Nelson Faustino Func¸oes Especiais vs. Simetrias:˜ …professor.ufabc.edu.br/~nelson.faustino/Pesquisa/Slides/... · 2016-07-08 · Simetrias em termos de superalgebras de´ Lie

FuncoesEspeciais vs.

Simetrias

Nelson Faustino

Comecando peloOsciladorHarmonico

Simetrias emtermos desuperalgebras deLie

O par dual deHowe

Funcoes Especiais vs. Simetrias:Comecando pelo caso do oscilador

harmonico classico.

Nelson Faustino

Centro de Matematica, Computacao e Cognicao, UFABC

[email protected]

Seminarios Posmat – 08 de julho de 2016

1 / 19

mailto:[email protected]

http://posmat.ufabc.edu.br/index.php/br/


Simetrias

Nelson Faustino



O par dual deHowe

1 Comecando pelo Oscilador Harmonico

2 Simetrias em termos de superalgebras de Lie

3 O par dual de Howe

2 / 19


Simetrias

Nelson Faustino



O par dual deHowe

Porque o Oscilador Harmonico?

”To first approximation, the human brain is a harmonic oscillator.”

Barry Simon para Charles Fefferman, numa conversa privada enquantocaminhavam pelo Campus da Universidade de Princeton.

Figure: Barry SimonFigure: Charles Fefferman

SimonFest 2006: Barry Stories–http://math.caltech.edu/SimonFest/stories.html]fefferman

3 / 19


Simetrias

Nelson Faustino



O par dual deHowe






3 / 19


Simetrias

Nelson Faustino



O par dual deHowe






3 / 19


Simetrias

Nelson Faustino



O par dual deHowe

Modelo Fısico

Equacao de Schrodinger Estacionaria

n∑j=1

− 12m

(aj )2F (x) +

n∑j=1

mω2

2(a†j )2F (x) = εF (x).

m - massa

ω- frequencia1

2m (aj )2 - termo energia cinetica

mω2

2 (a†j )2- termo energia potencial

ε - nıveis de energia (autovalores)

F (x)- estados proprios de energia (autovetores)

4 / 19


Simetrias

Nelson Faustino



O par dual deHowe

Modelo Fısico


n∑j=1

− 12m

(aj )2F (x) +

n∑j=1

mω2

2(a†j )2F (x) = εF (x).

m - massa

ω- frequencia1


mω2




4 / 19


Simetrias

Nelson Faustino



O par dual deHowe

Modelo Fısico


n∑j=1

− 12m

(aj )2F (x) +

n∑j=1

mω2

2(a†j )2F (x) = εF (x).

m - massa

ω- frequencia1


mω2




4 / 19


Simetrias

Nelson Faustino



O par dual deHowe

Modelo Fısico


n∑j=1

− 12m

(aj )2F (x) +

n∑j=1

mω2

2(a†j )2F (x) = εF (x).

m - massa

ω- frequencia1


mω2




4 / 19


Simetrias

Nelson Faustino



O par dual deHowe

Modelo Fısico


n∑j=1

− 12m

(aj )2F (x) +

n∑j=1

mω2

2(a†j )2F (x) = εF (x).

m - massa

ω- frequencia1


mω2




4 / 19


Simetrias

Nelson Faustino



O par dual deHowe

Modelo Fısico


n∑j=1

− 12m

(aj )2F (x) +

n∑j=1

mω2

2(a†j )2F (x) = εF (x).

m - massa

ω- frequencia1


mω2




4 / 19


Simetrias

Nelson Faustino



O par dual deHowe

Modelo Fısico


n∑j=1

− 12m

(aj )2F (x) +

n∑j=1

mω2

2(a†j )2F (x) = εF (x).

m - massa

ω- frequencia1


mω2




4 / 19


Simetrias

Nelson Faustino



O par dual deHowe

Solucao da Equacao de Schrodinger

Fatoracao do Oscilador Harmonico

H =n∑

j=1

− 12m

(aj )2 +

n∑j=1

mω2

2(a†j )2

Operadores escada: a±j =√

mω2

(a†j ∓

1mωaj

). Estes operadores

permitem-nos obter a seguinte fatoracao:

H =12

n∑j=1

(a+

j a−j + a+j a−j

).

