Numeros Complexos - Forma Trigonometrica

Matematica Basica III - 2019.2

Universidade Estadual Vale do AcarauCentro de Ciencias Exatas e TecnologiaCurso de Licenciatura em Matematica

Prof. Marcio Nascimento

15 de outubro de 2019

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Sumario

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Forma PolarNo inıcio vimos como identificar pontos do plano com elementos de R2 utilizandoo sistema de coordenadas cartesianas (correspondencia biunıvoca). Agora vamosutilizar um outro sistema de posicionamento no plano: o sistema polar.

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ρ =√x2 + y2 = |z |

x = ρ. cosα

y = ρ.senα

z = x + iy

= ρ. cosα + i .ρ.senα

= ρ.(cosα + isenα)

↑Forma Trigonometrica

ou Polar

O ponto P e chamado de afixo,ρ e chamado modulo e α oargumento de z .

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ImportanteSobre o argumento

Observe que para todo k ∈ Z, oangulo α + 2kπ tambem e umargumento para o numerocomplexo z .

O argumento α (isto e, quandok = 0) e chamado argumentoprincipal de z .

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ExemploEncontrar a Forma Polar de z = 1 + i

√3

Modulo: |z | =√

(1)2 + (√

3)2 = 2

Argumento: Observe que z esta no primeiro quadrante.

cosα =x

ρ=

1

2, senα =

y

ρ=

√3

2

Ou, similarmente, tgα =y

x=√

3

arc tg(√

3) = 600 =π

3rad .

Portanto, z = 2(cos 600 + i .sen600)

ou z = 2(

cosπ

3+ i .sen

π

3

)

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ExemploEncontrar a Forma Polar de z = 3

√2− 3

√2i

Modulo: |z | =√

(3√

2)2 + (3√

2)2 =√

9.2 + 9.2 = 6

Argumento: Observe que z esta no QUARTO quadrante.

tgα =y

x= −1

⇒ arc tg(−1) = −450 = −π4rad .

Portanto, o argumento princial de z e α = 3150 .

Forma Polar:

z = 6(cos 3150 + i .sen3150) = 6

(cos

7π

4+ i .sen

7π

4

)

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Observacao

Alguns autores usam uma notacao reduzida para a forma polar:

z = ρ(cosα + isenα) =: ρ.cisα

Por exemplo, a forma polar de z = 1 + i√

3 e

2(

cosπ

3+ i .sen

π

3

)= 2.cis

π

3

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ExemploEntre todos os numeros complexos z tais que |z − 25i | ≤ 15, encontrar o que tem omenor argumento principal.

Em que ponto da circunferenciaesta o numero complexo z commenor argumento principal?

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ExemploEntre todos os numeros complexos z tais que |z − 25i | ≤ 15, encontrar o que tem omenor argumento principal.

Modulo: Usando o teorema de Pitagoras,temos 252 = 152 + |z |2, ou seja,|z | = 20.

Argumento: Seja β o complementar de α.

Entao cosβ =20

25=

4

5, ou seja,

β = arccos3

5∼= 36, 870 e

portanto, α ∼= 53, 130.

Forma Polar: z = 20.cis(53, 130)

Forma Algebrica: z = 12 + 16i .

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Multiplicacao na Forma Polar

Considere dois numeros complexos z1 e z2 e suas respectivasformas polares

ρ1(cosα1 + i .senα1)

ρ2(cosα2 + i .senα2)

Multiplicando z1.z2, temos;

z1.z2 = ρ1(cosα1 + i .senα1)ρ2(cosα2 + i .senα2)

= ρ1.ρ2.(cosα1 + i .senα1).(cosα2 + i .senα2)

= ρ1.ρ2.[(cosα1. cosα2 − senα1.senα2) +

+i .(senα1. cosα2 + cosα1.senα2)]

= ρ1.ρ2.[cos(α1 + α2) + i .sen(α1 + α2)]

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Exemplo

Considerez1 = 2

(cos

π

3+ i .sen

π

3

)z2 = 6

(cos

3π

4+ i .sen

3π

4

)Entao

z1.z2 = 2.6.

