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ENTRELAÇAMENTO QUÂNTICO

AULA NO 02(Quantum Bit – Espaço Vetorial – Spin – “BRA” & “KET” – Matrizes)

Vamos começar agora a falar sobre Mecânica Quântica. Até agora nós ainda não tínhamos entrado nesta questão, tendo-nos referido apenas à física clássica, num universo que chamamos de espaço de estados, no qual os sistemas evoluem de um estado para outro ao longo do tempo. Tudo isso foi Física Clássica, baseada na lógica da Clássica, segundo a qual o espaço de estados é um espaço booleano, onde todas as configurações de um sistema podem ser representadas por pontos no espaço, de modo que a informação é tomada em bits, sendo possível ir de um estado para outro segundo leis físicas admissíveis, utilizando-se o modelo de lógica usual.

A Mecânica Quântica utiliza uma lógica nova e bem diferente da lógica clássica. Para ilustrar esta característica, vamos começar com a ilustração da ideia de um simples “quantum” de informação, ou seja, um q-bit (quantum bit). Nós já vimos o bit clássico (“cara” ou “coroa” etc.), verificando que este é composto unicamente de dois estados distintos e exclusivos, sem nenhum outro estado intermediário entre eles. Podemos ter, assim, quantos bits desejarmos, sempre obedecendo às mesmas regras da lógica clássica ou bit clássico. Todo sistema físico pode ser representado com um determinado grau de precisão por um conjunto de bits clássicos, que definem toda a informação contida na configuração do sistema.

O mais básico e simples exemplo de um bit quântico (q-bit) é o “Spin” de um elétron. Não é necessário sabermos o que significa Spin, pois esta não é a parte importante da questão. O que de fato importa é que todo elétron tem associado a si um vetor.

A partir de agora, é possível haver confusão com o termo “vetor”, pois iremos nos referir a duas coisas com esta mesma palavra. Uma delas se refere a elementos de um espaço vetorial abstrato, que iremos ver em breve. A outra se refere aos vetores usuais no espaço tridimensional euclidiano (representado por uma seta com magnitude, direção e sentido).

O sentido abstrato de vetor não estará ligado geralmente a objetos situados no espaço usual. Nós estaremos falando de espaços vetoriais. Muitas vezes, nas aulas de Mecânica Quântica, acreditamos ser útil empregarmos um termo diferente para o vetor abstrato, a fim de evitar confusões, no entanto este artifício é difícil de funcionar na prática, pois invariavelmente se acaba utilizando o termo vetor. Mesmo assim, vamos tentar usar o termo “vetor espacial” para o vetor no espaço tridimensional usual e o termo “vetor” para os objetos do espaço vetorial abstrato. Mas sempre tenhamos em mente a possibilidade de nos referirmos a um destes dois tipos de vetores com o mesmo termo.

Um elétron tem associado a si um vetor matemático análogo ao vetor espacial, que pode apontar em qualquer direção no espaço. Na verdade, este vetor pode ser interpretado como um magneto, possuindo um polo norte e um polo sul. Portanto cada elétron se comporta como um diminuto imã. Este magneto tem uma intensidade determinada, chamada de momento magnético, sendo ela a mesma para todos estes magnetos, embora possa estar apontado em qualquer direção no espaço.

Vamos falar um pouco a respeito de magnetos ordinários clássicos. O objetivo é definir o conceito de “preparar” um estado e de “detectar” um estado. Estamos ainda pensando de uma forma clássica neste momento, portanto o que iremos explicar agora está baseado na lógica clássica.

Temos então um elétron e, ligado a ele, temos um vetor espacial com um polo norte e um polo sul. Vamos supor que desejamos “preparar” o elétron numa condição tal que o seu polo norte esteja alinhado com a direção vertical. Para isso, nós simplesmente criamos um campo magnético muito intenso, com suas linhas de campo apontadas na direção vertical, e colocamos o elétron no meio deste campo, conforme mostrado no diagrama a seguir:

Neste caso, o momento magnético do elétron, ao invés de dar um salto para alinhar-se com o campo magnético, irá iniciar um movimento de precessão em torno da direção do campo magnético criado. Porém, cedo ou tarde, o diminuto magneto irá gastar sua energia no movimento de precessão, devido à irradiação eletromagnética decorrente do movimento circular, de modo que ele irá assumir uma condição de energia mínima, alinhando seu norte magnético com o norte magnético do campo criado:

Notas baseadas nas aulas do Prof. Leonard Susskind – Universidade de Stanford

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Uma vez que o campo criado é intenso, o elétron irá dispender rapidamente sua energia e se alinhará prontamente com o campo magnético. Para todos os efeitos, podemos considerar o elétron numa posição fixa no espaço, sendo que somente a direção do seu momento magnético é que varia. Portanto, depois de um pequeno intervalo de tempo, o elétron terá seu momento magnético alinhado com o campo criado, tendo sido preparado para apontar na direção vertical.