Simetrias de Heisenberg-Weyl: Conjunto de relacoes decomutacao

[a+j , a

+k ] = [a−j , a

−k ] = 0, [a−j , a

+k ] = δjk id.

Daqui resulta que H =n∑

j=1

a+j a−j +

n2

id.

5 / 19


Simetrias

Nelson Faustino



O par dual deHowe



H =n∑

j=1

− 12m

(aj )2 +

n∑j=1

mω2

2(a†j )2


mω2

(a†j ∓

1mωaj

). Estes operadores


H =12

n∑j=1

(a+

j a−j + a+j a−j

).


[a+j , a

+k ] = [a−j , a

−k ] = 0, [a−j , a

+k ] = δjk id.


j=1

a+j a−j +

n2

id.

5 / 19


Simetrias

Nelson Faustino



O par dual deHowe



H =n∑

j=1

− 12m

(aj )2 +

n∑j=1

mω2

2(a†j )2


mω2

(a†j ∓

1mωaj

). Estes operadores


H =12

n∑j=1

(a+

j a−j + a+j a−j

).


[a+j , a

+k ] = [a−j , a

−k ] = 0, [a−j , a

+k ] = δjk id.


j=1

a+j a−j +

n2

id.

5 / 19


Simetrias

Nelson Faustino



O par dual deHowe

Teoria Quantica de Campos (QFT)

Solucoes exatas da equacao de Schrodinger estacionaria podem serdeterminadas com base no segundo princıpio de quantizacao (tambemconhecido por quantizacao bosonica).

Espaco de Fock: Espacovetorial (F , 〈·|·〉) que satisfazos seguintes axiomas:

1 F : Algebra livre, geradaa partir dos geradorescanonicos a−j e a+

j , apartir do vetor de vacuoΦ tal que a−j Φ = 0.

2 〈·|·〉: Produto interno emF tal que 〈Φ|Φ〉 = 1 e a+

jseja o operador adjuntode a−j , i.e.〈a+

j x |y〉 = 〈x |a−j y〉.

Algebra de bosons: Espaco de Fock Fcujos geradores a+

j a−j satisfazem asrelacoes de comutacao, associadas aalgebra de Weyl-Heisenberg.

Lemma basico de QFT: Os vetores daforma

ηα :=

n∏j=1

(a†j )αj

Φ

formam uma base ortogonal em F .

6 / 19


Simetrias

Nelson Faustino



O par dual deHowe








j x |y〉 = 〈x |a−j y〉.




ηα :=

n∏j=1

(a†j )αj

Φ


6 / 19


Simetrias

Nelson Faustino



O par dual deHowe








j x |y〉 = 〈x |a−j y〉.




ηα :=

n∏j=1

(a†j )αj

Φ


6 / 19


Simetrias

Nelson Faustino



O par dual deHowe








j x |y〉 = 〈x |a−j y〉.




ηα :=

n∏j=1

(a†j )αj

Φ


6 / 19


Simetrias

Nelson Faustino



O par dual deHowe








j x |y〉 = 〈x |a−j y〉.




ηα :=

n∏j=1

(a†j )αj

Φ


6 / 19


Simetrias

Nelson Faustino



O par dual deHowe








j x |y〉 = 〈x |a−j y〉.




ηα :=

n∏j=1

(a†j )αj

Φ


6 / 19


Simetrias

Nelson Faustino



O par dual deHowe








j x |y〉 = 〈x |a−j y〉.




ηα :=

n∏j=1

(a†j )αj

Φ


6 / 19


Simetrias

Nelson Faustino



O par dual deHowe








j x |y〉 = 〈x |a−j y〉.




