134 Editável e fotocopiável © Texto | MACS 11.o ano

1.2 55 72 55 10 63 72 8 10 9 0,8 0,9P X P U P U P U

0,9 0,8 0,9 1 0,8 0,9 1 0,8 0,604

544900604,0 pessoas

1.3 80 10 63 80 10 17 1,7P X P U P U P U

1 0,9554 0,0446

409000446,0 pessoas

Atividade 2 95) Trabalho de pesquisa

202) 1. Exemplos de fenómenos aleatórios: saber o número da lotaria do Natal, saber o vencedor do

campeonato do mundo de futebol, saber o sexo do próximo membro da família. Exemplos de fenómenos determinísticos: contar o número de dias do mês de janeiro, contar o número de dias da semana, colocar a mão no lume.

2. A, B e G 3.1 1 2 3 1 2 1, , , , , B B B A A V

3.2 «Sair uma bola branca, azul ou vermelha» 3.3 «Sair uma bola amarela» 3.4 «Sair uma bola vermelha» 4.1 , , , , , , , N E N N E E E N

E (N, E) E (E, E) N E N (N, N) N (E, N)

4.2 «Sair a face nacional em ambas as moedas» 4.3 , , , A N E E N

, , , , , B E E E N N E

, , , , , C N E E N N N

5.1 CBA A ocorre e B e C não ocorrem.

5.2 CBACBACBA Ocorre A ou B ou C.

5.3 CBA Definição de interseção de acontecimentos. 5.4 CBA Definição de reunião de acontecimentos.

5.5 CBACBACBA Os dois acontecimentos que ocorrem podem ser A e B, A e C ou B e C.

Editável e fotocopiável © Texto | MACS 11.o ano 135

5.6 CBACBACBACBACBACBADois acontecimentos ocorrerem é, no máximo, ocorrerem um ou dois acontecimentos.

5.7 CBA Nenhum acontecimento ocorrer é não ocorrer A, nem B, nem C.

6.1 1, 2, 3 , 1, 3, 2 , 2, 1, 3 , 2, 3, 1 , 3, 1, 2 , 3, 2, 1

6.2 2, 1, 3 , 2, 3, 1A

2, 3, 1 , 3, 1, 2 , 3, 2, 1B 6.2.1 (2, 3, 1)A B

6.2.2 2, 1, 3 , 2, 3, 1 , 3, 1, 2 , 3, 2, 1A B

6.2.3 (2, 1, 3)A B

6.2.4 1, 2, 3 , 1, 3, 2 , 3, 1, 2 , 3, 2, 1 2, 3, 1 , 3, 1, 2 , 3, 2, 1A B 1, 2, 3 , 1, 3, 2 , 3, 1, 2 , 3, 2, 1 , 2, 3, 1

6.2.5 (3, 1, 2), (3, 2, 1),B A

6.2.6 2, 1, 3 , 2, 3, 1 , 3, 1, 2 , 3, 2, 1 1, 2, 3 , 1, 3, 2A B A B

6.2.7 AA B A B A A A B

7.

703040 205070 interseção

8.1 P («sair ás vermelho») %5201

402

8.2 P («sair dama de ouros») %5,2401

8.3 «Sair carta vermelha» Como existem 20 cartas vermelhas,

P («sair carta vermelha») %5021

4020

C C Total

P 20 20 40

P 10 50 60

Total 30 70 100

136 Editável e fotocopiável © Texto | MACS 11.o ano

9. Sejam os acontecimentos: P: «incluir pão» e L: «incluir leite»

41

%9%45

PLP

PLPLP

9.1

P P Total

L 9% 36% 45%

L 30% 25% 55%

Total 39% 61% 100%

%39PP

9.2 Considerando os acontecimentos: A: «ser rapariga» e B: «ser rapaz» Sabe-se que:

%60AP

Logo, %40BP

%5,37| BPLP

Queremos determinar: PLAP

15,04,0375,0375,0 BPLPBPLPBP

BPLP

Sabe-se que:

%25PLP

Logo, 101%10PLAP

10. O número total de votantes foi: 13 442 8723 6033 1120 1258 30 576 Se a abstenção foi de 36%, então 30 576 corresponde a 64%.

