MÉTODO ARAP DETERMINAÇÃO DO GRUPO PONTUAL DE …

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ

DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE QUÍMICA E BIOLOGIA

CURSO DE BACHARELADO EM QUÍMICA TECNOLÓGICA

OTÁVIO BERUSKI

MÉTODO PARA DETERMINAÇÃO DO GRUPO PONTUAL DE

MOLÉCULAS

TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO

CURITIBA

2011

OTÁVIO BERUSKI

MÉTODO PARA DETERMINAÇÃO DO GRUPO PONTUAL DE

MOLÉCULAS

Trabalho de Conclusão de Curso de gradu-

ação, apresentado à disciplina de Trabalho

de Conclusão de Curso II, do Curso de

Bacharelado em Química Tecnológica do

Departamento Acadêmico de Química e

Biologia � DAQBI � da Universidade Tecno-

lógica Federal do Paraná � UTFPR, como

requisito parcial para obtenção do título de

Bacharel.

Orientador: Prof. Dr. Luciano Nassif Vidal

CURITIBA

2011

TERMO DE APROVAÇÃO

OTÁVIO BERUSKI

MÉTODO PARA DETERMINAÇÃO DO GRUPO PONTUAL DE MOLÉCULAS

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado como requisito parcial à obtenção do

grau de BACHAREL EM QUÍMICA TECNOLÓGICA do Departamento Acadêmico de

Química e Biologia (DAQBI) do Câmpus Curitiba da Universidade Tecnológica

Federal do Paraná – UTFPR e APROVADO pela seguinte banca examinadora:

Membro 1 – PROF. DR. JOÃO BATISTA FLORIANO Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR)

Departamento Acadêmico de Química e Biologia

Membro 2 – PROF. DR. RAFAEL CARVALHO BARRETO Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Departamento Acadêmico de Física

Orientador – PROF. DR. LUCIANO NASSIF VIDAL Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Departamento Acadêmico de Química e Biologia

Coordenador de Curso – PROF. DR. JOÃO BATISTA FLORIANO

Curitiba, 28 de novembro de 2011.

AGRADECIMENTOS

Apesar de se tratar apenas de um trabalho de conclusão de curso, é o primeiro de

grande importância em minha carreira, e portanto torna-se necessário expressar minha

gratidão a todos que de alguma maneira me ajudaram.

Agradeço enormemente ao Professor Dr. Luciano Nassif Vidal pela oportunidade e

orientação, visto que sem ele eu nunca teria sequer começado este trabalho.

Agradeço aos meus colegas de trabalho, amigos e caros Professores, sejam estes teóricos

ou experimentais, que eventualmente mostraram algum interesse, me deram apoio moral

para concluir o trabalho, ou apenas suportaram meus devaneios e reclamações.

Finalmente, gostaria de agradecer todos àqueles que me ajudaram indiretamente, in-

clusos aqui toda a comunidade da Universidade Tecnológica Federal do Paraná, assim

como meus familiares.

Resumo

BERUSKI, Otávio. Método para Determinação do Grupo Pontual de Moléculas.

2011. Trabalho de Conclusão de Curso (Bacharelado em Química Tecnológica) �

Departamento Acadêmico de Química e Biologia, Universidade Tecnológica Federal

do Paraná. Curitiba, 2011.

O presente trabalho apresenta uma nova abordagem para a encontrar o grupo pon-

tual de moléculas, empregando conceitos mais familiares para físicos e químicos,

onde o grupo pontual é determinado a partir das seguintes informações: (1) Tipo

de rotor a qual pertence a molécula (esférico, prolato, oblato, linear ou assimétrico),

(2) O número de átomos simetricamente equivalentes, ou seja, aqueles átomos cujas

posições são permutadas pela ação de uma operação de simetria (ex. os hidrogênios

da molécula de água), (3) A matriz de distâncias interatômicas, (4) As massas de

cada átomo que compõe a molécula e (5) Tipo de polígono ou poliedro regular for-

mado pelos átomos simetricamente equivalentes. O método proposto permite que o

grupo pontual total seja identi�cado, e não apenas um subgrupo, a partir de um nú-

mero reduzido de operações de simetria, sendo determinadas, principalmente, pelo

tipo de rotor da molécula. Este método foi implementado em um programa escrito

em linguagem C, que será posteriormente incorporado a um programa que efetua

o cálculo das intensidades dos espectros infravermelho e Raman, o qual é capaz de

explorar de forma bastante e�ciente a simetria molecular, porém não possui ainda

uma rotina para identi�car o grupo pontual molecular.

Palavras-chave: Simetria Espacial. Grupo Pontual. Operações de Simetria.

Abstract

BERUSKI, Otávio. Method to determinate the Point Group of Molecules. 2011.

Trabalho de Conclusão de Curso (Bacharelado em Química Tecnológica) � Depar-

tamento Acadêmico de Química e Biologia, Universidade Tecnológica Federal do

Paraná. Curitiba, 2011.

The present work describes a new method to �nd the point groups of molecules,

employing concepts more familiar to chemists and physicists, where the point group

is found from the following information: (1) The type of rotor which the molecule

belongs (spherical, prolate, oblate, linear or asymmetric), (2) The number of sym-

metrically equivalent atoms, that is, that atoms whose positions are interchanged

trough a symmetry operation (ex. the hydrogens in a water molecule), (3) The

interatomic distance matrix, (4) The atomic masses and (5) The polygon or polyhe-

dron formed by the symmetrically equivalent atoms. The proposed method allows

the identi�cation of the full point group of any molecule from a reduced number

of symmetry operations. This method has been implemented in a program written

in C language and will be incorporated into a code developed for calculations of

the intensities of infrared and Raman spectra. The last can explore e�ciently the

molecular symmetry but doesn't have a routine for automatic identi�cation of the

molecular point group.

Keywords: Spatial Symmetry. Point Groups. Symmetry Operations.

Lista de Figuras

1 Operações de Simetria: (a) Re�exão em relação a um plano, (b) Rotação ao redor de

um eixo, (c) Rotação Imprópria ao redor de um eixo, e (d) Inversão. . . . . . . . . . 13

2 Átomos e Distâncias Interatômicas da molécula de água. . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Molécula de água após uma operação C2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4 Átomos da molécula de benzeno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5 Átomos da molécula de p-dinitrobenzeno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

6 Molécula de p-dinitrobenzeno após uma operação σ. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

7 Exemplos de rotores lineares: a) dióxido de carbono, b) cloreto de hidrogênio, c) etino,

e d) sulfeto de carbonila. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

8 Exemplos de rotores simétricos: a) cloreto de metila, b) aleno, c) amônia, e d) benzeno. 23

9 Exemplos de rotores esféricos: a) metano, b) hexa�uoreto de enxofre, e c) dodecaborato

(hidrogênios não representados). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

10 Exemplos de rotores assimétricos: a) água, b) anilina, c) �uoreto de tionila, e d) pirrol. 23

11 a) Molécula de Tetrametilsilano, b) Tetraedro Truncado . . . . . . . . . . . . . . . 26

12 Algoritmo para identi�cação do Grupo Pontual de um Rotor Simétrico. . . . . . . . . 27

13 Algoritmo para identi�cação do Grupo Pontual de um Rotor Assimétrico. . . . . . . . 28

14 Moléculas contendo conjuntos de ASE dos casos a) Linear: Dióxido de Carbono; e b)

Polígono oblato planar: Ciclopropano, com k = 3, neste caso. . . . . . . . . . . . . . 31

15 Molécula contendo um conjunto de ASE do caso Polígono assimétrico planar: Aleno,

com k = 4, neste caso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

16 Moléculas contendo conjuntos de ASE do caso Prisma prolato: a) Ferroceno eclipsado,

um prisma; e b) Ferroceno anti, um antiprisma; ambos com k = 10 e hidrogênios não

representados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

17 Molécula contendo um conjunto de ASE do caso Prisma Irregular, com k = 8 . . . . . 33

18 Moléculas de água, evidenciando a) o Centro de Massa da molécula, e b) o Eixo C2 da

molécula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

19 Moléculas de benzeno, evidenciando a) o Centro de Massa da molécula, e b) o Eixo C6

da molécula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

20 Moléculas de p-dinitrobenzeno, evidenciando a) o Centro de Massa da molécula, e b) o

Eixo C2 da molécula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

21 Molécula de Benzeno, evidenciando: a) as posições dos átomos e o centro de massa da

molécula, b) o vetor posição do ponto médio entre os hidrogênios 1 e 5, e c) a con�rmação

da existência do eixo C⊥2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

22 Molécula de Água, evidenciando: a) o centro de massa e o eixo C2 da molécula, b) o

vetor posição do hidrogênio escolhido, e c) o plano σv gerado pelos vetores escolhidos. . 40

23 Molécula pertencente ao grupo pontual Cs a) Fluoreto de Tionila, e b) plano de re�exão

σ da molécula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

24 Molécula de Amônia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

25 Molécula de Aleno, conformação anti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

26 Molécula de 1-Metil-2-pirrolidona. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

27 Molécula de Amônia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

28 Molécula de bis-Pentacarbonilcobalto, em conformação anti. . . . . . . . . . . . . . 60

29 Molécula de Cubano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

30 Molécula de Hexanitrocuprato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

31 Molécula de Peróxido de hidrogênio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

32 Molécula de Tetrametilsilano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Sumário

1 INTRODUÇÃO 9

2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 11

2.1 Operações de Simetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Grupos Pontuais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3 Átomos Simetricamente Equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4 Ponto Invariante às Operações de Simetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.5 Tensor de Inércia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.6 Tipos de Rotores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 ALGORITMOS PARA ALOCAÇÃO DOS GRUPOS PONTUAIS 25

3.1 Rotores Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2 Rotores Esféricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.3 Rotores Simétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.4 Rotores Assimétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4 IDENTIFICAÇÃO DAS OPERAÇÕES DE SIMETRIA 29

4.1 Eixo de Rotação Própria: Cn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.1.1 Arranjo Pontual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.1.2 Arranjo Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.1.3 Polígono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.1.4 Prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.1.5 Con�rmação do Eixo de Maior Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.2 Eixos C2 Perpendiculares: C⊥2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.3 Eixos de Rotação Imprópria: S2n e Sn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.4 Planos de Re�exão: σ e σv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.5 Inversão: i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5 EXEMPLOS 42

5.1 Amônia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.2 Aleno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6 CONCLUSÕES 52

REFERÊNCIAS 53

A Exemplos do software 54

A.1 1-Metil-2-pirrolidona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

A.2 Amônia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

A.3 bis-Pentacarbonilcobalto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

A.4 Cubano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

A.5 Hexanitrocuprato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

A.6 Peróxido de Hidrogênio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

A.7 Tetrametilsilano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

1 INTRODUÇÃO 9

1 INTRODUÇÃO

Na Química, simetria é uma ferramenta útil na determinação de propriedades molecu-

lares, como atividade óptica, momento de dipolo elétrico, regras de seleção para infraver-

melho e Raman, degenerescência dos modos normais de vibração, entre outras (Wilson,

Decius e Cross, 1990; Ivanov e Schüürmann, 1999). Muitos softwares desenvolvidos para

cálculos teóricos possuem módulos que localizam o grupo pontual de uma molécula (Gaus-

sian 09, 2009; DALTON 2.0, 2005), poupando esforço e recursos computacionais.

A simetria presente nas moléculas é tratada através da Teoria de Grupos, usando de

grupos de simetria. Na Matemática, um Grupo é um conjunto com a operação identidade,

onde todo elemento possui um inverso contido no próprio grupo (Baumslag e Chandler,

1968). Entre os grupos de simetria, os que são utilizados na Química, para moléculas,

denominam-se Grupos Pontuais, que são de�nidos como grupos de simetrias geométricas

que contém, no mínimo, um único ponto invariante a todas as transformações (Harris e

Bertolucci, 1989). As transformações contidas nesses Grupos Pontuais são chamadas de

Operações de Simetria.

Apesar de estarem presentes em muitos softwares, existem relativamente poucos tra-

balhos publicados a respeito de métodos de identi�cação de grupos pontuais, utilizando

técnicas baseadas, de maneira geral, em conceitos matemáticos abstratos para localizar

o grupo pontual de uma molécula. A abordagem utilizada por Balasubramanian (1995)

faz uso da matriz de distâncias Euclidiana, localizando permutações que não alteram a

matriz de distâncias Euclidiana. Estas permutações representam operações de simetria re-

alizadas sobre a molécula, e juntas formam o grupo de distância Euclidiana, de�nida pelo

autor (Balasubramanian, 1995). No algoritmo, cada permutação é veri�cada quanto à

condição do grupo de distância Euclidiana sem que sejam necessárias multiplicações entre

matrizes. As permutações que satisfaçam a condição mencionada representam operações

de simetria realizadas sobre a molécula.

Outro método utiliza a fórmula estrutural da molécula, valendo-se das ligações e ro-

tulação dos átomos (Chen, Huang e Gilson, 2004; Ivanov, 2004; Ivanov e Schüürmann,

1999). Ivanov (2004) e Ivanov e Schüürmann (1999) utilizam um grupo de automor�smo

do grá�co que representa a topologia da molécula, onde um código é gerado, represen-

tando os átomos, ligações e número do átomo. Para cada permutação dos vértices deste

1 INTRODUÇÃO 10

grá�co, um novo código é gerado, sendo comparado com o código de referência. Atra-

vés desta comparação, são localizadas operações de simetria na molécula. Assim como

Balasubramanian (1995), as permutações realizadas no grá�co devem pertencer ao grupo

de distância Euclidiana, a �m de representar uma operação de simetria. Diferentemente

de Balasubramanian (1995), o método proposto por Ivanov e Schüürmann (1999) e aper-

feiçoado por Ivanov (2004) não aplica todas as possíveis permutações, sendo descartadas

permutações que interferirem na conectividade original do grá�co.

Chen, Huang e Gilson (2004) utilizam um algoritmo inspirado no descrito por Ivanov

e Schüürmann (1999), trabalhando, adicionalmente, com estruturas de ressonância. Da

mesma maneira, nomes são gerados e comparados após cada permutação, entretanto, estes

nomes possuem, segundo o autor, uma maior quantidade de informações e são facilmente

calculados, facilitando a identi�cação de pontos assimétricos e aprimorando a e�ciência

do algoritmo.

As abordagens relatadas para a detecção do grupo pontual utilizam conceitos que

não são tratados em um curso de graduação em química, como teoria de grá�cos, o que

di�culta o entendimento dos algoritmos empregados por estudantes de química. Tendo isso

em mente, este trabalho tem como objetivo descrever um método que emprega conceitos

mais familiares aos químicos, onde o grupo pontual é determinado a partir das seguintes

informações: (1) Tipo de rotor ao qual pertence a molécula, (2) O número de átomos

simetricamente equivalentes, ou seja, aqueles cujas posições são permutadas pela ação

de uma operação de simetria, (3) A matriz de distâncias interatômicas, (4) A massa

de cada átomo que compõe a molécula, e (5) O tipo de polígono ou poliedro regular

formado pelos átomos simetricamente equivalentes. O método proposto permite que o

grupo pontual total seja identi�cado, e não apenas um sub-grupo, a partir de um número

reduzido de operações de simetria. Este método foi implementado em um programa escrito

em linguagem C, e testado em moléculas pertencentes a diferentes grupos pontuais. O

trabalho encontra-se dividido em de�nições, onde são apresentados conceitos essenciais ao

método desenvolvido, como o conceito de átomos simetricamente equivalentes e o tensor

de inércia; algoritmos para a localização do grupo pontual; identi�cação das operações

de simetria existentes na molécula, como rotação própria e re�exão; exemplos numéricos

descrevendo todo o procedimento; e as conclusões obtidas a partir deste trabalho.


2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

2.1 Operações de Simetria

Uma Operação de Simetria é uma transformação realizada sobre um objeto que re-

sulta em uma orientação igual à original (Harris e Bertolucci, 1989). Isto signi�ca, para

moléculas, que, após a aplicação de uma operação de simetria, a molécula deve mostrar-se

exatamente igual a antes da transformação, com átomos ocupando posições anteriormente

pertencentes a átomos da mesma natureza, considerando que átomos de mesma natureza

são completamente indistinguíveis uns dos outros. As operações utilizadas de tal maneira

são cinco, de�nidas segundo Harris e Bertolucci (1989):

� Identidade (E) é a operação básica, inerente a qualquer molécula e grupo pontual.

Esta operação não altera em nada a molécula, sendo necessária para satisfazer as

condições matemáticas de um grupo. Em notação de matrizes, esta operação é

representada da seguinte maneira:

E =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

(1)

Esta matriz, assim como as demais operações, encontram-se de tal maneira a atuar

em um vetor coluna contendo o átomo de uma molécula.

� Re�exão (σ) é uma re�exão da molécula através de um plano que divide a molécula

em duas partes iguais. Por exemplo, o próprio plano de uma molécula planar e o

plano que passa entre os átomos de hidrogênio e cruza o átomo de oxigênio em uma

molécula de água (Figura 1a). A representação desta operação em forma de matriz

depende do plano de re�exão a que está se referindo, por exemplo, uma re�exão

através do plano cartesiano xy:

σ =

1 0 0

0 1 0

0 0 −1

(2)


� Rotação Própria (Cn) é uma rotação, em torno de um eixo C, de um ângulo de

2π/n. Por exemplo, o eixo C3 de uma molécula de amônia, onde o eixo é equidis-

tante aos três átomos de hidrogênio e intercepta o átomo de nitrogênio (Figura 1b).

