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TEORIA DO CAOS NO MERCADO FINANCEIRO
PAULO HENRIQUE SALES GUIMARÃES
2013
PAULO HENRIQUE SALES GUIMARÃES
TEORIA DO CAOS NO MERCADO FINANCEIRO
Trabalho de conclusão de curso apresentado à Universidade Federal de Lavras como parte das
exigências do Curso de Licenciatura em Matemática.
Orientadora
Prof.Dra. Karen Luz Burgoa Rosso
LAVRAS MINAS GERAIS - BRASIL
2013
PAULO HENRIQUE SALES GUIMARÃES
TEORIA DO CAOS NO MERCADO FINANCEIRO
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado à Universidade Federal de Lavras como parte das exigências do curso de Licenciatura em Matemática.
APROVADA em 11 de Abril de 2013
Profa. Dra. Ana Cláudia Pereira UFLA Profa. Ma. Adriana Xavier UFLA
Profa. Dra Karen Luz Burgoa Rosso UFLA
(Orientadora)
LAVRAS MINAS GERAIS – BRASIL
Ao mestre dos mestres, Jesus Cristo,
Aos meus amados pais Paulo e Niêza,
Aos meus queridos irmãos Renato e Lívia
Aos meus grandes amigos, em especial Márcio
Aos meus dedicados mestres,
Dedico.
“Se houver uma inteligência que possa que possa compreender
todas as forças que atuam na natureza, em um dado instante, nada
no mundo será incerto e o futuro e passado se apresentarão a
nossos olhos”.
Pierre Simon Laplace (1749 – 1827)
AGRADECIMENTOS
A Deus, que se faz presente em minha vida, guiando meus passos e
concedendo-me graças a cada dia.
À Universidade Federal de Lavras (UFLA), em especial ao
Departamento de Ciências Exatas (DEX), pela realização deste trabalho.
Aos professores do DEX, pelos valiosos ensinamentos que foram muito
importantes para minha formação.
A minha orientadora, Karen Luz Burgoa Rosso, pela grande atenção,
competência, dedicação e arte de ensinar.
A todos os colaboradores do DEX, pelos serviços prestados.
A todos os meus colegas do curso de Matemática e da Estatística.
Ao meu amado pai que sempre me apoiou e ajudou nesta longa
caminhada rumo ao conhecimento. À minha prezada mãe, pelo exemplo de vida,
força, incentivo e dedicação.
Aos meus queridos irmãos Renato e Lívia.
Enfim, a todos que contribuíram, direta ou indiretamente, meus eternos
agradecimentos.
SUMÁRIO
Página
LISTA DE TABELAS...............................................................................i
LISTA DE FIGURAS...............................................................................ii
RESUMO..................................................................................................iv
INTRODUÇÃO.........................................................................................1
CAPÍTULO 1: REFERENCIAL TEÓRICO.........................................3
1 MERCADO FINANCEIRO..................................................................3
2 HIPÓTESES DE MERCADO EFICIENTE.......................................7
3 DINÂMICA NÃO LINEAR................................................................13
4 PONTOS FIXOS E ESTABILIDADE...............................................19
5 BIFURCAÇÕES..................................................................................25
6 CONCEITOS FUNDAMENTAIS DA TEORIA DO CAOS...........27
CAPÍTULO II: AS EQUAÇÕES DE LORENZ E A EVOLUÇÃO
DOS RETORNOS DE MERCADO......................................................33
1 ANÁLISE QUALITATIVA DAS EQUAÇÕES DE LORENZ.......33
2 EQUAÇÕES DE LORENZ.................................................................34
3 RESULTADOS QUANTITATIVOS DAS EQUAÇÕES DE
LORENZ..................................................................................................42
CAPÍTULO III: INTERPRETAÇÃO DOS RESULTADOS NA
EVOLUÇÃO DOS RETORNOS NO MERCADO
FINANCEIRO.........................................................................................57
CAPÍTULO IV: PERSPECTIVAS.......................................................64
1 MAPA LOGÍSTICO............................................................................64
2 HIPÓTESE DE MERCADO FRACTAL..........................................67
3 MODELOS ESTOCÁSTICOS LINEARES E NÃO LINEARES..70
CONCLUSÕES.......................................................................................72
REFERÊNCIAS......................................................................................74
i
LISTA DE TABELAS
TABELA I Classificação dos pontos fixos em duas dimensões (estabilidade
linear).........................................................................................24
TABELA II Sistemas complexos e caóticos. Fonte: Adaptado de
Nussenzveig (1991)...................................................................31
ii
LISTA DE FIGURAS
FIGURA I Intermediação financeira............................................................ 4
FIGURA II Mercado Financeiro.....................................................................5
FIGURA III Distribuição de Lévy - Retornos do índice DJIA. Fonte: Mazzeu
et alii (2001)...............................................................................12
FIGURA IV Dinâmica de três corpos.............................................................16
FIGURA V Classificação das soluções de equações bidimensionais proposta
por Poincaré. Fonte Barrow-Green (1997)................................17
FIGURA VI Diagramas de fase de 2x r x quando (a) 0r , (b)
0r e (c) 0r ....................................................................26
FIGURA VII Bifurcação sela-nó.....................................................................27
FIGURA VIII Condição inicial X = Y = Z = 1, b = 8/3, σ = 10 e para
r = 0,5.........................................................................................43
FIGURA IX Condição inicial X = Y = Z = 1, b = 8/3, σ = 10 e para
r = 1............................................................................................45
FIGURA X Condição inicial X = Y = Z = 1, b = 8/3, σ = 10 e para
r = 24,74.....................................................................................47
FIGURA XI Seção de Poincaré para r = 24,74..............................................48
FIGURA XII Condição inicial X = Y = Z = 1, b = 8/3, σ = 10 e para
r = 28..........................................................................................49
iii
FIGURA XIII Projeções das equações de Lorenz para X = Y = Z = 1, b = 8/3,
σ = 10 e para r = 28, no plano xy...............................................51
FIGURA XIV Atrator de Lorenz para r = 28, b = 8/3 e σ = 10.........................52
FIGURA XV (a) Condições iniciais X = Y = Z = 1 e (b) com X = Y = Z =
1,001...........................................................................................53
FIGURA XVI Retornos do Ibovespa entre janeiro de 1994 e outubro de
2004............................................................................................58
FIGURA XVII Série Ibovespa período de 31/03/2009 a 08/03/2013................60 FIGURA XVIII Série Ibovespa período de 1972 a 2004...................................62 FIGURA XIX Mapa Logístico para diferentes valores de α. (Savi, 2004)..................................................................................................65 FIGURA XX Mapa Logístico – Diagrama de Bifurcações................................66
iv
RESUMO
GUIMARÃES, P. H. S. A monografia tem como principal objetivo
estudar a teoria do caos no Mercado Financeiro, evidenciando a presença
do caos no mesmo e fazendo uma analogia com as equações propostas
pelo meteorologista Lorenz em 1963. Também é discutido de forma
histórica as metodologias que podem ser utilizadas para estudar o
comportamento ou evolução do Mercado Financeiro no tempo. Estas
teorias são contrastadas com a Hipótese de Mercado Eficiente, na qual
uma das suposições é que os retornos das distribuições de preços do
mercado é gaussiana. Há, ainda, uma contextualização das inúmeras
possibilidades de estudos da dinâmica do mercado, descrevendo desde o
uso de modelos lineares e não lineares, até mesmo da teoria fractal.
Palavras – chave: Mercado Financeiro, Hipótese de Mercado Eficiente,
teoria do caos, equações de Lorenz.
1
INTRODUÇÃO
O mercado financeiro desempenha um papel de suma relevância
em economia, ao constituir-se um ponto de encontro entre os agentes
superavitários, a quem remuneram; e aplicar os recursos, por meio de
empréstimos, aos agentes deficitários dos quais recebem juros. Daí a
importância em estudar e compreender o seu funcionamento.
A partir dos 70, numerosos estudos foram elaborados com a
intenção de verificar se o mercado é eficiente. Este se constitui de um dos
principais paradigmas da moderna teoria de finanças que é pautada pela
teoria dos mercados eficientes (HME) que afirma que os mercados são
eficientes na medida em que as séries dos retornos (ações e outros ativos
de risco) possuem uma variação aleatória ou “random walk”.
A natureza do mercado é essencialmente de interação não linear.
Assim sendo, a descrição ou análise de fenômenos econômico-financeiros
por meio de modelos ou técnicas não lineares são mais efetivas do que os
modelos ou técnicas lineares. No estudo de modelos econômico-
financeiros os ingredientes principais tem sido que seus integrantes
individualmente são não previsíveis, e sua interação é não linear, de
forma que evoluem no domínio do tempo com um comportamento
aperiódico e fora do equilíbrio, no qual o seu estado futuro é
extremamente dependente de seu estado atual e todo o seu passado. Este
futuro poderá sofrer mudanças radicais ao respeito do seu estado atual.
Desta forma, a principal característica destes tipos de modelos é a
aleatoriedade, que é a principal característica do mercado financeiro. A
teoria do caos oferece os elementos principais para modelar os sistemas
2
econômico-financeiros e é uma das inúmeras possibilidades de
comportamento de um sistema não linear. Não obstante, há uma corrente
de pensamento, além da teoria do caos, que é a teoria da complexidade
que juntamente com as Finanças Comportamentais abrem novas
oportunidades para o desenvolvimento de pesquisas em sistemas
financeiros que não foram bem explicados pela abordagem tradicional
orientadas pela Hipótese de Mercado Eficiente (HME).
A monografia tem como principal objetivo estudar a teoria do caos
e como esta se aplica ao mercado financeiro, buscando evidências da
existência de um componente determinístico e como este se encaixa na
tentativa de virar um novo paradigma, além de discutir se a Hipótese de
Mercado Eficiente é válida para o mercado financeiro brasileiro.
A organização do trabalho começa com o capítulo I que é o
referencial teórico, no qual se tem a seção que relata a história do
mercado financeiro desde as Hipóteses de Mercado Eficiente até as ideias
de universalidade do comportamento de mercado. Na seção seguinte do
mesmo capítulo, apresentam-se a teoria da dinâmica não-linear e na
última seção do capítulo os conceitos fundamentais da teoria do caos. No
capítulo II desenvolve-se a modelagem do sistema econômico-financeiro
por meio das equações de Lorenz. Finalmente, no tópico de Perspectivas e
Conclusões serão desenvolvidas as análises e conclusões do trabalho.
3
CAPÍTULO I
REFERENCIAL TEÓRICO
1 Mercado Financeiro
O termo mercado, antigamente, referia-se a um local determinado
nos quais agentes econômicos realizavam suas operações de troca.
Contudo, o conceito de mercado, em seu significado mais amplo, está
bastante distante dessa realidade. Atualmente, já não há uma localização
específica para o mesmo, isto é, um espaço físico onde as “ações”
comerciais acontecem. O mercado é definido pela existência de forças
aparentemente antagônicas, ou seja, as de demanda e oferta. Quando as
duas acontecem simultaneamente, um mercado é definido.