ηα :=

n∏j=1

(a†j )αj

Φ


6 / 19


Simetrias

Nelson Faustino



O par dual deHowe

ExemplosAnel dos polinomios induzido por Rn

Monomios x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn:

xα = xα11 xα2

2 . . . xαnn

Anel R[x ]: Cada P(x) ∈ R[x ] e uma combinacao linear de xα’s.Polinomios de grau k sao todas as combinacoes lineares de xα’stais que |α| := α1 + α2 + . . .+ αn = k .Derivadas multi-ındice para ∂x := (∂x1 , ∂x2 , . . . , ∂xn ):

∂αx := ∂α1x1 ∂

α2x2 . . . ∂

αnxn ∈ End(R[x ]).

Propriedade: Para |α| > |β| obtemos

(∂x )βxα =α!

(α− β)!xα−β

Produto escalar:

〈P,Q〉 = [P(∂x )Q(x)]x=0

7 / 19


Simetrias

Nelson Faustino



O par dual deHowe



xα = xα11 xα2

2 . . . xαnn


∂αx := ∂α1x1 ∂

α2x2 . . . ∂



(∂x )βxα =α!

(α− β)!xα−β

Produto escalar:

〈P,Q〉 = [P(∂x )Q(x)]x=0

7 / 19


Simetrias

Nelson Faustino



O par dual deHowe



xα = xα11 xα2

2 . . . xαnn


∂αx := ∂α1x1 ∂

α2x2 . . . ∂



(∂x )βxα =α!

(α− β)!xα−β

Produto escalar:

〈P,Q〉 = [P(∂x )Q(x)]x=0

7 / 19


Simetrias

Nelson Faustino



O par dual deHowe



xα = xα11 xα2

2 . . . xαnn


∂αx := ∂α1x1 ∂

α2x2 . . . ∂



(∂x )βxα =α!

(α− β)!xα−β

Produto escalar:

〈P,Q〉 = [P(∂x )Q(x)]x=0

7 / 19


Simetrias

Nelson Faustino



O par dual deHowe



xα = xα11 xα2

2 . . . xαnn


∂αx := ∂α1x1 ∂

α2x2 . . . ∂



(∂x )βxα =α!

(α− β)!xα−β

Produto escalar:

〈P,Q〉 = [P(∂x )Q(x)]x=0

7 / 19


Simetrias

Nelson Faustino



O par dual deHowe

ExemplosFuncoes de Hermite em L2(Rn)

Produto interno em Rn:

〈f , g〉 =

∫Rn

f (x)g(x)dx

Distribuicao Normal N(0,1)– Funcao Gaussiana

Φ(x) = π−n4 e−

|x|22 satisfaz 〈Φ,Φ〉 = 1 & 1√

2(xj + ∂xj )Φ(x) = 0.

Usando integracao por partes– Operadores da formaa−j = 1√

2(xj + ∂xj ) e a+

j = 1√2

(xj − ∂xj ) (geradores da algebra deWeyl-Heisenberg) satisfazem 〈a−j f , g〉 = 〈f , a+

j g〉.

Base ortogonal de L2(Rn)– As funcoes geradas pela formula

operatorial ηα(x) =

n∏j=1

2−αj2(xj − ∂xj

)αj

Φ(x) correspondem as

funcoes de Hermite de ordem |α|.

8 / 19


Simetrias

Nelson Faustino



O par dual deHowe



〈f , g〉 =

∫Rn

f (x)g(x)dx


Φ(x) = π−n4 e−

|x|22 satisfaz 〈Φ,Φ〉 = 1 & 1√

2(xj + ∂xj )Φ(x) = 0.


2(xj + ∂xj ) e a+

j = 1√2


j g〉.



n∏j=1


)αj



8 / 19


Simetrias

Nelson Faustino



O par dual deHowe



〈f , g〉 =

∫Rn

f (x)g(x)dx


Φ(x) = π−n4 e−

|x|22 satisfaz 〈Φ,Φ〉 = 1 & 1√

2(xj + ∂xj )Φ(x) = 0.


2(xj + ∂xj ) e a+

j = 1√2


j g〉.



n∏j=1


)αj



8 / 19


Simetrias

Nelson Faustino



O par dual deHowe



〈f , g〉 =

∫Rn

f (x)g(x)dx


Φ(x) = π−n4 e−

|x|22 satisfaz 〈Φ,Φ〉 = 1 & 1√

2(xj + ∂xj )Φ(x) = 0.


