Aula. 05-06-07-08 - cap. 8 Simetrias

7/24/2019 Aula. 05-06-07-08 - cap. 8 Simetrias

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Captulo 8

Simetrias e Leis de Conservacao

8.1 Simetria em Mecanica Classica

8.1.1 Evolucao Temporal e Variaveis Cclicas

Na formulacao hamiltoniana da mecanica classica a descricao da dinamica e feita a partir dafuncao hamiltoniana H = H(pi, qi), ondeqi,i = 1, 2,...,N,sao as coordenadas generalizadase pi, os respectivos momentos conjugados a qi. A evolucao temporal das grandezas qi e pi egovernada pelas equacoes de Hamilton:

qi =H

pi , (8.1)

pi= H

qi, . (8.2)

Seja agora = (qi, pi, t) uma grandeza dinamica qualquer. Entao a partir das Eqs. (8.1)e (8.2) podemos facilmente obter a evolucao temporal de . De fato se denotarmos(t) =(qi(t), pi(t), t), entao

d

dt =

qiqi+

pipi+

t

=

qi

H

pi

pi

H

qi +

t,ou seja

= {, H} +

t, (8.3)

onde {, H} denota ocolchete de Poissonentre e H. Lembremos que o colchete de Poissonentre duas grandezas f e g quaisquer e definido pela relacao

{f, g} = f

qi

g

pi

f

pi

g

qi, (8.4)

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2 CAP ITULO 8. SIMETRIAS E LEIS DE CONSERVACAO

onde se subtende a soma sobre ndices repetidos. De particular interesse e o caso em que a

grandeza nao depende explicitamente do tempo, ou seja, = (qi, pi). Nesse caso a taxade variacao temporal de reduz-se simplesmente a

= {, H}. (8.5)

Podemos considerar a Eq. (8.5) como uma especie de equacao generalizada de Hamilton, daqual (8.1) e (8.2) sao casos especiais.

Suponha que uma dada coordenada generalizada qj nao esteja presente na hamiltonianaH, entao tal coordenada e dita cclica. Nesse caso, obviamente temos que o momento pjcanonicamente conjugado a qj e uma constante de movimento:

pj = Hqj

= 0,

visto que, por hipotese, H nao depende de qj.O fato de qj ser uma coordenada cclica nos diz ainda que a hamiltoniana e invariante

por translacoes ao longo da direcao qj :

H(pi, q1, . . . , q j+, . . . , q N) = H(pi, q1, . . . , q j, . . . , q N).

A igualdade acima e trivialmente satisfeita uma vez que H nao depende deqj . A invarianciade H por uma translacao da coordenada cclica qj representa, portanto, uma simetria do

sistema. Por outro lado, vimos que essa simetria implica uma lei de conservacao, a saber:pj = 0. A generalizacao desse resultado, simetria conservacao, e dada pelo teorema deNoether que veremos adiante.

Exemplo 8.1 (Potencial Central). Considere uma partcula de massa mmovendo sob acaode um potencial central V(r). A lagrangeana em coordenadas cartesianas e

L= T V

=1

2mv 2 V(r)

=12

m3

i=1

x2i V(r), r=

x12 +x22 +x32.

Nesse caso nao ha variaveis cclicas, uma vez que todas as coordenadas xi aparecem nadefinicao der. Entretanto, existirao variaveis cclicas se escolhermos um sistema de coorde-nadas mais apropriado. De fato, como V(r) so depende de r e conveniente trabalharmos emcoordenadas esfericas (r,,). Nesse caso a langangeana torna-se

L=1

2(r2 +r22 +r2 sin22) V(r).


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8.1. SIMETRIA EM MECANICA CL ASSICA 3

Os momentos canonicamente conjugados a (r,,) sao respectivamente

pr =L

r =mr,

p =L

=mr2,

p=L

=mr2 sin2 .

Da relacao H =piqi L, obtemos a hamiltoniana em coordenadas esfericas:

H = 12m

p2r+ p

2

r2 +

p2

r2 sin2

+V(r).

Vemos entao que e variavel cclica, logo p= 0, ou seja, p e conservado.

Na verdade, sabemos que no movimento sob acao de um potencial central nao apenaspmas o proprio vetor momento angular L= x p e conservado. Entretanto, a conservacao deLnao pode ser vista tao simplesmente como consequencia da existencia de variaveis cclicas,sendo necessario considerar simetrias mais gerais.

8.1.2 Transformacoes Canonicas e seus GeradoresConsidere transformacoes canonicas infinitesimais da forma

qi qi=qi+

g

pi, (8.6)

pi pi=pi

g

qi, (8.7)

onde e um parametro contnuo infinitesimal: 1. Claramente a transformacao acima ecanonica, pois

{qi, pi} = {qi, pi} +

g

pi, pi

gi,

g

qi

+ O(2)

= {qi, pi} + O(2),

visto que os termos entre colchetes se cancelam. Dizemos entao que a grandeza g(qi, pi) e ageradora da transformacao. A razao dessa terminologia ficara clara adiante.

Isso significa que uma transformacao por uma variacao finita do parametro pode serconseguida por sucessivas (infinitas) aplicacoes da transformacao infinitesimal.


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Seja (qi, pi) uma grandeza fsica arbitraria. Vamos denotar por a variacao de apos

a transformacao (8.6) e (8.7). Ou seja, formalmente temos

(qi(qi, pi), pi(qi, pi)) (qi, pi)

=(qi+qi, pi+pi) (qi, pi),

onde temos qi =g/pi e pi =g/qi, de acordo com (8.6) e (8.7). Da defini cao acimapara segue que

=

qiqi+

pipi

=

qi

g

pi

pi

g

qi .

Donde vemos que

= {, g}. (8.8)

Por conveniencia de notacao vamos denotar por a nova forma da grandeza apos atransformacao infinitesimal acima, ou seja,

= + = +{, g}.

Isso pode ser escrito de forma mais compacta em nota cao de operador

= [ +{, g}], (8.9)

onde denota o operador identidade e {, g} e o operador colchete de Poisson definido por

{, g}f= {f, g}.

