DEPARTAMENTO DE ELETRÔNICA E SISTEMAS

New Wavelets and Applications

by Hélio Magalhães de Oliveira

CODEC Grupo de Pesquisas em Comunicações, Departamento de Eletrônica e SistemasCTG-UFPE C.P.7800, 50711-970, Recife-PE, Brasil fax: (55)-0XX-81-271-8215E-mail: hmo@ufpe.br URL: http://www.ee.ufpe.br/codec/WEBLET.html

Reunião da ABC 9/05/03

Aplicações de Wavelets

EQUIPE

Hélio Magalhães de OliveiraRicardo Menezes Campello de SouzaManoel Afonso Carvalho Jr.

Renato José de Sobral Cintra, Luciana Reginaldo Soares, Milde da Silva Lira

Tiago Henrique Falk, Rodrigo Gurgel Fernandes Távora,

Helfarne A. Nascimento Silva, Marcos Müller Vasconcelos, Eric Albert Bouton

Booklet DE OLIVEIRA, H. M., Análise de Sinais: Uma Abordagem viaWavelets, Editora Manole, São Paulo, 2003, no prelo.

Uma teoria mais geral introduzida nos anos 80:A Transformada de Wavelet

ORIGEM- Escola Francesa(Morlet, Grossmann, Meyer, Battle, Lemarié, Cohen, Mallat, Coifman,Rioul, etc.)

... Pacotes de ondas acústicas sísmicas.

Gama de aplicações:

geologia sísmica

visão computacional e humana

radar e sonar

computação gráfica

predição de terremotos e maremotos

turbulência, fractais

bancos de filtros

espectrometria

distinção celular (normais vs patológicas)

modelos para trato auditivo

compressão de imagens (JPEG 2000)

descontaminação de sinais (denoising)

detecção de rupturas e bordas

análise de seqüências de DNA

análise de tons musicais

neurofisiologia

detecção de curtos eventos patológicos

análise de sinais biomédicos

(eletrocardiogramas, mamografias, eletroencefalogramas etc.)

espalhamento em banda larga

modelagem de sistemas lineares

óptica e eletromagnetismo

modelagem geométrica

caracterização de sinais acústicos

reconhecimento de alvos

transitório e falhas em linhas de potência

Metalurgia (rugosidade de superfícies)

visualização volumétrica

Telecomunicações

previsão em mercados financeiros

Estatística

solução de eq. dif. ordinárias & parciais ..........................

(a) (b)Figura. sinal estacionário × não estacionário.

Sinais práticos “bem comportados” com relação a estacionaridade: sinais

periódicos. Não é à toa que a análise clássica de Fourier é freqüentemente

restrita a esta classe de sinais.

Wavelets Contínuas ψ(t) wavelet-mãe ψ(t)∈L2(ℜ).

Operações:

a) escalonamento

=

a

t

ata ψψ

||

1)( , a≠0. b) deslocamento )()( bttb −= ψψ .

)}({)}({ , tt baψψ → (∀a, a≠0) (∀b∈ℜ).versão: Comprimida da wavelet mãe, se a<1;

Dilatada da wavelet mãe, se a>1.

Define-se

CWT(a,b):= ∫+∞

∞−dtttf ba )()( ,

*ψ =< f(t),ψψa,b>.

Analogia com Fourier: F(w)= ∫+∞

∞−

− dtetf jwt)( =< f(t),ejwt >.

Esta nova "base" é composta por sinais oscilatórios de curta duração - e nãosinais ab aeterno.

Figura. A Wavelet-mãe Symmlet 8 em diferentes escalas e localizações.

Exemplos: Um mar de Wavelets'haar' Haar wavelet. 'db' Daubechies wavelets. 'sym' Symlets. 'coif' Coiflets. 'bior' Biorthogonal wavelets.'meyr' Meyer wavelet. 'dmey' Discrete approximation of Meyer wavelet. 'gaus' Gaussian wavelets. 'mexh' Mexican hat wavelet. 'morl' Morlet wavelet. 'cgau' Complex Gaussian wavelets. 'shan' Shannon wavelets. 'deO' de Oliveira wavelets. 'legd' Legendre wavelets. 'mth' Mathieu wavelets. 'cheb' Chebyshev wavelets. 'FFlet' Finite Field wavelets. 'fbsp' Frequency B-Spline wavelets. 'cmor' Complex Morlet wavelets. o

Compressão via wavelets

A título de destacar a relevância das wavelets como mecanismos decompressão:

Ø Inclusão no padrão internacional JPEG 2000.

