MODELAGEM E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS FERMENTATIVOS

ESCOLA DE ENGENHARIA DE LORENAUNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

Prof. Dr. Félix Monteiro Pereira

INTRODUÇÃO

MODELAGEM DE UM PROCESSO FERMENTATIVOÉ a representação através de equações matemáticas das transformações bioquímicasque ocorrem no processo e das velocidades com que estas transformações seprocessam.

SIMULAÇÃO DE UM PROCESSO FERMENTATIVOCorresponde a análise do processo através da utilização do modelo matemáticoproposto

OBJETIVOS DA MODELAGEM MATEMÁTICA E DA SIMULAÇÃO DE PROCESSOSFERMENTATIVOSFERMENTATIVOS•prever o comportamento do processo, uma vez que é impossível testarexperimentalmente todas as possíveis condições operacionais e escalas do processoem análise•determinar as condições operacionais economicamente ótimas do processo•definir os limites operacionais do processo•avaliar mudanças no processo (por exemplo, tipo de fermentador) visando suaotimização•definir a estratégia de controle a ser empregada e a (estabilidade do processo quandoeste for operado continuamente•definir a sensibilidade do processo diante de perturbações (alterações nas variáveisoperacionais)

INTRODUÇÃOINTERAÇÃO POPULAÇÃO MICROBIANA – MEIO DE CULTURA

Processo fermentativo � dois sistemas interagem continuamente.

AMBIENTE(meio de cultura)

POPULAÇÃO(células)

•multicomponente;• reações em solução;• pH, T, viscosidade,...variáveis;

• multicomponente;• heterogeneidade entreas células;• multirreações;

nutrientes e substratos

produtos

• sistema multifase (g - l,l – l, l – s, s – l – g;• não uniforme .

• multirreações;• controle interno;• adaptabilidade;• sistema estocástico;• variações genéticas.

calor

interações mecânicas

• as células consomem nutrientes e substratos do ambiente em produtos;• as células geram calor, o qual é dissipado para o meio, portanto, a temperatura domeio define a temperatura das células;• interações mecânicas ocorrem através da pressão hidrostática, de efeitos do fluxodo meio para as células e de mudanças na viscosidade do meio em função doacúmulo de células e de produtos metabólicos.

INTRODUÇÃO

FENÔMENOS PRINCIPAIS QUE INFLUENCIAM NAS INTERAÇÕES ENTRE A POPULAÇÃOMICROBIANA E O MEIO DE CULTURA

• influência da “história” da população microbiana durante o processo: fase lag e de adaptação,mutações, perda de viabilidade e outros acontecimentos;• influência da composição do meio de cultivo nas velocidades de crescimento microbiano e deformação de produtos: único/múltiplo substrato limitante, inibição por substrato/produto,indução/repressão;• transferência de substratos do meio para o interior das células e de produtos da célula para omeio no caso de processos com células imobilizadas ou floculantes;• velocidade de respiração em processos aeróbios: transferência de oxigênio da fase gasosa para• velocidade de respiração em processos aeróbios: transferência de oxigênio da fase gasosa paraa fase líquida por agitação e aeração;• tipo de processo: submerso/semi-sólido, descontínuo/descontínuo alimentado/contínuo sem ecom reciclo, células livres/imobilizadas, uma/múltiplas fases de processo, etc.• influência de variáveis físico-químicas no processo: temperatura, pH, umidade do meio decultura, umidade relativa do ar, pressão, etc.;• influência /variações na síntese de componentes celulares: necessidade de incluir "estrutura"no modelo matemático representativo do processo;• homogeneidade/heterogeneidade do processo.

