MECÂNICA VETORIAL PARA ENGENHEIROS:

ESTÁTICA

Nona Edição

Ferdinand P. Beer

E. Russell Johnston, Jr.

Notas de Aula:

J. Walt Oler

Texas Tech University

CAPÍTULO

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2Estática das Partículas

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Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática

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na

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içã

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Conteúdo

2 - 2

Introdução

Resultante de Duas Forças

Vetores

Adição de Vetores

Resultante de Várias Forças

Concorrentes

Problema Resolvido 2.1

Problema Resolvido 2.2

Componentes Retangulares de

uma Força: Vetores Unitários

Adição de Forças pela Soma

dos Componentes

Problema Resolvido 2.3

Equilíbrio de uma Partícula

Diagramas de Corpo Livre

Problema Resolvido 2.4

Problema Resolvido 2.6

Componentes Retangulares no Espaço

Problema Resolvido 2.7

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Introdução

2 - 3

• O objetivo desta parte é analisar o efeito de forças que atuam sobre

partículas:

- substituir múltiplas forças atuando em uma partícula por uma

única força equivalente ou resultante,

- analisar as relações entre forças que atuam em uma partícula

que está em estado de equilíbrio.

• O foco em partículas não implica uma restrição a pequenos corpos.

Significa que o estudo é restrito a análises nas quais o tamanho e o

formato dos corpos não afetam significativamente a resolução dos

problemas. Nesses casos, todas as forças que atuam sobre um dado

corpo podem ser consideradas como tendo um mesmo ponto de

aplicação.

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Resultante de Duas Forças

2 - 4

• Força: ação de um corpo sobre outro;

caracterizada por seu ponto de aplicação,

sua intensidade, sua direção, e seu sentido.

• Evidências experimentais mostram que o

efeito conjunto de duas forças pode ser

representado por uma única força resultante.

• A resultante de duas forças é equivalente à

diagonal de um paralelogramo que contém as

forças em lados adjacentes.

• Força é uma grandeza vetorial.

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Vetores

2 - 5

• Vetores: expressões matemáticas que têm intensidade, direção

e sentido e que se somam conforme a lei do paralelogramo.

Exemplos: deslocamentos, velocidades, acelerações.

• Classificações de vetores:

- Vetores fixos têm pontos de aplicação bem definidos e

não podem ser deslocados sem que se alterem as

condições do Problema.

- Vetores livres podem se mover livremente no espaço

sem que se alterem as condições do Problema.

- Vetores deslizantes podem ser deslocados ao longo de

suas linhas de ação sem que se alterem as condições do

Problema.

• Vetores iguais têm a mesma intensidade e o mesmo sentido.

• O vetor negativo de um vetor dado é aquele que tem sua

mesma intensidade e sentido oposto.

• Escalares: grandezas físicas que têm intensidade mas não

têm direção. Exemplos: massa, volume e temperatura.

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Adição de Vetores

2 - 6

• Regra do paralelogramo para soma de

vetores

• Regra do triângulo para soma de vetores

B

B

C

C

QPR

BPQQPR

cos2222

• Lei dos cossenos,

• Lei dos senos,

Q

senC

R

senB

P

senA

• A adição de vetores é comutativa,

PQQP

• Subtração de vetores

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Adição de Vetores

2 - 7

• Soma de três ou mais vetores por meio da

aplicação sucessiva da regra do triângulo.

• Regra do polígono para a soma de três ou mais

vetores.

• A adição de vetores é associativa,

SQPSQPSQP

• Multiplicação de um vetor por um escalar.

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Resultante de Várias Forças Concorrentes

2 - 8

• Forças concorrentes: conjunto de forças que

passam por um mesmo ponto.

Um conjunto de forças concorrentes

aplicadas em uma partícula pode ser

substituído por uma única força resultante

que é o vetor equivalente à soma das forças

aplicadas.

• Componentes do vetor força: dois ou mais

vetores que, juntos, têm o mesmo efeito que

um único vetor.

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Problema Resolvido 2.1

2 - 9

As duas forças atuam sobre um

parafuso A. Determine sua

resultante.

