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NDMAT – Núcleo de Desenvolvimentos Matemáticos Profº Eliton Mendes

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01) (UFAM) O número de faces de um poliedro convexo de 22 arestas é igual ao número de vértices. Então o número de faces do poliedro é:

a) 6 b) 8 c) 10

d) 11 e) 12

02) (PUC) Um poliedro convexo é formado por faces quadrangulares e 4 faces triangulares. A soma dos ângulos de todas as faces é igual a 12 ângulos retos. Qual o número de arestas desse poliedro?

a) 8 b) 6 c) 4

d) 2 e) 1

03) (UFPI) Um poliedro convexo, constituído de faces triangulares e quadrangulares, possui 20 arestas, e a soma dos ângulos de todas as faces é igual a 2880º. É correto afirmar que esse poliedro possui:

a) 8 faces triangulares b) 12 vértices c) 10 vértices

d) 8 faces quadrangulares 04) (UFCE) O número de faces de um poliedro convexo com 20 vértices e com todas as faces triangulares é igual

a:

a) 28

b) 30 c) 32 d) 34

e) 36 05) (U.F.Pelotas) No país do México, há mais de mil anos, o povo Asteca resolveu o problema da armazenagem da

pós-colheita de grãos com um tipo de silo em forma de uma bola colocado sobre uma base circular de

alvenaria. A forma desse silo é obtida juntando 20 placas hexagonais e mais 12 placas pentagonais.

Com base no texto, é correto afirmar que esse silo tem:

a) 90 arestas e 60 vértices. b) 86 arestas e 56 vértices. c) 90 arestas e 56 vértices.

d) 86 arestas e 60 vértices. e) 110 arestas e 60 vértices.



06) (U.F.Juiz de Fora) A figura abaixo representa a planificação de um poliedro convexo. O número de vértices deste poliedro é:

a) 12

b) 14 c) 16 d) 20

e) 22 07) Para acondicionar 1 litro de leite, uma usina usa um tipo de embalagem que tem a forma de um prisma regular

quadrangular de 20 cm de altura e 7,2 cm de aresta da base. Pretende-se substituir essa embalagem por outra equivalente, que tem a forma de um prisma regular triangular, cuja aresta da base mede 10 cm. Qual deve ser

a altura aproximada da nova embalagem? Use a aproximação: √ . 24,4 cm

08) A figura mostra parte de uma escada de madeira maciça que tem o total de 12 degraus de mesmas dimensões,

cada qual com a forma de um prisma triangular. Determine o custo da madeira usada na construção dessa escada, considerando que o marceneiro que a construiu afirmou ter pago ao seu fornecedor a quantia de R$ 1.400,00 por metro cúbico. R$ 315,00

09) Um paisagista fez um “sofá de grama” para um jardim, usando em sua estrutura uma mistura de argila, terra,

adubo orgânico e pó de casca de coco. Na figura tem-se a representação de tal “sofá”, que é revestido com placas de grama.



Se a unidade das medidas indicadas na figura é o metro, responda: a) Quantos metros quadrados de grama foram usados para revestir o “sofá”, excluída a face que se apoia no

chão? 7,52 m2

b) Que volume da referida mistura foi usada para montar a estrutura desse “sofá”? 1,356 m

3

10) (Obmep) Para montar um cubo, Guilherme recortou um pedaço de cartolina branca e pintou de cinza algumas

partes, como na figura baixo.

