Encontros UFV-UFJF e o Diada Matemática IV

Dois Encontros em Sistemas Dinâmicos e o 4a Dia da Ma-temática, respectivamente, nos dias 29/04, 18/06 e 09/05 de2019, foram realizados com successo. Os encontros dos profes-sores da área de sistemas dinâmicos foram coordenados peloProf. Alexandre Miranda (UFV) e pelo Prof. José Barbosa(UFJF) e, no Dia da Matemática, além de docentes do DMA,nos brindaram com palestras, os professores visitantes, Gugu(IMPA), Marcos Craizer (PUC-Rio) e Hugo. D. FernándezSare (UFJF). Agradecemos a todos os participantes.

A. Lemos A. M. Alves C. Mendes M. Guerreiro

*Graphs and closed surfaces associated to pairingof edges of regular polygons,C. M. de Jesus S.; P. D. Romero; Bulletin of the Brazilian Mathe-matical Society, 2019. (Classif. CAPES: A2 ).

In this paper we define the concept of graph extension embedded on a closedand orientable surfaces, associated to pairing of edges of regular polygons inorder to show that the K-regular pairing of edges graphs can be obtained bythe canonical extension of graphs (graphs with a single vertex). We presentexamples of K-regular graphs associated to surfaces with genus g ≤ 3.

*From ds-Bounds for Cyclic Codes to True Mi-nimum Distance for Abelian Codes,J.J. Bernal; M. Guerreiro; J.J. Simon; IEEE Transactions onInformation Theory, 2019. (Classif. CAPES: A2 ).

In this paper we developed a technique to extend any bound for theminimum distance of cyclic codes constructed from its defining sets (ds-bounds) to Abelian (or multivariate) codes through the notion of B-apparentdistance. We also study conditions for an Abelian code to verify that its B-apparent distance reaches its (true) minimum distance. Then we constructsome codes as applications.

*Geometric limits of Julia sets and connected-ness locus of the family of polynomials Pc(z) =zn + czk

A. M. Alves; Dynamical Systems, 2019. (Classif. CAPES: B1 ).

*On the number of fully weighted zero-sum sub-sequences,A. Lemos; A. O. Moura; A. T. Silva, B. K. Moriya;InternationalJournal of Number Theory, 2019. (Classif. CAPES: B1 ).

TÓPICOS PRINCIPAIS

GRANDES MATEMÁTICOS p. 2

-PROJETOS DE EXTENSÃO p. 3

-ENTREVISTAS:* Braz Moura Freitas* Lais M. dos Santos p. 5

-PROJETOS DE PESQUISA p. 6

-DESAFIO MATEMÁTICO-NOTÍCIAS p. 8

COLABORADORES:*Thaynara C. de C. Bento*Ígor S. Reis

JMat UFVEDITORES

Pouya MehdipourMarinês Guerreiro

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JMatUFV 17 de Dezembro de 2019 ‖ 15:29h

JMatUFV , 17 de Dezembro de 2019 Grande Matemáticos N◦4 2 / 8

Carlos Gustavo Moreira (Gugu)Uma estrela do mundo da Matemática no céu do Brasil! O DMA/UFV teve o prazer de recebê-loem dia 09 de maio de 2019 como palestrante do evento Dia da Matemática IV.

Gugu em ICM 2018

Dia da Matemática IV-UFV

Carlos Gustavo Tamm de Araújo Mo-reira nasceu em 8 de fevereiro de 1973,no Rio de Janeiro, é pesquisador titu-lar do Instituto de Matemática Purae Aplicada (IMPA), membro da Co-missão Brasileira de Olimpíadas Bra-sileiras de Matemática, torcedor faná-tico do Flamengo e militante do PCB( Partido Comunista Brasileiro). Co-nhecido como Gugu, é mestre e doutorem Matemática pelo Instituto de Ma-temática Pura e Aplicada, sendo es-pecialista em Sistemas Dinâmicos.

Quando terminou o ensino médio,terminou ao mesmo tempo o mestradono IMPA. Aos 20 anos, já era doutor.Acha incrível que alguém seja pagopara estudar Matemática com liber-dade.

Sua pesquisa relaciona aproxima-ções diofantinas a outras áreas da Ma-temática. Existe um problema funda-mental que engloba frações e núme-ros reais. Números irracionais ou fra-ções podem aproximar todos os núme-ros reais. Pi (π) é um número irra-cional que pode ser aproximado porum número real através de decimais:3.14 por exemplo. Uma vez que os de-cimais continuariam para sempre, no

entanto, nunca terá uma representa-ção numérica real perfeita, mas é pos-sível chegar perto usando frações es-pecíficas. Algumas frações são melho-res do que outras para encontrar essasaproximações, e parte de seu trabalhomostra como alcançar essas melhoresaproximações e relacioná-las a áreasda Matemática aparentemente não re-lacionadas, como sistemas dinâmicos,teoria do caos e geometria fractal.

Ele é também um dos escritoresdo livro: "Teoria dos Números: umpasseio com primos e outros númerosfamiliares pelo mundo inteiro; Rio deJaneiro, IMPA 2010."

Os Prêmios

Gugu já foi agraciado com honra-rias como o prêmio WFNMC em 1992,o prêmio Jovem Cientista na comemo-ração dos 45 anos do CNPq em 1996,o prêmio UMALCA, em 2009, o prê-mio TWAS-Rolac a jovens cientistasda América Latina, em 2007, e o prê-mio TWAS, em 2010.Prêmio UMALCA: O prêmio daUnião Matemática da América La-tina e Caribe (UMALCA) foi criadono ano 2000 para distinguir os jo-vens matemáticos mais brilhantes tra-balhando na América Latina e Caribe,bem como reconhecer e estimular assuas contribuições matemáticas. Opremiado do ano 2000 foi Marcelo Vi-ana (IMPA) e o de 2004 foi EnriquePujals (IMPA), com menções honro-sas para Mario Eudave (UNAM, Mé-xico) e Cláudio Landim (IMPA).

Prêmio TWAS: O prêmio TWAS édado anualmente desde 1985 em vá-rias áreas das ciências pela Academiade Ciências para o Mundo em Desen-volvimento (TWAS). Do Brasil, já ga-nharam o prêmio na Matemática ospesquisadores Maurício Peixoto, Ja-cob Palis, Manfredo do Carmo, Ri-cardo Mañé, César Camacho, MarceloViana, Welington de Melo e ClaudioLandim, todos do IMPA.

Prêmio WFNMC: Carlos Augustotambém foi ganhador do PrêmioPaul Erdös da Federação Mundial de

Competições Nacionais de Matemá-tica (WFNMC, sigla em inglês), pelacontribuição à Matemática Olímpica.Entregue desde 1992, o Paul Erdöspremia pesquisadores que atuam nodesenvolvimento de desafios matemá-ticos, de forma a estimular a aprendi-zagem da disciplina.

Olimpíadas de Matemática

Em sua carreira olímpica, ga-nhou medalhas de ouro na Olim-píada Ibero-americana de Matemática(1989). Também obteve medalhasde bronze (1989) e ouro (1990) naOlimpíada Internacional de Matemá-tica (IMO).Olímpiada Ibero-americana deMatemática: Foi criada em 1985com o objetivo de descobrir e incenti-var os novos talentos matemáticos dospaíses ibero-americanos, além de dar aoportunidade da troca de experiênciase promover relações de amizade entreestudantes e professores. No Brasil, aseletiva dos estudantes representantestem como sua primeira fase a OBM (Olímpiada Brasileira de Matemática)e, como etapa seguinte, outros 5 testesde seleção. Esta olimpíada é divididaem 2 dias de prova: cada um deles comduração máxima de 4 horas e meia ecom 3 problemas de Matemática queexploram os conhecimentos do compe-tidor em Teoria dos Números, Álge-bra, Geometria e Combinatória.Olimpíada Internacional de Ma-temática: A IMO, pioneira entre ascompetições científicas internacionais,foi criada na Romênia em 1959. Asquestões abordadas nas provas envol-vem várias áreas da disciplina, comoaritmética, álgebra, equações linearese quadráticas, polinômios e geometria,dentre outras. Porém, mais impor-tante do que o conhecimento formal,a competição exige alto nível de abs-tração e análise.

Há sete anos, o matemático Gugué o coordenador geral da Comissãode Olimpíadas de Matemática da So-ciedade Brasileira de Matemática, naqual ingressou em 1992.

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JMatUFV , 17 de Dezembro de 2019 PROJETO DE EXTENSÃO N◦4 3 / 8

SIAMA

A primeira SIAMA - Se-mana de Integração Acadê-mica da Matemática - ocor-reu de 2 a 4 de maio de2019, sob coordenação dosintegrantes da atual ges-tão do Cento Acadêmico deMatemática, com o auxí-lio da professora MarinêsGuerreiro, no Auditório do

Prédio das Licenciaturas eno Centro de Ciências Exa-tas e Tecnológicas.

A SIAMA contou, emsua programação, com di-versos minicursos com ostemas:“Construindo Sólidosgeométricos com Origami”;“Construção do Conceito deÁrea a Partir dos Elementosde Euclides”; “Aprendendoa fazer Plano de Aula: Pla-nejar para Ensinar”; “Va-mos Conversar sobre Siste-mas Dinâmicos”; “Grafos deEmparelhamento de Ares-tas de Polígonos Regulares”;“Noções de Lógica”; “Técni-cas de Demonstração; Gru-pos de Simetria”; “Educa-

ção Financeira”; “Elabora-ção de Itens Matemáticos”e “O Som e o Sentido”.Além disso, foi ministradaa palestra “Profissão Mate-mática: Desafios Possibili-dades e Conquistas”, como convidado professor dou-tor Jhone Caldeira Silva(UFG), ex-aluno do Cursode Matemática da UFV. Noevento, foi realizado o lan-çamento dos livros “Estru-turas Algébricas para Li-cenciatura”, Volumes 1 e2, de autoria do profes-sor Jhone. Houveram tam-bém debates, em formato demesa redonda, com as temá-ticas “As áreas de pesquisa

na Matemática”, com os pa-lestrantes Ady Junior, An-derson Araújo, Sônia Fer-nandes, Marli Moreira, Re-jane Faria e Bulmer Gar-cia e “As Mídias no En-sino da Matemática” coma presença dos palestrantesJhone Caldeira Silva e Ga-briela Christina de Sá.