Nós poderíamos fazer esta preparação de modo que ele tivesse seu momento magnético apontando em qualquer outra direção, através de uma rotação do imã utilizado

para criar o campo magnético:

Assim iniciamos com o elétron apontando seu momento magnético em alguma determinada direção.

Agora, temos o segundo tipo de experiência, no qual queremos fazer uma “medida” para saber em que direção o elétron tem seu momento magnético apontado. Trata-se de uma “detecção” da condição do momento magnético elétron, para saber em que direção ele se encontra.

Para isso, nós fazemos o mesmo processo utilizado para prepará-lo, ou seja, nós o fazemos atravessar um campo magnético intenso preestabelecido e aguardamos por algum tipo de irradiação eletromagnética do elétron ao ingressar no campo.

Todo o funcionamento deste aparato está sendo inferido com base na Física Clássica. Assim, se nós tivermos o momento magnético do elétron quase perfeitamente alinhado com a direção

do campo magnético do imã, então esperamos que a energia a ser gasta no movimento de precessão seja muito pequena, de modo que quase nenhuma irradiação ocorrerá. À medida que o momento magnético do elétron se encontra mais desalinhado com a direção do campo magnético do imã, a energia do elétron aumenta, de modo que esperamos a irradiação eletromagnética também aumentar. Esta energia ou irradiação deve ser máxima quando o momento magnético do elétron se encontrar 180 graus defasado do campo magnético do imã. Portanto esperamos poder medir o ângulo formado pelo momento magnético do elétron com o campo magnético do imã através da quantidade de irradiação emitida pelo elétron, que será uma função contínua e bem comportada deste ângulo.

Este comportamento, no entanto, apesar de ser aquele esperado pelo raciocínio convencional da Física, não ocorre de fato na realização deste experimento. Quando se realiza tal experiência, algo realmente bastante estranho ocorre. Em primeiro lugar, independente da maneira na qual nós preparamos o elétron que vai ingressar no campo magnético, somente acontece uma única destas duas coisas. A primeira é o elétron não emitir fóton (não emite radiação eletromagnética). A segunda é o elétron emitir um fóton (emitir radiação eletromagnética) de uma frequência específica, correspondente à mudança de alinhamento de 180 graus do momento magnético do elétron em relação ao campo magnético do imã.

Parece então acontecer que o elétron tem apenas duas únicas configurações. Pode-se colocar o seu momento magnético em qualquer direção, mas quando o mesmo é colocado num campo magnético preestabelecido numa dada direção, somente podem ocorrer duas possibilidades: uma é equivalente ao elétron ter o seu o momento magnético alinhado com a direção do campo magnético do imã (sem emissão de fóton), e a outra é equivalente ao elétron ter o momento magnético do elétron desalinhado 180 graus com a direção do campo magnético do imã (emissão de um fóton). Estas são as únicas duas possibilidades reveladas pela experiência, o que soa bastante estranho, pois, supondo que preparamos um elétron com seu momento magnético apontando para 45 graus em relação ao campo magnético, isto nos leva a esperar que a sua resposta ao ingressar no campo fosse diferente desta constatada na prática.

Tudo isto leva a pensar que somente existem dois estados para o elétron, um apontando para cima e outro apontando para baixo. No entanto, se nós girarmos o campo magnético para outra direção qualquer, continuaremos a constatar que o elétron apresenta apenas estas mesmas duas possibilidades. Isto se torna um tanto confuso, pois o elétron aparenta ter apenas dois estados (para cima e para baixo), no entanto tal condição pode ser obtida em qualquer direção! Este é um dos quebra-cabeças da Mecânica Quântica.

Há, porém, uma condição peculiar neste experimento, pois, se prepararmos o elétron com seu momento magnético apontado para cima e desligarmos depois o campo magnético, para em seguida o ligarmos novamente, a resposta será que não obteremos nenhum fóton.

