nogueira barbosa barra artigo - fmepro.org · Anais do VII Simpósio de Mecânica Computacional Araxá – MG, 31 de maio a 02 de junho de 2006 Figura 2 - Modelo de viga engastada,

DETERMINAÇÃO DE FREQÜÊNCIAS NATURAIS DE ESTRUTURAS SOB VIBRAÇÕES TRIDIMENSIONAIS A PARTIR DE IMAGENS ORIUNDAS

DE UMA CÂMERA Fernando Marques de Almeida Nogueira [email protected] Flávio de Souza Barbosa [email protected] Luis Paulo da Silva Barra [email protected] Universidade Federal de Juiz de Fora Juiz de Fora – MG – Brasil Freqüências naturais de vibrações em estruturas são normalmente avaliadas através da aplicação de técnicas de identificação modal aos sinais analógicos ou digitais obtidos de dispositivos como defletômetros, acelerômetros, extensômetros elétricos, etc. Alternativamente, é possível utilizar processamento de imagens para identificar o comportamento dinâmico estrutural, evitando o uso de medidores eletrônicos e condicionadores de sinais, o que, em geral, apresentam maiores custos. A determinação de coordenadas tridimensionais da cena a partir de imagens é geralmente realizada utilizando-se técnicas estereofotogramétricas (Shape from Stereo), as quais necessitam utilizar duas ou mais câmeras dispostas em posições distintas. As coordenadas tridimensionais de um ponto da cena são obtidas pela resolução do triângulo formado pelo ponto da cena e as suas respectivas imagens nos planos sensores das câmeras. O uso de tais técnicas apresenta várias dificuldades entre as quais pode-se destacar a dificuldade de sincronizar os instantes das tomadas de duas ou mais câmeras, a grande demanda de tempo de processamento e espaço para armazenamento das imagens além do próprio custo de aquisição de duas ou mais câmeras. Este trabalho apresenta uma técnica para determinação tridimensional das freqüências naturais de estruturas a partir de imagens tomadas por apenas uma câmera. As coordenadas tridimensionais do centro de um alvo circular preto e fundo branco fixado sobre a estrutura são determinadas com precisão sub-pixel através de um processo de calibração realizado para cada imagem da seqüência de imagens (vídeo) tomada pela câmera, formando a resposta temporal do alvo analisado. Posteriormente, determinam-se as freqüências naturais da estrutura por meio da Transformada Discreta de Fourier. Resultados para imagens sintéticas são apresentados, ratificando a eficiência da metodologia proposta. Palavras-chave: processamento de imagens, freqüência natural, dinâmica estrutural.

Anais do VII Simpósio de Mecânica Computacional

Araxá – MG, 31 de maio a 02 de junho de 2006

1. INTRODUÇÃO Freqüências naturais de vibrações em estruturas são normalmente avaliadas através da

aplicação de técnicas de identificação modal aos sinais analógicos ou digitais obtidos de dispositivos como defletômetros, acelerômetros, extensômetros elétricos, entre outros. De maneira geral, tais equipamentos apresentam desempenho satisfatório, porém, a utilização destes pode ser comprometida devido a vários fatores, tais como, posições de difícil acesso na estrutura e/ou alto custo dos equipamentos envolvidos como condicionadores de sinais.

Alternativamente, é possível utilizar processamento de imagens para identificar o comportamento dinâmico estrutural, podendo-se citar alguns trabalhos da literatura (Poudel et al, 2004 e Ram et al, 1996) que utilizam este procedimento com aplicações voltadas geralmente para avaliações de danos e identificação modal de estruturas.

As principais vantagens da abordagem proposta são:

• Possibilidade de obtenção de vibrações tridimensionais; • Equipamento sensor é disposto fora da estrutura; • Grande quantidade de pontos sobre a estrutura pode ser observada

simultaneamente; • Baixo custo relativo para equipamentos de baixa freqüência.

