SÉRIES DE GEOFÍSICA 3

SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE DIFUSÃO DE CALOR

MÉTODOS MATEMÁTICOS

EM GEOFÍSICA I:

Fernando Brenha RibeiroEder Cassola Molina

Métodos Matemáticos em Geofísica I:

Solução da Equação de Difusão de Calor

Fernando Brenha Ribeiro

Eder Cassola Molina

Instituto de Astronomia, Geofísica e Ciências Atmosféricas

da

Universidade de São Paulo

Departamento de Geofísica

Março de 2020

© 2020 by Sociedade Brasileira de Geofísica (SBGf)

É proibida a reprodução total ou parcial, por quaisquer meios,

sem autorização por escrito da editora.

Secretário de Publicações: Alan Cunha

Editora de Publicações: Adriana Reis Xavier

Revisão: Leda Maria da Costa

Criação Capa: Andrea Hecksher

Ficha Catalográfica elaborada pela Biblioteca do ON

R484 Ribeiro, Fernando Brenha.

Métodos matemáticos em geofísica I: solução da equação

de difusão de calor/ Fernando Brenha Ribeiro; Eder Cassola

Molina.- Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Geofísica

(SBGf), 2020.

E-book: il

ISBN: 978-65-86570-00-7

E-book, formato PDF

1.Condução de calor. 2.Difusão.3.Transferência de calor.

4.Métodos de matemática aplicada. I. Molina, Eder Cassola.

II.Sociedade Brasileira de Geofísica. III. Título

CDU 550.8

Sociedade Brasileira de Geofísica - SBGf

Av. Rio Branco, 156 sala 2.509

20040-901 – Centro – Rio de Janeiro – RJ

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Os autores agradecem à

Sociedade Brasileira de Geofísica (SBGf),

e em especial à sua Presidente,

Dra. Ellen N. S. Gomes, pelo forte apoio

para a publicação deste livro.

Os autores agradecem também

à Sra. Adriana Reis pelo excelente

e dedicado trabalho de editoração.

PREFÁCIO

Este texto foi escrito para alunos com uma formação e aptidão matemática mais

sólida do que o comum entre os graduandos em geofísica, e que necessitem aprofundar-

se na modelagem de processos geofísicos, ou que planejem continuar a sua formação em

um nível de pós-graduação. Ele se destina também a alunos de pós-graduação que

escolheram se especializar em geofísica matemática. Por discutir técnicas da física

matemática aplicáveis a um espectro muito amplo de problemas, o livro pode ser útil para

processamento de sinais e tratamento matemático dos problemas da geofísica, e das

ciências e engenharias de forma geral.

Uma das principais dificuldades encontradas no ensino da geofísica, tanto na

graduação quanto na pós-graduação, é a seleção do material a ser apresentado em sala

de aula. Por ser uma disciplina fundamentalmente interdisciplinar, a formação de um

profissional em geofísica requer, em princípio, que o futuro geofísico seja exposto a um

número grande de temas muito diferentes entre si. Na prática, no entanto, não há como

evitar que temas importantes sejam lecionados com maior brevidade do que outros

igualmente importantes. A geotermia, e em particular, o estudo detalhado dos processos

de transferência de calor no interior da Terra, são temas cuja discussão é limitada nos

cursos de graduação e se concentra, principalmente, no nível de especialização e de pós-

graduação.

Desde 2007 a disciplina AGG-5923 “Transferência de calor em materiais

geológicos” é oferecida no curso de Pós-Graduação em Geofísica do Instituto de

Astronomia, Geofísica e Ciências Atmosféricas da Universidade de São Paulo. Como o

título da disciplina sugere, o material discutido é bastante amplo, envolvendo o estudo

das propriedades térmicas das rochas, mecanismos de transporte de calor no interior da

Terra, fenômenos de transporte em meios porosos e geração e solidificação de magmas.

Uma das principais dificuldades encontradas na apresentação dessa disciplina foi

encontrar um conjunto pequeno de textos em português que contivesse de forma

condensada aquelas técnicas e métodos cuja discussão detalhada em sala de aula é

limitada pelo tempo, e até mesmo pouco útil, mas que pode ser absorvida com maior

eficiência através de uma leitura dirigida.