O mercado financeiro é representado pela reunião das instituições
financeiras capazes de intermediar recursos entre agentes econômicos
superavitários e agentes econômicos deficitários, isto é, sua atividade
principal é captar recursos dos agentes superavitários, a quem remuneram,
e aplicar os recursos, por meio de empréstimos, aos agentes deficitários
dos quais recebem juros. Desta forma, os recursos fluem de um grupo
para o outro por meio do mercado financeiro.
Os agentes econômicos superavitários são aqueles com recursos
financeiros excedentes, que fornecem recursos ao mercado financeiro. Os
agentes econômicos deficitários são aqueles com falta de recursos, nos
quais captam os mesmos no mercado por meio de empréstimos.
A captação de recursos pode acontecer de forma direta ou indireta.
Na forma direta, há a ausência do intermediário financeiro, isto é, os
4
tomadores solicitam empréstimos diretamente aos agentes superavitários.
Agora quando há o hiato de recebimentos e pagamentos surgem os
intermediários financeiros que procuram captar os recursos dos agentes
superavitários para os agentes deficitários.
Figura I: Intermediação financeira
O processo de intermediação reveste-se de situações de risco. Há
probabilidade de que os tomadores de recursos não paguem em dia os
recursos emprestados. Quanto maior o risco, maior é a taxa de juros
cobrada. Os aplicadores que se sujeitam a emprestar recursos para
aplicações de maior risco (situações de maior variabilidade nas
probabilidades de retorno) exigem maior retorno sobre os recursos
emprestados.
5
O mercado financeiro segmenta-se em quatro grandes mercados, a
saber:
Mercado monetário;
Mercado de crédito;
Mercado de capitais e;
Mercado de câmbio.
Figura II: Mercado Financeiro
O Mercado Monetário está relacionado com o controle da liquidez
monetária da economia e é criado por uma relação intangível entre os
fornecedores e tomadores de fundos em curto e curtíssimo prazo. Neste
mercado, os papéis são negociados tendo como referência a taxa de juros,
que se constitui em sua mais importante moeda de operação, no qual são
6
financiadas as necessidades momentâneas de caixa dos bancos e dos
governos, sendo os títulos públicos e os papéis mais negociados.
O Mercado de Crédito está relacionado com operações financeiras
de curto e médio prazo, direcionado a concessão de crédito às pessoas
físicas e jurídicas por meio de empréstimos e financiamentos. Neste
mercado têm-se os bancos comerciais, bancos múltiplos e as sociedades
financeiras.
O Mercado de Capitais constitui um sistema de distribuição de
valores mobiliários cujo propósito é proporcionar a liquidez aos títulos de
emissão de empresas e viabilizar seu processo de capitalização.
Contempla as operações com ações que em geral têm prazo
indeterminado e operações financeiras de médio e longo prazo,
especialmente as de financiamento do capital de giro e do investimento
das empresas. É constituído pelas bolsas de valores, sociedades corretores
e outras instituições financeiras autorizadas.
O Mercado de Câmbio envolve a negociação de moedas
estrangeiras e pessoas interessadas em movimentar moedas. Neste
mercado há agentes econômicos com necessidade ou interesse em realizar
operações com o exterior.
Em suma o Mercado Financeiro é um conjunto de instituições
financeiras, com poupadores e tomadores de recursos, na qual sua
finalidade é alocar eficientemente recursos dos poupadores para os
tomadores no qual esse processo ocorre geralmente com a presença dos
agentes intermediários financeiros, assim compreendidos como bancos,
financeiras, fundos de pensão, segurados, fundos de investimentos, dentre
outros.
7
No Brasil existe o Sistema Financeiro Nacional que é formado
pelo conjunto de instituições reguladoras e operacionais e que tem por
objetivo garantir o fluxo de recursos entre os tomadores e emprestadores
de recursos. É composto por entidades supervisoras e por operadores que
atuam no mercado nacional e norteado por três órgãos normativos: o
Conselho Monetário Nacional (CMN), o Conselho Nacional de Seguros
Privados (CNSP) e o Conselho Nacional de Previdência Complementar
(CNPC).
2 Hipótese de Mercado Eficiente
Costa e Famá (2007) citam que uma das bases da moderna teoria
de finanças é a Teoria dos Mercados Eficientes. Inicialmente evidenciada,
mas não proposta, por BACHELIER (1900) que defendeu que os
rendimentos das ações ou qualquer outro ativo de risco segue um percurso
aleatório ou “random walk” porque tais retornos dependeriam de
inúmeras variáveis tipicamente imprevisíveis.
A grande contribuição de BACHELIER (1900) foi ter reconhecido
que um processo estocástico de Wiener é também um movimento
browniano. O processo de Wiener constitui um caso particular de um
processo estocástico de Markov (Galvão et alii, 2006). Trata-se de um
processo estocástico de tempo contínuo que possui três propriedades:
distribuição de probabilidade dos valores futuros do processo depende
apenas do seu valor corrente; a distribuição de probabilidade de variação
do processo ao longo de um intervalo de tempo é independente de
qualquer outro intervalo de tempo; e variações no processo dentro de um
8
intervalo de tempo seguem uma distribuição normal, com uma variância
que aumenta linearmente com o intervalo de tempo. A tese Bachelier foi
revolucionária, mas bastante ignorada na época e acabou por esquecida.
A Hipótese de Mercados Eficientes (HME) está fundamentada em
uma simplificação da realidade, que, uma vez aceita, torna confortável a
análise. Fama et alii (1972) estabeleceram as seguintes hipóteses
(condições suficientes para que exista um mercado eficiente):
i. não existência de custos de transação;
ii. todas as informações estão disponíveis a todos os
investidores a um custo zero e;
iii. todos os investidores concordam sobre as implicações das
informações atuais sobre os preços atuais e sobre a
distribuição dos preços futuros de cada ativo, ou seja, os
investidores têm expectativas homogêneas.
Galvão et alii (2006) assinalam que o paradigma tradicional da
HME, que explica o comportamento dos mercados financeiros, está
baseada na suposição de que o comportamento dos preços segue um
comportamento de processo estocásticos de tempo contínuo denominado
processo de Wiener, que possui três importantes propriedades:
a distribuição de probabilidade de valores futuros depende
apenas dos valores presentes;
os incrementos são independentes entre si e;
as variações de preços dentro de um intervalo obedecem a
uma distribuição normal e não possuem relação entre si, de
forma que o seu conjunto compõe uma sequência de
9
variáveis aleatórias independentes com semelhante
distribuição.
A premissa de independência, ou normalidade dos retornos dos
ativos, é extremamente importante no estudo acadêmico de finanças, uma
vez que esta permite a aplicação de um grande ferramental estatístico
sobre os problemas estudados na área. Desta forma, a ideia de que um
título apresenta um valor justo e pode ser calculado, gerou vários estudos
em finanças, sendo o mais importante a Teoria de Seleção de Carteiras
proposta por Markowitz e a Teoria de Precificação de Ativos (CAPM).
MARKOWITZ (1952) propõe a seleção de uma carteira de ativos
de forma que os retornos sejam maximizados e os riscos minimizados,
isto é, seu modelo sugere que uma carteira de ativos terá o retorno
correspondente à média ponderada de cada ativo participante na carteira,
porém, a volatilidade (desvio padrão condicional de uma variável,
geralmente um retorno) será menor que a média de seus componentes
individuais.
Sendo assim, o modelo de Markowitz mostra que enquanto o
retorno de uma carteira diversificada equivale à média ponderada dos
retornos de seus componentes individuais, sua volatilidade será inferior à
volatilidade média de seus componentes individuais. Mostrando que a
diversificação é uma espécie de dádiva (Bernstein 1997).
SHARPE (1964), LINTNER (1965) E MOSSIN (1966) motivados
pelo estudo de Markowitz desenvolveram o modelo de precificação de
ativos mais utilizado atualmente, o CAPM (Capital Asset Pricing Model).
Este método permite o cálculo do valor de um título com risco dado o
nível de risco (β). Na sua pressuposição o retorno de um ativo é o retorno
10
de um ativo livre de risco (podendo ser a poupança, por exemplo), mais
um prêmio pelo risco (obtido pela diferença do título sem risco por uma
carteira de mercado) ponderado pelo nível de risco (β).
De acordo com FAMÁ e BRUNI (1998), haveria um preço normal
para os títulos no mercado que representariam o seu valor intrínseco e que
esse valor ficaria flutuando de maneira imprevisível (randow walk), de
forma que quando ocorressem flutuações relevantes esse valor mudaria de
forma previsível, mas suas flutuações não.
FAMÁ e BRUNI (1998) por meio de um levantamento
bibliográfico identificaram uma série de estudos favorecendo e
desfavorecendo a hipótese de mercados eficientes.
Nos últimos 20 anos a hipótese de mercado eficiente tem sido
contestada por inúmeros autores, onde vários deles apontam a existência
de incompatibilidade entre a referida hipótese e alguns fatos estilizados
sobre o funcionamento dos mercados financeiros, tais como o fato de que
o mercado financeiro não atende a suposição de normalidade, uma vez
que novos testes de normalidade foram surgindo, o paradigma dominante
ia sofrendo abalos.
MANDELBROT (1982) ao sugerir que a distribuição dos retornos
poderia pertencer a uma família de distribuições de Pareto estáveis, que se
caracteriza por possuir variância indefinida ou infinita que na época não
foi levado em conta, porém no futuro demonstrou que Mandelbrot estava
mais perto do verdadeiro comportamento do mercado.
Sendo assim, se os retornos não forem normais, então grande parte
da análise estatística, em especial aquela que se vale de coeficientes de
correlação, fica comprometida e pode levar a resultados equivocados,
11
além da ideia de que ocorre um passeio aleatório nos preços dos títulos
também ficará enfraquecida. Mandelbrot observou os movimentos diários
do Dow Jones Industrial Average e constatou que suas variações de
preços não tinham aderência à curva normal. A distribuição de retorno
dos preços obedecia a uma espécie de “Lei de Potência”, isto é,
evidenciavam variações para mais ou menos com uma distribuição de
frequência de curtose elevada.
Com isso, surge a ideia de modelar os retornos com distribuições
estáveis, tais como a Pareto sugerida por Mandelbrot ou então as
desenvolvidas por LÉVY (1925) que têm consistentemente demonstrado
uma melhor capacidade de descrição do comportamento dos retornos dos
preços de ações uma vez que elas apresentam as conhecidas "caudas
gordas"empiricamente observadas, ou seja, uma curtose mais próxima à
realidade. O problema da frequência excessiva de eventos extremos, uma
crítica bastante comum à aplicação de distribuições estáveis, também foi
resolvida MANTEGNA e STANLEY (1994), o que torna ainda mais
visível a não normalidade das séries financeiras.
12
Figura III: Distribuição de Lévy – Retornos do índice DJIA. Fonte: Mazzeu et alii (2011).