Ou seja, o número total de inscritos é: 30 576 47 7750,64

A probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ter votado no partido A é: 13 442 28%47 775

P

Editável e fotocopiável © Texto | MACS 11.o ano 137

11. Escolhendo ao acaso, um a seguir ao outro, a probabilidade de ambos serem jogadores de râguebi é dada por:

%8,6730190

731191P

12. O número de casos possíveis é: 623 O número de casos favoráveis é 4. F1 F2 C ; F2 F1 C ; C F1 F2 ; C F2 F1

Logo, 32P

13. 10 10 26 26 10 10 6 760 000

14.1 41010101010 Existem dez algarismos para cada um dos quatro dígitos. 14.2 _ _ _ _

111010 Para ser capicua, o primeiro dígito tem de ser igual ao último e o segundo igual ao penúltimo. Assim, existem 100111010 códigos que são capicuas.

14.3 Se os números são diferentes, temos: 504078910 códigos diferentes

14.4 0 _ _ 0 1010

Para o primeiro e para o último dígito, só temos uma hipótese. Para os restantes dígitos, temos dez hipóteses para cada um.

15.1 Existem quatro damas no baralho. Como as cartas são retiradas sucessivamente e sem

reposição, existem 1234 maneiras 15.2 Existem quatro naipes diferentes com 13 cartas cada.

2028341313 15.3 62412134 15.4 Rc _ ou _Rc

511 151 102 16.1 _ _ _ _ _

12502525555 4 16.2 1 _ _ _ 5 125555 16.3 12012345

17.1.1 45 44 198( 15,3) 50 49 245P comprimento

138 Editável e fotocopiável © Texto | MACS 11.o ano

17.1.2 989

4950545P

17.2 10081

50504545P

1009

5050545P

18.1.1 %91,592221222217191720P

18.1.2 %96,522212222

1720171P

18.2.1 %1061,522182219222022212222

156120172055171 4P

18.2.2 %03,022182219222022212222

17191720169170171P

19.1 Se retirarmos do monte A, a probabilidade de serem as duas de copas será:

566

72

83P

Se retirarmos do monte B, a probabilidade de serem as duas de copas será:

5620

74

85P

Então, a probabilidade pedida é dada por:

5613

5620

21

566

21P

19.2 Se retirarmos do monte A:

28152

73

85P

Se retirarmos do monte B:

28152

75

83P

Logo, 2815

2815

21

2815

21P

20.1 R R ou A A ou V V

2511

51

51

51

51

53

53P

20.2 V _ A primeira tem de ser vermelha e segunda pode ser de qualquer cor.

51

55

51P

20.3 A R ou R A

2562

53

51P

Editável e fotocopiável © Texto | MACS 11.o ano 139

21.

21.1 %5040002000P

21.2 2000 1000 3000 6000 3 60%10 000 10 000 5

P

21.3 %4010004000P

22.1 83

16,006,0|

RhPRhOPRhOP

22.2 4639

46,039,0|

APARhPARhP

23. Seja:

A: «autoavaliaram-se com nível 1» B: «autoavaliaram-se com nível superior a 1» C: «ser português»

Sabe-se que: %20| ACP e %5| BCP

Pretende-se calcular CAP | :

02,01,02,02,0 ACPACPAP

ACP

045,09,005,005,0 BCPBCPBP

BCP

Número de portugueses que declararam não saber nada: 0,02 15 800 316

Número de portugueses que se autoavaliaram com nível superior a 1: 0,045 15 800 711

Assim, podemos concluir que existem 1027711316 portugueses na amostra. A probabilidade pedida é:

%311027316| CAP

140 Editável e fotocopiável © Texto | MACS 11.o ano

24. Consideremos os acontecimentos: A: «o atleta beber água no posto A» D: «o atleta beber água no posto D» Sabe-se que:

109| ADP e

53ADP

Pretende-se calcular P(A):