SOLUÇÃO:

• Solução gráfica - construímos um

paralelogramo com lados nas mesmas

direções de P e Q desenhados em escala.

Avaliamos graficamente a resultante que

é equivalente à diagonal em direção e

proporcional em módulo.

• Solução trigonométrica – usamos a regra

do triângulo para soma de vetores em

conjunto com a lei dos cossenos ou a lei

dos senos para encontrar a resultante de P

e Q.

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Problema Resolvido 2.1

2 - 10

• Solução gráfica - Um paralelogramo com lados

iguais a P e Q é desenhado em escala. A

intensidade e o ângulo que define a direção da

resultante (diagonal do paralelogramo) são

medidos,

35N 98 R

• Solução gráfica – Um triângulo é desenhado

com P e Q no padrão ponta-a-cauda e em

escala. A intensidade e o ângulo que define a

direção da resultante (terceiro lado do triângulo)

são medidos,

35N 98 R

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Problema Resolvido 2.1

2 - 11

• Solução trigonométrica –Aplicamos a regra do

triângulo. B= 180o–25o=155o. Pela lei dos cossenos,

155cosN60N402N60N40

cos2

22

222 BPQQPR

A20α

15,04A

97,73N

60N155sen

R

QBsen Asen

R

Bsen

Q

Asen

N73,97R

Pela lei dos senos,

04,35

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Problema Resolvido 2.2

2 - 12

a) A força de tração em cada um

dos cabos para = 45o,

b) O valor de para o qual a tração

no cabo 2 é mínima.

Uma barcaça é puxada por dois

rebocadores. Se a resultante das

forças exercidas pelos rebocadores

é 22.250 N dirigida ao longo do

eixo da barcaça, determine:

SOLUÇÃO:

• Obtemos uma solução gráfica aplicando a

Regra do Paralelogramo para soma vetorial.

O paralelogramo tem lados nas direções dos

dois cabos e diagonal na direção do eixo da

barcaça com comprimento proporcional a

22.250 N.

• O ângulo para a tração mínima no cabo 2 é

determinado aplicando-se a Regra do Triân-

gulo e observando o efeito de variações em .

• Obtemos uma solução trigonométrica

aplicando a Regra do Triângulo para soma

vetorial. Com a intensidade e a direção da

resultante conhecida e as direções dos

outros dois lados, paralelas aos cabos

dados, aplicamos a Lei dos Senos para

encontrar as trações nos cabos.

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Problema Resolvido 2.2

2 - 13

• Solução gráfica –Aplicamos a regra do

paralelogramo conhecendo a direção e a

intensidade da resultante e as direções dos

lados

N500.11N200.16 21 TT

• Solução trigonométrica - Regra do

triângulo e Lei dos Senos

105

250.22

3045

21

sen

N

sen

T

sen

T

N 517.11N288.16 21 TT

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Problema Resolvido 2.2

2 - 14

• O ângulo para tração mínima no cabo 2 é

determinado aplicando a regra do triângulo e

observando o efeito de variações em .

• A tração mínima no cabo 2 ocorre quando T1

e T2 são perpendiculares

30sen N) (22.250T2NT 111252

30 cos N 22.250T1NT 192691

3090 60

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Componentes Retangulares de uma Força: Vetores Unitários

2 - 15

• Os componentes de um vetor podem ser expressos

como produtos dos vetores unitários pelas intensidades

dos componentes do vetor.

Fx e Fy são chamados de componentes escalares de .

jFiFF yx

F

• Pode-se decompor uma força em dois componentes

perpendiculares de forma que o paralelogramo

resultante é um retângulo. são chamados de

componentes retangulares e

yx FFF

yx F e F

• Definimos então os vetores unitários perpendiculares

que são paralelos aos eixos x e y.j e i

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Adição de Forças pela Soma dos Componentes

2 - 16

SQPR

• Deseja-se obter a resultante de 3 ou mais forças

concorrentes,

jSQPiSQP

jSiSjQiQjPiPjRiR

yyyxxx

yxyxyxyx

• Para isso, decompomos cada força em

componentes retangulares

x

xxxx

F

SQPR

• Os componentes escalares da resultante são

iguais à soma dos componentes escalares

correspondentes das forças dadas.

y

yyyy

F

SQPR

x

y

yxR

RRRR arctg22

• Para encontrar a intensidade e a direção da resultante,

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Problema Resolvido 2.3

2 - 17

Quatro forças atuam no parafuso A,

como mostrado na figura. Determine a

resultante das quatro forças no

parafuso.