Ø padrão do FBI (Federal Bureau of Investigations) para o armazenamentode impressões digitais.

Padrão WSQ, "Padrão de Compressão Wavelet/Quantização escalar" (doInglês: Wavelet/Scalar Quantization standard).

As imagens são produzidas com qualidade de arquivamento e com taxasde compressão em torno de 20:1.

Figura (a) Imagem original (261 KB); (b) Imagem comprimida por JPEG (28 KB);(c) Imagem comprimida wavelets (5KB).

M.M.S. LIRA, M.A.CARVALHO JR, H.M. DE OLIVEIRA, Compactação de Sinais de Distúrbios emSistemas de Transmissão via Wavelets, Seminário Nacional de Produção e Transmissão de EnergiaElétrica, XVII SNPTEE, Uberlândia, 2003.

A FAMILY OF WAVELETS AND A NEW ORTHOGONALMULTIRESOLUTION ANALYSIS BASED ON THE NYQUIST CRITERION

DE OLIVEIRA, H.M., SOARES, L.R., FALK T.H., A Family of Wavelets and a New OrthogonalMultiresolution Analysis Based on the Nyquist Criterion, Revista da Sociedade BrasileiraTelecomunicações. Campinas, SP: , v.?, n.?, número especial dedicado ao ITS'02, p.XX - XX, 2003.

A Family of Wavelets and a New Orthogonal Multiresolution Analysis Based on the Nyquist Criterion,Proc. IEEE/SBrT Int. Telecomm. Symp., 2002. pp. 384-389. (selected paper for special issue)

Wavelet de "de Oliveira" Nova família de wavelets ortogonais complexas.

Possuem espectro passa-faixa ideal (plano), com regiões de "rolamento"

assimétricas, mantendo a filosofia da análise a Q-constante.

Basta escolher )w(Φ (raiz de cosseno elevado). Não são de suporte compacto.

( )πα

παπαπα

πααπ

π

)1(||

)1(||)1(

)1(||0

0

)1(||4

1cos

2

12

1

)(

+>+<≤−

−<≤

−−=Φw

w

w

ww.

Mostra-se que:

{ }tttt

tSatdeO )1(sen.4)1(cos)4(1

1.

4.

2

1])1[().1.(

2

1)(

2)( απααπ

απα

ππαα

πφ −++

−+−−=

4 2 0 2 40.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

alpha=0.1alpha=0.2alpha=0.3

0.435

0.087−

φ t 0.1,( )

φ t 0.2,( )

φ t1

3,

55− t

Figura. Função escala de "de Oliveira". (esboço para α=0,1, 0,2 e 0,3).

Figura. Wavelet )()( tdeOψ : Parte real

Figura. Wavelet )()( tdeOψ : parte imaginária.

WAVELET SHIFT-KEYING: A NEW DIGITAL MODULATION

By H.M. DE OLIVEIRA, H.A.N. SILVA, E.A. BOUTON

H.M. DE OLIVEIRA, H.A.N. SILVA, E.A. BOUTON, Wavelet Shift-Keying: A New Digital Modulation,Simpósio Brasileiro de Telecomunicações, XX SBrT, Setembro 2003, Rio de Janeiro, submetido.

Preliminary ideas of a new digital modulation scheme termed wavelet shift keying

(WSK), which is based on discrete wavelet transforms.

The WSK Modulation M-ary WSK signalling schemes can be used indata transmission application.

• Scaled versions of the mother wavelet are transmitted in each symbol slot.

• It is assumed that scale factor of every slot depends on the input binary data.

The (normalised) non-overlapped modulated signal (M-WSK) based on a wavelet

)t(ψ is given by ( ))mt()t( )m(n

m

)m(nWSKn −= ∑

+∞

−∞=− 22 2ψϕ

, where m

determine the index of the modulation symbol slot at a baud rate of 1 baud andn(m) ∈ {0,1,2,...,M-1}.

0 2 4 6 8 10 12 145

0

5

1010

5−

φnon t( )

150 t

0 2 4 6 8 10 12 141

0.5

0

0.5

11

1−

φover t( )

150 t

Figure. Typical (1 baud normalised) non-overlapped and overlapped WSK waveforms:

Examples based on the Mexh-WSK scheme with M=4 scales.

Strategy of generating transmitter wavelets (two steps):

i) a frequency translation by a mixer;

ii) a scaling the wavelet to fulfil the channel bandwidth.

