Notas de Aula:

Aula 2- Cinemtica de Corpos

Rgidos 02.

2.1 Movimento Relativo de Partculas (Translao)

Para estudarmos qualquer movimento, necessitamos de escolher um sistema

de coordenadas. Para estudarmos o movimento de um sistema de coordenadas

mvel, necessrio especifica-lo em relao a um sistema de coordenadas fixo,

tambm chamado de sistema inercial. Um exemplo disso quando resolvemos

um exerccio e adotamos o sistema de coordenadas x, y num determinado ponto.

Quando fazemos isso assumimos que esse ponto nosso referencial inercial,

mesmo esse se movendo em conjunto com a terra, mas como o movimento da

terra no importa para ns, podemos despreza-lo.

O estudo de movimentos relativos

feito atravs de vetores. Consideremos

agora duas partculas A e B que se

movimentam em relao ao nosso sistema

de coordenadas X, Y. As partculas

possuem movimento relativo entre si,

portanto tomaremos a partcula B como

nosso referencial inercial, para tanto

fixamos um novo sistema de coordenadas x,y, na partcula B, e observaremos o

movimento de A a partir da partcula B.

O vetor posio de A como pode ser visto na imagem acima ser dado

por:

Notas de Aula:

= + / (2.1)

Para encontrar o vetor velocidade relativa, diferenciamos em relao ao tempo:

= + /

Ou:

= + / (2.2)

Derivando novamente em relao ao tempo se obtm o vetor acelerao

relativa:

= + /

Ou:

= + / (2.3)

Exerccios Resolvidos:

2.1 Os passageiros do jato de transportes A

voando para leste a uma velocidade de 800

Km/h observam um segundo jato B que

passa sob o transporte em voo horizontal.

Embora o nariz de B esteja apontando na

direo nordeste a 45, o avio B d a

impresso para os passageiros em A de

estar se movendo para longe do transporte

no ngulo de 60 como mostrado. Determine

a velocidade real de B.

Resoluo:

Nesse caso, o eixo de referncia est fixado na partcula A, sendo assim a

velocidade de B ser dado pela equao 2:

Notas de Aula:

= + /

Vamos resolver este problema atravs da soluo trigonomtrica:

Pela relao de tringulos temos que:

60

=

75=

/ 45

Das duas primeiras sentenas temos:

60

=

75

= 60

75

= 60 800

75

= 717 /

3.1 Movimento Relativo de Corpos Rgidos (rotao).

Agora termos a rotao de corpos rgidos e igualmente a translao de

partculas, devemos escolher um sistema de referncia para trabalharmos.

Para iniciarmos nosso estudo, vamos imaginar um corpo rgido qualquer.

Nesse corpo tomamos dois pontos A e B, se o corpo for deslocado para a posio

A e B teremos a seguinte configurao:

Notas de Aula:

Se analisarmos esse deslocamento, temos dois tipos de movimento, um

de translao dos pontos A e B e em seguida, uma rotao do ponto A em torno

de B at a posio A.

Com B como ponto de referncia vemos da figura que:

= + /

Onde o movimento relativo de A em relao a B tem valor de:

/ = (2.4)

= + (2.5)

Analogamente as velocidades lineares sero:

= + /

Onde,

/ =

/ = (2.6)

Portanto:

= + ( )

Notas de Aula:

Ou:

= + (2.7)

Exerccios Resolvidos:

2.2 (Meriam Cap. 5 Exemplo 5/7) A roda

de raio r=300 mm rola para a direita sem

deslizar e possui uma velocidade v0=3 m/s

em seu centro O. Calcule a velocidade do

ponto A na roda para o instante

representado.