SOLUÇÃO:

• Decompomos cada força em

componentes retangulares.

• Calculamos a intensidade e a direção

da resultante.

• Determinamos os componentes da

resultante somando os componentes

correspondentes de cada uma das

forças.

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Problema Resolvido 2.3

2 - 18

SOLUÇÃO:

• Decompomos cada força em componentes

retangulares.

25.996.6100

110.00110

75.227.480

75.0129.9150

(N) y, Comp.(N) x Comp.(N) Intens.Força

4

3

2

1

F

F

F

F

• Calculamos a intensidade e a direção da resultante.

22 3,141,199 R N 199,6R

N1,199

N3,14 tg 1,4

• Determinamos os componentes da resultante

somando os componentes correspondentes de

cada uma das forças.

1.199xR 3.14yR

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Equilíbrio de uma Partícula

2 - 19

• Quando a resultande de todas as forças que atuam sobre uma partícula é

zero, a partícula está em equilíbrio.

• Para uma partícula em equilí-

brio sob a ação de duas forças,

ambas as forças devem ter:

- mesma intensidade

- mesma linha de ação

- sentidos opostos

• Para uma partícula sob a ação de três ou mais forças:

- a solução gráfica gera um polígono fechado

- solução algébrica:

00

0

yx FF

FR

• Primeira Lei de Newton : Se a força resultante em uma partícula é nula, a

partícula permanecerá em repouso ou se moverá em velocidade constante em

linha reta.

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Diagramas de Corpo Livre

2 - 20

Diagrama espacial : Um esboço

mostrando as condições físicas

do problema.

Diagrama de Corpo Livre: Um esboço

mostrando apenas as forças que atuam

sobre a partícula escolhida para análise.

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Problema Resolvido 2.4

2 - 21

Numa operação de descarregamento

de um navio, um automóvel de

15.750 N é sustentado por um cabo.

Uma corda é amarrada ao cabo em A

e puxada para centrar o automóvel

para a posição desejada. Qual é a

tração na corda?

SOLUÇÃO:

• Construimos um diagrama de corpo livre

para a partícula na junção da corda e do

cabo.

• Aplicamos as condições de equilíbrio

criando um polígono fechado a partir das

forças aplicadas na partícula.

• Aplicamos relações trigonométricas

para determinar a intensidade das forças

desconhecidas.

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Problema Resolvido 2.4

2 - 22

SOLUÇÃO:

• Construimos um diagrama de corpo livre

para a partícula A.

• Aplicamos as condições de equilíbrio.

• Calculamos as intensidades das forças

desconhecidas.

58sen

N 15.750

2sen 120sen

ACAB TT

N16.084ABT

N648ACT

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Problema Resolvido 2.6

2 - 23

Deseja-se determinar a força de arrasto

no casco de um novo barco a vela a

uma dada velocidade. Um modelo é

colocado em um canal de teste e são

usados três cabos para alinhar sua proa

com a linha de centro do canal. A uma

dada velocidade, a tração é de 180 N no

cabo AB e de 270 N no cabo AE.

Determine a força de arrasto exercida

no casco e a tração no cabo AC.

SOLUÇÃO:

• Escolhendo o casco como um corpo

livre, desenhamos o diagrama de corpo

livre.

• Expressamos as condições de equilíbrio

para o casco escrevendo que a resultante

de todas as forças é zero.

• Decompomos a equação vetorial de

equilíbrio em duas equações para as

componentes. Resolvemos para as

trações desconhecidas nos dois cabos.