2(xj + ∂xj ) e a+

j = 1√2


j g〉.



n∏j=1


)αj



8 / 19


Simetrias

Nelson Faustino



O par dual deHowe

Nıveis de LandauOscilador Harmonico descrito em termos de simetrias de Weyl-Heisenberg

O Hamiltoniano12

(−∆ + |x |2

)=

n∑j=1

(−1

2∂2

xj+

12

x2j

)satisfaz as

seguintes propriedades:

Fatoracao:12

(−∆ + |x |2

)=

n∑j=1

(xj − ∂xj )(xj + ∂xj ) +n2

.

Espetro: Para |α| = k , ε = k + n2

sao os autovalores de12

(−∆ + |x |2

)associados aos

autovetores ηα(x).

Energia mınima: A menor energiade − 1

2 ∆ + 12 |x |

2 (igual a n2 ) esta

associada a funcao Gaussiana

Φ(x) = π−n4 e−

|x|22 .

Figure: Modelo atomico para o atomo dehidrogenio (Niels Bohr, 1914)

9 / 19


Simetrias

Nelson Faustino



O par dual deHowe


O Hamiltoniano12

(−∆ + |x |2

)=

n∑j=1

(−1

2∂2

xj+

12

x2j

)satisfaz as


Fatoracao:12

(−∆ + |x |2

)=

n∑j=1

(xj − ∂xj )(xj + ∂xj ) +n2

.



(−∆ + |x |2

)associados aos



2 ∆ + 12 |x |



Φ(x) = π−n4 e−

|x|22 .


9 / 19


Simetrias

Nelson Faustino



O par dual deHowe


O Hamiltoniano12

(−∆ + |x |2

)=

n∑j=1

(−1

2∂2

xj+

12

x2j

)satisfaz as


Fatoracao:12

(−∆ + |x |2

)=

n∑j=1

(xj − ∂xj )(xj + ∂xj ) +n2

.



(−∆ + |x |2

)associados aos



2 ∆ + 12 |x |



Φ(x) = π−n4 e−

|x|22 .


9 / 19


Simetrias

Nelson Faustino



O par dual deHowe


O Hamiltoniano12

(−∆ + |x |2

)=

n∑j=1

(−1

2∂2

xj+

12

x2j

)satisfaz as


Fatoracao:12

(−∆ + |x |2

)=

n∑j=1

(xj − ∂xj )(xj + ∂xj ) +n2

.



(−∆ + |x |2

)associados aos



2 ∆ + 12 |x |



Φ(x) = π−n4 e−

|x|22 .


9 / 19


Simetrias

Nelson Faustino



O par dual deHowe


O Hamiltoniano12

(−∆ + |x |2

)=

n∑j=1

(−1

2∂2

xj+

12

x2j

)satisfaz as


Fatoracao:12

(−∆ + |x |2

)=

n∑j=1

(xj − ∂xj )(xj + ∂xj ) +n2

.



(−∆ + |x |2

)associados aos



2 ∆ + 12 |x |



Φ(x) = π−n4 e−

|x|22 .


9 / 19


Simetrias

Nelson Faustino



O par dual deHowe


O Hamiltoniano12

(−∆ + |x |2

)=

n∑j=1

(−1

2∂2

xj+

12

x2j

)satisfaz as


Fatoracao:12

(−∆ + |x |2

)=

n∑j=1

(xj − ∂xj )(xj + ∂xj ) +n2

.



(−∆ + |x |2

)associados aos



2 ∆ + 12 |x |



Φ(x) = π−n4 e−

|x|22 .


9 / 19


Simetrias

Nelson Faustino



O par dual deHowe

Explicacao pictoria das simetrias deWeyl-HeisenbergDo classico ao quantico (m = ω = 1)

Varias variaveis complexas:z ∈ Cn vetor, de componenteszj = qj + ipj .

