DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS E EXACTAS

ENGENHARIA INDUSTRIAL E SISTEMA ELÉCTRICOS

PROVA DE EXAME DE MÉTODOS MATEMÁTICOS

Variante A

1. Seja A = 501.754 A’ = “uma aproximação á unidade de A” e B = 0.501754 B’ = “arredondado ao 3o digito de B”; a) Determina a melhor aproximação? Argumente o resultado?

2. A função a(x) = 2.02x5 - 1.28x4 + 3.06x3 - 2.92x2 - 5.66x + 6.08 é utilizada num estudo do comportamento mecânico dos materiais, representando a(x) o comprimento da fissura e x(> 0) uma fracção do número de ciclos de propagação.

Pretende-se saber para que valores de x a velocidade de propagação é nula. Utilize um método que não recorre ao cálculo de derivadas, usando como critério de paragem ε = 10-2 ou no máximo três iterações.

3. Um engenheiro de Produção supervisiona a produção de três tipos de computadores. Existem quatro espécies de recursos necessários à produção: mão-de-obra, metais e plásticos. As quantidades destes recursos, necessárias para produzir cada computador são:

Mão de obra(h/comp.)

Metais(Kg/comp.)

Plásticos(Kg/comp.)

1 3 20 102 4 25 153 7 40 20

Considere um consumo diário de 504 h de mão-de-obra, 1970 Kg de metais e 970 Kg de plásticos.

a) Use um método directo para calcular o número de computadores (número inteiro) de cada tipo produzidos por dia.

b) Use o método iterativo de Gauss-Seidel, tomando como aproximação inicial x(1) = (9, 10, 12). Apresente apenas os cálculos relativos às duas primeiras iterações, indicando uma estimativa do erro relativo.

c) Comente os resultados obtidos, analisando as condições suficientes de convergência.

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Variante B

1. Seja A = 501.754 A’ = “uma aproximação á unidade de A” e B = 0.501754 B’ = “arredondado ao 3o digito de B”; a) Determina a melhor aproximação? Argumente o resultado?

2. A função a(x) = 2.02x5 - 1.28x4 + 3.06x3 - 2.92x2 - 5.66x + 6.08 é utilizada num estudo do comportamento mecânico dos materiais, representando a(x) o comprimento da fissura e x(> 0) uma fracção do número de ciclos de propagação.

Pretende-se saber para que valores de x a velocidade de propagação é nula. Utilize um método que não recorre ao cálculo de derivadas, usando como critério de paragem ε = 10-2 ou no máximo três iterações.

3. Uma transportadora tem três tipos de camiões, Camião1, Camião2 e Camião3, que estão equipados para levar três tipos diferentes de máquinas de acordo com a seguinte tabela:

máquina A máquina B máquina CCamião1 1 0 2Camião2 1 1 1Camião3 1 2 1

Por exemplo, o Camião1 pode levar uma máquina A, nenhuma máquina B e duas máquinas C . Supondo que cada camião vai com carga máxima, quantos camiões de cada tipo devemos enviar para transportar exactamente 12 máquinas A, 10 máquinas B e 16 máquinas C ?

a) Resolva o problema por um método de Eliminação de Gauss.

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Variante C

1. Seja A = 501.754 A’ = “uma aproximação á unidade de A” e B = 0.501754 B’ = “arredondado ao 3o digito de B”; a) Determina a melhor aproximação? Argumente o resultado?

2. A função a(x) = 2.02x5 - 1.28x4 + 3.06x3 - 2.92x2 - 5.66x + 6.08 é utilizada num estudo do comportamento mecânico dos materiais, representando a(x) o comprimento da fissura e x(> 0) uma fracção do número de ciclos de propagação.

Pretende-se saber para que valores de x a velocidade de propagação é nula. Utilize um método que não recorre ao cálculo de derivadas, usando como critério de paragem ε = 10-2 ou no máximo três iterações.

3. Num determinado circuito eléctrico, as correntes i1, i2 e i3 passam através das impedâncias Z1, Z2 e Z3 e são dadas por:

i1 + i2 + i3 = 0Z1i1 - Z2i2 = e1 - e2

Z2i1 - Z3i3 = e2 - e3

Se Z1 = 10, Z2 = 8, Z3 = 3, e1 - e2 = 65 e e2 - e3 = 120:

a) Calcule os valores das correntes i1, i2 e i3 por um método directo.b) Calcule o determinante da matriz.c) Calcule a matriz inversa.