Uma visão geral dos diferentes métodos de solução da equação de difusão de calor

é fundamental para a modelagem de um número significativo de processos

geodinâmicos. O propósito deste texto é fornecer parte desse material, mais

especificamente, apresentar as principais técnicas analíticas de solução da equação de

difusão.

Optou-se por não incluir no texto listas de exercícios, mas apresenta-se em

detalhe o desenvolvimento das soluções discutidas em cada capítulo. Sempre que

possível e oportuno, exemplos de aplicações geofísicas foram incluídos, visando

enriquecer a experiência do leitor.

Sumário

I. Introdução .................................................................................................................................. 1

I.1 Notas históricas .................................................................................................................... 3

I.2 Organização do texto ......................................................................................................... 11

II. A equação de condução de calor ............................................................................................ 12

II.1 Sinopse .............................................................................................................................. 12

II.2 A lei de Fourier da condução de calor ............................................................................... 12

II.2.1 O argumento empírico ............................................................................................... 12

II.2.2 O argumento algébrico............................................................................................... 15

II.3 Calor específico e calor sensível ........................................................................................ 21

II.4 Uma expressão para a conservação de energia – a equação de difusão de calor ............... 24

II.4.1 O operador divergente e o operador Laplaciano ....................................................... 35

II.5 Mudança do sistema de coordenadas .............................................................................. 37

II.5.1 Coordenadas curvilíneas ............................................................................................ 37

II.5.2 Transformação de coordenadas ................................................................................. 40

II.6 Meios em movimento ....................................................................................................... 49

II.7 Condução de calor em meios anisotrópicos ..................................................................... 51

II.8 A natureza da equação de condução de calor .................................................................. 61

II.9 Condições iniciais e condições de contorno ..................................................................... 62

II.10 Equações da física matemática que têm a forma da equação de condução de calor .... 65

II.11 Ondas de calor ................................................................................................................. 65

Apêndice A – A equação de condução em meios porosos ou granulares .............................. 67

III. Métodos elementares ............................................................................................................ 71

III.1 Sinopse ............................................................................................................................. 71

III.2 Introdução ........................................................................................................................ 71

III.3 Fonte pontual de calor ..................................................................................................... 71

III.3.1 A solução de Laplace ................................................................................................ 75

III.3.2 Fonte linear e instantânea de calor .......................................................................... 81

III.3.3 Fonte instantânea de calor com a forma de uma superfície cilíndrica ..................... 83

III.3.4 Fonte linear contínua de calor ................................................................................. 84

III.4 Condição de contorno variável no tempo – um exemplo geofísico simples ................... 87

III.4.1 Condição de contorno variável no tempo – o teorema de Duhamel........................ 91

III.4.2 Condição de contorno periódica – solução em regime permanente........................ 96

III.4.3 Condição de contorno periódica em um meio estratificado .................................... 98

III.4.4 Condição de contorno periódica – solução completa ............................................. 101

III.5 Conclusão ....................................................................................................................... 104

Apêndice – A função erro e funções e integrais associadas ................................................. 104

IV. Métodos para a solução da equação de condução de calor – o método da separação de

variáveis..................................................................................................................................... 111

IV.1 Sinopse ........................................................................................................................... 111

IV.2 Primeiro exemplo: solução da equação de condução de calor para o caso de um

paralelepípedo com as faces mantidas a uma temperatura constante .................................. 111

IV.2.1 Justificativa para a solução em série ....................................................................... 119

IV.2.2 A convergência da solução em série ....................................................................... 124

IV.2.3 A aproximação por uma soma finita ....................................................................... 126

IV.3 Segundo exemplo: condições de contorno não homogêneas ....................................... 130

IV.3.1 A justificativa da solução ......................................................................................... 132

IV.4 Terceiro exemplo – Solução da equação de condução de calor com condição de

contorno do tipo de Robin .................................................................................................... 137

IV.5 Conclusão ....................................................................................................................... 142

V. Espaços vetoriais, equações de autovalor e o problema de Stürm-Liouville ....................... 143

V.1 Sinopse ............................................................................................................................ 143

V.2 Vetores e espaços vetoriais ............................................................................................ 143

V.2.1 Subespaços vetoriais ................................................................................................ 145

V.2.2 Combinação linear de vetores, dependência linear ................................................ 145

