Noções de Função Derivada

Seja y = f( x) a função que está representada no gráfico, e sejam x0 e x0 + x dois valores de seu domínio.

A razão incremental é dada por :

Denomina-se função derivada o limite de quando x tende a zero ( assume valores muito pequenos ).

E indica-se por :

NOTA:A função derivada também pode ser indicada por :

y´ ( lê-se, derivada de y )

( lê- se, derivada de y em relação a x )

Exemplo :

Dada a função , definida em R , calcular a função derivada .

Regras Fundamentais de Derivação:

y

f(x0 + x)

f (x0 )

o x0 x0 + x x

Derivada da função constante : ; kR é nula, isto é :

Derivada da função identidade : é 1, ou seja :

Derivada da função potência :

Exemplos:1.

2.

3.

Derivada da função seno:

Derivada da função cosseno:

Derivada da função exponencial :

Exemplo:

Derivada da função logarítmica neperiana:

CAPÍTULO 4 - Movimento em duas e em três Dimensões

4.1 – Considerações Gerais:

Aqui serão estendidas as considerações apresentadas nos capítulo anterior para os casos bi e tridimensionais. Vamos utilizar álgebra vetorial nos conceitos já vistos ( posição, velocidade, deslocamento e aceleração )

4.2 – Posição e Deslocamento : Em geral, a localização de uma partícula é determinada pelo vetor posição r, que é um vetor que de um

ponto de referência ( geralmente a origem de um sistema de coordenadas ) até a partícula. Pela notação de vetores, escrevemos r como :

r = xi + yj + zk , onde xi , yj e zk são as componentes vetoriais de r, e os coeficientes x, y e z são as componentes escalares.

Ao longo do eixo x, P está 3 unidades da origem, no sentido – i . Ao longo do eixo y, está à duas unidades da origem, no sentido +j . E, ao longo do eixo z, está a 5 unidades da origem, no sentido +k.

Ex.: Inicialmente, o vetor posição de uma partícula é r1 = -3i + 2j + 5k e logo depois é r2 = 9i + 2j + 8k . Qual é o deslocamento de r1 para r2 ?Solução :r = r2 – r1 = ( 9i + 2j + 8k ) – ( -3i + 2j + 5k ) = 12i + 3k

Nota :Este vetor deslocamento é paralelo ao plano xz, porque sua componente y é nula; um fato constatado pelo resultado numérico.

4.3 – Velocidade e Velocidade Média: Uma partícula que sofre um deslocamento r, durante um intervalo de tempo t , tem velocidade

média:

P

5k2j

-3i

r

y

x

z

O

A velocidade instantânea é o limite de , quando t tende para zero. Lembramos que esse limite é a

derivada de r em relação á t ou seja, ; Substituindo r pela expressão r = xi + yj + zk , temos :

;

os coeficientes são as componentes escalares de v:

A posição da partícula P, na sua trajetória, é mostrada no instante t1 e no instante t1 + t seguinte. O vetor r é o deslocamento da partícula, no intervalo t. Também é mostrada a tangente à trajetória no instante t1.

NOTA :

No limite, quando t tende a zero, a velocidade média tende para v ( velocidade instantânea ) , e também, a velocidade média tem a direção da tangente. Logo, v também tem a mesma direção, isto é, sempre tangente à trajetória da partícula.

4.4 – Aceleração e Aceleração Média:

Quando a velocidade de uma partícula varia de v1 para v2, no intervalo de tempo t, sua aceleração média , durante este intervalo de tempo é :

P

x

y

o

r

r1 r2

Trajetória de P

tangente à curva

Aceleração instantânea a é o limite de a quando t tende a zero, ou seja,

Quando a velocidade varia em módulo e/ou direção, significa que existe uma aceleração:

ou

onde as três componentes escalares do vetor aceleração são:

Exemplo 1: Uma lebre atravessa correndo um estacionamento de veículos . A trajetória percorrida pela

lebre é dada pelas componentes do seu vetor posição com relação à origem das coordenadas, que são

função do tempo:

x = -0,31t2 + 7,2t + 28 e y = 0,22t2 – 9,1t + 30

As unidades dos coeficientes numéricos nessas equações são tais que , se substituirmos t em segundos,

obteremos x e y em metros.

a) Calcule o vetor posição r da lebre (módulo e direção) em t=15 s :

x = ( - 31) ( 15 )2 + ( 7,2 )( 15 ) + 28 = 66 m ; y = ( 0,22 )( 15 )2 – ( 9,1 )( 15 ) + 30 = -57 m

Módulo do vetor r :

P

x

y

o

ax

ay a

Trajetória de P

Direção do vetor r : o ãngulo que r faz com o semi-eixo positivo x é :

Nota : Embora a tangente de = 139o seja igual à de = -41o, não consideraremos o ângulo de 139o, por ser incompatível com os sinais das componentes de r.

b) Calcule o módulo e a direção do vetor velocidade da lebre em t = 15s.