Consequência desta de�nição é que, quando existir um eixo Cn, existirão, também,

eixos de ordem igual a cada divisor de n. Assim como a re�exão, a notação de

matriz desta operação depende do eixo em torno de qual será realizado a rotação,

por exemplo, o eixo cartesiano z, no sentido anti-horário:

Cn =

cos 2π

n− sin 2π

n0

sin 2πn

cos 2πn

0

0 0 1

(3)

� Rotação Imprópria (Sn) é uma rotação de um ângulo de 2π/n em torno do eixo S,

seguida de uma re�exão através de um plano perpendicular ao eixo. Por exemplo,

um dos eixos S4 da molécula do metano, que passa entre os quatro hidrogênios,

cruzando no meio de duas arestas perpendiculares do tetraedro (Figura 1c). Como

esta operação equivale a uma rotação própria seguida de uma re�exão, a notação de

matrizes pode ser representada através da aplicação das matrizes correspondentes

a estas operações, por exemplo, uma rotação em torno do eixo z seguida de uma

re�exão através do plano xy:

Sn = σvCn =

1 0 0

0 1 0

0 0 −1

cos 2πn

sin 2πn

0

− sin 2πn

cos 2πn

0

0 0 1

(4)

� Inversão (i) nada mais é do que uma rotação imprópria do tipo S2, ou seja, é a

inversão de todos os átomos em relação a um ponto, o centro de inversão. Por

exemplo, o átomo de enxofre, no hexa�uoreto de enxofre, é o centro de inversão da

molécula (Figura 1d). Esta operação é representada pela seguinte matriz:

i =

−1 0 0

0 −1 0

0 0 −1

(5)


Figura 1: Operações de Simetria: (a) Re�exão em relação a um plano, (b) Rotação ao redor de um

eixo, (c) Rotação Imprópria ao redor de um eixo, e (d) Inversão.

No caso das rotações, existe a possibilidade de realizar repetidas operações seguidas

umas das outras. Quando isso ocorre, o número de vezes em que a rotação é executada

aparece como um sobre índice na operação, por exemplo, duas rotações C3 seguidas são

representada como uma rotação C23 .

Quando uma operação anula o efeito de outra, ela é considerada a operação inversa,

por exemplo, uma rotação C5 possui como inversa uma operação C45 , que é o mesmo

que girar a molécula em um mesmo ângulo 2π/5, porém na direção oposta. No caso das

operações E, σ e i, suas inversas são elas mesmas.

Em alguns casos, existem algumas particularidades referentes a determinadas opera-

ções, de modo a distingui-las (Harris e Bertolucci, 1989): um plano σh refere-se a um

plano perpendicular ao eixo de rotação de maior ordem; um plano σv refere-se a um plano

que contém o eixo de maior ordem; um plano σd refere-se a um plano diretamente sobre

um ângulo diedral de uma ligação; e um eixo C⊥2 refere-se a um eixo C2 perpendicular ao

eixo de maior ordem.

2.2 Grupos Pontuais

Toda molécula pertence a um Grupo Pontual, sendo de�nido através das operações de

simetria apresentadas por esta. Ao todo, são 17 famílias de grupos pontuais utilizados em


simetria molecular, cada qual com seu conjunto de elementos de simetria que os de�nem.

Conforme mencionado na Introdução, um grupo pontual contém, além das operações de

simetria que o de�nem, o inverso de cada uma dessas operações. A Tabela 1 apresenta os

grupos pontuais, juntamente com as operações representativas de cada grupo.

Tabela 1: Grupos Pontuais e suas Operações de Simetria

Grupo Pontual Operações de Simetria

C1 E

Cs E, σ

Ci E, i

Sn E, Sn

Cn E, Cn

Cnh E, Cn, Sn, σh

Cnv E, Cn, n σv

Dn E, Cn, n C⊥2

Dnh se n par: E, Cn, n C⊥2 , Sn, σh,n2σv, n2 σd, i

se n ímpar: E, Cn, n C⊥2 , Sn, σh, n σv

Dnd se n par: E, Cn, n C⊥2 , S2∗n, n σd

se n ímpar: E, Cn, n C⊥2 , S2∗n, n σd, i

Td E, 8 C3, 3 C2, 6 S4, 6 σd

Th E, 8 C3, 3 C2, 8 S6, 3 σd, i

Oh E, 6 C4, 8 C3, 3 C2, 6 C⊥2 , 8 S6, 6 S4, 3 σh, 6 σd, i

Ih E, 12 C5, 12 C25 , 20 C3, 15 C2, 12 S10, 12 S3

10, 20 S6, 15 σ, i

C∞v E, C∞, ∞ σv

D∞h E, C∞, ∞ C⊥2 , S∞, σh, ∞ σv, i

Kh Todas as operações, e.g., ∞ C∞

Alguns grupos pontuais, por exemplo os pertencentes às duas grandes classi�cações

C (Cíclicos) e D (Diedrais) (Wilson, Decius e Cross, 1990), possuem diferentes números

de operações de simetria, apesar de pertencerem à mesma família de grupos pontuais,

variando conforme a ordem da operação de Rotação Própria, por exemplo os grupos

pontuais C3v e C5v ambos pertencem aos grupos Cnv. Por tal motivo, estes grupos são


genericamente descritos com um subíndice n, indicando a maior ordem do eixo Cn presente

na molécula.

2.3 Átomos Simetricamente Equivalentes

Átomos simetricamente equivalentes (ASE) são aqueles de mesma espécie isotópica

que são permutados entre si pela ação de uma operação de simetria, como por exemplo os

hidrogênios de uma molécula de água. A existência de átomos simetricamente equivalentes

pode ser veri�cada através da matriz de distâncias Euclidiana. Dados as posições atômicas

ri de uma molécula de N átomos, os elementos da matriz de distâncias da molécula são

dados por:

Dij = ‖ri − rj‖, i, j = 1, 2, . . . , N (6)

Os átomos simetricamente equivalentes possuem cada valor de sua coluna em D pre-

sente nas colunas de outros átomos simetricamente equivalentes, ou seja, cada valor pre-

sente na coluna do átomo i deve estar presente na coluna do átomo j para que estes sejam

simetricamente equivalentes. Tomemos como exemplo uma molécula de água (Figura 2).

As coordenadas cartesianas de cada átomo da molécula podem ser dadas como na matriz

a seguir:

XH2O =

xH1 xO xH2

yH1 yO yH2

zH1 zO zH2

(7)

Figura 2: Átomos e Distâncias Interatômicas da molécula de água.

Onde (xi, yi, zi) são as coordenadas de um átomo pertencente à molécula. Com estas

coordenadas obtém-se a matriz de distâncias da molécula:


DH2O =

H1 O H2

0 d1 d2 H1

d1 0 d1 O

d2 d1 0 H2

(8)

Pode-se observar que os hidrogênios são simetricamente equivalentes, pois ambos pos-

suem as distâncias d1 e d2. Portanto, uma operação de simetria observada na molécula

de água pode permutar os hidrogênios, de modo que a orientação da molécula permaneça

inalterada. Para a água, uma rotação própria C2 é um exemplo de operação de sime-

tria que pode ser aplicada à molécula, onde o eixo corta o átomo de oxigênio e passa

equidistante aos átomos de hidrogênio. Aplicando esta operação os átomos de hidrogênio

são permutados entre si, e o oxigênio permanece na mesma posição, resultando em uma

orientação da molécula igual à original, como visto na Figura 3, pois os átomos são indis-

tinguíveis, dado que a numeração destes é apenas um método para melhor visualizar as

operações.

Figura 3: Molécula de água após uma operação C2.

Como outro exemplo, será usado o benzeno (Figura 4). Por conveniência, os carbonos

e hidrogênios serão analisados separadamente. As coordenadas cartesianas dos carbonos

encontram-se na matriz a seguir:

XC6 =

xC1 xC2 xC3 xC4 xC5 xC6

yC1 yC2 yC3 yC4 yC5 yC6

zC1 zC2 zC3 zC4 zC5 zC6

(9)

Calculando-se as distâncias interatômicas, obtém se a seguinte matriz de distâncias:


Figura 4: Átomos da molécula de benzeno.

DC6 =

C1 C2 C3 C4 C5 C6

0 d12 d13 d14 d13 d12 C1

d12 0 d12 d13 d14 d13 C2

d13 d12 0 d12 d13 d14 C3

d14 d13 d12 0 d12 d13 C4

d13 d14 d13 d12 0 d12 C5

d12 d13 d14 d13 d12 0 C6

(10)

De onde observa-se que todos os carbonos são simetricamente equivalentes. Fazendo-

se a análise dos hidrogênios, chega-se à mesma conclusão. Como na água, uma operação

de simetria observada no benzeno deve permutar os carbonos entre si, bem como os

hidrogênios. No caso do benzeno, uma rotação C6, onde o eixo passa perpendicularmente

pelo plano da molécula, permuta os hidrogênios entre si, assim como os carbonos, onde

os átomos da posição 1 passam a ocupar a posição 2, e assim por diante.

Em um último exemplo, será considerado o p-dinitrobenzeno (Figura 5). Novamente,

os hidrogênios serão desconsiderados, a �m de simpli�car o exemplo. As coordenadas

cartesianas da molécula encontram-se na matriz X a seguir:

XC6N2O4 =

xC1 xC2 xC3 xC4 xC5 xC6 xN1 xN2 xO1 xO2 xO3 xO4

yC1 yC2 yC3 yC4 yC5 yC6 yN1 yN2 yO1 yO2 yO3 yO4

zC1 zC2 zC3 zC4 zC5 zC6 zN1 zN2 zO1 zO2 zO3 zO4

(11)De onde se obtém a seguinte matriz de distância para a molécula:


Figura 5: Átomos da molécula de p-dinitrobenzeno.

DC6N2O4 =

C1 C2 C3 C4 C5 C6

0 dC1C2 dC1C3 dC1C4 dC1C3 dC1C2 C1

dC1C2 0 dC1C2 dC1C3 dC1C4 dC1C3 C2

dC1C3 dC1C2 0 dC1C2 dC1C3 dC1C4 C3

dC1C4 dC1C3 dC1C2 0 dC1C2 dC1C3 C4

dC1C3 dC1C4 dC1C3 dC1C2 0 dC1C2 C5

dC1C2 dC1C3 dC1C4 dC1C3 dC1C2 0 C6

dC1N1 dC2N1 dC2N2 dC1N2 dC2N2 dC2N1 N1

dC1N2 dC2N2 dC2N1 dC1N1 dC2N1 dC2N2 N2

dC1O1 dC2O1 dC2O4 dC1O3 dC2O3 dC2O2 O1




DC6N2O4 =

N1 N2 O1 O2 O3 O4

dC1N1 dC1N2 dC1O1 dC1O1 dC1O3 dC1O1 C1






0 dN1N2 dN1O1 dN1O1 dN1O3 dN1O3 N1

dN1N2 0 dN1O3 dN1O3 dN1O1 dN1O1 N2

dN1O1 dN1O3 0 dO1O2 dO1O3 dO1O4 O1

dN1O1 dN1O3 dO1O2 0 dO1O4 dO1O3 O2

dN1O3 dN1O1 dO1O3 dO1O4 0 dO1O2 O3

dN1O3 dN1O1 dO1O4 dO1O3 dO1O2 0 O4

(12)


Analisando esta extensa matriz observa-se que existem quatro conjuntos de átomos

simetricamente equivalentes: os nitrogênios; os oxigênios; os carbonos 2, 3, 5 e 6; e os

carbonos 1 e 4. Se fossem incluídos os hidrogênios, ligados aos carbonos 2, 3, 5, e 6, estes

pertenceriam a outro conjunto, totalizando cinco conjuntos de átomos simetricamente

equivalentes. Para este caso, um plano de re�exão σ perpendicular ao plano da molécula

e passando entre os carbonos 2 e 3, e entre os carbonos 5 e 6, resulta em uma permutação

dos carbonos 1, 2 e 6 pelos carbonos 4, 3 e 5, respectivamente; os nitrogênios, entre si; os

oxigênios 1 e 2 pelos oxigênios 3 e 4, respectivamente. Esta nova orientação, Figura 6, é

igual à original, considerando que os átomos são indistinguíveis.

Figura 6: Molécula de p-dinitrobenzeno após uma operação σ.

2.4 Ponto Invariante às Operações de Simetria

Conforme mencionado na seção 1, os grupos pontuais são assim denominados por

possuírem ao menos um ponto que seja invariante a todas as operações de simetria contidas

no grupo. Em uma molécula, quando os átomos são representados por massas pontuais,

um ponto que satisfaz esta condição é o Centro de Massa da molécula. Por de�nição, uma

operação de simetria não muda a orientação de uma molécula, conforme mencionado na

seção 2.1, e, estendendo-se esta de�nição, conforme mencionado na seção 2.3, isto equivale

a uma permutação dos ASE da molécula. Portanto, após uma operação de simetria, as

posições que continham determinada massa devem conter a mesma massa, deixando o

Centro de Massa intacto.

Para suportar esta a�rmação, considere uma molécula com um número qualquer de

átomos. O Centro de Massa da molécula é dado por, conforme descrito na seção 2.5:

RCM =

∑imiri∑imi

(13)


Onde ri representa um vetor com as coordenadas do i-ésimo átomo da molécula e mi é a

massa deste átomo. Considere, agora, um operador S, que representa uma operação de

simetria contida no grupo pontual da molécula. Ao atuar em um átomo, tem-se:

Sri = r′′i (14)

Onde r′′i representa o vetor com as coordenadas do mesmo átomo após a operação de

simetria. O Centro de Massa é, agora, dado por:

RCM′′ =

∑imir

′′i∑

imi

(15)

Mas como a molécula possui o elemento de simetria S, a seguinte condição deve ser

verdade:

r′′i = rj (16)

Onde rj é o vetor com as coordenadas do j-ésimo átomo da molécula, podendo ser,

inclusive, j = i. Da extensão da de�nição apresentada anteriormente, j e i devem ser

ASE, ou seja, são da mesma espécie isotópica e, portanto, possuem a mesma massa.

Disto, tem-se que:

RCM′′ =

∑jmjrj∑jmj

(17)

Finalmente, temos a igualdade:

RCM = RCM′′ (18)

Que é, de fato, verdadeira, havendo somente uma mudança na ordem das parcelas do

somatório, mas que devem gerar o mesmo resultado.

2.5 Tensor de Inércia

O Tensor de Inércia representa a resistência à rotação de um objeto em cada direção

no espaço, e é de onde obtém-se os Momentos Principais de Inércia. Para obtê-lo, pri-

meiramente calcula-se a posição do Centro de Massa da molécula. Então, adota-se um


novo referencial, de modo que o Centro de Massa coincida com a origem de um sistema

de coordenadas, dando origem a um novo sistema que obedece a relação:

ri = r′i −RCM (19)

Com isso, o Tensor de Inércia é dado por (Kroto, 1992):

I =

∑

imi(yi2 + zi

2) −∑

imixiyi −∑

imixizi

−∑

imiyixi∑

imi(xi2 + zi

2) −∑

imiyizi

−∑

imizixi −∑

imiziyi∑

imi(xi2 + yi

2)

(20)

Onde (xi, yi, zi) são as coordenadas cartesianas do i-ésimo átomo, no sistema de co-

ordenadas onde o centro de massa da molécula encontra-se na origem. Os Momentos

Principais de Inércia são obtidos através de uma rotação do tensor, obtendo-se assim uma

matriz do tipo:

R−1IR = IP =

IA 0 0

0 IB 0

0 0 IC

(21)

Onde R é a matriz de rotação e R−1 é sua matriz inversa. Esta rotação é o mesmo que

rotacionar a molécula, de modo que os eixos de inércia coincidam com os eixos cartesianos,

ou seja, a orientação da molécula é ajustada, multiplicando-se suas coordenadas pela

matriz de rotação R. Por convenção, os momentos de inércia são nomeados da seguinte

maneira (Kroto, 1992):

IA ≤ IB ≤ IC (22)

Com o tensor diagonalizado, existem três condições que podem ser exploradas:

−Ixy =∑i

mixiyi = 0

−Ixz =∑i

mixizi = 0

−Iyz =∑i

miyizi = 0 (23)


De onde pode-se tirar informações relevantes ao processo de localização das operações de

simetria, discutidos na seção 4, como localização de planos de re�exão e eixos de rotação.

2.6 Tipos de Rotores

Através dos Momentos Principais de Inércia, as moléculas são classi�cadas de acordo

com sua Simetria Rotacional, segundo Wilson, Decius e Cross (1990) e Kroto (1992):

� Linear: aplica-se a moléculas lineares, aonde os momentos de inércia obedecem a

relação:

IA = 0; IB = IC (24)

Exemplos de moléculas com esta simetria são: dióxido de carbono, cloreto de hidro-

gênio, etino e sulfeto de carbonila (Figura 7).

Figura 7: Exemplos de rotores lineares: a) dióxido de carbono, b) cloreto de hidrogênio, c) etino, e d)

sulfeto de carbonila.

� Pião Simétrico: divide-se em prolatos e oblatos, onde os prolatos lembram uma

bola de futebol americano, e os oblatos são esferas achatadas, incluindo moléculas

planares. Os momentos de inércia comportam-se da seguinte maneira:

Prolato : IA < IB = IC (25)

Oblato : IA = IB < IC (26)

No caso em que IA = IB, e IA+ IB = IC , trata-se de uma molécula oblata e planar.

Exemplos de piões prolatos são: cloreto de metila e aleno; e de piões oblatos são:

amônia e benzeno (Figura 8).


Figura 8: Exemplos de rotores simétricos: a) cloreto de metila, b) aleno, c) amônia, e d) benzeno.