As principais desvantagens são:

• Geração de grande volume de dados para armazenagem/processamento; • Baixa amostragem temporal em relação aos demais procedimentos.

Uma dificuldade que ocorre quando se utilizam seqüências de imagens para identificar as

freqüências naturais de vibração em uma estrutura é corrigir as distorções ocasionadas pela projeção perspectiva que ocorre entre a cena (3D) e a imagem (2D). De acordo com os parâmetros de posição, orientação e escala (distância focal) da câmera, os efeitos da projeção perspectiva podem alterar significantemente as componentes espectrais para a estrutura analisada.

No entanto, este trabalho apresenta uma abordagem na qual as coordenadas tridimensionais (3D) de um alvo fixado sobre a estrutura são obtidas em função do tempo. Com isso, os efeitos ocasionados pela distorção perspectiva citada são eliminados. 2. RECONSTRUÇÃO TRIDIMENSIONAL - REVISÃO

A reconstrução tridimensional de uma cena a partir de imagens pode ser realizada

através de várias técnicas existentes, entre as quais pode-se citar: Shape from Shading (Horn, 1997), Shape from Motion (Ballard & Brown, 1982), Shape from Focus (Nayar & Nakagawa, 1994), Shape from Texture (Tommaselli et al., 1996), Shape from Stereo (Dhond & Aggarwal, 1989).

Todas as técnicas citadas acima possuem vantagens e desvantagens em relação uma às outras, no entanto, a técnica denominada Shape from Stereo, é a mais difundida dentre as demais.

A técnica Shape from Stereo utiliza duas ou mais câmeras situadas em posições distintas para a recuperação da informação tridimensional da cena. De maneira esquemática, a Fig. 1 mostra uma situação em que a imagem de dois pontos P1 e P2 constituintes da cena são projetadas sobre um mesmo pixel p em um plano sensor. Pode-se perceber que a informação



tridimensional foi perdida utilizando-se apenas uma câmera. No entanto, as imagens dos pontos P1 e P2 em um outro plano sensor são projetadas nos pixels p' e p". Se os parâmetros de posição e orientação das câmeras são conhecidos, bem como os parâmetros intrínsecos, tais como distâncias focais, distorção dos sistemas de lentes, entre outros, e a correspondência entre p e p' for estabelecida, pode-se determinar as coordenadas tridimensionais de P1 através da resolução do triângulo formado por P1 e os centros perspectivos (CP) das câmeras. De maneira análoga o mesmo pode ser estabelecido para o ponto P2 se a correspondência entre p e p" for estabelecida.

Figura 1 – Determinação por triangulação das coordenadas 3D dos pontos P1 e P2.

A maior dificuldade desta técnica consiste em estabelecer a correspondência de pixels

homólogos entre as imagens de maneira autônoma e determinar os parâmetros de posição e orientação das câmeras.

Para cenas dinâmicas, uma outra dificuldade em empregar esta técnica é sincronizar os instantes das tomadas das câmeras. Esta dificuldade pode inviabilizar a sua utilização, uma vez que pequenos intervalos de tempo de defasagem entre os instantes das tomadas das câmeras influenciam significantemente as componentes de alta freqüência de vibração da estrutura analisada.

3. RECONSTRUÇÃO TRIDIMENSIONAL INJUNCIONADA

As dificuldades da técnica Shape from Stereo, citadas no item 2, podem ser eliminadas se

o modelo matemático da cena é conhecido a priori. Com isso, as coordenadas tridimensionais do alvo podem ser recuperadas através de um processo de regressão não-linear das observações dos pixels de uma única imagem constituinte da região de interesse da cena ao modelo matemático.

Esta abordagem evita o problema de sincronização das tomadas, estabelecimento da correspondência de pixels homólogos e determinação dos parâmetros de posição e orientação das câmeras existentes na técnica Shape from Stereo, uma vez que utiliza apenas uma câmera.