No dia 03/05 ocorreuum momento de descontra-ção com uma apresentação,em parceria com o pro-jeto CineMat, do filme “Oquarto de Fermat” e no diado encerramento houve umamostra de pôsteres dos alu-nos da instituição sobre seustrabalhos de pesquisa.

Matemática para a Cidadania

O evento “Matemática paraa Cidadania” ocorreu nosdias 26 a 28 de maio de 2019no Auditório do Prédio dasLicenciaturas (PLI) comoparte das atividades desen-volvidas pelos estudantes nadisciplina Mat 490 – Ofi-cina de Matemática. Se-gundo a professora MarliMoreira, responsável pelaMAT 490 em 2018-I, ante-riormente, para a execuçãodo projeto prático da disci-plina, a turma deveria esco-lher um dos temas obriga-tórios como atividades com-plementares, a saber Edu-cação Ambiental, Educaçãopara as Relações Étnico-raciais e Educação em Di-

reitos Humanos, e organi-zar uma palestra sobre taltema, ministrada por al-guém competente no as-sunto. Porém, desta vezalém de disponibilizar pa-lestras sobre os três conteú-dos, o projeto contou comoficinas variadas sobre tópi-cos de Matemática.

Programação do Evento

A organização partiu dosdezessete alunos frequentesna disciplina e as inscriçõesforam feitas virtualmente.As palestras foram minis-tradas por professores con-vidados de outros departa-mentos, como o professorPaulo César, do departa-mento de Direito, com a pa-lestra sobre Ética, o profes-sor Edson Fialho, do De-partamento de Geografia,com a palestra sobre Edu-cação Ambiental e o profes-sor Thiago Mota, do Depar-tamento de História, coma palestra sobre Relações

Étnico-raciais. Além disso,o evento contou com di-versas oficinas: Jogos Ma-temáticos; Bordado pontocruz; História da Matemá-tica; Malba Tahan, Mate-mática divertida e curiosae Resolução de problemas:Experimentações possíveis.A última citada foi a únicaoficina ministrada pela pro-fessora convidada RejaneSchuwartz Faria, as outrasforam todas confeccionadaspelos próprios alunos no de-correr da disciplina e mi-nistradas por eles duranteo evento. Para o encerra-mento foi organizada, pe-los discentes, uma Mesa Re-donda com a temática “AMatemática é...” que con-tou com a participação dosprofessores Marinês Guer-reiro, Anderson T. da Silva,Jéssyca Gurjão, Edson Tei-xeira e Rogério Picanço doDepartamento de Matemá-tica. Houve ainda, durantea realização do evento, arre-

cadações de agasalhos paradoação.

Nivaldo Guilherme, umdos estudantes responsáveispela organização, enfatizouo trabalho coletivo durantea execução do evento. “Nós,enquanto estudantes de Ma-temática, não estamos acos-tumados a fazer trabalhosrealmente em equipe e aoorganizar o evento tivemosque aprender, na prática, alidar com as divergências deopiniões e respeitar o espaçode trabalho do outro”. Acoordenadora da disciplinae orientadora do projeto,a professora Marli, afirmaainda que a intenção é fazercom que o evento acon-teça regularmente todos osanos. Esta foi somente aprimeira edição. Para co-nhecer mais sobre o projetoMatemática para a Cida-dania, basta acessar o en-dereço eletrônico https://sites.google.com/view/matemticacidadania.

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JMatUFV , 17 de Dezembro de 2019 ENTREVISTAS N◦4 4 / 8

Professor Braz Moura Freitas (1949-2019)Homenagem de professores do Departamento de Matemática ao professor Braz Moura Freitas, docentedo DMA. Braz formou na primeira turma do Curso de Matemática da UFV, em 1976, e, naquelemesmo ano, se tornou professor do departamento. Em março deste ano recebemos a triste notíciado seu falecimento.

Profa. Marinês: O professor Brazsempre foi muito prestativo com aspessoas que chegavam ao DMA paraserem seus colegas. Na época em queeu cheguei à Viçosa, ele me ajudoumuito para eu aprender a dirigir o meuprimeiro carro que foi um fusquinha!Sou muito grata a ele por esta ajuda!Profa. Lana: O Braz era uma pes-soa calma, humilde e gentil. Ele tra-tava a todos sejam alunos, servidoresou colegas com o mesmo respeito. Pa-recia que nada ou ninguém o tiravado sério. Ele tinha um lance curiosoe único de usar um mesmo papel vá-rias vezes, escrevendo por cima do quejá estava escrito, usando cores de ca-netas diferentes. E ficava legível! Erauma pessoa muito querida. Sua levezaserá sempre lembrada e sentida.Profa. Catarina: O professor Brazsempre foi agradável, paciente e ge-neroso. Isto que ficou depois de sersua aluna. Com ele conferi que tendooportunidade e muito esforço é possí-vel superar a falta de base. Com seuscolegas foi sempre muito respeitoso epronto pra ajudar nos primeiros pas-sos. E sabia tocar lindas melodias noviolão. Fica agora a saudade.Profa. Margareth: Quando ingres-sei no DMA/UFV, o Braz já faziaparte do corpo docente do departa-mento. Foram anos de um ótimo con-vívio profissional (nada formal), pon-tuados com brincadeiras e provoca-ções. Ele tinha um ótimo senso dehumor, o que tornava nossos dias maisleves. Deixou saudades!Prof. Mercio: Lembro-me, quandofui seu aluno, que o Braz sempre foiuma pessoa muito ponderada, muitotranquilo e responsável, sempre olhavatanto o lado do aluno quanto o de-