GLEISER (2002) afirma que, atualmente, é bastante aceito o fato
de que as distribuições de probabilidade de ativos financeiros são
leptocúrticas, isto é, têm média alta e caldas longas. Atribui-se a presença
de caudas largas ao fato de que as informações que movimentam os
preços no mercado surgem em blocos, e não de maneira contínua, fazendo
com que grandes variações de preços ocorram em pequenas quantidades
com intensas magnitudes.
PETERS (1991) salienta que as caudas largas são devidas à forma
pela qual os investidores reagem às informações. Se os investimentos
13
reagissem imediatamente às novas informações com que se deparassem,
os preços refletiriam sem demora essas informações, de forma que os
eventos passados não teriam influência sobre o presente. Isto reflete que o
mercado tem uma “espécie” de memória, na qual os investidores esperam
que as informações obtidas se transformem em tendências de mercado,
isto é, aguardam para descobrirem o que os demais investidores farão
diante dessas informações.
3 Dinâmica não-linear
Os primórdios da teoria de sistemas dinâmicos datam do século
XVI, nos trabalhos de mecânica celeste escritos por Johannes Kepler
(1571-1630). Logo depois, por meio das contribuições de Issac Newton
(1643-1727) com a formalização da mecânica clássica abrindo espaço
para uma sofisticação crescente da matemática que modelava fenômenos
mecânicos, que culminou nos trabalhos de Lagrange e Hamilton, que
definiram a mecânica clássica em um contexto matemática que é usado
hoje.
No estudo de problemas não-lineares existem duas abordagens
possíveis. Uma é qualitativa que tem por objetivo compreender o
comportamento global de um dado sistema dinâmico e a outra é
quantitativa na qual se procura analisar a evolução do sistema no tempo.
SAVI (2006) salienta que o estudo qualitativo usualmente utiliza
técnicas geométricas, o que dificulta a análise de sistemas de alta
dimensão, isto é, com muitos graus de liberdade. A base para essa análise
geométrica é a topologia (que pode ser entendida como o estudo das
14
transformações contínuas e as propriedades geométricas de alguns objetos
sob a ação de tais transformações), cujos princípios foram lançados por
Henri Poincaré (1854-1912), considerado um dos criadores da teoria
moderna de sistemas dinâmicos.
Um sistema dinâmico pode ser descrito por meio de uma equação
diferencial, no qual o tempo é uma variável contínua. Um sistema é dito
linear quando as equações diferenciais que compõem o modelo são todas
lineares. Como exemplo pode-se citar a dinâmica de uma partícula de
massa m sob a influência de uma força resultante Fr. Assim, de acordo
com a segunda lei de Newton, tem-se:
2
2r F(r)dm
dt (1)
no qual r : ( , , )x y z é o vetor posição da partícula e F é a força resultante
agindo sobre ela. As variáveis ( , , )x y z são dependentes do tempo que é a
variável independente na equação.
Para simplificar pode-se considerar o caso de um movimento
unidimensional para o qual se pode descobrir a equação (1) (que é de
segunda ordem em relação ao tempo) em um sistema de duas equações de
primeira ordem:
,dx vdt
(2)
1 ( ),dv F x
dt m (3)
15
em que é introduzida uma nova variável, a velocidade da partícula. O
objetivo da dinâmica é descrever o comportamento das variáveis x(t) e
v(t) em função do tempo, dadas as condições iniciais x(0) e v(0).
A equação (1) pode ser utilizada para estudar um sistema de N
partículas interagindo entre si. Utilizando a expressão Newtoniana para a
força de atração gravitacional entre duas partículas, chega-se ao sistema
de N de corpos, cujo estudo está no cerne da Mecânica Celeste.
Para o problema de dois corpos (N = 2) existe uma solução exata
para as posições e velocidades para cada partícula em quaisquer tempos.
Porém, para 3N não há soluções exatas para o problema de N corpos,
sendo necessário recorrer a métodos numéricos para resolver as equações
do movimento de cada partícula.
No final do século XIX Poincaré se propôs a estudar a dinâmica
de um sistema de três corpos. No estudo promoveu uma mudança na
maneira de analisar o problema. No lugar de calcular a trajetória que
realiza cada corpo, procurou entender o comportamento das trajetórias.
Para isso, ele introduziu novas ferramentas e métodos que permitiram
tratar do problema de três corpos de uma maneira qualitativa.
Na Figura IV pode-se observar o movimento de um corpo celeste
na presença de outros dois. O eixo x, y e z são as coordenadas do corpo,
no qual se pode visualizar inicialmente que a trajetória do primeiro não é
circular, nem elíptica como deveria ser no caso de um corpo celeste na
presença de outro. A trajetória apresentada por aquele na presença dos
outros dois é uma curva que não o fecha e, além disso, a sua posição
oscila no plano z.
16
Figura IV: Dinâmica de três corpos.
Poincaré começou seu estudo sobre equações diferenciais, na
década de 1880. Nessa época, as pesquisas relacionadas ao estudo de
funções, sendo definidas por meio de equações diferenciais, estavam
centradas na análise de propriedades locais de uma solução para
determinada equação diferencial. No seu ensaio escrito em 1885, já
apresentava as ideias essenciais da moderna teoria de sistemas dinâmicos,
entre os quais aparecia o caos determinístico. Estabeleceu, assim, uma
classificação geral das soluções de equações bidimensionais em torno de
pontos singulares, mostrando que existem quatro tipos de pontos
17
singulares: nó, quando através dele passam um número infinito de curvas
soluções; sela, quando por ele só passam duas soluções; foco, onde as
curvas soluções se aproximam dele como uma espiral logarítmica e
centro, em torno do qual as soluções são fechadas.
Figura V: Classificação das soluções de equações bidimensionais
proposta por Poincaré. Fonte Barrow-Green (1997).
A Figura V nada mais é que a classificação que será vista na
Tabela I, e a aquisição desses padrões serão obtidos a partir da equação
diferencial. A seguir serão dados os passos para analisar o sistema
dinâmico qualitativamente.
Um sistema dinâmico também pode ser descrito no tempo
discreto, por meio de mapa ou mapeamento. Este descreve a evolução no
tempo de um sistema dinâmico expressando o seu estado atual a partir do
instante anterior, movendo-se, portanto, de forma discreta.
18
O maior interesse neste trabalho é o estudo de sistemas dinâmicos
não-lineares uma vez que um dos desdobramentos mais importantes da
teoria de sistemas dinâmicos não-lineares é a teoria do caos.
Considere o sistema de equações diferenciais ordinárias (EDO) de
primeira ordem
/ ( , )dx dt x f x y ,
/ ( , )dy dt y g x y . (4)
O sistema (4) será dito autônomo, se as funções f e g não
dependem explicitamente do tempo, do contrário o sistema será dito não
autônomo, por exemplo, se f = f (x, y, t). Uma EDO autônoma pode ser
transformada em um sistema autônomo por meio da introdução de mais
uma dimensão ao sistema.
Se for adicionado a variável tempo, isto é, t = z, tal que dz/dt = 1,
pode-se reduzir uma EDO não autônoma a um sistema autônomo. Por
exemplo, considere um oscilador harmônico amortecido e forçado em um
sistema de três equações diferenciais de primeira ordem acopladas. Tem-
se para a equação inicial
20 0 / cos( )x x x F m t (5)
fazendo z = t e / 1dz dt z e y x obtém-se um sistema dinâmico
não linear de primeira ordem autônomo.
No estudo da dinâmica não linear, em geral, não é possível
encontrar soluções analíticas para os sistemas de equações, ou quando é
possível a solução é tão complexa que fica difícil a sua interpretação e
compreensão das suas principais propriedades. Desta forma, o estudo
19
qualitativo faz-se necessário, no qual é possível estudar características
importantes do sistema sem resolvê-lo.
4 Pontos Fixos e Estabilidade
Considere * * *P ( , )x y um ponto fixo do sistema de EDO (4) tal
que * * * *( , ) ( , ) 0f x y g x y . (6)
Pode-se dizer que * *( , )x y é assintoticamente estável se a resposta
a uma pequena perturbação no sistema irá se aproximar de * *( , )x y
quando o tempo for para o infinito, isto é, t .
Um ponto de equilíbrio será dito estável (Estabilidade de
Liapunov) se a resposta do sistema a uma pequena perturbação
permanece pequena quando o tempo aumenta indefinidamente, isto é,
t . Um ponto assintoticamente é estável, porém o inverso não é
válido. Sendo assim, o conceito de estabilidade está intrinsecamente
relacionado ao fato de que o mesmo atrai soluções com condições iniciais
para próximas dele, entretanto não pode atrair soluções com condições
iniciais distantes.
Por último, um ponto de equilíbrio será dito instável se a resposta
do sistema a perturbações aumenta, à medida que o tempo cresce, ou seja,
t .
De acordo com FERRARA e PRADO (1994) um sistema é
denominado estruturalmente estável se para qualquer perturbação
20
suficientemente pequena das equações que o define, o fluxo resultante é
topologicamente equivalente àquele das equações sem a perturbação.
Considere o sistema linear (7) que apresenta um ponto de
equilíbrio para * *( , ) (0, 0)x y :
( , )x ax by f x y
( , )y cx dy g x y . (7)
Esse sistema possui solução geral do tipo
0( ) tx t e x
0( ) ty t e y . (8)
Fazendo a substituição de (7) em (8) chega-se no sistema
0 0( ) 0a x by
0 0( ) 0cx d y . (9)
Para que o sistema (9) tenha solução não trivial, o determinante da
matriz dos coeficientes deverá ser nulo, isto é,
( )
det 0( )
a bc d
. (10)
21
Pode-se generalizar este resultado para n dimensões,
reescrevendo-se (7) – (10) em notação vetorial. Definem-se os vetores
( ) ( ( ), ( ))x t x t y t
e ( ) ( ( ), ( ))x t x t y t . A matriz
,
f fa b x y
Jc d g g
x y
(11)
é chamada de Matriz Jacobiana ( , ) / ( , )f g x y do sistema (7). Posto na
forma vetorial os sistema (7) fica da forma
( ) ( )x t J x t . (12)
Desta forma,
0( ) tx t e x
. (13)
Admitindo-se (13) tem-se
0( ) 0,J I x
(14)
no qual I é a matriz identidade, sendo λ e 0x os autovalores e autovetores,
respectivamente da matriz Jacobiana. Para encontrar os autovalores é
preciso resolver a equação (15)
det( ) 0J I , (15)
que é uma generalização n – dimensional da equação (10). Voltando ao
caso bidimensional, tem-se que
( )( ) 0.a d bc (16)
22
A equação (16) possui duas raízes: λ1 e λ2 que determinarão a
estabilidade do ponto de equilíbrio *P (0,0) .
