Método da Decomposição LU para a solução numérica de equações lineares

Lucas Justino

Equação linear

Ordem de um sistema linear

Modo geral da representação matricial

Modo geral da representação matricial

Exemplo da representação matricial

Classificações de sistemas

Sistema possível: Possui ao menos uma resolução.

● Determinado: Admite apenas uma solução.● Indeterminado: Admite mais de uma solução.

Sistema impossível: Não possui uma resolução.

Sistema triangular inferior

Sistema triangular superior

Decomposição LU● Método exato, ou seja, fornece solução exata.● Sem erros de arredondamento (exceto pela representação finita da máquina).● Número finito de operações.

Matriz triangular e menor principal

Teorema LU

Decomposição LU

Como A = LU, então:

Decomposição LU

Decomposição LU

Decomposição LU

Decomposição LU

Decomposição LU

Aplicando à solução

● Sabemos que Ax = b, e como LU = A, então podemos dizer que LUx = b

● Ao fazer Ux = y, reduz a equação acima por Ly = b

● Logo, ao resolver Ly = b, achamos y, assim basta substituir em Ux = y e acharemos x

Exemplo● Seja o sistema:

5x + 2y + z = 03x + y + 4z = -7x + y + 3z = -5

● Então

e

ExemploFazemos os seguintes passos:

a) Verificar se A satisfaz as condições da decomposição LU

b) Decompor A em LU

c) Através da decomposição LU, calcular o determinante de A

d) Resolver o sistema Ax = b usando a decomposição LU

Exemplo

Exemplob)

Exemplo

Exemplo

Bibliografia● FRANCO, Neide Maria Bertoldi - Cálculo Numérico, 1ª Ed. São Paulo:

Pearson Universidades, 2006.