senvolvimento do conteúdo que tinhaque ser passado. E como professordo departamento, sempre foi uma pes-soa muito tranquila e calma que pre-sava pelo bom relacionamento com oscolegas de trabalho e também comseus alunos. Profissionalmente, sem-pre presou pela harmonia do departa-mento em si e para que fosse um lo-cal agradável de trabalhar. Quandoeu estava no cargo de Chefia do de-partamento, algumas das disciplinasde difícil alocação muitas das vezesrecaiam sobre ele e este por sua veznunca reclamou, pelo contrário, sem-pre as conduzia até o final. Algo emespecífico que marca minha lembrançaquanto ao professor Braz foi em umevento de comemoração aos quarentaanos do departamento em que ele to-cou uma música no violão e não sabía-mos que ele tocava.Prof. Allan: Eu estudei na UFV naminha graduação, mas não tive aulacom o professor Braz. Eu me lembrodele como companheiro de trabalho.Ele era uma pessoa muito educadae também muito engraçada. Semprecontando piadas na sala do café oupelos corredores do DMA. Falando decafé, Braz era viciado nesta bebida.Acho que não existia sala de café naUFV que ele não conhecia. Lembro-me das vezes em que ele me convidoupara tomar café nas salas de café noDepartamento de Informática, no De-partamento de Estatística e no PVA.Nestes momentos, ele sempre conver-sou com todos da sala. Estas con-versas eram bem descontraídas e commuito bom humor. Apesar de sem-pre ter um ótimo humor, ele tam-bém falava sério quando era necessá-rio. Quando uma discussão ficava sé-ria, ele sempre tinha uma forma muitoeducada e sábia de falar sua visão so-bre o assunto e acabava te conven-cendo de que ele estava certo. Voulembrar dele como uma pessoa muitofeliz e sábia.Profa. Rosane: O Braz era muitodedicado e estava sempre disposto aajudar os estudantes. Ele formou naprimeira turma do curso de matamá-

tica da UFV. Creio que eu e todos oscolegas do DMA temos uma mesmaopinião a respeito do Braz, ele eramuito querido. Cursei a graduação naUFV, tive o prazer de ser sua aluna nadisciplina de MAT 131 e, como colegade departamento, lecionamos juntosuma disciplina de Cálculo II.Profa. Ariane: Fui aluna do pro-fessor Braz em apenas uma disciplina.Recordo-me que, enquanto professor,ele ministrava sua aula com tranqui-lidade e simpatia. A maioria das mi-nhas lembranças são como colega deprofissão. Nunca o vi irritado ou pre-ocupado, não se envolvia em questõespolêmicas, nestas ocasiões ficava, pa-cientemente, em silêncio. Sem dú-vida as lembranças mais marcantesque guardarei dele será o copo de café,que não saia de sua mão, o sorriso ale-gre, sempre estampado em seu rosto,e o "e aí, menina?", que ele expressavaao me ver.Prof. Anderson Tiago: Fui alunodo professor Braz e o conheço desdeo ano 2000. O Braz sempre foi umprofessor calmo e tranquilo. Sempredeixava um exercício no quadro pararesolvermos durante a aula e enquantoisso, ele aproveitava esse tempo parafumar, o que o deixou famoso por isso.Enquanto colega de trabalho, possodizer que ele sempre foi uma pessoapositiva, com ótimo humor e semprebrincalhão. De vez em quando pediaajuda para resolver algum exercíciodifícil que havia visto em algum lugare ficávamos alguns minutos pensando.O Braz era também um companheirode café. Adorava essa bebida dos deu-ses e sempre nos encontrávamos junta-mente com outros colegas na cozinhapara o rito do cafezinho. Sentiremosfalta do nosso colega.Prof. Ady: Tive o privilégio de tersido aluno e colega de trabalho do pro-fessor Braz. Ele era muito inteligente,alegre e carismático. Deixou um belolegado por onde passou! Conhecia aUFV como poucos. Muitas vezes des-cemos a "reta"da ufv juntos, batemosbons papos e, até chegar nas quatropilastras, ele cumprimentava quase to-

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JMatUFV , 17 de Dezembro de 2019 ENTREVISTAS N◦4 5 / 8

dos com bom humor e quase semprede modo brincalhão. Certa vez, aochegar na sala do Braz para uma denossas reuniões de trabalho, ele estavapreparando aula. Perguntei qual era a

disciplina, ele me entregou uma folhacompletamente escrita, que não davapara entender quase nada, pois ele es-crevia de cima para baixo e de baixopara cima na folha. Algo inusitado e

autêntico que guardo de recordação esempre mostro para meus alunos e co-legas. O professor Braz ficará nas mi-nhas lembranças como um conselheiroe amigo que faz muita falta.