Para o caso geral n – dimensional os λi, soluções de (15), podem
ser reais ou complexos. Considerando Re( ) Im( )i , em que Re
e Im são, respectivamente, a parte real e imaginária do autovalor. Segue
que
0Re( ) Im( )( ) t i tx t e e x
(17)
Sabendo que exp Im( )i t é uma função limitada, a estabilidade
( )x t irá depender essencialmente da parte real, isto é, Re(λ). Se
Re( ) 0 o valor exp Re( )t cresce exponencialmente com o
tempo, ou seja, ( )x t
quando t , que implica que o ponto fixo
*P (0,0) não é estável. Agora, para o caso contrário no qual Re( ) 0 ,
tem-se que *( ) P (0,0)x t
quando t que implica que o ponto de
equilíbrio é estável.
Há inúmeras possibilidades de combinação de autovalores, que
podem ser reais, imaginários puros, todos com parte real positiva ou
negativa, parcialmente positivos, negativos ou nulos dentre outras. Isto é
que vai determinar a estabilidade do ponto de equilíbrio e também a
forma das soluções em sua vizinhança. Em todas estas possibilidades a
estabilidade do ponto de equilíbrio é determinada pelos autovalores da
matriz Jacobiana. Se Re( ) 0i para todo i implica estabilidade
assintótica. Agora se Re( ) 0i para um (ou mais) valores de i implica
instabilidade.
23
O número de casos diferentes devido às inúmeras combinações
possíveis de autovalores cresce drasticamente com a dimensão do
sistema. Para o sistema tridimensional, por exemplo, tem-se 10 tipos
diferentes de ponto de equilíbrio não-degenerados. A Tabela I ilustra as
várias possibilidades para o caso bidimensional. Por exemplo, quanto
Re( ) 0 para todos os λi, o equilíbrio é dito hiperbólico ou não
degenerado. Caso Re( ) 0 o equilíbrio é dito não-hiperbólico, elíptico
ou degenerado.
24
Tabela I: Classificação dos pontos fixos em duas dimensões (estabilidade
linear).
Um sistema é estruturalmente estável se campos vetoriais
suficientemente próximos têm retratos de fases equivalentes. Retrato de
fase é definido como uma representação geométrica de todas as trajetórias
de um sistema dinâmico. Cada curva possui uma diferente condição
25
inicial. Sendo assim, a perda da estabilidade estrutural é denominada de
bifurcação.
5 Bifurcações
As bifurcações são mudanças qualitativas na resposta de um
sistema dinâmico devido a variações dos parâmetros ou das condições
iniciais. Todo sistema dinâmico físico real depende de um ou mais
parâmetros de controle. Desta forma, há uma mudança qualitativa da
topologia do retrato de fase em determinado ponto denominado de ponto
de bifurcação, ocorrendo a perda da estabilidade estrutural.
O estudo das bifurcações é fundamental para se compreender o
comportamento dinâmico de um modelo contínuo ou discreto. Em
particular, as rotas para o comportamento caótico passam quase todas por
algum tipo de bifurcação, razão pela qual seu estudo nessa etapa é uma
pré-condição para se explorar a dinâmica complexa em modelos
econômico-financeiros. Além disso, mudanças qualitativas súbitas no
comportamento dinâmico de dado sistema podem ser observadas
empiricamente no Mercado Financeiro, principalmente na bolsa de
valores. Ainda que se possa atribuir a causa de muitas delas a choques
exógenos, é possível também associar tais mudanças bruscas a
bifurcações ocorridas no seio do próprio modelo. Há vários tipos de
bifurcações, podendo-se citar como exemplo o tipo mais simples
denominado de bifurcação sela-nó, sendo o mecanismo no qual pontos
fixos são criados ou destruídos. Como exemplo, considere o
sistema 2x r x , onde r é o parâmetro que pode ser positivo, negativo
26
ou nulo. Quando r é negativo, há dois pontos fixos, um estável e outro
instável. Veja Figura VI.
Figura VI: Diagramas de fase de 2x r x quando (a) 0r , (b) 0r
e (c) 0r .
Quando r* = 0 existe um único ponto fixo, sendo que para valores
de r < r* haverá dois pontos de equilíbrio (instável e estável) que colidem
em *r r e desaparecem para *r r . O nome sela-nó, neste caso, vem
da bifurcação equivalente a esta ser em duas dimensões (onde atuam um
nó estável e um ponto fixo instável). Agora, para o caso 2x r x a
Figura VII mostra um esquema de uma bifurcação do tipo sela-nó, sendo
que as linhas pontilhadas representam a instabilidade do ponto de
equilíbrio, enquanto as linhas grossas a estabilidade.
27
Figura VII: Bifurcação sela-nó.
6 Conceitos Fundamentais da Teoria do Caos
Segundo STACEY (1991), caos não significa desordem absoluta
ou uma perda completa da forma. Significa que sistemas guiados por
certos tipos de leis perfeitamente ordenadas são capazes de se comportar
de forma aleatória e, desta forma, completamente imprevisível no longo
prazo, em certo nível específico. Porém, mesmo que apresente
comportamento aleatório, o mesmo também possui padrão ou ordem
‘escondida’ em um nível mais geral.
28
PETERS (1994) traz que o caos possui além das características já
comentadas, que sistemas caóticos apresentam mais algumas
propriedades importantes, tais como:
Estrutura Fractal – diz respeito à propriedade de se fraturar
em padrões auto-similares e escalonados. Por estrutura
auto-similar pode-se dizer que há padrões de padrões, de
forma que descreve a geometria de objetos no qual uma
pequena parte quando expandida parece a parte inteira do
objeto. Muitos objetos na natureza são auto-similares,
como por exemplo, folhas de samambaias, brócolis, a linha
da costa marítima, dentre outros.
Quebra de simetria – uma configuração ordenada pode se
quebrar de forma a dar lugar a outra configuração que pode
ou não ser ordenada. A cada ponto crítico o sistema passa
por um estado caótico que tem o efeito de destruir
estruturas ou estados de comportamento existentes. As
mudanças e os resultados são imprevisíveis, podendo
apresentar transições abruptas do caos para uma ordem
mais complexa ou desta para o caos.
Auto-organização – processo pelo qual os componentes de
um sistema espontaneamente se comunicam entre si e
abruptamente “cooperam” num comportamento comum
coordenado (por exemplo, quando ocorre a cristalização do
gelo na natureza).
Transição de fase – diz respeito a uma mudança que se
encontra próxima do equilíbrio levando à auto-organização
29
do sistema e a um estado diferente do equilíbrio, mais
organizado e ordenado (por exemplo, a água – um estado
de equilíbrio – quando passa para o vapor, outro estado de
equilíbrio, experimentando um estado caótico, isto é, a
ebulição, na mudança de fase).
Estrutura dissipativa – diz respeito ao processo de auto-
organização que se desenvolve no não-equilíbrio
frequentemente resultando em uma estrutura que apresenta
uma forma muito mais complexa de comportamento. Sua
característica distintiva é que ela requer uma entrada
contínua de energia para ser sustentada.
ERBANO (2004) diz que não existe, formalmente, uma definição
para o termo caos, porém muitos autores, tais como STROGATZ (1994),
KANTZ e SCHREIBER (2004) referem-se em três características que
acabam formando a seguinte definição:
Caos é o comportamento aperiódico de longo prazo em um
sistema determinístico que exibe sensibilidade às condições iniciais.
Desta forma, o termo caos está relacionado a três elementos
essenciais que o definem:
Comportamento aperiódico de longo prazo – referindo-se a
trajetórias que não convergem a pontos fixos, ou então a
órbitas periódicas ou quase-periódicas quando t .
Determinístico porque o sistema não é alimentado com
dados ou parâmetros aleatórios, de forma que o
comportamento irregular é devido a não-linearidade
intrínseca ao sistema.
30
Sensibilidade às condições iniciais é devido ao fato que
trajetórias inicialmente próximas umas das outras se
afastam de acordo com taxas exponenciais. Uma
consequência disso é que para se fazer uma boa previsão é
necessário um grau de precisão infinito nas medidas e nos
valores dos parâmetros (mudanças na décima ou até
mesmo na centésima casa decimal podem ocasionar
resultados completamente diferentes).
A Tabela II adaptada de NUSSENZVEIG (1999) traz um resumo
de algumas características dos sistemas caóticos e complexos que podem
ser encontrados, por exemplo, no comportamento de preços de ativos nos
Mercados Financeiros.
31
Característica Descrição
Sistema dinâmico Está em constante evolução, sendo formado por um número
grande de variáveis que interagem entre si. É aberto e não
linear. Cada unidade produz uma resposta aos sinais que
recebe das outras, que por sua vez, não é necessariamente
proporcional ao estímulo recebido.
Frustração Sinais recebidos de unidades diferentes podem ser
contraditórios.
Aprendizado O sistema é adaptativo em sua constante evolução.
Aleatoriedade Algumas características do sistema são distribuídas ao acaso.
Ordem emergente Auto-organização.
Hierarquia Evidencia de uma hierarquia entre suas partes inter-
relacionadas.
Atratores múltiplos Situação para o qual muitos de seus possíveis estados
tendem, após um tempo suficientemente grande.
Quebra de
ergodicidade
Histerese, isto é, dependência histórica anterior.
Estrutura fractal Auto-similaridade e dimensão fracionária.
Sensibilidade às
condições iniciais
Pequeno desvio das condições iniciais pode ser amplificado
exponencialmente.
Propriedades
coletivas emergentes
Decorrem de múltiplas interações entre as unidades que
formam o sistema.
Tabela II: Sistemas complexos e caóticos. Fonte: Adaptado de
NUSSENZVEIG (1991).
A complexidade está relacionada com o estudo de um sistema de
regras simples que podem gerar padrões de comportamento parecidos
com os que surgem na teoria do caos. Já a teoria do caos estuda como
32
equações não lineares simples podem gerar comportamento complexo.
Desta forma, os fenômenos complexos ocorrem exatamente no ponto
crítico em que a transição para o caos se manifesta.
Há muitas discussões sobre o significado técnico de caos e
complexidade, no qual alguns autores sugerem que a teoria do caos é uma
aplicação específica de uma teoria abrangente que estuda sistemas
dinâmicos, denominada Ciência da Complexidade. Outros sugerem o
contrário, isto é, que a teoria do caos é quem engloba o estudo de sistemas
complexos. Outros ainda consideram que Caos e Complexidade são
termos sinônimos. Todos estes estudos estão ainda em discussão e por
esta razão os conceitos fundamentais da teoria do caos foram
apresentados da forma histórica.
33
Capítulo II
As Equações de Lorenz e a evolução dos retornos do Mercado
Financeiro
1 Análise qualitativa das equações de Lorenz
A teoria de sistemas dinâmicos tem fornecido novas ferramentas
para se analisar séries temporais caóticas obtidas em experimentos.
A constatação pioneira de que movimentos intrinsecamente
caóticos podem ocorrer em sistemas determinísticos dissipativos é devida
a Lorenz, que, com a finalidade de estudar o problema da previsão
meteorológica para tempos longos, analisou as equações associadas a
processos físicos envolvendo convecção térmica bidimensional,
concluindo pela impraticabilidade de tal previsão devido às imprecisões
na determinação das condições iniciais.
