mpmatos. calculoII

8/7/2019 mpmatos. calculoII

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Prefcio

Estas notas de aula surgiram da experincia do autor quando este ministrou algumasvezes a disciplina para os cursos de Engenharias e na Licenciatura em Matemtica aDistncia.

O principal objetivo destas notas fazer com que os alunos compreendam com clareza

os conceitos de funes de vrias variveis de um ponto de vista geomtrico e algbrico.Desenvolvendo tambm a capacidade de modelagem de problemas matemticos e provasenvolvendo conjuntos topolgicos, bem como as noes intuitivas de limites, continuidade,

derivadas parciais, diferenciabilidade, comportamento de funes, integrais de linha e desuperfcie. nossa expectativa que este texto assuma o carter de espinha dorsal de uma expe-

rincia permanentemente renovvel, sendo, portanto, bem vindas s crticas e/ou sugestesapresentadas por todos - professores ou alunos quantos dele fizerem uso.

Para desenvolver a capacidade do estudante de pensar por si mesmo em termos dasnovas definies, inclumos no final de cada seo uma extensa lista de exerccios.

No captulo 1 apresentaremos algumas definies e resultados sobre conceitos topolgi-cos, funes reais de duas ou mais variveis reais, limites e continuidade que sero necessrias

para o entendimento das prximas captulos.No captulo 2 apresentaremos as definies de derivadas parciais, diferenciabilidade,

Regra da Cadeia, derivada direcional e gradiente que sero necessrios para as aplicaes.No captulo 3 apresentaremos os problemas de maximazao e minimizao, o Mtodo

dos Multiplicadores de Lagrange, derivao implcita e transformaes.No captulo 4 apresentaremos algumas definies e resultados sobre integrais mltiplas

e mudana de coordenadas.No captulo 5 apresentaremos algumas definies e resultados sobre campos de vetores,

funes vetoriais, integrais de linha e independncia do caminho.Finalmente, no captulo 6 apresentaremos os conceitos de superfcies parametrizadas

e integrais de superfcie. Alm disso, os Teoremas de Divergncias, os quais so de grandeimportncia no Clculo Vetorial. Em particular, o Teorema de Green.

Agradecemos aos colegas e alunos do Departamento de Matemtica que direta ou indi-retamente contriburam para a realizao deste trabalho. Em particular, aos professores

Ailton Ribeiro de Assis, Inaldo Barbosa de Albuquerque, Joo Bosco Batista Lacerda,Jos Gomes de Assis e Marivaldo Pereira Matos.

Antnio de Andrade e Silva.


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Sumrio

1 Funes Reais de Vrias Variveis Reais 11.1 Conceitos Topolgicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Funes Reais de Vrias Variveis Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Limites e Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Diferenciabilidade 312.1 Derivadas Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2 Diferenciabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.3 Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.4 Derivada Direcional e Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3 Aplicaes das Derivadas Parciais 77

3.1 Mximos e Mnimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.2 Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.3 Derivadas de Funes Implcitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.4 Transformaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4 Integrais Mltiplas 117

4.1 Integrais Duplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4.2 Mudana de Variveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4.3 Integrais Triplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

5 Integrais de Linha 147

5.1 Campos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

5.2 Funes Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1575.3 Integrais de Linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

5.4 Independncia do Caminho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

6 Integrais de Superfcie 195

6.1 Superfcies Regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

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6.2 Integrais de Superfcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2046.3 Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

6.4 Teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2196.5 Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

Referncias Bibliogrficas 238


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Captulo 1

Funes Reais de Vrias VariveisReais

Situando a TemticaQuando falamos que uma coisa funo de outra, queremos dizer, simplesmente, que

a primeira delas depende da segunda. Situaes de dependncia, ou vinculao, fazem-sepresentes constantemente em nossa vida. Por exemplo, a rea de um tringulo igual a

um meio da base vezes a altura, ou seja, depende da base e da altura do tringulo.A partir de agora, voc est convidado a nos acompanhar neste passeio pelo mundo das

funes reais de vrias variveis reais. Juntos analisaremos detalhadamente suas regras,conheceremos domnios, grficos e curvas de nvel, verdadeiras ferramentas de decorao

utilizadas para exposio de mapas, e aprenderemos os conceitos de limites e continuidadede funes reais de vrias variveis reais.

Para desenvolver a capacidade do aluno pensar por si mesmo em termos das novasdefinies, inclumos no final de cada seo uma extensa lista de exerccios, onde a maio-ria dos exerccios dessas listas foram selecionados dos livros citados no final do texto.Devemos, porm, alertar aos leitores que os exerccios variam muito em grau de dificul-dade, sendo assim, no necessrio resolver todos numa primeira leitura.

Problematizando a TemticaA adequao de uma investigao sistemtica, imprica e crtica nos leva a problema-

tizao ou a formulao de problemas com enuciados que devem ser explicitados de formaclara, compreensvel e operacional. Portanto, um problema se constitui em uma pergunta

cientfica quando explicita a relao entre as variveis ou fatos envolvidos no fenmeno.Como vemos no nosso dia-a-dia os problemas envolvendo as funes reais de vrias

variveis reais independentes aparecem com mais frequncia do que as funes reais deuma varivel real, e seu clculo ainda mais extenso. Suas derivadas so mais variadas e

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mais interessantes por causa das diferentes maneiras como as variveis podem interagir.Considere, por exemplo, uma placa metlica circular com um metro de raio, colocada com

centro em = (0 0) do plano e seja aquecida, de modo que a temperatura em umponto = ( ) seja dada por

( ) = (162 + 24 + 402)

com e estando em metros. Determine os pontos de menor e maior temperatura daplaca.

Conhecendo a Temtica

1.1 Conceitos Topolgicos

Nesta seo introduzimos os conceitos topolgicos importantes para o estudo de funesreais de vrias variveis reais, mais precisamente funes cujo domno um subconjunto

R e cuja imagem est contida em R, com nfase no plano cartesiano e no espao. pertinente lembrar que de extrema importncia em matemtica, sempre que possvel,esboar graficamente um conjunto (ou um grfico de uma equao ou inequao) paratermos uma ideia geomtrica do mesmo.

Um conjunto de pontos ou simplesmente um conjunto em R, com 1 3, qualquer coleo de pontos finita ou infinita.

Exemplo 1.1 Os conjuntos

= {(1 0) (0 1)} = {( ) R2 : = } e = {( ) R2 : 2 + 2 1}

so conjuntos de pontos no plano cartesiano R2 = RR.

Dados um ponto = ( )

e um nmero real 0, chama-se vizinhana delta

(circular) de , em smbolos (), ao conjunto de todos pontos = ( ) tais que

| | = ( ) =p

( )2 + ( )2

com | | representando a distncia entre os pontos e , isto ,

() = { : | | }

Chama-se vizinhana delta (retangular) de ao conjunto de todos pontos = ( ) tais que

| | e | | isto ,

() = { : | | e | | }


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A Figura 1.1 expe graficamente a definio de vizinhana delta de .

Figura 1.1: Representao grfica dos conceitos topolgicos de .

Um conjunto em R chama-se aberto se para cada ponto , existir umavizinhana delta de toda contida em , isto ,

() tal que ()

Neste caso, diremos que todos os ponto de so pontos interiores.

Exemplo 1.2 Sejam

= {( ) R2 : 2 + 2 1} = {( ) R2 : || 1 e || 1} e = {( ) R2 : 0}

conjuntos abertos emR2. Mostre que e so conjuntos abertos emR2, enquanto o

no um conjunto aberto emR2.

Soluo. Dado um ponto = ( ) , obtemos 2 + 2 1. Assim, existe umavizinhana delta de , (), com

= 1 2 + 2

tal que () , pois se = ( ) (), ento | | . Logo,p2 + 2 = | | = |( ) + ( )| | | + | | +

2 + 2 = 1

Portanto, e um conjunto aberto em R2. Agora, dado um ponto = ( ) ,obtemos 0 || 1 e 0 || 1. Assim, existe uma vizinhana delta de , (), com

= min{1 2} 1 = min{|| 1 ||} e 2 = min{|| 1 ||}tal que () , pois se = ( ) (), ento | | . Logo,

| | | | | | 1 || 1


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e| | | | | | 2 || 1

Portanto, e um conjunto aberto em R2. Finalmente, para provar que no um conjunto aberto em R2, basta observar que para cada ponto = ( 0) , noexiste nenhuma vizinhana delta 0 de , (), tal que () .

Um ponto R um ponto de fronteira de um conjunto em R se qualquervizinhana de contm pontos de e pontos fora de , isto ,

() 6= e () (R ) 6=

comR

o complementar do conjunto . A Figura 1.1 expe graficamente a definio

de ponto de fronteira de .Seja um conjunto em R. Chama-se fronteira de , em smbolos (), o

conjunto de todos os pontos de fronteiras de .

Exemplo 1.3 Sejam

= {( ) R2 : 0} e = {( ) R2 : 2 + 2 1}

conjuntos emR2. Mostre que

() = {( ) R2 : = 0} e () = {( ) R2 : 2 + 2 = 1}

Em particular, () = (R2 ) e () = (R2 ).

Soluo. Dados = ( 0) R2 e 0, existe = ( ) , com 0 , tal que () . Portanto, = ( 0) (), pois R2 .

Reciprocamente, dado = ( ) (), temos, pela Lei da Tricotomia, que 0, = 0 ou 0. Se 0, ento existe 0 tal que () R2 e() = , o que impossivel. Se 0, ento existe 0 tal que () e() (R2 ) = , o que impossivel. Portanto, = 0 e

() = {( ) R2 : = 0}

De modo inteiramente anlogo, determina ().

Um conjunto em R chama-se fechado se seu complementar R for aberto. Porexemplo,

= {( ) R2 : 2 + 2 1}

um conjunto fechado emR

2

, pois seu complementarR = {( ) R2 : 2 + 2 1}

um conjunto aberto em R2.


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Um conjunto em R chama-se limitado se existir uma esfera de centro na origem de R e raio suficientemente grande 0, em smbolos (), tal que

()Ou, equivalentemente, um bloco em R tal que . Note que em R2 uma esfera um crculo (uma circunferncia) e um bloco um retngulo. Neste caso, para cada = ( ) , existe 0 tal que

|| e ||

Exemplo 1.4 Sejam

= {( ) R2 : || 1 e 1 2} e = {( ) R2 : 0}conjuntos emR2. Mostre que um conjunto limitado emR2, enquanto no um

conjunto limitado emR2.

Soluo. Note que graficamente representa uma figura retangular com lados de com-primentos = 2 e = 3, repectivamente. Assim, pondo = max{2 3} = 3, obtemos

3(0 0) = {( ) R2 : 2 + 2 = 9}

Portanto, um conjunto limitado emR

2

. Agora, se existisse uma esfera de centro naorigem de R2 e raio suficientemente grande 0 tal que

()

Ento o ponto = ( + 1 ) , onde (), o que impossvel. Portanto, no um conjunto limitado em R2.

Um conjunto em R chama-se compacto se ele fechado e limitado em R. Porexemplo,

= {( ) R2

: || + || 1} um conjunto compacto em R2.

Um ponto R um ponto de acumulao de um conjunto de R se paraqualquer nmero real 0, tem-se

(() {}) 6=

Por exemplo, = (0 0) R2 um ponto de acumulao do conjunto

= {( )

R

2 : 0}

Note que . Observe tambm que qualquer ponto um ponto de acumulaode

= {( ) R2 : 0}


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Enquanto que o conjunto Z no possui ponto de acumulao, pois dado Z, existe = 1 tal que

(() {}) Z

= Um ponto que no um ponto de acumulao de chama-se um ponto discretoou um ponto isolado de .