INTRODUÇÃO

DIFERENÇAS IMPORTANTES PARA A M0DELAGEM ENTRE PROCESSOS QUÍMICOS E PROCESSOSFERMENTATIVOS

• baixas concentrações e baixas velocidades de reação como resultado da utilização. em setratando de uma fermentação submersa, de um meio de cultura diluído;

• conhecimento insuficiente dos fenômenos limitantes das velocidades de produção e falta desensores para automação “on-line" dificultam a otimização, a ampliação de escala do processofermentativo e a implementação de estratégias de controle multivariável nos bioreatores;

• problemas complexos de estabilidade, problemas de observabilidade do sistema com as• problemas complexos de estabilidade, problemas de observabilidade do sistema com asvariáveis comumente medidas e a existência de sub-sistemas com dinâmicas rápidas e lentas,são algumas das dificuldades encontradas no projeto de processos fermentativos contínuos ;

• problemas de estabilidade, segurança e eventualmente de toxidade introduzem dificuldadesadicionais ao projeto de bioreatores;

• complexidade da mistura reacional e a capacidade do sistema de sintetizar o seu própriocatalisador, dificultam em muito a análise global e, conseqüentemente, a modelagem doprocesso fermentativo.

INTRODUÇÃO

FORMULAÇÃO DE MODELOS MATEMÁTICOS EM PROCESSOS FERMENTATIVOS

É um conjunto de relações matemáticas entre as variáveis dependentes (respostas) e asvariáveis independentes (entradas) em um determinado sistema, no caso, um fermentador.

VARIÁVEIS DE RESPOSTA EM PROCESSOS FERMENTATIVOS

Concentração de microrganismo (X), substrato (S) e produto (P) ao longo do tempo e/ou espaço.

A dependência das concentrações com o tempo será determinada pela natureza estática-dinâmica da operação do fermentador enquanto que a dependência espacial será determinadadinâmica da operação do fermentador enquanto que a dependência espacial será determinadapelo tipo de fermentador utilizado no processo (Batelada [BSTR], Batelada alimentado [Fed-Batch], Contínuo [CSTR] ou Tubular [PFR]).

INTRODUÇÃO

CLASSIFICAÇÃO DOS MODELOS MATEMÁTICOS EM PROCESSOS FERMENTATIVOS

Quanto ao grau de entendimento do processo fermentativo:

• modelos fenomenológicos;• modelos empíricos.

Quanto ao grau de descrição da população microbiana:

• modelos não estruturados;• modelos estruturados;• modelos estruturados;• modelos não segregados (a população celular é homogênea: todas as células apresentam omesmo comportamento);• modelos segregados (a população celular é heterogênea: as células apresentam distribuiçãode idade, tamanho e propriedades celulares).

INTRODUÇÃO

MODELOS FENOMENOLÓGICOS

São modelos que buscam descrever os fenômenos principais envolvidos no processo usando-separa isso os princípios básicos de conservação de massa, energia e quantidade de movimento.

MODELOS EMPÍRICOS

O processo fermentativo é visto como uma “caixa-preta" desconhecendo-se totalmente osmecanismos de causa-efeito entre as variáveis independentes (x) e dependentes (y) doprocesso. As variáveis dependentes são correlacionadas empiricamente com as independentesatravés de funções chamadas de FUNÇÕES DE TRANSFERENCIA: f(x)através de funções chamadas de FUNÇÕES DE TRANSFERENCIA: f(x)

Funções de transferência usuais:- modelos polinomiais;-modelos de redes neurais.

INTRODUÇÃO

MODELOS NÃO ESTRUTURADOS• a célula é considerada globalmente não havendo variação da concentração dos componentesintracelulares;• a biomassa é caracterizada por uma única variável: a concentração celular em massa ou emnúmero de células;• neste modelo vale a hipótese de crescimento balanceado: a velocidade de produção dequalquer componente intracelular por unidade do componente é constante e essa constante é amesma para todos os componentes e igual à velocidade específica de crescimento;• são os modelos mais comumente utilizados devido à simplicidade e à capacidade derepresentar bem vários processos fermentativos reportados na literatura.