Com a introdução do conceito de atrator caótico e a noção
subjacente de dependência sensitiva às condições iniciais estabeleceram-
se bases seguras para uma teoria matemática dos processos caóticos.
O comportamento caótico pode ser observado com pelo menos
três graus de liberdade. Tal fato acarreta na modificação da imagem da
transição ordem-turbulência: comportamento turbulento pode ser obtido
também em sistemas com dinâmica completamente representada num
espaço de fases de baixa dimensão.
Os fenômenos caóticos surgem em modelos matemáticos cujas
equações diferenciais do movimento são do tipo determinístico. A
previsão do problema é impossível. Um pequeno erro no começo produz
34
um erro muito grande mais tarde. Se a previsão torna-se impossível, é
evidente que um sistema do tipo caótico pode assemelhar-se a um
estocástico que um sistema sujeito a forças externas aleatórias. Entretanto
para o caos a irregularidade é parte intrínseca do sistema. A propriedade
fundamental de um sistema caótico é a sua sensível dependência às
condições iniciais.
Existem técnicas de controle do caos para a eliminação do
comportamento caótico do sistema dinâmico não-linear, induzindo-o a se
comportar como se fosse periódico, isto é, são técnicas que alterarão o
movimento deste sistema dinâmico para outro comportamento caótico
desejado.
2 Equações de Lorenz
Lorenz foi um meteorologista que estava questionando a
fundamentação teórica dos métodos de previsão do tempo de sua época
que eram baseados em regressão linear. Para ele, o fenômeno
meteorológico era não linear, no qual para testar a sua teoria, comparou
numericamente diversos métodos aplicados a alguns modelos
simplificados. Porém, a complexidade dos modelos era um problema
crítico, uma vez que o computador de que dispunha (Royal McBee LGP-
30) tinha 16 KB de memória interna, capaz de realizar 60 multiplicações
por segundo, para um sistema de doze equações diferenciais, sendo que
cada passo da integração numérica gastava um segundo.
Um problema interessante em meteorologia estuda o movimento
de uma camada de fluido, como a atmosfera da Terra, que por sua vez, é
35
mais quente em baixo do que em cima. Se a diferença de temperatura
vertical é pequena, então a temperatura varia linearmente com a altitude,
o que não causa movimento significativo da camada de fluido. Porém, se
a variação de temperatura é demasiadamente grande então o ar quente
sobe, deslocando o ar frio que está sobre ele resultando em um
movimento regular que se propaga. Se as diferenças de temperatura
aumentam ainda mais, então finalmente o fluxo regular em propagação
transforma-se em um movimento mais complexo e turbulento. Este é um
problema da instabilidade de Rayleigh-Bérnard que diz respeito a um
fluido localizado entre duas placas horizontais com diferenças de
temperaturas entre a placa superior e a inferior.
Ao estudar este fenômeno, e após diversas tentativas, Edward
Lorenz acabou adotando o sistema não linear autônomo tridimensional e
determinístico introduzido por B.Saltzmann, que exibe comportamento
caótico e demonstra aquilo que hoje se chama de atrator estranho dado
pelas equações:
,X X Y
,Y rX Y XZ (20)
3, , , , , , 0Z bZ XY X Y Z r b
As equações (20) são chamadas de equações de Lorenz. Neste
sistema tem-se que a segunda e a terceira equações contêm termos não
lineares quadráticos. A variável X(t) em (20) está relacionada à
intensidade do movimento do fluido (proporcional à intensidade da
36
convecção), Y(t) é proporcional à diferença de temperatura entre as
correntes de fluido ascendente e descendente e Z(t) está relacionada à
distorção do perfil de temperatura vertical, relativamente a um perfil
linear.
Nas equações de Lorenz há também três parâmetros reais e
positivos denotados por , r e b. Os parâmetros e b dependem do
material e das propriedades geométrica da camada de fluido, onde σ = µ/κ
(número de Prandtl, sendo µ a viscosidade do fluido e κ a condutividade
térmica) e b = (1+a2), no qual a é o quociente entre a distância entre as
placas e a largura do rolo de convecção. Já o parâmetro r é proporcional à
diferença de temperatura, também chamado de número de Rayleigh
relativo. Para a atmosfera da Terra, valores razoáveis para esses
parâmetros são = 10 e b = 8/3, sendo que r é tomado como parâmetro
de controle.
O sistema (20) possui dois termos não-lineares, os termos
quadráticos xy e xz. Neste sistema também há a presença de simetria. Se
for substituído (x, y) por (- x, - y) em (20), as equações não se alteram.
Então, se ( ), ( ), ( )x t y t z t é uma solução, logo ( ), ( ), ( )x t y t z t também o
serão.
Para se analisar as equações de Lorenz é preciso localizar os
pontos críticos, que podem ser obtidos impondo
0,X X Y (21)
0,Y rX Y XZ (22)
0.Z XY bZ (23)
37
Segue de (21) que X = Y. Então se eliminando y da segunda e
terceira equações, obtém-se
1 0,X r Z (24)
2 0.X bz (25)
Uma forma de satisfazer a equação (24) é tomar X = 0. Segue,
então, que Y = 0 e Z = 0. De maneira alternativa, pode-se escolher
Z = r – 1. Logo, implicará que ( 1)X b r e também ( 1)Y b r ,
sendo que essas expressões para X e Y só serão reais se, e somente se,
0r . Portanto, (0,0,0) denotado por P1 será um ponto crítico para todos
os valores de r e é o único ponto crítico para o qual r < 1. Para r > 1, há
outros dois pontos críticos sendo ( 1), ( 1), 1b r b r r e
( 1), ( 1), 1b r b r r sendo que os dois últimos são denotados por
P2 e P3 respectivamente.
O ponto de equilíbrio trivial (0,0,0) é correspondente ao regime de
condução e os outros dois pontos fixos estão relacionados ao regime de
convecção. O ponto no qual r é igual a um, corresponde a um ponto de
bifurcação, que por sua vez, é uma mudança qualitativa do retrato de
fases de um sistema dinâmico, conforme algum parâmetro de controle.
38
A matriz Jacobiana do sistema de Lorenz (20) é
, ,, ,
f f fX Y Z
f g h g g gJX Y Z X Y Z
h h hX Y Z
0, ,
1, ,
f g hJ Z r X
X Y ZY X b
.
Para o primeiro ponto fixo P1 (ponto fixo trivial) seu valor é
0,0,0
01 0
0 0J r
b
.
A equação para os autovalores é dada pelo 0,0,0det 0J I ,
isto é, os autovalores são determinados por
01 0 0.
0 0r
b
(26)
39
A solução de (26) leva a uma equação da forma
2 1 1 0b r (27)
As soluções de (27) são 3 b e
21
1 1 1 4 12 2
r
e 2
21 1 1 4 1
2 2r
.
Logo, o ponto trivial (0,0,0) é estável para 0 < r < 1, uma vez que nesse
domínio do parâmetro de controle todos os autovalores são negativos.
Agora, para r =1, tem-se que λ1 = 0, o que faz o equilíbrio tornar-se
instável e o ponto trivial, neste caso, será um ponto sela hiperbólico para
todo r > 1.
A estabilidade para o ponto fixo não-trivial
( 1), ( 1), 1b r b r r pode ser encontrada da mesma forma para o
ponto fixo trivial. A matriz Jacobiana neste ponto vale
1 , 1 , 1
0
1 1 1
1 1b r b r r
J b r
b r b r b
40
A equação para os autovalores é dada pelo
1 , 1 , 1det 0
b r b r rJ I
, isto é, os autovalores são determinados
por
0
1 1 1 0.
1 1
b r
b r b r b
(28)
A solução de (28) é uma equação da forma
3 21 2 1 0.b b r b r (29)
Considerando r < 1 (no qual o ponto fixo trivial é estável) um dos
autovalores de (29) será positivo e par de soluções ( 1)X Y b r e
1Z r será instável. Para r = 1 em (29) tem-se que λ1 = 0, λ2 = - b e
λ3 = - (σ + 1).
Quando r assume o valor 1 o ponto fixo trivial (0,0,0) torna-se
instável e o novo par de soluções ( 1)X Y b r e 1Z r adquire
estabilidade linear.
41
Teorema I: Considere um polinômio de grau três dado por:
3 21 2 3 0a a a (30)
Se é uma raiz deste polinômio, então se tem que:
i. Se 1 0a , 3 0a e 1 2 3 0a a a , então Re( ) 0 ;
ii. Se 1 0a , 3 0a e 1 2 3 0a a a , então Re( ) 0 .
Agora, caso 1 2 3 0a a a seque que as raízes do polinômio serão
imaginárias puras.
Por meio do Teorema I é possível encontrar o valor de rc (r
crítico) que o ponto no qual há perda de estabilidade e ocorre a bifurcação
de Hopf nos pontos fixos não-triviais. Sendo 1 1a b ,
2a b r e 3 2 1a b r pela equação (29), desta forma, fazendo
o produto de 1a por 2a pela diferença de 3a e igualando o resultado a
zero, encontra-se o rc igual a
3 ,1c
br rb
(31)
neste caso, é necessário assumir que 1b . De fato, se 1b tem-
se que P2 e P3 são estáveis para todo r > 0. Portanto, o terceiro autovalor
será 3 1b e os dois outros autovalores são
1/21,2 2 1 / 1i b .
Para valores de r maiores que rc os pontos fixos não triviais são
pontos de sela e haverá somente soluções não-periódicas. Agora,
42
considerando 24,74; 30,1r , fazendo 10 e 8 / 3b , o atrator
estranho constituir-se-á a única solução estável do fluxo.
3 Resultados quantitativos das equações de Lorenz
Nesta seção serão considerados todos os casos possíveis do
parâmetro r das equações de Lorenz.
I Caso: Considere o ponto * (0, 0,0)P para 0r . A condição
inicial para a solução numérica das equações de Lorenz será considerada
como X = Y = Z = 1, para os seguintes parâmetros b = 8/3, σ = 10 e
r = 0,5 e o resultado está ilustrado na Figura VIII.
43
0 10 20 30 40 50 60
0.0
0.4
0.8
x
time
0 10 20 30 40 50 60
0.0
0.4
0.8
y
time
0 10 20 30 40 50 60
0.0
0.4
0.8
z
time Figura VIII: Condição inicial X = Y = Z = 1, b = 8/3, σ = 10
e para r = 0,5.
44
Considerando a Figura VIII vê-se que as variáveis das equações
diferenciais no tempo vão para o ponto de equilíbrio estável * (0, 0,0)P ,
quando tempo vai para infinito. Isto acontece, pois os autovalores
1 0,5 , 2 10,5 e 3 8 / 3 que indica que o ponto fixo é um nó
hiperbólico assintoticamente estável, primeiro caso da Tabela I.
Caso II: Considere o ponto * (0, 0,0)P para 1r . A condição
inicial para a solução numérica é a mesma usada anteriormente. Os
parâmetros b = 8/3, σ = 10 e r = 1 e o resultado está ilustrado na Figura
IX.