11) (U.F.Pelotas) A ourivesaria é uma indústria que muito se desenvolveu nos últimos anos. Muito se tem

investido em design e produção. Em adolescentes de classe média e alta, são usuais colares com pingentes de ouro de várias formas. Sendo a densidade de um corpo o quociente da massa pelo volume, considerando a densidade do ouro 19,3 g/cm

3 e sendo o grama do ouro R$ 31,00, é correto afirmar que o custo do material de

um pingente de ouro maciço, na forma de um dado (cubo) com 0,64 cm2 de área em cada face, é de,

aproximadamente,

a) R$ 158,00 b) R$ 160,00 c) R$ 250,00

d) R$ 306,00 e) R$ 382,00

12) (UEGO) A figura abaixo representa um paralelepípedo retângulo. As medidas das arestas são AB = 3 cm, BC

= √ cm e CD = 3 cm. O perímetro do triângulo ACD, em centímetros, é:

a) 8,46 b) 12

c) 13 d) 14



13) (UFAL) Um paralelepípedo reto de base quadrada, como o ilustrado abaixo, deve ser construído de tal modo que a soma das suas arestas seja 36 cm e a área total de sua superfície seja máxima. Qual o volume, em centímetros cúbicos, desse paralelepípedo?

a) 29

b) 28 c) 27 d) 26

e) 15

14) (CEFET-PR) Padre Cristóvão é o pároco de uma pequena igrejinha em uma cidade do interior. Essa igrejinha tem a forma da figura abaixo. Após contabilizar os dízimos recebidos, ele pretende pintar as paredes do lado de fora da igreja e reformar o telhado.

Considere as afirmações:

I) A área do telhado a ser reformado é de 100 m

2.

II) A área que será pintada na parte de fora é de 94 m2, considerando que temos 26 m

2 de portas e janelas que

não serão pintadas. III) O volume de ar contido na igreja é de 300 m

3.

Sobre essas afirmações, é correto concluir que: a) Apenas I e II estão corretas.

b) Apenas I e III estão corretas. c) Apenas II e III estão corretas. d) I, II e III estão corretas.

e) I, II e III estão incorretas. 15) (Enem) Uma editora quer despachar um lote de livros, agrupados em 100 pacotes de 20 cm X 20 cm X 30 cm.

A transportadora acondicionará esses pacotes em caixas com formato de bloco retangular de 40 cm X 40 cm X 60 cm. A quantidade mínima necessária de caixas para esse envio é

a) 9 b) 11 c) 13

d) 15 e) 17



16) (UEGO) Uma indústria deseja fabricar um galão no formato de um paralelepípedo retângulo, de forma que duas de suas arestas difiram em 2 cm e a outra meça 30 cm. Para que a capacidade desse galão não seja inferior a 3,6 litros, a menor de suas arestas deve medir no mínimo

a) 11 cm b) 10,4 cm

c) 10 cm d) 9,6 cm

17) (Obmep) Na casa de Manoel há uma caixa d’água vazia com capacidade de 2 metros cúbicos. Manoel vai encher a caixa trazendo água de um rio próximo, em uma lata cuja base é um quadrado de lado 30 cm e cuja altura mede 40 cm, como na figura a seguir. No mínimo, quantas vezes Manoel precisará ir ao rio até encher

completamente a caixa d’água?

a) 53 b) 54 c) 55

d) 56 e) 57

18) (Unifor) A peça de ferro a seguir foi obtida de um paralelepípedo reto retângulo de dimensões 20 cm, 30 cm e 40 cm, com a retirada de quatro cubos iguais de aresta 10 cm.

Se a densidade do ferro é de 7,8 g/cm

3, então a massa dessa peça, em quilogramas, é:

a) 187,2 b) 179,4

c) 171,6 d) 163,8 e) 156

19) (U.E.Londrina) Um arquiteto fez um projeto para construir colunas de concreto que vão sustentar um viaduto.

Cálculos mostram que 10 colunas, com a forma de um prisma triangular de aresta de 1 metro por 10 metros de

altura, são suficientes para sustentar o viaduto. Se 1 metro cúbico de concreto custa R$ 200,00, qual será o custo total das colunas?

a) R$ 1000,00 b) R$ 5000,00



c) Aproximadamente R$ 4320,00 d) Aproximadamente R$ 8650,00 e) Aproximadamente R$ 17300,00

20) (U.E.Londrina) Um engenheiro deseja projetar um bloco vazado cujo orifício sirva para encaixar um pilar . O

bloco, por motivos estruturais, deve ter a forma de um cubo de lado igual a 80 cm e o orifício deve ter a forma

de um prisma reto de base quadrada e altura igual a 80 cm, conforme ilustram as figuras seguintes. É exigido que o volume do bloco deva ser igual ao volume do orifício.