Norma Euclidiana em Cn:n∑

j=1

(p2j + q2

j ) =n∑

j=1

|zj |2 =

n∑j=1

12

(zjzj + zjzj )

Quantizacao em termos deobservaveis: pj 7→ aj = −i∂xj

and qj 7→ a†j = xj resulta em

[aj , ak ] = [a†j , a†k ] = 0 e

[a†j , ak ] = i I.

Operadores escada: Operadoresauto-adjuntos de primeira ordem emL2(Rn), dados pelas regras dequantizacaozj = qj + ipj 7→ aj = 1√

2

(xj + ∂xj

)and

z j = qj − ipj 7→ a†j = 1√2

(xj − ∂xj

)Conexao com o grupo deHeisenberg: O conjunto deoperadores aj , a†j resp. a+

j , a−j

induzem uma realizacao do grupo deHeisenberg Hn, no domınio R2n × Rresp. Cn × R.Sugestao: Use a formula deBaker-Campbell-Hausdorffexp (R + S) =exp

(− 1

2 [R,S])

exp(R) exp(S) paragrupos nilpotentes de Lie, tipo 2.

10 / 19


Simetrias

Nelson Faustino



O par dual deHowe




j=1

(p2j + q2

j ) =n∑

j=1

|zj |2 =

n∑j=1

12

(zjzj + zjzj )



[aj , ak ] = [a†j , a†k ] = 0 e

[a†j , ak ] = i I.


2

(xj + ∂xj

)and

z j = qj − ipj 7→ a†j = 1√2

(xj − ∂xj


j , a−j


(− 1

2 [R,S])


10 / 19


Simetrias

Nelson Faustino



O par dual deHowe




j=1

(p2j + q2

j ) =n∑

j=1

|zj |2 =

n∑j=1

12

(zjzj + zjzj )



[aj , ak ] = [a†j , a†k ] = 0 e

[a†j , ak ] = i I.


2

(xj + ∂xj

)and

z j = qj − ipj 7→ a†j = 1√2

(xj − ∂xj


j , a−j


(− 1

2 [R,S])


10 / 19


Simetrias

Nelson Faustino



O par dual deHowe




j=1

(p2j + q2

j ) =n∑

j=1

|zj |2 =

n∑j=1

12

(zjzj + zjzj )



[aj , ak ] = [a†j , a†k ] = 0 e

[a†j , ak ] = i I.


2

(xj + ∂xj

)and

z j = qj − ipj 7→ a†j = 1√2

(xj − ∂xj


j , a−j


(− 1

2 [R,S])


10 / 19


Simetrias

Nelson Faustino



O par dual deHowe




j=1

(p2j + q2

j ) =n∑

j=1

|zj |2 =

n∑j=1

12

(zjzj + zjzj )



[aj , ak ] = [a†j , a†k ] = 0 e

[a†j , ak ] = i I.


2

(xj + ∂xj

)and

z j = qj − ipj 7→ a†j = 1√2

(xj − ∂xj


j , a−j


(− 1

2 [R,S])


10 / 19


Simetrias

Nelson Faustino



O par dual deHowe




j=1

(p2j + q2

j ) =n∑

j=1

|zj |2 =

n∑j=1

12

(zjzj + zjzj )



[aj , ak ] = [a†j , a†k ] = 0 e

[a†j , ak ] = i I.


2

(xj + ∂xj

)and

z j = qj − ipj 7→ a†j = 1√2

(xj − ∂xj


j , a−j


(− 1

2 [R,S])


10 / 19


Simetrias

Nelson Faustino



O par dual deHowe




j=1

(p2j + q2

j ) =n∑

j=1

|zj |2 =

n∑j=1

12

(zjzj + zjzj )



[aj , ak ] = [a†j , a†k ] = 0 e

[a†j , ak ] = i I.


2

(xj + ∂xj

)and

z j = qj − ipj 7→ a†j = 1√2

(xj − ∂xj


j , a−j


(− 1

2 [R,S])


10 / 19


Simetrias

Nelson Faustino



O par dual deHowe




j=1

(p2j + q2

j ) =n∑

j=1

|zj |2 =

n∑j=1

12

(zjzj + zjzj )



[aj , ak ] = [a†j , a†k ] = 0 e

[a†j , ak ] = i I.


2

(xj + ∂xj

)and

z j = qj − ipj 7→ a†j = 1√2

(xj − ∂xj


j , a−j


(− 1

2 [R,S])


10 / 19


Simetrias

Nelson Faustino



O par dual deHowe

Formulacao em termos de algebras de CliffordF. Sommen, An Algebra of Abstract Vector Variables, (1997), Portugalia Math.

Analise usando algebras de Clifford: Estudo de operadores que saoelementos da algebra

Alg{

xj , ∂xj , ej : j = 1, . . . , n}

,

1 xj e ∂xj satisfazem as relacoes de Weyl-Heisenberg[∂xj , ∂xk

]= [xj , xk ] = 0 and

[∂xj , xk

]= δjk I.

2 e1, e2, . . . , en sao os geradores canonicos da algebra de CliffordC`0,n:

ej ek + ek ej = −2δjk .

Derivada multivetorial: D =n∑

j=1

ej∂xj corresponde ao operador de

Dirac (embebimento do operador gradiente em C`0,n).

Operador de multiplicacao multivetorial: X : f(x) 7→n∑

j=1

ejxj f(x)

corresponde ao operador de multiplicacao, a equerda de f(x), pelo

vetor de Clifford x =n∑

j=1

xj ej .11 / 19


Simetrias

Nelson Faustino



O par dual deHowe



Alg{

xj , ∂xj , ej : j = 1, . . . , n}

,


]= [xj , xk ] = 0 and

[∂xj , xk

]= δjk I.




j=1




j=1

ejxj f(x)



j=1

xj ej .11 / 19


Simetrias

Nelson Faustino



O par dual deHowe



Alg{

xj , ∂xj , ej : j = 1, . . . , n}

,


]= [xj , xk ] = 0 and

[∂xj , xk

]= δjk I.




j=1




j=1

ejxj f(x)



j=1

xj ej .11 / 19


Simetrias

Nelson Faustino



O par dual deHowe



Alg{

xj , ∂xj , ej : j = 1, . . . , n}

,


]= [xj , xk ] = 0 and

[∂xj , xk

]= δjk I.




j=1




j=1

ejxj f(x)



j=1

xj ej .11 / 19


Simetrias

Nelson Faustino



O par dual deHowe

Representacao de sl(2,R)

Derivada radial: E =∑n

j=1 xj∂xj

Propriedades basicas:1 Fatoracao do Laplaciano: ∆ :=

∑nj=1 ∂

2xj

= −D2

2 Propriedades de Invariancia: [E ,X ] = X e [E ,D] = −D.3 Fatoracao da derivada radial: XD + DX = −2(E + n

2 id).

Representacao canonica de Analise Harmonica: p = − 12 ∆,

p† = 12 X 2 e q = E + n

2 I sao os geradores canonicos da algebrade Lie sl(2,R):[

p,p†]

= q,[q,p†

]= p†, [q,p] = −p.

12 / 19


Simetrias

Nelson Faustino



O par dual deHowe



j=1 xj∂xj


∑nj=1 ∂

2xj

= −D2


2 id).


p† = 12 X 2 e q = E + n


p,p†]

= q,[q,p†

]= p†, [q,p] = −p.

12 / 19


Simetrias

Nelson Faustino



O par dual deHowe



j=1 xj∂xj


∑nj=1 ∂

2xj

= −D2


2 id).


p† = 12 X 2 e q = E + n


p,p†]

= q,[q,p†

]= p†, [q,p] = −p.

12 / 19


Simetrias

Nelson Faustino



O par dual deHowe



j=1 xj∂xj


∑nj=1 ∂

2xj

= −D2


2 id).


p† = 12 X 2 e q = E + n


p,p†]

= q,[q,p†

]= p†, [q,p] = −p.

12 / 19


Simetrias

Nelson Faustino



O par dual deHowe



j=1 xj∂xj


∑nj=1 ∂

2xj

= −D2


2 id).


p† = 12 X 2 e q = E + n


p,p†]

= q,[q,p†

]= p†, [q,p] = −p.

12 / 19


Simetrias

Nelson Faustino



O par dual deHowe



j=1 xj∂xj


∑nj=1 ∂

2xj

= −D2


2 id).


p† = 12 X 2 e q = E + n


p,p†]

= q,[q,p†

]= p†, [q,p] = −p.

12 / 19


Simetrias

Nelson Faustino



O par dual deHowe

Uma nova versao do Calculo de Landau-WeylD. Constales, N.F. & R.S. Kraußhar, J. Phys. A: Math. Theor. 44 135303 (2011)

Oscilador harmonico classico: H = 12 (−∆ + |x |2) = 1

2 (D2 − X 2)

Fatoracao alternativa do oscilador harmonico: Os operadoresD± = 1√

2(X ∓ D) satisfazem a propriedade D+D− + D−D+ = −2H.

Operador de Dirac esferico: Γ := −XD − E e um operadorradialmente independente, uma vez que [Γ,X 2] = 0.

Propriedades

Os operadores X ,D,E ,∆ e Γ satisfazem as seguintes relacoes:

XD + DX = −2E − nI, [E ,D] = −D, [E ,X ] = X[∆,X ] = 2D, XD = −E − Γ, [E , Γ] = 0

Γ = E + nI + DX , {Γ,X} = −(n + 1)X , {Γ,D} = −(n + 1)D,[E ,X 2] = 2X 2,

[Γ,X 2] = 0, [Γ,∆] = 0.

13 / 19


Simetrias

Nelson Faustino



O par dual deHowe



2 (D2 − X 2)




Propriedades




[Γ,X 2] = 0, [Γ,∆] = 0.

13 / 19


Simetrias

Nelson Faustino



O par dual deHowe



2 (D2 − X 2)




Propriedades




[Γ,X 2] = 0, [Γ,∆] = 0.

13 / 19


Simetrias

Nelson Faustino



O par dual deHowe



2 (D2 − X 2)




Propriedades




[Γ,X 2] = 0, [Γ,∆] = 0.

13 / 19


Simetrias

Nelson Faustino



O par dual deHowe


Simetrias em termos de superalgebras de Lie:

Os geradores p,p†,q, r, r† da forma

p = − 12 ∆, p† = 1

2 X 2, q = 12

(E + n

2 I)

r† = 12√

2iX , r = 1

2√

2iD

correspondem a uma representacao da algebra ortosimplectica deLie osp(1|2) = osp(1|2)par⊕

[·,·] osp(1|2)ımpar. As relacoes decomutacao sao dadas por[

r†,p†]

= 0,[r†,p

]= r, [q,p†] = p†[

r,p†]

= r†, [r,p] = 0, [q, r] = −r[p,p†

]= q,

[q,p†

]= p†, [q,p] = −p

Observacao: osp(1|2)par = sl(2,R).

14 / 19


Simetrias

Nelson Faustino



O par dual deHowe

Porque simetrias de Lie sao importantes?Funcoes Poli-harmonicas

Objetivo:

Determinar as solucoes da equacao ∆k f (x) = 0, para k ∈ N fixo.

Almansi (1899): f (x) e uma funcao da formaf (x) = fk−1(x) + |x |2fk−2(x) + . . .+ |x |2(k−1)f0(x), onde as funcoesfj (unicamente determinadas) sao solucoes nulas para o operadorde Laplace ∆.

Reformulacao do resultado de Almansi em termos de simetriasde Lie: Considerar a representacao p = − 1

2 ∆, p† = 12 |x |

2 eq = E + n

2 I de sl(2,R).

15 / 19


Simetrias

Nelson Faustino



O par dual deHowe


Objetivo:




2 ∆, p† = 12 |x |

2 eq = E + n

2 I de sl(2,R).

15 / 19


Simetrias

Nelson Faustino



O par dual deHowe


Objetivo:




2 ∆, p† = 12 |x |

2 eq = E + n

2 I de sl(2,R).

15 / 19


Simetrias

Nelson Faustino



O par dual deHowe

Par dual de HoweR. Howe, Trans. Amer. Math. Soc. 313 (1989), 539-570.

