monopoli10014109.pdf

Sandro Martins Gomes

ANLISE TRIDIMENSIONAL AUTOMTICA DE BLOCOS DE COROAMENTO

Projeto de Graduao apresentado ao Curso de

Engenharia Civil da Escola Politcnica,

Universidade Federal do Rio de Janeiro, como

parte dos requisitos necessrios obteno do

ttulo de Engenheiro.

Orientadores:

Ricardo Valeriano Alves

Mayra Soares Pereira Lima Perlingeiro

Rio de Janeiro

Maro de 2015



PROJETO DE GRADUAO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO CURSO

DE ENGENHARIA CIVIL DA ESCOLA POLITCNICA DA UNIVERSIDADE

FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS

NECESSRIOS PARA A OBTENO DO GRAU DE ENGENHEIRO CIVIL.

Examinada por:

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL

MARO DE 2015

Prof. Ricardo Valeriano Alves, D.Sc.

Prof. Mayra Soares Pereira Lima Perlingeiro, D.Sc.

Prof. Fernando Celso Ucha Cavalcanti, M.Sc.

Prof. Srgio Hampshire de Carvalho Santos, D.Sc.

i

Gomes, Sandro Martins

Anlise tridimensional automtica de blocos de

coroamento/ Sandro Martins Gomes. Rio de Janeiro: UFRJ/

Escola Politcnica, 2015.

VI, 95 p.: il.; 29,7 cm

Orientadores: Ricardo Valeriano Alves, Mayra Soares

Pereira Lima Perlingeiro

Projeto de Graduao UFRJ/ Escola Politcnica/ Curso

de Engenharia Civil, 2015.

Referncias Bibliogrficas: p. 73-74.

1. Biela e Tirante. 2. Bloco de coroamento. I. Alves,

Ricardo Valeriano et. al. II. Universidade Federal do Rio de

Janeiro, Escola Politcnica, Curso de Engenharia Civil. III.

Anlise tridimensional automtica de blocos de coroamento

ii

AGRADECIMENTOS

Agradeo,

Em primeiro lugar, a Deus por ter me dado essa (infelizmente) rara

oportunidade de acesso a ensino de alta qualidade. Oportunidade essa que passou

por muito trabalho e dedicao dos meus pais: Cristina e Saulo.

A eles, por terem me proporcionado uma infncia e uma juventude que no

poderia imaginar melhor, permitindo assim, que eu alcanasse mais esse objetivo.

A minha me duas vezes", Luzia, por toda pacincia e carinho.

A minha noiva, Rafaela Leal Coutinho, pela compreenso de todas as vezes

que no pude lhe dar a ateno merecida por estar me dedicando ao curso que estou

prestes a concluir.

Aos meus colegas de faculdade, Andr, Filipe, Guilherme, Jos Carlos, Paulo,

Pedro, Rafael, Ruan, Lucas, Vincius, Vitor e todos os outros que me incentivaram e

proporcionaram momentos de descontrao que tambm so muito importantes.

Aos meus amigos tupiniquins de Louvain-la-Neuve que no me deixaram

morrer de saudades do Brasil enquanto estive por l.

Aos timos professores que tive nessa Escola, especialmente, aos meus

orientadores Prof. Ricardo e Prof. Mayra, pela ateno e pelo interesse em me ajudar

neste trabalho.

iii

Resumo do Projeto de Graduao apresentado Escola Politcnica/UFRJ como parte

dos requisitos necessrios para obteno do grau de Engenheiro Civil.



Maro/2015

Orientadores: Ricardo Valeriano Alves, Mayra Soares Pereira Lima Perlingeiro

Curso: Engenharia Civil

O presente trabalho trata da automatizao da modelagem e anlise, pelo mtodo das

bielas e tirantes, de blocos de coroamento rgidos apoiados em estacas verticais. Para

tal, um programa foi desenvolvido contemplando as seguintes etapas: clculo do

estaqueamento, gerao e anlise de trelia espacial e adequao das trelias para

respeitarem os critrios do mtodo das bielas e tirantes. Todos os modelos que

respeitam os critrios adotados so fornecidos como resultado, com os esforos em

cada elemento j calculados. A energia de deformao de cada modelo fornecida

para auxiliar o engenheiro na escolha de qual arranjo de foras internas utilizar. Um

exemplo de validao resolvido manualmente e seus resultados so comparados

com os obtidos pelo programa. Ao final, um estudo de sensibilidade de um bloco a

imperfeies do estaqueamento, utilizando os resultados obtidos pelo programa,

apresentado.

Palavras chave: Biela e tirante, Bloco de coroamento, Concreto armado

iv

Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment of

the requirements for the degree of Engineer.

AUTOMATIC TRIDIMENSIONAL ANALYSIS OF PILE CAPS


March/2015

Advisors: Ricardo Valeriano Alves, Mayra Soares Pereira Lima Perlingeiro

Course: Civil Engineering

This work concerns the automation of the modeling and analysis of vertical pile caps by

the Strut-and-Tie Method. The developed program executes the following steps:

analysis of pile groups, conception and analysis of a tridimensional truss and adequacy

of these trusses to respect the rules of the strut-and-tie method. All the models that

respect the chosen prescriptions are shown as results, with the elements forces

calculated. The deformation energy of each model is provided to help the engineer to

choose the internal forces arrangement to use. A validation example is manually solved

and its results are compared with the ones generated by the program. In the end, a

study of a cap sensitivity to geometrical imperfections, using the program results, is

developed.

Keywords: Strut-and-tie, Pile cap, Reinforced concrete

v

SUMRIO

1 INTRODUO .......................................................................................................... 1

1.1 OBJETIVO DO PROJETO ........................................................................................ 2 1.2 ORGANIZAO DO TRABALHO ............................................................................... 2

2 CLCULO DO ESTAQUEAMENTO ........................................................................ 4

2.1 HIPTESES BSICAS DOS MTODOS SIMPLESMENTE ESTTICOS ............................. 4 2.2 PRINCIPAIS ABORDAGENS DE CLCULO ................................................................. 5

2.2.1 Mtodo de Culmann ...................................................................................... 5 2.2.2 Mtodo de Nkkentved ................................................................................. 6 2.2.3 Mtodo de Schiel ......................................................................................... 13

3 MODELOS DE BIELAS E TIRANTES .................................................................... 17

3.1 REGIES DE DESCONTINUIDADE ......................................................................... 17 3.2 MODELAGEM DO COMPORTAMENTO DE REGIES DE DESCONTINUIDADE ................ 18 3.3 ELEMENTOS DO MODELO: MODOS DE RUPTURA E DIMENSIONAMENTO ................... 20

3.3.1 Bielas ........................................................................................................... 20 3.3.2 Tirantes ....................................................................................................... 21 3.3.3 Ns e regies nodais................................................................................... 22

3.4 OTIMIZAO DO MODELO .................................................................................... 24

4 IMPLEMENTAO COMPUTACIONAL ................................................................ 26

4.1 MATRIZ DE CONEXO DE NS ............................................................................. 26 4.2 FLUXOGRAMA GERAL ......................................................................................... 28 4.3 DADOS DE ENTRADA .......................................................................................... 32 4.4 ANLISE DO ESTAQUEAMENTO ............................................................................ 33 4.5 DEFINIO DOS ELEMENTOS ............................................................................... 36 4.6 ELEMENTOS SOBREPOSTOS ............................................................................... 39 4.7 COMBINAES DE ELEMENTOS ........................................................................... 39 4.8 EQUILBRIO DOS NS .......................................................................................... 41 4.9 ANLISE ESTRUTURAL DA TRELIA ...................................................................... 43

4.9.1 Matriz de rigidez da trelia .......................................................................... 43 4.9.2 Condies de contorno ............................................................................... 45 4.9.3 Deslocamentos ............................................................................................ 46 4.9.4 Solicitaes axiais ....................................................................................... 46

4.10 MATRIZ DAS SOLICITAES ................................................................................ 47 4.11 VETOR DE ENERGIA ............................................................................................ 47 4.12 CRUZAMENTO DE BIELAS .................................................................................... 48

vi

4.13 INCLINAO ENTRE BIELAS E TIRANTES ............................................................... 49 4.14 TIRANTES DIAGONAIS ......................................................................................... 51

5 EXEMPLOS DE APLICAO ................................................................................ 53

5.1 EXEMPLO DE VALIDAO .................................................................................... 53 5.1.1 Dados do bloco estudado ........................................................................... 53 5.1.2 Clculo de estaqueamento ......................................................................... 53 5.1.3 Modelo de bielas e tirantes ......................................................................... 54 5.1.4 Anlise pelo programa desenvolvido .......................................................... 59 5.1.5 Comparao dos resultados ....................................................................... 62

5.2 EXEMPLO DOIS .................................................................................................. 63 5.3 COMENTRIO SOBRE A VARIAO DA ENERGIA DE DEFORMAO .......................... 67

6 CONCLUSO E SUGESTES DE CONTINUIDADE ............................................ 71

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ................................................................................... 73

APNDICE 1 LISTAGEM DO PROGRAMA ................................................................... 75

1

1 INTRODUO

Qualquer estrutura tem como funo bsica transmitir os carregamentos que a

solicitam at seus apoios. No caso de edificaes ou obras de arte, esses apoios so

as camadas resistentes do solo sobre o qual a construo se situa. Os elementos

responsveis pela transmisso dessas solicitaes para o terreno so as fundaes.

Estas so, usualmente, divididas em dois grandes grupos: fundaes superficiais e

fundaes profundas.

No caso das fundaes superficiais, a estrutura se conecta diretamente ao

elemento de fundao, caracterizando-se, geralmente, por pilares apoiados sobre

blocos, sapatas ou radiers.

Para fundaes profundas, o caso mais comum se configura por vrias estacas

que transmitem para o terreno as cargas vindas de um pilar. Portanto, necessrio

um elemento que solidarize as estacas e distribua essas solicitaes entre elas. Esse

componente chamado de bloco de coroamento.

Alm dessa funo primordial, o bloco de coroamento funciona, tambm, como

elemento de compatibilizao entre as imperfeies geomtricas das fundaes e da

estrutura. O processo de execuo de estacas implica em uma tolerncia de erros que

seriam inaceitveis em uma estrutura, seja ela de concreto armado, ao ou madeira.