LOCALIZAÇÃO DE FALTAS EM LINHAS DE TRANSMISSÃO UTILIZANDO A

REPRESENTAÇÃO WAVELET MULTIRESOLUÇÃO

BY L.R. SOARES, M. A. DE CARVALHO JR, H.M. DE OLIVEIRA,

L.R. SOARES, M.A.CARVALHO JR, H.M. DE OLIVEIRA, Detecção e Classificação de Faltas Utilizando aTransformada de Wavelets, Seminário Nacional de Produção e Transmissão de Energia Elétrica, XVIISNPTEE, Uberlândia, 2003.

L.R. SOARES, M. A. DE CARVALHO JR, H.M. DE OLIVEIRA, Localização de Faltas em Linhas deTransmissão Utilizando a Representação Wavelet Multiresolução, Congresso Brasileiro de Automática-CBA,Natal, Setembro, 2002.

LOCALIZAÇÃO DE FALTAS EM LTs

LT: Presidente Dutra/Boa Esperança (PDD/BEA), Norte/Nordeste, 205,6km

As faltas foram simuladas no ATP (Alternative Transient Program),considerando que o monitoramento da linha é realizado no terminal de PDD.

• Localização da falta: método da impedância aparente - versões aproximadas

dos sinais de tensão e corrente à terceira escala.

• Simulações com erros inferiores a 3,7%, satisfatório para reduzir a área de

inspeção por parte das equipes de manutenção.

COMPACTLY SUPPORTED WAVELETS DERIVED FROM LEGENDREPOLYNOMIALS: SPHERICAL HARMONIC WAVELETS

By M.M.S. LIRA, H.M. DE OLIVEIRA, M.A. CARVALHO JR, R.M.C. DE SOUZA

M.M.S. LIRA, H.M. DE OLIVEIRA, M.A. CARVALHO Jr, R.M.C. DE SOUZA, Compactly SupportedWavelets Derived from Legendre Polynomials: Spherical Harmonic Wavelets, submitted to WSEASInt. Conf. on Systems, Greece, 2003.

Preliminaries On Legendre Functions

Spherical harmonics are solutions of the Legendre 2nd-order differential equation,n integer:

01212

22 =++−− y)n(n

dz

dyz

dz

yd)z(

.

The solution of (1) above is the nth order Legendre polynomial Pn(z).

Legendre Multiresolution Filters

Pn(cosθ) polynomials can be used to define the smoothing filter H(ω) of amultiresolution analysis (MRA). The low-pass |H(ω)| can be associated to

Legendre polynomials according to: |cosP||)(H| n

= + 212

ωω

Fig. - legd8 wavelet display over MatlabTM using the wavemenu command.

ν+1 non-zero filter coefficients => Legendre wavelets have compact support.

2-dimensional Legendre transform (2D-legdN) for image analysis: Interesting

effects in multiresolution decomposition of hand-drawn images.

Fig. - Reconstruction of a hand-drawn draft using 2D-legd2.

(a) Original (b) Reconstructed image from 1-level wavelet decomposition.

ELLIPTIC-CYLINDER WAVELETS: THE MATHIEU WAVELETS

BY M.M.S. LIRA, H.M. DE OLIVEIRA, R.J. DE SOBRAL CINTRA, R.M.C. DE SOUZA

M.M.S. LIRA, H.M. de OLIVEIRA, R.J. de SOBRAL CINTRA, Elliptic-Cylindrical Wavelets: The MathieuWavelets, IEEE Signal Processing Letters, accepted, november, 2002.

M.M.S. Lira, H.M. de Oliveira, R.J. de Sobral Cintra, R.M.C. de Souza, Wavelets for Elliptical WaveguideProblems, 2002 WSEAS International Conference on Wavelet Analysis and Multirate Systems, Vouliagmeni,Athens, Greece, December 29-31, 2002.

New family of wavelets and a multiresolution analysis, which exploits the

relationship between analysing filters and Floquet's solution of Mathieu differential

equations.

Wavelets derived by this method seem to possess potential application in the

fields of Optics and Electromagnetism.

PRELIMINARIES

In 1868, É. Léonard Mathieu introduced differential equations nowadays termed

Mathieu equations in his "memoir on vibrations of an elliptic membrane".

Canonical form of the Mathieu Equation: Given a ∈ℜ, q∈C

0)2cos2(2

2

=−+ ywqadw

yd.

The solution of the above equation (1) is the elliptic-cylinder harmonic,known as Mathieu functions.