Frase Favorita do professor Braz:

"Na vida só existem dois dias em que nada pode ser feito: ontem e amanhã. Portanto, hoje é o dia certopara amar, fazer, acreditar e, principalmente, viver."

-Dalai Lama

Professora Lais Moreira dos Santos (UFV)Possui graduação em Bacharelado emMatemática pela Universidade Fede-ral de Goiás (2011), com período san-duíche na Universidade Técnica deLisboa, mestrado em Matemática pelaUniversidade de Brasília (2013) e dou-torado em Matemática pela Universi-dade de Brasília (2018). Foi profes-sora na Universidade Federal do Oesteda Bahia de 2015 a 2018 e atualmenteé Professora na Universidade Federalde Viçosa.(1)Antes da UFV, já trabalhouem outras universidades? Sesim, quais?

Sim. Em 2015 eu entrei na Univer-sidade Federal do Oeste da Bahia, nocampus de Luís Eduardo Magalhães.Saí da UFOB quando fui admitida naUFV, em setembro do ano passado.(2)Durante esses anos, que fun-ções acadêmicas você assumiu?

Na UFOB, eu fui membro do co-legiado dos cursos de Engenharia deProdução e Engenharia de Biotecno-logia. Também fui vice coordenadorado Núcleo Docente de Ciências Exa-tas (NUDEX), que é formado pelosprofessores das áreas de Matemática,Química e Física, que atuam nas disci-plinas iniciais dos cursos de Engenha-ria. Ainda na UFOB, fiz parte do Nú-cleo Docente Estruturante (NDE) deambos os cursos Engenharia de Pro-dução e Engenharia de Biotecnologia,cuja atribuição é o acompanhamentodo projeto pedagógico dos cursos.(3)Qual sua área de pesquisa?

Minha área de pesquisa é Equa-ções Diferenciais Parciais Elípticas,com enfoque em problemas com termode reação fortemente singular.

(4)Qual dos seus projetos de pes-quisa você considera mais impor-tante?

Atualmente, estou desenvolvendoum projeto de pesquisa em que oobjeto de estudo é uma classe deEquações Diferenciais que surgem emmodelos de Dinâmica de Populações.Esse estudo tem me chamado bastanteatenção, não só pelos desafios mate-máticos, mas também por toda a in-terpretação biológica dos resultadosobtidos.(5)Qual sua opinião/sugestãopara a melhoria do nível de pes-quisa no DMA?

Acredito que para o avanço da Ma-temática, o trabalho cooperativo é im-prescindível. Nesse sentido, medidasque viabilizem maior contato entre osdocentes do DMA, e com pesquisado-res externos, são essenciais. A criaçãode seminários de pesquisa, parceriascom outros departamentos da UFVe com universidades próximas, comoUFJF e UFOP, podem contribuir parao fortalecimento dos grupos do DMAe, consequentemente, fomentar maisinvestimentos para a pesquisa.(6)Como podemos criar atrati-vos no DMA para melhorarmosnossa pesquisa?

A criação de eventos científicose de seminários de pesquisa podematrair estudantes e pesquisadores deoutras instituições. A implantação debolsas de Pós-Doutorado e de Profes-sor Visitante são importantes meca-nismos para o intercâmbio científicoentre o DMA e outras universidades.(7)Existe um grupo de pesquisana sua área na UFV? Quando foi

criado?Sim. O grupo "Equações Diferen-

ciais e Aplicações" foi criado em 2011e conta com a participação de váriosprofessores do DMA.(8)Quem são os membros? Quala frequência de seminários oureuniões do grupo?

Participam do grupo os professoresAmarísio, Anderson Araújo, ArianeEntringer, Cristiane Valadares, EdirLeite, Edson Teixeira, Fernanda Oli-veira, Jéssyca Lange, Lilian Neves,Luciana Bragança, Margareth Alvese Sandro Romero. Ainda não tive aoportunidade de me reunir com todoseles.(9)Uma breve explicação sobresua área de pesquisa, de 5 à 10linhas, listando os principais fo-cos e possíveis aplicações.

O estudo de Equações Diferenci-ais Parciais se faz presente em várioscontextos práticos. No estudo de di-nâmica de populações, por exemplo,as equações elípticas com difusão não-linear podem descrever o comporta-mento estacionário da densidade po-pulacional de uma dada espécie. É departicular interesse, por exemplo, sa-ber se a espécie sobreviverá ou qual éa influência da taxa de natalidade in-trínseca na sobrevivência da espécie.Em termos matemáticos, essas ques-tões são abordadas por meio do estudode existência de soluções positivas eda análise da bifurcação do continuumde soluções do problema considerado.Nesse sentido, técnicas como Teoriada Bifurcação, Métodos de Sub e Su-persolução e Métodos Variacionais sãousualmente empregadas.