3.1 Modelo Matemático

Para o caso desta aplicação, um alvo circular fixado sobre a estrutura é considerado como a cena a ser analisada, sendo descrito pela equação da circunferência, por exemplo, na sua forma paramétrica:

( ) 0XcosRX +φ= (1)



( ) 0YsinRY +φ= (2) sendo: (X,Y) são coordenadas no sistema global sobre a circunferência; (X0,Y0) são coordenadas no sistema global do centro da circunferência; R é o raio da circunferência; e [ ]π=φ 2,0 .

Uma vez que a circunferência está sobre um plano, as coordenadas Z dos pontos sobre a circunferência no sistema global devem satisfazer a equação reduzida do plano:

cbYaXZ ++= (3)

sendo: a, b e c os parâmetros da equação reduzida do plano.

A posição da câmera é definida pelas coordenadas do seu centro perspectivo CP (XCP,

YCP, ZCP) no sistema global (3D) e sua orientação pelas rotações κ (em torno do eixo Z), ϕ (em torno do eixo Y), e θ (em torno do eixo X). A distância focal f é a distância entre o CP e o plano sensor da câmera.

O modelo de câmera utilizado neste trabalho é o de câmera de orifício, no qual as coordenadas (x,y) no sistema imagem de um ponto com coordenadas (X,Y,Z) no sistema global podem ser dadas por (Gonzales, 2002):

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )CP33CP32CP31

CP13CP12CP11

ZZrYYrXXrZZrYYrXXrfx

−+−+−−+−+−

= (4)

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )CP33CP32CP31

CP23CP22CP21

ZZrYYrXXrZZrYYrXXrfy

−+−+−−+−+−

= (5)

sendo:

r =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ϕθϕθ−ϕκϕθ+κθκϕθ−κθκϕ−κϕθ−κθκϕθ+κθκϕ

coscoscossensensensencoscossensensensencoscossencoscossencossensencossensensencoscoscos

(6)

A Figura 2 mostra os sistemas global e imagem, os ângulos de orientação do sistema

imagem em relação ao sistema global, bem como o alvo circular sobre uma viga engasta livre.



Figura 2 - Modelo de viga engastada, alvo e sistemas de coordenadas.

Sem perda de generalidade, pode-se arbitrar a posição do centro perspectivo (CP) da

câmera nas coordenadas CP = (0,0,0), bem como os ângulos de orientação do sistema imagem em relação ao sistema global como (κ,ϕ,θ) =(0,0,0). Neste caso, as Eqs. (4) e (5) degeneram-se em:

ZXfx =

(7)

ZYfy =

(8)

Substituindo Eqs. (1), (2) e (3) nas Eqs. (7) e (8), o modelo matemático fica:

( )

( )( ) ( )( ) cYsinRbXcosRaXcosRfx

00

0

++φ++φ+φ

= (9)

( )( )( ) ( )( ) cYsinRbXcosRa

YsinRfy00

0

++φ++φ+φ

= (10)

As rotações do plano que contém o alvo em relação ao plano sensor das câmeras são

descritas de maneira implícita pelos parâmetros a e b da equação reduzida do plano, fato este que permite anular as rotações (κ,ϕ,θ) a fim de evitar parâmetros redundantes no modelo.

Os parâmetros f e R também podem ser dados arbitrariamente sem perda de generalidade, uma vez que a função destes é impor apenas um fator de escala para o sistema global de

Câmera

Alvo

y

X

Z

κ

ϕ

θ

Sistema Global

Sistema Imagem

CP

Y

f

x



coordenadas, que por sua vez influenciam apenas a amplitude da resposta espectral também apenas como um fator de escala.

Com isso, os parâmetros f e R podem ser arbitrados para os valores 1 e 1, sendo necessário apenas a obtenção dos parâmetros X0, Y0, a, b, c e φ, sendo este último para cada ponto da circunferência. De maneira formal φj, sendo j = 1,...,N, com N igual ao número total de pontos sobre a circunferência.