32

10953

109

109| APAP

APADPADP

25. Consideremos os acontecimentos: A: «ser rapariga» L: «ser loira» C: «ter cabelo castanho» T: «ter cabelo preto» Sabe-se que:

%60AP , %25| ALP , %50| ACP e %25| ATP

%40AP , %5,12| ALP , %50| ACP e %5,37| ATP

25.1 | |P L P L A P L A P L A P A P L A P A

0,25 0,6 0,125 0,4 0,2 20%

25.2 %505,04,0375,06,025,0

6,025,0||ATPATP

APATPTP

TAPTAP

26. Consideremos os acontecimentos:

T: «o período de capitalização é 3 meses» S: «o período de capitalização é 6 meses» R: «obter rendimento» Sabe-se que:

%76| TRP e %92| SRP

52TP e

53SP

Pretende-se calcular RTP | :

304,05276,076,076,0| TRPTRP

TPTRPTRP

552,05392,092,092,0| SRPSRP

SPSRPSRP

10738

5392,0

5276,0

304,0304,0|SRPTRPRP

RTPRTP

Editável e fotocopiável © Texto | MACS 11.o ano 141

27. Consideremos os acontecimentos: A: «ser da fábrica Alfa» B: «ser da fábrica Beta» N: «destinar-se ao mercado nacional» Sabe-se que:

31| ANP e

41| BNP

Pretende-se calcular :| NAP

74

415,0

315,0

315,0

|NBPNAP

NAPNP

NAPNAP

28.1 Sabe-se que:

05,0AP ; 7,0BP e 25,0CP

3,0| AVP ; 4,0| BVP e 5,0| CVP

Tem-se que:

| 0,3 0,3 0,3 0,05 0,015P V A

P V A P V A P V AP A

28,07,04,04,04,0| BVPBVPBP

BVPBVP

125,05,025,05,05,0| CVPCVPCP

CVPAVP

Podemos agora preencher a tabela:

A B C Total

V 0,015 0,28 0,125 0,42

V 0,035 0,42 0,125 0,58

Total 0,05 0,70 0,25 1

28.2 Sabe-se que:

0,72P B e 0,28P C

| |0,4 0,72 0,5 0,28 0,428 42,8%

P V P V B P V C P V B P B P V C P C

142 Editável e fotocopiável © Texto | MACS 11.o ano

29. Consideremos os acontecimentos: A: «ser da caixa A» B: «ser da caixa B» D: «ter defeito» Sabe-se que:

7| 20P D A e 4 1| 12 3P D B

29.1 Consideremos os acontecimentos: DA: «tirar lápis com defeito da caixa A» DB: «tirar lápis com defeito da caixa B» DA e DB são acontecimentos independentes, logo:

B BA A7 4 720 12 60

P D D P D P D

29.2 B B B BA A A A7 8 13 4 920 12 20 12 20

P D D D D P D P D P D P D

30.1 9514

197

208P

30.2

MB

MB

MB , , MB MB MB

MB , , MB MB MB

MB

MB , , MB MB MB

MB

MB

MB

MB , , MB MB MB

MB

MB MB

MB

Pelo menos dois estarem muito bons é equivalente a dizer que apenas dois estão MB ou estão os três MB.

MB MB MB 8 7 12 320 19 18

MB MB MB 8 7 620 19 18

Então, 8 7 12 8 7 6 98320 19 18 20 19 18 285P

Editável e fotocopiável © Texto | MACS 11.o ano 143

31. Para verificar se H e D são independentes, temos de averiguar a veracidade de:

DPHPDHP

68750

55561310351232250DHP

1145478

55561310351232250255411518HP

22937

3435555

55561310351232250305DP

478 37 17 6861145 229 262 205

P H P D

Então, DPHPDHP , logo, podemos concluir que os acontecimentos H e D não

são independentes.