� Pião Esférico: aplica-se a moléculas com alto grau de simetria, como tetraédricas e

octaédricas, onde os momentos de inércia são iguais. O metano, o hexa�uoreto de

enxofre e o dodecaborato são exemplos de piões esféricos (Figura 9).

Figura 9: Exemplos de rotores esféricos: a) metano, b) hexa�uoreto de enxofre, e c) dodecaborato

(hidrogênios não representados).

� Pião Assimétrico: aplica-se comumente a moléculas grandes, podendo se aproximar

dos outros tipos de rotores, o que é consequência da estrutura semelhante a outro

rotor. Os momentos de inércia são todos diferentes, existindo um caso análogo ao

do pião oblato planar, isto é, se IA + IB = IC , a molécula é planar. Exemplos de

piões assimétricos são: água, anilina, �uoreto de tionila e pirrol (Figura 10).

Figura 10: Exemplos de rotores assimétricos: a) água, b) anilina, c) �uoreto de tionila, e d) pirrol.


Através da simetria rotacional de uma molécula, é possível fazer uma pré-classi�cação

em relação ao seu grupo pontual. Por exemplo, um rotor Linear obrigatoriamente per-

tencerá ao grupo pontual C∞v ou D∞h, e um pião simétrico jamais pertencerá ao grupo

pontual C1, isto é, sem simetria alguma. A Tabela 2 apresenta os possíveis grupos pon-

tuais em função do tipo de rotor apresentado por uma molécula, de acordo com Wilson,

Decius e Cross (1990).

Tabela 2: Grupos Pontuais em função da Simetria Rotacional

Simetria Rotacional Grupos Pontuais

Linear C∞v, D∞h

Pião Simétrico Cn, Cnh, Cnv, Dn, Dnh, Dnd, Sn

Pião Esférico Td, Th, Oh, Ih, Kh

Pião Assimétrico C1, Cs, Ci, Cn, Cnh, Cnv, Dn, Dnh, Dnd, Sn


3 ALGORITMOS PARA ALOCAÇÃO DOS

GRUPOS PONTUAIS

Baseando-se na Simetria Rotacional da molécula, conforme descrito na seção 2.6, a

alocação do grupo pontual da molécula modi�ca-se, restringindo as possibilidades de

acordo com o tipo de rotor (Tabela 2). Além disso, analisando as operações de simetria

contidas em cada grupo pontual (Tabela 1), é possível criar um algoritmo que necessite

de um número mínimo de operações para identi�car o grupo pontual da molécula. Tais

algoritmos, apresentados a seguir, são baseados nestas análises.

3.1 Rotores Lineares

Conforme visto na seção 2.6, os rotores lineares são facilmente identi�cáveis através

de seus momentos principais de inércia. Portanto, após a diagonalização do Tensor de

Inércia, se IA = 0, a molécula pode pertencer somente a dois grupos, de acordo com

a Tabela 2. Ao analisar os possíveis grupos pontuais na Tabela 1, observa-se que uma

operação limitante é i. Logo, se não existir um centro de inversão na molécula, ela pertence

ao grupo pontual C∞v, e caso exista, pertence ao grupo pontual D∞h.

3.2 Rotores Esféricos

Assim como os rotores lineares, um rotor esférico é facilmente identi�cável através

de seus momentos principais de inércia, conforme mencionado na seção 2.5. Após uma

estrutura ser reconhecida como um pião esférico, será avaliada o número de vértices, isto

é, átomos, da �gura geométrica formada pelos conjuntos de ASE da molécula. Como

os possíveis grupos pontuais associados a piões esféricos (Tabela 2) estão relacionados a

�guras geométricas bem de�nidas, é possível distingui-los da seguinte maneira:

Se k = 1, Grupo Pontual: Kh;

Se k4= 1 ou k

4= 3, Grupo Pontual: Td;

Se k6ou k

8= 1, k

6= 4 ou k

8= 3, Grupo Pontual: Oh;

Se k12

ou k20

= 1, k12

= 5 ou k20

= 3, Grupo Pontual: Ih ou Th.

Onde k é o número de átomos presentes em um dado conjunto de ASE. As duas possibi-

lidades quanto ao valor da divisão de k, seja por 4, 6, 8, 12 ou 20, refere-se a existência


de uma forma geométrica truncada, ou seja, tendo seus vértices cortados por um plano,

gerando novos vértices, mas mantendo a condição de um rotor esférico. Um exemplo de

uma molécula que apresenta esta con�guração é o tetrametilsilano (Figura 11a), onde os

carbonos, com k = 4, formam um tetraedro convencional, e os hidrogênios, com k = 12,

formam um tetraedro truncado, semelhante ao da Figura 11b.

Figura 11: a) Molécula de Tetrametilsilano, b) Tetraedro Truncado

Como consequência deste método para identi�cação do grupo pontual, dois casos po-

dem se sobrepor: o grupo pontual Td com Ih ou Th, e a própria distinção entre Ih e Th.

Para o primeiro caso, sabe-se que uma molécula do grupo pontual Td não possui a ope-

ração de inversão (Tabela 1), portanto, em uma eventual sobreposição das condições, a

operação de inversão será determinante na decisão do grupo pontual.

Para o segundo caso, entre a simetria icosaédrica e piritoédrica, o que torna possível

a distinção entre as duas é o fato de que uma molécula de simetria Th não possui um eixo

C5, e uma de simetria Ih possui (Tabela 1). Portanto, analisando a matriz de distâncias da

molécula, é possível veri�car que existem cinco valores de distâncias iguais para o grupo

pontual Ih, mas isso não é verdade para o grupo pontual Th.

Para que o grupo pontual seja alocado, todos os conjuntos de ASE devem concordar

quanto ao resultado, caso contrário, o grupo pontual a ser alocado será o de menor sime-

tria entre os possíveis grupos esféricos para uma dada molécula. Por exemplo, caso um

conjunto de ASE seja alocado como pertencente ao grupo pontual Oh e outro seja alocado

ao grupo pontual Th, a molécula será alocada como pertencente ao grupo pontual Th.

3.3 Rotores Simétricos

Devido às possibilidades quanto a um pião simétrico, um algoritmo um pouco mais

elaborado se faz necessário para identi�car o grupo pontual. A Figura 12 apresenta o


�uxograma a ser seguido. Inicialmente, determina-se a ordem do eixo de rotação principal,

Cn, através da análise dos momentos de inércia dos conjuntos de ASE. Em seguida,

veri�ca-se a existência de um eixo C⊥2 : caso exista, a molécula pertence a um dos grupos

diedrais D. Caso contrário, deve-se veri�car a existência de um eixo S2n colinear com o

eixo Cn: se existir, a molécula pertence ao grupo pontual S2n, caso contrário, pertencerá

a um dos grupos cíclicos C.

Figura 12: Algoritmo para identi�cação do Grupo Pontual de um Rotor Simétrico.

Para os grupos diedrais, veri�ca-se primeiramente a existência de um eixo S2n colinear

ao eixo Cn: caso exista, a molécula pertence ao grupo pontual Dnd. Caso contrário,

procura-se por um eixo Sn, também colinear ao eixo Cn: se existir, a molécula pertence

ao grupo pontual Dnh. Caso não exista a operação de rotação imprópria na molécula, ela

pertencerá ao grupo pontual Dn.

Para os grupos cíclicos, veri�ca-se primeiramente a existência de um eixo Sn colinear

ao eixo Cn: se existir, a molécula pertence ao grupo pontual Cnh. Caso não exista,

procura-se por um plano σv: caso exista, a molécula pertence ao grupo pontual Cnv; caso


contrário, pertence ao grupo pontual Cn.

3.4 Rotores Assimétricos

Figura 13: Algoritmo para identi�cação do Grupo Pontual de um Rotor Assimétrico.

Sendo o menos restrito dos tipos de rotores, um pião assimétrico abrange todas as

etapas de um pião simétrico, além da possibilidade de não possuir um eixo Cn de ordem

n > 1. Portanto, ao se localizar um pião assimétrico, procura-se por um eixo Cn. Se

existir, o algoritmo progride da mesma maneira que os rotores simétricos. Caso contrário,

veri�ca-se a existência de um plano σ: se existir, a molécula pertence ao grupo pontual

Cs. Caso contrário, procura-se por um um centro de inversão: caso a molécula possua

um, ela pertence ao grupo pontual Ci; caso contrário, pertencerá ao grupo pontual C1.


4 IDENTIFICAÇÃO DAS OPERAÇÕES DE

SIMETRIA

Após a reorientação da molécula de modo a diagonalizar o Tensor de Inércia, os prin-

cipais elementos de simetria de uma molécula estarão alinhados com os eixos e planos

cartesianos. Por exemplo, em uma molécula do grupo pontual Cs, o plano σ se encon-

trará alinhado a um dos planos cartesianos; e em uma molécula pertencente ao grupo

pontual Cnv, o eixo de rotação estará alinhado a um dos eixos cartesianos. Estas propri-

edades podem ser utilizadas de modo a facilitar a localização de elementos de simetria, e

serão exploradas nos métodos descritos a seguir.

4.1 Eixo de Rotação Própria: Cn

Para encontrar o eixo de rotação própria de maior ordem de uma molécula, deve-se

analisar os conjuntos de átomos simetricamente equivalentes (ASE). Utilizando os mo-

mentos de inércia de um conjunto, pode-se veri�car a existência e a ordem de um eixo Cn

para este conjunto de átomos simetricamente equivalentes. Existem quatro possibilidades

quanto ao arranjo de um conjunto de k ASE, classi�cados de acordo com seus momentos

de inércia, sendo calculados em um sistema de coordenadas onde o centro de massa do

conjunto de ASE se encontre na origem.

4.1.1 Arranjo Pontual

Será de�nido como um arranjo pontual quando k = 1 e os momentos de inércia forem,

consequentemente, todos iguais a zero, classi�cado como um rotor esférico:

IASEA = IASEB = IASEC = 0 (27)

Este caso é idêntico ao grupo pontual Kh, possuindo in�nitos eixos de rotação.

4.1.2 Arranjo Linear

Neste caso k = 2 e os momentos de inércia são como os de um rotor linear:

IASEA = 0; IASEB = IASEC (28)


Este caso apresenta in�nitos eixos C2 perpendiculares ao eixo do conjunto de átomos,

além de um C∞ neste eixo. Como exemplo, pode-se utilizar a molécula de CO2, da Figura

14a, onde os oxigênios pertencem a um conjunto de ASE deste caso.

4.1.3 Polígono

De�ne-se este caso como um conjunto de k ASE arranjados de tal forma que repre-

sentem um polígono de k lados, e momentos de inércia de um rotor planar. Este caso

divide-se, portanto, em dois tipos:

� Regular

Um polígono será de�nido como regular quando o conjunto de k ASE apresentar os

momentos de inércia de um rotor oblato e planar:

IASEA + IASEB = IASEC , com IASEA = IASEB (29)

Um exemplo para o caso de um rotor oblato e planar encontra-se na Figura 14b,

onde os 3 carbonos do ciclopropano formam um conjunto de ASE que representa

um polígono de 3 lados.

� Irregular

Por outro lado, quando o polígono apresentar os momentos de inércia de um rotor

assimétrico e planar, este será de�nido como irregular:

IASEA + IASEB = IASEC , com IASEA 6= IASEB (30)

Para um rotor assimétrico e planar, toma-se como exemplo o aleno em uma con-

formação eclipsada, na Figura 15, onde os hidrogênios delimitam um polígono de 4

lados.

Para o primeiro caso, o conjunto pode apresentar como eixo de maior ordem um eixo

Ck, ou um eixo de ordem igual aos divisores de k, e para o segundo caso, somente os

divisores de k são considerados. Observa-se, nos exemplos dados, que o ciclopropano da


Figura 14: Moléculas contendo conjuntos de ASE dos casos a) Linear: Dióxido de Carbono; e b)

Polígono oblato planar: Ciclopropano, com k = 3, neste caso.

Figura 14b possui um eixo Ck, com k = 3, e o aleno eclipsado da Figura 15 possui um eixo

C2, apesar de k = 4. Seja qual for a ordem do eixo de rotação, este passará pelo centro de

massa e será perpendicular ao plano do polígono. Para exempli�car o caso dos polígonos

regulares serão usados os carbonos do ciclopropano, da Figura 14b. Como existe um eixo

C3, as coordenadas dos carbonos podem ser obtidas a partir da aplicação da operação

sobre um deles. Considerando as coordenadas de um dos carbonos como dadas no vetor

XC1 = (x,y, z), e o eixo C3 localizado sobre o eixo z, tem-se:

C3XC1 =

cos 2π

3sin 2π

30

− sin 2π3

cos 2π3

0

0 0 1

x

y

z

=

cos 2π

3x+ sin 2π

3y

− sin 2π3x+ cos 2π

3y

z

= XC2 (31)

Da mesma maneira, aplicando-se a operação C23 em XC1 tem-se o vetor das coordenadas

do terceiro carbono, XC3 :

XC3 =

cos 4π

3x+ sin 4π

3y

− sin 4π3x+ cos 4π

3y

z

(32)

Com isso, as equações 23 �cam:

−Ixy = mC

{xy +

[(−x+ y

√3

2

)(−x√3− y2

)]+

[(−x− y

√3

2

)(x√3− y2

)]}= 0

−Ixz = mC

{z

[x+

(−x+ y

√3

2

)+

(−x− y

√3

2

)]}= 0

−Iyz = mC

{z

[y +

(−x√3− y2

)+

(x√3− y2

)]}= 0 (33)


Figura 15: Molécula contendo um conjunto de ASE do caso Polígono assimétrico planar: Aleno, com

k = 4, neste caso.

O que mostra que o eixo C3 encontra-se perpendicular ao plano xy, atendendo as

condições do tensor de inércia diagonalizado.

4.1.4 Prisma

Trata-se de um conjunto de ASE arranjados de tal maneira a delimitar um sólido

correspondente a translação de um polígono na direção perpendicular ao seu plano. Um

conjunto de ASE que se enquadre neste caso deve apresentar valores de k pares, de modo

que cada face poligonal do prisma possua k/2 vértices. Assim como no caso dos polígonos,

existem duas possibilidades:

� Regular

O conjunto de ASE será denominado um prisma regular quando este apresentar

momentos de inércia como os de um rotor simétrico prolato:

IASEA < IASEB = IASEC (34)

Duas possibilidades para prismas regulares encontram-se na Figura 16, que são

rotâmeros do ferroceno. Nestes casos, tanto os carbonos como os hidrogênios, não

representados, formam conjuntos de ASE correspondentes a prismas regulares.

� Irregular

Um prisma irregular será aquele que apresentar momentos de inércia como os de

um rotor assimétrico:


Figura 16: Moléculas contendo conjuntos de ASE do caso Prisma prolato: a) Ferroceno eclipsado, um

prisma; e b) Ferroceno anti, um antiprisma; ambos com k = 10 e hidrogênios não representados.

Figura 17: Molécula contendo um conjunto de ASE do caso Prisma Irregular, com k = 8

IASEA 6= IASEB 6= IASEC (35)

A Figura 17 apresenta um caso hipotético, de um conjunto de ASE que pertence

a categoria de prisma irregular. Trata-se de um caso provavelmente raro, com

condições de existência muito restritas.

Assim como os polígonos, os prismas regulares podem apresentar como eixo de maior

ordem um eixo Ck/2, que seria um eixo de ordem igual ao número de lados do polígono

formador do prisma. Analogamente, tanto para os prismas regulares como irregulares, a

ordem do eixo de rotação pode ser igual a um dos divisores de k/2. Para os exemplos

dados, ambos os rotâmeros do ferroceno apresentados na Figura 16 apresentam um eixo

C5 como eixo de maior ordem, seja para o conjunto de carbonos ou para o conjunto de

hidrogênios; e o caso hipotético da Figura 17 apresenta um eixo C2 como eixo de maior


ordem. Independente do caso, o eixo de maior ordem será perpendicular ao plano dos

polígonos, ao longo da translação, e passará pelo centro de massa do conjunto, fato que

pode ser demonstrado por uma simples extensão do exemplo apresentado anteriormente

para o caso dos polígonos.

4.1.5 Con�rmação do Eixo de Maior Ordem

Tendo-se delimitado as possíveis ordens dos eixos de rotação de cada conjunto de ASE

da molécula, estes devem ser veri�cados, a começar pelo de maior ordem. Nos casos

Pontual e Linear, a veri�cação é desnecessária, pois são certamente identi�cados pelos

momentos de inércia.

No caso dos polígonos e prismas, a veri�cação é feita através da operação de rotação de

ordem apropriada, aplicada ao redor do eixo cartesiano que contém o eixo Cn. A escolha

do eixo será realizada observando-se os momentos principais de inércia: para polígonos, o

eixo escolhido será aquele que apresentar maior valor, isto é, IASEC ; e para prismas, o eixo

será o que apresentar menor valor, isto é, IASEA . De maneira semelhante ao apresentado na

seção 4.1.3, considere um conjunto de k ASE que possui uma simetria rotacional do tipo

pião simétrico oblato, não necessariamente planar, mas que possui um eixo Cn alinhado

ao eixo z. Da equação 20, tem-se que os componentes da diagonal principal do tensor de

inércia são:

IASExx = m[(y21 + z21) + (y22 + z22) + . . .+ (y2k + z2k)]

IASEyy = m[(x21 + z21) + (x22 + z22) + . . .+ (x2k + z2k)]

IASEzz = m[(x21 + y21) + (x22 + y22) + . . .+ (x2k + y2k)] (36)

Como se trata de um pião simétrico oblato, os valores para as coordenadas cartesianas

em x e y devem ser maiores que em z, resultando em um valor maior para a inércia ao

redor do eixo z, ou seja, IASEzz = IASEC , que é o mesmo aonde encontra-se o eixo Cn do

conjunto. A partir disto, �ca claro que, em um prisma, que se comporta como um, ou

próximo de um, pião simétrico prolato, o eixo de menor inércia, IASEA , será o próprio eixo

cartesiano alinhado ao eixo Cn do conjunto.