Notas baseadas nas aulas do Prof. Leonard Susskind – Universidade de Stanford

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Além disso, se prepararmos o elétron com um ângulo de 45 graus, nós o encontraremos, como já foi dito, em uma das duas condições, porém estas condições serão encontradas de acordo com uma probabilidade, relacionada ao ângulo de preparação do elétron. Isto pode ser verificado pela coleção dos resultados da repetição sistemática do experimento nas mesmas condições iniciais. Algumas vezes veremos o fóton e outras não. Porém, quanto mais o elétron estiver apontando na direção do campo magnético, menor será a probabilidade de que seja emitido um fóton e, quanto mais próximo o elétron estiver de um desalinhamento de 180 graus com o campo, maior será a probabilidade da emissão de um fóton. Se o elétron for preparado numa direção 90 graus defasada com o campo magnético, então a probabilidade de verificarmos ou não um fóton será, neste caso, exatamente de 50%.

Vemos que há algo de extraordinário ocorrendo neste fenômeno. De algum modo parece haver apenas duas configurações. Toda vez que medimos um elétron, nós o encontramos para cima ou para baixo, não havendo nenhuma condição intermediária entre estas direções. No entanto há situações onde haverá uma distribuição de probabilidades da emissão do fóton, dependendo do ângulo no qual foi preparado o elétron antes de ingressar no campo. Esta probabilidade é o único tipo de memória que o experimento nos permite ter em relação à condição na qual o elétron foi inicialmente preparado. A parte mais intrigante é que não importa a direção de preparo ou de detecção do elétron, há sempre e somente dois resultados possíveis (a emissão ou não de um fóton). Este é o bit quântico (q-bit), uma entidade bastante confusa!

Estamos lidando, portanto, com uma teoria que tem uma descrição apenas probabilística. E veremos, por fim, que não há outro meio de lidar com tudo isso, a não ser probalisticamente!

A matemática do conceito de estado em Mecânica Quântica é claramente diferente daquela clássica. Quando temos um sistema com apenas dois estados, ele nos parece ter uma infinidade de outros “dois estados” em relação a todas as outras diferentes direções. A matemática da Mecânica Quântica, em particular aquela associada aos estados de um q-bit, não é a matemática booleana de um conjunto de dois pontos. A matemática que descreve o estado quântico é dada por um espaço vetorial!

Aqui a palavra vetor é usada naquele sentido do objeto abstrato que forma um espaço vetorial. É através do entendimento desta ferramenta abstrata que nós poderemos ver como é caracterizado o estado quântico de um elétron e como este comportamento do momento magnético pode ser coerente com a matemática do espaço vetorial.

Nós iremos passar um tempo agora simplesmente fazendo alguma matemática abstrata, a fim de interpretá-la depois em relação ao comportamento do elétron.

Vamos ver então o que vem a ser um espaço vetorial linear.Um espaço vetorial linear é uma coleção de objetos que obedece a um conjunto de regras, as quais nós

iremos ver a seguir (não confundir estes objetos com o vetor ordinário do espaço usual).

Antes de qualquer coisa, nós representamos um vetor pelo símbolo: (chamado “KET”).A primeira regra é que qualquer vetor pode ser multiplicado por uma constante (um número complexo)

de modo que o resultado é um novo vetor:

.A outra regra que nos interessa diz respeito à operação de soma, segundo a qual a soma de dois vetores

quaisquer é também um vetor:

.Um exemplo muito simples de um espaço vetorial com as operações acima definidas é o próprio

conjunto dos números complexos, pois qualquer número complexo multiplicado por um número complexo é também um número complexo e a soma de dois números complexos quaisquer é também um número complexo.

Outro exemplo, um pouco mais elaborado, é o conjunto dos vetores colunas de, por exemplo, três dimensões (na verdade esta dimensão pode ser qualquer) no conjunto dos números complexos, uma vez que qualquer destes vetores multiplicado por um número complexo é um vetor coluna de três dimensões e a soma de quaisquer dois destes vetores também é um vetor coluna de três dimensões:

Notas baseadas nas aulas do Prof. Leonard Susskind – Universidade de Stanford

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Portanto vetores colunas (ou linhas) são um exemplo básico de espaço vetorial, e nós iremos utilizá-lo frequentemente. Esta é então a ideia abstrata de um espaço vetorial. E não há outra forma de lidar com a Mecânica Quântica, a não ser através desta ferramenta abstrata .

A coisa de fato estranha nisso tudo é que o estado de um sistema quântico, em particular de um q-bit, pode ser representado pelos vetores de um espaço vetorial abstrato.

