Métodos de Modelagem Numéricadca.ufcg.edu.br/mna/MNA_modulo_02.pdf · 2019. 10. 9. · Universidade Federal de Campina Grande Centro de Tecnologia e Recursos Naturais Unidade Acadêmica

Universidade Federal de Campina Grande

Centro de Tecnologia e Recursos Naturais

Unidade Acadêmica de Ciências Atmosféricas

Graduação e Pós-Graduação em Meteorologia

Disciplina:

Métodos de Modelagem Numérica

Enilson Palmeira Cavalcanti

[email protected]

Tipos de modelos

Modelo de ponto de grade

Modelo espectral

Modelo de elementos finitos

Modelos de ponto de grade e espectral e elementos finitos são baseados

nas mesmas equações primitivas. Entretanto, cada tipo formula e resolve

as equações de forma diferente.

Diferentes fontes de erro são associados a cada tipo de modelo.


Representa os dados de forma discreta em pontos fixos de uma

grade ou malha.


Estrutura de GRADES ou Malhas segundo ARAKAWA e LAMB (1977)

– u e v são as componentes do vento e h uma variável termodinâmica

qualquer.


Características

1) Os dados são representados em pontos de grade.

2) Resolução é função do espaçamento da grade.

3) Todos os cálculos são efetuados para os pontos de grade por

diferenças finitas.

4) Diferenças finitas induz erros de truncamento.

5) O erro de truncamento é função do espaçamento da grade e

do time-step.


Diferenças finitas

( , , )i j nf f x y tConsidere a variável: ,

t

x yf

, ,

t t

x x x y x yf f f (Para frente)

,

t

x x yf ,

t

x yf

, ,

t t

x x y x x yf f f ,

t

x x yf ,

t

x yf

(Para trás)

1 1, ,2 2

t t

x x x y x x yf f f

1 ,2

t

x x yf

1 ,

2

t

x x yf

(Centrada)

, ,

t t

x x x y x x yf f f

,

t

x yf

,

t

x x yf ,

t

x x yf

(Centrada)

,

t

x yf

x

x

x

2 x


Diferenças finitas

xf2 ( )x xf f 3 2( ) [ ( )]x x xf f f

1 1 2( ) [ ( )]k k k k

x x xf f f

...

...

...

Avaliação de derivadas em x

, ,

t t

x x y x yxf fff

x x x

, ,

t t

x y x x yxf fff

x x x

, ,

2

t t

x x y x x yxf fff

x x x

1 1, ,2 2

t t

x x y x x yx

f fff

x x x


Diferenças finitas em y

, ,

t t

y x y y x yf f ff

y y y

, ,

t t

y x y x y yf f ff

y y y

, ,

2

t t

y x y y x y yf f ff

y y y

1 1, ,2 2

t t

x y y x y yyf fff

y y y

, ,

t t t

x y x ytf fff

t t t

, ,

t t t

x y x ytf fff

t t t

, ,

2

t t t t

x y x ytf fff

t t t

1 12 2

, ,

t t t t

x y x ytf fff

t t t

Diferenças finitas em t


Análise do erro

2 32 3

, , 2 3

1 1 1( ) ( ) ... ( )

2! 3! !

nt t n

x x y x y n

f f f ff f x x x x

x x x n x

, ,

t t

x x y x yf ff

x x

22

2

1( )

2!

fErro x

x

2 32 3

, , 2 3

1 1 1( ) ( ) ... ( )

2! 3! !

nt t n

x x y x y n

f f f ff f x x x x

x x x n x

22

2

1( )

2!

fErro x

x

, ,

t t

x y x x yf ff

x x

Utilizando diferença finita para frete ou para trás observa-se o mesmo erro.


Análise do erro (centrada)

2 32 3

, , 2 3

1 1 1( ) ( ) ... ( )

2! 3! !

nt t n

x x y x y n

f f f ff f x x x x

x x x n x

2 32 3

, , 2 3

1 1 1( ) ( ) ... ( )

2! 3! !

nt t n

x x y x y n

f f f ff f x x x x

x x x n x

33

3

2( )

3!

fErro x

x

, ,

2

t t

x x y x x yf ff

x x

Subtraindo a segunda da primeira equação, tem-se:

3 ( 1)3 ( 1)

, , 3

2 12 ( ) ... ( )

3! ( 1)!

nt t n

x x y x x y n

f f ff f x x x

x x n x


Ex. Cálculo da advecção de temperatura

. T

T TA V T u v

x y

r

, , , ,

, ,2 2

t t t t

x x y x x y x y y x y yt t

T x y x y

T T T TA u v

x y

Portanto, utilizando diferença finita centrada, tem-se

1, 1, , 1 , 1

, ,2 2

n n n n

i j i j i j i jn n

T i j i j

T T T TA u v

x y

Modelo espectral

Usa funções contínuas em forma de ondas, os dados são representados

através de harmônicos de Fourier. No modelo espectral a variação espacial da variável meteorológica é

representada por um número finito de harmônicos com diferentes

comprimentos de onda.