Um conjunto em R chama-se conexo se quaisquer dois pontos distintos podem ser ligados por uma linha poligonal inteiramente contida em (linha poligonalsignifica uma curva constituda de um nmero finito de segmentos retilneos em sucessotais que a extremidade de cada um coincida com a origem do seguinte). Um conjuntoaberto e conexo chama-se domnio. Por exemplo, o counjuto

= {( ) R2 : 1 2 + 2 4}

um domnio em R2. Note que, um domnio no pode ser formado por dois conjuntosabertos disjuntos. Assim, o conjunto

= {( ) R2 : || 0}

no um domnio em R2, pois

= {( )

R

2 : 0}

{( )

R

2 : 0}

Um conjunto em R chama-se uma regio se um aberto conexo mais algunsou todos os seus pontos de fronteiras. Uma regio simplesmente conexa em R sequalquer curva fechada em pode ser reduzida de maneira contnua a um ponto qualquerem sem deixar . Por exemplo,

= {( ) R2 : || 1 e 1 2}

uma regio simplesmente conexa em R2.

Exemplo 1.5 Seja um conjunto compacto emR2. Mostre que = R2 nuncapode ser uma regio simplesmente conexa emR2.

Soluo. Como um conjunto compacto em R2 temos que existe um crculo de centrona origem de R2 e raio suficientemente grande 0 tal que

()

Assim, a circunferncia de centro na origem de R2 e raio + 1 est contida em , mas

no pode ser reduzida de maneira contnua a um ponto qualquer em sem deixar .Portanto, no uma regio simplesmente conexa em R2. Em particular, a regio

= {( ) R2 : 1 2 + 2}


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no uma regio simplesmente conexa em R2, pois

= R

com = {( )

R

2 : 2 + 2

1}

um conjunto compacto.

EXERCCIOS

1. Esboce a regio do plano R2 dada abaixo e determine sua fronteira. Classifique em: aberto (A), fechado (F), limitado (L), compacto (K), ou conexo (C).

(a) = {( ) R2 : 0}.(b) = {( ) R2 : 0 e 2 + 2 1}.(c) =]1 2[ [0 +[.(d) = {( ) R2 : 1 2 + 2 2}.(e) = {( ) R2 : 4 2 9}.(f) = {( ) R2 : 0 e 1 2}.

(g) = {( ) R2

: }.(h) = {( ) R2 : || 1 e 1 2}.(i) = {( ) R2 : 42 + 2 9}.(j) = {( ) R2 : sen cos 0 4}.(k) = [0 1] [1 2].

(l) = {( ) R2 : || + || 1}.(m) = {( ) R2 : 2 + 42 16 e || 1}(n) = {( ) R2 : 1 2 2}.(o) = {( ) R2 : (2 + 2 1) 0}.(p) = {( ) R2 : 3 }.(q) = {( ) R2 : || 2 e 1 2 + 2}.(r) = {( ) R2 : 2 2}.(s) = {( ) R2 : || + || 2 e 1 2 + 2}.

2. Esboce a regio

= {( ) R2 : 2 + 2 1 [( 1)2 + 2 1] 0}verifique que ela aberta e determine sua fronteira.


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1.2 Funes Reais de Vrias Variveis Reais

O conceito de funes reais de duas ou mais variveis reais anlogo ao conceito de

funo real de uma varivel real visto no Clculo Diferencial e Integral I. Por exemplo, aequao

= 2 2

exprime como funo de e . Em geral, uma funo de e se existir uma regra que a cada ponto = ( ) de um conjunto em R2 associar um nico ponto R. AFigura 1.2 expe graficamente a definio de funo de em R. Para indicar a conexoentre , e usualmente escreve-se = ( ) ou = ( ).

Figura 1.2: Representao grfica da funo = ( ).

Escreveremos : R R ou, simplesmente, : R para indicar que umafuno com domnio e contradomnio R. Se = ( ), diremos que o valor ou aimagem de e com respeito a . s vezes as funes : R R so chamadasde funes escalares.

Exemplo 1.6 Seja : R2 R a funo definida pela regra

( ) = log

1 42 1

92

Qual o domnio de ?

Soluo. J vimos, no Ensino Mdio, que o domnio da funo log o conjunto detodos os R, com 0. Logo, o domnio de o conjunto de todos os pontos ( )em R2 tais que

1 42 19

2 0

Portanto, = {( ) R2 : 362 + 2 9}


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o domnio da funo ( ).

Seja : R2 R uma funo. Chama-se grfico de ao conjunto de todos ospontos () R3 tais que = ( ), isto ,

() = {() R3 : = ( )}

Chama-se imagem de ao conjunto

Im() = {R : = ( ) para algum ponto ( )

}

importante notar que, o grfico de uma funo real de duas variveis reais representauma superfcie. A Figura 1.3 expe graficamente a definio do grfico de uma funo

: R2 R.

Figura 1.3: Grfico da funo .

Sejam : R2 R uma funo e = ( ). Quando atribuirmos a umvalor constante , o conjunto de todos os pontos ( ) tais que = geram, emgeral, uma curva , chamada de curva de nvel da funo correspodendo ao valor .Note que a curva est contida no domnio da funo, ou seja, . A Figura1.4 expe graficamente algumas curvas de nveis geradas pelo grfico de uma funo : R2 R.


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Figura 1.4: Curva de nvel .

Sejam : R3 R uma funo e = (). Quando atribuirmos a umvalor constante , o conjunto de todos os pontos () tais que = geram, emgeral, uma superfcie , chamada de superfcie de nvel da funo correspodendo ao

valor .

Exemplo 1.7 Seja : R2 R a funo definida pela regra( ) = 22. Determinaralgumas curvas de nvel da funo .

Soluo. As curvas de nvel da funo no plano correspondem aos grficos daequao

2 2 = R

Como o conjunto dos nmeros reais R totalmente ordenado, h trs casos a seremconsiderados (Lei da Tricotomia):

1 Caso. Se 0, ento 2 2 = uma hiprbole com vrtices (0 ).2 Caso. Se = 0, ento 2

2 = so duas retas passando pela origem = (0 0)

de R2, ou seja, = e = .3 Caso. Se 0, ento 2 2 = uma hiprbole com vrtices ( 0).

Algumas curvas de nvel e o grfico da funo esto exposto na Figura 1.5.


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Figura 1.5: Paraboloide hiperblico.

EXERCCIOS

1. Em cada caso determine e represente graficamente o domnio da funo = ( ).

() =p

2 + 2 () = arccos ( )() =

p|| || () = p( 3) ( 2)

() 42 + 2 + 2 = 1 0 () = arcsen[ ( )]() = log

1 42 2

9

() =

p4 2 2p2 + 2 1

() =p

log(2 + 2 3) () = sen sen

() = exp() log () =s

2 12 1

2. Em cada caso esboce algumas curvas de nvel da funo = ( ), de modo aobter uma visualizao do seu grfico.

() = 2 + 2 () = 2 (2 + 2)1

() =p

2 + 2 () =

() = (2 + 2)1

() =p

9 2 2() = log (1 + 2 + 2) () =

p1 24 29

() = + () = | |() = sen ( ) () = | | () = || || () = + 2() = 8 2 2 () = 2

3. Identifique e esboce a curva de nvel da funo = 2

43 que passa no ponto = (1 2). Observe o comportamento da funo ao longo da tangente que passa noponto .

4. Identifique as superfcies de nvel da funo = 2 + 2 + 2, nos nveis 0, 1 e 2.


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5. Identifique a superfcie de nvel da funo = 2 + 2 2 que passa no ponto = (1 1 1).

6. Esboce o grfico da funo = ( ) dada por:() ( ) = 3 () ( ) =

p2 2

() ( ) = () ( ) =p

16 2 162() ( ) = 1 () ( ) = (2 + 2)12() ( ) = sen () ( ) = 1 2() ( ) = exp

p2 + 2

() ( ) = log

p2 + 2

() ( ) = 3 2 2 () ( ) = sen(2 + 2)

7. Descreva as superfcies de nvel da funo = ().

() () = + 3 + 5 () () = 2 2 + 2() () = 2 + 32 + 52 () () = 2 2

1.3 Limites e Continuidade

Nesta seo apresentaremos, de um ponto de vista intuitivo e/ou formal, as ideiasbsicas sobre limites que sero necessrias na formulao das difinies de continuidade,diferenciabilidade e integrabilidade de uma funo real de vrias variveis reais.

J vimos, no Clculo Diferencial e Integral I, que uma funo real de uma varivelreal : R R tem limite , em simbolos

lim

() =

se dado um nmero real 0, existe em correspondncia um 0 tal que

0 | | |() |

Devemos lembrar que a notao significa que est muito prximo de , mas 6= . Note que, nesta definio, exige-se apenas que | | 0, isto , para os na vizinhana delta () que sejam diferentes de e que pertenam a (os pontos deacumulao de ), pois no necessrio que esteja definida em para que ela possualimite em . Portanto, a noo de limite de uma funo em um ponto est relacionada

ao comportamento de nos pontos prximos de ; excluindo o prprio . Por exemplo,

lim2

2 42 3 + 2 = 4

mas claramente a funo no est definida no ponto = 2.

Esse conceito de limite pode ser estendido de modo inteiramente anlogo a uma funoreal de duas ou mais variveis reais, por exemplo, se : R2 R, ento

lim()()

( ) =


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significa que: dado um nmero real 0, existe em correspondncia um 0 tal que

( )

0 p( )

2 + (

)2

|( )

|

Assim, com alguns ajusto de ordem tcnica, todas as propriedades de limites para funesreais de uma varivel real valem para funes reais de duas ou mais variveis reais. Asprincipais so:

Proposio 1.8 Sejam : R2 R funo, com uma regio e uma constantereal. Suponhamos que os limites de e existam em = ( ). Ento:

1. lim()()(( ) ( )) = lim()() ( ) lim()() ( ).

2. lim()()(( )) = lim()() ( ).

3. lim()()(( )( )) = lim()() ( )lim()() ( ).

4.

lim()()

( )

( )=

lim()() ( )

lim()() ( )

desde que lim()() ( ) 6= 0.

Exemplo 1.9 Mostre, usando a definio de limite, que:

1. lim()(21)(2 + ) = 5.

2. lim()(12)(32 + ) = 5.