Na molécula como um todo, o eixo de maior ordem que satisfazer as condições da

operação de rotação própria será o de maior ordem da molécula. Assim como no caso dos


conjuntos de ASE, o eixo cartesiano apropriado para a aplicação da rotação será escolhido

baseando-se na análise do tensor de inércia, conforme mostrado acima. Entretanto, para

rotores assimétricos, este método se mostra ine�caz, portanto, a escolha do eixo cartesiano

para aplicar a rotação será feita através do conceito apresentado na seção 2.4: se o centro

de massa é invariante aos elementos de simetria presentes em uma molécula, o centro de

massa de cada conjunto de ASE também o será. Com estes pontos é possível identi�car

o eixo cartesianos aonde se encontra o eixo de rotação de maior ordem da molécula.

Como exemplos de todo o procedimento, serão utilizados moléculas previamente des-

critas, onde os conjuntos de ASE já foram identi�cados.

Água

Inicialmente considera-se a água, Figura 18, onde se tem dois conjuntos de ASE: o

oxigênio e os dois hidrogênios. O oxigênio, isoladamente, possui in�nitos eixos, por se

encaixar no arranjo pontual. Quanto aos hidrogênios, estes se encaixam no arranjo linear,

portanto apresentam in�nitos eixos C2 e um eixo C∞. Os eixos C∞ podem ser descartados

imediatamente, pelo fato de que a molécula não é um rotor linear e possui mais de um

átomo. Sobram, então, os eixos C2, que serão testados aplicando-se a operação direta-

mente na molécula. Para determinar o eixo aonde será aplicada a rotação e, portanto, o

único eixo C2 possível, veri�ca-se os centros de massa da molécula e de cada conjunto de

ASE, pois a água é um pião assimétrico: para o oxigênio, encontra-se no próprio átomo;

para os hidrogênios, encontra-se entre os dois átomos; e para a molécula como um todo,

um pouco abaixo do átomo de oxigênio e equidistante aos hidrogênios (Figura 18a). Por-

tanto, o eixo C2 da molécula deve estar conforme visto na Figura 18b, cruzando os três

pontos descritos. Ao aplicar-se a operação C2, con�rma-se que a água possui de fato este

elemento de simetria.

Benzeno

Como próximo exemplo tem-se o benzeno, Figura 19, onde os seis carbonos formam

um conjunto de ASE, e os seis hidrogênios formam outro. Fica evidente que ambos os

conjuntos delimitam um polígono de k = 6, portanto ambos podem possuir um eixo C6

como eixo de maior ordem, perpendicular ao plano da molécula, por se tratar de um pião

simétrico oblato e planar, que passa pelo centros de massa dos conjuntos e da molécula,


Figura 18: Moléculas de água, evidenciando a) o Centro de Massa da molécula, e b) o Eixo C2 da

molécula.

Figura 19: Moléculas de benzeno, evidenciando a) o Centro de Massa da molécula, e b) o Eixo C6 da

molécula.

que, neste caso, são todos o mesmo ponto. Aplicando-se uma rotação de ordem 6, veri�ca-

se que as condições de simetria são satisfeitas, portanto, conclui-se que o benzeno possui

como eixo de maior ordem um C6, conforme mostra a Figura 19b.

p-Dinitrobenzeno

No último exemplo, tem-se o p-dinitrobenzeno, Figura 20, onde há cinco conjuntos de

ASE: i) os quatro hidrogênios, ii) os dois carbonos ligados aos grupos nitro, iii) os quatro

demais carbonos, iv) os dois nitrogênios, e v) os quatro oxigênios. Os cinco conjuntos

dividem-se em dois casos apresentados anteriormente: dois lineares e três polígonos de

k = 4 vértices. Os lineares, os dois carbonos ligados aos grupos nitro e os dois nitro-

gênios, apresentam a mesma possibilidade: os in�nitos eixos C2 de um rotor linear. Os

polígonos, demais conjuntos, apresentam a mesma con�guração: possuem k = 4 e por-

tanto a possibilidade de um C4 como eixo de maior ordem, perpendicular ao plano dos

conjuntos e da molécula. Aplicando-se a operação de rotação veri�ca-se que a molécula


Figura 20: Moléculas de p-dinitrobenzeno, evidenciando a) o Centro de Massa da molécula, e b) o Eixo

C2 da molécula.

não possui um eixo C4, portanto deve-se testar a outra possibilidade, que são os eixos C2

dos conjuntos lineares e que condizem com o polígono de k = 4. Novamente, o eixo a ser

considerado é o eixo perpendicular ao plano molecular, pela fato de que a molécula é um

rotor simétrico oblato e planar. Aplicando-se a operação C2, conclui-se que a molécula

possui este elemento de simetria, conforme mostra a Figura 20b.

4.2 Eixos C2 Perpendiculares: C⊥2

Para a localização de eixos C2 perpendiculares ao eixo Cn de maior ordem, serão

utilizados duas condições: I) para que exista um eixo C⊥2 o centro de massa de cada

conjunto de ASE deve estar localizado no mesmo ponto que o centro de massa da molécula,

isto é, na origem, de modo a não violar a condição de um grupo pontual; e II) um eixo

C⊥2 deve existir tanto para a molécula como um todo como para cada conjunto de ASE

que a compõem, facilitando a localização de possíveis eixos C⊥2 .

A primeira condição é facilmente testada, calculando-se o centro de massa de cada

conjunto de ASE, como descrito na seção 2.5, e veri�cando a posição destes. A segunda

condição é testada explorando o fato de que cada conjunto de ASE adota uma forma

geométrica que apresenta eixos C⊥2 facilmente localizáveis, onde a operação é aplicada e

veri�ca-se a existência, ou não, do eixo. Para tal, escolhe-se um conjunto de ASE e é

selecionado um átomo qualquer deste conjunto, em particular seu vetor posição. Calcula-

se, então, o vetor posição do ponto médio entre este átomo e outro átomo qualquer

pertencente ao mesmo conjunto de ASE. Este vetor será utilizado para a aplicação de

uma operação C2, utilizando-se da seguinte matriz de rotação (Zwillinger, 2002):


R =

x2(1− cos θ) + cos θ xy(1− cos θ)− z sin θ xz(1− cos θ) + y sin θ

xy(1− cos θ) + z sin θ y2(1− cos θ) + cos θ yz(1− cos θ)− x sin θ

xz(1− cos θ)− y sin θ yx(1− cos θ) + x sin θ z2(1− cos θ) + cos θ

(37)

Onde x, y e z são as coordenadas do versor do vetor ao redor do qual fora realizada a

operação C2, e θ é o ângulo de rotação, que neste caso deve ser igual a 180◦. Caso a

operação satisfaça os critérios de uma operação de simetria, a molécula possui eixos C⊥2 ,

caso contrário, o vetor do ponto médio entre o átomo escolhido e um novo átomo do

conjunto será testado.

Porém, como procura-se por um eixo perpendicular ao eixo principal de rotação, duas

condições devem ser observadas: o ponto médio não pode situar-se na origem, e o vetor

posição do ponto médio deve ser perpendicular ao eixo cartesiano que contém o eixo

principal de rotação. Caso nenhum dos eixos considerados atenda as condições de simetria,

a molécula não possui eixos C⊥2 .

Dois pontos que devem ser notados são as possibilidades de conjuntos de ASE com 1

ou 2 átomos. Nestes casos, um novo conjunto será escolhido para o teste, entretanto, para

uma molécula que possua apenas conjuntos de ASE com 2 átomos, os eixos veri�cados

serão os dois eixos cartesianos perpendiculares ao eixo aonde encontra-se o eixo principal

de rotação, pois todo ponto médio situaria-se na origem do sistema.

Para facilitar o entendimento, considere novamente a molécula de benzeno, na Figura

21a. Conforme mostrado anteriormente, o benzeno possui um eixo C6 perpendicular ao

plano da molécula, logo, se possuir eixos C⊥2 , estes se encontrarão neste plano. Inicial-

mente, escolhe-se um conjunto de ASE qualquer, por exemplo, o dos hidrogênios, e, então,

dois átomos quaisquer deste conjunto. Caso dois hidrogênios em posições opostas sejam

escolhidos, por exemplo os hidrogênios 1 e 4, é evidente que o ponto médio entre estes

átomos encontra-se no centro de massa da molécula, ou seja, na origem, o que inutiliza

este ponto. Escolhe-se, então, os hidrogênios 1 e 5, por exemplo. O ponto médio entre

este átomos encontra-se quase que sobre o carbono 6, como mostra a Figura 21b, não

situando-se sobre a origem e seu vetor posição é perpendicular ao eixo C6. Aplicando-se a

rotação C2 ao redor do eixo representado por este vetor, tem-se a molécula representada

na Figura 21c, ou seja, exatamente como na Figura 21a, desconsiderando-se a numeração


dos átomos, logo, este eixo C⊥2 atende as condições de simetria e, consequentemente, a

molécula de benzeno apresenta eixos C⊥2 .

Figura 21: Molécula de Benzeno, evidenciando: a) as posições dos átomos e o centro de massa da

molécula, b) o vetor posição do ponto médio entre os hidrogênios 1 e 5, e c) a con�rmação da existência

do eixo C⊥2 .

4.3 Eixos de Rotação Imprópria: S2n e Sn

Para todos os casos em que a operação de rotação imprópria for necessária, o eixo

S2n ou Sn será colinear ao eixo Cn da molécula, se existir. Portanto, para localizar este

elemento de simetria, basta aplicar a operação de ordem apropriada no mesmo eixo que

contém o eixo Cn da molécula. Por exemplo, no caso do benzeno, da Figura 19, a existência

de um eixo Sn será veri�cada no mesmo eixo em que existe o eixo C6 da molécula, isto é,

passando pelo centro de massa e perpendicular ao plano da molécula.

4.4 Planos de Re�exão: σ e σv

A identi�cação de planos de re�exão será realizada somente em duas circunstâncias

durante todo o procedimento, conforme visto na seção anterior: para diferenciar entre

os grupos Cnv e Cn, e para localizar o grupo pontual Cs. Para o primeiro caso, já é

conhecido um eixo que, se o plano existir, deve estar contido neste plano, como o eixo

C2 da molécula de água da Figura 22a, portanto é possível escolher um vetor que esteja

no plano. Escolhe-se, então, um vetor posição de qualquer átomo que não encontre-se

no eixo de rotação, como na Figura 22b, e, através de um produto vetorial entre estes

dois vetores, tem-se um vetor diretor de um plano que passa pela origem e que contém o


eixo de rotação de maior ordem da molécula. Usando o versor do vetor diretor do plano,

obtém-se a matriz da operação de re�exão através deste plano (Zwillinger, 2002):

σv =

1− 2x2 −2xy −2xz

−2xy 1− 2y2 −2yz

−2xz −2yz 1− 2z2

(38)

Onde x, y, e z são os componentes do versor do vetor diretor do plano. Aplica-se, então,

a re�exão ao redor do plano obtido e veri�ca-se se a molécula possui este elemento de

simetria. Caso possua, a molécula pertence ao grupo pontual Cnv, como é o caso da água

na Figura 22c. Caso contrário, a molécula não possui planos de re�exão e pertence ao

grupo pontual Cn.

Figura 22: Molécula de Água, evidenciando: a) o centro de massa e o eixo C2 da molécula, b) o vetor

posição do hidrogênio escolhido, e c) o plano σv gerado pelos vetores escolhidos.

Para moléculas que não possuam outros elementos de simetria além de σ, como é o caso

das moléculas pertencentes ao grupo pontual Cs (Figura 23a), a localização do elemento de

simetria assemelha-se ao procedimento descrito para localizar o eixo cartesiano que contém

o eixo Cn para rotores assimétricos: quando existir, os centros de massa dos conjuntos

de ASE e da própria molécula serão pontos coplanares contidos no plano cartesiano onde

a operação de re�exão deve ser aplicada para con�rmar a existência do elemento de

simetria, como na Figura 23b. Isto pode ser exempli�cado de maneira análoga ao mostrado

anteriormente para o eixo principal de rotação.

4.5 Inversão: i

Para a inversão, por se tratar de uma operação extremamente simples, basta aplicá-la

na molécula e veri�car se as condições de simetria são satisfeitas. Isto será feito somente


Figura 23: Molécula pertencente ao grupo pontual Cs a) Fluoreto de Tionila, e b) plano de re�exão σ

da molécula.

no referencial onde o centro de massa esteja na origem, de modo que este seja invariante

à operação, conforme que foi descrito na seção 2.4.

5 EXEMPLOS 42

5 EXEMPLOS

5.1 Amônia

Para demonstrar todo o procedimento para alocação do grupo pontual de uma molé-

cula, o algoritmo será aplicado a duas moléculas utilizando valores numéricos, ao contrário

do que foi mostrado até agora. Como primeiro exemplo, considere a molécula de amônia,

representada na Figura 24, constituída pelo isótopos mais abundantes de cada elemento, o1H e o 14N. As informações relevantes ao procedimento encontram-se na Tabela 3 abaixo:

Figura 24: Molécula de Amônia

Tabela 3: Informações referentes à molécula de amônia

# Símbolo Massa atômica (uma) Coordenadas cartesianas (x;y;z)(Å)

1 N 14, 003074 (0, 000000; 0, 000000; 0, 000000)

2 H 1, 007825 (0, 000000; 0, 000000; 1, 008000)

3 H 1, 007825 (0, 950353; 0, 000000;−0, 336000)

4 H 1, 007825 (−0, 475176;−0, 823029;−0, 336000)

A partir destes dados, calcula-se a matriz de distâncias interatômicas, conforme des-

crito na seção 2.3, em Å:

DNH3 =

N H1 H2 H3

0, 000000 1, 008000 1, 008001 1, 008000 N

1, 008000 0, 000000 1, 646058 1, 646057 H1

1, 008001 1, 646058 0, 000000 1, 646059 H2

1, 008000 1, 646057 1, 646059 0, 000000 H3

(39)

5 EXEMPLOS 43

De onde pode-se observar que os três hidrogênios formam um conjunto de ASE, dentro

de uma precisão de 10−4Å, e o nitrogênio compõem outro conjunto. Em seguida, são

calculadas as coordenadas do centro de massa da molécula, conforme descrito na seção

2.5:

rCM =

0, 028126

−0, 048716

0, 019888

(40)

E então a molécula é deslocada de modo que o centro de massa se encontre na origem

de um sistema de coordenadas, resultando na seguinte matriz de coordenadas, onde as

colunas seguem a ordem dos átomos na Tabela 3 e as linhas representam as coordenadas

(x, y, z):

XNH3 =

−0, 028126 −0, 028126 0, 922227 −0, 503302

0, 048716 0, 048716 0, 048716 −0, 774313

−0, 019888 0, 988112 −0, 355888 −0, 355888

(41)

A partir destas coordenadas, calcula-se o tensor de inércia do sistema, conforme des-

crito na seção 2.5, para posterior diagonalização e classi�cação da simetria rotacional da

molécula, em umaÅ2:

I =

1, 887107 −0, 417474 0, 170433

−0, 417474 2, 369166 −0, 295198

0, 170433 −0, 295198 1, 766596

(42)

IP =

1, 646079 0, 000000 0, 000000

0, 000000 2, 730709 0, 000000

0, 000000 0, 000000 1, 646082

(43)

A partir do tensor diagonalizado, pode-se classi�car a molécula como um Pião Si-

métrico do tipo Oblato, pois IA = IB < IC , dentro de uma precisão de 10−3umaÅ2.

E, utilizando a matriz de rotação R, obtém-se a orientação da molécula em que o eixo

principal de rotação Cn está alinhado a um dos eixos cartesianos:

5 EXEMPLOS 44

X′NH3=

0, 000000 −0, 190485 0, 901571 −0, 711084

0, 059665 −0, 276336 −0, 276335 −0, 276336

0, 000000 0, 931066 −0, 300568 −0, 630498

(44)

Como se trata de rotor simétrico, o procedimento agora será de acordo com o descrito

na Figura 12. Portanto, deve-se localizar a ordem do eixo principal de rotação. Para tal,

é feita a análise da simetria rotacional de cada conjunto de ASE: o primeiro conjunto

contém três hidrogênios e o seguinte tensor de inércia, já diagonalizado:

IASEH =

1, 365353 0, 000000 0, 000000

0, 000000 2, 730709 0, 000000

0, 000000 0, 000000 1, 365356

(45)

De onde pode-se classi�car este conjunto de ASE como um Pião Simétrico Oblato e

Planar, pois além de IA = IB < IC , IA+ IB = IC , dentro de uma precisão de 10−3umaÅ2,

e, portanto, um polígono regular, onde k = 3. O conjunto possui, portanto, um eixo de

rotação C3 no eixo y, pois o elemento IASEyy do tensor de inércia possui o maior valor, ou

seja, IASEyy = IASEC . Para o segundo conjunto, que contém o nitrogênio, é evidente que

este se encaixa no caso do arranjo pontual, pois k = 1 neste caso.