Por isso, mesmo em um pilar apoiado sobre uma estaca, faz-se um bloco de

coroamento.

Preferencialmente, os blocos de coroamento so idealizados para serem

relativamente rgidos, no tendo dimenses preponderantes. Assim, no podem ser

includos no grupo de elementos lineares nem no grupo dos elementos planos.

Existem duas maneiras pelas quais se dimensiona um bloco rgido. Na

primeira, feita a verificao ao cisalhamento e o dimensionamento da armadura

flexo em uma seo pr-definida (abordagem seccional). Na segunda, gerada uma

trelia simulando o arranjo de foras internas da pea fissurada. So verificadas,

ento, as tenses nos elementos comprimidos e nos ns e definidas as armaduras

para as barras tracionadas, caracterizando um modelo de bielas e tirantes.

Ainda no h um nico mtodo definido como ideal. Porm, a modelagem em

bielas e tirantes, alm de ser mais racional, vem se mostrando mais confivel para o

dimensionamento deste tipo de bloco quando se compara seus resultados com os

2

obtidos em ensaios, conforme Adebar e Zhou (1996). Por essa razo, o mtodo de

bielas e tirantes foi escolhido para este trabalho.

Uma primeira motivao para a automatizao, aqui proposta, auxiliar o

engenheiro na modelagem e anlise, pelo mtodo das bielas e tirantes, de blocos com

configurao mais complexa. Dependendo do estaqueamento, ou da presena de

mais de um pilar, uma abordagem computacional pode ser de grande auxlio.

Alm disso, comum, aps finalizado o estaqueamento, verificar o

deslocamento excessivo em alguma estaca. A rotina automtica auxiliaria na rapidez

da verificao.

1.1 Objetivo do projeto

O principal objetivo desse trabalho elaborar um programa que execute a

modelagem e a anlise em bielas e tirantes de um bloco de coroamento. Partindo de

dados bsicos, como a posio das estacas e as reaes de apoio da estrutura, uma

rotina foi elaborada abrangendo vrias reas de conhecimento. O programa executa o

clculo do estaqueamento, em seguida a anlise de uma estrutura reticulada para

ento validar um modelo de bielas e tirantes, com auxlio da geometria analtica. O

resultado final so as foras internas na estrutura de concreto armado plastificada para

diversos modelos possveis, permitindo o dimensionamento no estado limite ltimo

(ELU).

A linguagem de programao escolhida para implementao computacional foi

o FORTRAN. Porm, este trabalho expe as etapas de clculo de maneira geral, que

podem ser aplicadas a qualquer processo de automatizao.

1.2 Organizao do trabalho

Os captulos dois e trs visam revisar e apresentar os conceitos fundamentais

para o dimensionamento de um bloco de coroamento rgido. Calcula-se o

estaqueamento, distribuindo as cargas do pilar entre as estacas e apresenta-se a

teoria da modelagem das foras internas em uma pea fissurada de concreto armado,

por bielas e tirantes.

O captulo quatro mostra a aplicao das teorias apresentadas na

automatizao da modelagem de blocos. Todas as etapas do programa elaborado so

explicitadas.

Ao final, no captulo cinco, um bloco de coroamento, tomado como exemplo,

analisado pela teoria clssica e os seus resultados so comparados com os obtidos

3

pelo programa. Alm disso, o estudo de sensibilidade a imperfeies geomtricas

desse mesmo bloco , brevemente, exposto.

No Apndice 1, encontra-se a listagem do programa na linguagem FORTRAN.

4

2 CLCULO DO ESTAQUEAMENTO

A distribuio das cargas entre as estacas de um mesmo bloco chamada

clculo de estaqueamento. De maneira geral, as solicitaes do pilar sobre o bloco

podem ser foras e momentos nas trs direes, quando geram esforos nas estacas

que podem ser de compresso, trao, flexo, cortante e toro.

Existem diversos mtodos propostos por diferentes autores para efetuar o

clculo de um estaqueamento. Poulos (1980) agrupou os mtodos em trs grupos:

Mtodos simplesmente estticos que ignoram a presena do solo e consideram o conjunto bloco-estacas como um sistema puramente

estrutural;

Mtodos que reduzem o conjunto bloco-estaca a um sistema estrutural, mas levam em conta alguma influncia do solo pela determinao do

comprimento de engastamento das estacas;

Mtodos que consideram o solo como um meio elstico contnuo e a interao entre estacas inteiramente considerada.

Os dois primeiros tm a restrio de considerar a interao entre estacas

apenas pelo bloco de coroamento. O terceiro mtodo permite essa considerao,

tambm, pelo solo que envolve as estacas.

Os mtodos do primeiro grupo, apesar de terem mais consideraes

simplificadoras, ainda so largamente utilizados. Segundo Maria (2007), eles so,

geralmente, conservadores conduzindo a esforos mximos maiores, se comparados

com mtodos mais sofisticados. Entretanto, dependendo da geometria do

estaqueamento e do perfil do subsolo, os erros podem ser considerveis.

Como o objetivo principal do presente estudo a anlise dos blocos de

coroamento, utiliza-se um dos mtodos do primeiro grupo para estudo e

desenvolvimento no programa. Ressalta-se que um mtodo de simples

implementao computacional e de resultados conservadores.

2.1 Hipteses bsicas dos mtodos simplesmente estticos

Os mtodos simplesmente estticos apresentam as seguintes hipteses

bsicas:

5

O bloco de coroamento infinitamente rgido. Esta simplificao aceitvel se os deslocamentos das estacas forem muito maiores que as deformaes

do bloco. Na prtica, a altura do bloco deve ser considervel se comparada

com as dimenses em planta;

As estacas so consideradas como barras birotuladas. H vrios fatores como tipo de solo, esbeltez da estaca, distncia entre estacas e foras

horizontais que podem fazer com que essa considerao no retrate bem o

comportamento estrutural. Entretanto, para os casos correntes, ela

aceitvel e muito conveniente para aplicao da maioria dos mtodos de

clculo. Essa simplificao faz com que as estacas estejam solicitadas

apenas por esforos axiais;

Um comportamento elstico linear assumido e a fora transmitida para cada estaca proporcional ao deslocamento do seu topo;

No se considera a contribuio do bloco agindo como fundao direta.

A primeira hiptese se adequa bem aos blocos para os quais, normalmente, se

utilizam o mtodo de bielas e tirantes. Para blocos flexveis, apesar de no existir

impedimento utilizao deste ltimo, o dimensionamento por esforos seccionais

mais comumente aplicado.

A segunda simplificao impede o surgimento de momento no topo das

estacas, evitando a utilizao de mais de uma fora por estaca para formar um binrio

representando o momento.

2.2 Principais abordagens de clculo

2.2.1 Mtodo de Culmann

A primeira forma de clculo, desenvolvida ainda no sculo XIX, soluciona

problemas planos de forma grfica, evitando frmulas e sistemas de equaes, j que

na poca no estavam disponveis calculadoras. Essa abordagem ficou conhecida

como mtodo de Culmann, mas caiu em desuso.

A Figura 2.1 ilustra a aplicao do mtodo de Culmann para um bloco plano de

quatro estacas. Como se pode observar, o equilbrio esttico representado de forma

grfica.

6

Figura 2.1 - Mtodo grfico de Culman (Adaptado de Poulos (1980)).

2.2.2 Mtodo de Nkkentved

Posteriormente, expresses prticas foram desenvolvidas para a resoluo do

sistema esttico e foram aplicadas, tambm, em problemas tridimensionais. Para cada

componente das solicitaes, calculada a distribuio das foras pelas estacas e ao

final, as parcelas so somadas. A soluo por tais frmulas ficou conhecida como

mtodo de Nkkentved.

Por tradio, no clculo de estaqueamentos, o eixo vertical adotado como

positivo para baixo. Neste mtodo, o eixo vertical ser chamado de z, respeitando a

conveno utilizada por Alves (2014).

7

2.2.2.1 Distribuio das foras verticais

Como o bloco considerado infinitamente rgido, para uma carga vertical

aplicada no centro elstico (calculado no item 2.2.2.5), o deslocamento vertical do topo

de todas as estacas tem que ser igual. O equilbrio vertical pode ser expresso pela

equao que segue, com as grandezas ilustradas na Figura 2.2:

V = kzi .zn

i=1

2.1

Onde:

V: fora vertical aplicada ao bloco;

kzi: a rigidez vertical de cada estaca;

z: o deslocamento de corpo rgido do bloco na vertical; n: nmero de estacas que compes o bloco.

Figura 2.2 - Deslocamento pela carga vertical (Adaptado de Alves (2014)).

A componente vertical, Fzi, da fora axial em cada estaca dada por:

Fzi = - kzi .z = - kzi. V kzini=1 (2.2)

No caso de estacas inclinadas, seu impedimento ao movimento vertical ser

reduzido. A Figura 2.3 ilustra a decomposio da rigidez axial para se obter a rigidez

vertical de uma estaca inclinada. A expresso (2.3) pode ser usada como regra geral

para clculo dessa rigidez.

kz = E .A

L .cos2(2.3)

sendo:

E: mdulo de elasticidade do material;

A: rea da seo transversal da estaca;

L: comprimento da estaca;

: menor ngulo que o eixo da estaca faz com a direo vertical.

8

Figura 2.3 - Rigidez vertical de estaca inclinada (Retirada de Alves (2014)).

Finalmente, o esforo axial em cada estaca (Ni), provocado por uma fora vertical,

calculado pela expresso (2.4), com valor positivo para compresso:

Ni = kzi . V

cosi . kzini=1 (2.4)

2.2.2.2 Distribuio das foras horizontais

Como as estacas so consideradas birotuladas (sem conteno lateral do

solo), foras horizontais s podem ser absorvidas por estacas inclinadas.

A rigidez, em uma direo horizontal (x, por exemplo), de uma estaca

definida pela expresso (2.5), sendo x, o ngulo de inclinao projetado no plano x-z:

kxi = E.A

L. sen2xi(2.5)

A Figura 2.4 ilustra a decomposio da rigidez de uma estaca inclinada para

obter sua rigidez a uma fora horizontal.

9

Figura 2.4 - Rigidez horizontal de estaca inclinada (Retirada de Alves (2014)).