Se aplicarmos n vezes a transformacao (8.9) temos

n= ( +{, g})n . (8.10)

Vamos agora tomarmos o limite duplo n e 0, de tal forma que

= n

resulta finito. Nesse caso podemos reescrever (8.10) como

=

+

n{, g}

n.


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Usando a identidade

limn

1 +a

nbn

=eab

segue entao que

= e{,g}. (8.11)

Vemos assim que uma transformacao finita pode ser gerada pela funcao g usada para definira transformacao infinitesimal (8.6) e (8.7). Por essa razao, como antecipado, a funcao g edita a geradora da respectiva transformacao.

Mais formalmente, vamos representar pelo operadorTg a transformacao gerada porg emque o parametro da transformacao varia de um valor finito , isto e,

Tg [] (qi, pi) =(Tg(qi, pi)). (8.12)

Como mostramos acima o operador Tg e dado por

Tg [] =e{,g}. (8.13)

A identidade acima nos mostra como obter formalmente a nova forma da grandeza atravesda atuacao de um operador na funcao original, isto e, sem necessariamente implementardiretamente a mudanca de coordenada indicada em (8.12). Alguns exemplo ilustram melhoresse ponto.

Exemplo 8.2(Translacao Espacial). Considere uma translacao infinitesimal descrita pelatransformacao

x x =x +

p p =p

Da comparacao com (8.6) e (8.7) temos g/p = 1g/x = 0

g(x, p) =p.

Donde conclumos que o gerador da translacoes espaciais e o momento linear p. Vamos agora

denotar por TR uma translacao finita de R. De acordo com (8.12) e (8.13) temos

TR[(x, p)] =eR{,p}(x, p)

Mas

{, p} =()

x

p

p

()

p

p

x

=

x,


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logo

TR[(x, p)] = exp

Rx

(x, p),

ou seja,

eR

x (x, p) =(x+R, p).

No Cap. 2 essa identidade havia sido demonstrada pelo metodo direto, qual seja, expandindoambos os lados em serie de Taylor e verificando a igualdade termo a termo. O metododescrito acima, alem de ser mais simples, mostra-se bem mais geral pois aplica-se a qualquertransformacao obtida a partir de uma dada funcao geradora g.

Exemplo 8.3 (Rotacoes). Considere uma rotacao em torno do eixo zdefinida por

x x =R(z)x,

onde R(z) e a matriz de rotacao em torno do eixo z

R(z) =

cos sin sin cos

. (8.14)

Se fizermos uma rotacao de um angulo infinitesimal , teremos

x =R(z)x= 1

1

x

y

ou seja,

x =x y (8.15)

y =y +x. (8.16)

Da comparacao com a TCI definida em (8.6), concluimos que

g

px= y,

g

py=x,

que apos integracao nos dag=xpy ypx=Lz.

onde Lz denota a componente z do momento angular L. Vemos portanto que o momentoangular e o gerador das rotacoes. Note ainda que os momentos px e py devem mudar deacordo com (8.7), logo

px =px py

py =py+px.


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Em outras palavras, ao aplicarmos uma rotacao nas coordenadas x, o momento deve variar

da mesma forma que o vetorx. Esse resultado era esperado, ja quep e uma grandeza vetorial.Vamos agora denotar por T a operacao de rotacao em torno do eixo zde um angulo :

T[(x)] =(R(z)x).

Como o gerador das rotacoes (em torno do eixo z) e o momento angular Lz, segue entao que

T[(x)] =e{ ,Lz}(x).

Mas

{ , Lz} =()

x

Lzpx +

()

y

Lzpy

()

px

Lzx

()

py

Lzy

= y

x+x

ypy

px+px

py.

Como a funcao (x) de interesse nao depende de p,basta considerar as derivadas em x e y,donde conclumos que

{ , Lz} =x

y y

x= (x )z,

logo

T[(x)] = exp{(x )z}(x) =(R(k)x) (8.17)

Como a escolha do eixo z acima foi completamente arbitraria, segue que o resultadoacima vale para qualquer direcao. Assim, conclumos que as rotacoes em torno de umadirecao definida pelo versorntem como funcao geradora a componente de momento angularL na direcao den, isto e,

g= Ln n L.

E por analogia com o caso anterior temos

{ , Ln} = (x )n=n (x ),

donde segue que as rotacoes finitas em torno do eixon sao dadas por

T[(x)] = exp{ (x )}(x), (8.18)

ou seja,

e(x)(x) =(R()x), (8.19)

onde introduzimos a notacao = n.


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Exemplo 8.4 (Translacao Temporal). Consideremos agora uma translacao temporal,

onde temos a seguinte transformacao: qi(0) qi(t) e pi(0) pi(t). Para obter a funcaogeradora dessa transformacao analisemos sua versao infinitesimal:

qi(0) qi = qi(0) +dq, dq = qdt = dtH

p

pi(0) pi = qi(0) +dq, dp= pdt= dtH

q

Comparando com (8.6) e (8.7) vemos entao que a hamiltoniana H e a geradora das translacoestemporais. De acordo com (8.8), a variacao d de uma grandeza (qi, pi) sob essa trans-

formacao infinitesimal dt serad=dt{, H},

recuperando assim a equacao de Hamilton generalizada (8.5). Denotando(t) =(qi(t), pi(t)),segue de (8.13) que uma translacao finita de um tempo t sera dada por

Tt[(0)] =et{ ,H}((qi, pi)) =(t).

8.1.3 Teorema de Noether

Teorema 8.1 (Teorema de Noether). Suponha que a hamiltonianaH seja invariante pelatransformacao gerada porg, ou seja,

H ={H, g} = 0. (8.20)

Entao segue queg e uma grandeza conservada:

dg

dt = 0.

O inverso tambem e verdade: se g e uma grandeza conservada entao a hamiltoniana e

invariante pelas transformacoes geradas porg.

Demonstracao. Basta fazer =g em (8.5) e usar (8.20) para verificar que g= 0. De modoanalogo, se g= 0 entao concluimos de (8.5) que {H, g} = 0, logo H = 0.

Em resumo, o teorema de Noether na versao hamiltonmiana nos diz que

H= 0 dg

dt = 0.


