Sinais e Sistemas · 2016. 5. 6. · Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia Introdução “A Série e a Integral de Fourier englobam um dos desenvolvimentos matemáticos mais

Sinais e Sistemas

Renato Dourado Maia

Faculdade de Ciência e Tecnologia de Montes Claros

Fundação Educacional Montes Claros

Série de Fourier

Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia

Introdução “A Série e a Integral de Fourier englobam um dos desenvolvimentos matemáticos mais produtivos e

bonitos, que funciona como instrumento para vários problemas na área da matemática, ciências e engenharia. Maxwell ficou tão admirado com a

beleza da Série de Fourier que ele a chamou de um grande poema matemático. Na Engenharia Elétrica,

ele é fundamental a áreas de comunicação, processamento de sinais, e diversas outras áreas,

incluindo antenas.”

LATHI, B. P. Sinais e Sistemas Lineares. Porto Alegre. Bookman, 2007. p. 544

06/05/2016 2/29


Introdução A representação e a análise de sistemas LTI utili-

zando convolução é baseada em expressar sinais como uma combinação linear de impulsos deslo-cados e ponderados.

Agora, desenvolveremos a representação e análi-se de sistemas LTI expressando os sinais como u-ma combinação linear de exponenciais comple-xas.

06/05/2016 3/29


Introdução Veremos que se a entrada de um sistema LTI é

uma combinação linear de exponenciais comple-xas, a saída poderá ser expressa nessa mesma forma.

Veremos primeiro a análise para sinais periódi-cos, que resulta nas Séries de Fourier: somas ponderadas de exponenciais complexas harmoni-camente relacionadas.

06/05/2016 4/29


Introdução Em seguida, veremos a análise para sinais ape-

riódicos, que resulta nas Transformadas de Fou-rier: integrais ponderadas de exponenciais com-plexas não-harmonicamente relacionadas.

A análise não será mais feita no domínio do tempo, mas sim no domínio da frequência!!!

06/05/2016 5/29


Representações de Fourier para Sinais

Sinal Representação Sinal Contínuo Periódico Série de Fourier (FS) Sinal Discreto Periódico Série de Fourier Discreta (DTFS)

Sinal Contínuo Aperiódico Transformada de Fourier (FT) Sinal Discreto Aperiódico Transformada de Fourier Discreta (DTFT)

06/05/2016 6/29


Resposta a uma Exponencial Complexa Vamos analisar a resposta de um sistema LTI

contínuo a uma entrada exponencial complexa:

( ) , tsx t e é um número comps lexo=

Assim: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )ts s sty t h x t d h e d e h e dτ ττ τ τ τ τ τ τ+∞ +∞ +∞− −

−∞ −∞ −∞= − = =∫ ∫ ∫

Tomando ( ) ( ) sH hs e dττ τ+∞ −

−∞= ∫

( ) ( ) tssy t H e=

06/05/2016 7/29


Resposta a uma Exponencial Complexa Vamos analisar a resposta de um sistema LTI

discreto a uma entrada exponencial complexa:

[ ] , nx n é umz z número complexo=

Assim:

[ ] ( ) ny n H z z=

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]n k n k

k k kzy n h k x n k h k h kz z

+∞ +∞ +∞− −

=−∞ =−∞ =−∞

= − = =∑ ∑ ∑

Tomando ( ) [ ] k

kz zH h k

+∞−

=−∞

= ∑

06/05/2016 8/29


Resposta a uma Exponencial Complexa Sintetizando

( ) , ( ) ( )= → =st tsx t e é um número complexo y t H es s

[ ] , [ ] ( )= → =n nx n é um número complexo y n Hz z z z

Contínuo:

Discreto:

As exponenciais complexas são autofunções de sistemas LTI discretos e contínuos. H(z) e H(s), para valores específicos de “z” e “s”, são os autovalores associados às autofunções:

para uma entrada exponencial complexa, a saída é a mesma exponencial complexa, modificada pelo seu respectivo autovalor.

06/05/2016 9/29


Resposta a uma Exponencial Complexa Consideremos agora a seguinte entrada, para um sistema LTI:

32131 2( ) ts t ts sax t ea ae e= + +

O que se pode dizer sobre a saída?

3 3

1

2

1

2

1 1

2

3

2

3

1

3

2

( )

( )

( )

t t

t t

t

s s

s s t

s s

e H ee Ha a

a a s

ea

e H

a ss

e

→

→

→

1 2 31 2 31 2 3( ) ( ) ( ) ( ) tt ts ssay t H e H es Hs a sa e= + +

06/05/2016 10/29


Resposta a uma Exponencial Complexa Vamos generalizar o raciocínio:

( ) ( ) ( )

[ ] y[ ] ( )

k kt tk k

k kn n

k kk k

s

k

k

k k

sx t a y t a He e

x n a n Hz z

s

a z

= → =

= → =

∑ ∑

∑ ∑

O que há de interessante

nisso?