45
0 10 20 30 40 50 60
0.0
0.4
0.8
x
time
0 10 20 30 40 50 60
0.2
0.6
1.0
y
time
0 10 20 30 40 50 60
0.2
0.6
1.0
z
time
Figura IX: Condição inicial X = Y = Z = 1, b = 8/3, σ = 10 e para r = 1.
No segundo caso, tem-se que o ponto * (0, 0,0)P não mais será o
ponto de equilíbrio estável, quando o t . Isto acontece, pois os
46
autovalores 1 0 , 2 0 e 3 8 / 3 que indica que o ponto fixo é um
caso de fronteira elíptico, sétimo caso da Tabela I.
Caso III: Neste caso o ponto * (0, 0,0)P não será mais estável,
para r = rc, mas os dois pontos ( 1)X Y b r e 1Z r serão os
pontos de equilíbrio. A condição inicial para a solução numérica é a
mesma usada anteriormente. Os parâmetros b = 8/3, σ = 10 e r = 24,74 e
o resultado está ilustrado na Figura X.
47
0 10 20 30 40 50 60
-15
010
x
time
0 10 20 30 40 50 60
-20
020
y
time
0 10 20 30 40 50 60
020
40
z
time
Figura X: Condição inicial X = Y = Z = 1, b = 8/3, σ = 10 e para
r = 24,74.
Neste terceiro caso, tem-se que o ponto * (0, 0,0)P terá os
autovalores 1 10,86 , 2 21,86 e 3 8 / 3 que indica que o ponto
fixo é um caso de estabilidade instável com ponto fixo sela hiperbólico,
48
terceiro caso da Tabela I. Este ponto fixo não foi resolvido
numericamente, pois se está interessado no ponto fixo ( 1)X Y b r
e 1Z r , que para os parâmetros indicados anteriormente serão
8,12X Y e 23,74.Z Quando t a solução oscila
aperiodicamente em torno destes pontos, como se vê na Figura X. Isto
acontece devido aos autovalores serem complexos puros, o que indicaria
que eles são pontos de equilíbrio estável, tipo ciclo limite denominado por
Poincaré, caso sexto da Tabela I. A seguir está a Figura XI representando
a seção de Poincaré para esse ponto de equilíbrio estável.
-20 -10 0 10 20
010
2030
40
y
z
Figura XI: Seção de Poincaré para r = 24,74.
49
Caso IV: Novamente o ponto * (0, 0,0)P não será mais estável,
para r > rc, mas os dois pontos ( 1)X Y b r e 1Z r serão os
pontos de equilíbrio. A condição inicial para a solução numérica é a
mesma usada anteriormente. Os parâmetros b = 8/3, σ = 10 e r = 28 e o
resultado está ilustrado na Figura XII.
0 10 20 30 40 50 60
-10
10
x
time
0 10 20 30 40 50 60
-20
020
y
time
0 10 20 30 40 50 60
020
40
z
time Figura XII: Condição inicial X = Y = Z = 1, b = 8/3, σ = 10 e para r = 28.
50
Neste quarto caso, desconsidera-se novamente o ponto * (0, 0,0)P pelas mesmas razões do caso III. Os pontos fixos
( 1)X Y b r e 1Z r , que para os parâmetros indicados
anteriormente serão 8,48X Y e 27Z Quando t a solução
oscila aperiodicamente em torno destes pontos, como se vê na Figura XII.
Isto acontece devido aos autovalores serem quase complexos puros, pois a
parte real é pequena e novamente serão os pontos fixos do tipo ciclo
limite denominado por Poincaré. A seguir está a Figura XIII
representando a seção de Poincaré para esse ponto de equilíbrio estável
que é conhecido como efeito borboleta.
51
-10 0 10 20
010
2030
40
x
z
Figura XIII: Projeções das equações de Lorenz para
X = Y = Z = 1, b = 8/3, σ = 10 e para r = 28, no plano xy.
Na Figura XIV apresenta-se a evolução temporal das três
variáveis das equações de Lorenz representado no espaço
tridimensional que é conhecido como atrator estranho ou atrator
de Lorenz.
52
-20 -10 0 10 20 30
010
2030
4050
60
-30-20
-10 0
10 20
30
x
y
zAtrator de Lorenz
Figura XIV: Atrator de Lorenz para r = 28, 10 e b = 8/3.
Caso V: Este caso corresponde ao caso anterior com a única
diferença de que a solução numérica será feita para duas condições
iniciais, sendo uma X = Y = Z = 1, usada em todos os casos anteriores, e a
outra sendo X = Y = Z = 1.0001.
53
Figura XV: (a) Condições iniciais X=Y=Z = 1 e (b) com
X=Y=Z=1,0001.
Observe as Figuras XIV e XV para tempo maior que 20 começam
os resultados serem diferentes, como no caso para tempo maior que 60,
em que a variável x ao invés de descer, ela sobe.
Conforme se pode ver nas Figuras XIII e XIV o atrator de Lorenz
não se constitui exatamente de uma superfície, mas também não constitui
54
um volume, sendo que as folhas não têm extensão transversal e são
separadas por espaços vazios.
Outro conceito importante na teoria do caos é o Atrator, que por
sua vez, não possui uma definição formal, sendo que seu conceito em si,
repleto de sutilezas que dificultam a sua simples explicação.
Para compreender esse conceito imagine um funil descarregando
grãos de areia em uma pilha. Primeiramente a areia começa a se espalhar
e depois vai ficando com a forma de um cone. Desta forma, à medida que
o cone sobe, começam a acontecer pequenas avalanches que levam grãos
de areia a escorregar, dos quais se amontoam em um ângulo mais ou
menos constante, isto é, o ângulo do repouso, que está relacionado com as
propriedades físicas dos grãos, tais como densidade, rugosidade ou
dimensão, e não pelo tamanho da pilha nem pela sua construção. Logo, a
pilha de areia se auto-organiza em um dado perfil crítico. Colocar mais
areia na pilha causa novos deslizamentos, mas a reestruturação final
restaura o perfil crítico. Sendo assim, pode-se pensar que a pilha de areia
funciona como um sistema dinâmico que caminha sempre para um estado
crítico, sendo este denominado o atrator do sistema, como no caso do
atrator de Lorenz, no qual o sistema dinâmico sempre caminha de forma a
desenhar a borboleta.
Segundo STEWART (2011), um sistema dinâmico em longo
prazo se estabiliza em um atrator. O teorema de Poincaré-Bendixson diz
que, para sistemas estruturalmente estáveis no plano – sistemas típicos –
os únicos atratores são:
Pontos singulares;
55
Ciclos-limites estáveis – assemelham-se a um redemoinho,
formando uma volta fechada, isto é, é um movimento
giratório sem fim, repetindo incessantemente o mesmo
movimento (periódico).
Desta forma, os únicos movimentos de longa duração em sistemas
dinâmicos são permanecer em repouso num estado estacionário ou então,
repetir alguma série de movimentos periodicamente, como pode ser
visualizado no caso IV das equações de Lorenz.
De acordo com JANOS (2009) em 1971, os cientistas David
Ruelle e Flores Takens apresentaram um artigo sobre a dinâmica dos
fluidos intitulado “Da natureza da turbulência”. Neste artigo os autores
descrevem que a energia aplicada à água é essencialmente devida à força
da gravidade, e a vazão da mesma seria regulada pela abertura da torneira,
que ao ser aberta, bem pouquinho, é possível ver o filete contínuo de água
saindo desta, num movimento que se pode definir como regular, isto é, da
torneira para o tanque. Sendo assim, a coluna de água parece estar parada.
Ao se abrir cuidadosamente mais um pouco a torneira, vê-se uma
espécie de pulsão regular no escoamento, o que caracteriza um
movimento aperiódico, substituindo o filete contínuo. Finalmente, ao
abrir completamente a torneira, o fluxo de água irá tornar-se totalmente
irregular, sendo este movimento denominado de turbulência. Este
fenômeno era interpretado como um acréscimo de vibrações em
frequência periódicas, só que estas perturbações não seriam harmônicas,
mas discordantes, como se cada um dos sinos de uma igreja badalassem
em frequências aleatórias, gerando um som desagradável. Em suma, o
movimento da água era considerado contínuo se não houvesse frequências
56
perturbadoras atuando, passando para o periódico quando duas
frequências estivessem atuando e, assim, com muitas frequências
vibratórias discordantes agindo, surgiria um movimento turbulento. A
tese que Ruelle-Takens provaram foi que, em contraste com dito
anteriormente, a turbulência em um sistema dissipativo é um movimento
caótico atraído para desenvolver certo padrão. Esse padrão varia para
cada fenômeno físico e é chamado de “Atrator Estranho”.
Os atratores estranhos estão presentes em toda parte, sejam nas
atividades cerebrais, reações químicas ou até mesmo no clima. São
geometricamente de natureza fractal e dinamicamente objetos caóticos. O
atrator de Lorenz, a borboleta, é um atrator estranho e a sua estrutura é
multifractal, isto é, não está caracterizado por um número fractal, mas por
vários números fractais.
Utilizando a definição dada por STROGATZ (1994) e
complementada por JANOS (2009), podem-se enumerar algumas
propriedades de um atrator estranho:
Se A é um conjunto fechado, então A é um conjunto
invariante, isto é, qualquer trajetória x( )t que se inicie em
A, permanecerá em A indefinidamente.
Existe uma região R nos quais pontos iniciais serão
capturados pelo atrator A – campo de atração, isto é, A
atrai um conjunto aberto de condições iniciais.
Uma órbita na região R permanece em R para sempre e
chegará tão próxima de A quanto se desejar.
Possui estrutura fractal.
57
Normalmente, será caótico, apresentando sensibilidade às
condições iniciais.
O primeiro atrator estranho reconhecido como tal foi descoberto
por E. Lorenz em 1963, assunto discutido no texto.
Capítulo III
Interpretação dos resultados na evolução dos retornos no Mercado
Financeiro
Conforme visto no capítulo I sobre o Mercado Financeiro os
retornos de ativos negociados na bolsa de valores, por exemplo, são séries
temporais aperiódicas que tem uma distribuição que geralmente não é
gaussiana. Essas séries temporais podem ser reproduzidas por meio das
equações de Lorenz para parâmetros nos quais existem comportamentos
caóticos, isto é, r = 28, que podem ser vistas na Figura XII do caso IV.
58
Figura XVI: Retornos do Ibovespa entre janeiro de 1994 e
outubro de 2004.
A Figura XVI apresenta uma série de retornos do Ibovespa (que é
um o mais importante indicador do desempenho médio das cotações do
mercado de ações brasileiro. Sua relevância advém do fato do Ibovespa
retratar o comportamento dos principais papéis negociados na BMF&
BOVESPA), no período de 1994 a 2004. Devido à complexidade da série
de retornos, o uso de técnicas não linear é mais indicado do que técnicas
lineares. Desta forma, o uso de modelos não-lineares, tais como os
59
modelos ARCH (Autoregressive Conditional Heteroscedasticitiy) que foi
considerado uma nova forma de modelar o comportamento dos
rendimentos dos ativos financeiros, que se baseia na heterocedasticidade
(variância flutuante ao longo do tempo) condicional à verificada no
passado imediato. Outra possibilidade foi analisar tais séries com o uso de
técnicas não-lineares advindas do estudo de sistemas dinâmicos, daí a
importância da analogia do Mercado Financeiro com as equações de
Lorenz, por exemplo.
PETERS (1991) observou a existência de Caos nas cotações dos
índices MSCI representativos dos mercados Japonês, Inglês, Alemão e do
Standart & Poors dos Estados Unidos.
O Mercado Financeiro Brasileiro, assim como os Mercados
Internacionais, apresentam componentes não-lineares nas séries de
retornos de ativos financeiros. Desta forma, a Hipótese de Mercado
Eficiente fica comprometida, pois as séries de retornos geralmente
apresentam distribuições estáveis do tipo Lévy, sendo passíveis assim, de
uma interpretação alternativa, usando métodos não lineares tais como o
sistema de equações de Lorenz.
Uma característica importante do Mercado Financeiro é que o
mesmo apresenta sensibilidade às condições iniciais, isto é, pequenas
mudanças podem levar a comportamentos totalmente imprevisíveis e
caóticos. Na Figura XVII tem-se a série diária do Ibovespa. Perceba que
de um dia para o outro, a série pode cair ou subir, revelando a sua
sensibilidade as condições iniciais e também ao comportamento de
Mercado, que de acordo com o seu “humor” determinará condições
iniciais que podem ser drásticas para o Mercado em determinado dia.
60
Figura XVII: Série Ibovespa período de 31/03/2009 a 08/03/2013.
Portanto, o Mercado Financeiro, seja Brasileiro ou não, possui
sensibilidade nas suas condições iniciais, sendo passível de interpretação
por meio da teoria do caos, especialmente pelas equações de Lorenz, que
como já vistas anteriormente, apresentam sensibilidade às condições
iniciais.
Outro aspecto importante do Mercado Financeiro é a presença de
Memória. Existem vários trabalhos comprovando este ponto, desde
Mercados Japoneses até Turcos. As equações de Lorenz também
apresentam a característica de memória, para isso devem-se converter as
61
três equações de Lorenz em uma equação de segundo grau, na qual terá
uma integral que corresponderá à memória do sistema. Isto nada mais é
oscilador forçado de Duffing, representado na equação (32) encontrada
em PANCHEV e SPASSOVA (2004)
3,2
1 1( 1) (1 ) ( ) 0.2 2bbX X r X t X X
b
(32)
O oscilador forçado Duffing permite uma analogia juntamente
com as equações de Lorenz sobre o processo de memória do Mercado
Financeiro ao longo prazo, isto é, quando t . Tem-se que este
oscilador apresenta comportamento caótico e tende a um ciclo limite.
Sendo assim, pode-se fazer uma interpretação de cada variável
representativa em (32) correspondente ao Mercado Financeiro, isto é, se o
oscilador é forçado, então existe uma força que o impulsiona e esta força
nada mais é que o dinheiro investido no mercado. Há também a presença
de atrator, que pode revelar, por exemplo, regiões nos quais as aplicações
financeiras são mais atrativas ou não.
Observe a Figura XVIII que mostra a série Ibovespa período de
1972 a 2004. Nesta figura é possível ver que há momentos que o mercado
tem altas e baixas em dado instante, porém estas “perdas” ou “ganhos”
estão atrelados a comportamentos passados, isto é, se com a crise do
petróleo houve queda na bolsa e após este período no plano cruzado
houve alta, isto foi devido à memória do mercado. Desta forma, o
mercado se “lembra” dos acontecimentos anteriores. Por isso que em
dado dia a bolsa pode ter uma forte queda, isto não foi devido somente
62
àquele dia em especial, mas a todo um conjunto de acontecimentos
anteriores que impactaram na queda.
Figura XVIII: Série Ibovespa período de 1972 a 2004.
Outro ponto importante no Mercado Financeiro é que os seus
investidores, sejam por compra de ativos em geral, buscam compor
carteiras de forma a ter maiores resultados lucrativos possíveis, no
63
entanto, o risco aumenta, na medida que o retorno aumenta (binômio risco
x retorno). Isto equivaleria nas equações de Lorenz, a existência do atrator
de Lorenz, ou o atrator estranho no caso IV. O investidor poderia obter
grandes lucros ou grandes prejuízos, pois pode entrar na região de
bifurcação, denominada de bifurcação de HOOF. Esta é a bifurcação de
um equilíbrio para uma oscilação periódica, sendo que sua diferença entre
as outras bifurcações é que o sistema antes representado por um equilíbrio
passa a ser representado por um ciclo limite no qual as oscilações são
regulares.
Para a derivada de X na equação de Lorenz, a variável Y é um
parâmetro que pode levar a criação desse tipo de bifurcação que foi
comentada no capítulo I seção II. Logo, o investidor vai estar na região
conhecida como a borboleta de Lorenz, oscilando em regiões com ganhos
ou com perdas.
64
Capítulo IV
Perspectivas
Há inúmeras formas de estudar o Mercado Financeiro. Sejam por
meio de modelos não-lineares, processos estocásticos, por meio de
fractais ou até mesmo mapas logísticos. A seguir serão apresentadas
algumas outras formas além da teoria do caos de Lorenz, para estudar o
Mercado Financeiro. A primeira proposta refere-se a mapas logísticos,
seguido de Hipótese Mercados Fractais e a teorias que combinam técnicas
lineares e não lineares.
1 Mapa Logístico
O caos pode ocorrer em sistemas regidos por leis não lineares,
podendo estas serem equações diferenciais ou equações de diferenças
finitas. É importante enfatizar que o caos pode ocorrer em sistemas
regidos por leis simples, de forma que comportamentos complexos e
imprevisíveis podem emergir em tais sistemas.
O mapa logístico é uma regra matemática que associa a um dado
um número xn a outro número xn+1 por meio da equação:
1 (1 )n n nx x x (33)
no qual α é um parâmetro. Ele é um exemplo de mapa discreto, sendo
comumente utilizado na introdução à teoria do caos.
Geometricamente o mapa logístico é uma parábola cuja
concavidade é definida pelo parâmetro α (Figura XIX). Os diferentes
65
valores deste parâmetro definem um tipo de evolução diferente para o
mapeamento.
Figura XIX: Mapa Logístico para diferentes valores de α. (Savi, 2004)
A equação logística mostra que um sistema dinâmico
matematicamente simples (18) pode crescer ordenadamente por um
tempo e de repente pode se tornar caótico, de forma que esta transição dá-
se por uma rota bem definida e quantificável. Para α = 3,2 a interação da
equação logística gera uma bifurcação com dois ramos, isto é, possui
66
ciclo dois. Ao continuar aumentando os valores de α o ciclo vai crescendo
para 4, depois 8, 16 e assim sucessivamente, sempre dobrando o período.
Finalmente para α = 4, o sistema torna-se caótico.
O diagrama da Figura XX é chamado de Diagrama de Bifurcação,
desenvolvido por M. Feigenbaum que mostrou que os períodos vão se
duplicado com o avanço de α. Para α = 3,5 é possível observar uma
estrutura auto-similar (característica dos fractais). O caos surge no final
da sequência de cascatas das bifurcações de ciclos 2,4,8, ... , quando o
período é tão longo que a sequência no tempo nunca se repete.
Figura XX: Mapa Logístico – Diagrama de Bifurcações.
67
As ramificações vão se tornando cada vez mais curtas da esquerda
para a direita. Esta cascata de bifurcações comporta-se de forma bem
definida. Feigenbaum descobriu que ao se medir os comprimentos de
duas ramificações sucessivas, sua razão terá o valor aproximado de S = 4,
6692..., isto é,
1
1
4,6692...k k
k k
a aSa a
(34)
no qual S é conhecido como constante de Feigenbaum.
O Mapa Logístico é também uma possibilidade para se estudar o
comportamento ou a evolução dos retornos no Mercado Financeiro por
meio de um diagrama de bifurcações ou uma equação de diferenças.
2 Hipótese de Mercado Fractal
De acordo com NUSSENZVEIG (1999) os fractais são conjuntos
cujas formas são bastantes irregulares ou fragmentadas e que possuem a
mesma estrutura em todas as escalas. As principais propriedades são:
auto-similaridade – pode ser exata ou estatística, isto é, o
sistema variante (mantém a mesma forma e estrutura)
quando submetido a uma transformação de escala (uma
transformação que diminui ou amplia um objeto ou parte
dele);
68
existência de extrema irregularidade no sentido da
rugosidade (não suavidade) ou fragmentação;
possui, geralmente, uma dimensão fractal não inteira.
JANOS (2009) diz que a geometria fractal é uma linguagem
matemática que descreve, analisa e estuda as formas encontradas na
natureza.
Mandelbrot é considerado o pai da geometria fractal, porém antes
dele já havia matemáticos que criaram figuras interessantes que
desafiavam o enquadramento nas definições formais da geometria
euclidiana e que, por isso, foram chamadas de “monstros matemáticos”.
Podem-se citar vários exemplos de fractais, dentre eles tem-se o conjunto
de Cantor, a curva de Koch, a cesta de Sierpinski, a samambaia de
Barnsley, dentre outros.
Segundo PETERS (1991), o desenvolvimento da geometria fractal
tem sido uma das descobertas mais úteis e fascinantes do século XX na
área da matemática. Desta forma, a complexidade emerge de uma
simplicidade natural. A constatação das formas naturais e das séries
temporais sãos mais bem descritas, muitas vezes, por meio do uso de
fractais.
Um mercado é estável quando todos os participantes podem
negociar um com o outro, cada um enfrentando o mesmo nível de risco
dos outros, ajustados para sua escala de tempo ou horizonte de
investimento. Desta forma, a distribuição de frequências dos retornos
(ganhos) é a mesma para os investidores que seus traders (negociação de
compra e venda simultânea, ou seja, pode-se vender ou comprar certo
ativo no mercado ao mesmo tempo) diários, semanal ou trimestral, uma
69
vez que é feito por escala. Sendo assim, os traders que fazem operações a
cada dez minutos enfrentam os mesmos riscos que traders que mudam
suas posições mensalmente. O mercado pode permanecer estável para
outros traders que possuem horizontes de tempo distintos, os quais veem
esta falha como uma oportunidade de compra, por exemplo. Quando o
mercado reduz seu horizonte de investimento, todos se tornam
investidores de curto prazo, tornando o mesmo errático e instável. Sendo
assim, o mercado pode absorver os choques, enquanto mantém a sua
estrutura fractal, que se perdida, a instabilidade se alongará a todos os
horizontes de investimento.
Um das características da geometria fractal está no fato de que
todas as suas dimensões serem representadas por números não inteiros. Já
na geometria euclidiana isto não acontece, de forma que surgem
dimensões não inteiras.