MODELOS ESTRUTURADOS• a célula é vista como sendo composta por uma serie de compartimentos interdependentesonde estão armazenados determinados componentes celulares cujas concentrações variam como tempo provocando alterações na atividade celular;• a consideração de componentes intracelulares permite descrever melhor o estado das célulase sua adaptação às mudanças do meio ambiente;• este tipo de modelo também requer um conhecimento do mecanismo das principais etapasenvolvidas no metabolismo celular (o que nem sempre é disponível);• a dificuldade na etapa de identificação do modelo devido ao grande número de parâmetros aserem estimados e a necessidade de aplicar métodos numéricos complexos, inviabilizam o usodesta modelagem para o projeto e controle de processos fermentativos.

INTRODUÇÃO

ELABORACÃO DOS MODELOS FENOMENOLÓGICOS

As fontes básicas para a elaboração de qualquer modelo fenomenológico são os princípiosbásicos de conservação da massa energia e quantidade de movimento.

PONTOS PRINCIPAIS DOS MODELOS FENOMENOLÓGICOS

• Variáveis Dependentes Fundamentais:

São variáveis que em um tempo qualquer reúnem toda a informação necessária para o estudode qualquer fenômeno envolvido no processo. Em processos fermentativos interessam asde qualquer fenômeno envolvido no processo. Em processos fermentativos interessam asvariáveis massa, energia e quantidade de movimento.

• Variáveis de Estado :

Muitas vezes as variáveis fundamentais não podem ser medidas diretamente e para quantificá-Ias é necessário recorrer a variáveis auxiliares convenientemente agrupadas (VARIÁVEIS DEESTADO): densidade, concentração, temperatura, pressão.

INTRODUÇÃO

PONTOS PRINCIPAIS DOS MODELOS FENOMENOLÓGICOS

•Volume de Controle

Um modelo físico de um sistema se define como uma região do espaço na qual todas asvariáveis de estado temperatura. concentração, densidade são uniformes. Esta região édenominada de VOLUME DE CONTROLE.

O volume de controle pode ser:a) Constante: como no caso de um reator batelada de volume constante (BSTR);

b) Variável: como no caso de um reator batelada-alimentado (FED-BATCH);

c) Macroscópico: como no caso de um reator contínuo (CSTR) onde as concentrações desubstrato, células e produto são uniformes em todo o volume V do reator;

d) Microscópico: como no caso de um reator tubular (PFR) onde as concentrações de substrato,células e produto variam continuamente ao longo do comprimento do reator de modo que estasconcentrações somente podem ser consideradas uniformes num elemento de volumediferencial dV.

INTRODUÇÃO

PONTOS PRINCIPAIS DOS MODELOS FENOMENOLÓGICOS

• Equações de Balanço:

São equações resultantes da aplicação dos princípios fundamentais de conservação da massa,energia e quantidade de movimento. As equações de balanço podem ser generalizadas naseguinte forma:

Velocidade de Acumulação:

• não é um termo cinético;• é a taxa de variação da variável fundamental dentro do volume de controle com respeito aotempo.

INTRODUÇÃO

PONTOS PRINCIPAIS DOS MODELOS FENOMENOLÓGICOS

Termos de Entrada e Saída:

Os termos relativos à entrada e à saída podem ter as seguintes contribuições:

TERMOS DE ENTRADA fluxo convectivo

TERMOS DE SAÍDA fluxo convectivo fluxo convectivo

fluxo difusivotransferência interfásico

fluxo convectivo fluxo difusivotransferencia interfásico

INTRODUÇÃO

PONTOS PRINCIPAIS DOS MODELOS FENOMENOLÓGICOSTermos de Entrada e Saída:Fluxo Convectivo:• é o fluxo da variável fundamental que entra ou que sai do volume de controle devido aoescoamento de fluido;• é igual ao produto da vazão volumétrica de fluido (m3/h) pela concentraçãovolumétrica da variável fundamental nesta corrente.Fluxo Difusivo:• existente somente em volumes de controle microscópicos;• é o fluxo devido a existência de gradientes de concentração volumétrica da variávelfundamental ao longo do sistema

onde: WO2

= fluxo interfásico de massa de oxigênio (g/h); kLa=coeficiente volumétrico de

transferência de oxigênio (h-1); C*L=concentração de oxigênio de saturação na fase

líquida (g/L); C*L=concentração de oxigênio na fase líquida (g/L); V =volume de meio

líquido (L).