06/05/2016 11/29


Resposta a uma Exponencial Complexa De um modo geral, as variáveis s e z podem ser

um número complexo geral. Todavia, a análise de Fourier envolve restrições nessas variáveis:

Para o tempo contínuo, o interesse está em valores pu-ramente imaginários:

Para o tempo discreto, o interesse está em valores de magnitude unitária:

( ) , , ( )t j tsx t e js x t e ωω= = =

[ ] , , [ ]n j j nx n z e xz n eω ω= = =

06/05/2016 12/29


Sinais Contínuos Periódicos (FS) Quando um sinal contínuo é periódico?

Um sinal contínuo é periódico se existe uma constante positiva T, tal que:

( ) ( ), x t x t T t= + ∀

O MENOR VALOR PARA T QUE SATISFAÇA À EQUAÇÃO É CHAMADO DE PERÍODO FUNDAMENTAL – T0.

00

00

1 ( )

2 ( )

f é a freqüência fundamental de x t em hertz

é a freqüência fundamental de x t em radianos por segundT

o

T

ω π

=

=

06/05/2016 13/29


Sinais Contínuos Periódicos (FS) O sinal é periódico, com frequência fun-

damental e período fundamental . Tal como já vimos, o conjunto de harmônicas é:

0( ) j tx t e ω=0ω 00 2T π ω=

0( ) , 0, 1, 2,...jk tk t e kωφ = = ± ±

Como as harmônicas possuem frequências que são múltiplas da frequência fundamental, elas também são periódicas com período

T0. Então, uma combinação linear de exponenciais complexas harmonicamente relacionadas também resultará num sinal

periódico com período T0.

00( ) , jk t

kk

x t a e é um sinal periódico com p Teríodoω+∞

=−∞

= ∑Vejamos uma animação em Java...

06/05/2016 14/29


Sinais Contínuos Periódicos (FS)

00( ) , jk t

kk

x t a e é um sinal periódico com p Teríodoω+∞

=−∞

= ∑

1 2

k componentes fundamentais ou da primeira harmônicak componentes da segunda harmônicak N componentes da enésima harmônica

∴ = ± →∴ = ± →∴ = ± →

Representação em Série de Fourier para um sinal contínuo periódico: Forma Exponencial

06/05/2016 15/29



0

31 12

3 2 2

3 3

11 4

( ) 1 21 3

jk tk

k

aa a

x t a ea aa a

π+

−

=− −

−

= = == = = = =

∑

Exemplo: Script em Matlab – M_10_SerieFourierProg1.m

Desenvolvendo o somatório, reorganizando os termos, e utilizando a relação de Euler:

2 2 4 4 6 61 1 1( ) 1 ( ) ( ) ( )4 2 3

j t j t j t j t j t j tx t e e e e e eπ π π π π π− − −= + + + + + +1 2( ) 1 cos 2 cos 4 cos 62 3

x t t t tπ π π= + + +

06/05/2016 16/29


Sinais Contínuos Periódicos (FS) Exemplo

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.50

0.5

1

1.5

2

Tempo (t)

x0(t) = 1

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-0.5

0

0.5

Tempo (t)

x1(t) = (1/2)cos(2πt)

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1

-0.5

0

0.5

1

Tempo (t)

x2(t) = cos(4πt)

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1

-0.5

0

0.5

1

Tempo (t)

x3(t) = (2/3)cos(6πt)

06/05/2016 17/29



-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.50.5

1

1.5

Tempo (t)

x0(t) + x1(t)

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1

0

1

2

3

Tempo (t)

x0(t) + x1(t) + x2(t)

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-2

0

2

4

Tempo (t)

x0(t) + x1(t) + x2(t) + x3(t)

06/05/2016 18/29



1 2( ) 1 cos 2 cos 4 cos 62 3

x t t t tπ π π= + + +

Esse resultado é um exemplo de uma forma alternativa da Série de Fourier, aplicável para sinais contínuos periódicos reais.