Por equilbrio das foras horizontais no bloco:

Hx = kxi .xn

i=1

(2.6)

Fxi = - kxi .x =- kxi .Hx kx (2.7) onde:

Hx: fora horizontal aplicada ao bloco na direo x,

kxi: rigidez na direo horizontal de cada estaca (expresso 2.5),

x: deslocamento de corpo rgido do bloco na direo x e Fxi: componente da reao de cada estaca, tambm nessa direo.

A fora axial de cada estaca, provocada por uma fora horizontal, ento:

Ni = kxi . Hx

sen(xi). kxini=1 (2.8)

O sentido da fora de cada estaca facilmente obtido ao se observar o sentido

da fora aplicada e a configurao do estaqueamento nos dois planos verticais

adotados (x-z e y-z). Um exemplo pode ser visto na Figura 2.5, na qual dada uma

fora horizontal com sentido da esquerda pra direita, as estacas da direita trabalham a

compresso e as estacas da esquerda a trao.

Deve ser lembrado que, devido s simplificaes adotadas, o estaqueamento

s pode absorver foras horizontais passando pelo centro de rotao. Este pode ser

definido pelo baricentro do prolongamento dos eixos das estacas (caso existam vrias

estacas inclinadas, um eixo representando um grupo tomado, como ilustrado na

10

Figura 2.5). Por essa simplificao, a fora deve ser transferida do topo do bloco para

esse centro causando um momento devido a essa translao da fora.

Figura 2.5 - Distribuio das foras horizontais (Adaptado de Alves (2014)).

2.2.2.3 Distribuio das foras para equilbrio de momentos

Caso o bloco seja solicitado por momentos fletores, causando sua rotao,

verifica-se a contribuio das reaes das estacas no equilbrio, conforme ilustra a

Figura 2.6. O sentido de cada reao pode ser facilmente observado. Ressalta-se que

as estacas alinhadas com o centro de rotao no resistem ao momento aplicado.

O equilbrio no centro de rotao pode ser expresso pela seguinte equao

(para direo y, por exemplo):

My = Ni .rxin

i=1

= ki .y .rxi2n

i=1

(2.9)

Ni = ki . My . rxi (ki . rxi2)ni=1 (2.10)

sendo:

My: momento solicitante na direo y.

y: Rotao de corpo rgido do bloco na direo y. ki: rigidez axial da estaca i.

11

rxi: a distncia do eixo da estaca i ao eixo, de mesma direo, que foi tomado como

referncia para determinao do centro de rotao. Essa distncia tomada, sempre,

perpendicular aos eixos;

Figura 2.6 - Distribuio das foras de equilbrio dos momentos (Adaptado de Alves (2014)).

2.2.2.4 Esforos axiais

Ao final, somam-se as foras axiais obtidas pelas expresses (2.4), (2.8) e

(2.10) para cada estaca e cada direo. Como os referenciais podem ser adaptados

para cada caso, os sentidos das foras de reao obtidas devem ser observados para

cada solicitao e cada plano.

Ni = kzi.V

cosi . kzi kxi.Hx

sen(xi). kxi kyi.Hy

sen(yi). kyi ki.Mx.ryi (ki.ryi2 )

ki.My.rxi (ki.rxi2 )

(2.11)

2.2.2.5 Centro de rigidez e eixos principais

Para estaqueamentos no simtricos, preciso antes da aplicao das

expresses vistas anteriormente, calcular a posio do centro de rigidez do

estaqueamento e as direes dos eixos principais. E em seguida, transladar e rodar o

12

sistema de coordenadas, sempre considerando a mudana nos momentos provocada

por isso.

A Figura 2.7 ilustra a translao do sistema de coordenadas iniciais (x0,y0) para

o centro de rigidez (x,y) e a rotao dos eixos para coincidirem com os eixos principais (x,y) do estaqueamento.

Figura 2.7 - Translao e rotao do sistema de coordenadas (Alves (2014)).

A localizao do centro de rigidez do estaqueamento, expressa, em funo

de um sistema de coordenadas inicial (x0,y0), por:

x0= (ki.x0i)

ki ey0= (ki.y0i)

ki (2.12) onde:

x0i e y0i: coordenadas de cada estaca em relao ao sistema original;

x0 e y0: coordenadas do centro de rigidez em relao ao sistema original.

Procede-se, ento, translao das coordenadas com os respectivos

momentos, utilizando as expresses a seguir:

xi = x0i - x0 e yi = y0i - y0 (2.13)

Mx=Mx0 -V.y0 e My=My0 +V.x0(2.14) sendo:

xi e yi: coordenadas de cada estaca no sistema com origem no centro de rigidez; Mx0 e My0: momentos no sistema de coordenadas original;

Mx e My: so os momentos no sistema de coordenadas com origem no centro de

rigidez.

13

Aps a translao dos eixos iniciais para o centro de rigidez de estaqueamento,

faz-se a rotao para as direes principais:

xi = xi.cos() + yi.sen() e yi = - xi.sen() + yi.cos() (2.15)

Mx = Mx.cos() + My.sen() e My = - Mx.sen() + My.cos() (2.16)

com :

= 12tg-1 2ki. xi. yiki. xi2- ki. yi2

(2.17)

sendo:

: ngulo de rotao entre as direes dos eixos originais e as direes dos eixos principais;

x e y: coordenadas de cada estaca em relao ao sistema de coordenadas final, com

origem no centro de rigidez e eixos nas direes principais;

Mx e My: so os momentos solicitantes em relao aos eixos do sistema de

coordenadas final.

2.2.3 Mtodo de Schiel

Com o desenvolvimento de programas computacionais, a formulao matricial,

desenvolvida para a anlise de blocos com estaqueamentos complexos, pde ser

desenvolvida. O mtodo de Schiel, como conhecido, prope que se ignore o solo e

considere a estaca birotulada, simplificando a sua formulao, pois o nmero de

incgnitas reduz drasticamente.

Para esse mtodo, seguindo as convenes propostas por Velloso e Lopes,

(2010) o sistema de coordenadas ter o eixo x como vertical. O sentido positivo

continua sendo para baixo.

As coordenadas do centro do topo de cada estaca so denominadas de xi, yi e

zi. Os ngulos que as estacas fazem com os eixos do sistema de coordenadas so

chamados de i, i e i e esto ilustrados na Figura 2.8.

14

Figura 2.8 - Sistema de coordenadas usual para aplicao do mtodo de Schiel (Adaptado de Velloso e Lopes (2010)).

Inicialmente, formada uma matriz com os dados geomtricos do

estaqueamento chamada matriz das estacas. As informaes de um vetor com origem

no topo de cada estaca e que seguem em direo ponta da mesma so organizados

conforme a seguinte matriz:

P=

px1 px2 pxnpy1 py2 pynpz1 pz2 pznpa1 pa2 panpb1 pb2 pbnpc1 pc2 pcn

(2.17)

onde:

px = cos (componente segundo x); py = cos (componente segundo y);pz = cos (componente segundo z); pa = y pz z py (momento em torno do eixo x);

pb = z px x pz (momento em torno do eixo y);

pc = x py y px (momento em torno do eixo z);

n: nmero de estacas.

As resultantes do carregamento, R, so escritas no vetor carregamento, sempre respeitando as direes definidas dos eixos:

15

R=

RxRyRzRaRbRc

(2.18)

onde:

Rx: fora solicitante na direo x;

Ry: fora solicitante na direo y;Rz: fora solicitante na direo z;

Ra: momento solicitante em torno do eixo x;

Rb: momento solicitante em torno do eixo y;

Rc: momento solicitante em torno do eixo z.

Em seguida, necessrio calcular a matriz de rigidez do estaqueamento para

obter o deslocamento do topo de cada estaca. O primeiro passo para isso o clculo

da rigidez axial de cada estaca, dada por:

ki = Ei.Ai

Li(2.19)

Em seguida, define-se uma matriz diagonal com essas rijezas:

D =

k1 0 0 00 k2 0 0.. .. .. .... .. .. ..0 0 0 kn

(2.20)

A matriz de rigidez do estaqueamento (K) obtida pela seguinte

transformao:

K = P.D.PT (2.21)

Finalmente, o vetor com os deslocamentos de corpo rgido do bloco (V) e o

vetor com os esforos normais nas estacas (N) so obtidos pelas expresses (2.22) e

(2.23):

V = K-1.R (2.22)

N = D.PT.V (2.23)

Substituindo (2.22) em (2.23), tem-se:

N = D.PT.K-1.R (2.24)

16

O vetor N fica com a aparncia da expresso (2.25), com os esforos de

compresso com sinal positivo e os esforos de trao com sinal negativo:

N= N1N2Nn

(2.25)

Como citado anteriormente, a formulao matricial se torna especialmente

vantajosa para casos de estaqueamento complexos. Por exemplo, se existirem

estacas inclinadas nas duas direes, e solicitaes com componentes em todas as

direes, inclusive com momentos de toro do pilar, a resoluo pelas frmulas de

Nkkentved se tornaria muito trabalhosa.

17

3 MODELOS DE BIELAS E TIRANTES

Por muito tempo, o dimensionamento em certas regies de elementos

estruturais de concreto armado apresentava certa impreciso. Isso motivou os autores

Schlaich et. al. (1987) a organizar e apresentar um mtodo mais racional de

dimensionamento, com foco nessas regies estruturais denominadas regies de

descontinuidades.

O mtodo desenvolvido, dos modelos de bielas e tirantes, uma generalizao

e adaptao da analogia da trelia clssica desenvolvido por Ritter (1889) e Mrsch

(1912). A ideia simular o arranjo de foras internas em uma pea de concreto

armado j fissurada e plastificada por bielas (elementos comprimidos da trelia) e

tirantes (elementos tracionados da trelia) ligados por ns.

O dimensionamento por modelos de bielas e tirantes considerado, hoje, como

o mtodo mais adequado quando se trata de regies de descontinuidade (definidas no

item 3.1), podendo ser aplicado em qualquer parte de um elemento estrutural de

concreto. As prescries para sua aplicao esto presentes nas principais normas de

concreto armado, incluindo a norma brasileira ABNT NBR6118:2014 e a norma

americana ACI 318-14 .