Uma vez que cada ponto p(x,y) observado sobre a circunferência fornece 2 equações (equações (9) e (10)), o número de graus de liberdade (gl) é dado por:

( ) 05n5nn2gl ≥−=+−= (11)

sendo: n o número de pontos observados.

A partir da Eq. (11), conclui-se facilmente que é necessário observar no mínimo 5 pontos

sobre a circunferência a fim de determinar de maneira única os parâmetros de real interesse que são X0, Y0, a, b, c. Os parâmetros φj precisam ser determinados também, porém os seus valores não são de interesse nesse trabalho.

De posse dos parâmetros X0, Y0, a, b, c, determina-se a coordenada Z0 do centro da circunferência através de:

cbYaXZ 000 ++= (12)

É importante ressaltar que as coordenadas tridimensionais do centro do alvo estão isentas

das distorções ocasionadas pela projeção perspectiva, uma vez que as Eqs. (9) e (10) modelam esta projeção.

3.2 Especificação do Alvo e Processamento de Imagens

A fim de facilitar a identificação de maneira autônoma dos pixels sobre a circunferência,

pode-se utilizar um alvo preto sobre fundo branco, que por sua vez ocasiona um alto contraste na região de borda do círculo na imagem.

Uma maneira muito difundida na área de processamento de imagens para determinar pixels em regiões de alto contraste, comumente denominados por "bordas", é realizar a convolução de um filtro passa-alta pela imagem seguida por um processo de limiarização (thresholding).

Um filtro muito utilizado para detecção de bordas são os operadores de Sobel. A figura abaixo mostra estes operadores.

1 0 -1 2 0 -2 1 0 -1

dx

1 2 1 0 0 0 -1 -2 -1

dy

Figura 3 - Operadores de Sobel. A resposta do filtro no domínio do tempo h(x,y) pode ser dada:

22 dydx)y,x(h += (13)



A resposta do filtro passa-alta fornece altos valores apenas nas regiões de alto contraste sendo que o processo de limiarização rotula a posição desses altos valores de maneira binária (pertence ou não a uma região de alto contraste).

A Figura 4a mostra a imagem do alvo circular preto sobre fundo branco e a Fig. 4b mostra os pixels em branco que foram rotulados com pertencentes à região de borda.

Figura 4a – Imagem com alvo preto sobre fundo branco.

Figura 4b – Imagem dos pixels rotulados como bordas.

3.3 Regressão Não-Linear e Método de Mínimos Quadrados

De acordo com a Eq. (11), concluiu-se que é necessário observar no mínimo 5 pontos

sobre a circunferência a fim de determinar de maneira única os parâmetros do modelo matemático descrito em (9) e (10). No entanto, geralmente o número de pontos observados sobre a circunferência é muito maior que 5, o que permite utilizar, entre outros, o Método de Mínimos Quadrados - MMQ (Gemael, 1994) para determinar de maneira única os parâmetros do modelo.

O critério empregado no MMQ consiste em aceitar como melhor estimativa dos parâmetros os seus respectivos valores que tornam mínima a soma dos quadrados dos resíduos.

O modelo empregado no MMQ reúne tanto parâmetros ajustados como valores observados ajustados ligados por uma função implícita. Em notação formal:

( ) 0L,XF aa = (14)

sendo: aX o vetor dos parâmetros ajustados; e aL o vetor das observações ajustadas. Fazendo:

ba LLV −= (15)

0a XXX −= (16)

0XaXFA

∂

∂=

(17)

bLaLFB

∂

∂=

(18)