É correto afirmar que o valor de “L”, do lado da base quadrada do prisma reto, corresponde, em centímetros, a:

a) √

b) √

c) √

d) √

e) √

21) (UFRS) Na figura abaixo está representada a planificação de um prisma hexagonal regular cuja medida da altura é igual à medida da aresta da base.

Se a altura do prisma é 2, o seu volume é:

a) √

b) √

c) √

d) √

e) √



22) (UFRJ) Observe o bloco retangular da figura 1, de vidro totalmente fechado com água dentro.

Virando-o, como mostra a figura 2, é correto afirmar que o valor de x é:

a) 12 b) 11 c) 10

d) 6 e) 5

23) (Enem) Eclusa é um canal que, construído em aguas de um rio com grande desnível, possibilita a navegabilidade, subida ou descida de embarcações. No esquema abaixo, está representada a descida de uma embarcação, pela eclusa do porto Primavera, do nível mais alto do rio Paraná ate o nível da jusante.

A câmara dessa eclusa tem comprimento aproximado de 200 m e largura igual a 17 m. A vazão aproximada da agua durante o esvaziamento da câmara e de 4.200 m

3 por minuto. Assim, para descer do nível mais alto ate o

nível da jusante, uma embarcação leva cerca de a) 2 minutos.

b) 5 minutos. c) 11 minutos.



d) 16 minutos. e) 21 minutos.

24) (Machenzie) Dois paralelepípedos retângulos de mesmas dimensões cortam-se conforme a figura, em que o volume da região assinalada é igual a 1.

Se ABCD é um quadrado e o volume total do sólido obtido, incluindo a região assinalada, é igual a 9, a dimensão de b é igual a:

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

25) Calcule a área lateral, a área total e o volume dos sólidos cujas medidas estão indicadas nas figuras.

26) Um cilindro está inscrito em um cubo cuja aresta mede 10 cm, conforme mostra a figura ao lado. Determine, na ordem dada, a razão entre:

a) As áreas totais do cubo e do cilindro;

b) Os volumes do cubo e do cilindro.



27) (UFGO) Num laboratório, um recipiente em forma de cilindro reto tem marcas que mostram o volume da substância presente a cada 100 ml. Se o diâmetro da base do cilindro mede 10 cm, qual a distância entre duas dessas marcas consecutivas? 1,27 cm

28) Um queijo na forma de um cilindro reto de raio da base 15 cm pode ser cortado em três partes de mesmo

volume, como mostram as ilustrações abaixo:

No primeiro caso, as partes são obtidas cortando-se o cilindro por dois planos paralelos à base; no segundo caso, o cilindro é cortado por três semiplanos perpendiculares à base do cilindro e tendo seu eixo como fronteira. Seja h a altura do queijo para a qual as partes cortadas têm a mesma área total da superfície.

Determine h.

29) (UFGO) A figura a seguir representa uma seringa no formato de um cilindro circular reto, cujo êmbolo tem 20 mm de diâmetro. Esta seringa está completamente cheia de um medicamento e é usada para injetar doses de 6 ml desse medicamento. Com base nessas informações, determine quantos milímetros o êmbolo se desloca

no interior da seringa ao ser injetada uma dose. 19,1 mm

30) (Vunesp) Um porta canetas tem a forma de um cilindro circular reto de 12 cm de altura e 5 cm de raio. Sua

parte interna é um prisma regular de base triangular, como ilustrado na figura, onde o triângulo é equilátero e

está inscrito na circunferência.