Componente da velocidade na direção x :

Em t = 15s, obtemos :

Componente da velocidade na direção y :

Em t = 15s, obtemos ;

Módulo do vetor v :

Direção do vetor v :

Nota : Embora o ângulo de 50o tenha a mesma tangente, os sinais das componentes indicam que o ângulo

desejado está no terceiro quadrante, ou seja, 50o – 180o = -130o, O vetor velocidade é tangente à trajetória

da lebre e aponta na direção em que ela está correndo, em t = 15s.

c) Calcule também o módulo e a direção do vetor aceleração em t = 15s .

Componente da aceleração na direção x :

Componente da aceleração na direção y :

Observamos que a aceleração é invariável com o tempo, Podemos verificar que o vetor a tem módulo

e direção constantes em toda trajetória , (os cálculos são semelhantes ao item b).

Exemplo 2 : Uma partícula com velocidade (em m/s2 ) em t = 0 está sob uma aceleração

constante a , de módulo igual a 3,0 m/s2 , fazendo um ângulo = 130° com o semi-eixo positivo x . Qual a

velocidade v da partícula em t = 2,0 s , na notação dos vetores unitários, assim como seu módulo e direção

(em relação ao semi-eixo positivo x) ?

Solução : Como a é constante, a equação é aplicável ; entretanto , deverá ser usada

separadamente para calcular vx e vy (as componentes x e y do vetor velocidade v ), pois as componentes

variam de maneira independente uma da outra. Encontramos então

e

Onde v0x (= - 2,0m/s) e v0y (= 4,0 m/s) são as componentes x e y de v0 , e ax e ay são as componentes x e y

de a . Para determinar ax e ay , decompomos a com o auxílio da equação e

= ( 3,0 m/s2) (cos 130°) = - 1,93 m/s2 ,

= ( 3,0 m/s2) (sen 130°) = + 2,30 m/s2 .

Substituindo esses valores em vx e vy , temos

vx = - 2,0 m/s + (-1.93m/s2) (2,0s) = -5,9 m/s ,

vy = 4,0 m/s + (2,30m/s2) (2,0s) = 8,6 m/s ,

Então , em t = 2,0 s, temos

v = (-5.9m/s)i + (8,6 m/s)j

4.5 – Movimento de Projéteis:

É o movimento de uma partícula que executa um movimento bidimensional ( horizontal e vertical ) com aceleração g de queda livre para baixo. N a análise desse movimento desprezaremos os efeitos da resistência do ar. O projétil( a partícula ) é lançado em x0 = 0 e y0 = 0 com velocidade inicial , v0 = v0x i + v0yj .

No gráfico abaixo são mostradas a velocidade inicial e as velocidades, com suas componentes escalares, em vários pontos da trajetória.

A componente horizontal da velocidade permanece constante, ao tempo em que a componente vertical da velocidade varia sob a ação da gravidade.

O alcance R é a distância horizontal do ponto de lançamento, até o ponto em que o projétil volta à mesma altura do lançamento.

O Movimento Horizontal :

Como não existe aceleração n a direção horizontal, a componente horizontal da velocidade permanece constante

durante o movimento.

O deslocamento horizontal x – x0 a partir de uma posição inicial x0 é dado pela equação:

Movimento Vertical :O movimento vertical segue a análise do movimento de uma partícula em

queda livre. As equações a serem utilizadas são :

;

vx

vy v

v0

0v0y

v0x

v

vy = 0

x

y

0 R

x - x0 = ( v0cos )t

2000 2

1sen gttvyy

02

002 2sen yygvv y

III

y

x60°

Onde

Equação da Trajetória ( caminho percorrido pelo projeto ):

Alcance Horizontal :

Os Efeitos do Ar

A trajetória das duas bolas

O ângulo de lançamento é de 60° e a velocidade de lançamento é de 160 km/h.

(I) A trajetória do lançamento de uma bola, levando em conta a resistência do ar (calculada por computador).

(II) A trajetória que a bola teria no vácuo, calculada pelos métodos já conhecidos.

Exemplo :

Um avião de salvamento está voando a uma

altitude constante de 1.200m à velocidade de

430 km/h, numa trajetória diretamente sobre o

ponto em que uma pessoa está se debatendo na

água. Em que ângulo de mira o piloto deve

lançar a cápsula de salvamento, para que esta

caia bem próximo à pessoa?

A velocidade inicial da cápsula é a mesma do

avião. Isto é, a velocidade inicial v0 é horizontal, e vale 430 km/h. Podemos calcular o tempo de vôo da cápsula,

Fazendo y – y0 = 1.200 m (o sinal menos significa que a pessoa está

abaixo da origem) e 0 = 0, obtemos: . Resolvendo para t, achamos

.

