Número-índice:Conceito, amostragem e

construção de estimadores

Objetivo Geral da aula

● Definir o que são os números-índices, enfatizando a sua importância para análise econômica.

Números-índices

● Considere os dados apresentados na Tabela a seguir, referentes ao valor do salário mínimo no Brasil, no período 1995 a 2007.

Números-índicesANO SALÁRIO MÍNIMO (R$)

1995 100,001996 112,001997 120,001998 130,001999 136,002000 151,002001 180,002002 200,002003 240,002004 260,002005 300,002006 350,002007 380,00

Números-índices

● Observemos, agora, os valores transformados dos dados apresentados na tabela anterior, considerando o ano 2000 como base.

Números-índicesANO SALÁRIO MÍNIMO (VALOR R$)

1995 66,231996 74,171997 79,471998 86,091999 90,072000 1002001 119,212002 132,452003 158,942004 172,192005 198,682006 231,792007 251,66

Números-índices● Para encontrar os valores da tabela anterior,

calculamos a regra de três simples:valor do ano base ----- 100valor do ano ----- x

● No nosso exemplo, o ano base é 2000. Então, para o ano de 1995, temos:151 ----- 100100 ----- x

x=100151

×100=66,23

Números-índices

● Definição:“proporções estatísticas, geralmente expressas em porcentagem, idealizadas para comparar as situações de um conjunto de variáveis em épocas ou localidades diversas” (HOFFMANN, R.; 1998, cap. 16, p. 309).

Números-índices● As etapas da construção de um índice:

● escolha da amostra: precisa ser representativa do conjunto.

● Escolha do período base: prioridade para os anos “demasiadamente anormais” ou pela média de vários anos consecutivos.

● Escolha do método de cálculo: fundamentada na finalidade do índice ou disponibilidade dos dados.

Números-índices● E se não tivermos os dados originais, mas

apenas os números-índices, e quisermos modificar o ano base? Isso é possível?

● Para calcularmos os números-índices com base no ano X a partir dos números-índices construídos com base no ano Y, realizamos a seguinte operação:

número−índice doano t x 100número−índicedo ano1996

Números-índices● Os números-índices estão frequentemente

presentes nas análises econômicas, principalmente quanto ao que se refere à variável preço.● O preço relativo, por exemplo, é na verdade um

índice de preço relativo,que apresenta a relação entre o preço de um produto em determinado período com o preço escolhido como base

em que 0 corresponde ao ano base e t corresponde ao período que se quer analisar.

I P t∣P0=P tP0

Números-índices

● Na contabilidade social, as variações de preços entre períodos necessitam ser consideradas para evitar problemas na análise dos agregados macroeconômicos.

Números-índicesAno PIBpm (R$ mil) Variação (%)

1990 10.884 -

1991 57.389 427,28

1992 640.959 1.016,87

1993 14.097.114 2.099,38

1994 349.204.679 2.377,14

1995 646.191.517 85,05

1996 778.820.353 20,52

1997 866.827.479 11,30

Números-índices● Valor real:

● Desconta-se do seu valor nominal (valor cotado nos preços do momento final) o efeito produzido pela variação dos preços entre esses dois momentos.

● Podemos, portanto, usar índices de preços para encontrar os valores reais de uma determinada variável econômica nominal.

● Pela definição de números-índices, os índices de preços são também números-índices.

Números-índices: tipos● Índice simples de preços agregados:

● relação entre o somatório de preços das mercadorias no período t e o somatório dos preços das mercadorias no período escolhido como base.

Ou seja, pt e p0 são vetores ou conjuntos de preços para o ano t e 0, respectivamente. O índice é, portanto, uma comparação entre o conjunto de preços do ano t com o conjunto de preços do ano base.

I p t∣p0=∑i=1

n

P it

∑i=1

n

P i0

, onde pt={P it ,i=1,... , n }e p0={P i0 , i=1,... , n}

Números-índices: tipos● Média aritmética dos preços relativos:

Tanto a média aritmética dos preços relativos como o índice simples de preços agregados só devem ser usados se não existir informação sobre o valor monetário da quantidade vendida das mercadorias analisadas.

I m p t∣p0=1n∑i=1

n P itP i0

Números-índices: tipos● Índices de Laspeyres e Paasche: consideram

as quantidades consumidas.● Necessidade de escolher as quantidades de um

dos períodos como referência.● Índice de Laspeyres: quantidades de referência são

as do período inicial.