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8.2. TRANSFORMACOES DE SIMETRIA EM MECANICA QUANTICA 9

8.2 Transformacoes de Simetria em Mecanica Quantica

8.2.1 Tranformacoes Ativas

Considere uma transformacao ativa em que que os vetores |V sao levados em novos vetores|V :

|V =U|V, (8.21)

onde U e um operador unitario: UU = 1. Na transformacao acima, supomos que os osvetores |ei da base nao sao alterados. Denotando por va representacao do vetor |V na base|ei, ou seja, vi =ei|V , temos que em termos das componentes do vetor a transformacao

(8.21) le-sev = Uv, (8.22)

onde a matriz U e a representacao do operador Una base |ei:

Uij = ei|U|ej .

(Por questao de clareza da notacao, e conveniente aqui diferenciarmos vetores e operadoresda suas representacoes na base dada.)

Como um exemplo, suponha que Ucorresponda a uma rotacao uma rotacao ativa de umangulo em torno do eixo z. Nesse caso, escrevemos

U=R(z), (8.23)

onde R(z) denota o operador de rotacao ativa de um angulo em torno do eixo z, cujarepresentacao R(z) e dada pela matriz de rotacao (8.14).

Vamos agora analisar como mudam os operadores sob uma transformacao ativa. Seja uma operador definido por:

|W = |V. (8.24)

Entao sob a transformacao (8.21), temos

|W =U|W =U|V =UUU|V, (8.25)

ou seja,

|W =UU|V . (8.26)

Vamos considerar que U seja uma transformacao de simetria, significando que essa trans-formacao atuando nos vetores deixa as relacoes entre eles inalterada. Entao devemos ter

|W = |V , (8.27)


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onde

=UU. (8.28)

A relacao acima nos diz como o operador muda sob a transformacao U. Em particular,os operadores e possuem, por construcao o mesmo espectro de autovalores. De fato,sejam |i os autovetores de com respectivos autovalores i:

|i =i|i. (8.29)

Sob a transformacao U os autovetores |i sao levados em

|i =U|i. (8.30)

Entao

|i =UU|i (8.31)

=UUU|i (8.32)

=U|i (8.33)

=iU|i (8.34)

=i|

i. (8.35)

Em mecanica quantica, uma observavel fsica e representada por um operador e ospossveis valores obtidos em uma medida dessa observavel sao os autovalores de . Nessecontexto, uma transformacao ativa representaria uma mudanca do sistema fsico em questao.Por exemplo se U representa uma rotacao, entao a transformacao ativa corresponderia arotacionar o sistema e os equipamentos usados para realizar a medida da observ avel. Ooperador corresponderia a mesma observavel fsica apos a rotacao. Se antes da rotacaofor medido um valor i para a observavel, entao apos a rotacao do sistema o mesmo deveencontrar-se em um autoestado |i de

com o mesmo autovalori. (Aqui estamos supondo

que a transformacao do sistema em nada interfere com seu estado, logo uma medida daobservavel antes e depois da transformacao deve reproduzir o mesmo valor i.)

Em resumo, uma transformacao ativa pode ser descrita pelas seguintes relacoes:

|e i = |ei (8.36a)

|V =U|V (8.36b)

=UU, (8.36c)

onde deixamos claro que os vetores da base nao sao afetados pela transformacao.


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8.2.2 Tranformacoes Passivas

Em uma transformacao passiva os vetores e operadores permanecem inalterados, havendoapenas uma transformacao dos vetores da base. Fisicamente, isso significa que o sistemafsico nao sofre qualquer transformacao de fato, mudando apenas o referencial usado paradescreve-lo. Mais especificamente, uma transformacao passiva e descrita pelas equacoes

|e i =U|ei (8.37)

|V = |V (8.38)

= . (8.39)

Embora os vetores e operadores nao sejam afetados pela transformacao, obviamente mudamas suas representacoes (pois mudou a base). Por exemplo, se denotarmos por v e v asrepresentacoes do vetor |V nas bases antiga e nova, respectivamente, entao temos

v = Uv. (8.40)

Da mesma forma, se M for a representacao matricial do operador na base |ei, isto e,

Mij = ei||ej ,

entao na nova base |e i o operador sera representado pela matriz M, onde

M = UMU. (8.41)

Isso significa, em particular, que se w= Mv, entao w =Mv , mostrando que uma mudancade base e uma transformacao de simetria.

Os dois tipos de transformacao, ativa e passiva, sao completamente equivalentes, nosentido de que uma e o inverso da outra. Isso pode ser facilmente ilustrado no caso derotacoes: rotacionar os vetores de no sentido anti-horario corresponde a rotacionar oseixos coordenados de no sentido horario. Em outras palavras, uma transformacao ativaU e equivalente a uma transforma passiva U. Fazendo U U em (8.40), vemos que as

componentes de |V na nova base sao dadas por

v = Uv, (8.42)

que e identica a (8.22). Em outras palavras, as componentes do novo vetor |V na baseoriginal apos uma transformacao ativa sao as mesmas componentes do vetor original |Vna nova base da transformacao passiva equivalente. O mesmo valendo para operadores.Em mecanica quantica, um terceiro tipo de transformacao tambem desempenha um papelimportante, sao as chamadas transformacoes canonicas.


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8.2.3 Tranformacoes Canonicas

Considere uma transformacao U que atua sobre todos os vetores do espaco, incluindo osvetores da base:

|Vn =U|Vo (8.43)

|e i =U|ei. (8.44)

Por conveniencia, usamos subscritos o e n para indicar os vetores originais e novos, respec-tivamente, ao passo que os novos vetores da base sao denotados por linha. Observe queno contexto de rotacoes, a transformacao acima corresponderia a rotacionar os vetores e oseixos de coordenadas ambos no mesmo sentido. Temos agora a possibilidade de representar

a acao da transformacao U nao apenas em termos da base original, como feito no caso deuma transformacao ativa pura, mas tambem em termos da base co-transformada, como sefaz em uma transformacao passiva. Especificamente, nosso interesse e comparar a descricaodo vetor transformado na base original com a sua descricao na base co-transformada. Comoa base transforma-se juntamente com os vetores, e natural esperar que as coordenadas donovo vetor na nova base sejam as mesmas do vetor original na base original.