3.1 Regies de descontinuidade

Uma regio de descontinuidade em uma estrutura de concreto armado

qualquer parte de um elemento, ou mesmo um elemento estrutural inteiro, onde a

hiptese de Bernoulli de distribuio linear de deformaes na seo no se aplica.

Essas zonas so tambm chamadas de regies D. As regies onde a hiptese de

Bernoulli, das sees planas, vlida so denominadas de regies B.

A diviso da estrutura em dois tipos de regies pode ser feita com auxlio do

princpio de Saint Venant, no qual um sistema de foras aplicado em uma dada

superfcie de um corpo elstico substitudo por outro estaticamente equivalente.

Assim, descontinuidades de tenses no corpo s podem ocorrer em regies prximas

fora aplicada. Em pontos cuja distncia ao ponto de aplicao da fora seja de

ordem de grandeza maior que as dimenses da superfcie, a influncia da distribuio

das foras desprezvel.

Na prtica, sugere-se que a partir de uma distncia do ponto de

descontinuidade igual altura do elemento, pode-se aplicar a hiptese de Bernoulli. A

18

Figura 3.1 mostra, em um prtico, exemplos de regies de descontinuidade,

representadas por hachuras.

Exemplos clssicos de regies D so: zonas de introduo de carga

concentrada, regies de variao brusca de seo, vigas-parede, consolos, ns de

prtico, aberturas, sapatas e blocos de coroamento.

Figura 3.1 - Exemplos de regies de descontinuidade (Adaptado de Santos (2014)).

3.2 Modelagem do comportamento de regies de descontinuidade

Para qualquer estrutura de concreto armado solicitada por um conjunto de

aes, o comportamento antes da ruptura pode ser dividido em trs fases (ou

estdios).

No primeiro estdio, ainda no ocorreram fissuras no concreto e este apresenta

um campo de tenses elsticas. Nesse caso, para as regies B podem ser usadas as

frmulas de Resistncia dos Materiais em funo da rea e do momento de inrcia da

seo homognea. Para as regies D, uma anlise elstica ou por elementos finitos

pode ser empregada para obteno das tenses no ponto desejado.

19

Quando a resistncia trao do concreto ultrapassada pelas tenses

solicitantes, as fissuras interrompem os campos de tenses e o arranjo das foras

internas muda drasticamente. O comportamento da compresso no concreto ainda

pode ser considerado como elstico, mas, as traes so totalmente absorvidas pelo

ao. Essa configurao corresponde ao chamado Estdio II.

Se as solicitaes aumentarem ainda mais, o concreto comea a se plastificar

e a distribuio das tenses de compresso alterada at atingir a capacidade

mxima da zona de concreto comprimida ou o escoamento do ao da armadura. Esse

o Estdio III e a obteno das foras internas pode ser feita por um modelo de trelia

contnua para regies B ou por um modelo de trelia discreta (bielas e tirantes) para

uma regio D. Nesses modelos, os campos de compresso so concentrados e

representados por bielas. J as armaduras, que resistem s foras de trao onde o

concreto j fissurou, so representadas por tirantes.

Qualquer modelo de bielas e tirantes, concebido adequadamente, satisfaz o

teorema do limite inferior da plasticidade, que pode ser descrito segundo Santos

(2014): Um campo de tenses (foras) que satisfaz s condies de equilbrio e no

viola o critrio de escoamento em nenhum ponto, se constitui em uma estimativa do

limite inferior da capacidade resistente de elementos estruturais constitudos de

materiais elastoplsticos perfeitos.

A Figura 3.2 ilustra o campo de tenses de um elemento estrutural

representado por um modelo de bielas e tirantes. Apresentam-se as trajetrias de

tenses quando da aplicao da carga em um ponto da estrutura (a). Em seguida,

idealiza-se um modelo complexo de bielas e tirantes (b), para em seguida, definir o

modelo representativo que ser analisado (c).

Figura 3.2 Comportamento tpico de bielas e tirantes.

A trelia adotada como modelo deve, primeiramente, equilibrar as foras

externas. Alm disso, o sistema estrutural interno deve ser escolhido de tal forma que

(a) (b) (c)

20

represente o mais prximo possvel, o campo de tenses elsticas. Isso ajuda a evitar

que os limites de deformaes de fissurao sejam atingidos antes da plastificao.

Por isso, muitas vezes, antes de se elaborar um modelo de bielas e tirantes de uma

estrutura, feita uma anlise por elementos finitos para definir o caminho natural das

cargas.

Alm disso, outras recomendaes devem ser seguidas para modelagem em

bielas e tirantes e que so importantes no Captulo 4,Erro! Fonte de referncia no encontrada. para automatizao da escolha dos modelos adequados, que so:

A impossibilidade do cruzamento de bielas fora dos ns. Isso leva a tenses na regio do cruzamento no bem representadas pelo modelo. Ao contrrio,

uma biela pode ser cruzada por um tirante e tambm no h problemas se

isto ocorrer com dois tirantes.

A inclinao entre as bielas e tirantes limitada para no provocar problemas de compatibilidade de deslocamentos entre regies prximas

nem abertura excessiva de fissuras. Os limites variam segundo cada autor

ou norma consultada. A NBR6118:2014 define um ngulo de inclinao das

bielas cuja tangente esteja entre 0,57 e 2,0. J a ACI 318-14 prescreve que

esse ngulo entre bielas e tirantes no seja inferior a 25.

Outra importante considerao o cuidado com o grau de hiperestaticidade da trelia usada no modelo. Caso esta no seja isosttica, a distribuio das

foras entre os elementos depender das propriedades fsicas (mdulo de

elasticidade) e geomtricas de cada um (rea da seo transversal e

comprimento). Essas caractersticas das bielas e tirantes deveriam ser

utilizadas na anlise, aumentando muito o seu grau de complexidade. Alm

disso, esse tipo de anlise requer um processo iterativo para definio das

dimenses exatas dos ns, conforme relatam Chantelot e Mathern (2010).

Por essa razo, aconselhvel (mas no teoricamente necessrio) que o

modelo de bielas e tirantes seja isosttico.

3.3 Elementos do modelo: modos de ruptura e dimensionamento

3.3.1 Bielas

As bielas representam a concentrao do campo de tenses de compresso e,

apesar de serem representadas por um prisma, sua seo transversal raramente

constante. Geralmente, os campos de tenses de compresso no concreto tendem a

se espraiar ao se distanciar dos ns, como ilustrado na Figura 3.2b. Esse

21

espraiamento causa tenses de trao transversais direo da biela e pode provocar

uma ruptura antes do esmagamento.

Para considerar esse perda de resistncia por fissurao paralela biela, a

tenso resistente deve ser reduzida se houver trao transversal. A NBR6118:2014

define, em seu item 22.1, a resistncia de compresso a ser utilizada na verificao

pelo Mtodo das Bielas e Tirantes:

Regies no fissuradas, com tenses de compresso transversal ou sem

tenses de trao transversal e em ns com barras comprimidas:

fcd1 = 0,85 . v2 . fcd (3.1) Regies fissuradas, com tenses de trao transversal e em regies nodais

onde confluem dois ou mais tirantes:

fcd2 = 0,60 . v2 . fcd (3.2) Regies nodais onde conflui um tirante tracionado:

fcd3 = 0,72 . v2 . fcd (3.3) onde:

v2 = 1 - fck250 (com fck expresso em MPa); fcd: tenso resistente de compresso de clculo do concreto.

3.3.2 Tirantes

Os tirantes representam as armaduras passivas ou ativas. Esses devem ter

sempre a mesma direo e estar, aproximadamente, no centro geomtrico das barras

de ao da armadura simulada.

O dimensionamento feito diretamente por:

As = FSdfyd

(3.4)

onde:

As a soma das reas das sees transversais das barras que compem a armadura;

FSd o valor de clculo da fora de trao no tirante obtida no modelo;

fyd a tenso de escoamento de clculo do ao.

22

3.3.3 Ns e regies nodais

Os pontos de encontros de bielas e tirantes so chamados de ns, e a regio

de concreto que o rodeia chamada de regio nodal. Os ns so modelados como

ligaes pontuais (ns de trelia), que representam variaes de direo das foras

internas na estrutura que ocorrem por um determinado comprimento e com uma

determinada largura.

Os tipos de ns so comumente referidos pelos elementos que neles se ligam

por C para bielas e T para tirantes. Por exemplo, um n onde confluem duas bielas e

que equilibrado por um tirante classificado como CCT.

O dimensionamento de regies nodais passa por trs etapas sugeridas por

Schlaich (1987):

Etapa 1 - Adaptao da geometria da regio nodal:

A geometria da regio nodal varia conforme os elementos se interceptam neste

ponto. A equao 3.5 pode ser empregada, de maneira geral, para obteno das

dimenses em regies nodais de modelos planos com as dimenses ilustradas na

Figura 3.3:

w2 = w1 cos + w3 sen (3.5)

Figura 3.3 Exemplo da regio nodal de um n CCC.

23

Muitas vezes, conveniente dividir uma regio nodal em duas, como

exemplificado na Figura 3.4. A dimenso da biela de ligao horizontal pode ser

ajustada para se alcanar a tenso de compresso resistente na mesma.

Figura 3.4 - Exemplo de uma regio nodal de um n CCC dividida.

Quando um tirante intercepta o n, sua componente na regio nodal equivale a

de uma biela entrando na face oposta, como ilustrado na Figura 3.5:

Figura 3.5 Exemplo da regio nodal de um n CCT.

24

A geometria de regies nodais em modelos espaciais mais complexa e pouco

tratada na literatura e nas normas at agora. Como a verificao das tenses no

modelo no o foco deste trabalho, apenas expe-se a geometria das regies nodais

em modelos planos. Uma abordagem por faces poligonais pode ser vista em Chantelot

(2010) e outra por faces elpticas em Alves (2014).

Etapa 2 Verificao das tenses nas faces da regio nodal:

Geralmente, a verificao das tenses na regio nodal crtica. Uma zona de

descontinuidade pode ser considerada segura se as tenses em todos os ns

estiverem abaixo dos limites estabelecidos no item 3.3.1 e os tirantes armados

adequadamente.

