Noções de Estatística - I

Conceito Estatística é um ramo da Matemática Aplicada. A palavra Estatística provém da palavra Status e é usada em dois sentidos:

• Estatísticas (no plural) referem-se a dados numéricos e são informações sobre determinado assunto, coisa, grupo de pessoas etc. obtidas por um pesquisador.

• Estatística (no singular) significa o conjunto de métodos usados na condensação, análises e interpretações de dados numéricos.

De um modo geral, conceitua-se Estatística da seguinte forma:

É ciência, quando estuda populações; é método, quando serve de instrumento a uma outra ciência.

POPULAÇÃO E AMOSTRA

• PopulaçãoÉ todo o conjunto de elementos que possuam ao menos uma característica comum observável.

Ex: Todos os alunos do Ensino Médio do Brasil.

• AmostraÉ uma parte da população que será avaliada por um critério comum.

Ex: 500 alunos do Ensino Médio do Brasil.

• ParâmetrosSão caracterísiticas numéricas da população.Ex: QI médio dos estudantes do Ensino Médio do Brasil.

• EstimativasEm geral, por problemas de tempo e dinheiro, trabalha-se com amostras e não com a população.

Apostila de Exercícios - pág. 23 – Exercício nº 1

1. As idades dos 25 participantes de uma festa, em anos, estão descritas a seguir:

16, 15, 18, 14, 12, 18, 15, 16, 18, 12, 15, 14, 16, 15, 18, 16, 18, 16, 15, 14, 16, 15, 14, 16, 14.

• Dados BrutosÉ o conjunto de dados numéricos obtidos e que ainda não foram organizados.

16, 15, 18, 14, 12, 18, 15, 16, 18, 12, 15, 14, 16, 15, 18, 16, 18, 16, 15, 14, 16, 15, 14, 16, 14.

• RolÉ o arranjo dos dados brutos em ordem crescente (ou decrescente).

RESOLUÇÃO:a) rol12, 12, 14, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 18, 18, 18, 18, 18

• Amplitude (H):É a diferença entre o maior e o menor dos valores observados.

RESOLUÇÃO: b) H = 18 – 12 = 6

DISTRIBUIÇÃO DAS FREQUÊNCIAS: É o arranjo dos valores das variáveis e suas respectivas frequências.

• Frequência absoluta (fi) : É o número de vezes que o elemento aparece na amostra.

RESOLUÇÃO:

• Frequência relativa (fr):

(n é o número de elementos da amostra.)

• Frequência relativa percentual (f%):

• Frequência absoluta acumulada (fa): É a soma da frequência do valor da variável com todas as frequências anteriores.

• Frequência relativa acumulada (fra): É a soma da frequência relativa do valor da variável com todas as frequências relativas anteriores.

• Frequência percentual acumulada (f%a):

• Moda (Mo): É o valor da frequência máxima.

RESOLUÇÃO:

• Mediana (Md): Colocando-se os valores da variável em ordem crescente, a mediana é o elemento que ocupa a posição central.

RESOLUÇÃO:

• MÉDIA:

RESOLUÇÃO:

IMPORTANTE!!!!Caso o número de elementos do Rol for par, calculamos a mediana pela média

aritmética dos dois elementos centrais.

Representação Gráfica Setores Circulares (Pizza)

Foi feita uma Pesquisa a 400 alunos de uma escola sobre as atividades esportivas que gostariam de ter na escola. O resultado foi o seguinte:

Atividade Esportiva

Nº de alunosFreqüência

Absoluta

Freqüencia relativa

Voleibol 80 20%Basquetebol 120 30%

Futebol 160 40%Natação 40 10%

Total 400 100%

Representação GráficaSetores Circulares (Pizza)

Preferência

20%

30%

40%

10%

Volei

Basquete

futebol

natação

MédiasMédia Aritmética Simples

Média Aritmética ( X ) - É o quociente da divisão da soma dos valores da variável pelo número deles:

nx...xxx n21

Exemplo: Sabendo-se que a produção leiteira da vaca A, durante uma semana, foi de 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12 litros, temos, para produção média da semana:

X = 10 + 14 + 13 + 15 + 16 + 18 + 12 = 98 = 14 7 7

Exemplo: O exame de seleção pode ser composto de 3 provas onde as duas primeiras tem peso 1 e a terceira tem peso 2. Um candidato com notas 70, 75 e 90 terá média final:

Média Aritmética Ponderada

(UNESP-09) Durante o ano letivo, um professor de matemática aplicou cinco provas para seus alunos. A tabela apresenta as notas obtidas por um determinado aluno em quatro das cinco provas realizadas e os pesos estabelecidos pelo professor para cada prova.

Se o aluno foi aprovado com média final ponderada igual a 7,3, calculada entre as cinco provas, a nota obtida por esse aluno na prova IV foi:

7,322321

2.(6,2)2.x3.(7,5)2.(7,3)1.(6,5)

56 + 2x = 73 x = 8,5

Noções de Estatística - II

MEDIDAS DE POSIÇÃO• As medidas de posição servem para localizar os dados sobre o eixo da

variável em questão. As mais importantes são: a média, a mediana e a moda.

• A média e a mediana tendem a se localizar em valores centrais de um conjunto de dados. Por essa razão, costuma-se dizer que são medidas de tendência central. A moda, por sua vez, indica a posição de maior concentração de dados.

MEDIDAS DE DISPERSÃO• Servem para indicar o quanto os dados se apresentam dispersos em torno

da região central. Caracterizam, portanto, o grau de variação existente no conjunto de valores e, por isso, são também chamadas MEDIDAS DE VARIABILIDADE.

MEDIDAS DE DISPERSÃO• Amplitude

É a diferença entre o maior valor e o menor valor de um conjunto de dados.Ex.: Os valores seguintes representam o número de gols marcados pela seleção brasileira

nas últimas 5 copas do mundo.11, 14, 18, 10, 9

Amplitude = 18 – 9 = 9• Desvio

Uma maneira de medir o grau de dispersão ou concentração de cada valor da variável em relação às medidas de tendência central é fazer a diferença entre o valor da variável e a média.

Ex.: Um aluno obteve as seguintes notas na disciplina de matemática nos 4 bimestres:

Média aritmética = 7

49685

Desvios: nota 1: 5 – 7 = - 2nota 2: 8 – 7 = 1nota 3: 6 – 7 = - 1

nota 4: 9 – 7 = 2

• VariânciaÉ a média aritmética dos quadrados dos desvios.

• Desvio Padrão:É a raiz quadrada da variância.

• Quanto mais próximo de zero é o desvio padrão, mais homogênea (regular) é a amostra.

• Candidatos que obtém menor desvio padrão são considerados mais regulares.

Desvios: nota 1: 5 – 7 = - 2nota 2: 8 – 7 = 1nota 3: 6 – 7 = - 1

nota 4: 9 – 7 = 2

Ex.: As notas de dois alunos X e Y estão representadas no quadro abaixo.

N 1 N 2 N 3 N 4Paulo 5 2 5 8João 4 8 3 5

Por meio do desvio padrão, qual deles apresentou desempenho mais regular?

Média aritmética = Paulo

54

8525

Média aritmética = João

54

5384

Desvios: nota 1: 5 – 5 = 0Paulo nota 2: 2 – 5 = - 3 nota 3: 5 – 5 = 0 nota 4: 8 – 5 = 3

Desvios: nota 1: 4 – 5 = -1João nota 2: 8 – 5 = 3 nota 3: 3 – 5 = -2 nota 4: 5 – 5 = 0

4,54

232023)(20PauloVariância

2,124,5VPadrãoDesvio

3,54

2022)(232(-1)JoãoVariância

1,873,5VPadrãoDesvio

Logo, como João apresentou o menor desvio padrão, ele será dito o mais regular.

Exercício número 1 da página 24:

Desvio: