Fundamentos de sinais e sistemas em tempo discreto · Fundamentos de sinais e sistemas em tempo discreto ENGC33: Sinais e Sistemas II Departamento de Engenharia Eletrica - DEE´

Fundamentos de sinais e sistemas em tempo

discreto

ENGC33: Sinais e Sistemas II

Departamento de Engenharia Eletrica - DEEUniversidade Federal da Bahia - UFBA

21 de novembro de 2016

Prof. Tito Luís Maia Santos 1/ 47

Sumario

1 Introducao

2 Estrutura do curso

3 SinaisEnergia e potencia

Transformacoes nas variaveis independentes

Classificacao de sinaisSinais elementares

4 Sistemas

5 Comentarios Finais


Sumario

1 Introducao


3 Sinais

Energia e potencia


Classificacao de sinais

Sinais elementares

4 Sistemas



IntroducaoSinais - definicoes

Sinais (Haykin; Van Veen, 2007)

Funcao de uma ou mais variaveis, a qual veicula informacao sobre anatureza de um fenomeno fısico.

Exemplos:

Tensao ou corrente (circuitos eletricos);

Audio e imagem (telefone, televisao, computador);

Batimentos cardıacos, pressao sanguıneas, glicose(biomedicos);

Posicao, velocidade, aceleracao (sistemas mecanicos);

Inflacao, PIB, taxa de desemprego (econometricos).




Funcao de uma ou mais variaveis, a qual veicula informacao sobre anatureza de um fenomeno fısico.

Exemplos:

Tensao ou corrente (circuitos eletricos);

Audio e imagem (telefone, televisao, computador);

Batimentos cardıacos, pressao sanguıneas, glicose(biomedicos);

Posicao, velocidade, aceleracao (sistemas mecanicos);

Inflacao, PIB, taxa de desemprego (econometricos).




Funcao de uma ou mais variaveis, o qual veicula informacao sobre a

natureza de um fenomeno fısico.

Dependente de uma variavel ⇒ unidimensional;

Dependente de mais de uma variavel ⇒ multidimensional.




Funcao de uma ou mais variaveis, o qual veicula informacao sobre a

natureza de um fenomeno fısico.

Dependente de uma variavel ⇒ unidimensional;

Dependente de mais de uma variavel ⇒ multidimensional.




Funcao de uma ou mais variaveis, o qual veicula informacao sobre anatureza de um fenomeno fısico.

Unidimensional: exemplo - eletrocardiograma.





Multidimensional: exemplo - imagem.





Sinais de tempo contınuo ⇒ a variavel independente e contınua;

Sinais de tempo discreto ⇒ a variavel independente assumes

apenas valores inteiros.

Tempo contınuo Tempo discreto

Notacao x(t) x [n]Variavel independente t ∈ R n ∈ Z

Sinal contınuo pode ser amostrados com perıodo T :

x [n] , x(nT ).











x [n] , x(nT ).











x [n] , x(nT ).


IntroducaoSinais amostrados

Para um sinal amostrados com perıodo T :

x [n] , x(nT ).

−15 −10 −5 0 5 10 15−2

−1

0

1

2

3

4

Sinal original

Permite tratar sinais contınuo atraves de processamento digital.


IntroducaoSinais amostrados

Para um sinal amostrados com perıodo T :

x [n] , x(nT ).

−15 −10 −5 0 5 10 15−2

−1

0

1

2

3

4

Sinais original e amostrado

Permite tratar sinais contınuo atraves de processamento digital.


IntroducaoSistemas - definicoes

Sistemas (Haykin; Van Veen, 2007)

Um sistema e definido como uma entidade que manipula um ou maissinais para realizar uma funcao, produzindo novos sinais.

Exemplos:

Sistemas de comunicacao (transmissor, canal, receptor);Sistemas de controle (sensor, controlador, atuador e

processo);

Sistemas eletricos (transformador, conversor, retificador).