V.2.3 Base e dimensão de um espaço linear ..................................................................... 149

V.3 Transformações lineares ................................................................................................. 150

V.3.1 Transformações lineares inversas ............................................................................ 151

V.3.2 Associação de transformações ................................................................................ 153

V.3.3 Núcleo da transformação ......................................................................................... 155

V.3.4 Transformações diferenciais lineares – operadores diferenciais lineares ............... 156

V.4 Equações de autovalor: autovalores e autofunções ....................................................... 158

V.4.1 O problema de Stürm-Liouville ................................................................................ 159

V.5 Produto interno de um conjunto de funções – ortogonalidade ......................................... 164

V.5.1 Convergência quadrática média, a desigualdade de Bessel e a equação de Parseval

........................................................................................................................................... 165

V.5.2 Um teorema geral de representação em séries de funções ortogonais ................. 168

VI. A solução de equações diferenciais por séries de potência ................................................ 169

VI.1 Sinopse ........................................................................................................................... 169

VI.2 Solução de equações diferenciais ordinárias em séries de potência – funções analíticas e

o método dos coeficientes a determinar .............................................................................. 169

V.3.1 Soluções em torno de um ponto singular regular – forma geral ............................. 180

VI.3.2 O problema da segunda solução – solução em série, teorema de Fuchs ............... 185

VII. Separação de variáveis e séries de funções ortogonais. Exemplos de problemas com simetria

cilíndrica..................................................................................................................................... 196

VII.1 Sinopse .......................................................................................................................... 196

VII.2 Condução de calor em um sólido cilíndrico onde energia na forma de calor é

produzida a uma taxa constante ........................................................................................... 196

VII.3 Distribuição de temperatura em estado transiente em uma camada cilíndrica

indefinidamente longa com raio interno a e raio externo b ................................................... 202

VII.4 A distribuição de temperatura em estado estacionário no interior de um cilindro que

produz calor a uma taxa constante, distribuída homogeneamente no seu interior, e que

perde calor para o meio exterior seguindo a lei do resfriamento de Newton ..................... 208

Apêndice A – Solução da equação de Bessel de ordem μ (real) ........................................... 221

A primeira solução da equação de Bessel de ordem ‘n’ ................................................... 225

A segunda solução da equação de Bessel de ordem n ..................................................... 227

As funções de Bessel de primeira espécie e de ordem 1/2 e -1/2. ................................... 236

Os zeros das funções de Bessel ......................................................................................... 237

Apêndice B – Ortogonalidade das funções de Bessel de primeira espécie .......................... 240

Apêndice C – Algumas propriedades importantes das funções de Bessel e de funções

associadas ............................................................................................................................. 243

VIII. Transformações integrais: transformadas de Fourier e transformada de Laplace ........... 249

VIII.1 Sinopse ......................................................................................................................... 249

VIII.2 A fórmula integral de Fourier ....................................................................................... 249

VIII.3.1 Propriedades operacionais das transformadas de Fourier ................................... 254

VIII.3.2 A integral de convolução....................................................................................... 257

VIII.3.3 Solução da equação de condução de calor em um meio infinito homogêneo ....... 258

VIII.4 A transformada de Laplace .......................................................................................... 266

VIII.4.1 Propriedades operacionais da transformada de Laplace ..................................... 268

VIII.4.2 Exemplos ................................................................................................................... 276

VIII.4.2.1 Primeiro exemplo: solução da equação de condução de calor em um meio

infinito composto por dois materiais diferentes em perfeito contato térmico ................ 276

VIII.4.2.2 Segundo exemplo: solução da equação de condução de calor para o caso de

um paralelepípedo com as faces mantidas a temperatura zero .................................... 285

VIII.4.2.3 Terceiro exemplo: solução da equação de transporte associado ao fluxo de

soluções em meios porosos .............................................................................................. 287

Apêndice A – Obtenção da transformada inversa de Laplace da equação (VIII-53) ............. 290

Apêndice B – Cálculo da transformada inversa de Laplace de 𝐟𝐱, 𝐬 = 𝐞 − 𝐱𝛂𝐬 ................... 296

Apêndice C – Cálculo da transformada inversa de Laplace de 𝐟𝐱, 𝐬 = 𝐞 − 𝐱𝛂𝐬𝐬 − 𝐩𝟐 ....... 300