Soluo. (1) Devemos provar que: dado 0, existe um 0 tal que

0

p( 2)2 + ( 1)2 |2 + 5|

Para resolver este problema vamos dividir a prova em dois passos:1 Passo. O nmero depende da escolha do nmero . Assim, para determinar o

possvel , devemos estudar a desigualdade que envolve , isto ,

|2 + 5|

Note que

|2 + 5| = |2( 2) + ( 1)| 2 | 2| + | 1| Como

| 2| =p

( 2)2 p

( 2)2 + ( 1)2

e

| 1| =p

( 1)2 p

( 2)2 + ( 1)2


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temos que|2 + 5| 2 | 2| + | 1| 2+ = 3

2 Passo. Verificao da nossa escolha do . Dado 0, basta escolher um

=

3

tal que

0 p

( 2)2 + ( 1)2 |2 + 5| De fato, p

( 2)2 + ( 1)2 | 2| e | 1| Logo,

| 2| 2 | 2| 2Assim,

|2 + 5| 2 | 2| + | 1| 2+ = 3 Portanto,

lim()(21)

(2 + ) = 5

Note que usando Teoremas sobre limites, obtemos

lim()(21)(2 + ) = lim()(21)(2) + lim()(21) = 4 + 1 = 5

(2) Devemos provar que: dado 0, existe um 0 tal que

0 p

( 1)2 + ( 2)2 32 + 5 Para resolver este problema vamos dividir a prova em dois passos:

1 Passo. O nmero depende da escolha do nmero . Assim, para determinar opossvel , devemos estudar a desigualdade que envolve , isto ,

32 + 5

Note que

32 + 5 = 3(2 1) + ( 2 3 2 1 + | 2| = 3 | 1| | + 1| + | 2|

Restringindo ( ) = 32 + a vizinhana unitria de (1 2) = 5 (ou seja, para ointervalo aberto 1 com centro em (1 2) e comprimento 2 devemos encontrar um 0tal que ( ) 1, para cada ( ) (1 2))

|( ) (1 2)| 1

obtemos 32 + 5 3 | 1| | + 1| + | 2| 3(3) + = 10


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pois| + 1| = | 1 + 2| | 1| + 2 3

2 Passo. Verificao da nossa escolha do . Dado 0, basta escolher um

= minn

1

10

otal que

0 p

( 1)2 + ( 2)2 32 + 5 De fato, p

( 1)2 + ( 2)2 | 1| e | 2| Logo,

| 1| 3 | 1| | + 1| 9Assim,

32 + 5 3 | 1| | + 1| + | 2| 9+ = 10 Portanto,

lim()(12)

(32 + ) = 5

que o resultado desejado.

Vimos acima que o clculo do limite por meio da definio pode ser tedioso se

tem uma expresso complicada. Assim, apresentaremos algumas tcnicas, alm das pro-priedades de limite j vistas no curso de Clculo Diferencial e Integral I, que sero teispara determinar se uma dada funo tem ou no limite em um ponto.

J vimos que lim () existe quando o limite pela esquerda lim () e peladireita lim+ () existem e so iguais. Esse procedimento no aplica-se s funes reaisde duas ou mais variveis reais, pois existem uma quantidade infinita de caminhos parachegarmos em um ponto, mas ele serve como um guia para apresentarmos um candidatoao limite ou no. Lembre que se o limite existe, ele nico.

Os limites iterados

lim

lim

( )

e lim

lim

( )

no so necessariamente iguais. No entanto, devem ser iguais para que o limite

lim()()

( )

exista, mas sua igualdade no garante a existncia deste limite.

Exemplo 1.10 Determine se o limite

lim()(00)

+

existe.


20/120

Soluo. Note que no podemos aplicar diretamente as propriedades, pois

lim()(00)

+

=lim()(00)( )lim()(00)( )

=0

0

o que uma forma indeterminada. Assim, devemos tentar outras formas de calcular olimite

lim()(00)

+

Neste caso,

lim0

lim0

+

= lim

0(1) = 1 e lim

0

lim0

+

= lim

0(1) = 1

Logo, os limites iterados so diferentes. Portanto, o limite no existe.


lim()(00)

2 22 + 2

existe.

Soluo. Note que

lim0

lim0

2 22 + 2

= lim

0(1) = 1 e lim

0

lim0

2 22 + 2

= lim

0(1) = 1

Logo, os limites iterados so diferentes. Portanto, o limite no existe.


lim()(00)

22

3 + 3

existe.

Soluo. Para resolver este problema devemos primeiro verificar se o limite o mesmopor vrios caminhos diferentes do plano para o ponto = (0 0). Em seguida aplica-se a

definio para comprovar. Note que

lim0

lim0

22

3 + 3

= lim

0(0) = 0 e lim

0

lim0

22

3 + 3

= lim

0(0) = 0

Logo, os limites iterados so iguais.1 Caminho. Ao longo das retas = , com 6= 0. Note que 0 0,

lim()(00)

22

3 + 3= lim

0

222

3 + 33= lim

0

42

3(1 + 3)= lim

0

2

1 + 3= 0


21/120

2 Caminho. Ao longo da curva = exp(). Note que 0 0,

lim()(00)

22

3 + 3 = lim0

22 exp(

2)

3 3 exp(3) = lim04 exp(

2)

3(1 exp(3))= lim

0

exp(2)1 exp(3)

Observe que como

lim0

exp(2)1 exp(3) =

0

0

temos uma indeterminao. Assim, pela Regra de LHpital,

lim0

exp(

2)

1 exp(3) = lim0exp(

2) + 2 exp(

2)

3 exp(3) = lim0exp(

2)(1 + 2)

3exp(3) =1

3

Portanto, o limite no existe, pois ele depende do caminho.

Um resultado visto no curso de Clculo Diferencial e Integral I para a determinao

do limite de uma funo real o seguinte:

Se lim () = 0 e () limitada (|()| , uma constante real), entolim ()() = 0.

Se lim () = e () ilimitada(|()| , uma constante real), entolim ()() = .

bom lembrar que este resultado aplica-se a funes reais de vrias variveis reais.


lim()(00)

p2 + 2

existe.

Soluo. Sejam ( ) as coordenadas polares do ponto ( ). Ento = cos e = sen . Como

=p

2 + 2

temos que 0 quando 0 e 0. Assim,

lim()(00)

p2 + 2

= lim0

( cos sen ) = 0

pois

|cos sen | =1

2|sen(2)| 1

2

limitada. Portanto, o limite existe e igual a 0.


22/120

Observao 1.14 A mudana para coordenadas polares pode nos levar a concluses fal-sas. Por exemplo, em coordenadas polares a funo

( ) = 22

4 + 2

assume a forma:

( cos sen ) =2 cos2 sen

2 cos4 + sen2 quando 6= 0

Assim, se fizermos constante, ento

lim0

( cos sen ) = 0

Note que esse clculo induz a afirmao (falsa!) de que o limite da funo na origem igual a 0, pois ao longo do caminho = 2 ou

sen = 2 cos2

obtemos

( cos sen ) =2 cos2 sen

2 cos4 + sen2 =

22 cos2 cos2

2 cos4 + 2 cos4 = 1

Logo, ao longo do caminho = 2,

lim0 ( cos sen ) = 1

Portanto, a funo ( ) no tem limite na origem.


lim()(00)

32

2 + 2

existe.

Soluo. Sejam

( ) = 3 e ( ) = 2

2 + 2

Entolim

()(00)( ) = 0

e ( ) limitada, pois |( )| 1. Assim,

lim()(00)

32

2 + 2= lim

()(00)( )( ) = 0

Portanto, o limite existe e igual a 0.

Sejam : R2 R uma funo e = ( ) fixado, com um conjuntoaberto. Diremos que contnua no ponto se for um ponto isolado de ou se for um ponto de acumulao de e as seguintes condies so satisfeitas:


23/120

1. lim()() ( ) existe, isto , lim0 ( ) um nmero real.

2. lim()() ( ) = ( ).

Formalmente, contnua no ponto se dado um nmero real 0, existe em cor-respondncia um 0 tal que

( ) 0 p

( )2 + ( )2 |( ) ( )|

Neste caso, escreveremos

lim()()

( ) = (lim

lim

)

Geometricamente, a funo ser contnua em um ponto significa que: para cada inter-valo aberto com centro em () e comprimento 2 podemos encontrar uma vizinhanadelta de , (), tal que ( ) , para cada ( ) (). A Figura 1.6 expegraficamente a definio de continuidade da funo de no ponto .

Figura 1.6: Continuidade de em

Observao 1.16 Seja : R2 R uma funo, com um conjunto aberto.Diremos que contnua em se continua em todos os pontos de .

Se pelo menos uma das condies da definio de funo contnua em no forsatisfeita, diremos que descontnua no ponto . Neste caso, diremos que o ponto uma descontinuidade removvel de se

lim()() ( )

existir, mas

lim()()

( ) 6= ()


24/120

Caso contrrio, ou seja, selim

()()( )

no existir, diremos que o ponto uma descontinuidade essencial de . de fundamental importncia lembrar que: como a definio de continuidade de uma

funo real de vrias variveis reais um extenso da definio de continuidade de umafuno real de uma varivel real, ela tem propriedades anlogas.

Exemplo 1.17 Seja : R2 R a funo definida por

( ) =

(322+2

se ( ) 6= (0 0)

0 se ( ) = (0 0)

Verifique se contnua no ponto = (0 0).

Soluo. Para resolver este problema devemos verificar cada uma das condies dadefinio de continuidade de em um ponto . Como o domnio de todo R2 temosque (0 0) existe e (0 0) = 0. Pelo Exemplo 1.15,

lim()(00)

( ) existe e lim()(00)

( ) = 0

Finalmente, como

lim()(00) ( ) = 0 = (0 0)

temos que contnua no ponto = (0 0). Note que contnua em R2.


( ) =

(

2+2 se ( ) 6= (0 0)

0 se ( ) = (0 0)


Soluo. Como o domnio de todo R2 temos que (0 0) existe e (0 0) = 0. Aolongo das retas = , com 6= 0, obtemos

lim()(00)

2 + 2= lim

0

2

2(1 + 2)= lim

0

1 + 2=

1 + 2

Assim, lim()(00) ( ) no existe. Portanto, no contnua no ponto = (0 0).Note que contnua em R2 {(0 0)}.


( ) =

(2+2

se ( ) 6= (0 0)

1 se ( ) = (0 0)



25/120

Soluo. Como o domnio de todo R2 temos que (0 0) existe e (0 0) = 1. Sejam

( ) = e ( ) =

p2

+ 2

Entolim

()(00)( ) = 0 e ( ) limitada pois |( )| 1

Portanto,lim

()(00)

p2 + 2

= lim()(00)

( )( ) = 0

Assim,lim

()(00)( ) existe e lim

()(00)( ) = 0

Finalmente, comolim

()(00)( ) = 0 6= 1 = (0 0)

temos que no contnua no ponto = (0 0). Note que = (0 0) uma descon-tinuidade removvel de , pois a funo : R2 R definida por

( ) =

(( ) se ( ) 6= (0 0)0 se ( ) = (0 0)

contnua em = (0 0).

EXERCCIOS

1. Seja : R2 R a funo definida por

( ) =

(2

2+2 se ( ) 6= (0 0)

0 se ( ) = (0 0)

Mostre que

lim0

(1 + 1) (1 1)

= 0 e lim0

(0 ) (0 0)

= 0

2. Em cada caso, mostre que a funo = ( ) no tem limite quando ( ) (0 0):

() = +

2 + 2() =

2

2 + 4() =

3 + 3

2 +

() =

2 + 2() =

p

2

+

2() =

22

3 + 3

() =||

3 () =6

(3 + 2)2() =

2 22 + 2

() =

22 + 32() =

( )4 + 4

() =4 + 2 + 23

(2 + 2)2


26/120

3. Verifique que a funo

() =2 + 2 22 + 2 + 2

no tem limite na origem.