Etapa 3 Garantir a ancoragem dos tirantes nos ns:

As ancoragens devem ser adotadas como as prescritas pela norma utilizada e

podem ser realizadas por aderncia, gancho ou dispositivos mecnicos. A ACI 318-14,

no seu anexo A, sugere que ancoragem da armadura comece a partir de uma seo

crtica definida pela regio nodal estendida, como ilustrada na Figura 3.5.

3.4 Otimizao do modelo

No existe um nico modelo correto de bielas e tirantes, bem como h vrios

arranjos do sistema de foras internas de um elemento estrutural. A posio dos

tirantes deve ser definida para facilitar a construo.

Um modelo pode ser considerado mais eficiente quando as cargas usarem um

caminho que provocar menores foras internas e deformaes. Considerando a

energia mnima de deformao, conclui-se que a escolha do modelo timo pode ser

resumida pela seguinte expresso:

mnimo Filii (3.6) onde:

Fi a fora na biela ou tirante i;

li o comprimento do elemento i;

i a deformao axial do elemento i. Como o ao muito mais deformvel que o concreto (Es/Ec 7), a contribuio

das bielas , geralmente, omitida. Alm disso, considerando que todos os tirantes

alcanam a sua resistncia de clculo (mesma tenso), a deformao axial tambm

a mesma para todos, o que conduz a expresso 3.7:

25

mnimo Ftilti (3.7) onde:

Fti a fora no tirante i;

lti o comprimento do tirante i.

A Figura 3.6 ilustra duas maneiras distintas de modelar, por bielas e tirantes, as

foras internas em uma viga parede. Fica claro que o modelo (a) gera menos energia

de deformao que o modelo (b).

Figura 3.6 - (a) Modelo "adequado"; (b) Modelo no adequado. (Adaptado de Wight (2012))

(a) (b)

26

4 IMPLEMENTAO COMPUTACIONAL

A definio de um modelo estrutural em bielas e tirantes um processo que

requer sensibilidade e experincia do engenheiro. Dada uma regio de

descontinuidade com certo conjunto de cargas externas, necessrio determinar um

arranjo de elementos de trelia posicionados de forma a representar as principais

trajetrias de foras internas. Esse arranjo deve ser inspirado no campo de tenses,

obtido, por exemplo, em uma anlise elstica. Alm disso, os elementos tracionados

devem estar concebidos de forma a permitir uma disposio vivel das armaduras.

Essa compatibilizao de condies faz com que o processo no seja de fcil

automatizao, ainda mais quando se trata de uma estrutura com dimenses

considerveis nas trs direes. No caso de blocos de coroamento, possvel assumir

que todos os ns do modelo esto situados em dois planos: no fundo e no topo do

bloco.

Para blocos suficientemente rgidos, nos quais a biela de compresso possa

chegar estaca mais distante sem ter que ser suspensa, os ns do modelo so

prontamente definidos. No plano do fundo do bloco, tem-se para cada estaca, sempre,

um n. No plano de topo do bloco, so considerados tantos ns quantos necessrios

para decompor os esforos seccionais da base do pilar em foras verticais.

4.1 Matriz de conexo de ns

A automatizao da definio dos ns do modelo de trelia baseada na, aqui

denominada, matriz de conexo de ns. Nesta matriz, so previstas todas as possveis

ligaes, representadas pelas bielas e tirantes, geralmente adotadas para blocos de

coroamento. Essa matriz de conexes de ns a base para concepo da

metodologia de automatizao proposta e se encontra ilustrada na Figura 4.1.

Essas conexes so divididas em trs grupos: ligaes entre ns da base,

ligaes entre ns do topo e ligao entre planos. A princpio, no h restries para

os elementos dos dois primeiros grupos e o nmero de conexes possveis para cada

um a combinao simples do nmero de ns no plano de dois em dois. Para ilustrar,

a combinao entre ligaes dos ns do topo do bloco discretizada em seguida, e os

valores finais podem ser observados na matriz:

n de conexes = NCC + NCT + NET!

NCC + NCT + NET - 2! . 2! (4.1a)

27

n de conexes = NCC + NCT + NET. NCC + NCT + NET - 1

2(4.1b)

n de conexes = NCC.(NCC-1)

2 + NCC.NCT + NCC.NET +

NCT.(NCT-1)2

+ NCT.NET + NET.(NET-1)

2 (4.1c)

onde:

NCC: ns de introduo de cargas de compresso;

NCT: n de introduo de carga de trao;

NET: projeo dos ns de estacas tracionadas. A fora de cada estaca tracionada

deve ser suspensa at o topo do bloco, necessitando assim, de um n correspondente

neste plano.

Uma discretizao anloga pode ser feita para os ns da base do bloco.

n de conexes = NEC.(NEC-1)

2 + NEC.NET + NEC.NCT +

NET.(NET-1)2

+ NET.NCT + NCT.(NCT-1)

2 (4.2)

onde:

NEC: ns de estacas comprimidas;

NET: ns de estacas tracionadas;

NCT: projeo dos ns de carga de trao. Cada carga de trao aplicada deve ser

levada at o fundo do bloco, necessitando assim, de um n correspondente neste

plano.

As conexes entre planos requerem um pouco mais de ateno e sero

ilustradas a partir dos ns do plano superior do bloco. Os ns de carga de compresso

podem se conectar a qualquer n da base, resultando nas seguintes possibilidades:

n de conexes = NCC . (NEC + NET + NCT) (4.3a)

n de conexes = NCC . NEC + NCC . NET + NCC . NCT (4.3a)

Teoricamente, no existem impedimentos em se definir um modelo de bielas e

tirantes de um bloco de coroamento com tirantes no verticais entre planos. Porm,

isso dificultaria muito a colocao da armadura. Por esse motivo, sempre que existe

uma carga externa de trao no bloco, tende-se a transferir esta carga para a face

28

oposta por tirantes verticais, que corresponderiam a estribos ou a continuao das

armaduras longitudinais dos pilares ou estacas.

Por esse motivo, cada n de carga de trao ligado obrigatoriamente por um

elemento a um n projetado no fundo. Alm disso, as cargas de trao podem ser

conectadas a estacas comprimidas, j que dependendo do arranjo de foras do

modelo, esse elemento de ligao pode vir a ser uma biela. Portanto, o numero de

conexes possveis para um carga de trao o seguinte:

n de conexes = NCT + NCT . NEC (4.4)

Para estacas tracionadas, a mesma transferncia de carga, por um tirante

obrigatrio, executada. Os ns projetados no topo, alm das estacas tracionadas

correspondentes, podem se ligar, tambm, s estacas comprimidas e aos ns de

cargas de trao projetados no fundo do bloco. O nmero de ligaes para esses ns

fica da seguinte maneira:

n de conexes = NET + NET . NEC + NET . NCT (4.5)

Todas as conexes por elementos descritas at aqui, nas expresses (4.1) a

(4.5), esto ilustradas na matriz de conexes da Figura 4.1. As combinaes entre

elas servem de base para a automatizao proposta.

Alm disso, o modelo gerado deve ser verificado para atender a algumas

restries dos modelos de bielas e tirantes e ao equilbrio da trelia deve ser

garantido.

4.2 Fluxograma geral

A automatizao visou permitir que vrios modelos de trelias fossem formados

a partir dos tirantes obrigatrios, variando os elementos opcionais. Verificaes

geomtricas so feitas para todos os modelos gerados, sendo analisados somente

aqueles que atenderem a tais condies. Os modelos so ainda verificados para

certas condies que dependem do elemento ser biela ou tirante. Os modelos que

passarem por todas as verificaes podem ser considerados como arranjos

consistentes de bielas e tirantes e os resultados so apresentados.

O fluxograma geral do programa se encontra nas Figuras 4.2 e 4.3, sendo as

etapas explicadas nos itens que seguem.

29

Figura 4.1 - Matriz de conexo de ns

1...

NCC

1...

NCT

1...

NET

1...

NEC

1...

NET

1...

NCT

32

22

1

NCC*

NCT

NCC*

NET

NCC*

NEC

NCC*

NET

NCC*

NCT

... NCC

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cone

ctar s

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acion

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11

NCT*

NET

NCT*

NEC

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T...

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opo

NCT

21

21

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NET

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... NET

31

NEC*

NET

NEC*

NCT

... NEC

1 - T

IRAN

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RIOS

1

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2 - B

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ELEM

ENTO

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PLAN

ARES

NS

PROJ

ETAD

OS N

O TO

PO

NS NO TOPO DO BLOCO

CARGAS DE COMPRESSO

CARGAS DE TRAO

NS PROJETADOS

NO TOPO

NS NO FUNDO DO BLOCO

ESTACAS COMPRIMIDAS

ESTACAS TRACIONADAS

NS PROJETADOS

NO FUNDO

NCT(

NCT-

1)/2

N S

NO T

OPO

DO B

LOCO

NS

NO F

UNDO

DO

BLOC

OCA

RGAS

DE

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OCA

RGAS

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S

NCC(

NCC-

1)/2

NCT(

NCT-

1)/2

NET(

NET-

1)/2

NEC(

NEC-

1)/2

NET(

NET-

1)/2

30

Figura 4.2 - Fluxograma geral do programa - parte 1

31

Figura 4.3 - Fluxograma geral do programa - parte 2

32

4.3 Dados de entrada

Os dados de entrada devem respeitar um sistema de coordenadas pr-

estabelecido. No programa elaborado, o plano X-Y com Z igual a zero foi adotado no

topo do bloco. O sentido do eixo Z de baixo para cima.

As informaes fornecidas ao programa so as seguintes:

Altura til do bloco (hBLOCO). Como descrito no captulo 3, para uma definio precisa da altura til, seria necessrio um clculo iterativo com a verificao

das tenses nos ns e alterao da altura til at se obter a condio tima.

Como medida aproximada, pode-se tomar 0,9 d, sendo d a distncia entre

uma face horizontal do bloco e o eixo da armadura da face oposta. Essa

reduo na altura feita para considerar a configurao dos ns e das

bielas da face comprimida.

Quantidade de estacas. Coordenadas de cada estaca no plano horizontal seguidas de um valor

relativo de rigidez axial. A coordenada vertical (Z positivo para cima)

automaticamente adotada no fundo do bloco (Z = - hBLOCO). Para estacas

iguais, o valor da rigidez relativa informada para cada uma deve ser o

mesmo (mas nunca informar zero). Para estacas diferentes, pode-se adotar

a rigidez de um tipo como referncia e as outras como fraes desta.

Quantidade de pontos de introduo de carga Coordenadas, no plano horizontal, dos pontos de introduo de carga e as

foras verticais de cada um. A coordenada vertical automaticamente

adotada como zero, correspondente ao topo do bloco. Conforme descrito no

inicio deste item, para aplicar uma fora de compresso no bloco, o sinal

deve ser negativo.

Por ltimo, so fornecidos os ngulos limites entre bielas e tirantes (min e max) conforme descrito no item 3.2 para a definio do modelo.

Com os dados fornecidos so montadas trs matrizes bsicas que sero

utilizadas no decorrer do programa:

33

C =

xest,1 yest,1 - hBLOCOxest,1 yest,1 - hBLOCO

xest,n yest,n - hBLOCOxcar,1 ycar,1 0 xcar,1 ycar,2 0

xcar,m ycar,m 0

(4.6)

onde :

C: matriz de coordenadas dos ns;

xest,i e yest,i: coordenadas do centro da cabea da estaca i;

xcar,i e ycar,i: coordenadas do ponto de introduo de carga i.

n: nmero de estacas;

m: nmero de pontos de introduo de carga.

matriz de foras externas=

Nest1Nest2NestnNcar1Ncar1Ncarm

(4.7)

onde:

Nesti: espao reservado para armazenar a reao da estaca i que ser,

posteriormente, calculada.

Ncari: fora vertical aplicada no ponto de introduo de carga i.

matriz de rijezas das estacas = kest1kest2kest,n

(4.8)

sendo, kesti a rigidez relativa da estaca i.

4.4 Anlise do estaqueamento

Como j foi dito no itm 3.2, necessrio conhecer as foras externas para

dimensionar uma regio de descontinuidade por bielas e tirantes. Portanto, para um

bloco de coroamento, necessrio o clculo prvio da distribuio das foras nas

estacas.

34

Como o objetivo principal do programa elaborado o estudo da possibilidade

de automatizao da modelagem e anlise do bloco, so consideradas apenas foras

de reao verticais nas estacas. Admitida essa simplificao, o mtodo de

Nkkenteved de fcil implementao computacional.

Baseando-se nas expresses gerais, apresentadas no item 2.2.2, o mtodo foi

implementado para determinar as reaes causadas exclusivamente por foras

verticais e momento horizontais:

Como um modelo de bielas e tirantes aceita apenas foras como cargas externas, possveis momentos no pilar so decompostos em conjunto de

cargas verticais na entrada de dados, conforme item 4.3. Para a anlise do

estaqueamento, faz-se o processo inverso e todas as cargas sero

transferidas para a origem do sistema de coordenadas com seus respectivos

momentos.

V = matriz de foras externas (i)n+m

i=n+1

(4.9)

Mx = matriz de foras externas (i)n+m

i=n+1

x C(i,2) (4.10)

My = matriz de foras externas (i)n+m

i=n+1

x C(i,1)(4.11)

onde:

V: fora vertical solicitante;

Mx: momento solicitante na direo x;

My: momento solicitante na direo y.

A soma das rijezas relativas de todas as estacas determinada em funo do valor de referncia:

ktotal= matriz de rijezas das estacas (i)n

i=1

(4.12)

Como o estaqueamento no necessariamente simtrico, deve-se calcular as coordenadas do centro de rigidez do mesmo.

x0 = matriz de rijezas (i) x C (i,1)ni=1

ktotal (4.13a)

35

y0 = matriz de rijezas (i) x C (i,2)ni=1

ktotal(4.13b)

O centro do sistema de coordenadas transladado, sendo as coordenadas

recalculadas para ter como referncia o centro de rigidez.

C'i,1 = Ci,1- x0eC'i,2 = Ci,2- y0(4.14)

sendo C a matriz com as coordenadas de cada n em relao ao centro de

rigidez.

Os momentos tambm devem ser recalculados para considerar a atuao

da carga vertical nesse ponto.

M'x = Mx - Vy0eM'y = My - Vx0(4.15)

sendo, Mx e My as componentes horizontais do momento considerando a

translao da carga vertical.

So determinados os momentos de quadrticos do estaqueamento, referidos aos eixos com direes originais, porm, com origem no centro de

rigidez:

Ixx= matriz das rijezas ix C' (i,2)2 (4.16)

Iyy= matriz das rijezas ix C' (i,1)2 (4.17)

Ixy= matriz das rijezas ix C' (i,1) x C' (i,2) (4.18) Determina-se, ento, a direo dos eixos principais.

= 12

tg-1 2 IxyIxx+Iyy (4.19)

sendo, o ngulo entre as direes dos eixos originalmente adotadas e as direes principais.

As coordenadas e momentos so, assim, rotacionados para se referenciar

aos eixos das direes principais.

C(i,1) = C(i,1) cos() + C(i,2) sen() (4.20a)

C(i,2) = - C(i,1) sen() + C(i,2) cos() (4.20b)

Mx = Mx cos() + My sen() (4.21a)

36

My = - Mx sen() + My cos() (4.21b) onde:

C: matriz de coordenadas dos ns com origem no centro de rigidez e

direes dos eixos coincidindo com as direes principais;

Mx e My: as componentes horizontais do momento j levando em conta a

translao da carga vertical e a rotao das direes dos eixos cartesianos.

Os momentos de 2 ordem do estaqueamento, Ixx, Iyy e Ixy so recalculados com base nas coordenadas com o centro de rigidez e os eixos principais

corrigidos. As expresses so as expresses (4.16), (4.17) e (4.18) com a

substituio da matriz C pela matriz C.

As reaes de apoio so obtidas separadamente para cada solicitao e somadas ao final. Como descrito mais adiante neste captulo, as reaes de

apoio obtidas so aplicadas como cargas externas no modelo de trelia

espacial definido pelas bielas e tirantes.

NV(i) = matriz de rijezas i

ktotal V (4.22)

NMx (i)= matriz de rijezas i

ktotal x

M''x C'' (i,2)I'xx (4.23)

NMy (i)= matriz de rijezas i

ktotal x

M''y C'' (i,1)I'yy (4.24)

matriz de foras externas (i) = NV (i) + NMx (i) + NMy i (4.25)

A fora calculada para cada estaca , ento, adicionada matriz de foras

externas.

4.5 Definio dos elementos

Para a definio dos elementos que podem ser utilizados pelo modelo de bielas

e tirantes, gerada uma matriz de ns, com duas colunas na qual cada linha tem o n

inicial e o n final do elemento. A princpio, o nmero de elementos possveis

corresponde combinao simples do nmero de ns (nmero de estacas mais

nmero de ns de introduo carga) de dois em dois, mas isso pode mudar se

existirem cargas externas de trao.

Conforme j apresentado no item 4.1, elementos de transferncia obrigatrios

so gerados sempre que existir uma carga externa de trao.

37

Para realizar esta transferncia no programa, necessria a criao de um

novo n para cada n de introduo de carga de trao ou estaca tracionada.

A Figura 4.4.a ilustra um modelo que no seria adequado do ponto de vista

construtivo. O arranjo de tirantes ilustrado na Figura 4.4.b mais indicado.

Figura 4.4 - Modelos de bielas e tirantes para cargas externas de trao.

A partir deste ponto, existem dois caminhos pelos quais se pode continuar a

automatizao. No primeiro, todos os elementos que se ligariam ao n primrio so

transferidos para o novo n e cria-se um elemento vertical obrigatrio lingando os dois

ns. Esse tirante obrigatrio seria o nico elemento do n primrio e os outros ns no

poderiam se ligar a este. Essa abordagem no aumenta o nmero de combinaes

possveis, mas apenas adiciona esse elemento obrigatrio a todas as combinaes.

Uma segunda opo incluso desse novo n como se fosse outro n

qualquer, deixando que os outros ns se liguem tanto a ele como ao primrio. Isso

aumenta o nmero de combinaes, e gera muitas combinaes com tirantes em

diagonais, que posteriormente seriam excludas.

A Figura 4.5.a exemplifica a primeira abordagem para transferncia de carga.

Nesta, o n inicialmente definido no se conecta aos outros ns e o tirante vertical

apenas transfere a carga de trao externa. J na Figura 4.5.b, o n primrio, pode se

conectar a outros ns e o tirante vertical participa do arranjo das foras internas,

podendo suspender uma carga maior do que a aplicada externamente.

(a) (b)

38

Figura 4.5 - Comparao entre as abordagens possveis para transferncia de carga.

Por ser mais geral, a segunda abordagem foi escolhida e implementada no

programa da seguinte maneira:

O programa percorre toda a matriz de foras externas e caso algum n referente a estacas tenha foras verticais para baixo, criado um n com as

mesmas coordenadas x e y no plano do topo do bloco. Esses dois pontos

so adicionados matriz de ns e um primeiro elemento (tirante obrigatrio)

formado.

O mesmo procedimento seguido para os ns referentes a introdues de carga. A matriz de ns ento j conta com os todos os elementos que

seriam os tirantes obrigatrios.

A partir da, os outros elementos so adicionados na matriz de ns efetuando-se todas as combinaes entre ns possveis. A cada elemento

verificado se este j no foi previamente definido como tirante obrigatrio.

A matriz de ns fica da seguinte maneira:

matriz de ns =

(tirantes obrigatrios)n1 n2

n1 n3n1 nn-1n1 nn

nn-2 nnnn-1 nn

(4.26)

A ordem da linha dessa matriz representa o nmero do elemento de trelia. Ou

seja, a primeira linha define os ns do elemento 1, a segunda linha define os ns do

elementos 2 e assim por diante.

A expresso (4.27) indica o nmero possvel de elementos, que tambm ser o

nmero de linhas da matriz de ns da expresso (4.26).

(a) (b)

39

n de elementos =C2n de ns = n de ns!

2! n de ns-2! (4.27)

sendo, o nmero de ns igual soma do nmero de estacas, nmero de pontos de

introduo de carga e ns que foram eventualmente criados para transferncia de

carga.

4.6 Elementos sobrepostos

No caso de existirem trs ou mais ns colineares, a matriz de ns contaria com

situaes como a ilustrada na Figura 4.6:

Figura 4.6 - Elementos sobrepostos.

Para solucionar esse problema, uma rotina de verificao executada para o

plano da base e para o plano do topo do bloco. Nesta, o programa percorre cada n,

fazendo a combinao com todos os pares de outros ns possveis no mesmo plano e

armazenando as coordenadas em uma matriz 3 x 3 conforme expresso (4.28).

A= x1 y1 1x2 y2 1x3 y3 1

(4.28)

sendo, xi e yi, as coordenadas no plano horizontal de cada um dos trs pontos

escolhidos.

Em seguida, calculado o determinante da matriz A. Sendo este determinante

prximo de zero, garantido que os trs ns esto alinhados e o maior elemento

ligando dois dos trs ns excludo. Ao final, a matriz de ns reordenada para evitar

uma linha vazia.

4.7 Combinaes de elementos

Pelos motivos expostos no item 3.2, os modelos de bielas e tirantes aceitos

pelo programa sero apenas os representados por trelias isostticas. Para tal, sero

definidas as combinaes que contm o nmero de elementos necessrios para que

uma trelia espacial seja internamente isosttica.

n de incgnitas = reaes de apoio + esforos normais (4.29)

40

n de equaes = 3 x n de ns (4.30)

Em uma estrutura estaticamente determinada o nmero de equaes deve ser

igual ao nmero de incgnitas. Igualando as expresses (4.29) e (4.30) obtm-se a

seguinte relao:

esforos normais = 3 x n de ns reaes de apoio (4.31)

Tratando-se de uma estrutura espacial, necessrio impedir deslocamentos

nas trs direes e rotaes tambm em trs direes, resultando em seis reaes de

apoio. Disto resulta a seguinte equao para determinao do nmero de elementos

de uma trelia espacial isosttica:

n de elementos = 3 x n de ns 6 (4.32)

Uma trelia espacial com quatro ns no coplanares tem como nmero de

elementos possveis exatamente o necessrio para ser isosttica formando um

tetraedro. Se a trelia possuir mais ns, tm-se mais elementos possveis do que

elementos necessrios para formar uma estrutura estaticamente determinada. O

nmero de modelos que podemos formar uma combinao simples, como descrito a

seguir:

Sendo a o nmero de elementos possveis da expresso (4.27) e b o

nmero de elementos de uma trelia espacial isosttica dados na expresso (4.32), o

nmero de combinaes :

n de combinaes =Cba = a!

b! a-b! (4.33)

Para posterior verificao e anlise de cada modelo, necessrio formar uma

matriz com todas as combinaes possveis. A matriz utilizada no programa tem como

quantidade de colunas o nmero de elementos de uma trelia isosttica e uma linha

para cada combinao.

Como exemplo, considera-se um bloco com um n de introduo de carga,

quatro estacas e nenhuma fora externa de trao. Com esses cinco ns, tem-se,

segundo a equao (4.27), dez elementos possveis. Para formar um modelo

isosttico so necessrios nove elementos, conforme a expresso (4.32). Poderamos

gerar, ento, dez combinaes para arranjo dos elementos da trelia (expresso 4.33).

A matriz de combinaes para este exemplo seria ento:

41

matriz de combinaes=

1 2 3 4 5 6 7 8 91 2 3 4 5 6 7 8 101 2 3 4 5 6 7 9 101 2 3 4 5 6 8 9 101 2 3 4 5 7 8 9 101 2 3 4 6 7 8 9 101 2 3 5 6 7 8 9 101 2 4 5 6 7 8 9 101 3 4 5 6 7 8 9 102 3 4 5 6 7 8 9 10

(4.34)

4.8 Equilbrio dos ns

Como descrito por Sussekind (1991), a quantidade de elementos para formar

um modelo de trelia espacial internamente isosttica uma condio necessria mas

no suficiente. Com a quantidade de elementos correta, pode-se ter muitas barras

ligadas a um n enquanto outro fica sem elementos suficientes garantir o equilbrio.

Se trs foras de direes no coplanares se cruzam em um ponto no espao,

garantido, que para quaisquer sistemas de eixos cartesianos adotados, tm-se

componentes em todas as direes. Por essa razo, podemos garantir o equilbrio e a

anlise de uma trelia espacial pelas equaes da esttica se ela atender a duas

condies:

1: possuir 3 n - 6 elementos, onde n o numero de ns, conforme descrito no

item 4.5.

2: todos os seus ns devem ligar, pelo menos, trs elementos com direes

no coplanares.

No programa elaborado, para cada combinao de elementos, todos os ns

so verificados para atender segunda condio.

Antes da verificao para garantir o equilbrio interno de cada combinao

formada uma matriz com os vetores diretores de todos os elementos possveis:

matriz de vetores diretores= xi1-xf1 yi1-yf1 zi1-zf1xi2-xf2 yi2-yf2 zi2-zf2xi3-xf3 yi3-yf3 zi3-zf3

xin-xfn yin-yfn zin-zfn

(4.35)

onde:

n: o nmero de elementos possveis;

xi, yi, zi: coordenadas do n inicial de cada elemento;

xf, yf, zf: coordenadas do n final de cada elemento.

42

A verificao ento realizada da seguinte maneira, para cada combinao de

elementos:

Primeiramente, verifica-se se n aparece no mnimo trs vezes na matriz de ns, considerando apenas os elementos daquela combinao. Caso no

aparea, significa que menos de trs elementos se ligam ao n e o modelo

j descartado.

Atendido o critrio anterior, para cada n, o primeiro elemento a se conectar a ele tem seu vetor diretor tomado como referncia.

Os outros elementos conectados ao n so percorridos e definem-se os planos que contem o vetor diretor de cada um e o vetor de referncia.

Por simplificao, os planos so definidos apenas pelos seus vetores

normais, sem risco de ocorrerem planos paralelos e no coincidentes j que

estamos analisando ponto a ponto.

Os vetores normais so calculados pelo produto vetorial dos dois vetores

contidos no plano. A Figura 4.7 ilustra um n com trs elementos, alm dos

dois planos formados e dos respectivos vetores normais.

Finalmente, vetores normais daquele ponto so comparados. Se todos forem iguais, significa que todos os elementos ligados ao n esto no

mesmo plano e o modelo ento descartado.

43

Figura 4.7 - Verificao da coplanaridade dos elementos ligados a um n.

4.9 Anlise estrutural da trelia

Garantindo-se que o modelo de trelia isosttico, as solicitaes axiais

podem ser determinadas pelo sucessivo equilbrio de foras nos ns. Porm, por

facilidade de automatizao, cada trelia que respeite a verificao do item 4.8

analisada pelo mtodo dos deslocamentos. A implementao para o caso especfico

descrita a seguir.

4.9.1 Matriz de rigidez da trelia

Inicialmente, determina-se da matriz de rigidez da estrutura. Para tal, forma-se

a matriz de rigidez de cada barra no referencial global e as contribuies ao

impedimento de cada deslocamento so adicionadas matriz da estrutura.

Para cada elemento, os seguintes clculos so executados:

Obteno da matriz de rotao do sistema de coordenadas local para o sistema de coordenadas global, definida por:

44

TR =

Cx Cy Cz-CxCy

Cx2+Cz2 Cx2+Cz2

-CyCz

Cx2+Cz2-Cz

Cx2+Cz20

Cx

Cx2+Cz2

(4.36)

sendo Cx, Cy, Cz, os cossenos diretores do vetor com mesma direo do

elemento. Calculados da seguinte forma, a partir dos dados da matriz de

vetores diretores definida no item 4.8:

Cx = matriz de vetores diretores (i,1)

Li (4.37a)

Cy = matriz de vetores diretores (i,2)

Li (4.37b)

Cz = matriz de vetores diretores (i,3)

Li (4.37c)

onde:

Li = mat. vet. dir. (i,1)2 + mat. vet. dir. (i,2)2 +mat. vet. dir. (i,3)2(4.38)

Para rotao dos deslocamentos no n inicial e no n final, montamos a matriz 6 x 6 chamada de matriz de rotao da barra:

R= TR 00 TR (4.39)

A matriz de rigidez, no referencial local (kL), de um elemento de trelia espacial tem a seguinte forma:

kL =

E AL

0 0

0 0 00 0 0

-E AL

0 0

0 0 00 0 0

-E AL

0 0

0 0 00 0 0

E AL

0 0

0 0 00 0 0

(4.40)

Onde:

E: mdulo de elasticidade do material

A: rea da seo transversal da barra

L: comprimento da barra

45

Como a trelia analisada isosttica, podem-se adotar os valores do

mdulo de elasticidade e da rea da seo transversal iguais para todas as

barras.

Para obter a matriz de rigidez da barra no referencial global (kG), faz-se a seguinte transformao:

kG= RT kL R(4.41) Em seguida, para poder adicionar a contribuio de cada barra na matriz de

rigidez da estrutura necessrio conhecer a numerao global de cada

deslocamento. Como em uma trelia espacial cada n tem trs

deslocamentos possveis, a numerao global dos deslocamentos dos ns

de cada barra determinada diretamente como:

ngd=

3n do n i-1+13n do n i-1+23n do n i-1+33n do n f-1+13n do n f-1+23n do n f-1+3

(4.42)

onde:

i e f: n inicial e n final do elemento, respectivamente;

ngd: vetor de transformao do deslocamento local para o global.

As 36 rijezas de cada barra so adicionadas a matriz de rigidez da estrutura (K) da seguinte maneira:

K(ngd(i),ngd(j)) = K(ngd(i),ngd(j)) + kG(i,j) (4.43)

com i e j variando de um a seis.

4.9.2 Condies de contorno

Obtida a matriz de rigidez da estrutura, necessrio se definir as condies de

contorno, que so as foras nodais e os impedimentos aos deslocamentos (apoios).

Neste trabalho, se optou pelo clculo das reaes de apoio pelos mtodos

tpicos de clculo dos estaqueamentos j apresentados no item 4.4. Por isso, ao invs

de impor impedimentos aos deslocamentos, as reaes de apoio previamente

calculadas sero aplicadas como foras externas.