A região entre o prisma e o cilindro é fechada e não aproveitável. Determine o volume dessa região. Para os

cálculos finais, considere as aproximações √ . 517,5 cm3



31) Um fabricante de goiabada vende seu produto em latas cilíndricas (figura 1), ao preço de R$ 2,40 a lata. Ele pretende substituir essa embalagem por outra, também cilíndrica, mostrada na figura 2. Se o preço de venda de uma lata é diretamente proporcional ao volume de goiabada no seu interior, por quanto ele deverá vender a

nova lata? R$ 4,80

32) Uma lata tem a forma de cilindro, com base circular de 50 cm de raio, e está completamente cheia de água.

Dentro dela é colocada uma pedra que causa o transbordamento de parte da água. Retirada a pedra, observa-

se que o nível de água dentro da lata baixou 55 cm. Determine o volume da pedra. 33) A figura mostra um prisma quadrangular regular inscrito em um cilindro reto. Determine a

razão entre o volume do cilindro e o volume do prisma.

34) (UFGO) Uma empresa de engenharia fabrica blocos na forma de um prisma cuja base é um octógono regular

de lado 20 cm e altura 1 m. Para fabricar esses blocos, a empresa utiliza um molde na forma de um cilindro

circular reto cujo raio da base e a altura medem 1 m, conforme a figura. Calcule o volume do material necessário para fabricar o molde para esses blocos. 2,9472 m

3

35) (Enem) A figura ao lado mostra um reservatório de água na forma de um cilindro

circular reto, com 6 m de altura. Quando está completamente cheio, o reservatório é

suficiente para abastecer, por um dia, 900 casas cujo consumo médio diário é de 500 litros de água. Suponha que, um certo dia, após uma campanha de conscientização do uso da água, os moradores das 900 casas abastecidas por esse reservatório

tenham feito economia de 10% no consumo de água. Nessa situação,

a) a quantidade de água economizada foi de 4,5 m3.

b) a altura do nível da água que sobrou no reservatório, no final do dia, foi igual a 60 cm.

c) a quantidade de água economizada seria suficiente para abastecer, no máximo, 90 casas cujo consumo diário fosse de 450 litros.

d) os moradores dessas casas economizariam mais de R$ 200,00, se o custo de 1 m3

de água para o consumidor fosse igual a R$ 2,50. e) um reservatório de mesma forma e altura, mas com raio da base 10% menor que o representado, teria água

suficiente para abastecer todas as casas.



36) (Enem) Em muitas regiões do Estado do Amazonas, o volume de madeira de uma árvore cortada é avaliado de acordo com uma prática dessas regiões:

I - Dá-se uma volta completa em torno do tronco com um barbante.

II - O barbante é dobrado duas vezes pela ponta e, em seguida, seu comprimento é medido com fita métrica.

1ª dobra 2ª dobra

III - O valor obtido com essa medida é multiplicado por ele mesmo e depois multiplicado pelo comprimento do

tronco. Esse é o volume estimado de madeira.

Outra estimativa pode ser obtida pelo cálculo formal do volume do tronco, considerando-o um cilindro perfeito.

A diferença entre essas medidas é praticamente equivalente às perdas de madeira no processo de corte para comercialização.

Pode-se afirmar que essas perdas são da ordem de

a) 30%.

b) 22%.

c) 15%.

d) 12%.

e) 5%.

37) (UEL) Um fabricante de latas com formato de um cilindro possui chapas

retangulares de alumínio com as dimensões: 25 cm de largura por 9 cm de comprimento, conforme a figura que segue. Ele deseja saber como utilizar essas chapas de forma a ter maior capacidade para as latas oriundas de

tais chapas. Ele pensou em duas formas de confeccionar essas latas: unindo o lado AD da chapa de alumínio no lado BC formando uma lata que tem o formato de um cilindro circular reto C1 ou unindo o lado AB ao lado

DC formando uma lata cujo formato é um cilindro circular reto C2. Com base nessas informações, considere as afirmativas a seguir.

I. A área da superfície lateral do cilindro C1 é igual à área da superfície lateral do cilindro C2. II. A capacidade do cilindro C1 é maior que a capacidade do cilindro C2.