A dimensão fractal diz respeito a como certo objeto preenche o
espaço, descrevendo a estrutura do mesmo e como seu fato de ampliação,
ou escalas, é alterado. Para uma série temporal, a dimensão fractal mostra
quão irregular no tempo ela é. Um método rápido para cálculo da
dimensão fractal consiste em envolver uma curva com círculos de raio r.
Sendo assim, é possível contar o número de círculos necessários para
cobrir a curva e então aumentar o raio. A dimensão d de um objeto
constituído de N objetos idênticos não distorcidos, reduzidos de um fator
de escala s, é então dada por
log( ) / log(1 / )d N s . (35)
Para uma linha tem-se que d = 1, para um quadrado d = 2, para um
cubo d = 3 e assim por diante. Desta forma, a dimensão fractal é
70
importante no mercado financeiro, por esta pode fornecer informações
relevantes sobre a natureza de séries temporais, por exemplo. Sendo que
séries que se comportam de forma linear se apresentam como linha reta,
isto é, com d = 1. Ao passo que séries que demonstram um passeio
aleatório possuem chance de certa de 50% de apresentarem tanto forma
ascendente ou descendente, daí a sua dimensão fractal ser 1,50.
Sendo assim, é possível utilizar a abordagem de Fractais para
estudar o Mercado Financeiro, conforme se pode observar o resultado de
experimentos realizados a partir de séries temporais de retornos
logarítmicos de várias ativos distintos e em múltiplos mercados. A
natureza fractal dos mercados contradiz a validade da Hipótese de
Mercados Eficientes, bem como fragiliza todos os modelos quantitativos
derivados dessa hipótese, dentre eles pode-se citar o CAPM (Capital
Asset Pricing Model) ou o APT (Arbitrage Pricing Theory), bem como
todos os modelos que dependem de um comportamento explicado pela
distribuição normal ou da existência de uma variância finita.
3 Modelos estocásticos lineares e não lineares
Os modelos estocásticos lineares e não lineares são outra
possibilidade de estudo do Mercado Financeiro. São também conhecidos
como modelos Autoregressive Movable Average (ARMA) que propõe a
previsão dos rendimentos dos títulos propondo uma dependência linear
entre os rendimentos de diferentes títulos. O CAPM é um modelo
ARMA, pois ele prega que o valor de um determinado título é dado por
um título livre de risco mais um prêmio pelo risco ponderado por um
71
coeficiente beta β. O modelo ARMA assume que a volatilidade (o padrão
de desvios dos rendimentos) é constante ao longo do tempo. Tal
pressuposto é a fragilidade do modelo, uma vez que tal volatilidade
constante é difícil de provar, uma vez que todo tempo no mercado de
capitais os títulos apresentam períodos de elevadas altas seguidos por
períodos de elevadas baixas.
EAGLE (1982) propõe uma alteração ao modelo ARMA
adicionando a ele uma forma de modelar a variância e não apenas os
rendimentos. Tal modelo chamado de Autoregressive Conditional
Heteroscedasticity (ARCH) afirma que a variância pode ser medida
através da volatilidade das autocorrelações dos retornos ao longo do
tempo. Em outras palavras, a variância (risco) de hoje estaria associada à
variância de períodos imediatamente anteriores (curto prazo), ou seja,
correlacionada (essa variação da variância chama-se heterocedasticidade).
Enquanto que o modelo ARMA propõe uma linearização dos
rendimentos, o modelo ARCH propõe uma relação não linear. Os dois
modelos têm em comum o fato de assumirem a eficiência de mercado e
por serem modelos estocásticos também assumem que a previsão dos
rendimentos é impossível a longo e médio prazo, pois, as autocorrelações em
médio e longo prazo são nulas.
Em outras palavras, ambos os modelos são tentativas de se manter o
atual paradigma de pé, isto é, que é possível manter a Hipótese de Mercados
Eficientes, pois, se as autocorrelações são nulas os movimentos são
aleatórios uma vez que não dependem de seu estado passado.
72
Conclusões
O incremento constante na velocidade de propagação da
informação, característica intrínseca dos tempos modernos que atrelada ao
desenvolvimento tecnológico e à necessidade de processamento dessa
informação, impuseram a necessidade de evolução do processo de
pensamento e o desprendimento de modelos matemáticos e teóricos
outrora suficientes para explicar a realidade, porém muitas vezes não mais
usuais atualmente.
O Mercado Financeiro é dinâmico. Sensível a condições iniciais,
de natureza extremamente complexa e não-linear. Desta forma, hipóteses
anteriormente válidas estão caindo por terra, com a introdução de novas
abordagens que levam em consideração o seu comportamento atual.
A teoria do caos e da complexidade juntamente com a teoria
fractal abre espaço para o desenvolvimento de inúmeras pesquisas e
aplicações no campo das Finanças Modernas, que juntamente com o
estudo de Finanças Comportamentais constitui-se um terreno fértil e
ávido a ser explorado sob essa nova perspectiva.
A aplicabilidade de técnicas interdisciplinares advindas da Física
pode ser um ferramental extremamente útil e intuitivo no estudo de
Finanças atualmente, uma vez que seus resultados são relativamente
simples de serem interpretados e os resultados obtidos por meio delas
correspondem àqueles observados através do uso de técnicas
econométrias tradicionais, se não ainda mais precisos que estes.
A teoria do caos, ao apresentar o conceito de comportamento
caótico determinístico, juntamente com as equações de Lorenz permite
73
que se faça um paralelo entre a Física e as Finanças, uma vez que
sistemas caóticos apresentam certo grau de previsibilidade. Sendo assim,
caso seja possível detectar evidências desse tipo de comportamento em
séries financeiras, onde se pode ter em mãos evidências de não-
conformidade de um ativo em relação à versão da Hipótese de Mercados
Eficientes, ou seja, que seria possível prever seu comportamento futuro
observando dados passados.
Portanto devido à natureza geralmente caótica do Mercado
Financeiro, o estudo apresentado foi pertinente, pois ao abordar as
equações de Lorenz fazendo uma analogia do Mercado, poderá abrir
portas para novos estudos na área, por meio de modelos que se baseiem
nestas equações para tentar explicar ou até mesmo predizer em curtos
prazos de tempo o comportamento do Mercado Financeiro.
74
REFERÊNCIAS
BACHELIER, L. Théorie de la Speculation. Annales de Lécole Normale
Supérieure, p. 21-86, 1900.
BARROW-GREEN, June. Poincaré and the Three Body Problem.
Providence: American Mathematical Society, 1997.
BERNSTEIN, PETER L. Desafio aos Deuses: A Fascinante História do
Risco. Editora Campus, 2ª Edição, 1997.
BOYCE, W. E.; DIPRIMA, R.C. Equações Diferenciais Elementares e
Problemas de Valores de Contorno, Tradução de Horácio Macedo,
Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., Rio de Janeiro,2009.
COSTA, T; FAMÁ, R. A. A Turbulência das Finanças Modernas: Será o
Fim do Comportamento Aleatório e o Surgimento do Comportamento
Determinístico do Caos. SEMEAD. FEA/USP. 2007.
ERBANO, G. H. Análise de Séries de Tempo Financeiras Uma Aplicação
da Teoria do Caos em Finanças Empíricas. Dissertação Escola de
Administração de Empresas de São Paulo Fundação Getulio Vargas.
São Paulo, 2004.
FAMA, E. F.; MILLER, M. H. The theory of finance. Hinsdale, Illinois:
Dryden Press, 1972.
FAMÁ, R.; BRUNI, A. L. Eficiência, Previsibilidade dos Preços e
Anomalias em Mercados de Capitais: Teoria e Evidência. Caderno de
Pesquisas em Administração, São Paulo: v. 1, n.7, abril/junho, 1998.
75
FERRARA, N. F.; PRADO, C. P. C. CAOS Uma Introdução. São Paulo:
Editora Edgard Blücher Ltda, 1994.
GALVÃO, A. et alli. Mercado financeiro: uma abordagem prática dos
principais produtos e serviços. Rio de Janeiro: Elsevier, 2006.
GLEISER, I. Caos e Complexidade. Rio de Janeiro: Campus, 2002.
JAMES GLEICK. Chaos: Making a new science, Viking, New York,
USA, 1987.
JANOS, M. Matemática e Natureza. Editora Livraria da Física. São
Paulo, 2009.
KANTZ, H.; SCHREIBER, T. Nonlinear time series analysis. 2. Ed.
[S.l.]: Cambridge University Press, 2004.
LÉVY, P. Calcul des Probabilités. [S.l.]: Gauthier-Villars, 1925.
MANDELBROT, B. The Fractal Geometry of Nature. W.H. Freeman
& Co. 1982.
MANTEGNA, R. N.; STANLEY, H. E. An Introduction To
Econophysics – Correlations and Complexity in Finance, New York:
Cambridge University Press, 2000.
MAY, R.M. (1976), “Simple Mathematical Models with Very
Complicated Dynamics”, Nature, v.261, pp.459-467.
76
MAZZEU, J; OTUKI, T; DA SILVA, S. The canonical econophysics
approach to the ash crash of May 6, 2010. Applied Mathematical
Sciences, Vol. 28, No. 5 (2011): pp. 1373-1389.
NUSSENZVEIG, H. M. Complexidade e caos. Editora UFRJ/COPEA,
Rio de Janeiro, 1999.
PANCHEV, S; SPASSOVA, T. The Lorenz chaotic systems as nonlinear
oscillators with memory. Atmósfera (2004).
PETERS, E. E. Chaos and order in the Capital Markets, a new view of
cycles, prices, and market volatility. New York: John Wiley & Sons,
Inc., 1991.
SANTOS, I. S., BURR, K. P. Metodologia para construção de um retrato
de fase para sistemas bidimensionais. Disponível em:
http://ic.ufabc.edu.br/II_SIC_UFABC/resumos/paper_5_144.pdf. Acesso
em 29/03/2013.
SAVI, M. A. Dinâmica Não-Linear e Caos. Universidade Federal do
Rio de Janeiro – COPPE – Engenharia Mecânica, RJ, 2004.
STACEY, R. D. The chaos frontier: creative strategic control for
business. Oxford Butterworth Heinmann, 1991.
STEWART, I. Será que Deus Joga Dados? A nova matemática do
caos. 2° Ed. Editora Zahar. Rio de Janeiro, 2011.
WESTON, J. F.; BRIGHAM, E, F. Fundamentos da Administração
Financeira. Editora Makron, 10ª Edição, 2000.
![CAMPUS III PALMEIRA DOS ÍNDIOS DEPARTAMENTO DE …gphial-uneal.com.br/gallery/[monografia] deisiane bezerra... · dos Indios, envolvendo os Xucuru ... que vem causando danos extremos](https://img.document.onl/doc/110x75/5c6090d109d3f21b6a8bac50/campus-iii-palmeira-dos-indios-departamento-de-gphial-unealcombrgallerymonografia.jpg)