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JMatUFV , 17 de Dezembro de 2019 PROJETOS DE PESQUISA N◦4 6 / 8

Grupos de Coxeter

Frederico de Oliveira Souza,Em 1934, H.S.M. Coxeter deu o primeiro tratamento com-preensivo sobre os grupos finitos de reflexões, que hojesão chamados, em sua homenagem, grupos de Coxeter.Em um de seus artigos, ele classificou completamente essesgrupos e derivou suas principais propriedades, utilizandoprincipalmente métodos geométricos. Coxeter classificounão somente os grupos finitos de reflexões, mas tambémos grupos discretos infinitos gerados por reflexões (afins),utilizando os chamados grafos de Coxeter. Os grupos deCoxeter são utilizados na Teoria de Invariantes, na classifi-cação dos grupos e álgebras de Lie, que têm aplicações emGeometria Diferencial, Física e Equações Diferencias Or-dinárias, além de auxiliar na resolução do Problema da Pa-lavra em Teoria de Grupos. Tais grupos também são utili-zados no estudo da teoria clássica dos invariantes, que foiuma fonte importante para muitos dos conceitos e ideiasatuais da Álgebra Comutativa e Álgebra Homológica.

Seja V um espaço vetorial de dimensão finita, com〈 · , · 〉 um produto interno fixo. Denotamos por O(V ) ogrupo das transformações ortogonais de V . Os grupos nosquais estamos interessados são uma classe importante desubgrupos finitos de O(V ), os que são gerados por refle-xões. Uma reflexão em V é uma transformação ortogonalS que leva cada vetor em sua imagem espelhada em re-lação a um hiperplano fixado P de V , isto é, Sx = x, sex ∈ P, e Sx = −x, se x ∈ P⊥. Escolhendo um vetor0 6= r ∈ P⊥ e definindo a transformação Sr tal que

Srx = x − 2〈x, r〉〈r, r〉

r, para todo x ∈ V,

temos Srr = −r e Srx = x, se x ∈ P. Logo, Sr = S e estatransformação é chamada de reflexão através de P ou aolongo de r.

Sistemas de raízes

Seja G um subgrupo de O(V ) e S uma reflexão através deP. Os dois vetores unitários ±r que são perpendicularesa P são chamados raízes de G. Um sistema de raízes deum grupo de Coxeter G, denotado por ∆, é o conjunto detodas as raízes correspondentes às reflexões geradoras deG, junto com suas imagens por todas as transformaçõesde G (que também são raízes de G).

Escolha t ∈ V tal que 〈t, r〉 6= 0, para toda raiz r deG. Assim o sistema de raízes ∆ é particionado em dois

subconjuntos:

∆+t = {r ∈ ∆ / 〈t, r〉 > 0} e ∆−t = {r ∈ ∆ / 〈t, r〉 < 0}.

Observe que se r ∈ ∆, então −r ∈ ∆, donde r ∈ ∆+t se,

e somente se, −r ∈ ∆−t . Logo, ∆ é particionado em doissubconjuntos de mesma cardinalidade. Agora, tome umsubconjunto Π de ∆+

t mínimo em relação à propriedadede que todo r ∈ ∆+

t é combinação linear, com todos oscoeficientes não negativos, dos elementos de Π. Tal sub-conjunto é chamado t-base para ∆.Teorema 1. Existe uma única t-base para ∆ e, se Π éuma t-base para ∆, então Π é uma base para V .Exemplo: Considere V = H4

2, o grupo diedral de or-dem 8. As quatro reflexões de V geram V e temos∆ = {±(1, 0),±(0, 1), (±1,±1)}. Escolhendo

t = 2

(cos

(3π

8

), sin

(3π

8

)),

temos ∆+t = {(1, 0), (1, 1), (0, 1), (−1, 1)} e Π =

{(1, 0), (−1, 1)}. As raízes na base Π são chamadas raí-zes fundamentais e as reflexões ao longo das raízes de Πsão chamadas reflexões fundamentais de G.

Regiões fundamentais

Sejam Π = {r1, . . . , rn} e F = {x ∈ V / 〈x, ri〉 > 0, paratodo ri ∈ Π}. Note que F = ∩ni=1{x ∈ V / 〈x, ri〉 > 0}é a interseção dos semiespaços determinados pelos hiper-planos Pi = r⊥i , com ri ∈ Π. O conjunto F é chamado deregião fundamental para G em V .Exemplo: Considere o cubo centrado na origem, cujosvértices são os oito pontos (±1,±1,±1) e seja G ≤ O(R3)o grupo de simetrias desse cubo. As nove reflexões de G ogeram e temos ∆ = {±r1, . . . ,±r9}, com

r1 = (1, 0, 0) r2 = (−1, 1, 0) r3 = (0,−1, 1)r4 = (0, 1, 0) r5 = (−1, 0, 1) r6 = (1, 1, 0)r7 = (0, 0, 1) r8 = (0, 1, 1) r9 = (1, 0, 1)

Se t = (1, 2, 3) ∈ R3, então 〈t, ri〉 6= 0, para toda raizri de G. Assim, ∆+

t = {r1, . . . , r9} e Π = {r1, r2, r3}.Observe que a região fundamental para G, apresentadaà esquerda da figura acima, é um tetraedro regular. Nocubo mostrado à direita da mesma figura, apenas para fa-cilitar a visualização, as raízes r1, r2 e r3 estão deslocadas,de modo que elas partem da superfície do cubo, e não daorigem. A região sombreada é a interseção da região fun-damental de G com o cubo.