Para ver isso, denotemos por vn e v

n as componentes do novo vetor |Vn nas basesoriginal e nova, respectivamente. Da mesma forma, denotamos por vo a componentes dovetor original |Vo na base original. As novas coordenadasv

n de |Vn relacionam-se com as

suas coordenadasvnna base original de acordo com a relacao (8.40) para uma transformacao

passiva, ou seja,

v n= Uvn. (8.45)

Por outro lado, as coordenadas vn do vetor transformado |Vn relacionam-se com as coorde-nadasvo do vetor original |Vo (ambas na base original) de acordo com a relacao (8.22) paratransformacoes ativas:

vn= Uvo. (8.46)

Combinado (8.45) e (8.46), obtemos

v n= UUvo

=vo, (8.47)

confirmando o resultado antecipado acima: as coordenadas do vetor transformado na baseco-transformada sao as mesmas do vetor original na base original.

Em resumo, nos temos duas representacoes alternativas para a descricao da transformacaoUsobre vetores, uma na base original e a outra na base co-transformada, sendo a mudan caentre essas representacoes obtida via (8.45). Podemos expressar as relacoes acima em termosde vetores abstratos sem fazer referencia a uma base. Para tanto, vamos denotar por |Vn a


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representacao co-transformada do vetor |Vn. Assim podemos reescrever (8.45) e (8.47) na

forma

|Vn =U|Vn, (8.48)

|Vn = |Vo. (8.49)

A notacao nesse caso torna-se um pouco confusa e merece explicacao: kets com mesmo subs-crito representam o mesmo vetor, ao passo que kets com subscritos distintos correspondema vetores distintos (sendo um o transformado do outro). Por exemplo, os kets |Vn e |Vndenotam o mesmo vetor em representacoes (bases) diferentes. Sendo assim, a igualdade(8.49), por envolver kets com subscritos distintos, deve ser entendida no contexto de coor-

denadas: os vetores|V

n e |Vo, quando expressos nas respectivas bases, possuem as mesmascoordenadas.Calculemos agora os elementos de matriz de um operador entre vetores transformados

na representacao original

Wn||Vn =

Wo|UU|V0

=

Wn|UU|Vn

= Wn|

|Vn , (8.50)

onde

=UU. (8.51)

A relacao (8.51) nos da a regra de transformacao entre operadores nas duas representacoes.Mais corretamente, essa relacao deve ser entendida como uma equacao vetorial analoga aEq. (8.41). Note ainda que a relacao (8.51) implica que comutadores sao preservados:

[, ] = [, ]. (8.52)

Por isso, a transformacao definida em (8.48), (8.49) e (8.51) e dita ser uma transformacaocanonica.

Vimos que os elementos de matriz na nova representacao podem ser calculados da mesma

forma que na representacao original, desde que usemos tanto os vetores quanto os operado-res na nova representacao. Em outras palavras, uma transformacao canonica e uma trans-formacao de simetria. De fato, a transformacao canonica definida acima representa umamera mudanca do sistema de coordenadas escolhido para realizar o calculo dos elementosde matriz. Algo semelhante ao que acontece em mecanica classica quando optamos por umou outro sistema de coordenadas (por exemplo, esferico ou cartesiano). Se os calculos saofeitos corretamente os resultados independem da escolha do sistema de coordenadas. Vere-mos adiante que a evolucao temporal em mecanica quantica pode ser formulada como umatransformacao canonica, correspondendo as representacoes de Schrodinger e Heisenberg.


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8.3 Transformacoes Espaciais

As transformacoes espaciais de simetria que nos interessam sao translacoes e rotacoes. En-tretanto, vamos fazer primeiramente uma discussao geral, para depois particularizar paraesses dois casos. Considere uma transformacao do sistema de coordenadas espaciais em que

x x = U(x). (8.53)

Aqui vamos adotar o ponto de vista ativa em que a transformacao atua sobre o sistema fsico.Se o sistema encontrava-se no estado |, entao apos a transformacao o mesmo sera descritopor um novo vetor | . Por definicao, o valor da funcao de onda (x) = x| no ponto xsera transportado para o ponto x . Em outras palavras, a funcao de onda (x ) = x |

no ponto x sera

(x ) =(x), (8.54)

ou seja,

(x ) =(U1x ). (8.55)

Como a expressao acima vale para qualquer ponto x , podemos reescreve-la como

(x) =(U1x). (8.56)

Definimos agora o operador Uque efetua a transformacao acima de tal modo que o mesmoatuando em resulta no novo vetor :

| =U|, (8.57)

Vamos agora analisar a atuacao do operador Una base de coordenadas |x. Projetando(8.57) na base |x obtemos

(x) = x| = x|U| ,

que comparada com (??) resulta

x|U| =U1x|

, (8.58)

ou seja

U[(x)] =(U1x), (8.59)

onde por U[(x)] entenda-se a acao do operador Una base |x:

U[(x)] x|U| (8.60)


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8.3. TRANSFORMACOES ESPACIAIS 15

Como (8.58) vale em geral, segue que a atuacao de Usobre um bra x| e tal que

x|U= U1x|, (8.61)

ou seja,

U|x = |U1x, (8.62)

ou ainda,

U|x = |Ux, (8.63)

onde usamos a unitariedade de U. A Eq. (8.63) e, portanto, equivalente a (8.56) e definea transformacao U em termos da sua acao nos kets x. Em outras palavras, poderamoster partido de (8.63) e, revertendo a ordem dos passos acima, chegar a (8.55). Dada entaouma transformacao U, definida atraves de (8.55) ou (8.63), precisamos encontrar a formado operadorUque efetua esta transformacao, para assim estudar sua acao sobre operadorescomo mostrado em (8.28). Para prosseguir, precisamos especificar a transformacao desejada.Iniciaremos com translacoes espaciais.