4. Calcule os seguintes limites:

() lim()(10)

log( + 1) () lim()(00)

expsen(2) + cos

cos()

() lim()(00)

(2 1)sen

() lim()(000)

senh

(22 + 2)1

2

i() lim

()(00)

sen()

sen sen () lim

()(24)p

3 + 2

() lim()(00)

1 cos sen sen

() lim()(1)

[ cos(4) + 1]2

3

() lim()(22)

arctg

5. Use a definio de limite e prove que:

() lim()(13)

(2 + 3) = 11 () lim()(31)

(2 + 2 4 + 2) = 4

() lim()(12)

(32 + ) = 5 () lim()(000)

3 + 2

2 + 2 + 2= 0

() lim()(11)

(2 + 2) = 2 () lim()(00)

( + )sen1

= 0

() lim()(00)

3 + 3

2 + 2 = 0 () lim()(111) (2 + + ) = 4() lim

()(23)(22 2) = 1 () lim

()(12)(2 2) = 3

() lim()(10)

(2 1) = 0 () lim()(12)

2 ( 1)2 ( 2)3 ( 1)2 + 3 ( 2)2 = 0

6. Mostre que

(a) lim()(10)

1 cos

= 0. (Dica:

1

cos

=sen2

()2 1 + cos )(b) lim

()(00)

sen(2 + 2)

1 cosp

2 + 2= 2. (Dica:

sen()

1 cos =

sen

(1 + cos

)

sen

)

(c) lim()(00)

|| + ||

2 + 2= . (Dica:

p2 + 2 || + ||.)

7. Mostre que as funes

( ) =

3 e ( ) =2

2 2no tm limite na origem.


27/120

8. Seja : R2 {(0 0)} R a funo definida por

( ) =344

(4 + 2)3

Calcule os limites de ( ) quando ( ) (0 0), ao longo dos seguintes caminhos:(a) eixo ; (b) reta = ; (c) curva = 2. A funo tem limite na origem? Porqu?

9. Verifique se a funo = ( ) contnua no ponto indicado.

(a) =p

25 2 2, = (3 4).(b) = exp (

) log (7 + 2

2), = (0 0).

(c) = 2 + 2

, = (0 0).

(d) =

2 , se 6= 2 e ( 2) = 1, = (1 2).

10. Identifique a funo = ( ) como combinao de funes elementares do clculo

e deduza que ela contnua em seu domnio.

() ( ) =

() ( ) =

2 1 () ( ) = arcsen

() ( ) =

42 2

2 () ( ) =

32

2

+ 2

() ( ) = log (

2)

11. Discuta a continuidade das seguintes funes:

(a) ( ) =2 2 , se 6= e ( ) = 1.

(b) ( ) = exp

12+21

, se 2 + 2 1 e ( ) = 0 se 2 + 2 1.

(c) ( ) =exp(2 + 2)

2 + 2, se ( ) 6= (0 0) e (0 0) = 1.

(d) ( ) =

sen( + )

+ , se + 6= 0 e ( ) = 1.(e) () =

22 + 2 + 2

, se () 6= (0 0 0) se (0 0 0) = 0.

(f) ( ) = 42 + 92, se 42 + 92 1 e ( ) = 0, se 42 + 92 1.(g) () = 2+2 +2, se 2+2 +2 1 e () = 0, se 2+2 +2 1.

12. Considere as funes e definidas em R2 por:

( ) = (322+2

se ( ) 6= (0 0)

1 se ( ) = (0 0)e

( ) =

(

2+2 se ( ) 6= (0 0)

1 se ( ) = (0 0)


28/120

Verifique que a origem uma descontinuidade de ( ) e de ( ) Em que caso adescontinuidade pode ser removida? Recorde-se que remover uma descontinuidade

significa redefinir a funo de modo a torn-la contnua.13. Verifique que a origem uma descontinuidade da funo:

( ) =

sen(2 + 2)

1 cosp

2 + 2 se ( ) 6= (0 0)

0 se ( ) = (0 0)

Essa descontinuidade pode ser removida?

14. Sabendo que

1 22

3 arctg ()

1 e 2 ||

22

6 4 4cos

p|| 2 ||

calcule os seguintes limites

() lim()(00)

arctg ()

() lim

()(00)

4 4cosp

||

||


( ) =(

exp 12+2 se ( ) 6= (0 0)

0 se ( ) = (0 0)

Verifique que contnua em todo ponto = ( ) do R2 e calcule os limites

lim0

( 0)

e lim

0

(0 )


( ) =

2

2

+ 3

se ( ) 6= (0 0)

0 se ( ) = (0 0)

(a) Calcule o limite de na origem, ao longo das retas = .

(b) Calcule o limite de na origem, ao longo da curva = 3

2 exp().

(c) Calcule o limite de na origem, ao longo da curva em coordenadas polares = cos2 , 2 0.

(d) Investigue a continuidade de .

17. Mostre quelim

()(00)arctg

|| + ||

2 + 2

=

2

(Sugesto: Use o item () do Exerccio 6.)


29/120

18. Use coordenadas polares e mostre que

lim()(00)

2 + 2 logp2 + 2 = 0

Avaliando o que foi construdoNeste Captulo voc comeou o primeiro contato com as funes reais de vrias var-

iveis reais, foi apresentado s curvas de nvel, aprendeu, atravs de algumas tcnicasespeciais, se uma funo tem ou no limite e contnua.

Foi realmente grande o volume de conhecimentos apresentados. Porm, fique certo,ainda h muito que aprender dentro desses mesmos tpicos. Voc viu, por exemplo, quea definio formal de limite a mesma de uma funo real de uma varivel real, mas aexistncia dos limites por alguns caminhos no garante que o limite existe.

Respostas, Sugestes e SoluesSeo 1.1

Tabela da primeira questo:(a) (b) (c) (d) (e) (f ) (g) (h) (i) (j) (k) (l)

e

(m) (n) (o) (p) (q) (r) (s)

.

1. Vamos resolver os itens () e ()

(a) = {( ) R2 : = 0}.(b) = {( ) R2 : 2 + 2 = 1 0} {(0 ) R2 : 1 1}.(c) = {(1 ) R2 : 0} {(2 ) R2 : 0} {( 0) R2 : 1 2}.


30/120

(d) = {( ) R2 : 2 + 2 = 1} {( ) R2 : 2 + 2 = 2}.(e) constituda das retas = 3, = 2, = 2 e = 3.

(f) Primeiro observamos que a nossa regio composta de duas sentenas juntaspelo conectivo e: 0 e 1 2. Note que a inequao 0 e qualquer representa graficamente um semiplano positivo sem o eixo , confiraFigura 1.7 (). Enquanto, inequao 1 2 e qualquer representagraficamente uma faixa horizontal compreendida entre 1 e 2, confira Figura 1.7

(). Portanto, o esboo da regio dado pela Figura 1.7 ().

Figura 1.7: Esboo da regio .

Observando o esboo da regio conclumos que: no aberta e nemfechada, no limitada e nem compacta, mas uma regio simplesmente

conexa. Alm disso,

= {(0 ) R2 : 1 2} {( 1) R2 : 0} {( 2) R2 : 0}(g) = {( ) R2 : = }.(h) = {(1 ) R2 : 1} {( 1) R2 : 1 1}.(i) = {( ) R2 : 42 + 2 = 9}.(j) = {(0 ) R2 : 0 1}{( sen ) R2 : 0 2}{( cos )

R2 : 0 2}.

(k) o quadrado de vrtices (0 1), (0 2), (1 2) e (1 1).

(l) o quadrado de vrtices (0 1) e (1 0).

(m) Note que a regio a interseo do interior mais a fronteira da elipse 2+42 16, com os semiplanos 1 e 1. Portanto, um conjunto fechado elimitado, ou seja, um conjunto compacto, em que

=(

( ) R2

:

2

42 +

2

22 = 1 1 e

15

2

15

2)[

(( ) R2 :

2

42+

2

22= 1 1 e

15

2

15

2

)


31/120

(n) = {( ) R2 : 2 2 = 1}.(o) = {( ) R2 : 2 + 2 = 1} {( 0) R2 : }.

(p) = {( ) R2 : = 3}.(q) = {( ) R2 : || = ||}.(r) = {( ) R2 : = } {( ) R2 : = }.(s) = {( ) R2 : || + || = 2} {( ) R2 : 2 + 2 = 1}.

2. Como = 1 2, com

1 = {( ) R2 : 2 + 2 1 e ( 1)2 + 2 1}

e2 = {( ) R2 : 2 + 2 1 e ( 1)2 + 2 1}

temos que aberta e

= {( ) R2 : 2 + 2 = 1} {( ) R2 : ( 1)2 + 2 = 1}

Seo 1.21. No esquea de fazer o esboo de cada domnio!

(a) = {( ) R2 : 2 e 2 }.(b) = {( ) R2 : || ||}.(c) = {( ) R2 : 42 + 2 1}.(d) = {( ) R2 : 42 + 2

9 1}.

(e) = {( ) R2 : 2 + 2 4}.(f) = {( ) R2 : 0}.

(g) = {( ) R

2

: 1 + 1}.(h) = {( ) R2 : 3 e 2} {( ) R2 : 3 e 2}.(i) = {( ) R2 : 1

1}.(j) = {( ) R2 : 1 2 + 2 4}.(k) = {( ) R2 : 6= (1) + }.(l) = {( ) R2 : (2 1) (2 1)1 0}.

2. Em cada caso fazemos = , constante, obtemos as curvas de nvel. Faa um

esboo de pelo menos duas curvas de nvel!

(a) 2 + 2 = , 0. (as curvas so circunferncias concntricas e a superfcie o paraboloide = 2 + 2)


32/120

(b) 2 + 2 =

, 0.

(c) 2 + 2 = 1

, 0.

(d) 2 + 2 = 1, 0.(e) + = . (as curvas so retas paralelas e a superfcie o plano + = 0)(f) = arcsen .(g) |||| = = (||). (por exemplo, quando = 0, obtemos = ||)(h) 2 + 2 = 8 .(i) 2 = (2 + 2).

(j) = .

(k) 2 + 2 = 9 2, || 3.

(l)2

4+

2

9= 1 2, || 1.

(m) | | = .(n) + 2 = .

(o) 2 = .

3. No ponto = (1 2) tem-se que = 0 e a curva de nvel por = 23. A reta

tangente tem equao = 6 4 ( = 0 = 6 a inclinao da reta) e sobre essareta = () = 43 + 12 8. Assim, quando , a funo tende para.

4. A origem = (0 0 0), a esfera 2 + 2 + 2 = 1 e a esfera 2 + 2 + 2 = 2,respectivamente.

5. O hiperboloide de uma folha 2 + 2 2 = 1.

6. Faa um esboo!

(a) = 3, representa o plano passando por = (0 0 3) e paralelo ao plano .

(b) = , representa o plano contendo a reta = .

(c) + + = 1.

(d) = sen , representa uma superfcie em forma de telha contendo a curva = sen , pois livre.

(e) = expp2 + 2.(f) = 3 2 2 2 + 2 = 3 ( 3), representa um paraboloide.(g) =

p2 2.

(h) =p

16 2 2.


33/120

(i) = (2 + 2)1

22.

(j) = 1 2.(k) = log

p2 + 2.

(l) = sen(2 + 2).

7. (a) planos, (b) elipsoides, (c) hiperboloides, (d) cilindros.

Seo 1.3

2 Alm dos caminhos cannicos como as retas, considere: = em (), 2 = 3 em(), = 2 em (), = 2 em () e = em ().

4 () 0, () 1, () 1, () 12, ()

4, () 2, () 0, () 0, () 3

q1 + 2

22

.

7 () Considere os caminhos = 0 e = , escolhendo adequado, () Idem.

8 () 0, () 0, () 38. A funo no tem limite em (0 0).

9 () Sim, () Sim, () No, () No.