Resoluo 1:

O centro O escolhido como o ponto de referncia para a equao da

velocidade relativa uma vez que seu movimento fornecido:

= + /

A velocidade angular de AO a mesma da roda, ou seja:

=

=

=3

0,3= 10 /

Portanto a partir da equao6 temos:

/ =

/ = 10 0,2 = 2 /

Analisando o digrama, vemos que o vetor soma vA pode ser calculado pela lei

dos cossenos:

2 = 2 + 2 + 2

Notas de Aula:

2 =

2 + /2 + 2 /60

= 32 + 22 + 2 3 60 = 4,36 /

Exerccios de Fixao:

2.3 (Beer Cap 15 exerccio resolvido 02)

A engrenagem dupla mostrada na figura rola sobre a cremalheira inferior

fica, sendo a velocidade de seu centro A de 1,2 m/s para a direita. Determine (a)

a velocidade angular da engrenagem e (b) as velocidades da cremalheira

superior R e do ponto D da engrenagem.

Resoluo:

a) Uma vez que a engrenagem rola sobre a cremalheira inferior, seu centro A

desloca-se por meio de uma distncia igual ao permetro da circunferncia

externa 2r1 a cada revoluo completa da engrenagem. Lembrando que 1 rev

= 2 rad e que quando A desloca-se para a direita (xA > 0) a engrenagem gira

no sentido horrio (

Notas de Aula:

b) Velocidade da cremalheira superior:

A velocidade da parte superior igual a velocidade do ponto B:

= = + / = + /

= 1,2 80,1

= 2 /

Velocidade do ponto D:

= + / = + /

= 1,2 8 (0,150)

= 1,2 + 1,2

= 1,697 /

2.4 (Beer Cap 15 exerccio resolvido 03)

Pequenas rodas esto fixadas nas

extremidades das barras AB e giram

livremente ao longo da superfcie

mostrada na figura. Sabendo que a roda

A se desloca para a esquerda com

velocidade constante de 1,5 m/s,

determina (a) a velocidade da extremidade B da barra, (b) a velocidade angular

da barra.

Resoluo:

A velocidade do ponto A horizontal (para a esquerda); a

velocidade da parte B ascendente na inclinao (a um ngulo de 60 do plano

horizontal). Resolvendo a reao de AB em uma translao com A e uma rotao

em torno de A, obtemos:

Notas de Aula:

= + /

Utilizando a Lei dos senos:

70

=/

60=

1,5

50

Portanto temos:

a)

= 1,84/ 60

/ = 1,696 / 70

b)

/ = ()

1,696 = 0,75

= 2,261 /

2.5 (Beer Cap 15 exerccio 15.41)

O colar A desloca-se para cima com velocidade de 1,2 m/s. No instante mostrado na figura, quando =25, determine (a) a velocidade angular da barra AB, (b) a velocidade do colar B.

Resoluo:

Nos foi dado:

= 1,2 / ()

= 25

Para determinarmos a velocidades de B e de AB, primeiramente vamos

determinar os ngulos formados entres os vetores velocidades:

Notas de Aula:

Agora podemos utilizar a lei dos senos para determinar ambas as velocidades.

65

=/

60=

55

a) A velocidade angular da barra AB pode ser calculada encontrando

primeiramente sua velocidade linear:

/60

=

55

/60

=1,2

55

/ = 1,27/

Agora utilizaremos a relao:

= .

/ = /. ( )

/ = 2,54 /

b) A velocidade do ponto B ser:

65

=

55

Notas de Aula:

65

=1,2

55

= 1,33 /

Bibliografia:

MERIAM, J. L.; KRAIGE, L. G.; Mecnica para engenharia Dinmica. Vol. 2, 6 ed. Rio de janeiro: LTC, 2009. ISBN: 9788521617174

Ferdinand, P. BEER; RUSSEL, E.Johnston, Jr. Mecanica Vetorial para Engenheiros - Dinmica. Vol. 2, 9 ed.; AMG editora Ltda, 2012. ISBN: 007724961X /9780077249168

HIBBELER, R. C.; Mecnica para engenharia Dinmica. Vol. 2, 10 ed. Person Education do Brasil, 2005. ISBN: 8587918966