8.3.1 Translacoes Espaciais

Como primeiro exemplo de uma transformacao de simetria relevante em mecanica quantica,vamos considerar as translacoes espaciais. Primeiramente precisamos definir o que se en-tende por uma translacao nesse contexto. Adotando o ponto de vista ativo, teramos umatranslacao do sistema (e de todo o aparato para realizar medidas no sistema) para uma novaposicao, de modo que cada ponto do espaco x e levado em um novo pontox tal que:

x x = TRx= x+R. (8.64)

Podemos entao definir o operador Uassociado a essa translacao atraves de (8.63) que nessecaso resulta

TR|x = |TRx = |x+R. (8.65)

Alternativamente, temos que a acao de U sobre vetores |,

|R =U|, (8.66)

deve ser como dado em (8.56):

R(x) =(T1x) =(x R),


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ou seja,

TR[(x)] =(x R). (8.67)

Para obtermos a forma do operador TR consideremos inicialmente uma translacao infini-tesimal:

T[(x)] =(x )

=(x) d

dx(x) +O(2)

(x) i

i

d

dx

(x).

Vemos entao que

T= i

P, (8.68)

onde P e o operador momento linear

P =

i

d

dx.

Em face de (8.68), o momento linear P e dito ser o gerador das translaccoes espaciais,

conforme discutiremos na proxima secao. Sob essa transformacao infinitesimal um operador transforma-se como descrito em (8.28), logo

=TT

(8.69)

=

i

P

+i

P

(8.70)

+i

[, P], (8.71)

donde concluimos que

= i

[, P], (8.72)

Em particular, fazendo = X, temos

X= , (8.73)

ou seja, sob uma translacao infinitesimal o operador posicao Xmuda para

X X= X . (8.74)


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8.3. TRANSFORMACOES ESPACIAIS 17

8.3.2 Rotacoes

Conforme discutimos anteriormente, uma rotacao ativa em torno do eixo z corresponde aseguinte mudanca de coordenadas:

x x = R(z)x, (8.75)

onde R(z) e a matriz de rotacao em torno do eixo zdada em (8.14). Repetindo os passosrealizados acima para o caso das translacoes, podemos facilmente obter a forma do operadorde rotacao, a ser denotado por R(z). O leitor pode facilmente verificar que a acao de Rsobre uma funcao de onda (x) e tal que

(x) =Rz[(x)] =(R1(z)x), (8.76)

onde

R1(z) = R(z). (8.77)

Considerando agora uma rotacao infinitesimal de um angulo em torno do eixo z, temos

R(z)x= x +(z x), (8.78)

como pode ser facilmente verificado. Comoz e uma direcao arbitraria, segue que a relacaoacima vale em geral. Ou seja, em uma rotacao infinitesimal de um angulo em torno doeixo definido pelo versor n, temos

R(n)x= x +(n x), (8.79)

donde segue de (8.76) que

Rn[(x)] =(x n x), (8.80)

Expandindo em serie de Taylor o lado direito de (8.80), obtemos

Rn[(x)] =(x) [n (x )](x), (8.81)

donde conclumos que

Rn = i

(n L), (8.82)

onde L= X P e o operador momento angular. Isso indica que L e o gerador das rotacoes.


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8.4 Transformacoes Unitarias e seus Geradores

Vamos agora generalizar o resultado da secao anterior para transformacoes unitarias ar-bitrarias. Seja entao S uma transformacao unitaria parametrizada por um parametrocontnuo , sujeita a condicao S0 = . Na versao ativa, essa transformacao atuando so-bre um vetor | gera um novo vetor | :

| =S|. (8.83)

Considerando uma transformacao infinitesimal, temos

S = i

G, (8.84)

onde G e dito o gerador da transformacao e deve ser hermitiano para S ser unitario:

G =G S S= + O(2).

Entao sob essa transformacao um operador altera-se segundo a regra

=SS =

i

G

+i

G

= +

i

[, G],

ou seja

= i

[, G]. (8.85)

Uma transformacao por um valor finito do parametro pode ser obtido como discutidoanteriormente para o caso classico, basta exponenciar (8.84):

S = limn

i

G

n= lim

n

i

nG

n

ou seja

S= eiG/. (8.86)

Um operador sob essa transformacao finita e levado em

= SS,

isto e,

=eiG/eiG/. (8.87)


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8.5. EVOLUCAO TEMPORAL COMO UMA TRANSFORMACAO UNIT ARIA 19

Exemplo 8.5. Consideremos novamente as translacoes espaciais. Nesse caso o operador

de translacao infitesimal T e dado (8.68), donde concluimos, por comparacao com (8.84),que G= P, mostrando que o momento linear P e de fato o gerador das translacoes, comoantecipado. O operador TR correspondendo a uma translacao finita de Rsera, portanto, daforma

TR=e i

RP.

Sob essa translacao, um operador transforma-se como

R= TRT

R=eiRP/eiRP/.

Em particular se (X, P),pode-se mostrar que

R= (X R , P).

Exemplo 8.6. Considere agora o caso de rotacoes. Como o gerador das rotacoes e o mo-mento angular, vide (8.82), segue que o operador de rotacao de um angulo em torno dadirecao definida pelo versor n e

Rn=e i

nL, (8.88)

de modo que

Rn(x) =e i

nL(x) =(R(n)x), (8.89)

onde R(n) e a matriz de rotacao definida na Sec. 8.3.2.

8.5 Evolucao Temporal como uma Transformacao Unitaria

8.5.1 Translacao Temporal

A evolucao temporal de um estado quantico |(t) e descrito pela equacao de Schrodinger:

i| =H|

||t=0= |(0)

Considere agora uma evolucao temporal por um perodo infinitesimal = dt. Entao ooperador responsavel por essa transformacao deve ser tal que

|(0) |(dt) =U(dt)|(0) = |(0 +dt).