Referências:

[1]- L. C. Grove, C. T. Benson, Finite Reflection Groups,Springer-Verlag, 1985.[2]- J. E. Humphreys, Reflection Groups and CoxeterGroups, Cambridge University Press, 1990.

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JMatUFV , 17 de Dezembro de 2019 PROJETOS DE PESQUISA N◦4 7 / 8

Conjunto de Simetria Invariante AfimA visão humana sempre procura por algo que seja agradável aos olhos. E se tem uma característicaque é atraente à nossa visão, sem dúvida, é a simetria.

Diego Trindade,A simetria tem recebido grande atenção por parte dos ma-temáticos, biólogos e comunidades da visão computacio-nal. Isto se deve ao fato de que as simetrias são utiliza-das numa grande variedade de aplicações do mundo real,como, por exemplo, no reconhecimento e reconstrução deobjetos, tais como tomografia computadorizada e ImagensGeradas por Computador (CGI). Esta última, por sua vez,é uma aplicação no campo da computação gráfica paraconstrução de efeitos especiais em artes, filmes, comerci-ais, simuladores etc.

O objetivo principal deste trabalho foi estudar conjun-tos de simetria de curvas planas em uma geometria nãoeuclidiana, a saber, a Geometria Afim. A ideia principalda Geometria Diferencial Afim de curvas planas é definirum novo parâmetro que seja invariante por transformaçõesafins.

Os conjuntos de simetria invariantes por transforma-ções afins foram apresentados inicialmente por P. Giblin eG. Sapiro. A ideia dos autores foi imitar a construção dosconjuntos de simetria euclidianos para o caso afim.

Na geometria diferencial afim, existem dois conjuntosde simetria distintos, a saber, o Affine Envelope SymmetrySets (AESS) e o Affine Distance Symmetry Set (ADSS).Aqui será apresentado um pouco a respeito do ADSS.

Geometria diferencial afim de curvas planas

Dada uma curva regular γ : I −→ R2 fechada e estrita-mente convexa (oval), dizemos que γ está parametrizadapelo comprimento de arco afim s (p.p.c.a.a) se, e somentese,

[γs, γss] = 1, ∀ s ∈ I,

com [·.·] a notação usada para determinantes. Os vetoresγs e γss são o tangente afim e normal afim, respectiva-mente.

É interessante perceber que, ao contrário do que acon-tece na Geometria Euclidiana, aqui, o vetor normal afimnão tem uma relação angular em relação ao tangente afim,isto é, eles não necessariamente formam um ângulo reto.

Se γ = γ(t) é uma parametrização regular qualquerda curva γ, com k(t) = [γt, γtt], o tangente afim e normalafim, são, respectivamente:

γs = k13 γt e γss = k−

23 γtt −

1

5k′k−

53 γt.

No caso em que γ está p.p.c.a.a, tem-se [γs, γsss] = 0,isto é, γsss + µγs =

−→0 , em que µ(s) é uma função real. A

função µ(s) = [γss, γsss] é a curvatura afim da curva γ e éo mais simples não-trivial invariante diferencial afim.

Teorema. Uma curva γ tem curvatura afim constante se,e somente se, γ é uma cônica.

Uma curva γ tem um vértice afim ordinário (deordem superior) em s0, se µ(s0) 6= 0 e µs(s0) = 0, comµss(s0) 6= 0 (µss(s0) = 0).

Os vértices de γ correspondem a pontos singulares dasua evoluta afim (evγ(s) = γ(s) + 1/µ(s)γss(s)), os quaissão chamados de pontos sextáticos (centro de cônicas quefazem 6-contato 1).

Na Geometria Diferencial Afim é necessária uma dis-tância que seja invariante por transformações afins. SejamX ∈ R2 e γ uma curva p.p.c.a.a, a distância afim entre Xe γ(s) é definida por d(X, γ(s)) := [X − γ(s), γs(s)].

Conjunto de Simetria Invariante Afim - ADSS

Com base na distância afim, o Conjunto de Simetria Inva-riante Afim (ADSS) de uma curva γ(s) p.p.c.a.a é o fêchodo seguinte conjunto:

{X ∈ R2 | ∃ s1, s2 ∈ I, s1 6= s2; d(X, γ(s1)) = d(X, γ(s2)) eds(X, γ(s1)) = ds(X, γ(s2)) = 0}.

Existe uma condição para que dois pontos distintos dacurva, γ(s1) e γ(s2), gerem um ponto X ∈ ADSS e, umavez satisfeita essa condição, é possível explicitar uma pa-rametrização para esse ponto.