fundamental ao longo do sistemaTransferência lnterfásico:• o fluxo de transferência interfásico é dado como o produto de três termos: um coeficiente detransferência, um termo de área e um termo referente à força motriz da transferência• o exemplo mais comum é a equação para a velocidade de transferência de massa de oxigênioda corrente de gás para o meio líquido em um fermentador:

INTRODUÇÃO

PONTOS PRINCIPAIS DOS MODELOS FENOMENOLÓGICOS

Termos de Produção ou Consumo:

No princípio de conservação da massa, o termo produção ou consumo só tem significado paraum dado componente (substrato, células ou produto) que pode ser produzido ou consumido nafermentação, já que a massa total se conserva. A quantidade total consumida de um substrato Snum volume de controle macroscópico seria dada por (-rs)V e num volume de controlemicroscópico é dada por (-rs)dV.

No principio de conservação de energia, o termo geração no caso de uma fermentação refere-seNo principio de conservação de energia, o termo geração no caso de uma fermentação refere-seao calor liberado por mol de substrato consumido (calor de fermentação). A quantidade total decalor gerada pela fermentação em um volume de controle macroscópico seria dada por(-∆HF)(-rS)V e em um volume de controle microscópico seria dada por (-∆HF)(-rS)dV.

CINÉTICA DE FERMENTAÇÃO

MODELOS DE CRESCIMENTO CELULAR , DE CONSUMO DE SUBSTRATO E DE FORMAÇÃO DEPRODUTOS

Na proposição de modelos cinéticos em um processo fermentativo, diversos níveis dedetalhamento podem ser adotados. Algumas das aproximações que permitem simplificar arepresentação da cinética dos processos fermentativos são:

(1) considerar que na formulação do meio de cultura todos os componentes menos um númeropré-estabelecido estão em concentrações suficientemente elevadas de modo que, asconcentrações destes componentes previamente escolhidos sejam limitantes para avelocidade do processo;velocidade do processo;

(2) eventualmente pode ser necessário incluir no equacionamento outros componentes domeio, por exemplo, um produto inibidor que se acumula no meio, o oxigênio no caso deprocessos aeróbios;

(3) geralmente, considera-se que alterações em outros parâmetros não afetamsignificativamente as cinéticas na escala de tempo ou na faixa de variação encontrados numexperimento ou processos típicos;

(4) controles do bioreator podem regular e manter constantes alguns dos parâmetros doambiente, por exemplo, pH, temperatura, oxigênio dissolvido.

CINÉTICA DE FERMENTAÇÃOMODELOS DE CRESCIMENTO CELULAR

MODELO DE MONOD

onde:µ é a velocidade específica de crescimento (h-1)µmax é a velocidade específica máxima de crescimento (h-1)KS é a constante de saturação (g/L)S é a concentração de substrato (g/L)• considera que apenas um substrato do meio limita a velocidade específica de crescimento.• explica as fases de crescimento exponencial e estacionária mas não explica a fase lag e dedeclínio (morte).• os parâmetros e Ks dependem do microrganismo, do meio de cultura, do substrato limitante eda temperatura.

CINÉTICA DE FERMENTAÇÃOMODELOS DE CRESCIMENTO CELULAR

MODELO DE MONOD

CINÉTICA DE FERMENTAÇÃOMODELOS DE CRESCIMENTO CELULAR

MODELO DE M0SER

• K ainda é a concentração de substrato para a qual

• para w=1 o modelo de MOSER se reduz ao modelo de MONOD

• para w>1 o gráfico do modelo de MOSER é uma sigmóide • para w>1 o gráfico do modelo de MOSER é uma sigmóide

CINÉTICA DE FERMENTAÇÃOMODELOS DE CRESCIMENTO CELULAR

MODELO DE CONTOIS

• este modelo é geralmente utilizado para representar limitações de difusão no interior debiomassas floculantes ou imobilizadas;• μ é inversamente proporcional a X.