10 A funo ( ) combinao de funes elementares sendo, portanto, contnuaem seu domnio.

(a) = {( ) R2 : 0 e 0} {( ) R2 : 0 e 0}.(b) = {( ) R2 : 6= 2}.(c) = {( ) R2 : 6= 1}.(d) = {( )

R

2 : ( ) 6= (0 0)}.

11 Note que a funo est definida em todo plano R2.

(a) descontnua nos pontos da reta = , exceto no ponto =12

12

.

(b) contnua em todos os pontos do R2.

(c) descontnua na origem.

(d) no tem ponto de descontinuidade, isto , ela contnua em todo R2.

(e) descontnua na origem;

(f) descontnua nos pontos da elipse 42 + 92 = 1.

(g) descontnua nos pontos da esfera 2 + 2 + 2 = 1


34/120

12 A funo descontnua em (0 0), pois o limite de ( ) na origem 0 e (0 0) = 1. Para remover essa descontinuidade basta redefinir na origem pondo

(0 0) = 0 A funo ( ) descontnua em (0 0), pois no tem limite nesseponto. Esse o caso de uma descontinuidade que no pode ser removida, ou seja,uma descontinuidade essencial.

13 Usando coordenadas polares e Regra de LHpital, obtemos

lim()(00)

( ) = lim0

sen 2

1 cos = lim02 cos 2

sen = lim

0

2cos 2 2 sen 2cos

= 2

Note que, sendo (0 0) = 0, a funo descontnua na origem. Essa descon-tinuidade pode ser removida redefinindo na origem por (0 0) = 2.

15 Sobre a continuidade de ( ). Fora da origem a funo uma combinaode funes elementares sendo, portanto, contnua. Na origem, com = 2 + 2,obtemos:

lim()(00)

( ) = lim0

1

exp

12

= 0 = (0 0) Logo, contnua em todo plano R2. Pondo = 1

, com 0, e pela Regra de

LHpital, obtemos

lim0

( 0)

= lim

exp(2) = lim

1

2 exp(2) = 0

Em que momento no clculo do limite acima foi utilizada a Regra de LHpital? Demodo inteiramente anlogo, obtemos

lim0

(0 )

= 0

16 () Ao longo das retas = , obtemos

lim0 () = lim0

3

2 + 33 = 0

() Ao longo da curva = 23 , aplique a Regra de LHpital e mostre que olimite no 0.

18 Usando coordenadas polares e a Regra de LHpital, obtemos:

lim()(00)

2 + 2

log

p2 + 2 = lim

0

2 log

= lim

0

log 12

= 0

Em que momento no clculo do limite acima foi utilizada a Regra de LHpital?


35/120

Captulo 2

Diferenciabilidade

Situando a TemticaNeste Captulo vamos nos dedicar ao estudo das derivadas parciais de uma funo real

de vrias variveis reais, isto , quando fixamos todas as variveis independentes, excetouma, e derivamos em relao a essa varivel, obtemos uma derivada parcial semelhantequela do curso de Clculo Diferencial e Integral I.

Finalizamos com uma estimativa da variao do valor de uma funo quando nosmovemos uma pequena distncia a partir de um ponto fixo na direo de um vetor unitrio.

Problematizando a TemticaSuponhamos que voc esteja com uma situao prtica (por exemplo, um mapa car-

togrfico) na qual resultou a funo : R2 R definida por

( ) =

(1

2+2 se ( ) 6= (0 0)

0 se ( ) = (0 0)

Determine as direes nas quais cresce (decresce) mais rapidamente no ponto = (1 2),e quais so as taxas de variao nessas direes? Este e outros tipos de problemas queocorrem em nosso dia-a-dia vamos modelar e resolver nesta unidade.

Conhecendo a Temtica

2.1 Derivadas Parciais

Sejam : R2 R uma funo e = ( ) fixado, com um conjuntoaberto. Se fixarmos uma varivel, digamos = , obtemos uma funo real = ( )de uma nica varivel real. Portanto, sua derivada dada por

= lim0

( + ) ( )

31


36/120

quando esse limite existe. O nmero real chama-se derivada parcial de em relao a no ponto = ( ) e denotaremos por

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ou 1( )

A Figura 2.1 expe graficamente a definio de derivada parcial de em relao a noponto = ( ), ou seja, ( ) a inclinao da reta tangente curva de interseoda superfcie = ( ) e o plano = .

Figura 2.1: Viso geomtrica da derivada parcial.

Observao 2.1 Como um conjunto aberto temos, para um = ( ) fixado,que existe um 0 tal que se 0 || , ento = ( + ) . Portanto, ()est definido para cada ( ).

Exemplo 2.2 Seja : R2 R a funo definida por ( ) = 32 + 5 42. Deter-mine ( ) e ( ) no ponto = (1 3).

Soluo. Para obtermos ( ), tratamos a varivel momentaneamente como umaconstante e derivamos em relao varivel usando as tcnicas de derivao para funes

reais de uma varivel real. Assim,

( ) = 6 + 5

Em seguida avaliamos a derivada no ponto desejado, ou seja,

(1 3) = 6 1 + 5 3 = 21

De modo semelhante, obtemos ( ) = 5 8 e (1 3) = 19.

Exemplo 2.3 Seja : R2 R a funo definida por ( ) = 32 53 sen().


37/120

1. Determine (1 0).

2. Determine a inclinao da reta tangente curva de interseo da superfcie =

32 53 sen() com o plano = 0 no ponto = (1 0 3).

Soluo. (1) Pelo Exemplo ,2.2, obtemos

( ) = 6 53 cos() e (1 0) = 6 1 5 0 0 cos(0) = 6

(2) Pelo item (1) a inclinao da reta tangente igual a = (1 0) = 6. Neste caso, aequao da reta tangente = 6 6.

De modo inteiramente anlogo, definiremos a derivada parcial de em relao a noponto = ( ). Note que as derivadas parciais de segunda ordem, terceira ordem, etc.so definidas de modo similar ao caso de uma funo real de uma varivel real.

de grande importncia econmica observar que se a funo : R2 Rsatisfaz a seguinte propriedade:

( ) = ( ) ou ( ) = ( )

para todo ( )

. Se este o caso, basta calcular uma derivada parcial, por exemplo,

( ) e fazer( ) = ( ) quando ( ) = ( )

ou

(( ) = ( )) quando ( ) = ( )

Exemplo 2.4 Seja : R2 R a funo definida por( ) = 33+cos(). Determine, , e .

Soluo. Observe que ( ) = ( ). Assim, basta determinar ( ) e fazer( ) = ( ). Como

( ) = 323 sen()

temos que

( ) = ( ) = 332 sen()

Assim,

= 63 2 cos() e = 922 sen() cos()

e

= 922 sen() cos() e = 63 2 cos()

Note que = , mas isto nem sempre verdade, confira Exemplo 2.6 abaixo.


38/120


( ) =( 2+2 se ( ) 6= (0 0)

0 se ( ) = (0 0)

Determine(0 0) e (0 0).

Soluo. Observe que ( ) = ( ). Assim, basta determinar (0 0). Logo,

(0 0) lim0

( 0) (0 0)

= lim0

0

= lim

0(0) = 0 e (0 0) = 0

Portanto, as derivadas parciais de no ponto = (0 0) existem. No entanto, peloExemplo 1.18 da Seo 13 do Captulo 1, no contnua no ponto = (0 0), ou seja,o fato de as derivadas parciais existirem no implicam na continuidade de .


( ) =

((22)2+2

se ( ) 6= (0 0)

0 se ( ) = (0 0)

1. Determine e .

2. Calcule (0 0) e (0 0).

Soluo. (1) Observe que ( ) = ( ). Assim, basta determinar ( ) e fazer( ) = ( ). Como a funo definida por duas sentenas vamos dividir a provaem dois passos:

1 Passo. Se ( ) 6= (0 0), ento

( )) =

2 22 + 2

+422

(2 + 2)2

2 Passo. Se ( ) = (0 0), ento devemos usar a definio da derivada parcial para

calcular (0 0).(0 0) = lim

0

( 0) (0 0)

= lim0

0

= 0

Portanto,

( ) =

(222+2

+ 422

(2+2)2

se ( ) 6= (0 0)

0 se ( ) = (0 0)

e

( ) = ( ) =(

222+2

+ 422

(2+2)2

se ( ) 6= (0 0)

0 se ( ) = (0 0)

(2) Para calcalar (0 0) e (0 0), devemos usar a definio da derivada parcialsegunda

(0 0) =

(0 0) = lim0

(0 ) (0 0)

= lim0

3

3= 1


39/120

e

(0 0) =

(0 0) = lim0

( 0) (0 0)

= lim0

3

3= 1

Note que (0 0) 6= (0 0).

Agora, apresentaremos um resultado muito importante no estudo de derivadas parciais,o qual provado em um curso mais avanado:

Sejam : R2 R uma funo contnua e = ( ) fixado.Se , e so contnuas em uma vizinhana de , (), ento

( ) = ( ).


( ) =

(2 + 2)sen

1

2+2

se ( ) 6= (0 0)

0 se ( ) = (0 0)

1. Determine e .

2. Verifique se e so contnuas em = (0 0).

3. Verifique se (0 0) = (0 0).

Soluo. (1) Observe que ( ) = ( ). Assim, basta determinar ( ) e fazer( ) = ( ). Como a funo definida por duas sentenas vamos dividir a provaem dois passos:

1 Passo. Se ( ) 6= (0 0), ento

( )) = 2 sen

1

p2 + 2

!

p2 + 2

cos

1

p2 + 2

!

2 Passo. Se ( ) = (0 0), ento devemos usar a definio da derivada parcial paracalcular (0 0).

(0 0) = lim0

( 0) (0 0)

= lim0

2

sen

1

||

= lim

0 sen

1

||

= 0

pois

sen

1

||

1

limitada. Portanto,

( ) =

2 sen

1

2+2

2+2cos

1

2+2

se ( ) 6= (0 0)

0 se ( ) = (0 0)


40/120

e

( ) =

2 sen

1

2+2

2+2cos

1

2+2 se ( ) 6= (0 0)

0 se ( ) = (0 0)

(2) Para saber se contnua em = (0 0) devemos verificar cada uma das condiesda definio de continuidade de em um ponto . Como o domnio de todo R2

temos que (0 0) existe e (0 0) = 0. Ao longo da sequncia = 1 0 e = 0, onde N, obtemos

lim()(00)

( ) = lim

( cos()) = (1)

Assim, lim()(00) ( ) no existe, pois depende do nmero ser par ou mpar.

Portanto, no contnua no ponto = (0 0). De modo inteiramente anlogo, prova-seque no contnua no ponto = (0 0). Note que e so contnua em R2{(0 0)}.(3) fcil verificar que (0 0) = 0 = (0 0). Portanto, a recproca do resultado

acima falsa.

EXERCCIOS

1. Em cada caso calcule as derivadas parciais , , , e :

() = 32 + 3 () = exp(2 + 2) () =p

2 + 2 + 1

() = arctg

() = sen () + log (2) () = arccos()

2. Em cada caso calcule a derivada parcial indicada da funo = ( ).

() = arcsen ( ) ;

1 12

() =

p2 + 2; (1 0) e (1 0)

() = exp()sec

; (0 1) () = log

; (1 1)


( ) =

exp

1

2 + 2

se ( ) 6= (0 0)

0 se ( ) = (0 0)

Determine, caso existam, as derivadas parciais (0 0), (0 0), (0 0) e (0 0).


( ) =

((22)2+2

se ( ) 6= (0 0)

0 se ( ) = (0 0)

Verifique a continuidade das derivadas parciais e na origem.