Na integração numérica os componentes lineares são obtidos pelo método

espectral. No entanto, tem-se processos físicos, advecção vertical e alguns

termos dinâmicos obtidos em ponto de grade por diferenças finitas. Neste

sentido, o modelo espectral é na verdade uma combinação de técnicas

espectrais e de ponto de grade.

Modelo espectral

Na integração numérica os componentes lineares são obtidos pelo método

espectral. No entanto, tem-se processos físicos, advecção vertical e alguns

termos dinâmicos que são obtidos em ponto de grade por diferenças

finitas. Neste sentido, o modelo espectral é na verdade uma combinação

de técnicas espectrais e de ponto de grade.

Modelo espectral

Características

1) Os dados são representados por funções tipo onda (harmônicos).

2) A resolução é função do número de onda (harmônico) usado no

modelo.

3) A resolução do modelo é limitada pelo máximo número de ondas.

4) Os termos lineares das equações podem ser calculadas sem

introduzir erro computacional.

5) É usado grade para calcular termos não lineares e outros

processos físicos.

6) Ocorrem transformações entre espectral e ponto de grade.

7) As equações podem ser integradas com grande “time step” e por

longo período.

8) Originalmente projetado para domínio global.

Modelo espectral

Formulação dos harmônicos de Fourier

fangularfase

fangularfrequênciaw

frequênciaf

amplitudeA

períodop

média

fase

2

2

p

1

,...,T,,) p/ t(wtAμX(t)

θ)πf(tAμX(t)

321cos

2cos

Modelo espectral

βsenwtwtα)senwt senwt A()(wtA coscoscoscos

,...,T,,/ tβsenwt pwtαμX(t) 321cos

cos ,

cos

cos 222222

senarctag

sentag

A)sen(Aβα

Asen

Aα

cos

Generalizando para N=T/2

Nj

j

jjjj

N

j

jjj

tsenwtwtX

,...,T,, p/ t)t(wAμX(t)

1

1

T1,2,3,...,p/ t )cos()(

321cos

Modelo espectral

Os coeficientes são obtidos por:

j

T

t

j NjtwtXT 1

1,...,3,2,1p/ cos)(2

T

t

j NjtwtXT 1

p/ cos)(1

j

T

t

j NjtsenwtXT 1

1,...,3,2,1p/ )(2

T

t

j NjtsenwtXT 1

,0p/ 0 )(1

Modelo espectral

NjT

jw j ,...,3,2,1p/

2

2

,1 1T

wj

2

,T

NwNj N

Onda mais lenta

Onda mais rápida

(frequência Nyquist)

Coordenada Vertical

Tipos de Coordenadas

Cartesiana ( , , , )f f x y z t

Isobárica ( , , , )f f x y p t

Isentrópica ( , , , )f f x y t

Sigma ( , , , )f f x y t

Coordenada Vertical

Tipos de Coordenadas

(a) (b)

(c) (d)

Esquema ilustrando as coordenadas: a) cartesiana, b) isobárica, c)

isentrópica e d) sigma, como vistas em um sistema de coordenas

cartesianas.

Coordenada Vertical

Coordenadas sigma - exemplo

s

p

p

( )

( )

s

T s

p p

p p

( )

( )

T s

T s

z z z

z z

( )

( )

T

s T

Sup.

Topo

Sup.

Topo

1

0 1

0

1

0

0

zT

Coordenada Vertical

Coordenadas ETA

A coordenada ETA foi criada em 1980 para reduzir o erro no cálculo da força

do gradiente de pressão em modelos que usam coordenadas sigma.

[ ( ) ]/[ ( 0) ]r s T r Tp z p p z p Em que, pT é a pressão no topo do modelo; pr(z=0) é a pressão ao nível

médio do mar 1013 hPa e pr(zs) é a pressão atmosférica para o nível zs.

Coordenada Vertical

Híbrido – (sigma x isentrópico)

isentrópico

sigma

híbrido

Coordenada Vertical

Equações em coordenadas sigma?

Resolução horizontal

Ponto de grade Espectral

A resolução horizontal do

modelo é definida em termos

do espaçamento da grade

(Ex.: 100 km, 10 km).

A resolução horizontal do

modelo é definida em termos

do número de ondas (Ex.: T80,

T60, T120).

O que é alta ou baixa resolução?


0 60 120 180 240 300 360

Maior Onda Menor Onda

0 1,5 3 4,5 6 7,5

TN Resolução

N360 ondaMenor

N onda de Número

360 ondaMaior

o

o

oo 4,580360 ondaMenor

T80 Modelo

:Exemplo


Equivalência com ponto de grade

x

x 3

3

1x

3N

360Δ

o

x

kmx oo

10095,0126 x 3

360

T126 Modelo :Exemplo

Resolução Vertical

Em modelos a atmosfera é

dividida em várias camadas.