Para veri�car a presença do eixo C3, a operação será aplicada na molécula como um

todo. Como a amônia é um pião oblato, o eixo principal de rotação deve estar alinhado ao

eixo que possui maior valor no tensor de inércia, este sendo o eixo y neste caso. Aplicando

a rotação:

C3X′NH3

=

cos 2π

30 sin 2π

3

0 0 1

− sin 2π3

0 cos 2π3

0, 000000 −0, 190485 0, 901571 −0, 711084

0, 059665 −0, 276336 −0, 276335 −0, 276336

0, 000000 0, 931066 −0, 300568 −0, 630498

=

0, 000000 −0, 711084 −0, 190486 0, 901569

0, 059665 −0, 276336 −0, 276335 −0, 276336

−0, 000000 −0, 630498 0, 931067 −0, 300568

(46)

Comparando esta matriz de coordenadas com a matriz X′NH3, pode-se observar que,

dentro de uma precisão de 10−4Å, a molécula de amônia de fato possui um eixo C3

5 EXEMPLOS 45

paralelo ao eixo y, pois nota-se que o hidrogênio #1 agora ocupa a posição do hidrogênio

#3, o hidrogênio #2 ocupa a posição do hidrogênio #1, o hidrogênio #3 ocupa a posição

do hidrogênio #2 e o nitrogênio não mudou de posição. O próximo passo é procurar por

eixos C⊥2 : o centro de massa do conjunto que contém o nitrogênio é simplesmente a sua

posição no espaço, e a do conjunto dos hidrogênios já fora calculado é:

rHCM =

0, 000000

−0, 276335

0, 000000

rNCM =

0, 000000

0, 059665

0, 000000

(47)

De onde observa-se que a molécula de amônia não possui eixos C⊥2 , pois os centros de

massa dos conjuntos de ASE que a compõem não encontram-se na origem do sistema de

coordenadas. Portanto, sabe-se que as molécula de amônia pertence aos grupos Cíclicos.

Seguindo o algoritmo, o próximo passo é veri�car se a molécula possui um eixo S6 colinear

ao eixo C3, ou seja, paralelo ao eixo y. Trata-se, portanto, de uma rotação C6 em torno

do eixo y e re�exão através do plano xz:

S6X′NH3

=

cos 2π

6 0 sin 2π6

0 −1 0

− sin 2π6 0 cos 2π

6

0, 000000 −0, 190485 0, 901571 −0, 711084

0, 059665 −0, 276336 −0, 276335 −0, 276336

0, 000000 0, 931066 −0, 300568 −0, 630498

=

0, 000000 −0, 901569 0, 711085 0, 190485

−0, 059665 0, 276336 0, 276335 0, 276336

0, 000000 0, 300568 0, 630499 −0, 931066

(48)

Comparando-se as matrizes de coordenadas, nota-se que o nitrogênio encontra-se fora de

sua posição, portanto conclui-se que a molécula de amônia não possui um eixo S6, logo

não pertence ao grupo pontual S6. Seguindo o algoritmo, o próximo passo é veri�car a

existência de um eixo S3 paralelo ao eixo C3. De maneira semelhante, aplica-se a operação:

5 EXEMPLOS 46

S3X′NH3

=

cos 2π

3 0 sin 2π3

0 −1 0

− sin 2π3 0 cos 2π

3

0, 000000 −0, 190485 0, 901571 −0, 711084

0, 059665 −0, 276336 −0, 276335 −0, 276336

0, 000000 0, 931066 −0, 300568 −0, 630498

=

0, 000000 −0, 711084 −0, 190486 0, 901569

−0, 059665 0, 276336 0, 276335 0, 276336

0, 000000 −0, 630498 0, 931067 −0, 300568

(49)

Comparando as coordenadas após a operação, pode-se concluir que a molécula não possui

um eixo S3, pelo mesmo motivo encontrado para o eixo S6 anteriormente, logo, a amônia

não pertence ao grupo pontual C3h. Consequentemente, segundo o algoritmo, deve-se

veri�car a existência de planos σv na molécula. Conforme descrito, utilizando um vetor

qualquer paralelo ao eixo y, e um vetor posição de um átomo que não se encontre sobre

o eixo y, por exemplo, o primeiro hidrogênio, o átomo de número 2, é possível obter um

vetor diretor do plano que contém o eixo C3 e o átomo #2. A equação do plano é obtida

usando o versor do vetor obtido através do produto vetorial entre os vetores, e o centro de

massa da molécula, a origem do sistema. A matriz da operação de re�exão através deste

plano é:

σv =

−0, 919650 0, 000000 −0, 392739

0, 000000 1, 000000 0, 000000

−0, 392739 0, 000000 0, 919650

(50)

E a aplicação desta re�exão resulta nas seguintes coordenadas:

σvX′NH3

= σv

0, 000000 −0, 711084 −0, 190486 0, 901569

0, 059665 −0, 276336 −0, 276335 −0, 276336

−0, 000000 −0, 630498 0, 931067 −0, 300568

=

0, 000000 −0, 190485 −0, 711085 0, 901570

0, 059665 −0, 276336 −0, 276335 −0, 276336

0, 000000 0, 931066 −0, 630499 −0, 300568

(51)

Desta última operação observa-se que a molécula de amônia possui o plano de re�exão

que contém o eixo C3 e o primeiro átomo de hidrogênio da molécula. Portanto, através do

5 EXEMPLOS 47

algoritmo conclui-se corretamente que a molécula de amônia pertence ao grupo pontual

C3v.

5.2 Aleno

Como segundo exemplo do procedimento de alocação de grupo pontual, será utilizado

a molécula de aleno em sua conformação mais estável, a anti, como mostra a Figura 25,

novamente constituída pelos isótopos mais abundantes de cada elemento, o 1H e o 12C.

Na Tabela 4, abaixo, encontram-se as informações pertinentes ao procedimento.

Figura 25: Molécula de Aleno, conformação anti.

Tabela 4: Informações referentes à molécula de aleno

# Símbolo Massa atômica (uma) Coordenadas cartesianas (x;y;z)(Å)

1 C 12, 000000 (0, 000000; 0, 000000; 0, 000000)

2 C 12, 000000 (0, 686442; 0, 426203; 1, 062720)

5 C 12, 000000 (−0, 686442;−0, 426203;−1, 062720)

3 H 1, 007825 (1, 065720;−0, 430758; 1, 617416)

4 H 1, 007825 (0, 680464; 1, 514938; 1, 085950)

6 H 1, 007825 (−1, 732359;−0, 558795;−0, 789959)

7 H 1, 007825 (−0, 013827;−0, 525388;−1, 913409)

Novamente, o primeiro passo é o cálculo das distâncias interatômicas da molécula, em

Å:

5 EXEMPLOS 48

DC3H4 =

C1 C2 C3 H1 H2 H3 H4

0, 000000 1, 335000 1, 335000 1, 984274 1, 984277 1, 984277 1, 984277 C1

1, 335000 0, 000000 2, 670000 1, 089000 1, 089000 3, 202068 3, 202068 C2

1, 335000 2, 670000 0, 000000 3, 202065 3, 202068 1, 089000 1, 089000 C3

1, 984274 1, 089000 3, 202065 0, 000000 2, 053439 3, 693385 3, 693385 H1

1, 984277 1, 089000 3, 202068 2, 053439 0, 000000 3, 693389 3, 693389 H2

1, 984277 3, 202068 1, 089000 3, 693385 3, 693389 0, 000000 2, 053438 H3

1, 984277 3, 202068 1, 089000 3, 693385 3, 693389 2, 053438 0, 000000 H4

(52)

Da matriz de distâncias pode-se concluir que a molécula é composta por 3 conjuntos de

ASE, dentro de uma precisão de 10−4Å: I) o carbono central, II) os carbonos externos,

e III) os quatro hidrogênios. Calcula-se, então, o centro de massa da molécula que,

neste caso, encontra-se na origem do sistema de coordenadas atual, portanto a matriz de

coordenadas é a mesma que nos dados iniciais do exemplo:

XC3H4 =

0, 000000 0, 686442 −0, 686442 1, 065720 0, 680464 −1, 732359 −0, 013827

0, 000000 0, 426203 −0, 426203 −0, 430758 1, 514938 −0, 558795 −0, 525388

0, 000000 1, 062720 −1, 062720 1, 617416 1, 085950 −0, 789959 −1, 913409

(53)

Em seguida é calculado e diagonalizado o tensor de inércia da molécula, resultando

nos seguintes momentos principais de inércia, em umaÅ2:

I =

56, 521261 0, 000000 0, 0000000

0, 000000 56, 521262 0, 0000000

0, 000000 0, 000000 4, 249605

(54)

De onde classi�ca-se a molécula como um Pião Simétrico Prolato, pois IA < IB = IC ,

dentro de uma precisão de 10−3umaÅ2. Usando a matrizR, a nova orientação da molécula

é dada pela seguinte matriz:

X′C3H4

=

0, 000000 0, 000000 0, 000000 0, 185270 −0, 185269 −1, 009866 1, 009864

0, 000000 0, 000000 0, 000000 −1, 009867 1, 009864 −0, 185269 0, 185270

0, 000000 1, 335000 −1, 335000 1, 697996 1, 698001 −1, 697999 −1, 698001

(55)

5 EXEMPLOS 49

Da mesma maneira que no exemplo anterior, o procedimento irá seguir aquele apre-

sentado para rotores simétricos, portanto, o primeiro passo é identi�car a ordem do eixo

de rotação. É evidente que o primeiro conjunto de ASE se encaixa no arranjo pontual

e que o segundo se encaixa no arranjo linear, pois k = 2. O terceiro conjunto deve ser

analisado quando ao seu tensor de inércia, já diagonalizado:

IASEIII =

13, 747854 0, 000000 0, 0000000

0, 000000 13, 747852 0, 0000000

0, 000000 0, 000000 4, 249606

(56)

Conclui-se, portanto, que o conjunto é classi�cado também como Pião Simétrico Prolato,

sendo classi�cado como um "prisma"regular, de k = 4. Neste caso, o conjunto pode

apresentar, como eixo principal de rotação, um eixo C2, sendo paralelo ao eixo cartesiano

z. Como o primeiro conjunto de ASE pertence ao arranjo pontual, este será importante

somente na determinação da ordem do eixo de rotação da molécula como um todo; o

segundo conjunto, por sua vez, pode apresentar um eixo C∞ ao longo do seu eixo, que

situa-se sobre o eixo z, da mesma maneira que o eixo C2 presente no terceiro conjunto.

Para con�rmar a real ordem do eixo, aplica-se a operação de rotação própria de ordem

n = 2:

C2X′C3H4

=

0, 000000 0, 000000 0, 000000 −0, 185270 0, 185269 1, 009866 −1, 009864

0, 000000 0, 000000 0, 000000 1, 009867 −1, 009864 0, 185269 −0, 185270

0, 000000 1, 335000 −1, 335000 1, 697996 1, 698001 −1, 697999 −1, 698001

(57)

Que de fato existe, como observado na matriz de coordenadas resultante. Em seguida,

deve-se procurar por eixos C⊥2 , veri�cando-se inicialmente se o centro de massa de cada

conjunto de ASE coincide com o da molécula, na origem do sistema:

rICM = rIICM = rIIICM =

0, 000000

0, 000000

0, 000000

(58)

Com a primeira condição satisfeita, a próxima é localizar um vetor para aplicar a

operação C2 perpendicular ao eixo C2 principal. Existindo um conjunto com mais de 2

5 EXEMPLOS 50

átomos, este será escolhido para o teste, onde serão escolhidos, inicialmente, o primeiro e

o segundo hidrogênios do conjunto. O ponto médio entre estes átomos é:

r1PM =

0, 185270

−1, 009867

1, 697996

+

−0, 185269

1, 009864

1, 698001

=

0, 000000

0, 000002

1, 697998

(59)

Que encontra-se sobre o eixo z, dentro de uma precisão de 10−4Å, portanto este ponto será

descartado. O próximo ponto será calculado usando o primeiro e o terceiro hidrogênios do

conjunto. Neste caso, o ponto médio, já projetado sobre o plano xy, possui as coordenadas:

r2PM =

−0, 412298

−0, 597568

0, 000000

(60)

Evidentemente, este ponto não encontra-se na origem, por isso será utilizado na tentativa

de localizar um eixo C⊥2 na molécula. Conforme descrito na seção 4.2, a matriz de rotação

a será composta utilizando o versor do vetor posição do ponto médio escolhido, r2PM:

C⊥2 =

−0, 354972 0, 934877 0, 000000

0, 934877 0, 354972 0, 000000

0, 000000 0, 000000 −1, 000000

(61)

Aplicando, então, a operação C2 com a matriz acima, tem-se as seguintes coordenadas

resultantes:

C⊥2 X′

C3H4=

0, 000000 0, 000000 0, 000000 −1, 009867 1, 009864 0, 185271 −0, 185270

0, 000000 0, 000000 0, 000000 −0, 185270 0, 185270 −1, 009865 1, 009864

0, 000000 −1, 335000 1, 335000 −1, 697996 −1, 698001 1, 697999 1, 698001

(62)

Comparando a matriz acima com a matriz de coordenadas da equação 55 pode-se concluir

que a molécula possui o eixo C⊥2 localizado, dentro de uma precisão de 10−4Å. Con�rmada

a existência de eixos C2 ⊥, o algoritmo progride para os conjuntos diedrais, e o próximo

passo é veri�car se existe um eixo S4 colinear ao eixo C2 principal em z. Aplicando-se a

operação:

5 EXEMPLOS 51

S4X′C3H4

=

0, 000000 0, 000000 0, 000000 −1, 009867 1, 009864 −0, 185269 0, 185270

0, 000000 0, 000000 0, 000000 −0, 185270 0, 185269 1, 009866 −1, 009864

0, 000000 −1, 335000 1, 335000 −1, 697996 −1, 698001 1, 697999 1, 698001

(63)

Comparando as matrizes de coordenadas, pode-se observar que a molécula possui um

eixo S4 colinear ao eixo C2 principal, e, portanto, pertence ao grupo pontualD2d, conforme

era esperado.

Além dos dois exemplos apresentados, no Apêndice A encontram-se vários outros

exemplos compostos dos arquivos de entrada e de saída do programa aonde o método

fora implementado.

6 CONCLUSÕES 52

6 CONCLUSÕES

Neste trabalho foi apresentado um método para a identi�cação do grupo pontual de

moléculas, através de conceitos mais familiares à físicos e químicos. Conceitos como a

simetria rotacional de uma molécula e os conjuntos de átomos simetricamente equivalentes

que a compõem foram explorados com sucesso para a alocação de grupos pontuais.

Ao contrário de outros métodos publicados, o método apresentado não localiza todas as

operações de simetria em uma molécula, sendo que estas só são completamente conhecidas

após a identi�cação do grupo pontual molecular. Ao invés disso, o grupo pontual é

reconhecido através de um número mínimo de operações e independente da orientação

original da molécula, consequência principalmente de uma análise detalhada das operações

de simetria existentes nos grupos pontuais e das propriedades rotacionais de moléculas.

Devido a isso, o programa no qual foi implementado o algoritmo é de fácil utilização e

grande rapidez, necessitando de mínimo recurso computacional e apenas as informações

referentes aos átomos presentes na molécula e suas coordenadas cartesianas.

Para assegurar-se de que o método funciona, várias moléculas foram utilizadas como

teste, mas, como todo método recém-desenvolvido, são necessários muitos testes, princi-

palmente com arranjos de átomos, não necessariamente moléculas reais, que venham a

desa�ar o método proposto, apontando uma direção para melhorias, ou até mesmo a�r-

mando a solidez do método. Entre os pontos que possam vir a ser aprimorados, dois

reconhecidamente frágeis do método é a alocação do grupo pontual a piões esféricos e

a falta de provas matemáticas rigorosas para os conceitos e procedimentos introduzidos

durante o trabalho.

Entre as possibilidades para futuro trabalhos, pode-se considerar a expansão do mé-

todo para localização do grupo cristalográ�co em cristais. Algumas limitações podem ser

consideradas neste caso, assim como a localização de elementos de simetria inexistentes em

moléculas individuais, como a operação de translação, porém, em princípio, este método

se apresenta como uma forma de considerar este problema. Outras propostas incluem

a a localização das demais operações de simetria presentes na molécula e a geração das

matrizes que representam estas operações.

REFERÊNCIAS 53

REFERÊNCIAS

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ZWILLINGER, Daniel; CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. New York:Chappman & Hall/CRC, 2002.

A EXEMPLOS DO SOFTWARE 54

A Exemplos do software

Neste apêndice encontram-se os arquivos de entrada e os arquivos de saída, para várias

moléculas, do programa aonde fora implementado o método descrito no trabalho. Cada

molécula teve seu Grupo Pontual alocado corretamente.

Nos arquivos de entrada, o valor na primeira linha indica o numero de átomos da mo-

lécula, em seguida as colunas representam, respectivamente: o número atômico; o isótopo

escolhido, sendo 1 o de maior abundância natural; a coordenada em x; a coordenada em

y; e a coordenada em z, sendo todas as coordenadas em Å. Nas �guras representando

cada molécula, átomos de carbono estão em laranja, átomos de hidrogênio em branco,

átomos de oxigênio em vermelho, átomos de nitrogênio em azul, átomos de silício em bege

e átomos de metais, como o cobre e o cobalto, em amarelo.

A.1 1-Metil-2-pirrolidona

Figura 26: Molécula de 1-Metil-2-pirrolidona.