IX. Transformações integrais em domínio finito ....................................................................... 303

IX.1 Sinopse ........................................................................................................................... 303

IX.2 O método das transformações integrais em domínio finito – caso geral ...................... 303

IX.2.1 O problema de autovalor associado e a definição da transformada integral em

domínio finito .................................................................................................................... 304

IX.2.2 A solução do problema de condução de calor ........................................................ 306

IX.3 Um problema com condição do tipo de Dirichlet .......................................................... 311

IX.3.1 O problema de autovalor associado ....................................................................... 311

IX.3.2 A solução do problema de contorno ....................................................................... 314

IX.4 Transformações integrais em domínio finito – caso particular de uma única dimensão

............................................................................................................................................... 324

IX.4 .1 Três exemplos de transformação integral em domínio finito e em uma direção ........ 328

IX.4.2 Dois exemplos de aplicação de uma transformada integral em domínio finito e em

uma direção ....................................................................................................................... 333

X. A “função” delta de Dirac e as funções de Green ................................................................. 341

X.1 Sinopse ............................................................................................................................ 341

X.2 Introdução – a “função” delta de Dirac .......................................................................... 341

X.2.1 Sequências de funções que levam à “função” delta de Dirac .................................. 345

X.2.2 As propriedades operacionais da “função” delta de Dirac ...................................... 353

X.3 Funções de Green............................................................................................................ 362

X.3.1 Um último exemplo simples..................................................................................... 368

X.4 Conclusão ........................................................................................................................ 370

Apêndice A ............................................................................................................................ 371

Apêndice B - Função de Green para problemas de valor inicial e para problemas de Stürm-

Liouville ................................................................................................................................. 375

A2.1 A função de Green para problemas de valor inicial .................................................. 375

A2.2 A função de Green para problemas de Stürm-Liouville ............................................ 379

XI. Exemplos de aplicação ......................................................................................................... 387

XI.1 Sinopse ........................................................................................................................... 387

XI.2 Introdução ...................................................................................................................... 387

XI.3 Fluxo de calor e de umidade em um meio poroso......................................................... 387

XI.3.1 Formulação do problema ........................................................................................ 388

XI.3.2 As condições iniciais e de contorno ........................................................................ 394

XI.3.3 Um exemplo com condições de contorno de Dirichlet constantes no tempo .......... 397

XI.4 Um exemplo adicional sobre o uso da transformada de Laplace .................................. 400

XI.5 Exemplos simples de condução de calor na presença de mudança de estado ............. 412

XI.5.1 A solução de Neumann .......................................................................................... 413

XI.6 Condução de calor em barras longas ............................................................................. 418

XI.6.1 A equação de condução de calor em uma barra longa ........................................... 418

XI.6.2 O caso de uma barra semi-infinita .......................................................................... 429

XI.6.3 O método de Angstrom para a determinação da difusividade térmica ................. 431

Apêndice A ............................................................................................................................ 433

Referências ................................................................................................................................ 436

FERNANDO BRENHA RIBEIRO é professor do Departamento de Geofísica do Instituto de Astronomia, Geofísica e Ciências Atmosféricas da Universidade de São Paulo (IAG-USP) desde agosto de 1980, sendo, atualmente, Professor Associado, nível III. É bacharel em física pelo Instituto de Física da USP (1977), mestre (1981) e doutor (1988) em geofísica pelo IAG-USP. Entre setembro de 1988 e agosto de 1989 realizou estágio de pós-doutorado na Universidade de Michigan. Em 1999 obteve o título de Livre-Docente no IAG-USP. As suas linhas de pesquisa se concentram nas áreas de geofísica nuclear e fluxo de calor terrestre.

EDER CASSOLA MOLINA é Professor Associado do Departamento de Geofísica do Instituto de Astronomia, Geofísica e Ciências Atmosféricas da Universidade de São Paulo (IAG-USP) desde 1988. É egresso da primeira turma de Bacharelado em Geofísica do Brasil (IAG-USP, 1987), mestre, doutor e livre-docente em Geofísica por esta instituição. As suas linhas de atuação compreendem gravimetria, magnetometria, divulgação científica e desenvolvimento de aplicativos para plataformas móveis.