Expandindo em primeira ordem em dt e usando a equacao de Schrodinger, encontramosfacilmente que

U(dt) = idt

H, (8.90)


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donde concluimos que G= H, ou seja, o hamiltoniano H e o gerador das translacoes tem-

porais. De (8.86), obtem-se imediatamente que o operador de translacoes temporais finitase

U(t) =eitH/. (8.91)

Assim podemos expressar o ket |(t) em termos do ket inicial atraves da transformacaounitaria

|(t) =U(t)|(0). (8.92)

8.5.2 Representacoes de Schrodinger e Heisenberg

Vimos acima que a evolucao temporal |(t) pode ser interpretada como uma transformacaoativa do estado |(0) para o estado |(t), transformacao essa que e obtida pela aplicacaodo operador evolucao temporal ou propagadorU(t) dado em (8.91). Essa representacao, usu-almente adotada, e conhecida como a representacao de Schroodingerda mecanica quantica.

Outra representacao alternativa para evolucao temporal, chamada de representacao deHeisenberg, consiste em considerar uma transformacao canonica em que tanto o vetor comoa base sao afetados por U(t). Vimos em (8.49) que nesse caso o vetor |nao se altera pelatransformacao, logo

|(t) = |(0).

Os operadores, contudo, passam a depender do tempo, tendo sua evolucao temporal deter-

minada por (8.51), ou seja,(t) =U(t)U(t) (8.93)

=U(t)(0)U(t), (8.94)

onde usamos que (0) = , uma vez que em t = 0 as duas representacoes coincidem,pois U(0) =

. Aqui consideramos por simplicidade que o operador original nao dependeexplicitamente do tempo. Mais geralmente, podemos representar a evolucao temporal apartir de um tempo t0 qualquer (nao necessariamente igual a zero):

|(t) =U(t, t0)|(t0), (8.95)

(t) =U(t, t0)(t0)U(t, t0), (8.96)

onde (t0) = . Por conveniencia de notacao, vamos eliminar a linha daqui para frente,ficando subtendido que ao escrevermos (t) estamos nos referindo a representacao de Hei-senberg. Nessa representacao, o operador (t) vai evoluir no tempo de acordo com

= U(0)U+U(0) (8.97)

= 1

i{HU(0)U+U(0)UH} (8.98)

= 1

i{H(t) + (t)H}, (8.99)


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8.6. SIMETRIAS E LEIS DE CONSERVACAO 21

onde da primeira para a segunda linha usamos a equacao

iU=U H,

a qual pode ser facilmente obtida da equacao de Schrodinger. Temos entao que (8.99) podeser escrita mais compactamente como

= 1

i[, H], (8.100)

que nos da a equacao de movimento para operadores na representacao de Heisenberg. Com-pare com a evolucao temporal de uma grandeza (xi, pi) classica:

= {, H}.

8.6 Simetrias e Leis de Conservacao

Considere uma transformacao ativa contnua S com gerador G, de modo que para umatransformacao infinitesimal S temos

S = i

G, (8.101)

Suponha que o hamiltoniano Hseja invariante por essa transformacao ou seja,

H= 0. (8.102)

Mas como

H=[G, H], (8.103)

conclumos que

[G, H] = 0. (8.104)

Temos, portanto, que se H for invariante pela transformacao ele comuta com o gerador evice-versa: H= 0 [G, H] = 0. Dizemos entao que o o operador G e o gerador de umasimetria de H. Inserindo (8.104) na equacao de movimento de Heisenberg (8.100) resulta

G= 1

i[G, H] = 0

logoG= 0,

ou seja, a observavel G e uma grandeza conservada ou uma constante de movimento. Temosentao um importante resultado: se o hamiltoniano for invariante por uma transformacaogerada pelo operador G, entao G e uma constante de movimento. O contrario tambem everdadeiro: toda grandeza conservada gera uma transformacao que deixa o hamiltonianoinvariante.


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Exemplo 8.7. Se Hfor invariante por translacao, entao o momento linear P e uma constante

de movimento, pois vimos que P e o gerador das translacoes espaciais. Por exemplo, ohamiltoniano de uma partcula livre e obviamente invariante por translacoes, nao sendo poissurpresa que a partcula nesse caso tenha um valor bem definido (constante) do momentolinearp, como vimos no Cap. 5. Por outro lado, no caso em que Hfor invariante por rotacoesem torno de um eixo n, entao a componente de momento angular Ln =n Lao longo dessadirecao e conservada pela dinamica, dado que Ln e o gerador das rotacoes em torno de n.Problemas com invariancia rotacional serao discutidos em detalhe no proximo captulo nocontexto de potenciais centrais.

Uma consequencia importante da lei de conservacao acima e que se em t = 0 o sistemaestiver em um autoestado |gdo operador G, isto e,

|(0) = |g , onde G|g =g|g

entao o estado |(t) permanece um autoestado de |gcom o mesmo autovalor g .De fato,

G|(t) =GU(t)|(0) =U(t)G|(0)

=gU(t)|(0) =g|(t),

onde usamos que G comuta com U(t), uma vez que G comuta com H.Note ainda que se |n for um autoestado de energia En, ou seja,

H|n =En|nentao o vetor S|n tambem e autoestado com a mesma energia:

H(S|n) =SH|n =En(S|n)

uma vez que S comuta com H.[S, H] = 0.

Assim seS|n e |n forem estados distintos, vemos que o nvel de energia En e degenerado.Isso ilustra um importante resultado, qual seja, que a existencia de degenerescencia, emgeral, e um indicativo de simetria no sistema.

8.7 Simetrias Discretas

Como sabemos da nossa experiencia em geometria, certos sistemas (i.e., objetos) possuemsimetrias discretas, no sentido de que o parametro que define a transformacao, sob a qualo objeto e invariante, somente pode assumir valores discretos. Por exemplo, um trianguloequilatero e invariante por rotacoes (em torno do centro) de 1200,2400 e 3600.Por outro lado,um crculo e invariante sob rotacao de qualquer angulo [0, 2].Em mecanica quantica,algumas simetrias discretas tambem sao muito importantes.


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8.7. SIMETRIAS DISCRETAS 23

8.7.1 Paridade

Uma transformacao de paridade em mecanica classica e definida como a inversao do vetorde coordenadasxsob a transformacao acima. Por exemplo, para o momento:

p paridade p.

Por outro lado, tensores de segunda ordem, i.e., matrizes, s ao invariantes por paridade

Mij paridade Mij .

