conservam as distâncias entre si, mesmo sob aplicação de um esforço externo.

Fig 01Os sólidos reais sempre se deformam sob aplicação de uma carga, mas em muitos casos ela é tão pequena que pode ser desprezada.

Nesta página são dadas algumas informações sobre o movimento dos corpos rígidos.

Um corpo rígido pode ter um movimento de translação, quando todos os pontos percorrem trajetórias paralelas, como em (A) da Figura 01 ao lado.

Outro movimento possível é o de rotação, quando os pontos percorrem trajetórias circulares, como em (B) da mesma figura. 

O caso mais genérico do movimento de um corpo rígido é dado no exemplo (C) da figura, ou seja, uma combinação de translação e rotação.

MOMENTO DE INERCIA

Na Figura 01, um corpo rígido gira em torno de um eixo vertical y com velocidade angular ω. O momento angular, conforme visto em página anterior, de uma porção elementar de massa dm é dado por:

dL = dm R x v, onde v é a velocidade tangencial.

O módulo de R é r/sen α e o de v é ω r. Desde que dL e R são ortogonais, o módulo de dL é dado por:

dL = dm r ω r / sen α = dm r2 ω / sen α. E o componente dLy é dado por:

dLy = dL cos( 90 - α) = dL sen α. E o módulo dLy = dL sen α = (dm r2 ω / sen α) sen α. Ou dLy = dm r2 ω.

Fazendo a integração para a massa total do corpo,

Ly = ( ∫ r2 dm ) ω #A.1#.

Fig 01O termo ∫ r2 dm é denominado momento de inércia de massa I do corpo em relação ao eixo y. É uma grandeza importante no estudo da rotação de corpos rígidos. Portanto,

Ly = Iy ω #B.1#.

Observar que o momento de inércia depende da posição do eixo, da forma geométrica do corpo e da distribuição de massa (não só da massa total).

Exemplo: dois corpos de mesmo material e mesma forma podem ter momentos diferentes em relação ao mesmo eixo se um for homogêneo e outro tiver massa mais concentrada em um local.

O outro componente de L (Lx) não é aqui calculado, mas deve existir em princípio. Em geral, o momento angular L não é paralelo ao eixo de rotação. Entretanto, pode-se demonstrar que, para qualquer corpo, existem pelo menos 3 eixos perpendiculares entre si para os quais o momento angular é paralelo ao eixo.

Esses eixos são denominados eixos principais de inércia, designados por X0, Y0 e Z0. E os respectivos momentos angulares são os momentos principais de inércia, Ix0, Iy0 e Iz0. Para um eixo principal, vale portanto a igualdade vetorial:

L = I ω #C.1#.

Se um corpo tem um eixo de simetria. ele é um eixo principal de inércia. Exemplo: para uma esfera homogênea, qualquer eixo que passa pelo centro é um eixo principal de inércia.

Para rotação fora de um eixo principal, o momento angular é dado por:

L = Ix0 ωx0 + Iy0 ωy0 + Iz0 ωz0 #D.1#. Onde

ωx0, ωy0, ωz0: projeções do vetor velocidade angular nos eixos principais.

A unidade do momento de inércia de massa no Sistema Internacional é o kg m2. Existe conceito semelhante de momento de inércia aplicado a superfícies. Desde que superfícies não têm massa, a unidade elementar é uma área e o momento de inércia tem como unidade m4 (na prática, é mais usado cm4). Para mais informações, ver a página Seções planas deste site.

O teorema de Steiner é meio bastante útil para solução de vários casos: seja um corpo de massa M que tem um momento de inércia I' em relação a um eixo y'. Então, o momento de inércia I em relação a um eixo paralelo y situado a uma distância d de y' é dado por:

I = I' + M d2 #E.1#.

RAIO DE GIRAÇÃO

É definido por K = (I / M)1/2 #A.1#, onde M é a massa do corpo.

Pode ser entendido como a distância da qual uma massa concentrada de valor M produziria o mesmo momento de inércia.

Para corpos homogêneos, o raio de giração depende apenas de parâmetros geométricos. É uma forma prática de se especificar indiretamente o momento de inércia, de acordo com a forma do corpo. Nesta tabela, são dados os raios de giração para algumas formas comuns, considerados em relação aos eixos de simetria indicados.

ROTAÇÃO DO CORPO RIGIDO

Conforme visto em página anterior, a relação entre momento angular e torque é T = dL/dt. E, da definição anterior de momento de inércia, L = Iw. Substituindo,

I dw / dt = T. O termo dw/dt é a variação da velocidade angular com o tempo, ou seja, a aceleração angular, que será designada por α. Assim,

T = I α #A.1#. Notar a semelhança com a relação para o movimento de translação, F = m a.

Notar também que, se o torque é nulo, a aceleração angular também é, pois o momento de inércia não é nulo num corpo real. Isso significa que a velocidade angular é constante.

Essas igualdades valem para rotação em torno de um eixo principal, que é a situação prática mais comum.

Tabela de fórmulas:

Translação Rotação

Momento linear b = m v Momento angular L = I ω

Força F = db/dt Torque T = dL/dt

Força e aceleração F = m a Torque e aceleração angular T = I α

Energia cinética Ec = (1/2) m v2 Energia cinética Ec = (1/2) I ω2

Potência P = F · v Potência P = T · ω

A tabela acima faz uma comparação de grandeza para os dois movimentos. Algumas ainda não foram comentadas aqui (energia e potência), mas a analogia é evidente.

BIBLIOGRAFIA

http://www.cestari.com.br/knet/cursos/1_3.pdf

http://www.mspc.eng.br/ndx_rmat0.shtml