( )b0 L,XFW = (19)

sendo: bL o vetor das observações; V o vetor dos resíduos; 0X o vetor dos parâmetros aproximados; X o vetor de correções aos parâmetros aproximados; A a matriz das derivadas parciais do modelo em relação aos parâmetros; B a matriz das derivadas parciais do modelo em relação às observações; e W o vetor dos erros de fechamento. O modelo em (14) linearizado através de série de Taylor e desprezado os termos de mais altas ordens, fica:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0LLLFXX

XFL,XFVL,XXFL,XF ba

La0a

Xab0b0aa

b0

=−∂

∂+−

∂

∂+≈++=

(20)

Substituindo Eqs. (15), (16), (17), (18), (19) na Eq. (20), fica:

0WVBXA =++ (21) A expressão (20) representa as equações de restrição do sistema. A função-objetivo a ser minimizada (em notação matricial) é:

VPVMint

(22)

sendo: P a matriz de peso das observações. Se todas as observações possuem a mesma precisão e não são correlacionadas a matriz P é igual à identidade.

A minimização da Eq. (22) não implica que a solução satisfaça (21). Para impor essa condição pode-se construir uma nova função-objetivo a ser minimizada que incorpora (21) e (22) utilizando multiplicadores de Lagrange.

( )WVBXAK2VPVMintt

++− (23)

sendo: K o vetor dos correlatos ou dos multiplicadores de Lagrange.

Sem demonstrações, o vetor de correção aos parâmetros aproximados X é obtido por:

( ) WMAAMAX 1t11t −−−−= (24)

sendo:



t1BBPM −= (25)

A minimização de (23) deve ser realizada de maneira iterativa, uma vez que (21) representa uma aproximação linear do modelo original em 0X e bL . O processo iterativo cessa quando as componentes de X forem menores que um valor ∆ estipulado. A Figura 5 mostra o processo iterativo.

iteração 1

( )0b X,LFW =

( )0XFA ′=

( )bLFB ′=

( ) WMAAMAX 1t11t −−−−= XXX 0a += atualização

a0 XX =

∆<X

FIM

iteração 2 ( )0b X,LFW =

( )0XFA ′=

( )bLFB ′=

( ) WMAAMAX 1t11t −−−−= XXX 0a += atualização

a0 XX =

iteração k ( )0b X,LFW =

( )0XFA ′=

( )bLFB ′=

( ) WMAAMAX 1t11t −−−−= XXX 0a +=

Figura 5 - Processo iterativo para o MMQ em modelos não-lineares.

A Figura 6 mostra um exemplo em detalhe de uma circunferência (curva vermelha) ajustada para as observações (pontos verdes) além da representação do centro da circunferência (cruz magenta) e do raio (linha amarela).

Figura 6 - Circunferência ajustada.



Apesar das observações serem realizadas de maneira discreta (coordenadas dos pixels que estão sobre a região de alto contraste) as coordenadas 3D do centro do alvo são obtidas com precisão denominada sub-pixel, uma vez que estas são oriundas do processo de regressão. Após a realização do MMQ, pode-se estimar as matrizes Variâncias-Covariâncias (MVC) dos parâmetros ajustados (Xa), das observações ajustadas (La) e dos resíduos (V). Nestas matrizes, os elementos da diagonal principal são as variâncias e os demais são as covariâncias e, portanto, estas matrizes representam estimativas da precisão do processo de regressão. A Figura 7 mostra, para o exemplo de regressão apresentado na Fig. 6, nos gráficos superiores a MVC de Xa e a MVC de La, nos gráficos inferiores a MVC de V e a MVC de Xa novamente, porém apenas para os 5 primeiros parâmetros ajustados da regressão que são, nesta ordem, X0, Y0, a, b e c. Para as demais linhas e colunas dessa matriz, os valores representam as variâncias e covariâncias para os parâmetros ajustados φj. Para as demais matrizes o raciocínio é análogo.