[cos

(π

3+

3π

4

)+ i .sen

(π

3+

3π

4

)]

= 12.cis13π

12

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Potenciacao - 1a Formula de Moivre

Quadrado de um numero complexo

Se z = ρ.(cosα + isenα), entao

z2 = ρ2.(cos 2α + isen2α)

Potencia inteira de um complexo - 1a Formula de Moivre

Se z = ρ.(cosα + isenα), entao

zn = ρn.(cos nα + isennα)

para todo n ∈ Z.

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Demonstracao

Vamos separar a prova em tres casos: n = 0, n > 0 e n < 0.Para n = 0, temos:

z0 = 1 = ρ0.(cos(0.α)︸ ︷︷ ︸=1

+i . sen(0.α)︸ ︷︷ ︸=0

)

Para provar o caso n > 0, vamos usar inducao finita sobre n paramostrar que a Formula e valida.

n = 1: z1 = z = ρ.(cosα+ i .senα) = ρ1.(cos 1.α+ i .sen1.α).H. I. Suponha que zk = ρk .(cos kα + i .senk.α)

k + 1:

zk+1 = zk .z

= [ρk .(cos kα + i .senk.α)].[ρ.(cosα + i .sen.α)]

= ρk .ρ[cos(kα + α) + i .sen(kα + α)]

= ρk+1[cos((k + 1).α) + i .sen((k + 1)α)]

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Demonstracao

Agora, considere n um numero inteiro negativo. Entao, podemosdizer que n = −m onde m e um inteiro positivo.

zn = z−m =1

zm=

1

ρm.(cosmα + i .senmα)

=1

ρm.(cosmα + i .senmα).(cosmα− i .senmα)

(cosmα− i .senmα)

=1

ρmcosmα− i .senmα

[(cosmα)2 − (i .senmα)2]

=1

ρmcosmα− i .senmα

[(cosmα)2 + (senmα)2]

=1

ρm(cosmα− i .senmα) Sendo: cos(-x)=cos(x) e sen(-x)=-sen(x)

= ρ−m[cos(−mα) + i .sen(−mα)]

= ρn[cos(nα) + i .sen(nα)]15 / 18

ExemploSendo z =

√2 + i

√2, calcular z9

Modulo: ρ =√

(√

2)2 + (√

2)2 = 2.

Argumento: tgα =

√2√2

= 1 e z no primeiro quadrante. Portanto,

α =π

4rad = 450

Forma Polar: z = 2.cisπ

4

Potencia: z9 = 29.cis(

9.π

4

)= 512.cis

π

4

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Divisao na Forma Polar

Considere dois numeros complexos z1 e z2 e suas respectivasformas polares

ρ1(cosα1 + i .senα1)

ρ2(cosα2 + i .senα2)

Dividindoz1

z2, temos;

z1

z2= z1.z

−12

= ρ1(cosα1 + i .senα1).ρ−12 (cos(−α2) + i .sen(−α2))

=ρ1

ρ2.[cos(α1 − α2) + i .sen(α1 − α2)]

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Exemplo

Sendo z =√

2 + i√

2 e w = 1 + i√

3, calcularz7

w 12

Modulos: |z | = 2 e |w | = 2.

Argumentos: tgα = 1, tgβ =√

3, com ambos os complexos no

primeiro quadrante. Portanto, α =π

4rad = 450 e

β =π

3rad = 600.

Forma Polar: z = 2.cisπ

4, w = 2.cis

π

3

Potencias: z7 = 27.cis(

7.π

4

)e w = 212.cis

(12.

π

3

)= 212.cis(0)

Quociente:z7

w12= 27−12.cis

(7π

4− 0

)=

1

32.cis

(7π

4

)

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