Sumario

1 Introducao


3 Sinais

Energia e potencia



Sinais elementares

4 Sistemas



Estrutura do cursoSinais e Sistemas II

Introducao a analise de sinais e sistemas em tempo discreto;

Analise de sinais de tempo discreto:

Serie de Fourier de tempo discreto;Transformada de Fourier de tempo discreto;

Sistemas lineares de tempo discreto;

Amostragem;

Analise de sistemas em tempo discreto:

Transformada Z;

Descricao matematica de sistemas;

Solucao de equacao de estados;

Controlabilidade e observabilidade de sistemas lineares;

Estabilidade de sistemas lineares







Amostragem;


Transformada Z;











Amostragem;


Transformada Z;











Amostragem;


Transformada Z;











Amostragem;


Transformada Z;











Amostragem;


Transformada Z;






Estrutura do cursoReferencia Bibliograficas

Referencias indicadas na ementa:

A. V. Oppenheim, A. S. Willsky e S. H. Nawab, Sinais eSistemas, 2a edicao, Pearson (2010).

B. P. Lathi, Sinais e sistemas lineares, 2a edicao,

Bookman-Artmed (2006).

K. Ogata, Engenharia de controle moderno, 5a edicao,Pearson (2011).

C. T. Chen, Linear System Theory and Design, 4a edicao,Oxford University Press (2012).


Sumario

1 Introducao


3 Sinais

Energia e potencia



Sinais elementares

4 Sistemas



SinaisEnergia e potencia

Potencia instantanea:

Pi = |x(t)|2 Pi = |x [n]|2

Energia num intervalo de tempo:

E =

∫ t1

t0

|x(t)|2dt E =

n1∑

n0

|x [n]|2

Potencia media num intervalo de tempo:

P =1

t1 − t0

∫ t1

t0

|x(t)|2dt P =1

n1 − n0 + 1

n1∑

n=n0

|x [n]|2

Medida (metrica) do tamanho do sinal.


SinaisEnergia e potencia

Potencia instantanea:

Pi = |x(t)|2 Pi = |x [n]|2

Energia num intervalo de tempo:

E =

∫ t1

t0

|x(t)|2dt E =

n1∑

n0

|x [n]|2

Potencia media num intervalo de tempo:

P =1

t1 − t0

∫ t1

t0

|x(t)|2dt P =1

n1 − n0 + 1

n1∑

n=n0

|x [n]|2

Medida (metrica) do tamanho do sinal.


Transformacoes nas variaveis independentesDescricao matematica

Deslocamento no tempo: x [n − n0],

Se n0 > 0 ⇒ sinal x [n] deslocado para a direita;

Se n0 < 0 ⇒ sinal x [n] deslocado para a esquerda;

Reflexao temporal: x [n] e x [−n];

Escalonamento no tempo: x [αn]

−10 0 100

0.5

1

1.5

x[n+5]

Degrau

−10 0 100

0.5

1

1.5

x[n]

Degrau

−10 0 100

0.5

1

1.5

x[n−5]

Degrau








−10 0 100

5

10x[n]

−10 0 100

5

10x[−n]




Se n0 > 0 ⇒ sinal x [n] deslocado para a direita;Se n0 < 0 ⇒ sinal x [n] deslocado para a esquerda;



−20 0 20−1

−0.5

0

0.5

1x[n]

−20 0 20−1

−0.5

0

0.5

1x[2n]








Em caso de multiplas operacoes ⇒ comecar pelo deslocamento

(CUIDADO! IMPOSICAO DESNECESSARIA!).


Classificacao de sinaisSinais periodicos - tempo discreto

Sinal periodico ⇒ existe um valor positivo e inteiro N tal que

x [n] = x [n + N], ∀n;

Se um sinal e periodico, entao

x [n] = x [n + N] = x [n + 2N] = x [n + 3N] = ..., ∀n;

Perıodo fundamental N0 e o menor valor positivo e inteiro tal que

x [n] = x [n + N0], ∀n.

Se nao existe N0 > 0 inteiro, o sinal nao e periodico.


Classificacao de sinaisSimetria

Um sinal e dito par se

x [n] = x [−n];

Um sinal e dito ımpar se

x [n] = −x [−n];

Note que x [0] = 0 num sinal ımpar;

Um sinal x [n] pode ser dividido numa parcela par e numa parcelaımpar:

Parcela par: Evx [n] = 0.5(x [n] + x [−n]);Parcela ımpar: Odx [n] = 0.5(x [n]− x [−n]);

x [n] = Evx [n]+Odx [n].


Sinais elementaresExponenciais complexas (tempo discreto)

Importante para descrever o comportamento (resposta) desistemas lineares;

Em tempo contınuo:x(t) = Cceβc t ;

Em tempo discreto:

x [n] = Ceβn

ou alternativamente

x [n] = Cαn ⇒ α = eβ ;

C e α nao sao necessariamente numeros reais.