Teorema. Dados s1, s2, s1 6= s2 no pré-ADSS, então umponto X no ADSS é dado por

X = γ(s1) +[γ(s1)− γ(s2), γss(s1)]

[γss(s2), γss(s1)]γss(s1).

Curva γ (preto), ADSS (vermelho) e Evoluta Afim (Azul)

Algumas propriedades a respeito do ADSS:

Proposição. Seja X(v) : R −→ R2 uma parametrizaçãodo ADSS e s1(v), s2(v) os pontos correspondentes em γ,onde s é o p.c.a.a. de γ. Então:

• o tangente ao ADSS é paralelo a γs(s1)− γs(s2);1[Def.:] α e β têm k-contato em t = t0, se α(i)(t0) = β(i)(t0), para i = 0 · · · k − 1 e α(k)(t0) 6= β(k)(t0).

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JMatUFV , 17 de Dezembro de 2019 NOTICIAS N◦4 8 / 8

• a reta tangente ao ADSS e as duas retas tangen-tes à curva γ nos respectivos pontos γ(s1), γ(s2) seintersectam em um ponto;

• Os pontos finais do ADSS ocorrem na evoluta afim.

Todo ponto de γ contribui para o ADSS :

Teorema. Seja γ(s) um oval. Então para todo ponto nãosextático existem pelo menos dois valores s, s0 tais que

γ(s), γ(s0) dão um ponto X no ADSS. Se γ(s0) é sextáticoentão existe pelo menos um valor de s 6= s0.

Referências:

[1]- P. J. GIBLIN; G. SAPIRO; Affine-Invariant Distan-ces, Envelopes and Symmetry Sets, Geometriae Dedicata,n. 71, p. 237-261, 1998.[2]- P. A. HOLTOM; Affine-invariant symmetry sets,Ph.D. Thesis, University of Liverpool, 2000.

Desafios MatemáticosAndré Junqueira

Nesta edição da coluna DesafiosMatemáticos vamos falar e propor umproblema que relaciona duas áreas ex-tremamentes relevantes que são a Te-oria das Probabilidades e a Teoria dosNúmeros. A Teoria das Probabilida-des tem origem muito antiga e normal-mente associada ao estudo das possi-bilidades de ganhos em jogos de azar.No século XVIII, aconteceu um im-pulso importante com a axiomatiza-ção dessa teoria por Pierre Simon La-place que, junto à criação da integralde Lebesgue, no início do século XX,permitiu que a Teoria das Probabili-dades atingisse uma importância vi-

tal para o desenvolvimento da ciên-cia. Uma outra área muito relevantena Matemática é a Teoria dos Núme-ros, na qual os números primos têmum destaque especial, em virtude deenunciados simples de certos proble-mas, o que permite uma exposiçãopara um público mais geral, emboraas soluções possam ser bem comple-xas. Muitas vezes em Teoria dos Nú-meros pode ser muito difícil provarque um certo número tem uma pro-priedade e assim podemos estudar aprobabilidade que um número tenhaessa propriedade ou também estudaralguma propriedade estatística asso-

ciada. Nesse cenário, surgiu a cha-mada Teoria Probabilística dos Nú-meros que iniciou nos primórdios doséculo XX, principalmente com os tra-balhos de Paul Erdös dentre outros.Para finalizar apresentamos um desa-fio de Teoria Probabilística dos Núme-ros:Problema: Dados dois números na-turais escolhidos aleatoriamente, de-termine a probabilidade de que elessejam primos entre si.Sugestão: Para resolver esse pro-blema use a igualdade

∑∞n=1

1n = π2

6 .

NOTÍCIAS DO DMA

Minicursos de Ló-gica 2019-II

O projeto Lógica Matemá-tica, Aprendizagem e Cida-dania oferecerá minicursosde Lógica em módulos aolongo do segundo semestrede 2019. Maiores infor-mações no Facebook doprojeto.

Novo Chefe noDMA

Em 03/06/2019, o professorBulmer Mejía García tomouposse da Chefia do Depar-tamento de Matemática daUFV. Desejamos ao profes-sor Bulmer sucesso em suagestão.

Novo Coordenaçãodo PPGMDesde o Julho de 2019,o Programa de Pós-Graduação em Matemática(PPGM) da UFV está soba coordenação do professorDr. Alexandre MirandaAlves. Desejamos sucessoao Professor Alexandre nacoordenação.

Nova Docente noDMADesde o dia 25/03/2019, oDMA conta com a atuaçãoda docente Dra. RejaneWaiandt Schuwartz de Car-valho Faria. Anteriormente,ela era docente da UFPA(Universidade Federal doPará). Desejamos boas-vindas à professora Rejane.

Referências:1- https : //impa.br/2- https : //super.abril.com.br/3- https : //imaginariopuro.wordpress.com/4- https : //www.objetivo.br/default.asp5- https : //pcb.org.br/portal2/20441/gugu−matematico− campeao− e−militante− comunista/

Agradecimento: Agradecemos o apoio dos membros do grupo do Jornal da Matemática, em particular, o Prof.André Junqueira da Silva Corrêa e o Prof. Ady Cambraia Junior que nos ajudaram na edição final desta versão.

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