III. Se o fabricante dobrar as dimensões da chapa, a capacidade do cilindro C1 dobra. IV. Se o fabricante dobrar as dimensões da chapa, a área da superfície lateral do cilindro C2 dobra.

Estão corretas apenas as afirmativas: a) I e II.

b) I e III. c) II e IV. d) I, III e IV.

e) II, III e IV.



38) (Cefet) A razão entre o raio da base e a altura de um cilindro circular reto é de 4 para 5, e a área de sua seção meridiana é 10 m

2. O volume do cilindro, em m

3, é:

a) b)

c) d)

e)

39) (UFOP) Deseja-se construir um reservatório para armazenar 1000 litros de água, ou seja, 1 metro cúbico de

água. Sabendo-se que esse reservatório tem a forma cilíndrica e a base tem uma área de 2 metros quadrados,

qual deve ser a sua altura?

a) 0,30 metro

b) 0,50 metro c) Mais de meio metro d) 1 metro

40) (Mackenzie) Uma empresa usa, para um determinado produto, as

embalagens fechadas da figura, confeccionadas com o mesmo material,

que custa R$ 0,10 cm². Supondo 3 , a diferença entre os custos das

embalagens A e B é de: a) R$ 9,00

b) R$ 7,00 c) R$ 10,00 d) R$ 8,00

e) R$ 0,00

41) (UFMA) Uma padaria produz bolos de casamento no formato

indicado na figura abaixo. O bolo é composto por 3 cilindros 21,CC e

3C de mesma altura. O raio do cilindro acima é metade do raio do

cilindro imediatamente abaixo. Se o volume total do bolo é 52500 cm³,

então o volume do cilindro 3C , na figura, é:

a) 3500 cm³ b) 2500 cm³ c)4500 cm³

d) 5500 cm³ e) 6500 cm³



42) (UFAC) Um balde cilíndrico cheio de água e com base medindo 0,4 m de diâmetro, desprezada a espessura de suas paredes, é posto em uma caixa de vidro “vazia”, de base quadrada com 0,8 m de lado. A altura do cilindro é de 0,5 m, cabendo totalmente dentro

da caixa. Imagine agora que por um pequeno orifício, a uma altura de 0,2 m da base, permitimos que a água escoe para fora do cilindro, mas para dentro da caixa. Cessado o escoamento, pode ser observado que:

(A) o volume de água dentro do cilindro é igual a V = 0,08 m

3.

(B) os volumes de água dentro do cilindro e fora dele, mas dentro da caixa, são iguais. (C) o volume de água dentro do cilindro é maior do que o que está fora dele, mas dentro da caixa. (D) o volume de água fora do cilindro, mas dentro da caixa, é igual a V = 0,192 m

3.

(E) o volume de água dentro do cilindro é igual a V = 0,008 m3.

43) Calcule a área lateral, a área total e o volume de cada uma das figuras, cujas medidas estão indicadas.

44) A geratriz de um cone circular reto forma um ângulo de 60º com a base do cone. Determine a área lateral e o

volume desse cone, sabendo que ele tem 12 cm de altura.

45) Sabe-se que a seção meridiana de um cone circular reto é um triângulo isósceles de área igual a 36 cm2. Se

esse cone tem 15 cm de altura, qual é o seu volume?

46) A ampulheta é um instrumento constituído de dois vasos cônicos idênticos que se comunicam pelos vértices e é usada para medir o tempo mediante a passagem de certa quantidade de areia finíssima do vaso superior para o inferior. Considerando que a

ampulheta mostrada na figura acima está inscrita em uma estrutura semelhante a um cilindro de 12 cm de altura e cujo diâmetro da base mede 8 cm, calcule o volume de ar

existente no espaço compreendido entre o cilindro e os dois cones.

47) O chapéu do bruxo mostrado na figura tem a forma de um cone de revolução de 12 cm de altura e de

volume. Se ele é feito de cartolina, quanto desse material foi usado para fazer a sua superfície lateral?