MODELO LOGÍSTICOMODELO LOGÍSTICO

•representa a fase exponencial de crescimento e a queda até zero de μ

MODELO DE ANDREWS

•explica a inibição do crescimento celular por altas concentrações de substrato.

CINÉTICA DE FERMENTAÇÃOMODELOS DE CRESCIMENTO CELULAR

MODELO DE WU

• este modelo é adequado quando o efeito inibitório dosubstrato é mais intenso;• quando n=1 o modelo de Wu reduz-se ao modelo deANDREWS .ANDREWS .

MODELO DE DUNN

• dois substratos são utilizados para realizar a mesmafunção mas as células utilizam um em preferência aooutro;• pode explicar o crescimento com diauxia.

CINÉTICA DE FERMENTAÇÃOMODELOS DE CRESCIMENTO CELULAR

MODELO DE MEGEE

• neste caso os substratos são requeridos para diferentes funções e alteram a velocidade decrescimento.

MODELO DE TSAO E HANSON

• este modelo introduz os conceitos de:substratos essenciais: sem os quais o crescimento não ocorre �G;substratos "melhoradores": aumentam a velocidade de crescimento � SI e S2• pode explicar o crescimento com triauxia:1a fase exponencial:

2ª fase exponencial:

3ª fase exponencial:

CINÉTICA DE FERMENTAÇÃOMODELOS DE CRESCIMENTO CELULAR

MODELOS DE INIBIÇÃO PELO PRODUTO

onde g(P) é a função que descreve o efeito inibitório do produto sobre o crescimento.

Expressões de g(P) usuais:

LINEAR

NÃO-LINEAR GENERALIZADA

HIPERBOLICA

PARABOLICA

EXPONENCIAL

Duas Situações podem ser visualizadas a. partir dessas equações: g(P)�0 (Inibição total)g(P)�0 (Ausência de inibição)

CINÉTICA DE FERMENTAÇÃOMODELOS DE CRESCIMENTO CELULAR

MODELO DE AIBA E SHODA

• este modelo leva em conta uma inibição do crescimento pelo produto;• inibição do tipo hiperbólica.

MODELO DE AIBA et al.

• inibição exponencial.

MODElO DE GHOSE E TYAGI

• existe um valor Pm para o qual ocorre inibição total, inibição linear.

CINÉTICA DE FERMENTAÇÃOMODELOS DE FORMAÇÃO DE PRODUTOS

MODELO DE LUEDEKING E PIRET

A cinética de formação de produtos pode representar os seguintes casos:1. o produto é formado durante o crescimento, sendo somente proporcional a velocidade de

crescimento (α≠0 e β=0, produção associada ao crescimento);2. o produto é formado parte antes e parte depois do crescimento (α ≠ 0 e β ≠ 0, produção

parcialmente associada ao crescimento);3. o produto é formado somente após o crescimento (α = 0 e β ≠ 0 , produção não associada ao 3. o produto é formado somente após o crescimento (α = 0 e β ≠ 0 , produção não associada ao

crescimento);

Geralmente α e β são funções da concentração de produto e de substrato.

CINÉTICA DE FERMENTAÇÃOCINÉTICA DE CONSUMO DE SUBSTRATOMODELO GENERALIZADO:

• Y*X/S e Y*

P/S são fatores de conversão estequiométricos de conversão de substrato em células e em produtos;• m é a velocidade específica de consumo de substrato para manutenção.

ABORDAGEM SIMPLIFICADA:Utilização dos coeficientes aparentes:

Sinclair e Kristiansen (1987)� ;

MODELAGEM E SIMULAÇÃO DE FERMENTADORESFERMENTADOR EM BATELADA (BSTR)

Operação:

BALANÇO MATERIAL DA ETAPA DE FERMENTAÇÃO:Volume de controle: volume útil do fermentador (constante). [ACUMULA]=[entra]-[sai]+[forma]-[consumido]

Células viáveis: Células não viáveis:

Substrato: Produto:

Onde: , , , , Xd = çoncentração de células não viáveis,

r=velocidade, subscritos: d para indicar células não viáveis, x para células viáveis, s para substrato e p para produto

dx rrdt

dX−= d

d rdt

dX=

srdt

dS−=

prdt

dP=

Xrx µ= Xkr dd = vpp Xr µ=vss Xr µ=

MODELAGEM E SIMULAÇÃO DE FERMENTADORESFERMENTADOR EM BATELADA (BSTR)

MODELAGEM E SIMULAÇÃO DE FERMENTADORESFERMENTADOR CONTÍNUO (CSTR)Operação:

BALANÇO MATERIAL DA ETAPA DE FERMENTAÇÃO CONTÍNUA:BALANÇO MATERIAL DA ETAPA DE FERMENTAÇÃO CONTÍNUA:Volume de controle: volume útil do fermentador (constante). [ACUMULA]=[entra]-[sai]+[forma]-[consumido]

Células viáveis: Células não viáveis:

Substrato: Produto:

V = volume útil do fermentador .

dx VrVrFXFXdt

VdX−+−= 0

sVrFSFSdt

VdS−−= 0 pVrFP

dt

VdP+−=

dddd VrFXFX

dt

VdX+−= 0

MODELAGEM E SIMULAÇÃO DE FERMENTADORESFERMENTADOR CONTÍNUO (CSTR)

Considerações comuns: ;

Estado estacionário:

Exemplo: Para o modelo de Monod

Células viáveis: Células não viáveis:

Substrato:

V

FD =

0=∂∂t

000 == dXX

dkD +=µ( )

( ) ( )[ ]SSD

X 0 −=

D

XkX d

d =

Substrato:

Produto: Monod:

Restrições: 0 < S < S0 , 0 < X, 0 ≤ Xd ≤ X , 0 ≤ P

Passos: Cálculos na seguinte ordem S, X, P, Xd.

( ) ( )[ ] SPdSXd YkDmYkDX

//

0

βα +++++=

( )[ ]D

XkDP d βα ++=

( )( )dmáx

ds

kD

kDKS

+−+

=µ

MODELAGEM E SIMULAÇÃO DE FERMENTADORESFERMENTADOR CONTÍNUO (CSTR)

MODELAGEM E SIMULAÇÃO DE FERMENTADORESFERMENTADOR CONTÍNUO (CSTR)

MODELAGEM E SIMULAÇÃO DE FERMENTADORESFERMENTADOR CONTÍNUO (CSTR)Reproduza o seguinte gráfico:

MODELAGEM E SIMULAÇÃO DE FERMENTADORESPROCESSO DE LAVAGEM (WASH OUT) EM UM CSTR

O processo de lavagem de um fermentador contínuo ocorre quando a velocidade de remoção de células do reator (Dc X) é exatamente igual à velocidade na qual o microrganismo cresce no fermentador (µX-k d X), neste caso, qualquer acréscimo de D acarreta na obtenção de um estado

estacionário com X = 0.

D c X = µX-k d X ≈ µmáxX-k d X

Considera-se, na prática:

D c = µmáx-k d

MODELAGEM E SIMULAÇÃO DE FERMENTADORESFERMENTADORES COM RECICLO DE CÉLULAS:

Métodos:

MODELAGEM E SIMULAÇÃO DE FERMENTADORESFERMENTADORES COM RECICLO DE CÉLULAS:

Modelagem em estado estacionário:

Células viáveis:

Células não viáveis:

Substrato:

dx rrDX −+−= δ0

dd rDX +−= δ0

Substrato:

Produto:

srDSDS −−= 00

prDP +−=0

MODELAGEM E SIMULAÇÃO DE FERMENTADORESFERMENTADOR COM RECICLO DE CÉLULAS

Considerações comuns: ;

Estado estacionário:

Exemplo: Para o modelo de Monod

Células viáveis: Células não viáveis:

Substrato:

V

FD =

0=∂∂t

000 == dXX

dkD += δµ( )

( ) ( )[ ]SSD

X 0 −=

D

XkX d

d δ=

Substrato:

Produto: Monod:

Restrições: 0 < S < S0 , 0 < X, 0 ≤ Xd ≤ X , 0 ≤ P

Passos: Cálculos na seguinte ordem S, X, P, Xd.