Vamos considerar um sinal periódico contínuo real:

0 0* *( ) ( )k

jk t jk tk

k kx t a e x t a eω ω

+∞ +∞−

=−∞ =−∞

= = =∑ ∑

Assim: 0*( )k

jk t

kx t a e ω

+∞−

=−∞

= ∑06/05/2016 19/29



0*( )

k

jk t

kx t a e ω

+∞−

=−∞

= ∑ 0*( )k

jk t

kx t a e ω

−

+∞

=−∞

= ∑Trocando k por -k

0 0*( )k

jk t jk tk

k kx t a e a eω ω

−

+∞ +∞

=−∞ =−∞

= =∑ ∑

Para sinais contínuos periódicos reais: * −=k ka a

06/05/2016 20/29


Sinais Contínuos Periódicos (FS) Vamos derivar as formas alternativas da Série de Fourier para

sinais contínuos periódicos reais:

0 0 00

1( ) [ ]jk t jk t jk t

k k kk k

x t a e a a e a eω ω ω+∞ +∞

−−

=−∞ =

= = + +∑ ∑*k ka a−=

0 0 0*0

1( ) [ ]

k

jk t jk t jk tk k

k kx t a e a a e a eω ω ω

+∞ +∞−

=−∞ =

= = + +∑ ∑SOMA DE COMPLEXOS CONJUGADOS

00

1( ) 2 { }jk t

kk

x t a Real a e ω+∞

=

= +∑06/05/2016 21/29


Sinais Contínuos Periódicos (FS) 0

01

( ) 2 { }jk tk

kx t a Real a e ω

+∞

=

= +∑

0( )0

1( ) 2 { }kj k t

kkx t a Re eAal ω θ

+∞+

=

= +∑

0 01

( ) 2 ( )k

kkx t a cos k tA θω+∞

=

= + +∑

Representação em Série de Fourier para um sinal contínuo periódico real: Forma Trigonométrica Compacta.

kk

jk Aa e θ=

(Forma Polar)

06/05/2016 22/29



00

1( ) 2 { }jk t

kk

x t a Real a e ω+∞

=

= +∑

01

0 0( ) 2 [ ( ) ( )]kk

kCx t a cos k t sen k tB ω ω+∞

=

= + −∑

Representação em Série de Fourier para um sinal contínuo periódico real: Forma Trigonométrica.

kk kCBa j= +(Forma Retangular)

06/05/2016 23/29


Sinais Contínuos Periódicos (FS) Formas da FS para Sinais Contínuos Periódicos Reais:

0( ) jk tk

kx t a e ω

+∞

=−∞

= ∑

0 01

( ) 2 ( )k

kkx t a cos k tA θω+∞

=

= + +∑

01

0 0( ) 2 [ ( ) ( )]kk

kCx t a cos k t sen k tB ω ω+∞

=

= + −∑

Forma Exponencial

Forma Trigonométrica Compacta

Forma Trigonométrica

06/05/2016 24/29


Sinais Contínuos Periódicos (FS) MAS COMO CALCULAR OS COEFICIENTES DA FS?

... contas, contas, contas ...

0

00

1 ( ) ω−= ∫Tjk t

ka x tT

e dt

06/05/2016 25/29


Sinais Contínuos Periódicos (FS) FS de um Sinal Periódico Contínuo

0

0

00

( )

1 ( )

jk tk

k

jk tk T

x t a e

a x t eT

dt

ω

ω

+∞

=−∞

−

=

=

∑

∫

Equação de Síntese

Equação de Análise

{ } ka coeficientes da Série de Fourier ou coeficientes espectrais→

Quantificam a contribuição de cada harmônica.

0a Corresponde ao valor médio sobre um período, e é chamado de componente DC.

06/05/2016 26/29



0( ) ( )x t sen tω=

0 00

1 1( ) ( )2 2

j t j tx t sen t e ej j

ω ωω −= = −Relação de Euler:

1

1

12

12

0, 1 1k

aj

aj

a k e k

−

=

= −

= ≠ ≠ −

06/05/2016 27/29


Sinais Contínuos Periódicos (FS) Exemplo: Script em Matlab – M_10_SerieFourierProg2.m

0 0 0( ) 1 ( ) 2 ( ) (2 )4x t sen t cos t cos tω ω ω π= + + + +

Aplicando-se a Relação de Euler:

Como os coeficientes da FS são números complexos, eles podem também ser expressos na forma polar – módulo e fase.

0

1

1

1112112

a

a j

a j−

=

= −

= +

2

2

2 (1 )42 (1 )

40, 2k

a j

a j

a k

−

= +

= −

= >

06/05/2016 28/29



-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

0.5

1

1.5

k

|ak|

Coeficientes Apresentados na Forma Módulo e Fase

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-1

-0.5

0

0.5

1

k

∠ a

k

06/05/2016 29/29

Documents

Sinais e Sistemas · 2016. 5. 6. · Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia Introdução “A Série e a Integral de Fourier englobam um dos desenvolvimentos matemáticos mais