Em tempo discreto:

x [n] = Ceβn

ou alternativamente

x [n] = Cαn ⇒ α = eβ ;






Em tempo discreto:

x [n] = Ceβn

ou alternativamente

x [n] = Cαn ⇒ α = eβ ;



Sinais elementaresExponenciais reais (tempo discreto)

Casos especiais

x [n] = Cαn

com C e α reais.

Comportamento da magnitude do sinal:

Magnitude (modulo) crescente para |a| > 1, ex.:x [n] = C · 1, 1n;

Magnitude (modulo) decrescente para |a| < 1, ex.

x [n] = C · 0, 8n;Magnitude (modulo) constante para |a| = 1

Comportamento do valor do sinal (sinal):

Variacao uniforme do sinal a > 0, ex.: x [n] = C · 1, 1n;Variacao alternante do sinal a < 0, ex.: x [n] = C · (−1, 1)n;


Sinais elementaresExponenciais reais (tempo discreto)

Exemplo x [n] = αn.

0 10 20 300

0.2

0.4

0.6

0.8

(a)

α=0,8

0 10 20 300

5

10

15

20

α=1,1

(b)

0 10 20 30−1

−0.5

0

0.5

1

α=−0,8

(c)

0 10 20 30−20

−10

0

10

20

α=−1,1

(d)


Sinais elementaresSequencias senoidais

Casos especiais

x [n] = Cej(Ω0n+φ)

com C = A ∈ R, Ω0 ∈ R e φ ∈ R .

Sabemos queejθ = cos(θ) + jsen(θ)

de maneira que

Aej(Ω0n+φ) = Acos(Ω0n + φ) + jsen(Ω0n + φ)

Portanto temos que

ReAej(Ω0n+φ) = Acos(Ω0n + φ)

e

ImAej(Ω0n+φ) = Asen(Ω0n + φ).



Casos especiais


com C = A ∈ R, Ω0 ∈ R e φ ∈ R .

Sabemos queejθ = cos(θ) + jsen(θ)

de maneira que

Aej(Ω0n+φ) = Acos(Ω0n + φ) + jsen(Ω0n + φ)

Portanto temos que

ReAej(Ω0n+φ) = Acos(Ω0n + φ)

e

ImAej(Ω0n+φ) = Asen(Ω0n + φ).



Casos especiais


com C = A ∈ R, Ω0 ∈ R e φ ∈ R .

Por outro lado

cos(θ) =ejθ + e−jθ

2

de maneira que

Acos(j(Ω0n + φ)) =A

2ejφejΩ0n +

A

2e−jφe−jΩ0n.



−15 −10 −5 0 5 10 15−1

−0.5

0

0.5

1

(a)

cos(2πn/12)

−15 −10 −5 0 5 10 15−1

−0.5

0

0.5

1

cos(8πn/31)

(b)

−15 −10 −5 0 5 10 15−1

−0.5

0

0.5

1

cos(n/6)

(c)


Sinais elementaresExponenciais complexas - caso geral

Considerem

x [n] = Cαn

com C = |C|ejθ e α = |α|ejΩ0 , Ω0 ∈ R e θ ∈ R .

Desta forma obtem-se

x [n] = Cαn = |C||α|nejθ+jΩ0n = |C||α|ncos(Ω0n+θ)+jsen(Ω0n+θ)

Comportamento das parcelas real e imaginaria:

Sequencias senoidais para |a| = 1;Sequencias senoidais multiplicadas por exponenciais

crescentes para |a| > 1;

Sequencias senoidais multiplicadas por exponenciaisdecrescentes para |a| = 1.


Sinais elementaresExponenciais complexas - caso geral

Considerem

x [n] = Cαn

com C = |C|ejθ e α = |α|ejΩ0 , Ω0 ∈ R e θ ∈ R .

Desta forma obtem-se

x [n] = Cαn = |C||α|nejθ+jΩ0n = |C||α|ncos(Ω0n+θ)+jsen(Ω0n+θ)

Comportamento das parcelas real e imaginaria:

Sequencias senoidais para |a| = 1;Sequencias senoidais multiplicadas por exponenciais

crescentes para |a| > 1;

Sequencias senoidais multiplicadas por exponenciaisdecrescentes para |a| = 1.