Assim obtemos a distância horizontal percorrida pela cápsula (e pelo avião ) durante esse tempo:

= (430 km/h) (cos0° ) (15,665 s) ( 1h / 3600 s) = 1,869 km = 1.869 m

Trajetória I (Ar) Trajetória II (Vácuo)AlcanceAltura máximaTempo de percurso

97 m52 m6,6 s

175 m75 m7,9 s

0

h

y

xv0

v

tra jetórialinha de m ira

Se x0 = 0, então x = 1.869 m . O ângulo de mira então é

Como o avião e a cápsula têm a mesma velocidade horizontal, o avião permanece verticalmente sempre sobre a cápsula, enquanto ela estiver voando.

Exemplo : Num filme publicitário, um ator corre pelo telhado de um prédio e salta, na horizontal, para o

telhado de outro prédio mais abaixo, conforme mostrado na figura. Antes de tentar o salto, sabiamente quer

avaliar se isto é possível. Ele pode realizar o salto se sua velocidade máxima sobre o telhado for de 4,5 m/s ?

Ele levará um tempo para cair 4,8 m, o que pode ser determinado pela equação .

Fazendo y – y0 = - 4,8 m (observe o sinal) e 0 = 0, e utilizando a equação dada acima , obtemos

Agora perguntamos: “ Que distância ele alcançará horizontalmente nesse tempo? ”

= ( 4,5 m/s ) (cos 0°) (0,990 s) = 4,5 m

Para alcançar o outro prédio, o homem teria de se deslocar 6,2 m na horizontal). Logo, o conselho que damos ao ator é : “Não salte.”

Exemplo :

4,5 m /s

4,8 m

6,8 m

y

x27°

63°

R= 560 m

Nesta distância, o canhão de defesa do porto pode atingir o navio pirata estando em dois ângulos de elevação diferentes

A figura mostra um navio pirata ancorado a 560 m de um forte, que defende a entrada de um porto, em uma ilha. O canhão de defesa está localizado ao nível do mar e tem uma velocidade de tiro de 82 m/s .

a) Qual o ângulo de elevação do canhão para atingir o navio pirata ?

Resolvendo a equação para 20 , obtemos

.

Há dois ângulos cujo seno é 0,816, ou seja 54,7° e 125,3°. Logo, achamos e

O comandante do forte pode ordenar qualquer uma dessas elevações para o canhão atingir o navio pirata (se não houver influência do ar!).

b) Qual o tempo de percurso do projétil, até alcançar o navio, para cada um dos dois ângulos de elevação calculados anteriormente ?

Calculando t para 0 = 27°, temos

Repetindo o cálculo para 0 = 63°, obtemos t = 15 s . O que é razoável pois o tempo de percurso para maiores ângulos de elevação deve ser, também, maior.

c) A que distância do forte deve ficar o navio pirata, para se manter fora do alcance do canhão ?

Vimos que o alcance máximo corresponde a um ângulo de elevação 0 de 45° na equação de alcance

horizontal, temos

À medida que o navio pirata se afasta, os dois ângulos de elevação com que o navio pode ser atingido se aproxima, tendendo para 0 = 45° quando o navio está a 690 m de distância. Além desse ponto, o navio está a salvo.

4.6 – Movimento Circular Uniforme:

Uma partícula está em movimento circular uniforme se percorre um círculo ou arco circular com velocidade constante.

O fato de v ser um vetor, faz com que a partícula esteja acelerada devido à mudança de direção deste .

A aceleração responsável pela mudança de direção da partícula é a aceleração centrípeta( ).

Uma partícula se desloca em movimento circular uniforme, com velocidade constante v, num círculo de raio r.

Suas velocidades nos pontos P e q , eqüidistantes do eixo y, são vp e vq, dadas por suas componentes horizontal

e vertical, naqueles pontos.

A aceleração instantânea da partícula, em qualquer ponto, tem módulo e aponta para o centro do círculo.

Os vetores velocidade e aceleração para uma partícula em movimento circular uniforme. Os módulos são

constantes, mas as direções variam continuamente.

Não há uma relação fixa entre a direção do vetor velocidade e a direção do vetor aceleração.

A figura abaixo mostra exemplos em que o ângulo entre esses dois vetores varia de 0o e 180o.

x

y

O

P q

vp P

vpy

vpx

vqx

vqy

vqr r

O

v

v

v a

a

a

180° > 90° >

a

a

a

a

a

v

v v

v

v

Projétil atirado para c im a

Lançam ento de umpro jétil

Projétil na posiçãode altura m áxim a

Projétil atiradopara ba ixoQ ueda de um projétil