Isso decorre do fato de que a acao de um vetor gera um vetor, ou seja u= Mv e um vetor,logo

u u= M

(v) u= M

v

M M =M.

Pode se mostrar ainda que o produto vetorial de dois vetores

c= a b

corresponde, no fundo, a uma representacao compacta de um tensorab. Sendo assim, gran-dezas do tipo produto vetorial sao invariantes sob transformacao de paridade

(a b) a b.

Em particular, vemos que o momento angular L= x p e invariante por paridade

L L.

Grandezas vetoriais que nao muda de sinal sob paridade sao ditos pseudo-vetores, ja que, naverdade, eles nao sao propriamente vetores mas tensores de segunda ordem travestidos devetores.

Em mecanica quantica, definimos o operador de paridade pela sua atuacao na base|x:

|x = | x.

O operador paridade definida acima e hermiteano, como pode ser facilmente demonstrado.Tomando o dual da relacao acima, projetando em um ket |x e usando a definicao de operadoradjunto, obtemos

x||x = x||x

= x| x

= x|x

= x| x

= x||x,


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onde da terceira para a quarta linha usamos que x|x = x| x. (Verifique isso.) Como

a identidade acima vale para quaisquer xe x, segue que

= . (8.105)

A partir da propriedade acima, obtemos que a acao de sobre um vetor |sera

x|| =

x|

= x| = x| =(x),

ou seja,

[(x)] =(x).

Em particular, temos que

x||p = x|p = exp{ip x/} = exp{i(p) x/} = x| p

logo

|p = | p.

Por outro lado, se |lz for autovetor do momento angular Lz, entao veremos no proximocaptulo que

|lz = |lz

Vamos agora mostrar que e unitario. Aplicando duas vezes, obtemos

2|x = (|x) = (| x) = | (x) = |x

logo

2 =

. (8.106)

Combinando (8.105) e (8.106) resulta

= , (8.107)

como desejado. Alem disso, pode-se facilmente mostrar que o operador paridade possui ape-nas 1 como autovetores. Em resumo, o operador paridade possui as seguintes propriedades:

i) e hermitiano e unitario: = = 1

ii) Os autovetores de sao 1.


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8.7. SIMETRIAS DISCRETAS 25

Os autovetores com autovalor +1 (1) sao ditos terem paridade par (mpar). Se |for

autovetor com paridade par/mpar entao

| = | (x) =(x)

| = | (x) = (x)

Ou seja, vetores de paridade par (mpar) sao representados na base {|x} por funcoes deonda (x) par (mpar).

O mesmo valendo para a funcao de onda na base |p :

(p) (p) =(p)

(p) (p) = (p)

Sob uma transformacao de paridade (na interpretacao ativa) o operador X mudaatraves da relacao

X = X = X, (8.108)

como pode ser facilmente verificado. E da mesma forma para P:

P= P = P.

Assim temos queX = X [, X]+ = 0

P = P [, P]+= 0

onde [, ]+ = + denota o anti-comutador. Note porem que como |lz e invariantesob temos que

L()z = Lz = {(x) (p)}z =Lz,

Lz = Lz [, Lz] = 0.

Assim dizemos que uma observavel e invariante por paridade se

[, ] = 0

Em particular o hamiltoniano H sera invariante se

[, H] = 0.

Por outro lado, sob paridade H(X, P) torna-se

H(X, P) =H(X, P) =H(X, P)


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Assim, se Hfor invariante sob paridade

H(X, P) =H(X, P) H(X, P) =H(X, P)

que e o que esperavamos como condicao para definir invariancia de H(X, P) por paridade.Segue ainda que se [, H] = 0, entao existe uma base de autoestados comuns a H e .

Em particular, os autoestados de energia nao degenerados possuem paridade bem definida:as autofuncoes E(x) sao pares ou mpares.

Exemplo 8.8 (Partcula na caixa (L/2, L/2)).

n(x) =

2

L

sin nL

x , n par : n(x) = n(x)2L

cos

nL

x

, n mpar : n(x) =n(x)

Assim em geral:

n(x) = (1)n+1n(x).

Como discutido anteriormente no caso geral, se comecarmos em t = 0 com o sistemaem um autoestado |(0) com uma dada paridade, entao se Hfor invariante por paridade,|(t) tera a mesma paridade inicial. Ou seja, uma funcao de onda inicialmente par (mpar)assim o permanece para qualquer tempo t.

Exemplo 8.9 (Oscilador harmonico). Como discutimos no captulo 6, as autofuncoes |ndo oscilador harmonico tem paridade (1)n,ou seja,

n(x) = (1)nn(x) , n= 0, 1, 2, . . .

Em particular vimos que o estado fundamental 0(x) e par e o primeiro estado excitado empar, e assim sucessivamente.

Paridade de Operadores Operadores que comutam com o operador de paridade sao ditos operadores pares,

pois nesse caso o operador e invariante por paridade. Isto e, se e par

= = [, ] = 0.

Operadores que pegam um sinal de menos sob paridade sao ditos operadores mpares.Se for mpar, entao

= = [, ]+= 0.

Operadores que nao satisfazem nem uma nem outra condicao sao operadores semparidade definida.


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8.8. EXERC ICIOS 27

Regras de Selecao

Se e um operador par entao os elementos de matriz sao nulos entre vetores deparidade oposta.

demonstracao. Se | = |, | = e e par, entao

|| = || = |(|) = ||

|| = 0.

Similarmente, os elementos de matriz de um operador mpar entre vetores de mesmaparidade sao nulos.

Violacao de ParidadeTodas as leis fundamentais da natureza sao invariantes por translacao espacial e rotacoes.