Se nos referirmos ao exemplo de espaço vetorial simples, dado pelo conjunto dos números complexos, sabemos que cada número complexo possui o seu número complexo conjugado. Isto significa dizer que existe, ligado a este espaço, um segundo espaço vetorial, que é dado pelo conjunto dos respectivos números conjugados daquele espaço. Este conceito de um espaço “dual” conjugado, neste caso dos números complexos, é geral e se estende, como pode ser demonstrado, a todos os espaços vetoriais lineares. Tudo que é necessário, a princípio, é tomar os conjugados de cada uma das componentes de cada vetor do espaço, para se obter o vetor conjugado do espaço dual.

Quando queremos representar o conjugado complexo do vetor , nós o representamos pelo símbolo:

, ao qual chamamos de “BRA” (note que a justaposição de e forma a palavra “BRACKET”, que significa “COLCHETE”). Neste caso, para representarmos o conjugado de um vetor, escrevemos o complexo conjugado deste vetor na forma de um vetor linha, cujas componentes serão o complexo conjugado das respectivas componentes do vetor coluna original.

Devemos pensar, então, que um vetor linha sempre corresponde ao conjugado de um vetor coluna.Também podemos multiplicar internamente dois vetores, sendo este o conceito de “produto interno”

entre dois vetores. O produto interno é o meio mais fácil para descrever um vetor em termos de suas componentes.Não vamos aqui nos aprofundar nas definições abstratas para o produto interno em um espaço

vetorial. Vamos apenas nos ater a uma visão geral e prática do seu conceito. A operação produto interno é realizada pelo produto de um vetor linha (BRA - vetor complexo

conjugado) por um vetor coluna (KET – vetor complexo original). Esta operação, quando se trata da multiplicação de um vetor por si mesmo, é análoga à multiplicação de um número complexo pelo seu próprio conjugado.

A regra para o produto interno deriva diretamente da multiplicação entre matrizes, sendo dada, no caso

de dois vetores e , em termos de suas componentes, por:

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Para o caso do produto interno de um vetor por si mesmo, teremos:

Segundo podemos ver, este resultado leva sempre a um número real maior ou igual a zero (sendo zero

somente quando for nulo). Tal resultado pode ser associado ao quadrado do tamanho ou magnitude do vetor, de forma análoga àquela do vetor espacial em três dimensões.

A operação de produto interno é essencial para a interpretação dos fenômenos quânticos.São através destes vetores complexos que representamos o estado de um bit quântico. Voltemos um pouco ao q-bit. Um q-bit pode apontar para cima, condição para a qual podemos eleger um símbolo correspondente,

por exemplo, , , ... Vamos adotar aqui o vetor (KET) denotado pelo símbolo . Por outro lado o q-bit pode estar apontado para baixo, condição que representaremos pelo vetor (KET) denotado pelo símbolo

. Devemos lembrar que, quando medimos o spin de um elétron, sempre o encontramos em uma das duas

posições: para cima ou para baixo .Na Física Clássica nós jamais cogitaríamos em somar estes dois vetores ou então multiplicá-los por

números. Simplesmente diríamos que o vetor representa o elétron com spin para cima e que o vetor representa o elétron com o spin para baixo.

Na Mecânica Quântica, o estado geral do spin de um elétron é constituído por um vetor no espaço vetorial, que nós podemos representar da seguinte forma:

Nesta representação, a lei que estabelece a evolução do sistema é a seguinte:

Isto é apenas uma orientação geral, a fim de que tenhamos uma ideia de para onde estamos caminhando.

O estado quântico de um elétron, cujo Spin, ao ser medido, apresenta uma distribuição probabilística em relação a estar apontado para cima ou para baixo, e nunca aparece em um estado intermediário, é representado da maneira indicada acima, de modo que, estando o spin do elétron apontado em algum determinado ângulo, este estado será dado por um vetor complexo, como aquele acima descrito, sendo a

distribuição da probabilidade dada pelo quadrado da magnitude de cada componente: .Uma vez que a regra básica para uma distribuição de probabilidades é de que a soma de todas as

probabilidades seja igual à unidade (evento certo), segue-se, com uma lei básica na representação vetorial da Mecânica Quântica, que os vetores utilizados para representar os estados quânticos de um sistema são “NORMALIZADOS”. Isto significa que a soma das probabilidades deve ser igual a “1”, ou seja:

Portanto usamos somente vetores de magnitude unitária para representar os estados físicos de um sistema, porém não significa que não existem no espaço vetorial vetores de outras magnitudes!

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