MVC Xa - frame = 300

20 40 60 80100120140

20406080

100120140

-5

0

5

10

15

20x 10-5 MVC La - frame = 300

50 100 150 200 250

50

100

150

200

250-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

MVC V - frame = 300

50 100 150 200 250

50

100

150

200

250-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0MVC Xa - frame = 300

1 2 3 4 5

1

2

3

4

50

2

4

6

x 10-5

Figura 7 - Matrizes Variâncias-Covariâncias de Xa, La e V.

4. SÉRIE TEMPORAL DO ALVO E DETERMINAÇÃO DAS FREQÜÊNCIAS NATURAIS

Para construir a série temporal do alvo realiza-se a regressão não-linear descrita no item 3.3 para cada imagem da seqüência de imagens (vídeo) tomada durante a vibração da estrutura. Neste trabalho esta série é composta de fato por três séries temporais, sendo uma para cada conjunto de coordenadas na direção X, Y e Z do centro do alvo. Estas séries são denominadas X0(t), Y0(t) e Z0(t), onde t é o instante da tomada.



De posse das séries temporais citadas acima realiza-se a Transformada Discreta de Fourier para cada uma das séries temporais, obtendo-se a resposta espectral da estrutura para as direções X, Y e Z, aqui denominadas X0(F), Y0(F) e Z0(F), onde F é a freqüência. As freqüências naturais da estrutura para as direções X, Y e Z são obtidas através da inspeção dos gráficos de magnitude ou de potência de Fourier. 5. TESTES Os testes foram realizados utilizando seqüências de imagens geradas artificialmente com o software Pov-Ray v3.6® (Pov-Ray, 2005). A Figura 7 mostra uma seqüência típica com 6 quadros capturados pela câmera hipotética.

Figura 7: Seqüência de imagens típicas geradas com o software Pov-Ray v3.6®. Duas seqüências de imagens foram geradas. Em ambas as seqüências o centro do alvo descreve uma circunferência no plano XZ, enquanto oscila de maneira senoidal na direção Y. Na seqüência 1 o centro do alvo descreve uma trajetória com o seguinte modelo:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

=10

t2costX0 (26)

( ) ( )t2sin4.0tY0 π= (27)

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

=10

t2sintZ0 (28)

Na seqüência 2 o centro do alvo descreve a seguinte trajetória:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

=10

t2costX0 (29)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tt0 et10sin2.0et4sin4.0tY −− π+π= (30)

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

=10

t2sintZ0 (31)

6. RESULTADOS A Figura 8 mostra nos três gráficos superiores as séries temporais X0(t), Y0(t), Z0(t) e nos três gráficos inferiores seus respectivos espectros de magnitude de Fourier para a seqüência 1.



0 2 4 6 8-1

-0.5

0

0.5

tempo

Des

loca

men

to

Xo

0 2 4 6 8-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

tempo

Des

loca

men

to

Yo

0 2 4 6 83

3.5

4

4.5

tempo

Des

loca

men

to

Zo

0 5 10

20

40

60

80

100

120

140

|Xo(F)|

Hertz

Mag

nitu

de

0 5 10

10

20

30

40

50

60|Yo(F)|

Hertz

Mag

nitu

de

0 5 10

200

400

600

800

1000

|Zo(F)|

Hertz

Mag

nitu

de

Figura 8 - Séries temporais X0(t), Y0(t), Z0(t) e seus respectivos espectros de magnitude de

Fourier para a seqüência 1. Analisando os gráficos de espectros de magnitude de Fourier observa-se que os picos estão localizados nas componentes espectrais 0.1 Hz, 1 Hz e 0.1 Hz, para os gráficos |X0(F)|, |Y0(F)| e |Z0(F)|, respectivamente, estando de acordo com o modelo utilizado para gerar a seqüência 1. A Figura 9 mostra a trajetória descrita pelo centro do alvo para a seqüência 1.

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

2.5

3

3.5

4

4.5

5

-0.5

0

0.5

Xo

Trajetória

Zo

Yo

Figura 9 - Trajetória para a seqüência 1.