48) (U.F.Juiz de Fora) Fernando utiliza um recipiente, em forma de um cone circular reto, para encher com água um aquário em forma de um paralelepípedo retângulo. As dimensões do cone são: 20 cm de diâmetro de base e 20 cm de altura e as do aquário são: 120 cm, 50 cm e 40 cm, conforme as ilustrações.

Cada vez que Fernando enche o recipiente na torneira do jardim, ele derrama 10% de seu conteúdo no caminho e despeja o restante no aquário. Estando o aquário inicialmente vazio, qual é o número mínimo de vezes que Fernando deverá encher o recipiente na torneira para que a água despejada no aquário atinja 1/5 de sua

capacidade? 26

49) Obtenha o volume e a área total do tronco de cone seguinte:

(

√

)

50) O cachepô mostrado na figura tem a forma de um tronco de cone reto cuja geratriz mede 15 cm; os raios das

bases medem 6 cm e 12 cm. Considerando as espessuras das laterais e do fundo do cachepô desprezíveis,

calcule sua área lateral, sua área total e seu volume. Use as aproximações √



51) Um quebra luz, cuja forma é um cone com 3 cm de altura e 5 cm de raio da base, tem presa, em seu vértice, uma lâmpada. Em certo momento, esta projeta, no chão, um círculo de área . A que distância do

chão encontra-se a lâmpada? 12 dm

52) (UFPA) Um arquiteto planeja uma catedral cuja forma é um tronco de cone reto com altura de 90 m, raio maior

90 m e raio menor 60 m. O tronco de cone é perfurado por um cilindro reto com raio 60 m, cujo eixo é o

mesmo do cone. Calcule o volume do espaço limitado pelo tronco de cone, o cilindro e o piso.

53) O arco ̂ , de comprimento

, mede 120º, conforme a figura a seguir, que representa um setor circular

em cartolina. Fazendo-se coincidir A e A´, forma-se um cone reto de vértice V. Determine a área total e o

volume desse cone.

√

54) Na figura, o funil está com de água. Calcule a área total e o volume do tronco, determinado pela parte

do funil não ocupada pela água. ( √ )



55) A coifa abaixo é constituída de um cilindro reto, com 0,40 m de altura e 0,20 m de raio da base, acoplado a um

tronco de cone reto, cuja altura é igual ao raio da base maior e cuja geratriz mede √

.

√

Considerando a superfície total da coifa como a reunião das superfícies laterais do cilindro e do tronco de cone, determine a sua área total.

56) (ITA) As medidas, em metros, do raio da base, da altura e da geratriz de um cone circular reto formam, nessa

ordem, uma progressão aritmética de razão 2 metros. Calcule a área total desse cone, em metros quadrados.

57) (UFPE) Um reservatório tem a forma de um cone circular reto invertido. Ele está preenchido até 3/4 de sua

altura, como ilustrado ao lado. Calcule o percentual (p) do volume que está preenchido. 42,1875%

58) (UERJ) Um cilindro circular reto é inscrito em um cone, de modo que os eixos desses dois sólidos sejam

coincidentes, conforme representado na ilustração abaixo.

A altura do cone e o diâmetro da sua base medem, cada um, 12 cm. Admita que as medidas, em centímetros,

da altura e do raio do cilindro variem no intervalo ] [ de modo que ele permaneça inscrito nesse cone. Calcule a medida que a altura do cilindro deve ter para que sua área lateral seja máxima. 6 cm



59) A seção meridiana de um cone equilátero tem perímetro 35 cm. Na metade da altura do cone, ele é secionado por um plano paralelo ao da base, gerando um tronco. Calcule a área lateral, a área total e o volume do tronco

obtido. √

60) Um cálice cônico comporta 135 ml e está completamente cheio de vinho. Após se beber um gole, o nível do

vinho atingiu a terça parte da altura do cálice. Quantos mililitros de vinho restaram no cálice? 5 ml

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