Broad scope of wave-guide problems involving elliptical geometry, including:

i) analysis for weak guiding for step index elliptical core optical fibresii) power transport of elliptical wave-guidesiii) evaluating radiated waves of elliptical horn antennas

ce1(w,5) ce5(w,5)

Figure - Some plots of 2π-periodic 1st kind even Mathieu functions. Elliptic cosines shape for the

following set of parameters: a) ν=1 and q=5 ; b) ν=5 and q=5.

Figure - FIR-Based Approximation of Mathieu Wavelets. Mathieu Wavelet with ν=1 and

q=5 for 2,4 and 6 iteration.

ON WAVELET DECOMPOSITION OVER FINITE FIELDSTAVORA, R. G. F., FALK, T.H. SOUZA, R. M. C., DE OLIVEIRA, H. M.

DE OLIVEIRA, H. M., FALK, T. H. On Wavelet Decomposition over Finite Fields In: 19º Simpósio Brasileiro deTelecomunicações, 2001, Fortaleza CE. Anais do 19º Simpósio Brasileiro de Telecomunicações, 2001. (artigoselecionado para publicação do n. especial da Rev. da Soc. Bras. de Telecom.)

TAVORA, R. G. F., SOUZA, R. M. C., DE OLIVEIRA, H. M. Um Algoritmo Rápido para a Transformada Wavelet emCorpos Finitos In: 19 Simpósio Brasileiro de Telecomunicações, 2001, Fortaleza. Anais do 19 Simpósio Brasileiro deTelecomunicações , 2001.

DE OLIVEIRA, H.M., FALK T.H., TÁVORA R.F.G., Decomposição de Wavelets sobre Corpos Finitos, Revista daSociedade Brasileira de Telecomunicações. Campinas, SP: v.17, n.1, p.38 - 47, 2002.

•Foundations of wavelets over Galois fields.

•Standard orthogonal finite-field wavelets including FF-Haar and FF-Daubechies.

•FF-wavelets to design spread-spectrum sequences.

APLICAÇÃO: PROJETO DE SEQÜÊNCIAS DE ESPALHAMENTO ESPECTRAL

As portadoras wavelet digitais têm a mesma duração T de um símbolo de entrada a

ser modulado, tendo N chips por símbolo de dados. Nova classe de esquemas

CDM/CDMA baseado em transformadas de wavelet sobre corpos finitos:

Figura: Sistema Multiplex utilizando wavelets

FF- Haar.

Análise wavelet para Seqüências de DNA

As FF-Wavelets podem ser mais adequadas! (pesquisa)

CHEBYSHEV WAVELETS

By R. J. DE SOBRAL CINTRA H. M. DE OLIVEIRA L. R. SOARES

R.J.S. CINTRA, L.R. SOARES, H.M. DE OLIVEIRA, On Filter Banks and Wavelets Based onChebyshev Polynomials, submitted to WSEAS Int. Conf. on Systems, Greece, 2003.

New family of wavelets, named Chebyshev wavelets, which are derived fromconventional Chebyshev polynomials.

Properties of Chebyshev filter banks are investigated, including orthogonality andperfect reconstruction conditions.

The convergence of the cascade algorithm of 2nd kind Chebyshev wavelets isproved by using properties of Markov chains.

Aplicações:

Wavelets Polinomiais em Eletrogastrografia

Contato- Universidade de Calcary, Canadá, Prof. MARTIN P. MINTCHEV

Acometimentos patológicos do sistema digestivo ligados ao estômago(e.g. gastroparesia, gastrites, úlceras pépticas, constipações idiopáticas,refluxo gástrico-esofágico simples, neoplasias gástricas, taquigastrias,doenças gástrico-congênitas).

Figura. Trecho de 20 segundos de um sinal de EGG amostrado a uma freqüência de 2Hz

Sinal Típico de EGG e a função wavelet de Chebyshev.

CONCLUSÕES• RESUMO DOS PRINCIPAIS DESENVOLVIMENTOS NA UFPE

Novas wavelets Potenciais aplicaçõesWavelets em corpos finitos Multiplex, Acesso múltiplo, Análise de

seqüências de DNAWavelet de "de Oliveira" Modulação digital, Modems ADSLWavelets de Chebyshev Análise em biomédica (eletrogastrografia,

ECG...)Wavelets de Legendre Desenhos, Tomografia, RMN, Imagens

médicasWavelets de Mathieu Óptica, eletromagnetismo (antenas...)

• IMPORTANTE E PODEROSA FERRAMENTA NA ANÁLISE DE SINAIS

• NUMEROSAS APLICAÇÕES E PERSPECTIVAS

Agradecimentos: Acadêmicos A. Sial&Cid Araújo, co-autores, presentes.