41/120

5. Seja : R2 R a funo definida por ( ) = 2 + 3. Se = (2 + 2 ),determine

() e

[()]

6. Mostre que a funo

=2

2 + 2

satisfaz equao diferencial + =

7. Verifique que a funo

( ) =1

exp

2

4 com 0 e uma constante no nula, satisfaz a equao de transmisso de calor

= 0

8. O operador de Laplace em R2 definido por

= +

Mostre que as funes

( ) = arctan() e ( ) =

cos

satisfazem a equao de Laplace = 0. Pierre Simon de Laplace (1749-1827),

matemtico francs.

9. Determine condies sobre as constantes , , , , e para que a funo

( ) = 2 + + 2 + + +

satisfaa equao de Laplace.

10. Sejam ( ) e ( ) duas funes com derivadas parciais contnuas at a segundaordem e satisfazem s equaes de Cauchy-Riemann = e = . Mostreque e satisfazem equao de Laplace. Augustin Louis Cauchy (1789-1857),matemtico francs e Bernhard Riemann (1826-1866), matemtico alemo.

2.2 Diferenciabilidade

J vimos, no Clculo Diferencial e Integral I, que uma funo real de uma varivel real :

R

R diferencivel em um ponto

, com um intervalo aberto, se existir

uma reta passando pelo ponto ( ()), cuja equao cartesiana () = ()+(),tal que

lim

() () = 0


42/120

Note que

lim

() ()

= 0

lim

() () ( )

= 0

lim

() () =

0() =

Portanto, na reta diferenciabilidade equivalente a ser derivvel.

Observao 2.8 Como um intervalo aberto temos, para um fixado, que existe 0 tal que se 0 || , ento + e ( + ) est definida em ( ).Assim, pondo = , obtemos

0

() = lim

()

()

0

() = lim0

( + )

()

lim0

( + ) () 0()

= 0

Logo,

( + ) = () + 0() + () com lim0

()

= 0

Portanto, fcil verificar que a funo : R R definida por () = 0() linear.Neste caso, aproximada em um vizinhana de por

() = () + () = () + 0

()

Alm disso, seja

() =( + ) ()

0()

Ento no est definida em = 0, mas lim0 () = 0. Assim, podemos escrever

( + ) () = 0() + () (2.1)

para todo 6= 0. Logo, se definirmos (0) = 0, ento a equao (2.1) vlida para

todo e, mais, podemos substituir por

, quando substitumos por

. Portanto,

conclumos que: se diferencivel em um ponto , ento existe uma funo tal que

( + ) () = 0() + || () com lim0

() = 0

Note que () uma funo contnua e se 6= 0, ento

() =()

||

Veremos agora que o conceito de diferenciabilidade pode ser estendido de modo inteira-

mente anlogo a uma funo real de duas ou mais variveis reais. No entanto, no podemosformar o quociente de Newton. Sire Issac Newton (1642-1727), fsico e matemtico ingls.

(a + h) (a)h


43/120

quando h um vetor, ou seja, um ponto em R2. Mas a Observao 2.8 sugere um modode no envolvermos a diviso por h.

Sejam : R

2

R

uma funo e = ( ) fixado, com um conjuntoaberto. Diremos que diferencivel no ponto se existir um plano passando por ,cuja equao cartesiana

( ) = ( ) + ( ) + ( )tal que

lim()()

( ) ( )| | = 0

onde = ( ) e = = ( ) um vetor em R2.

Um modo alternativo de definirmos diferenciabilidade de em um ponto oseguinte: diremos que diferencivel no ponto se existirem funes 1 2 : R2 R contnuas em tais que

() () = 1()( ) + 2()( )para todo = ( ) . Isto significa que o acrscimo = ( ) ( ) de uma combinao linear dos acrscimos = ( ) e = ( ) das variveis e ,com coeficientes quase lineares em uma vizinhana de . Observe que como 1 e 2 socontnuas em temos que dado 0, existe em correspondncia um 0, tal que

= ( ) () |1() 1()| 2 e |2() 2()| 2

Logo, pela desigualdade triangular, obtemos

|() ()| |1() 1()| | | + |2() 2()| | | | | Assim,

|() ()|| |

Portanto, conclumos que as duas definies so equivalentes. Isto significa geometri-camente que: diferencivel no ponto = ( ), quando uma pequena poro da

superfcie = ( ), em volta do ponto (( )), quase plana.Finalmente, note que se fizermos as substituies = e = , ento obtemos

| | =

2 + 2 e( )

2 + 2=

( + + ) ( + + )2 + 2

com

( ) = ( + + ) ( + + )O valor ( ) chama-se erro real ou o resto. Para a maioria das funes encontradas

nas aplicaes prticas do clculo, essa aproximao linear oferece uma boa precio,

isto , |( )| muito pequeno quando e so suficientemente pequenos, de modoque o ponto = ( + + ) esteja dentro de . Mais precisamente, como um

conjunto aberto temos, para um = ( ) fixado, que existe 0 tal que se0

2 + 2 , ento e ( + + ) est definida em ( ) ().


44/120

Observao 2.9 Sejam : R2 R uma funo e = ( ) fixado, com um conjunto aberto. Diremos diferencivel em se diferencivel em todos ospontos de

.

Exemplo 2.10 Seja : R2 R a funo definida por ( ) = 22 + 3. Mostre que diferencivel em = (3 2).

Soluo. Como

( ) () = 22 + 3 26 = 2(2 9) + (3 8) = 1( )( 3) + 2( )( 2)

temos que diferencivel em , pois 1( ) = 2( + 3) e 2( ) = 2 + 2 + 4 sofunes contnuas em .

Teorema 2.11 Sejam : R2 R uma funo e = ( ) fixado, com umconjunto aberto. Se diferencivel no ponto , ento contnua no ponto .

Prova. Suponhamos que seja diferencivel no ponto . Ento, por definio, existemconstantes reais e tais que

lim()()

( ) ( ) ( ) ( )| | = 0

Pondo =

e =

, obtemos

lim()(00)

( )2 + 2

= lim()(00)

( + + ) ( ) 2 + 2

= 0

Logo,

lim()(00)

(( + + ) ( )) = lim()(00)

( + + ( )) = 0

pois

lim()(00)

( ) = lim()(00)

( )2 + 2

2 + 2 = 0 e

( )2 + 2

com 0 uma constante real ou, equivalentemente,

lim()(00)

( + + ) = ( )

Portanto,lim

()()( ) = ( )

isto , contnua no ponto .

Teorema 2.12 Sejam :

R

2

R uma funo e = ( )

fixado, com um

conjunto aberto. Se diferencivel no ponto , ento ( ) e( ) existem. Nestecaso, a equao cartesiana do plano passando por dada por

= ( ) + ( )( ) + ( )( )


45/120

Prova. Suponhamos que seja diferencivel no ponto . Ento o limite

lim()(00)

( + + ) ( ) 2 + 2

= 0

no depende do caminho. Assim, ao longo do caminho que liga os pontos ( ) e (+ ),obtemos

lim0

( + ) ( )

= 0 lim0

( + ) ( )

=

Portanto, ( ) existe e ( ) = . De modo inteiramente anlogo, prova-se que

( ) existe e ( ) = .

Observao 2.13 Sejam : R2

R uma funo e = ( ) fixado, com um conjunto aberto.

1. Se no contnua no ponto , ento no diferencivel no ponto . (Teorema

211)

2. Se uma das derivadas parciais de no existir no ponto , ento no diferen-

civel no ponto .

3. Para provar que diferencivel no ponto , suficiente provar que possui

derivadas parciais no ponto e que

lim()(00)

( )2 + 2

= 0

ou lim

()(00)( ) = 0

Exemplo 2.14 Seja : R2 R a funo definida por ( ) = 2 + 2. Mostre que diferencivel em todo R2.

Soluo. fcil verificar que ( ) = 2 e ( ) = 2, isto , as derivadas parciaisexistem em todo R2. Dado = ( )

R

2, obtemos ( ) = 2, ( ) = 2 e

( )2 + 2

=( + )2 + ( + )2 ( ) 2 2

2 + 2=

2 + 2

Logo,

lim()(00)

( )2 + 2

= lim()(00)

2 + 2 = 0

Portanto, diferencivel em todo R2.


( ) =

(2

4+2 se ( ) 6= (0 0)

0 se ( ) = (0 0)

Verifique se diferencivel no ponto = (0 0).


46/120

Soluo. Vamos primeiro verificar a continuidade de no ponto = (0 0). Como odomnio de todo R2 temos que (0 0) existe e (0 0) = 0. Ao longo do caminho

=

2

, com 6= 0, obtemos

lim()(00)

2

4 + 2= lim

0

4

4(1 + 2)= lim

0

1 + 2=

1 + 2

Assim, lim()(00) ( ) no existe. Portanto, no contnua no ponto = (0 0).Logo, pelo item (1) da Observao 2.13, no diferencivel no ponto = (0 0). Noteque diferencivel em R2 {(0 0)}.

Exemplo 2.16 Seja : R2 R a funo definida por ( ) = 3.

1. Calcule (0 0) e (0 0).

2. Verifique se diferencivel no ponto = (0 0).

Soluo. (1) Para calcalar (0 0) e (0 0), devemos usar a definio de derivada parcial.

(0 0) = lim0

( 0) (0 0)

= 0 e (0 0) = lim0

(0 ) (0 0)

= 0

(2) Como (0 0) e (0 0) existem basta verificar que

lim()(00)

( )2 + 2

= 0

Sendo

( ) = ( ) ( ) = 3

e( )

2 + 2=

3

2 + 2

temos, ao longo do caminho = 2 com 6= 0, que

lim()(00)

( )2 + 2

= lim0

332 + 24

= lim0

31 + 22

= 3

6= 0

Portanto, pelo item (3) da Observao 2.13, no diferencivel em = (0 0).

Sejam : R2 R uma funo diferencivel no ponto = ( ) , com um conjunto aberto, a expresso

= () + () =

() +

()

chama-se a diferencial de no ponto .

Exemplo 2.17 Calcule o valor aproximado de tan[201 log(099)].


47/120

Soluo. Para resolver este problema devemos determinar ( + + ), quando

( ) = tan( log ) e + = 201 + = 099

Consegue-se isto pondo = 2, = 001, = 1 e = 001. Como e so pequenostemos que

( + + ) ( ) + com = e = . Assim, basta calcular (2 1), (2 1) e (2 1). Por derivaodireta, obtemos

( ) = sec2( log )log e ( ) = sec2( log )

Logo, (2 1) = 0, (2 1) = 0 e (2 1) = 2. Assim,

= (2 1) + (2 1) = 2 (001) = 002Portanto,

tan[201 log(099)] 002 = 02 101Note que

=20204 102 (02 101)

20204 102 10097 102

que o valor desejado.

Observao 2.18 Sejam : R2 R uma funo e = ( ) fixado, com um conjunto aberto. Como

= ( + + ) ( ) e = ( ) + ( )com = = e = = , temos que

( ) = ( + + ) ( + + ) = Logo,

( )2 + 2

= 2 + 2

Assim, diferencivel em se

= + ( )

Nesse caso, fcil verificar que a funo : R2 R definida por( ) = ( ) +( ) linear. Portanto, quando nos movemos do ponto = ( ) para um ponto

prximo, obtemos as seguintes variaes:

Real Estimada Erro Variao absoluta Variao relativa

()

()()

Variao percentual ()

100 ()

100 ()

100


48/120

Finalmente, note que a diferena entre o valor exato e o valor aproximado chamada o erro absoluto de e o quociente

chamado o erro relativo de.