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Problema Resolvido 2.6

2 - 24

SOLUÇÃO:

• Escolhendo o casco como um corpo livre,

desenhamos o diagrama de corpo livre.

26,60

75,1m 1,2

m 2,1 tg

56,20

375,0m 1,2

m 0,45 tg

• Expressamos as condições de

equilíbrio para o casco escrevendo que

a resultante de todas as forças é zero.

0 DAEACAB FTTTR

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Problema Resolvido 2.6

2 - 25

• Decompomos a equação vetorial de equilíbrio

em duas equações para as componentes.

Resolvemos para as trações desconhecidas nos

dois cabos.

jN 270 T0,9363N 89,29

iFT0,3512N 156,29

0R

iFF

jN 270T

jT0,9363iT0,3512

j20,56 cos Ti20,56sen TT

jN 89,29iN 156,29

j60,26 cos N 180i60,26sen N 180T

AC

DAC

DD

AE

ACAC

ACACAC

AB

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Problema Resolvido 2.6

2 - 26

jN 270T0,9363N 89,29

iFT0,3512N 156,29

0R

AC

DAC

Esta equação só é satisfeita se cada componente

da resultante é igual a zero.

0270T0,9363N 89,29:0

0FT0,3512N 156,29:0

AC

DAC

y

x

F

F

N 5,88

N 193

D

AC

F

T

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Componentes Retangulares no Espaço

2 - 27

• O vetor está

contido no plano

OBAC.

F

• Decompomos em

uma componente

horizontal e outra

vertical

yh FF sen

F

yy FF cos

• Decompomos em

componentes retangulareshF

sen senF

senFF

cossenF

cosFF

y

hz

y

hx

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Componentes Retangulares no Espaço

2 - 28

• Com os ângulos entre e os eixos x, y e z temos,F

kji

F

kjiF

kFjFiFF

FFFFFF

zyx

zyx

zyx

zzyyxx

coscoscos

coscoscos

coscoscos

• é um vetor unitário ao longo da linha de ação

de e são os cossenos

que orientam a linha de ação de . F

F

zyx e cos cos,cos

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Componentes Retangulares no Espaço

2 - 29

A direção de uma força é definida

pelas coordenadas de dois pontos,

em sua linha de ação.

222111 ,, e ,, zyxNzyxM

d

FdF

d

FdF

d

FdF

kdjdidd

FF

zzdyydxxd

kdjdid

NMd

zz

y

yx

x

zyx

zyx

zyx

1

e liga que vetor

121212

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Problema Resolvido 2.7

2 - 30

A tração no cabo de sustentação da torre

é 2500 N. Determine:

a) os componentes Fx, Fy e Fz da força

que atua no parafuso em A,

b) os ângulos x, y e z que definem a

direção da força.

SOLUÇÃO:

• Considerando a posição relativa dos

pontos A e B, determinamos o vetor

unitário orientado de A para B.

• Utilizamos o vetor unitário para

determinar os componentes da força

atuando em A.

• Observando que os componentes do

vetor unitário são os cossenos que

orientam a direção do vetor, calculamos

os ângulos correspondentes.

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Problema Resolvido 2.7

2 - 31

SOLUÇÃO:

• Determinamos o vetor unitário orientado de Apara B.

m 3,94

m30m80m40

m30m80m40

222

AB

kjiAB

• Determinamos os componentes da força.

kji

kji

FF

N 795N 2120N1060

318,0848,0424,0N 2500

kji

kji

318,0848,0424,0

3,94

30

3,94

80

3,94

40

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Problema Resolvido 2.7

2 - 32

• Observando que os componentes do vetor

unitário são os cossenos que orientam a direção

da força, calculamos os ângulos correspondentes.

kji

kji zyx

318,0848,0424,0

coscoscos

5,71

0,32

1,115

z

y

x

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Exercícios

2 - 33

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Exercícios

2 - 34

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Exercícios

2 - 35

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Exercícios

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Exercícios

2 - 37

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Exercícios

2 - 38

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Exercícios

2 - 39