Entretanto, o mesmo nao e verdade em relacao a paridade. Decaimentos envolvendo ainteracao fraca (por exemplo, o decaimentodo neutron) nao conservam paridade: o estadofinal pode ser uma superposicao de estados de paridade oposta. Isso significa em outraspalavras, que o hamiltoniano responsavel pela interacao fraca nao e invariante sob paridade.Certas quantidades observaveis nesse tipo de decaimento, como a distribuicao angular dosprodutos, podem depender de pseudo-escalares como S P , onde S e o valor medio dospin do sistema. Esse termo e dito pseudo-escalar, porque muda de sinal sob paridade (logo

o hamiltoniano nao e invariante). Para discussao de um exemplo concreto de um decaimentoveja o caso discutido no livro do Shankar, p. 299:60Co 60Ni +e +,

onde e e a carga do eletron e e o antineutrino do eletron.Observa-se que os eletrons tendem a ser emitidos na direcao alinhada ao spin do nucleo

de cobalto. Essa correlacao entre a direcao de emissao do eletron e a direcao do spin S e umaevidencia de que paridade nao e conservada. Entretanto, se considerarmos a operacao deconjugacao de carga (q q), tem-se que a simetria composta CP, i.e., paridade seguidade conjugacao de carga, e conservada no decaimento. Existe, porem, situacoes em que CPnao e conservada. Acredita-se que CPT, onde T denota inversao temporal, e conservada

na maioria das situacoes. (Violacao de CPT, que implicaria uma violacao da invariancia deLorentz, ainda nao foi detectada experimentalmente.)

8.8 Exerccios

1. a) Mostre que a rotacao infinitesimal definida em (8.15) e (8.16) pode ser escrita deforma compacta como

x= z x. (8.109)


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b) Mostre que, no caso geral de uma rotacao infinitesimal de um angulo em torno

de um eixo definido pelo versor n, temos

x= x. (8.110)

c) Mostre a identidade (8.19) pelo metodo direto, ou seja, expanda ambos os lados emserie de Taylor e verifique (pelo menos em primeira ordem) a igualdade termo a termo.

2. a) Vimos no exemplo 8.2 que uma rotacao infinitesimal de um angulo em torno doeixo zpode ser escrita da forma

x= (zx),

onde z e a matriz

z =

0 1 01 0 0

0 0 0

.

Mostre pelo metodo direto que z e, de fato, a geradora das rotacoes em torno do eixozno sentido de que

x =ezx= R(z)x.

Mais exatamente, mostre que

ez = cos I+ sin z =

cos sin 0sin cos 0

0 0 1

=R(z).

b) Escreva as matrizes x e y geradoras das rotacoes em torno dos eixos x e y,respectivamente.c) Considere as tres matrizes iagrupadas como se fossem componentes de um vetor,ou seja, escreva

= (x, y, z).

Seja agora n um vetor unitario, conclua entao que a matriz n = n e a geradoradas rotacoes em torno den, ou seja,

en =R(n),

ondeR(n) representa a matriz de rotacao de um anguloem torno da direcao definidapor n.

3. Mostre a relacao (8.52).


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8.8. EXERC ICIOS 29

4. SejaH(X, P) um hamiltoniano. Suponha que apliquemos uma transformacao unitaria

| =U|. Mostre que o novo hamiltoniano H =U HU sera

H =H(X, P).

5. Mostre a relacao (8.63) diretamente a partir de (8.58). Use esse resultado para mostrarque U e de fato unitario.

6. Como vimos uma translacao ativa pode ser escrita como |R =TR|0, onde usamossubscritos 0 e R para denotar os kets inicial e final, respectivamente. Considere agoratranslacoes espaciais sob a otica de uma transformacao canonica: |R =T

R|R.

a) Mostre que na nova representacao temos |R = |0.

b) Obtenha a regra de transformacao para operadores, ou seja, obtenha R na novarepresentacao em funcao de na representacao original.c) Mostre que sob uma translacao infinitesimal o operador posicao Xna nova repre-sentacao e dado por

X= X+ .

Qual a forma de XR para uma translacao finita?

7. Mostre a equacao (8.82) a partir de (8.80), verificando todas as passagens.

8. Considere o espaco vetorial de spinores em que os vetores de estado s ao representadospor

| =

,

onde e sao numeros complexos. Uma rotacao do estado | de um angulo emtorno do eixo z e representado pela matriz R abaixo:

| =R | =

ei/2 0

0 ei/2

|

a) Mostre que o gerador das rotacoes acima eSz =

2z, ondez e a terceira matriz de

Pauli.

b) Escreva a forma do operador R que produz uma rotacao finita de um angulo emtorno do eixo definido pelo versor n.c) Efetuando uma expansao de Taylor do resultado do item anterior e resomando aserie, mostre que R pode ser ser escrito da seguinte forma

R = cos(/2) i sin(/2) n.

Dado:

( n)k =

1 k par,

n k mpar.


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9. Um conjunto de tres operadores i, i = 1, 2, 3 e dito ser um operador vetorial se sob

rotacoes de coordenadas o operador transforma-se como

= ,

onde = n. Por outro lado, cada operador j deve transformar-se sob rotacoes deacordo com (8.85):

j = i

[j, G],

onde G = n L e o gerador das rotacoes. Use os dois resultados acima para mostrar asseguintes regras de comutacao de com o momento angular L:

[Li, j] =iijk k,

onde ijk e o tensor de Levi-Civitta.

10. Mostre a relacao (8.108). Sugestao: calcule o sanduche |X| na base |x e mostreque |X| = |X|.

11. Sejam |nlm os autoestados de energiaEndo atomo de hidrogenio, onde l = 0, 1, 2,...,n1 e l m l. Pode-se mostrar que a paridade dos estados |nlm e (1)

l.

a) Considere os elementos de matriz do operador de dipolo eletrico, D = e X, entre

distintos autoestados: nlm| D|nlm.

Obtenha as regras de selecao de paridade para esse caso, ou seja, determine em quecasos os elementos de matriz acima sao nulos (ou nao nulos) por paridade.b) Repita a analise para o caso do operador de quadrupolo eletrico Qij =e

2XiXj , istoe, determine em que caso os elementos

nlm|Qij |nlm.

sao nulos.c) Faca um diagrama ilustrando todas as possveis transicoes de dipolo e quadrupolopermitidas por paridade entre os nveisn = 1, 2 e 3 do atomo de hidrogenio. Nessecaso, basta considerer os estados com diferentes n e l.

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Aula. 05-06-07-08 - cap. 8 Simetrias