Teorema 2.19 (Lema Fundamental) Sejam : R2 R uma funo e =( ) fixado, com um conjunto aberto. Se possui derivadas parciais contnuasno ponto , ento diferencivel no ponto .


( ) =

(22

2+2 se ( ) 6= (0 0)

0 se ( ) = (0 0)

Verifique se diferencivel no ponto = (0 0).

Soluo. Pelo Lema Fundamental basta verificar se as derivadas parciais ( ) e( ) so contnuas no ponto = (0 0). Observe que ( ) = ( ). Como afuno definida por duas sentenas vamos dividir a prova em dois passos:

1 Passo. Se ( ) 6= (0 0), ento

( ) =24

(2 + 2)2

2 Passo. Se ( ) = (0 0), ento devemos usar a definio da derivada parcial paracalcular (0 0).

(0 0) = lim0

( 0) (0 0)

= lim0

0

= 0

Assim,

( ) =( 2

4

(2+2)2 se ( ) 6= (0 0)

0 se ( ) = (0 0)

e

( ) = ( ) =

(24

(2+2)2 se ( ) 6= (0 0)

0 se ( ) = (0 0)

Agora, fcil verificar que ( ) e ( ) so contnuas no ponto = (0 0). Portanto, diferencivel no ponto = (0 0).


49/120

EXERCCIOS


( ) =

32

2 + 2 se ( ) 6= (0 0)

0 se ( ) = (0 0)

(a) Mostre que contnua na origem (0 0).

(b) Mostre que as derivadas parciais e existem em todo R2, mas no socontnuas em (0 0).

(c) Mostre que no diferencivel na origem (0 0). Por que isso no contradizo Teorema 2.19 (Lema Fundamental)?

2. Mostre que a funo

( ) =

(332+2

se ( ) 6= (0 0)

0 se ( ) = (0 0)

no diferencivel em = (0 0).

3. Falso ou verdadeiro? Justifique

(a) Se diferencivel em , ento as derivadas parciais e existem em .

(b) Toda funo diferencivel contnua.

(c) Toda funo contnua diferencivel.

(d) Se = ( ) tem derivadas parciais e no ponto , ento contnua

em .

(e) Se uma funo = ( ) tem derivadas parciais e contnuas, ento diferencivel.

(f) Toda funo diferencivel possui derivadas parcias de primeira ordem con-tnuas.

(g) Se as derivadas parciais e existem em , ento diferencivel em

4. Use o Lema Fundamental e mostre que a funo = ( ) diferencivel no

domnio indicado.

() = 24; = R2 () = log (2 + 2) ; = R2 {(0 0)}() =

2 + 2; = R2 (0 0) () = exp()

; = {( ) R2 : 6= }


50/120

5. Verifique que a funo : R2 R definida por

( ) = (

2

+

2

)sen 1p

2 + 2!

se ( ) 6= (0 0)0 se ( ) = (0 0)

diferencivel na origem, embora as derivadas parciais e sejam descontnuas.

6. Estude a diferenciabilidade da funo = ( ) no ponto indicado:

() = exp() ; = (1 0) () =p

2 + 2; = (0 0)

() = |2| ; = (0 1) () =p

|| (1 + 2); = ( )

() =p

|| cos ; = (0 0) () =

3

2

+

2 se ( ) 6= (0 0)

0se ( ) = (0 0); = (1 2)

() =p

||; = (0 0) () =

1

se 6= 0 e 6= 0

0se = 0 ou = 0 = (0 0)

7. Calcule a diferencial das funes seguintes:

() ( ) = 53 + 42

23 () ( ) = sen

1 + 2

() () = () ( ) = arctan


() =

2 + 2 + 2 se () 6= (0 0 0)

0 se () = (0 0 0)

Mostre que as derivadas parciais e embora existam na origem, a funo no diferencivel em (0 0 0)

2.3 Regra da Cadeia

Nesta seo apresentaremos algumas verses da Regra da Cadeia aplicadas s derivadasparciais.

Sejam : R R e : R R duas funes reais de uma varivel real, onde() , tais que = () e = (), ento a funo composta dada por

= (

)() = (())

Assim, se e so derivveis, ento

=


51/120

Agora, sejam : R2 R uma funo, com um conjunto aberto, = () e = (). Se = ( ) diferencivel, e so derivveis, ento

=

+

ou 0() = 0() + 0()

Note que esse resultado obtido dividindo a diferencial de por . Alm disso, umdipositivo prtico para memorizar a Regra da Cadeia ou Regra da Derivao em Cadeia dado no diagrama em rvore, conforme a Figura 2.2.

Figura 2.2: Diagrama em rvore.

Alternativamente, na forma matricial

=h

i"

#

Exemplo 2.21 Seja : R2 R a funo definida por ( ) = 2 2. Se = 11+

e

= 1+

, para todo R {1}, ento determine

.

Soluo. Pela Regra da Cadeia basta determinar , , 0() e 0(). Como

= 2 = 2 0() = 1(1 + )2

e 0() =1

(1 + )2

temos que

=

2

1 +

1

(1 + )2

+

2

1 +

1

(1 + )2

= 2

( + 1)2


Mais geralmente, sejam : R2 R e : R2 R funes, com e conjuntos abertos, = ( ) e = ( ). Se = ( ), = ( ) e = ( ) sodiferenciveis, ento

=

+

e

=

+


52/120

Novamente, um dipositivo prtico para memorizar essa Regra da Cadeia dado no dia-grama em rvore, conforme a Figura 2.3.

Figura 2.3: Diagrama em rvore.

Alternativamente, na forma matricial

h

i=h

i

"

#

Exemplo 2.22 Seja : R2

R a funo definida por ( ) = 2 + 3. Se = ( ),

= 3 e = + 2, ento determine

e

.

Soluo. Como = 2, = 3, = 1, = 32, = 1 e = 2 temos que

= 6 + 32 = 32 + 12 + 18 + 122 6

e

= + 62 = 62 + 24 3 + 242 +


EXERCCIOS

1. Sejam

( ) =Z

log(1 + (sen )2) e ( ) =Z2

exp(cos )

Use o Teorema Fundamental do Clculo e a Regra da Cadeia para calcular asderivadas parciais e .


53/120

2. Seja

( ) = sen

+ log

Mostre que + = 0.

3. Seja : R2 {(0 0)} R a funo definida por

( ) =| + |

+ =

p2 + 2 + 2

+

Verifique que e so identicamente nulas em , mas no constante.

4. Seja : R R uma funo real de uma varivel derivvel qualquer. Mostre que asfunes

( ) = ( ) e ( ) = ()satisfazem s relaes:

+ = 0 e = 0

5. Calcule

nos seguintes casos:

() = + ; = e = sen () =

p2 + 2; = 3

e = cos

() = log (1 + 2 + 2) ; = log e = () = 2 + 2 + 3; = 2 = e = 3

6. Calcule

e

nos seguintes casos:

() = 2 + 3; = 3 e = + 2 () = 3 + 7; = 2

e =

() = log (2 + 2) ; = 3 + 2 e = 3 () = cos(+ ) ;

= + e =

7. Considere a funo( ) =

Z

exp

2

Calcule as derivadas parciais , e , no caso em que = 4 e = 4.

8. Sejam = +j o vetor posio do ponto = ( ) e =

. Se : R R

uma funo real de uma varivel real duas vzes derivvel e = (), mostre que

= +1

9. Considere duas funes reais : R R e : R2 R e sejam = () e = ( ).Admitindo a existncia das derivadas envolvidas, deduza que

= 00 ()

2 + 2

+ 0 ()


54/120

10. Uma funo : R2 R chama-se homognea de grau quando

() = ( )

+ e

( )

Mostre que qualquer funo homognea satisfaz Relao de Euler. LeonhardEuler (1707-1783), matemtico suio.

( ) + ( ) = ( ) em

Verifique que as funes

= 2 + 2 e =2 3 + 2

p22 + 32so homogneas.

11. Com as hipteses do Exerccio 10 da Seo 21 e admitindo que = cos e

= sen , deduza as relaes:

=

1

e

= 1

12. Sejam ( ) uma funo diferencivel e = ( ). Mostre que + =0.

13. Sejam e funes reais derivveis e suponhamos que 0 (1) = 4.

(a) Se

( ) =

2 + 2

mostre que

( ) + ( ) = 2( )

(b) Se

( ) =

calcule (1 1) e (1 1).

2.4 Derivada Direcional e Gradiente

Nesta seo vamos estender a noo de derivadas parciais a outras direes que no

sejam retas paralelas ao eixos.Sejam : R2 R uma funo, com um conjunto aberto, = ( ) , e

u = (cos sen ) = cos i + sen j R2


55/120

um vetor unitrio, para todo R. A derivada direcional de no ponto , na direodo vetor u, definida como

lim0

( + u) ()

= lim0

( + cos + sen ) ( )

quando esse limite existe e denotaremos por

u( )

u ou

u

Note que o ngulo entre o vetor u e o eixo dos .

Observao 2.23 Observe que quando u = (1 0) = i, obtemos

u( ) = lim

0

( + ) ( )

=

( )

Que a derivada parcial de em relao a . De modo inteiramente anlogo, quando

u = (0 1) = j, obtemos a derivada parcial de em relao a .

Exemplo 2.24 Seja : R2 R a funo definida por ( ) = exp(). Determinea derivada direcional de no ponto = (0 0) na direo do vetor v = (4 3) = 4i + 3j.

Soluo. Para resolver este problema devemos primeiro verificar se o vetor v unitrio.Como

|v| =

42 + 32 = 5

temos que ele no um vetor unitrio. Assim, devemos obter a normalizao do vetor v,isto ,

u =1

|v|v =

4

5i +

3

5j

um vetor unitrio com a mesma direo e sentido do vetor v. Portanto,

u(0 0) = lim

0

45

35

(0 0)

= lim0

3

5exp

12

252

=3

5

Note que o sinal positivo significa que cresce na direo considerada.


( ) =(

36+2

se ( ) 6= (0 0)

0 se ( ) = (0 0)

Determine a derivada direcional de no ponto = (0 0) na direo de qualquer vetor

unitrio u.


56/120

Soluo. Seja u = (cos sen ) R2, onde R, um vetor unitrio qualquer. Ento

u(0 0) = lim

0

( cos sen )

= lim

0

4 cos2 sen

7 cos6 + 3 sen2 = lim

0

cos2 sen

4 cos6 + sen2 = 0

Portanto, todas as derivadas direcionais de no ponto = (0 0) existem. No entanto,

no contnua no ponto = (0 0), pois ao longo do caminho = 3, com 6= 0,obtemos

lim()(00)

3

6 + 2= lim

0

6

6(1 + 2)= lim

0

1 + 2=

1 + 2

Portanto, o limite depende de , ou seja, no existe.

Exemplo 2.26 Seja : R2

R a funo definida por

( ) =

(

2+2se ( ) 6= (0 0)

0 se ( ) = (0 0)

Determine a derivada direcional de ponto = (0 0) na direo de qualquer vetor

unitrio u que no seja paralelo ao eixos.

Soluo. Seja u = (cos sen ) R2 um vetor unitrio, com cos 6= 0 e sen 6= 0. Ento

u(0 0) = lim0

( cos sen )

= lim0

2 cos sen2

= lim0

cos sen

no existe. Portanto, a derivada direcional de no ponto = (0 0) na direo do vetor

u no existe. No entanto, as derivadas parciais de no ponto = (0 0) existem.