Espacos Invariantes: O espaco vetorial ker ∆k e invariante,segundo a acao do grupo SO(n), uma vez que o operador deLaplace ∆ e invariante segundo transformacoes ortogonais.

Espacos Irredutıveis: Os subespacos vetoriais da forma|x |2j ker ∆. Estes espacos sao invariantes, segundo a acao dogrupo SO(n), e irredutıveis segundo o par dual de Howe(SO(n), sl(2,R)).

Decomposicao de Fourier de ker ∆k : Determinada a partir do pardual de Howe (SO(n), sl(2,R)) como a soma direta

ker ∆k =k−1⊕j=0

|x |2j ker ∆,

envolvendo os subespacos invariantes e irredutıveis da forma|x |2j ker ∆.

16 / 19


Simetrias

Nelson Faustino



O par dual deHowe






|x |2j ker ∆,


16 / 19


Simetrias

Nelson Faustino



O par dual deHowe






|x |2j ker ∆,


16 / 19


Simetrias

Nelson Faustino



O par dual deHowe

Explicacao pictoria da decomposicao deFourier

A soma direta de subespacos⊕∞

k=0 ker ∆k pode ser interpretado como otriangulo infinito abaixo, no qual os subespacos da forma ker(∆)k

correspondem as colunas. Cada elemento do triangulo infinitocorresponde a acao de sl(2,R)× SO(n) sobre linhas e colunas.

{0} ker ∆ ker(∆)2 ker(∆)3 ker(∆)4 . . .

{0} ker ∆X2−→ X 2 ker ∆

X2−→ X 4 ker ∆

X2−→ X 6 ker ∆ . . .

↓ ∆ ↓ ∆ ↓ ∆ ↓ ∆

{0} ker ∆X2−→ X 2 ker ∆

X2−→ X 4 ker ∆ . . .

↓ ∆ ↓ ∆ ↓ ∆

{0} ker ∆X2−→ X ker ∆ . . .

↓ ∆ ↓ ∆{0} ker ∆ . . .

↓ ∆{0} . . .

. . .

17 / 19


Simetrias

Nelson Faustino



O par dual deHowe

Algumas consequencias da abordagemapresentada

1 A aplicacao de potencias iteradas de ∆, ∆k , permite-nosadicionalmente determinar operadores de projecao f 7→ Πk f taisque Πk f ∈ ker ∆k .

2 O resultado de Almansi pode ser reformulado em termos dossubespacos ker Dk & X j ker D (j = 1, 2, . . . , n), e por conseguinte,em termos das simetrias da superalgebra de Lie osp(1|2). (cf. N.F.& G. Ren (2011). Mathematical Methods in the Applied Sciences,34(16), pp.1961-1979).

3 Da construcao anterior, segue ainda que podemos construir osanalogos dos polinomios de Hermite, como sendo funcoes daforma Ψk (x) = 2−

k2 (X + D)k (Ψ(x)f (x)) f ∈ kerD, usando a

reformulacao do resultado de Almansi (cf. D. Constales, N.F. &R.S. Kraußhar, J. Phys. A: Math. Theor. 44 135303 (2011)). Estetipo de construcao corresponde, em mecanica quantica ao metodode separacao de variaveis.

18 / 19


Simetrias

Nelson Faustino



O par dual deHowe







18 / 19


Simetrias

Nelson Faustino



O par dual deHowe







18 / 19


Simetrias

Nelson Faustino



O par dual deHowe

Muito obrigado pela atencao!E pela oportunidade de falar no seminario da Posmat.

http://professor.ufabc.edu.br/∼nelson.faustino/19 / 19

http://professor.ufabc.edu.br/~nelson.faustino/

Documents

Nelson Faustino Func¸oes Especiais vs. Simetrias:˜ …professor.ufabc.edu.br/~nelson.faustino/Pesquisa/Slides/... · 2016-07-08 · Simetrias em termos de superalgebras de´ Lie