−15 −10 −5 0 5 10 15−5

0

5

(a)

x[n]=0.9ncos(2πn/12)

−15 −10 −5 0 5 10 15−2

−1

0

1

2

x[n]=1.05ncos(2πn/12)

(b)


Sinais elementaresPropriedades periodicas de exponenciais complexas em tempo discreto

O que ocorre ao aumentar ω0 em x(t) = ejω0t ?

Reducao do perıodo fundamental T0 = 2πw0

.

O que ocorre ao aumentar Ω0 em x [n] = ejΩ0n?

Caso Ω0 = Ω′

0 + 2π, nada ocorre pois

ejΩ0n = ejΩ′

0nej2πn = ejΩ′

0n, Ω0 > Ω′

0, ∀n ∈ Z.

Exponencial de tempo discreto nao e necessariamente periodica

x [n] = x [n + N] ⇒ ejΩ0(n+N) = ejΩ0n ⇒ ejΩ0N = 1

assim

Ω0N = 2πm

com m e N sendo numeros inteiros.





.


Caso Ω0 = Ω′


ejΩ0n = ejΩ′

0nej2πn = ejΩ′

0n, Ω0 > Ω′

0, ∀n ∈ Z.



assim

Ω0N = 2πm






.


Caso Ω0 = Ω′


ejΩ0n = ejΩ′

0nej2πn = ejΩ′

0n, Ω0 > Ω′

0, ∀n ∈ Z.



assim

Ω0N = 2πm






.


Caso Ω0 = Ω′


ejΩ0n = ejΩ′

0nej2πn = ejΩ′

0n, Ω0 > Ω′

0, ∀n ∈ Z.



assim

Ω0N = 2πm




Comparacao entre as funcoes

y1(t) = cos(2πt/4), y2(t) = cos(10πt/4),

y1[n] = cos(2πn/4), y2[n] = cos(10πn/4)

−6 −4 −2 0 2 4 6−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1



Exercıcio: Determinar a frequencia fundamental do sinalx [n] = ej(2π/3)n + ej(3π/4)n.

Solucao:

Para que o sinal seja periodico:

x [n] = x [n + N] ⇒ ej(2π/3)n + ej(3π/4)n = ej(2π/3)(n+N) + ej(3π/4)(n+N)

ou seja ej(2π/3)N = 1 e ej(3π/4)N = 1.

Para ΩN = 2πm temos: N = 3 (m = 1) e N = 8 (m = 3).

Para atender as duas condicoes necessitamos de um multiplocomum;

Perıodo fundamental: N0 = 24 (menor multiplo comum);

Frequencia fundamental: Ω0 = 2π/24.




Solucao:











Solucao:











Solucao:










−15 −10 −5 0 5 10 15−1

−0.5

0

0.5

1

(a)

cos(2πn/12)

−15 −10 −5 0 5 10 15−1

−0.5

0

0.5

1

cos(8πn/31)

(b)

−15 −10 −5 0 5 10 15−1

−0.5

0

0.5

1

cos(n/6)

(c)



Exponenciais periodicas harmonicas:

φk [n] = ejk(2π/N)n, k = 0,±1,±2, ...

Funcao N passos a frente

φk+N [n] = ej(k+N)(2π/N)n

= ejk(2π/N)nejN(2π/N)n = φk [n]

Sao necessarias apenas N funcoes para descrever o conjunto de

funcoes harmonicas relacionadas.


Sinais elementaresFuncao impulso unitario e funcao degrau unitario

Funcao impulso unitario

δ[n] =

0, n 6= 0

1, n = 0

−10 0 100

0.5

1

1.5

δ[n]

Impulso




δ[n] =

0, n 6= 0

1, n = 0

−10 0 100

0.5

1

1.5

δ[n+1]

Impulso

−10 0 100

0.5

1

1.5

δ[n]

Impulso

−10 0 100

0.5

1

1.5

δ[n−1]

Impulso



Funcao degrau unitario

u[n] =

0, n < 0

1, n ≥ 0

−10 0 100

0.5

1

1.5

u[n]

Degrau




u[n] =

0, n < 0

1, n ≥ 0

−10 0 100

0.5

1

1.5

u[n+1]

Degrau

−10 0 100

0.5

1

1.5

u[n]

Degrau

−10 0 100

0.5

1

1.5

u[n−1]

Degrau




δ[n] =

0, n 6= 0

1, n = 0


u[n] =

0, n < 0

1, n ≥ 0

Observacao 1.