32. Consideremos os acontecimentos: A: «ter a doença A» B: «ter a doença B» C: «ter a doença C» D: «sair curado» Sabe-se que:

%20AP ; %30BP ; %50CP ; %10| ADP ; %70| BDP

e %50| CDP

32.1 %70| BDP

32.2 | | |P D P D A P A P D B P B P D C P C

0,1 0,2 0,7 0,3 0,5 0,5 0, 48 48%

32.3 | 0,5 0,5 25| 52%0,48 0,48 48

P D C P CP C DP C D P D

33. Consideremos os acontecimentos:

A: «ser da máquina A» B: «ser da máquina B» C: «ser da máquina C» D: «ser defeituosa» Sabe-se que:

%15AP , %5| ADP , %45BP , %3| BDP e %10| CDP

%1,6061,045,015,011,045,003,015,005,0||| CPCDPBPBDPAPADP

CDPBDPADPDP

144 Editável e fotocopiável © Texto | MACS 11.o ano

34. Consideremos os acontecimentos: A: «ser do parque A» B: «ser do parque B» C: «ser do parque C» D: «produzir cerâmica» Sabe-se que:

%10| ADP , %40| BDP e %25| CDP

%2525,03125,0

314,0

311,0

||| CPCDPBPBDPAPADPDP

35.1 Consideremos a tabela com os resultados possíveis da soma das pontuações das faces dos

dados: Dado 1

1 2 3 4 5 6

Dado

2

1 2 3 4

6 7

2 3 4

6 7 8

3 4

6 7 8 9

4

6 7 8 9

5 6 7 8 9

11

6 7 8 9

11 12

A probabilidade de a soma das faces dos dados ser um múltiplo de 5 é 367 .

Logo, a probabilidade de a Vanda vir a selecionar o primeiro livro para ler da estante que só

tem romances de ficção científica é 367 .

35.2 X pode tomar os seguintes valores: X = 0 Não são selecionados livros policiais. X = 1 É selecionado um livro policial. X = 2 São selecionados dois livros policiais.

20 19 38035 34 119

P X (A, A)

15 20 20 15 60135 34 35 34 119

P X (P, A) ou (A, P)

15 14 21235 34 119

P X (P, P)

5

5

5

5 10

10

10

Editável e fotocopiável © Texto | MACS 11.o ano 145

Tabela de distribuição de probabilidades:

ix 0 1 2

iP X = x 38

119 60

119 21

119

36. Consideremos os acontecimentos:

A: «ver a publicidade» B: «comprar o perfume»

Tem-se que: %75AP , %45BP e %20BAP

36.1 Com os dados, podemos preencher a tabela:

A A Total

B 40% 5% 45%

B 35% 20% 55%

Total 75% 25% 100%

Queremos calcular 5%P B A

36.2 0,4 8| 0,75 15P B A

P B AP A

37.1 Consideremos os acontecimentos:

R: «utilizaram o transporte rodoviário» A: «utilizaram o transporte aéreo»

Sabe-se que: %87RP e %45AP

1324587 , logo, 32% utilizaram ambos os meios de transporte. Então, a probabilidade pedida é:

%68%13%55RAPARP

146 Editável e fotocopiável © Texto | MACS 11.o ano

37.2 Além dos acontecimentos A e R considerados na alínea anterior, consideremos também: Z: «entregues dentro do prazo»

Sabe-se que: %78RP , %8,77ZP e %80| RZP

Pretende-se calcular ZAP | :

R

Z 624,08,078,0 RZPRZP

Z 156,02,078,0 ZRPZRP

A

Z aAZP 22,0

Z aAZP 122,0

Então, 7,022,0624,0778,0 aaAZPRZPZP

Queremos calcular ZAP | :

0,22 0,7| 20%0,778P A Z

P A Z P Z

37.3 %80RP

Em dois dos três serviços, utilizou-se o transporte rodoviário, logo: R R ou ou Ou seja:

%4,38384,02,08,08,03P

38.1 0,2 0,3 0,4 4 1 4 1 0,2 0,3 0,4 4 0,1P X P X P X

38.2 8204,0 Oito alunos leram três livros nas férias.