Arquivo de entrada:

16

6 1 0.000000 0.000000 0.000000

1 1 0.000000 0.000000 1.089000

1 1 1.026720 0.000000 -0.362996

1 1 -0.513360 0.889165 -0.363000

7 1 -0.678821 -1.175755 -0.480003

6 1 -1.924386 -1.381636 -0.165710

6 1 -2.300135 -2.528986 -0.735469

6 1 -1.115207 -3.017293 -1.453425

6 1 -0.164175 -2.105090 -1.231053

1 1 0.684467 -2.558029 -0.718458

1 1 -1.344070 -3.103983 -2.515595

1 1 -3.129530 -2.341479 -1.417411

8 1 -2.517292 -0.578573 0.535684


1 1 -2.615415 -3.230815 0.035217

1 1 -0.830506 -3.993069 -1.062619

1 1 0.170334 -1.668448 -2.170930

Arquivo de saida:

**********************************************************************

PROGRAMA PARA LOCALIZACAO DE GRUPO PONTUAL MOLECULAR

Autor: Otavio Beruski

*********************************************************************

Numero de Atomos: 16

# Simbolo Z Massa isotopica (uma) Coordenadas x y z (angstrom)

1 C 6 12,000000 ( 0,000000 0,000000 0,000000 )

2 H 1 1,007825 ( 0,000000 0,000000 1,089000 )

3 H 1 1,007825 ( 1,026720 0,000000 -0,362996 )

4 H 1 1,007825 ( -0,513360 0,889165 -0,363000 )

5 N 7 14,003074 ( -0,678821 -1,175755 -0,480003 )

6 C 6 12,000000 ( -1,924386 -1,381636 -0,165710 )

7 C 6 12,000000 ( -2,300135 -2,528986 -0,735469 )

8 C 6 12,000000 ( -1,115207 -3,017293 -1,453425 )

9 C 6 12,000000 ( -0,164175 -2,105090 -1,231053 )

10 H 1 1,007825 ( 0,684467 -2,558029 -0,718458 )

11 H 1 1,007825 ( -1,344070 -3,103983 -2,515595 )

12 H 1 1,007825 ( -3,129530 -2,341479 -1,417411 )

13 O 8 15,994915 ( -2,517292 -0,578573 0,535684 )

14 H 1 1,007825 ( -2,615415 -3,230815 0,035217 )

15 H 1 1,007825 ( -0,830506 -3,993069 -1,062619 )

16 H 1 1,007825 ( 0,170334 -1,668448 -2,170930 )

Matriz de Distancias (angstrom)

1 2 3 4 5 6 7 8

1 0,000000 1,089000 1,089000 1,089000 1,440000 2,374792 3,496756 3,529899

2 1,089000 0,000000 1,778327 1,778330 2,074842 2,680760 3,874929 4,100203

3 1,089000 1,778327 0,000000 1,778331 2,074840 3,264486 4,195530 3,857583

4 1,089000 1,778330 1,778331 0,000000 2,074840 2,680756 3,874926 4,100203

5 1,440000 2,074842 2,074840 2,074840 0,000000 1,300999 2,127241 2,128202

6 2,374792 2,680760 3,264486 2,680756 1,300999 0,000000 1,335000 2,233462

7 3,496756 3,874929 4,195530 3,874926 2,127241 1,335000 0,000000 1,468999

8 3,529899 4,100203 3,857583 4,100203 2,128202 2,233462 1,468999 0,000000

9 2,444146 3,137037 2,569661 3,137038 1,301000 2,180982 2,233297 1,336423

10 2,743755 3,206074 2,605188 3,666645 1,956041 2,914712 2,984792 1,997480

11 4,215383 4,943110 4,459713 4,611830 2,881710 2,970725 2,100840 1,089999

12 4,157588 4,643122 4,885563 4,288728 2,871171 1,985051 1,090000 2,124975

13 2,637890 2,641527 3,701674 2,641521 2,183626 1,220001 2,338183 3,445251

14 4,156898 4,288242 4,884863 4,642354 2,870387 1,984277 1,089001 2,124211


15 4,214677 4,611269 4,459076 4,942293 2,880921 2,969950 2,100089 1,089001

16 2,743295 3,666044 2,604946 3,205844 1,955261 2,913936 2,984006 1,996700

9 10 11 12 13 14 15 16

1 2,444146 2,743755 4,215383 4,157588 2,637890 4,156898 4,214677 2,743295

2 3,137037 3,206074 4,943110 4,643122 2,641527 4,288242 4,611269 3,666044

3 2,569661 2,605188 4,459713 4,885563 3,701674 4,884863 4,459076 2,604946

4 3,137038 3,666645 4,611830 4,288728 2,641521 4,642354 4,942293 3,205844

5 1,301000 1,956041 2,881710 2,871171 2,183626 2,870387 2,880921 1,955261

6 2,180982 2,914712 2,970725 1,985051 1,220001 1,984277 2,969950 2,913936

7 2,233297 2,984792 2,100840 1,090000 2,338183 1,089001 2,100089 2,984006

8 1,336423 1,997480 1,089999 2,124975 3,445251 2,124211 1,089001 1,996700

9 0,000000 1,090000 2,009972 2,980594 3,314932 2,979811 2,009187 1,089000

10 1,090000 0,000000 2,764549 3,883555 3,967667 3,451071 2,114930 1,779146

11 2,009972 2,764549 0,000000 2,230535 4,130914 2,852901 1,779146 2,114941

12 2,980594 3,883555 2,230535 0,000000 2,701343 1,779146 2,852917 3,451067

13 3,314932 3,967667 4,130914 2,701343 0,000000 2,700830 4,130206 3,966979

14 2,979811 3,451071 2,852901 1,779146 2,700830 0,000000 2,229837 3,881813

15 2,009187 2,114930 1,779146 2,852917 4,130206 2,229837 0,000000 2,762951

16 1,089000 1,779146 2,114941 3,451067 3,966979 3,881813 2,762951 0,000000

Existem 16 conjuntos de atomos simetricamente equivalentes (ASE).

# conjunto Atomos presentes

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

9 9

10 10

11 11

12 12

13 13

14 14

15 15

16 16

Coordenadas x,y,z do Centro de Massa (angstrom)

(-1,235701 -1,516592 -0,491848)

Coordenadas do sistema com o Centro de Massa na origem:

1 C 6 ( 1,235701 1,516592 0,491848 )

2 H 1 ( 1,235701 1,516592 1,580848 )


3 H 1 ( 2,262421 1,516592 0,128852 )

4 H 1 ( 0,722341 2,405757 0,128848 )

5 N 7 ( 0,556880 0,340837 0,011845 )

6 C 6 ( -0,688685 0,134956 0,326138 )

7 C 6 ( -1,064434 -1,012394 -0,243621 )

8 C 6 ( 0,120494 -1,500701 -0,961577 )

9 C 6 ( 1,071526 -0,588498 -0,739205 )

10 H 1 ( 1,920168 -1,041437 -0,226610 )

11 H 1 ( -0,108369 -1,587391 -2,023747 )

12 H 1 ( -1,893829 -0,824887 -0,925563 )

13 O 8 ( -1,281591 0,938019 1,027532 )

14 H 1 ( -1,379714 -1,714223 0,527065 )

15 H 1 ( 0,405195 -2,476477 -0,570771 )

16 H 1 ( 1,406035 -0,151856 -1,679082 )

Tensor de Inercia (uma*A**2)

161,431636 -15,985002 23,596263

-15,985002 151,297841 -58,390407

23,596263 -58,390407 211,772515

Momentos Principais de Inercia (uma*A**2)

Ia = 115,730899, Ib = 152,898895, Ic = 255,872199

Simetria Rotacional: Piao Assimetrico.

Coordenadas do sistema com os eixos de inercia

coincidentes com os eixos cartesianos:

1 C 6 ( 1,232727 1,596655 -0,000067 )

2 H 1 ( 0,943923 2,155134 0,889098 )

3 H 1 ( 2,311349 1,446674 -0,000102 )

4 H 1 ( 0,943854 2,155099 -0,889232 )

5 N 7 ( 0,570322 0,318054 -0,000018 )

6 C 6 ( -0,729325 0,258749 0,000029 )

7 C 6 ( -1,074563 -1,030838 0,000067 )

8 C 6 ( 0,191334 -1,776132 0,000037 )

9 C 6 ( 1,151082 -0,846127 -0,000014 )

10 H 1 ( 1,773099 -0,941861 0,889947 )

11 H 1 ( 0,243711 -2,403275 -0,889932 )

12 H 1 ( -1,664907 -1,248951 -0,889889 )

13 O 8 ( -1,386854 1,286396 0,000030 )

14 H 1 ( -1,664303 -1,248714 0,889257 )

15 H 1 ( 0,243726 -2,402665 0,889214 )

16 H 1 ( 1,772465 -0,941809 -0,889199 )

Eixo de Rotacao de maior ordem: C1 em x.

Reflexao? -> Sim


Grupo Pontual: Cs.

A.2 Amônia

Figura 27: Molécula de Amônia.

Arquivo de entrada:

4

7 1 0.000000 0.000000 0.000000

1 1 0.000000 0.000000 1.008000

1 1 0.950353 0.000000 -0.336000

1 1 -0.475176 -0.823029 -0.336000

Arquivo de saída:

**********************************************************************



*********************************************************************

Numero de Atomos: 4


1 N 7 14.003074 ( 0.000000 0.000000 0.000000 )

2 H 1 1.007825 ( 0.000000 0.000000 1.008000 )

3 H 1 1.007825 ( 0.950353 0.000000 -0.336000 )

4 H 1 1.007825 ( -0.475176 -0.823029 -0.336000 )


1 2 3 4

1 0.000000 1.008000 1.008001 1.008000

2 1.008000 0.000000 1.646058 1.646057

3 1.008001 1.646058 0.000000 1.646059

4 1.008000 1.646057 1.646059 0.000000




1 1

2 2 3 4


(0.028126 -0.048716 0.019888)


1 N 7 ( -0.028126 0.048716 -0.019888 )

2 H 1 ( -0.028126 0.048716 0.988112 )

3 H 1 ( 0.922227 0.048716 -0.355888 )

4 H 1 ( -0.503302 -0.774313 -0.355888 )


1.887107 -0.417474 0.170433

-0.417474 2.369166 -0.295198

0.170433 -0.295198 1.766596


Ia = 1.646079, Ib = 1.646082, Ic = 2.730709

Simetria Rotacional: Piao Simetrico Oblato.



1 N 7 ( -0.000000 0.059665 0.000000 )

2 H 1 ( -0.190485 -0.276336 0.931066 )

3 H 1 ( 0.901571 -0.276335 -0.300568 )

4 H 1 ( -0.711084 -0.276336 -0.630498 )

Eixo de Rotacao de maior ordem: C3 em y.

C2 Perpendicular? -> Nao

S6? -> Nao

S3? -> Nao

Reflexao? -> Sim

Grupo Pontual: C3v.


Figura 28: Molécula de bis-Pentacarbonilcobalto, em conformação anti.

A.3 bis-Pentacarbonilcobalto

Arquivo de entrada:

22

6 1 0.000000 0.000000 2.401000

8 1 0.000000 0.000000 3.621000

27 1 0.000000 0.000000 -0.000000

27 1 0.000000 0.000000 -3.038000

6 1 0.000000 0.000000 -5.439000

8 1 0.000000 0.000000 -6.659000

6 1 2.401000 0.000000 -0.000000

8 1 3.621000 0.000000 -0.000000

6 1 0.000000 -2.401000 -0.000000

8 1 0.000000 -3.621000 -0.000000

6 1 -2.401000 0.000000 -0.000000

8 1 -3.621000 0.000000 -0.000000

6 1 0.000000 2.401000 -0.000000

8 1 0.000000 3.621000 -0.000000

6 1 -1.697763 1.697763 -3.038000

8 1 -2.560434 2.560434 -3.038000

6 1 1.697763 1.697763 -3.038000

8 1 2.560434 2.560434 -3.038000

6 1 1.697763 -1.697763 -3.038000

8 1 2.560434 -2.560434 -3.038000

6 1 -1.697763 -1.697763 -3.038000

8 1 -2.560434 -2.560434 -3.038000

Arquivo de saida:

**********************************************************************



*********************************************************************




1 C 6 12.000000 ( 0.000000 0.000000 2.401000 )

2 O 8 15.994915 ( 0.000000 0.000000 3.621000 )

3 Co 27 58.933200 ( 0.000000 0.000000 -0.000000 )

4 Co 27 58.933200 ( 0.000000 0.000000 -3.038000 )

5 C 6 12.000000 ( 0.000000 0.000000 -5.439000 )

6 O 8 15.994915 ( 0.000000 0.000000 -6.659000 )

7 C 6 12.000000 ( 2.401000 0.000000 -0.000000 )

8 O 8 15.994915 ( 3.621000 0.000000 -0.000000 )

9 C 6 12.000000 ( 0.000000 -2.401000 -0.000000 )

10 O 8 15.994915 ( 0.000000 -3.621000 -0.000000 )

11 C 6 12.000000 ( -2.401000 0.000000 -0.000000 )

12 O 8 15.994915 ( -3.621000 0.000000 -0.000000 )

13 C 6 12.000000 ( 0.000000 2.401000 -0.000000 )

14 O 8 15.994915 ( 0.000000 3.621000 -0.000000 )

15 C 6 12.000000 ( -1.697763 1.697763 -3.038000 )

16 O 8 15.994915 ( -2.560434 2.560434 -3.038000 )

17 C 6 12.000000 ( 1.697763 1.697763 -3.038000 )

18 O 8 15.994915 ( 2.560434 2.560434 -3.038000 )

19 C 6 12.000000 ( 1.697763 -1.697763 -3.038000 )

20 O 8 15.994915 ( 2.560434 -2.560434 -3.038000 )

21 C 6 12.000000 ( -1.697763 -1.697763 -3.038000 )

22 O 8 15.994915 ( -2.560434 -2.560434 -3.038000 )


1 2 3 4 5 6 7 8

1 0.000000 1.220000 2.401000 5.439000 7.840000 9.060000 3.395527 4.344703

2 1.220000 0.000000 3.621000 6.659000 9.060000 10.280000 4.344703 5.120867

3 2.401000 3.621000 0.000000 3.038000 5.439000 6.659000 2.401000 3.621000

4 5.439000 6.659000 3.038000 0.000000 2.401000 3.621000 3.872240 4.726636

5 7.840000 9.060000 5.439000 2.401000 0.000000 1.220000 5.945378 6.534092

6 9.060000 10.280000 6.659000 3.621000 1.220000 0.000000 7.078636 7.579837

7 3.395527 4.344703 2.401000 3.872240 5.945378 7.078636 0.000000 1.220000

8 4.344703 5.120867 3.621000 4.726636 6.534092 7.579837 1.220000 0.000000

9 3.395527 4.344703 2.401000 3.872240 5.945378 7.078636 3.395527 4.344703

10 4.344703 5.120867 3.621000 4.726636 6.534092 7.579837 4.344703 5.120867

11 3.395527 4.344703 2.401000 3.872240 5.945378 7.078636 4.802000 6.022000

12 4.344703 5.120867 3.621000 4.726636 6.534092 7.579837 6.022000 7.242000

13 3.395527 4.344703 2.401000 3.872240 5.945378 7.078636 3.395527 4.344703

14 4.344703 5.120867 3.621000 4.726636 6.534092 7.579837 4.344703 5.120867

15 5.945378 7.078635 3.872240 2.400999 3.395526 4.344702 5.376960 6.356185

16 6.534093 7.579837 4.726636 3.621000 4.344703 5.120868 6.356185 7.348156

17 5.945378 7.078635 3.872240 2.400999 3.395526 4.344702 3.550547 3.976265

18 6.534093 7.579837 4.726636 3.621000 4.344703 5.120868 3.976265 4.112185

19 5.945378 7.078635 3.872240 2.400999 3.395526 4.344702 3.550547 3.976265

20 6.534093 7.579837 4.726636 3.621000 4.344703 5.120868 3.976265 4.112185

21 5.945378 7.078635 3.872240 2.400999 3.395526 4.344702 5.376960 6.356185


22 6.534093 7.579837 4.726636 3.621000 4.344703 5.120868 6.356185 7.348156

9 10 11 12 13 14 15 16

1 3.395527 4.344703 3.395527 4.344703 3.395527 4.344703 5.945378 6.534093

2 4.344703 5.120867 4.344703 5.120867 4.344703 5.120867 7.078635 7.579837

3 2.401000 3.621000 2.401000 3.621000 2.401000 3.621000 3.872240 4.726636

4 3.872240 4.726636 3.872240 4.726636 3.872240 4.726636 2.400999 3.621000

5 5.945378 6.534092 5.945378 6.534092 5.945378 6.534092 3.395526 4.344703

6 7.078636 7.579837 7.078636 7.579837 7.078636 7.579837 4.344702 5.120868

7 3.395527 4.344703 4.802000 6.022000 3.395527 4.344703 5.376960 6.356185

8 4.344703 5.120867 6.022000 7.242000 4.344703 5.120867 6.356185 7.348156

9 0.000000 1.220000 3.395527 4.344703 4.802000 6.022000 5.376960 6.356185

10 1.220000 0.000000 4.344703 5.120867 6.022000 7.242000 6.356185 7.348156

11 3.395527 4.344703 0.000000 1.220000 3.395527 4.344703 3.550547 3.976265

12 4.344703 5.120867 1.220000 0.000000 4.344703 5.120867 3.976265 4.112185

13 4.802000 6.022000 3.395527 4.344703 0.000000 1.220000 3.550547 3.976265

14 6.022000 7.242000 4.344703 5.120867 1.220000 0.000000 3.976265 4.112185

15 5.376960 6.356185 3.550547 3.976265 3.550547 3.976265 0.000000 1.220001

16 6.356185 7.348156 3.976265 4.112185 3.976265 4.112185 1.220001 0.000000

17 5.376960 6.356185 5.376960 6.356185 3.550547 3.976265 3.395526 4.344703

18 6.356185 7.348156 6.356185 7.348156 3.976265 4.112185 4.344703 5.120868

19 3.550547 3.976265 5.376960 6.356185 5.376960 6.356185 4.801999 6.022000

20 3.976265 4.112185 6.356185 7.348156 6.356185 7.348156 6.022000 7.242001

21 3.550547 3.976265 3.550547 3.976265 5.376960 6.356185 3.395526 4.344703

22 3.976265 4.112185 3.976265 4.112185 6.356185 7.348156 4.344703 5.120868

17 18 19 20 21 22

1 5.945378 6.534093 5.945378 6.534093 5.945378 6.534093

2 7.078635 7.579837 7.078635 7.579837 7.078635 7.579837

3 3.872240 4.726636 3.872240 4.726636 3.872240 4.726636

4 2.400999 3.621000 2.400999 3.621000 2.400999 3.621000

5 3.395526 4.344703 3.395526 4.344703 3.395526 4.344703

6 4.344702 5.120868 4.344702 5.120868 4.344702 5.120868

7 3.550547 3.976265 3.550547 3.976265 5.376960 6.356185

8 3.976265 4.112185 3.976265 4.112185 6.356185 7.348156

9 5.376960 6.356185 3.550547 3.976265 3.550547 3.976265

10 6.356185 7.348156 3.976265 4.112185 3.976265 4.112185

11 5.376960 6.356185 5.376960 6.356185 3.550547 3.976265

12 6.356185 7.348156 6.356185 7.348156 3.976265 4.112185

13 3.550547 3.976265 5.376960 6.356185 5.376960 6.356185

14 3.976265 4.112185 6.356185 7.348156 6.356185 7.348156

15 3.395526 4.344703 4.801999 6.022000 3.395526 4.344703

16 4.344703 5.120868 6.022000 7.242001 4.344703 5.120868

17 0.000000 1.220001 3.395526 4.344703 4.801999 6.022000

18 1.220001 0.000000 4.344703 5.120868 6.022000 7.242001

19 3.395526 4.344703 0.000000 1.220001 3.395526 4.344703

20 4.344703 5.120868 1.220001 0.000000 4.344703 5.120868

21 4.801999 6.022000 3.395526 4.344703 0.000000 1.220001


22 6.022000 7.242001 4.344703 5.120868 1.220001 0.000000



1 1 5

2 2 6

3 3 4

4 7 9 11 13 15 17 19 21

5 8 10 12 14 16 18 20 22


(0.000000 -0.000000 -1.519000)


1 C 6 ( 0.000000 0.000000 3.920000 )

2 O 8 ( 0.000000 0.000000 5.140000 )

3 Co 27 ( 0.000000 0.000000 1.519000 )

4 Co 27 ( 0.000000 0.000000 -1.519000 )

5 C 6 ( 0.000000 0.000000 -3.920000 )

6 O 8 ( 0.000000 0.000000 -5.140000 )

7 C 6 ( 2.401000 0.000000 1.519000 )

8 O 8 ( 3.621000 0.000000 1.519000 )

9 C 6 ( 0.000000 -2.401000 1.519000 )

10 O 8 ( 0.000000 -3.621000 1.519000 )

11 C 6 ( -2.401000 0.000000 1.519000 )

12 O 8 ( -3.621000 0.000000 1.519000 )

13 C 6 ( 0.000000 2.401000 1.519000 )

14 O 8 ( 0.000000 3.621000 1.519000 )

15 C 6 ( -1.697763 1.697763 -1.519000 )

16 O 8 ( -2.560434 2.560434 -1.519000 )

17 C 6 ( 1.697763 1.697763 -1.519000 )

18 O 8 ( 2.560434 2.560434 -1.519000 )

19 C 6 ( 1.697763 -1.697763 -1.519000 )

20 O 8 ( 2.560434 -2.560434 -1.519000 )

21 C 6 ( -1.697763 -1.697763 -1.519000 )

22 O 8 ( -2.560434 -2.560434 -1.519000 )


3118.256233 -0.000000 0.000000

-0.000000 3118.256233 -0.000000

0.000000 -0.000000 2231.177625


Ia = 2231.177625, Ib = 3118.256233, Ic = 3118.256233

Simetria Rotacional: Piao Simetrico Prolato.




1 C 6 ( 0.000000 0.000000 3.920000 )

2 O 8 ( 0.000000 0.000000 5.140000 )

3 Co 27 ( 0.000000 0.000000 1.519000 )

4 Co 27 ( 0.000000 0.000000 -1.519000 )

5 C 6 ( 0.000000 0.000000 -3.920000 )

6 O 8 ( 0.000000 0.000000 -5.140000 )

7 C 6 ( 2.401000 0.000000 1.519000 )

8 O 8 ( 3.621000 0.000000 1.519000 )

9 C 6 ( 0.000000 -2.401000 1.519000 )

10 O 8 ( 0.000000 -3.621000 1.519000 )

11 C 6 ( -2.401000 0.000000 1.519000 )

12 O 8 ( -3.621000 0.000000 1.519000 )

13 C 6 ( 0.000000 2.401000 1.519000 )

14 O 8 ( 0.000000 3.621000 1.519000 )

15 C 6 ( -1.697763 1.697763 -1.519000 )

16 O 8 ( -2.560434 2.560434 -1.519000 )

17 C 6 ( 1.697763 1.697763 -1.519000 )

18 O 8 ( 2.560434 2.560434 -1.519000 )

19 C 6 ( 1.697763 -1.697763 -1.519000 )

20 O 8 ( 2.560434 -2.560434 -1.519000 )

21 C 6 ( -1.697763 -1.697763 -1.519000 )

22 O 8 ( -2.560434 -2.560434 -1.519000 )

Eixo de Rotacao de maior ordem: C4 em z.

C2 Perpendicular? -> Sim

S8? -> Sim

Grupo Pontual: D4d.

A.4 Cubano

Figura 29: Molécula de Cubano.


Arquivo de entrada:

16

6 1 -0.725000 0.725000 -0.725000

6 1 -0.725000 0.725000 0.725000

6 1 0.725000 0.725000 -0.725000

6 1 0.725000 0.725000 0.725000

6 1 0.725000 -0.725000 0.725000

6 1 -0.725000 -0.725000 0.725000

6 1 -0.725000 -0.725000 -0.725000

6 1 0.725000 -0.725000 -0.725000

1 1 -1.353734 1.353734 -1.353734

1 1 -1.353734 1.353734 1.353734

1 1 1.353734 1.353734 -1.353734

1 1 1.353734 1.353734 1.353734

1 1 1.353734 -1.353734 1.353734

1 1 -1.353734 -1.353734 1.353734

1 1 -1.353734 -1.353734 -1.353734

1 1 1.353734 -1.353734 -1.353734

Arquivo de saida:

**********************************************************************



*********************************************************************



1 C 6 12.000000 ( -0.725000 0.725000 -0.725000 )

2 C 6 12.000000 ( -0.725000 0.725000 0.725000 )

3 C 6 12.000000 ( 0.725000 0.725000 -0.725000 )

4 C 6 12.000000 ( 0.725000 0.725000 0.725000 )

5 C 6 12.000000 ( 0.725000 -0.725000 0.725000 )

6 C 6 12.000000 ( -0.725000 -0.725000 0.725000 )

7 C 6 12.000000 ( -0.725000 -0.725000 -0.725000 )

8 C 6 12.000000 ( 0.725000 -0.725000 -0.725000 )

9 H 1 1.007825 ( -1.353734 1.353734 -1.353734 )

10 H 1 1.007825 ( -1.353734 1.353734 1.353734 )

11 H 1 1.007825 ( 1.353734 1.353734 -1.353734 )

12 H 1 1.007825 ( 1.353734 1.353734 1.353734 )

13 H 1 1.007825 ( 1.353734 -1.353734 1.353734 )

14 H 1 1.007825 ( -1.353734 -1.353734 1.353734 )

15 H 1 1.007825 ( -1.353734 -1.353734 -1.353734 )

16 H 1 1.007825 ( 1.353734 -1.353734 -1.353734 )



1 2 3 4 5 6 7 8

1 0.000000 1.450000 1.450000 2.050610 2.511474 2.050610 1.450000 2.050610

2 1.450000 0.000000 2.050610 1.450000 2.050610 1.450000 2.050610 2.511474

3 1.450000 2.050610 0.000000 1.450000 2.050610 2.511474 2.050610 1.450000

4 2.050610 1.450000 1.450000 0.000000 1.450000 2.050610 2.511474 2.050610

5 2.511474 2.050610 2.050610 1.450000 0.000000 1.450000 2.050610 1.450000

6 2.050610 1.450000 2.511474 2.050610 1.450000 0.000000 1.450000 2.050610

7 1.450000 2.050610 2.050610 2.511474 2.050610 1.450000 0.000000 1.450000

8 2.050610 2.511474 1.450000 2.050610 1.450000 2.050610 1.450000 0.000000

9 1.088999 2.260917 2.260917 3.006256 3.600473 3.006256 2.260917 3.006256

10 2.260917 1.088999 3.006256 2.260917 3.006256 2.260917 3.006256 3.600473

11 2.260917 3.006256 1.088999 2.260917 3.006256 3.600473 3.006256 2.260917

12 3.006256 2.260917 2.260917 1.088999 2.260917 3.006256 3.600473 3.006256

13 3.600473 3.006256 3.006256 2.260917 1.088999 2.260917 3.006256 2.260917

14 3.006256 2.260917 3.600473 3.006256 2.260917 1.088999 2.260917 3.006256

15 2.260917 3.006256 3.006256 3.600473 3.006256 2.260917 1.088999 2.260917

16 3.006256 3.600473 2.260917 3.006256 2.260917 3.006256 2.260917 1.088999

9 10 11 12 13 14 15 16

1 1.088999 2.260917 2.260917 3.006256 3.600473 3.006256 2.260917 3.006256

2 2.260917 1.088999 3.006256 2.260917 3.006256 2.260917 3.006256 3.600473

3 2.260917 3.006256 1.088999 2.260917 3.006256 3.600473 3.006256 2.260917

4 3.006256 2.260917 2.260917 1.088999 2.260917 3.006256 3.600473 3.006256

5 3.600473 3.006256 3.006256 2.260917 1.088999 2.260917 3.006256 2.260917

6 3.006256 2.260917 3.600473 3.006256 2.260917 1.088999 2.260917 3.006256

7 2.260917 3.006256 3.006256 3.600473 3.006256 2.260917 1.088999 2.260917

8 3.006256 3.600473 2.260917 3.006256 2.260917 3.006256 2.260917 1.088999

9 0.000000 2.707468 2.707468 3.828938 4.689472 3.828938 2.707468 3.828938

10 2.707468 0.000000 3.828938 2.707468 3.828938 2.707468 3.828938 4.689472

11 2.707468 3.828938 0.000000 2.707468 3.828938 4.689472 3.828938 2.707468

12 3.828938 2.707468 2.707468 0.000000 2.707468 3.828938 4.689472 3.828938

13 4.689472 3.828938 3.828938 2.707468 0.000000 2.707468 3.828938 2.707468

14 3.828938 2.707468 4.689472 3.828938 2.707468 0.000000 2.707468 3.828938

15 2.707468 3.828938 3.828938 4.689472 3.828938 2.707468 0.000000 2.707468

16 3.828938 4.689472 2.707468 3.828938 2.707468 3.828938 2.707468 0.000000



1 1 2 3 4 5 6 7 8

2 9 10 11 12 13 14 15 16


(0.000000 0.000000 0.000000)



1 C 6 ( -0.725000 0.725000 -0.725000 )

2 C 6 ( -0.725000 0.725000 0.725000 )

3 C 6 ( 0.725000 0.725000 -0.725000 )

4 C 6 ( 0.725000 0.725000 0.725000 )

5 C 6 ( 0.725000 -0.725000 0.725000 )

6 C 6 ( -0.725000 -0.725000 0.725000 )

7 C 6 ( -0.725000 -0.725000 -0.725000 )

8 C 6 ( 0.725000 -0.725000 -0.725000 )

9 H 1 ( -1.353734 1.353734 -1.353734 )

10 H 1 ( -1.353734 1.353734 1.353734 )

11 H 1 ( 1.353734 1.353734 -1.353734 )

12 H 1 ( 1.353734 1.353734 1.353734 )

13 H 1 ( 1.353734 -1.353734 1.353734 )

14 H 1 ( -1.353734 -1.353734 1.353734 )

15 H 1 ( -1.353734 -1.353734 -1.353734 )

16 H 1 ( 1.353734 -1.353734 -1.353734 )


130.470974 -0.000000 -0.000000

-0.000000 130.470974 -0.000000

-0.000000 -0.000000 130.470974


Ia = 130.470974, Ib = 130.470974, Ic = 130.470974

Simetria Rotacional: Piao Esferico.



1 C 6 ( -0.725000 0.725000 -0.725000 )

2 C 6 ( -0.725000 0.725000 0.725000 )

3 C 6 ( 0.725000 0.725000 -0.725000 )

4 C 6 ( 0.725000 0.725000 0.725000 )

5 C 6 ( 0.725000 -0.725000 0.725000 )

6 C 6 ( -0.725000 -0.725000 0.725000 )

7 C 6 ( -0.725000 -0.725000 -0.725000 )

8 C 6 ( 0.725000 -0.725000 -0.725000 )

9 H 1 ( -1.353734 1.353734 -1.353734 )

10 H 1 ( -1.353734 1.353734 1.353734 )

11 H 1 ( 1.353734 1.353734 -1.353734 )

12 H 1 ( 1.353734 1.353734 1.353734 )

13 H 1 ( 1.353734 -1.353734 1.353734 )

14 H 1 ( -1.353734 -1.353734 1.353734 )

15 H 1 ( -1.353734 -1.353734 -1.353734 )

16 H 1 ( 1.353734 -1.353734 -1.353734 )


Grupo Pontual: Oh.

A.5 Hexanitrocuprato

Figura 30: Molécula de Hexanitrocuprato.

Arquivo de entrada:

19

29 1 0.000000 0.000000 0.000000

7 1 0.000000 0.000000 2.548000

7 1 2.548000 0.000000 0.000000

7 1 0.000000 0.000000 -2.548000

7 1 -2.548000 0.000000 0.000000

7 1 0.000000 2.548000 0.000000

7 1 0.000000 -2.548000 0.000000

8 1 3.248000 0.000000 -1.212436

8 1 3.248000 0.000000 1.212436

8 1 -3.248000 0.000000 -1.212436

8 1 -3.248000 0.000000 1.212436

8 1 -1.212436 3.248000 0.000000

8 1 1.212436 3.248000 0.000000

8 1 1.212436 -3.248000 0.000000

8 1 -1.212436 -3.248000 0.000000

8 1 0.000000 -1.212436 -3.248000

8 1 0.000000 1.212436 -3.248000

8 1 0.000000 1.212436 3.248000

8 1 0.000000 -1.212436 3.248000

Arquivo de saida:

**********************************************************************



*********************************************************************




1 Cu 29 62.929601 ( 0.000000 0.000000 0.000000 )

2 N 7 14.003074 ( 0.000000 0.000000 2.548000 )

3 N 7 14.003074 ( 2.548000 0.000000 0.000000 )

4 N 7 14.003074 ( 0.000000 0.000000 -2.548000 )

5 N 7 14.003074 ( -2.548000 0.000000 0.000000 )

6 N 7 14.003074 ( 0.000000 2.548000 0.000000 )

7 N 7 14.003074 ( 0.000000 -2.548000 0.000000 )

8 O 8 15.994915 ( 3.248000 0.000000 -1.212436 )

9 O 8 15.994915 ( 3.248000 0.000000 1.212436 )

10 O 8 15.994915 ( -3.248000 0.000000 -1.212436 )

11 O 8 15.994915 ( -3.248000 0.000000 1.212436 )

12 O 8 15.994915 ( -1.212436 3.248000 0.000000 )

13 O 8 15.994915 ( 1.212436 3.248000 0.000000 )

14 O 8 15.994915 ( 1.212436 -3.248000 0.000000 )

15 O 8 15.994915 ( -1.212436 -3.248000 0.000000 )

16 O 8 15.994915 ( 0.000000 -1.212436 -3.248000 )

17 O 8 15.994915 ( 0.000000 1.212436 -3.248000 )

18 O 8 15.994915 ( 0.000000 1.212436 3.248000 )

19 O 8 15.994915 ( 0.000000 -1.212436 3.248000 )


1 2 3 4 5 6 7 8

1 0.000000 2.548000 2.548000 2.548000 2.548000 2.548000 2.548000 3.466916

2 2.548000 0.000000 3.603416 5.096000 3.603416 3.603416 3.603416 4.968942

3 2.548000 3.603416 0.000000 3.603416 5.096000 3.603416 3.603416 1.400000

4 2.548000 5.096000 3.603416 0.000000 3.603416 3.603416 3.603416 3.511871

5 2.548000 3.603416 5.096000 3.603416 0.000000 3.603416 3.603416 5.921454

6 2.548000 3.603416 3.603416 3.603416 3.603416 0.000000 5.096000 4.302535

7 2.548000 3.603416 3.603416 3.603416 3.603416 5.096000 0.000000 4.302535

8 3.466916 4.968942 1.400000 3.511871 5.921454 4.302535 4.302535 0.000000

9 3.466916 3.511871 1.400000 4.968942 5.921454 4.302535 4.302535 2.424872

10 3.466916 4.968942 5.921454 3.511871 1.400000 4.302535 4.302535 6.496000

11 3.466916 3.511871 5.921454 4.968942 1.400000 4.302535 4.302535 6.933832

12 3.466916 4.302535 4.968942 4.302535 3.511871 1.400000 5.921454 5.649336

13 3.466916 4.302535 3.511871 4.302535 4.968942 1.400000 5.921454 4.020327

14 3.466916 4.302535 3.511871 4.302535 4.968942 5.921454 1.400000 4.020327

15 3.466916 4.302535 4.968942 4.302535 3.511871 5.921454 1.400000 5.649336

16 3.466916 5.921454 4.302535 1.400000 4.302535 4.968942 3.511871 4.020327

17 3.466916 5.921454 4.302535 1.400000 4.302535 3.511871 4.968942 4.020327

18 3.466916 1.400000 4.302535 5.921454 4.302535 3.511871 4.968942 5.649336

19 3.466916 1.400000 4.302535 5.921454 4.302535 4.968942 3.511871 5.649336

9 10 11 12 13 14 15 16

1 3.466916 3.466916 3.466916 3.466916 3.466916 3.466916 3.466916 3.466916


2 3.511871 4.968942 3.511871 4.302535 4.302535 4.302535 4.302535 5.921454

3 1.400000 5.921454 5.921454 4.968942 3.511871 3.511871 4.968942 4.302535

4 4.968942 3.511871 4.968942 4.302535 4.302535 4.302535 4.302535 1.400000

5 5.921454 1.400000 1.400000 3.511871 4.968942 4.968942 3.511871 4.302535

6 4.302535 4.302535 4.302535 1.400000 1.400000 5.921454 5.921454 4.968942

7 4.302535 4.302535 4.302535 5.921454 5.921454 1.400000 1.400000 3.511871

8 2.424872 6.496000 6.933832 5.649336 4.020327 4.020327 5.649336 4.020327

9 0.000000 6.933832 6.496000 5.649336 4.020327 4.020327 5.649336 5.649336

10 6.933832 0.000000 2.424872 4.020327 5.649336 5.649336 4.020327 4.020327

11 6.496000 2.424872 0.000000 4.020327 5.649336 5.649336 4.020327 5.649336

12 5.649336 4.020327 4.020327 0.000000 2.424872 6.933832 6.496000 5.649336

13 4.020327 5.649336 5.649336 2.424872 0.000000 6.496000 6.933832 5.649336

14 4.020327 5.649336 5.649336 6.933832 6.496000 0.000000 2.424872 4.020327

15 5.649336 4.020327 4.020327 6.496000 6.933832 2.424872 0.000000 4.020327

16 5.649336 4.020327 5.649336 5.649336 5.649336 4.020327 4.020327 0.000000

17 5.649336 4.020327 5.649336 4.020327 4.020327 5.649336 5.649336 2.424872

18 4.020327 5.649336 4.020327 4.020327 4.020327 5.649336 5.649336 6.933832

19 4.020327 5.649336 4.020327 5.649336 5.649336 4.020327 4.020327 6.496000

17 18 19

1 3.466916 3.466916 3.466916

2 5.921454 1.400000 1.400000

3 4.302535 4.302535 4.302535

4 1.400000 5.921454 5.921454

5 4.302535 4.302535 4.302535

6 3.511871 3.511871 4.968942

7 4.968942 4.968942 3.511871

8 4.020327 5.649336 5.649336

9 5.649336 4.020327 4.020327

10 4.020327 5.649336 5.649336

11 5.649336 4.020327 4.020327

12 4.020327 4.020327 5.649336

13 4.020327 4.020327 5.649336

14 5.649336 5.649336 4.020327

15 5.649336 5.649336 4.020327

16 2.424872 6.933832 6.496000

17 0.000000 6.496000 6.933832

18 6.496000 0.000000 2.424872

19 6.933832 2.424872 0.000000



1 1

2 2 3 4 5 6 7

3 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19



(0.000000 0.000000 0.000000)


1 Cu 29 ( 0.000000 0.000000 0.000000 )

2 N 7 ( 0.000000 0.000000 2.548000 )

3 N 7 ( 2.548000 0.000000 0.000000 )

4 N 7 ( 0.000000 0.000000 -2.548000 )

5 N 7 ( -2.548000 0.000000 0.000000 )

6 N 7 ( 0.000000 2.548000 0.000000 )

7 N 7 ( 0.000000 -2.548000 0.000000 )

8 O 8 ( 3.248000 0.000000 -1.212436 )

9 O 8 ( 3.248000 0.000000 1.212436 )

10 O 8 ( -3.248000 0.000000 -1.212436 )

11 O 8 ( -3.248000 0.000000 1.212436 )

12 O 8 ( -1.212436 3.248000 0.000000 )

13 O 8 ( 1.212436 3.248000 0.000000 )

14 O 8 ( 1.212436 -3.248000 0.000000 )

15 O 8 ( -1.212436 -3.248000 0.000000 )

16 O 8 ( 0.000000 -1.212436 -3.248000 )

17 O 8 ( 0.000000 1.212436 -3.248000 )

18 O 8 ( 0.000000 1.212436 3.248000 )

19 O 8 ( 0.000000 -1.212436 3.248000 )


1901.656511 -0.000000 -0.000000

-0.000000 1901.656511 -0.000000

-0.000000 -0.000000 1901.656511


Ia = 1901.656511, Ib = 1901.656511, Ic = 1901.656511




1 Cu 29 ( 0.000000 0.000000 0.000000 )

2 N 7 ( 0.000000 0.000000 2.548000 )

3 N 7 ( 2.548000 0.000000 0.000000 )

4 N 7 ( 0.000000 0.000000 -2.548000 )

5 N 7 ( -2.548000 0.000000 0.000000 )

6 N 7 ( 0.000000 2.548000 0.000000 )

7 N 7 ( 0.000000 -2.548000 0.000000 )

8 O 8 ( 3.248000 0.000000 -1.212436 )

9 O 8 ( 3.248000 0.000000 1.212436 )

10 O 8 ( -3.248000 0.000000 -1.212436 )

11 O 8 ( -3.248000 0.000000 1.212436 )


12 O 8 ( -1.212436 3.248000 0.000000 )

13 O 8 ( 1.212436 3.248000 0.000000 )

14 O 8 ( 1.212436 -3.248000 0.000000 )

15 O 8 ( -1.212436 -3.248000 0.000000 )

16 O 8 ( 0.000000 -1.212436 -3.248000 )

17 O 8 ( 0.000000 1.212436 -3.248000 )

18 O 8 ( 0.000000 1.212436 3.248000 )

19 O 8 ( 0.000000 -1.212436 3.248000 )

Grupo Pontual: Th.

A.6 Peróxido de Hidrogênio

Figura 31: Molécula de Peróxido de hidrogênio.

Arquivo de entrada:

4

8 1 0.000000 0.000000 0.000000

8 1 0.000000 0.000000 1.480000

1 1 0.895669 0.000000 1.796667

1 1 0.447834 -0.775672 -0.316667

Arquivo de saida:

**********************************************************************



*********************************************************************

Numero de Atomos: 4


1 O 8 15.994915 ( 0.000000 0.000000 0.000000 )

2 O 8 15.994915 ( 0.000000 0.000000 1.480000 )

3 H 1 1.007825 ( 0.895669 0.000000 1.796667 )

4 H 1 1.007825 ( 0.447834 -0.775672 -0.316667 )



1 2 3 4

1 0.000000 1.480000 2.007545 0.950000

2 1.480000 0.000000 0.950000 2.007544

3 2.007545 0.950000 0.000000 2.295300

4 0.950000 2.007544 2.295300 0.000000



1 1 2

2 3 4


(0.039818 -0.022989 0.740000)


1 O 8 ( -0.039818 0.022989 -0.740000 )

2 O 8 ( -0.039818 0.022989 0.740000 )

3 H 1 ( 0.855851 0.022989 1.056667 )

4 H 1 ( 0.408016 -0.752683 -1.056667 )


20.356599 0.318963 -0.476915

0.318963 20.724906 -0.826041

-0.476915 -0.826041 1.545115


Ia = 1.498245, Ib = 20.172445, Ic = 20.955930

Simetria Rotacional: Piao Assimetrico.



1 O 8 ( -0.045977 0.036319 -0.739108 )

2 O 8 ( -0.045977 -0.036319 0.739108 )

3 H 1 ( 0.729695 0.395434 1.077373 )

4 H 1 ( 0.729694 -0.395434 -1.077373 )

Eixo de Rotacao de maior ordem: C2 em x.

C2 Perpendicular? -> Nao

S4? -> Nao

S2? -> Nao


Reflexao? -> Nao

Grupo Pontual: C2.

A.7 Tetrametilsilano

Figura 32: Molécula de Tetrametilsilano.

Arquivo de entrada:

17

14 1 0.000000 0.000000 0.000000

6 1 0.000000 0.000000 1.850000

6 1 1.744199 0.000000 -0.616660

6 1 -0.872098 -1.510519 -0.616667

6 1 -0.872098 1.510519 -0.616667

1 1 -0.358739 2.399683 -0.253667

1 1 -1.898818 1.510517 -0.253670

1 1 -0.872098 1.510519 -1.705667

1 1 -0.358739 -2.399683 -0.253667

1 1 -0.872098 -1.510519 -1.705667

1 1 -1.898818 -1.510517 -0.253670

1 1 0.513360 -0.889165 2.213000

1 1 0.513360 0.889165 2.213000

1 1 -1.026719 0.000000 2.213000

1 1 2.257557 -0.889165 -0.253659

1 1 2.257557 0.889165 -0.253659

1 1 1.744203 0.000000 -1.705660

Arquivo de saida:

**********************************************************************



*********************************************************************




1 Si 14 27.976927 ( 0.000000 0.000000 0.000000 )

2 C 6 12.000000 ( 0.000000 0.000000 1.850000 )

3 C 6 12.000000 ( 1.744199 0.000000 -0.616660 )

4 C 6 12.000000 ( -0.872098 -1.510519 -0.616667 )

5 C 6 12.000000 ( -0.872098 1.510519 -0.616667 )

6 H 1 1.007825 ( -0.358739 2.399683 -0.253667 )

7 H 1 1.007825 ( -1.898818 1.510517 -0.253670 )

8 H 1 1.007825 ( -0.872098 1.510519 -1.705667 )

9 H 1 1.007825 ( -0.358739 -2.399683 -0.253667 )

10 H 1 1.007825 ( -0.872098 -1.510519 -1.705667 )

11 H 1 1.007825 ( -1.898818 -1.510517 -0.253670 )

12 H 1 1.007825 ( 0.513360 -0.889165 2.213000 )

13 H 1 1.007825 ( 0.513360 0.889165 2.213000 )

14 H 1 1.007825 ( -1.026719 0.000000 2.213000 )

15 H 1 1.007825 ( 2.257557 -0.889165 -0.253659 )

16 H 1 1.007825 ( 2.257557 0.889165 -0.253659 )

17 H 1 1.007825 ( 1.744203 0.000000 -1.705660 )


1 2 3 4 5 6 7 8

1 0.000000 1.850000 1.850000 1.850000 1.850000 2.439574 2.439574 2.439574

2 1.850000 0.000000 3.021033 3.021038 3.021038 3.211322 3.211324 3.960428

3 1.850000 3.021033 0.000000 3.021039 3.021039 3.211322 3.960429 3.211326

4 1.850000 3.021038 3.021039 0.000000 3.021038 3.960428 3.211320 3.211322

5 1.850000 3.021038 3.021039 3.021038 0.000000 1.088999 1.089000 1.089000

6 2.439574 3.211322 3.211322 3.960428 1.088999 0.000000 1.778331 1.778329

7 2.439574 3.211324 3.960429 3.211320 1.089000 1.778331 0.000000 1.778328

8 2.439574 3.960428 3.211326 3.211322 1.089000 1.778329 1.778328 0.000000

9 2.439574 3.211322 3.211322 1.088999 3.960428 4.799366 4.202560 4.202561

10 2.439574 3.960428 3.211326 1.089000 3.211322 4.202561 3.505582 3.021038

11 2.439574 3.211324 3.960429 1.089000 3.211320 4.202560 3.021034 3.505582

12 2.439574 1.089000 3.211317 3.211322 3.960428 4.202562 4.202563 4.799367

13 2.439574 1.089000 3.211317 3.960428 3.211322 3.021037 3.505587 4.202562

14 2.439574 1.089000 3.960425 3.211322 3.211322 3.505584 3.021039 4.202562

15 2.439574 3.211317 1.089000 3.211323 3.960429 4.202562 4.799367 4.202565

16 2.439574 3.211317 1.089000 3.960429 3.211323 3.021038 4.202562 3.505588

17 2.439574 3.960424 1.089000 3.211324 3.211324 3.505585 4.202563 3.021043

9 10 11 12 13 14 15 16

1 2.439574 2.439574 2.439574 2.439574 2.439574 2.439574 2.439574 2.439574

2 3.211322 3.960428 3.211324 1.089000 1.089000 1.089000 3.211317 3.211317

3 3.211322 3.211326 3.960429 3.211317 3.211317 3.960425 1.089000 1.089000

4 1.088999 1.089000 1.089000 3.211322 3.960428 3.211322 3.211323 3.960429

5 3.960428 3.211322 3.211320 3.960428 3.211322 3.211322 3.960429 3.211323


6 4.799366 4.202561 4.202560 4.202562 3.021037 3.505584 4.202562 3.021038

7 4.202560 3.505582 3.021034 4.202563 3.505587 3.021039 4.799367 4.202562

8 4.202561 3.021038 3.505582 4.799367 4.202562 4.202562 4.202565 3.505588

9 0.000000 1.778329 1.778331 3.021037 4.202562 3.505584 3.021038 4.202562

10 1.778329 0.000000 1.778328 4.202562 4.799367 4.202562 3.505588 4.202565

11 1.778331 1.778328 0.000000 3.505587 4.202563 3.021039 4.202562 4.799367

12 3.021037 4.202562 3.505587 0.000000 1.778330 1.778330 3.021031 3.505579

13 4.202562 4.799367 4.202563 1.778330 0.000000 1.778330 3.505579 3.021031

14 3.505584 4.202562 3.021039 1.778330 1.778330 0.000000 4.202558 4.202558

15 3.021038 3.505588 4.202562 3.021031 3.505579 4.202558 0.000000 1.778330

16 4.202562 4.202565 4.799367 3.505579 3.021031 4.202558 1.778330 0.000000

17 3.505585 3.021043 4.202563 4.202557 4.202557 4.799365 1.778329 1.778329

17

1 2.439574

2 3.960424

3 1.089000

4 3.211324

5 3.211324

6 3.505585

7 4.202563

8 3.021043

9 3.505585

10 3.021043

11 4.202563

12 4.202557

13 4.202557

14 4.799365

15 1.778329

16 1.778329

17 0.000000



1 1

2 2 3 4 5

3 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17


(0.000001 -0.000000 0.000001)


1 Si 14 ( -0.000001 0.000000 -0.000001 )

2 C 6 ( -0.000001 0.000000 1.849999 )

3 C 6 ( 1.744198 0.000000 -0.616661 )

4 C 6 ( -0.872099 -1.510519 -0.616668 )


5 C 6 ( -0.872099 1.510519 -0.616668 )

6 H 1 ( -0.358740 2.399683 -0.253668 )

7 H 1 ( -1.898819 1.510517 -0.253671 )

8 H 1 ( -0.872099 1.510519 -1.705668 )

9 H 1 ( -0.358740 -2.399683 -0.253668 )

10 H 1 ( -0.872099 -1.510519 -1.705668 )

11 H 1 ( -1.898819 -1.510517 -0.253671 )

12 H 1 ( 0.513359 -0.889165 2.212999 )

13 H 1 ( 0.513359 0.889165 2.212999 )

14 H 1 ( -1.026720 0.000000 2.212999 )

15 H 1 ( 2.257556 -0.889165 -0.253660 )

16 H 1 ( 2.257556 0.889165 -0.253660 )

17 H 1 ( 1.744202 0.000000 -1.705661 )


157.504634 -0.000000 -0.000175

-0.000000 157.504734 0.000000

-0.000175 0.000000 157.504861


Ia = 157.504539, Ib = 157.504734, Ic = 157.504955




1 Si 14 ( -0.000001 0.000000 -0.000001 )

2 C 6 ( 0.883080 0.000000 1.625628 )

3 C 6 ( 1.238301 0.000000 -1.374449 )

4 C 6 ( -1.060690 -1.510519 -0.125589 )

5 C 6 ( -1.060690 1.510519 -0.125589 )

6 H 1 ( -0.436317 2.399683 -0.051661 )

7 H 1 ( -1.789614 1.510517 0.683479 )

8 H 1 ( -1.580514 1.510519 -1.082513 )

9 H 1 ( -0.436317 -2.399683 -0.051661 )

10 H 1 ( -1.580514 -1.510519 -1.082513 )

11 H 1 ( -1.789614 -1.510517 0.683479 )

12 H 1 ( 1.507454 -0.889165 1.699554 )

13 H 1 ( 1.507454 0.889165 1.699554 )

14 H 1 ( 0.154159 0.000000 2.434698 )

15 H 1 ( 1.862673 -0.889165 -1.300521 )

16 H 1 ( 1.862673 0.889165 -1.300521 )

17 H 1 ( 0.718480 0.000000 -2.331375 )

Grupo Pontual: Td.

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MÉTODO ARAP DETERMINAÇÃO DO GRUPO PONTUAL DE …