δ[n] = u[n]− u[n − 1]

Observacao 2.

u[n] =∞∑

k=0

δ[n − k ] =0

∑

k=∞

δ[n − k ]




δ[n] =

0, n 6= 0

1, n = 0


u[n] =

0, n < 0

1, n ≥ 0

Observacao 1.

δ[n] = u[n]− u[n − 1]

Observacao 2.

u[n] =∞∑

k=0

δ[n − k ] =0

∑

k=∞

δ[n − k ]




δ[n] =

0, n 6= 0

1, n = 0


u[n] =

0, n < 0

1, n ≥ 0

Observacao 1.

δ[n] = u[n]− u[n − 1]

Observacao 2.

u[n] =∞∑

k=0

δ[n − k ] =0

∑

k=∞

δ[n − k ]




δ[n] =

0, n 6= 0

1, n = 0


u[n] =

0, n < 0

1, n ≥ 0

Observacao 1.

δ[n] = u[n]− u[n − 1]

Observacao 2.

u[n] =

∞∑

k=0

δ[n − k ] =

n∑

m=−∞

δ[m]




δ[n] =

0, n 6= 0

1, n = 0


u[n] =

0, n < 01, n ≥ 0

Observacao 3.x [n]δ[n] = x [0]δ[n]

Observacao 4.x [n]δ[n − n0] = x [n0]δ[n − n0]




δ[n] =

0, n 6= 0

1, n = 0


u[n] =

0, n < 01, n ≥ 0

Observacao 3.x [n]δ[n] = x [0]δ[n]

Observacao 4.x [n]δ[n − n0] = x [n0]δ[n − n0]


Sumario

1 Introducao


3 Sinais

Energia e potencia



Sinais elementares

4 Sistemas



Sistemas IPropriedades basicas de sistemas

1 Sistemas com e sem memoria:

Um sistema e chamado sem memoria se a sua saıda, para cada valor da

variavel independente num dado instante, depende apenas da entrada

naquele instante.

Ex.: y[n] = (2x[n]− x2[n])2 (sem memoria) e y[n] = x[n − 1] (com

memoria).

2 Inversibilidade de sistemas:

Um sistema e chamado inversıvel se entrada distintas levam a saıda

distintas.

Ex: y[n] = 2x[n] (inversıvel) e y[n] = x[n]2 (nao inversıvel).

3 Causalidade (nao antecipativo):

Um sistema e chamado causal se a saıda a qualquer instante depende

apenas de valores passados e presente da entrada (saıda).

Ex. y[n] = x[n − 1] (causal) e y[n] = x[n]− x[n + 1] (nao causal)


Sistemas IIPropriedades basicas de sistemas

4 Estabilidade:

Informalmente, um sistema estavel e aquele para o qual entradas

pequenas levam a respostas que nao divergem.

Ex. y[n] = 0.5y[n − 1] + x[n] (estavel) e y[n] = (n + 1)x[n] (instavel)

5 Invariancia no tempo:

Conceitualmente, um sistema e invariante no tempo se o comportamento e

as caracterıstica do mesmo sao as mesmas ao longo do tempo. Ou seja

y[n] = f (x[n]) ⇒ y[n − n0] = f (x[n − n0]).Ex. y[n] = sen(x[n]) (invariante no tempo) e y[n] = nx[n] (variante no

tempo).

6 Linearidade:

Um sistema e linear se e valida a propriedade da superposicao (aditividade

e homogeneidade). Ou seja

y1[n] = f (x1[n]), y2[n] = f (x2[n]) ⇒ y1[n] + y2[n] = f (x1[n] + x2[n]) e

αy1[n] = f (αx1[n]).Ex. y[n] = x[n] (linear) e y[n] = x2[n] (nao linear).


Sumario

1 Introducao


3 Sinais

Energia e potencia



Sinais elementares

4 Sistemas



Comentarios Finais

Nesta aula foram apresentadas alguns conceitos e definicoes:

Definicao de sinais e sistemas;

Definicao de energia e potencia de sinais;Transformacoes na variaveis independentes;

Alguns sinais elementares;Algumas propriedade basicas de sistemas.

Na proxima aula discutiremos sobre:

Soma de convolucao;Equacoes a diferenca.


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