Os primeiros modelos tinham

entre 5 e 7 camadas,

atualmente os modelos usam

de 30 a 70 camadas na

vertical.

Todo modelo usa uma

estrutura discreta na vertical.

Dada a importância e escala dos processos na Camada Limite Planetária –

CLP os modelos apresentam maior densidade de camadas nos níveis

baixos. Em altitudes mais elevadas estas camadas tornam-se mais

afastadas umas das outras.

Resolução Vertical

A resolução vertical de um modelo deve ser

suficientemente capaz de:

1) incorporar os efeitos de aquecimento e resfriamento

diurno;

2) Incorporar efeitos locais das característica espaciais

da superfície (solo, vegetação, umidade, etc.);

3) Resolver o escoamento e o cisalhamento na CLP;

4) Capturar regimes ageostróficos, como Corrente de

Jato na alta troposfera;

5) Detectar interações entre a estratosfera e troposfera

incluindo múltiplos jatos em altos níveis.

Resolução X Recursos computacionais

Lembrar Critério C.F.L.

Aumento da resolução

(horizontal e vertical)

Aumento do

processamento

+ pontos de grade

+ física e dinâmica

+ tempo de integração

1

x

tc

Condições de contorno

C.C. Lateral

C.C. Topo

C.C. Superfície

Objetiva minimizar a reflexão de informações indesejáveis para dentro do

domínio do modelo. Entretanto, deve-se permitir a entrada de informações de

larga escala.

Condições de contorno lateral

A condição de contorno lateral, ou de fronteira lateral, tem por princípio permitir que

ondas de gravidade e outros fenômenos advectados tenham passagem livre pela

fronteira e, assim, não consentir reflexão para o interior da área de domínio.

Manter na fronteira um gradiente nulo

( 1) ( ) 0n nx

1) Gradiente

2) Radiativo

Supõe-se que estas ondas se movem como a propagação de uma onda linear,

formulada matematicamente por:

( )u t c u x


Alguns métodos utilizados se diferenciam, basicamente, pela forma da obtenção de c.

# Orlanski (1976) propõe o cálculo pela expressão abaixo. É calculada no passo de

tempo anterior e no primeiro ponto interior à fronteira.

# Klemp & Lilly (1978) sugerem que se aplique o valor da média vertical segundo

Orlanski, para toda a coluna do domínio.

# Klemp & Wilhelmson (1978) sugerem o uso de um valor típico para a velocidade de

fase da onda de gravidade (10 - 30 m/s). Na prática, qualquer método aplicado como

condição lateral não evita totalmente a reflexão, mas é altamente relevante que a

reflexão seja mínima.

( ) /( )c u t u x

3) Esponja

0( )t u x r

Em que é o coeficiente de relaxação, é o valor desejado de para

o contorno.

0r 0


4) Cíclica

O valor da variável dependente para uma borda do domínio do modelo assume de

forma idêntica o mesmo valor da borda oposta.

0( ) ( )Dx x

Em resumo, pode-se observar:

1) É interessante remover o contorno

lateral dando importância a área de

interesse.

2) Que as informações de larga escala

possam influenciar através das bordas.

3) A condição Radiativa possibilita uma

expansão da área útil do modelo.

Área útil

Condições de contorno no topo

O topo do modelo deve ser suficiente para possibilitar a retirada de um camada

deixando apenas uma altura útil (a exemplo do contorno lateral).

Neste contexto é proposto que o topo do modelo alcance, a depender do interesse,

uma das seguintes condições: 1) a base da Estratosfera; 2) a altura da Tropopausa e

3) a altura de uma camada estável.

Parede Rígida

ou

Esponja

Condições de contorno à superfície

# Único contorno que tem significado físico.

# Diferentes gradientes de variáveis dependentes geram circulações de mesoescala.

# Topografia, solo nu, solo vegetado, corpo d’água, etc. geram circulações.

# Mudanças provocadas pelo homem ou animais podem acarretar substanciais

mudanças.

Devido a importância das Condições de Contorno à Superfície, estas devem ser bem representadas num modelo numérico da atmosfera.

Obs.: É comum tratar Terra e Água separadamente

Corpos d’água ( lagos, mares e oceanos)

# Faz-se necessário permitir interações dinâmicas e termodinâmicas entre o ar e a

água (ondas, correstes oceânicas, gradientes de temperatura e salinidade, variações

diurnas no gradiente vertical de temperatura e salinidade, evaporação potencial,

balanço de energia, etc.)


Desafio – acoplamento de Modelos Oceânicos.


# Tipo, balanço hídrico (evaporação real), balanço

de energia.

Solo vegetado

# Tipo de solo, tipo de vegetação, balanço hídrico

(evapotranspiração real) - balanço de energia.

Solo nu Modelo Solo- Vegetação

Refletividade

Fim do Módulo 2

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