38.3 2 3 4 0,4 0,1 0,5 50%P X P X P X

39. Sabe-se que 1 0,995P X Ou seja:

45,00995120,0425,0 bb

005,01120,045,0425,0 aa 40. X pode tomar os seguintes valores:

X = 0 Não há bolas amarelas, ou seja, são todas vermelhas. X = 1 Existe uma bola amarela e três vermelhas. X = 2 Existem duas bolas amarelas e duas vermelhas. X = 3 Existem três bolas amarelas e uma vermelha. X = 4 Todas as bolas são amarelas.

Editável e fotocopiável © Texto | MACS 11.o ano 147

4 3 2 1 24 1010 9 8 7 5040 210

P X

6 4 3 2 41 410 9 8 7 35

P X AVVV

6 5 4 3 32 610 9 8 7 7

P X AVAV, AAVV, AVVA, VAAV, VAVA, VVAA

6 5 4 4 83 410 9 8 7 21

P X AAAV

6 5 4 3 1410 9 8 7 14

P X AAAA

ix 0 1 2 3 4

iP X = x 2101

354

73

218

141

41. X pode tomar os valores 0, 1, 2, 3 e 4.

Considerando que a probabiliadde de ter um filho rapaz é 21 , tem-se que:

1 1 1 1 10 2 2 2 2 16P X Serem todas raparigas

1 1 1 1 11 42 2 2 2 4P X Um rapaz

41 32 62 8P X Dois rapazes

41 13 42 4P X Três rapazes

41 14 2 16P X

ix 0 1 2 3 4

iP X = x 161

41

83

41

161

42. X pode tomar os valores 0, 1 e 2.

150 1490 0,56200 199

P X

50 150 150 501 0,38200 199 200 199

P X

50 492 0,06200 199

P X

148 Editável e fotocopiável © Texto | MACS 11.o ano

ix 0 1 2

iP X = x 0,56 0,38 0,06

43.1 X pode tomar os valores 0, 1 e 2. 103

P X A primeira bola é azul.

2 1 113 2 3

P X A primeira bola é verde e a segunda é azul.

2 1 12 13 2 3

P X A primeira bola e a segunda são verdes.

ix 0 1 2

iP X = x31

31

31

43.2 1312

311

310

2 2 21 1 1 1 1 2var 0 1 1 1 2 1 03 3 3 3 3 3

X

44.1 284188

188

1 bbbbbb

188210841

8102

83

82

833

41

825

8123

82

8121

41

aaaaaaa

aaaa

44.2 Consideremos a tabela para 1a e 2b

ix –2 –1 2 4

iP 83

41

81

41

2 2 2 23 1 1 1 1 1 1 1var 2 1 2 4 6,1888 4 4 4 8 4 4 4

X

44.3.1 14 25%4

P X

44.3.2 11 3 2 12,5%8

P X P X

*No início da tabela, devemos considerar "a-1" em vez de "a-2" (engano)

Editável e fotocopiável © Texto | MACS 11.o ano 149

45. Modelo de Poisson com 5 45.1 Como E X , então, o número esperado de camiões a chegar, por dia, ao armazém é 5.

45.2.1 2

5 52 0,0842!P X e

45.2.2

0 2 3 4 55 5 5 5 5 5

2 3 4 55

5 1 5 1 0 1 2 3 4 55 5 5 5 5 51 0! 1! 2! 3! 4! 5!

5 5 5 51 1 5 0,382! 3! 4! 5!

P X P X P X P X P X P X P X P X

e e e e e e

e

45.2.3 5 357

Trata-se de uma variável aleatória: 7Y X O modelo a utilizar é:

35 35!k

P Y k e k Logo:

3035 3530 0,0530!P Y e

46.1 Sabe-se que 2E X

Como estamos perante um modelo de Poisson, tem-se que: 2 0

2 21 1 1 1 0 1 0,860!P X P X P X e

46.2 3

2 23 0,183!P X e

46.3 4 1 4 1 0 1 2 3 4P X P X P X P X P X P X P X

0 2 3 42 2 2 2 22 2 2 21 2

0! 2! 3! 4!e e e e e

2 4 8 161 1 2 0,0532! 3! 4!

e

46.4 7Y X , logo, o modelo será:

14 14!k

P Y k e k

28 1 28 1 0,9997 0,0003P Y P Y

47. Entrar apenas à terceira tentativa significa que não entrou nas duas primeiras. Em cada

tentativa, a probabilidade de entrar é 0,8, sendo que a probabilidade de não entrar é 0,2. Então,

a probabilidade pedida é dada por: 23 0,2 0,8 0,032P X

150 Editável e fotocopiável © Texto | MACS 11.o ano

48.1 002,0%2,0pO primeiro televisor a apresentar uma deficiência de fabrico ser o quinto significa que os quatro primeiros não tinham nenhuma deficiência. Então:

45 1 0,002 0,002 0,002P X

48.2 1E X p

Logo: 1 5000,002E X E X

Portanto, o número médio de televisores a inspecionar até aparecer o primeiro com alguma anomalia é 500.

49. %2p 30nSeja X a variável: «ser defeituoso»

49.1.1 0 3030!0 0,02 0,98 0,550!30!P X

49.1.2 2930!1 1 1 1 0 1 1 0,55 0,02 0,98 0,1229!

P X P X P X P X

49.1.3 3 0,9971 99,71%P X calculadora

49.2 5 3,5%P X

53035,098,002,0!5!5

! 55 nnn n

50.1 1 50 25,52E X E X

50.2.1 9 0 80 9 0,1850 1 49P X

50.2.2 30 030 1 30 1 0 30 1 0,6150 1P X P X P X

50.2.3 44 2121 44 0,4750 1P X

51. [0, 4]

51.1 0 4 22E X

O número médio de horas de estudo por dia é 2 horas.

51.2 0,5 00 0,5 0,1254P X

51.3 5 0 15 1 5 1 0 5 1 4 4P X P X P X Impossível

Logo, a probabilidade é zero.

51.4 3,5 22 3,5 0,3754 0P X

9/49=0.18

P=(50-30)/(50-1)=0.41

P=(45-20)/(50-1) = 0.51

Editável e fotocopiável © Texto | MACS 11.o ano 151

52. 1,0

52.1 1 100,1E X

52.2.1 0 0,44 1 4 1 0 4 1 0,67P X P X P X e e

52.2.2 0,6 0,96 9 0,14P X e e

53. 1E X

Logo: 111

53.1 0 3,53,5 0 3,5 0,97P X P X e e

53.2 0 22 1 2 1 0 2 1 0,135P X P X P X e e 54. 600 50 54.1 Usando a calculadora, obtemos:

530 680 0,8644P X

Logo, existem 0,8644 4000 3458 indivíduos, aproximadamente.

54.2 480 0,0082P X

740 1 740 1 0,997445 0,0026P X P X

55.1 2var 625 mmX Logo: var 25X

400 0,1P X , 25N

400400 25 400 25X U U

254001

25400 UPUP

Logo: 400 4000,9 0,9 368 mm

25 25P U

55.2 369 0,484P X

38728000484,0 56.1 Sabe-se que 21 e 4 .

Se o André sair de casa às 8h01, só chegará atrasado se a duração da viagem for superior a 29 minutos.

100% 2 229 2 2

100% 95,45% 2,275%2

P XP X P X

A probabilidade de o André chegar atrasado é de 2,28%.

152 Editável e fotocopiável © Texto | MACS 11.o ano

56.2 A probabilidade de o pai do André usar o percurso alternativo é dada por: 100%

25 2100% 68,27% 15,865%2

P XP X P X

Representando por A o acontecimento «usar o percurso alternativo», temos os seguintes casos:

, ou Logo, a probabilidade de, em três dias consecutivos, o pai do André usar o percurso alternativo em apenas dois é dada por:

06353,0315865,0115865,015865,0P

Ou seja, a probabilidade é de 6%.

57. Pretende-se determinar 14,1 18,2P X .

Como esta probabilidade é equivalente a 2P X , a probabilidade pedida é

%59,132

27,6845,95P

58. 95,45%2 50% 2,275%2P X

A probabilidade de o gasto em portagens, num determinado dia, ser superior a 2 é de 2,275%.