( ) ( )[ ] SPdSXd YkDmYkDX

//

0

βδαδ +++++=

( )[ ]D

XkDP d βδα ++=

( )( )dmáx

ds

kD

kDKS

+−+

=δµ

δ

MODELAGEM E SIMULAÇÃO DE FERMENTADORESFERMENTADOR COM RECICLO DE CÉLULAS

K S = 0,5 Kgm-3

µ máx = 1,05 h-1

kd = 0,01 h-1kd = 0,01 h

YX/S = 0,5

YP/S = 0,51

α = 4,4

β = 0,03

S0 = 40 Kgm-3

a: δ = 0,5

b: δ = 0,25

c: δ = 0,1

MODELAGEM E SIMULAÇÃO DE FERMENTADORESFERMENTADOR COM RECICLO DE CÉLULAS

MODELAGEM E SIMULAÇÃO DE FERMENTADORESPROCESSO DE LAVAGEM (WASH OUT) EM UM FERMENTADOR COM RECICLO DE CÉLULAS

O processo de lavagem de um fermentador com reciclo ocorre quando a velocidade de remoção de células do reator (δDc X) é exatamente igual à velocidade na qual o microrganismo cresce no fermentador (µX-k d X), neste caso, qualquer acréscimo de D acarreta na obtenção de um estado

estacionário com X = 0.

δ D c X = µX-k d X ≈ µmáxX-k d X

Considera-se, na prática:

D c = (µmáx-k d )/ δ

Observação: quanto maior o fator de separação, maior o valor de Dc .

MODELAGEM E SIMULAÇÃO DE FERMENTADORESMODELAGEM DE PROCESSO FERMENTATIVO EM REATOR DESCONTÍNUO ALIMENTADO

Esse tipo de reator é utilizado quando se deseja efetuar um certo controle sobre a velocidade Esse tipo de reator é utilizado quando se deseja efetuar um certo controle sobre a velocidade específica de crescimento do microrganismo ou efetuar um controle da concentração dos nutrientes no interior do reator.O controle pode ser realizado manipulando-se a oferta de substrato (FS0 ) ao fermentador. Isso pode ser feito de várias formas, entre elas:(1) mantendo-se S0 e F constantes;(2) mantendo-se S0 constante e variando F.

MODELAGEM E SIMULAÇÃO DE FERMENTADORESMODELAGEM DE PROCESSO FERMENTATIVO EM REATOR DESCONTÍNUO ALIMENTADO

Considerações para a formulação do modelo:Considerações para a formulação do modelo:• a mistura é perfeita no interior do reator, não havendo variações de concentração etemperatura com a posição;• não há morte celular;• não há consumo de substrato para a manutenção celular;• o aumento de volume do reator é igual ao volume de solução de substrato alimentada;• a massa específica da solução de substrato alimentada e do meio de fermentação sãoconstantes.

MODELAGEM E SIMULAÇÃO DE FERMENTADORESMODELAGEM DE PROCESSO FERMENTATIVO EM REATOR DESCONTÍNUO ALIMENTADO

Balanços materiais:Balanços materiais:

Global: Células: Substrato:acumula=entra-sai A = E – S +F - C A = E – S +F - C

Produto: A=E-S+F-C �

( )

( )F

dt

Vd

Fdt

Vd

=

=

−=

constante

0

ρ

ρρ ( )

( ) ( )XVdt

XVd

Vrdt

XVdx

µ=

−+−= 000( )

( ) ( ) ( )( )SPSX

S

Y

XV

Y

XVFS

dt

SVd

VrFSdt

SVd

//

0

0 00

βαµµ +−−=

−+−=

( ) ( ) ( )( )XVdt

PVdVr

dt

PVdp βαµ +=−+−= ,000

MODELAGEM E SIMULAÇÃO DE FERMENTADORESMODELAGEM DE PROCESSO FERMENTATIVO EM REATOR DESCONTÍNUO ALIMENTADO

Equacionamento considerando cinética de Monod:

( )F

dt

Vd=

( ) ( )XVdt

XVdµ=

( ) ( ) ( )( )SPSX Y

XV

Y

XVFS

dt

SVd

//

0

βαµµ +−−=

5 equações e 7 incógnitas (variáveisdependentes do tempo)

V, F, µ, X, S, S0 e P

SPSX YYdt //

( ) ( )( )XVdt

PVdβαµ +=

SK

S

S += maxµ

µ

Só existe solução para o problema se duas

variáveis forem fixadas.

MODELAGEM E SIMULAÇÃO DE FERMENTADORESMODELAGEM DE PROCESSO FERMENTATIVO EM REATOR DESCONTÍNUO ALIMENTADO

1 – Fixando-se S0 e F � velocidade de alimentação de substrato constante:

O sistema de equações só pode ser resolvido por métodos numéricos.

2 – Fixando So e µ � velocidade específica de crescimento constante.

Segundo a cinética de Monod, para que µ seja constante durante o processo, é necessário que S

também seja constante durante o processo. S=S i ao longo do processo (obs. O subscrito i serefere ao valor da variável para t=0.refere ao valor da variável para t=0.

( ) ( )tFdt

Vd=

( )( )

t

ii

tXV

VX

eVXXV

dtXV

XVd

ii

µ

µ

=

= ∫∫0

( ) ( ) ( )( )

( )

( )i

t

ii

SPSX

SP

t

ii

SX

t

iii

SPSX

i

SS

eVX

YYF

Y

eVX

Y

eVXFSFS

Y

XV

Y

XVFS

dt

VdS

−

++=

+−−=

+−−=

0//

//

0

//

0

µ

µµ

βαµµ

βαµµ

βαµµ ( ) ( )( )

( ) ( )

( ) t

iiii

t

t

ii

PV

VP

eVXVPPV

dteVXPVd

XVdt

PVd

ii

µ

µ

βαµµ

βα

βαµ

βαµ

++=

+=

+=

∫∫

:constantes e para

0

( ) ( )XVdt

XVdµ=

( ) ( )tFdt

Vd= ( )i

t

ii

SPSX

iSS

eVX

YYVV

−

+++=

0//

µβαµµµ

Para α e β constantes

MODELAGEM E SIMULAÇÃO DE FERMENTADORESMODELAGEM DE PROCESSO FERMENTATIVO EM REATOR TUBULAR (PFR)O esquema de operação de um reator contínuo de fluxo pistonado é mostrado na Figura.

X, S, P

X+∆X,S+∆S, P+∆P

F, X See

z

z+∆z

Considerações para a formulação do modelo:• estado estacionário;• não há dispersão axial;• não há morte celular;• não há consumo de substrato para amanutenção celular;•a massa específica da solução de substratoalimentada e do meio de fermentação são

F, Xs, Ss, Ps

alimentada e do meio de fermentação sãoconstantes.

O volume útil do reator (Vr’) deve incorporar aconsideração de leito empacotado, ou seja, areação ocorre nos espaços nos quais não existefase sólida (porosidade=ξ )ξ=volume útil para reação/volume do ratorξ =V/Vr

MODELAGEM DE PROCESSO FERMENTATIVO EM REATOR TUBULAR (PFR ou PACKED BED)Balanço material:

X, S, P

X+∆X,S+∆S, P+∆P

F, X See

z

z+∆z

MODELAGEM E SIMULAÇÃO DE FERMENTADORES

Células:A= E-S+F-C

( )

( )r

XXX

F

V

VrXXFFX RX

ετ

=∆+−

==

∆+∆+−= '

lim

residência de tempo

0

F, Xs, Ss, Ps Analogamente, para substrato e produto:

( )

Xrd

dX

rXXX

X

x

µτ

ττ

==

=∆→∆ 0

lim

( )Xrd

dP

XYY

rd

dS

P

SPSX

S

βαµτ

βαµµτ

+==

++−=−=

//