A figura 9 mostra nos três gráficos superiores as séries temporais X0(t), Y0(t), Z0(t) e nos três gráficos inferiores seus respectivos espectros de magnitude de Fourier para a seqüência 1.



0 2 4 6 8-1

-0.5

0

0.5

1

tempo

Des

loca

men

to

Xo

0 2 4 6 8-0.5

0

0.5

tempo

Des

loca

men

to

Yo

0 2 4 6 84

4.5

5

5.5

6

tempo

Des

loca

men

to

Zo

0 5 10

20

40

60

80

100

120

140

|Xo(F)|

Hertz

Mag

nitu

de

0 5 10

5

10

15

20

25

30

35

|Yo(F)|

Hertz

Mag

nitu

de

0 5 10

200

400

600

800

1000

1200

1400

|Zo(F)|

Hertz

Mag

nitu

de

Figura 10 - Séries temporais X0(t), Y0(t), Z0(t) e seus respectivos espectros de magnitude de

Fourier para a seqüência 2. Analisando os gráficos de espectros de magnitude de Fourier observa-se que os picos estão localizados nas componentes espectrais 0.1 Hz para os gráficos |X0(F)| e |Z0(F)|. Já para o gráfico |Y0(F)| existem dois picos localizados nas componentes espectrais 2 Hz e 5 Hz, estando de acordo com o modelo utilizado para gerar a seqüência 2. A Figura 11 mostra a trajetória descrita pelo centro do alvo para a seqüência 2.

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

3.5

4

4.5

5

5.5

6

6.5

-1

-0.5

0

0.5

1

Xo

Trajetória

Zo

Yo

Figura 11 - Trajetória para a seqüência 2.



7. CONCLUSÕES Um método de baixo custo para identificação de freqüências naturais de estruturas via processamento de imagens foi apresentado neste trabalho. Os resultados foram obtidos através de simulações numéricas e mostraram que a abordagem apresentada pode ser aplicada em problemas de identificação dinâmica estrutural, validando a metodologia proposta. Entretanto, testes em modelos reais são necessários para se analisar influências de fatores inerentes aos ensaios experimentais tais como reverberação, distorções do sistema de lentes, entre outros. Agradecimentos Os autores agradecem ao CNPq (Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico) e à FAPEMIG (Fundação de Amparo à Pesquisa de Minas Gerais) pelo apoio financeiro. REFERÊNCIAS Ballard, D. H. & Brown, C. M. Computer Vision. Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, 1982. Dhond, U. R. & Aggarwal, J. K. Structure from Stereo - A Review. IEEE Transactions on

Systems, Man and Cybernetics, 19(6):1489-1510, 1989. Gemael, C. Introdução ao Ajustamento de Observações: aplicações geodésicas. Editora

UFPR, Curitiba, 1994. Gonzalez, R. C. & Woods, R. E., 2002 Digital Image Processing. 2nd edition. Prentice Hall. Horn, B.K.P. Understanding image intensities. Artificial Intelligence, 8:201-231, 1997. Nayar, S. K. & Nakagawa, Y. Shape from Focus. IEEE Transactions on Pattern Analysis and

Machine intelligence, 16(8):824-831, 1994. Poudel, U.P., Fu, G. & Ye, J., 2004. Structural damage detection using digital video imaging

technique and wavelet transformation. Journal of Sound and Vibration. Pov-Ray v3.6., 2005. Disponível para download em http://www.povray.org/ (site acessado em

15/03/2006). Ram, Y. M. & Caldwell, J., 1996. Free vibration of a string with moving boundary conditions

by the method of distorted images. Journal of Sound and Vibration, 194(1), 35-47. Tommaselli, A. M. G., Shimabukuro M. H., Scalco P. A. P. e Nogueira F. M. A.

Implementation of a Photogrammetric Range System. International Archives of Photogrammetry and Remote Sensing, Vienna. 31(B2):368-373, 1996.

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