Teorema 2.27 Sejam : R2 R uma funo e = ( ) fixado, com umconjunto aberto. Se diferencivel no ponto , ento possui derivada direcional no

ponto na direo de qualquer vetor unitrio u = (cos sen ) R2. Neste caso,

u( ) =

( )cos +

( )sen

Prova. Suponhamos que seja diferencivel no ponto . Ento

lim0

(u) = lim0

( cos sen ) = 0

Como

( + u) = () +

( ) ( cos ) +

( ) ( sen ) + || (u)

temos quelim0

( + u) ()

=

( )cos +

( )sen

Portanto, a derivada direcional de no ponto = ( ) na direo do vetor u existe.


57/120

Note, pelo Teorema 2.27, que

u=

i +

j u (o produto escalar)

O gradiente de , em smbolos ou grad(), o vetor

=

i +

j

Como u um vetor unitrio temos que

u= u = || cos

com o ngulo entre os vetores e u, ou seja, a derivada direcional de no ponto simplesmente a componente do vetor gradiente na direo do vetor unitrio u. Portanto,se : R2 R uma funo diferencivel no ponto = ( ) , ento:

1. O mximo de u

no ponto igual a |()|.

2. O mnimo de u

no ponto igual a |()|,

pois 1 cos 1. Assim, o mximo (o mnimo) da taxa de variao de ( ) no

ponto = ( ), ocorre quando o vetor u tem a direo e o sentido do vetor ()(()), isto ,u =

1

|()|()

Neste caso, o gradiente de aponta na direo em que a funo cresce (decresce) maisrapidamente. Portanto, conclumos que:

1. O gradiente aponta para uma direo segundo a qual a funo crescente.

2. Dentre todas as direes ao longo das quais a funo cresce, a direo do gradiente

a de crescimento mais rpido.

Exemplo 2.28 Seja : R3 R a funo definida por () = 22 + 32 + 2.Determine a derivada direcional de no ponto = (2 1 3) e na direo do vetor v =

(1 0 2) = i 2k.

Soluo. Para resolver este problema devemos primeiro verificar se o vetor v unitrio.Como

|v| = p12 + (2)2 =

5

temos que ele no um vetor unitrio. Assim, devemos obter a normalizao do vetor v,

isto ,

u =1

|v|v =

15

i 25

k


58/120

um vetor unitrio com a mesma direo e sentido do vetor v. Como = (4 6 2)temos que () = (8 6 6) = 8i + 6j + 6k Portanto,

u

() = () u = 45

Note que o sinal negativo significa que decresce na direo considerada.


() =

(1

2+2+2 se () 6= (0 0 0)

0 se () = (0 0 0)

Determine o valor mximo da derivada direcional de no ponto = (1 2 3).Soluo. Pelo exposto acima, basta determinar a norma do vetor gradiente de no ponto. Como

=2

(2 + 2 + 2)2 =

2

(2 + 2 + 2)2e =

2

(2 + 2 + 2)2

temos que

(1 2 3) =2

142 (1 2 3) =4

142 e (1 2 3) = 6

142

Portanto, o valor mximo da derivada direcional de em = (1 2 3) igual a

|()| =q

()2 + ()2 + ()2 =

56

142


Sejam : R2 R uma funo, com um conjunto aberto, = () e = ().Suponhamos que = ( ) seja diferencivel no ponto = ( )

, e sejam

derivveis em algum intervalo aberto . Ento, pela Regra da Cadeia, obtemos

(()) =

+

= (()) 0()

com

0() = (0() 0()) = 0()i + 0()j

Agora, consideremos uma curva de nvel da funo contida em , isto ,

= {( )

: ( ) = }

Ento, dado () na curva , obtemos

() = (()) = (() ()) = R


59/120

Assim,

0 = 0() =

(()) = (()) 0() R

Portanto, se o vetor () 6= 0, para todo R, ento o vetor (()) 6= 0 perpendi-cular curva de nvel , pois a derivada direcional de no ponto na direo do vetorunitrio

u =1

|()|()

sempre tangente curva . Por essa razo, o plano tangente a uma superfcie , tendoequao cartesiana () = 0, no ponto = () , o plano que passa noponto tendo o gradiente () como vetor normal ou o vetor normal unitrio

n =1

|()|() ou n =

1

|()|()

a superfcie em , isto , se = () um ponto qualquer desse plano, ento

() = 0 ou ()( ) + ()( ) + ()( ) = 0

Neste caso, a reta normal superfcie no ponto = () a reta paralela aovetor (), isto ,

= () Rcom um ponto qualquer da reta ou, equivalentemente,

()

=

()=

()

Exemplo 2.30 Determine o plano tangente e a reta normal superfcie , dada pelaequao cartesiana 2 + 2 + 32 5 = 0, no ponto = (1 1 1).

Soluo. Seja () = 2+2+325. Ento, pelo exposto acima, basta determinaro vetor gradiente de no ponto . Como () = 2, () = 2 e () = 6 (() =(2 2 6)) temos que

2( 1) + 2( 1) + 6( 1) = 0 ou 2 + 2 + 6 10 = 0Neste caso, a reta normal superfcie no ponto = (1 1 1) dada por

= 1 + 2

= 1 + 2

= 1 + 6 Rou

12

= 1

2=

16


Exemplo 2.31 Sejam :

R2

R uma funo e = ( )

fixado, com um

conjunto aberto. Mostre que se diferencivel no ponto e a superfcie dada pelogrfico de , ento o plano tangente a no ponto = (( )) dado por

( ) = ( )( ) + ( )( )


60/120

Soluo. Seja () = ( ). Ento o resultado segue do Exemplo 2.30.

Exemplo 2.32 Determine a reta tangente e a reta normal curva , dada pela equaocartesiana 2 + 2 7 = 0, no ponto = (1 2).

Soluo. Seja ( ) = 2 + 2 7. Ento () = 4 e () = 5 (() =(4 5)). Logo,

4( + 1) + 5( 2) = 0 ou 4 + 5 14 = 0

a reta tangente curva no ponto = (1 2). Neste caso, a reta normal curva no ponto = (1 2) dada por 5 + 4 3 = 0.

Exemplo 2.33 Determine a reta tangente curva obtida pela interseo de duas su-perfcies da implicitamente pelas equaes () = 0 e () = 0 no ponto .

Soluo. Para resolver este problema basta determinar a direo u = () ()no ponto = () e fazer = v, R, com um ponto desta reta ou,equivalentemente,

= () Rcom um ponto qualquer da reta ou, equivalentemente,

=

=


Seja : R2 R uma funo diferencivel, com um conjunto aberto. Aestimativa da variao do valor de quando nos movemos uma pequena distncia apartir de um ponto = ( ) na direo do vetor unitrio u dada por

= (() u) ou u = () u = u ()

Note que a derivada direcional faz o mesmo papel da diferencial de uma funo real de

uma varivel real.

Exemplo 2.34 Sejam : R2 R a funo definida por( ) = exp(). Determine avariao do valor de se ponto = ( ) se move = 01 unidade do ponto = (2 0)

na direo do ponto = (4 1).

Soluo. Vamos primeiro determinar a derivada direcional de no ponto = (2 0) nadireo do vetor v =

= 2i + j; a normalizao do vetor v dada por

u =1

|v|v =

25

i +1

5j


61/120

Como = exp() e = exp() temos que () = 1 e () = 2. Portanto,() = i + 2j e

() u = (i + 2j) 25 i + 15 j = 45Note que o sinal positivo significa que cresce na direo considerada. Finalmente,

= (() u) = 45

01 =04

5

ou seja, 018 unidade.

EXERCCIOS

1. Calcule a derivada direcional da funo = ( ) no ponto , na direo indicada:

(a) = 3 + 52, = (2 1) na direo da reta = .

(b) = exp(), = (0 0) na direo da reta v = 4i + 3j.

(c) = 2

2, = (2 3) na direo tangente curva 2 + 52 = 15, no ponto

(0 3).

2. Calcule a derivada direcional

unos seguintes casos:

(a) () = exp()sen + 13

exp(3)sen3 + 2; = (3 0 1) e u =1

2i +

22

j + 12

k.

(b) () = 2 + 32; = (1 1 1) e u = 13

i 23

j + 23

k.

(c) () = log (2

+ 2

+ 2

); = (1 1 1) e u = 2

3i +1

3 j +2

3k.

3. Calcule o valor mximo da derivada direcional da funo = () no ponto

:

() = 12+2+2

; = (1 2 3) () = exp()cos() ; = (1 0 )

4. Seja = ( ) uma funo diferencivel em cada ponto do crculo 2 + 2 = 1.Mostre que a derivada direcional de no ponto ( ) na direo da tangente ao

crculo + .

5. Encontre o plano tangente e a reta normal superfcie dada no ponto indicado:

() = 2 2; = (1 1 0) () = p

2 + 2; = (3 4 15)() 2 + 22 + 32 = 6; = (1 1 1) () =

p9 2 2; = (1 2 2)


62/120

6. Determine as equaes paramtricas da reta tangente curva dada no ponto indicado.

()

(3 5 + 7 = 0 = 2

; = (1 2 0) ()

(2

+ 2

+ 2

= 4 = 1

;

=

1 1

2

()

(2 + 2 + 2 = 14

= 1; = (1 3 2) ()

( = 2

2+2

= 1 ;

= (1 1 1)

7. Seja a curva em R3 descrita por: = sen , = sen e = cos2, 0 2.Mostre que a curva est contida no paraboloide 2 + 2 + = 1 e determine a

reta tangente e o plano normal curva no ponto correspondente a =

4 .8. Calcule e verifique em cada caso que este vetor normal as curvas ou superfcies

de nvel.

(a) ( ) = 2 + 2.

(b) ( ) = exp (2 + 2).

(c) () = 22 + 22 .

9. Sejam () = 3 + 5 + 2 e denote por o vetor normal exterior esfera2 + 2 + 2 = 2. Calcule a derivada direcional u().

10. Calcule a derivada direcional no ponto = (3 4 5) da funo = 2 + 2 + 2, nadireo tangente curva (

2 + 2 2 = 022 + 22 2 = 25

no ponto .


( ) =

2

2 + 2 se ( ) 6= (0 0)

0 se ( ) = (0 0)

Verifique que tem derivada direcional na origem em qualquer direo, mas no a diferencivel.

12. Admitindo as operaes possveis e considerando e constantes reais, prove as

seguintes regras de derivao:

(a) ( + ) = + .(b) () = + .


63/120

(c)

=

2

.

13. Seja = i +j +k o vetor posio de um ponto = () do R3 e representepor =

. Mostre que se () uma funo real de uma varivel real derivvel,

ento

() = 0 ()

Usando essa frmula, calcule (), 1

e (log ).

14. Sejam 0 12 e ( ) = ||. Mostre que:

(a) (0 0) = (0 0) = 0.(b) tem derivada direcional na origem apenas nas direes i e j.

15. Determine a reta tangente curva, no ponto indicado:

()

(32 + 2 + = 4

2 + 2 + 2 = 12 ; = (1 2 3) ()

3 + 2+ 6 = 0

2 2+ 2 = 1; = (1 2 0)

16. Calcule a derivada direcional no ponto = (1 2 3) da funo = 22 2 + 2

na direo da reta que passa nos pontos = (1 2 1) e = (3 5 0).

17. Considere a curva de equaes paramtricas = , = 2 e = 3, R.

(a) Determine a reta tangente e o plano normal no ponto

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