L=∑i=1

n

pi1q i

0

∑i=1

n

pi0q i

0

Números-índices: tipos

● Índices de Laspeyres e Paasche: consideram as quantidades consumidas.● Índice de Paasche: quantidades de referência são

as do período final.

P=∑i=1

n

pi1qi

1

∑i=1

n

p i0qi

1

Números-índices: tipos● Índices de Laspeyres e Paasche: consideram

as quantidades consumidas.● O índice de Paasche exige mais informações sobre

quantidades vendidas do que o índice de Laspeyres, porque precisa dessa informação para todos os anos calculados enquanto o índice de Laspeyres exige apenas a quantidade vendida no ano base e, a partir daí, é possível calcular para qualquer série de preços.

● As divergências existentes no cálculo desses dois índices aparecem sempre que houver alteração da quantidade consumida entre os períodos analisados.

Números-índices: tipos● Índices de Laspeyres e Paasche: consideram

as quantidades consumidas.● Além disso, essas divergências são influenciadas

também pela relação preço/quantidade de cada produto:– se essa relação for inversa (correlação negativa), L > P ;– se essa relação for direta (correlação positiva), L < P;– com correlação nula, L = P.

Números-índices: tipos● Índices de Laspeyres e Paasche: consideram

as quantidades consumidas.● Como as informações de quantidade não estão

disponíveis com tanta facilidade quanto às de preço, comumente se estima esses índices considerando a participação que cada produto possui no orçamento dos consumidores, ou seja, o peso de cada produto (wi) na cesta de consumo padrão de determinada economia.

Números-índices: tipos● Índices de Laspeyres e Paasche: consideram

as quantidades consumidas.

L=∑i=1

n p i1

pi0×wi

0 , emque wi0=

p i0qi

0

∑i=1

n

pi0q i

0

P= 1

∑i=1

n p i0

p i1×wi

1

, emque wi1=

p i1qi

1

∑i=1

n

pi1q i

1

Números-índices: tipos● Índice de Fisher:

● Fisher propôs um novo índice que é a média geométrica dos índices de Lapesyres e Paasche:

● O índice de Fisher apresenta duas importantes limitações:– a necessidade de se ter os dados referentes às

quantidades vendidas nos períodos de tempo inicial e final.

– Não é de interpretação econômica simples.

F=L×P

Números-índices: tipos● Índice de Marshall-Edgeworth:

● relação entre o custo de aquisição de uma cesta de mercadorias no período t e o custo de aquisição no período base.– Ao dividirmos o numerador e o denominador por 2,

temos a média aritmética das quantidades vendidas, para cada produto contido na cesta de mercadoria, nos períodos analisados.

ME=∑i=1

n

pi1qi0q i1

∑i=1

n

pi0qi0q i1

Números-índices● Critérios para testar qualidade dos números-

índices:● Teste de reversão no tempo

– dados dois períodos de tempo, o preço relativo no período 2, com base no período 1, é o inverso do preço relativo no período 1, com base no período 2.

I P2∣P1=P2P1

= P1P2 −1

=[ I P1∣P2 ]−1

Números-índices● Critérios para testar qualidade dos números-

índices:● Critério de decomposição das causas

– ao multiplicarmos “o preço relativo no período 2 pela quantidade relativa no mesmo período, ambos com base no período 1, obtemos um número-índice simples do valor monetário ou índice relativo do valor monetário das vendas” (HOFFMANN; 1998, cap. 16, p. 324).

I P2∣P1 I Q2∣Q1=P2Q 2

P1Q1= I V 2∣V 1

Números-índices● Índices de custo de vida

● Muito úteis também na análise econômica● Destina-se “a medir em quanto as variações de

preços afetam as despesas de uma família típica”.● Fonte dos dados: pesquisas de orçamento familiar.● Representa uma média ponderada dos preços

relativos das mercadorias e serviços consumidos, tendo como fator de ponderação de cada mercadoria/serviço a participação das despesas com essa mercadoria/serviço no orçamento familiar.

Números-índices● Índices de custo de vida

● Considerando n= número de mercadorias e t= período (mês), o índice de custo de vida pode ser obtido por

I CV p t∣p0 =∑i=1

n PitPi0

i , emque representa a ponderaçãoe∑i=1

n

i=1

Números-índices● Referências:

● HOFFMANN, R. Estatísticas para Economistas. 3ª ed. São Paulo: Pioneira. 1998, cap. 16.

● SARTORIS, Alexandre. Estatística e introdução à econometria. São Paulo: Saraiva, 2003, cap. 11.