Para evitar a singularidade da matriz de rigidez e os consequentes

deslocamentos de corpo rgido da estrutura, so aplicadas molas flexveis para todas

46

as direes de cada n. Para tal, em todos os valores da diagonal principal da matriz

de rigidez aplicada uma mola com 0,1% da menor rigidez dentre todos os elementos

da trelia:

K(i,i) = K(i,i) 10-4

Lmx(4.44)

Com i variando de um at o nmero total de deslocamentos e Lmx sendo o

comprimento do maior elemento.

4.9.3 Deslocamentos

Como j sabemos as reaes de apoio da estrutura, as nossas nicas

incgnitas so os deslocamentos. Estes so determinados resolvendo-se a equao

de equilbrio, tpica do mtodo da rigidez.

K U = F (4.45)

onde:

K a matriz de rigidez global,

U o vetor de deslocamentos nodais;

F o vetor de forcas nodais.

O vetor global de foras nodais ter como nmero de linhas, o nmero total de

deslocamentos da estrutura e ser formado pelas cargas aplicadas no bloco e pelas

reaes nas estacas. Para cada n, a expresso (4.46) executada:

F(ngd(i)) = matriz de foras externas (i) (4.46)

O sistema de equaes lineares (4.45), resolvido por eliminao de Gauss-

Jordan com pivoteamento total baseado em Press (1992).

4.9.4 Solicitaes axiais

Aps a obteno do vetor global de deslocamentos nodais da estrutura, o

esforo axial em cada elemento calculado da seguinte maneira:

Forma-se um vetor de 6 linhas com os deslocamentos dos ns de cada elemento no sistema de referncia global (uG):

uG(i) = U(ngd(i)) (4.47)

Esse vetor transformado para o sistema de referncia local de cada elemento com a mesma matriz de rotao da barra R da equao (4.39).

Obtm-se, ento, o vetor de deslocamentos da barra (uL)

47

uL = R uG (4.48)

O vetor das foras de extremidade do elemento (fL) calculado a partir de da matriz de rigidez da barra (expresso 4.40) e do vetor de deslocamentos

da barra (expresso (4.48)).

fL = kL uL (4.49)

No vetor de foras de extremidades obtido, os valores presentes na 1 e 4

linha so os esforos axiais no n inicial e final, respectivamente. Estes so

iguais em mdulo e tem sinais opostos. Para seguir a conveno de trao

positiva e compresso negativa, basta considerar o esforo obtido na 4

linha.

4.10 Matriz das solicitaes

Para sada dos resultados, interessante ter uma matriz com os esforos de

todos os elementos de cada combinao. A matriz tem como quantidade de linhas o

nmero de combinaes e tantas colunas quanto elementos de uma trelia isosttica.

Para cada modelo analisado, adicionada uma linha matriz geral dos esforos com

o esforo de cada elemento:

matriz geral dos esforos(i, j)=fLi,j(4)(4.50)

sendo fLij, o vetor de foras de extremidade o elemento j no modelo i.

4.11 Vetor de energia

Como visto no item 3.4, uma das maneiras de se escolher o melhor entre

vrios modelos de bielas e tirantes o critrio de energia de deformao. Para

aplicao de tal critrio, o programa percorre cada linha da matriz geral dos esforos

(expresso (4.50)) e soma todos os valores positivos (correspondentes a tirantes). O

valor armazenado em um vetor de energia com o nmero de linhas igual ao nmero

de combinaes.

vetor de energia (i) = matriz geral dos esforos (i,j) (se > 0)k

j = 1

(4.51)

onde i nmero do modelo, j o nmero elemento, e k o nmero de elementos da

trelia isosttica. Apenas os valores positivos entram no somatrio.

Essa matriz tambm utilizada para descarte dos modelos que no atendem

as diversas verificaes efetuadas pelo programa. Quando uma destas no

48

atendida, o valor da energia alterado para um valor relativamente alto (107).

Posteriormente, somente modelos cuja energia de deformao seja menor que 107

sero impressos.

Esse mtodo de descarte faz com que no sejam considerados valores para

solicitaes e medidas de comprimento com muitos dgitos. Por exemplo, deve-se

utilizar 250 kN ao invs de 250000 N, para evitar a no impresso de um modelo

adequado.

4.12 Cruzamento de bielas

Como explicado no item 3.2, em um modelo de bielas e tirantes, as bielas s

podem se cruzar nos ns. Uma rotina foi implementada para fazer verificar essa

condio em cada modelo. Para cada par de elementos, procede-se da seguinte

maneira:

verificado se os elementos possuem um n em comum. Caso isto ocorra, a verificao no precisa ser feita j que duas retas s se encontram uma

vez no espao. Passa-se para o prximo par.

Verifica-se, a partir da matriz geral de esforos, se ambos os elementos esto comprimidos.

Caso os elementos no se encontrem em um n e sejam bielas, o programa confere se pertencem ao mesmo plano. Isso feito analisando o valor

produto misto de trs vetores: os vetores diretores de cada elemento e um

vetor que cruze as duas retas. Caso a expresso a seguir se verifique, os

vetores so coplanares.

u .v x w = 0 (4.52)

onde, v e w so os vetores diretores dos dois elementos e u o vetor que passa pelo primeiro n de cada elemento.

Caso contrrio, impossvel o cruzamento dos elementos.

Sendo os elementos coplanares, eles devem ser paralelos ou se cruzarem em algum lugar no espao. A localizao do ponto de interseo pode ser

determinada da seguinte forma:

So consideradas as equaes paramtricas das duas retas:

r1= x= xi1+Cx1t1y= yi1+Cy1t1z= zi1+Cz1t1

r2= x= xi2+Cx2t2y= yi2+Cy2t2z= zi2+Cz2t2

(4.53)

onde:

49

xi, yi ,zi: as coordenadas dos ns iniciais de cada elemento;

Cx, Cy e Cz: cossenos diretores de cada vetor, conforme equao (4.37).

A Figura 4.8 ilustra as grandezas das equaes paramtricas.

No ponto de interseo, as trs coordenadas das retas devem coincidir. Se

igualarmos as equaes de duas coordenadas (por exemplo, x e y) das

duas retas, teremos um sistema com duas equaes e duas incgnitas (t1 e

t2).

Determina-se, assim, o valor de t1, por exemplo, e compara-se com o

comprimento do elemento 1. Se este for menor, as retas se cruzam no

trecho dentro da trelia e o modelo deve ser descartado.

Figura 4.8 - Cruzamento de elementos.

4.13 Inclinao entre bielas e tirantes

Como j citado no item 3.2, para que tenhamos um comportamento estrutural

adequado, a inclinao entre bielas e tirantes deve respeitar alguns limites. Os

ngulos mnimo e mximo permitido entre uma biela e um tirante so informados pelo

usurio no arquivo de entrada.

Aps a anlise da trelia isosttica e da verificao do cruzamento de bielas

fora dos ns, feito um controle dos ngulos entre bielas e tirantes da seguinte forma:

Percorrem-se todos os pares de elementos possveis. Cada elemento comparado com todos os outros elementos de maior numerao.

50

Verifica-se se os elementos tem um n em comum a partir dos ns inicial e final de cada um na matriz de ns.

Avergua-se se os sinais de esforos normais so opostos, j que s h limites para ngulos entre bielas e tirantes e no para ngulos entre duas

bielas ou dois tirantes. Lembrando que os esforos axiais j foram

registrados na matriz geral de esforos.

Calcula-se o ngulo entre os elementos com os dados da matriz de vetores diretores. Para tal, basta dividir o produto escalar dos vetores pelo produto

do mdulo de cada um. Como na expresso (4.54):

cos = u . v|u|. |v| (4.54)

com as grandezas ilustradas na Figura 4.9.

Para determinar o menor ngulo, basta adicionar o modulo no numerador,

obtendo, assim, um ngulo sempre entre 0 e 90 .

cos = |u . v||u| . |v| (4.55)

Figura 4.9 - ngulo entre dois vetores.

Compara-se o cosseno do ngulo obtido com os cossenos dos ngulos limites informados pelo usurio. Se para algum par de elementos, esses

limites no estejam sendo respeitados, o modelo descartado.

Nos modelos gerados pelo programa existem alguns elementos que no

necessitam passar por essa verificao, por se tratarem de uma simplificao da

realidade. o caso de uma carga de momento aplicada por um binrio, com uma fora

comprimindo o bloco e outra tracionando. O elemento que liga o n de compresso

com o n criado para transferir a carga de trao para o fundo do bloco,

provavelmente ficar muito prximo da vertical e no respeitar os limites.

51

Porm, como h estribos na armadura de arranque do pilar, o elemento pode

ser discretizado como mostrado na Figura 4.10. No modelo da esquerda, os ngulo e estariam fora dos limites, mas discretizando a biela que os forma, chegamos ao modelo da direita, onde todos os ngulos obedecem aos limites:

Figura 4.10 - Discretizao do elemento de arranque do pilar.

Por esta razo, o programa no faz a verificao de inclinao para elementos

ligando ns de introduo de cargas.

4.14 Tirantes diagonais

Como descrito anteriormente, a existncia de armaduras no verticais entre os

planos de um bloco de coroamento indesejvel do ponto de vista construtivo. Por

isso, so utilizadas armaduras de suspenso quando necessrias. Dessa maneira,

tem-se tirantes apenas no fundo, no topo do bloco ou verticais nas direes dos

pilares ou estacas.

Essa considerao foi incorporada automatizao e uma rotina para

eliminao dos modelos que usam tirantes diagonais entre planos foi elaborada.

Para cada modelo, o programa calcula os cossenos diretores em z (expresso

(4.32.c)) de todos os elementos. Caso algum dos cossenos diretores seja diferente de

0 ou 1 e o esforo nesse elemento seja positivo (se tratando de um tirante), o modelo

descartado.

A Figura 4.11 ilustra um modelo que seria excludo pelo programa por conter

tirantes no verticais ligando planos.

52

Figura 4.11 Exemplo de modelo que seria descartado pelo programa.

53

5 EXEMPLOS DE APLICAO

Para validar a modelagem e anlise realizada pela automatizao elaborada,

um exemplo simples de bloco de coroamento de quatro estacas resolvido e os

resultados so comparados com os obtidos pelo programa. Um segundo exemplo

ilustra a transferncia de carga de trao par face oposta. Ao final, apresentado,

brevemente, um estudo da sensibilidade dos modelos de bielas para e tirantes pra

Documents

monopoli10014109.pdf