Notas de Aula de Estabilidade das Constru¸cões · Prefácio Estas notas de aula foram escritas em 2008 para as disciplinas de Estabili-dade das Constru¸cões , do Centro Federal

Notas de Aula de Estabilidade das Construcoes

Rodrigo Mero Sarmento da Silva, MSc.

10 de fevereiro de 2011

Prefacio

Estas notas de aula foram escritas em 2008 para as disciplinas de Estabili-dade das Construcoes , do Centro Federal Tecnologico de Alagoas, unidadedescentralizada de Palmeira dos Indios (CEFET-AL/UNED-PI) e Mecanicados Solidos I. Essas notas de aula estao sendo revisadas continuamente ten-tando atender as mudancas que se faz necessario. Lembra-se ao aluno queessas notas de aula nao substituem os livros em hipotese nenhuma, sendo asmesmas apenas um complemento de aprendizagem. Os principais livros emque se baseiam os conteudos a seguir sao:

1. Mecanica Vetorial para Engenheiros [Beer e Johnston Jr, 1991, [1]]

2. Fundamentals of Physics [Halliday e Resnick, 2009, [3] ]

Tenta-se com o passar do tempo introduzir novos conteudos, de autoria doproprio autor e alguns “problemas“, estudados e discutidos pelos alunos quepassaram por essa disciplina enriquecendo assim o seu conteudo. Com amudanca em 2009, da nomenclatura do CEFET-AL para IF-AL (InstitutoFederal de Educacao Ciencia e Tecnologia), alguns conteudos serao revistose atualizados.

Definicao 1. Aquecimento (Aq):Questoes basicas com conteudo abordado emsala de aula, semelhantes aos problemas desenvolvidos dentro do conteudo dadisciplina, problemas de vestibular, com definicoes fısicas do problema e deengenharia. Indicado para alunos dos cursos tecnicos integrado.

Definicao 2. Aprofundamento (Ap):Questoes mais elaboradas sobre o conteudoabordado, encontradas em livros de graduacao em Mecanica dos Solidos e emReferencias de Fısica do ensino superior. Indicados para alunos dos cursostecnologicos e de graduacao.

Definicao 3. Desafio (D):Questoes complexas, que necessitam de habilidadematematica do aluno. encontradas em livros de graduacao em Mecanica dosSolidos e em Referencias de Fısica do ensino superior. Indicados para alunosque gostam de viver perigosamente.

ii

iii

Definicao 4. Caiu na Prova (Cp):Questoes que caıram nas provas anterioresde estabilidade das construcoes e demais disciplinas lecionadas no instituto.Fiquem atentos.

Sobre o Autor

Rodrigo Mero Sarmento da Silva e Engenheiro Civil, formado pela Universi-dade Federal de Alagoas (2002), onde concluiu tambem o Mestrado em EngenhariaEstrutural em 2005. Concluiu especializacao em Engenharia de Software e Webpela Faculdade de Alagoas em 2007, atuamente e Doutorando em Ciencias e Ma-teriais pela Universidade Federal de Alagoas desde 2010. E professor auxiliar doIFAL - Campus Palmeira dos Indios. Atua na area de Engenharia Civil, com enfaseem Mecanica das Estruturas, Robotica e Materiais Compositos Piezoeletricos. Emsuas atividades profissionais interagiu com 18 colaboradores em co-autorias de tra-balhos cientıficos. Atualmente leciona as disciplinas de Estruturas de Concreto,Estabilidade das Construcoes alem de cursos avancados de programacao em Java,C/C++ e IUP.

CV-LATTES:http://buscatextual.cnpq.br/buscatextual/visualizacv.jsp?id=K4765459J5

iv

Sumario

Prefacio ii

Sobre o Autor iv

. 3

1 Conceitos Iniciais 61.1 Sistema Internacional de Unidades . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.1 Indexadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.2 Funcoes Trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Introducao a Analise Estrutural 82.1 Definicao de Estrutura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.1 Classificacao dos Elementos Estruturais . . . . . . . . . 92.1.2 Conceber versus Dimensionar . . . . . . . . . . . . . . 102.1.3 Acoes sobre as Estruturas . . . . . . . . . . . . . . . . 102.1.4 Cargas Permanentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.1.5 Cargas Acidentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Tipos de Solicitacoes sobre as Estruturas . . . . . . . . . . . . 12

3 Introducao a Estatica 143.1 Historico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2 Mecanica Newtoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.2.1 Lei do Paralelogramo para Adicao de Forcas . . . . . . 173.3 1a Lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.4 2a Lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.5 3a Lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.6 Princıpio da Transmissibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.7 Lei da Gravitacao Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.7.1 Lei dos Cossenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.7.2 Lei dos Senos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1

2 SUMARIO

3.8 Estatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.9 Exercıcios de Fixacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4 Estatica dos Pontos Materiais 254.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.2 Resultante de Forcas sobre Ponto Material . . . . . . . . . . . 264.3 Componentes de uma Forca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.4 Metodos de Analise de Forcas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.5 Exercıcios de Estatica de Ponto Material . . . . . . . . . . . . 28

4.5.1 Fase 1: Aquecimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.5.2 Fase 2: Aprofundamento . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.5.3 Fase 3: Desafio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.5.4 Fase 4: Caiu na Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5 Estatica de Corpos Rıgidos 335.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.2 O que se Estuda na Estatica de Corpos Rıgidos? . . . . . . . . 345.3 Momento de uma Forca em Relacao a um Ponto . . . . . . . . 355.4 Exercıcios de Estatica de Corpo Rıgido . . . . . . . . . . . . . 37

5.4.1 Fase 1: Aquecimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.4.2 Fase 2: Aprofundamento . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

6 Carregamentos Distribuıdos 416.1 Cargas Pontuais e Carregamentos Distribuıdos . . . . . . . . . 41

6.1.1 Retangulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.1.2 Quadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.1.3 Triangulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6.2 Exercıcios de Cargas Pontuais e Carregamentos Distribuıdos . 466.2.1 Fase 2: Aprofundamento . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

7 Tipos de Estruturas de Apoio 487.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487.2 Reacoes de Apoio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507.3 Exercıcios de Reacoes de Apoio . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

7.3.1 Fase 1: Aquecimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527.3.2 Fase 2: Aprofundamento . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

8 Esforcos Internos Solicitantes 578.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578.2 Equacoes Diferenciais de Equilıbrio* . . . . . . . . . . . . . . 588.3 Diagrama de Esforcos Internos Solicitantes . . . . . . . . . . . 61

SUMARIO 3

8.4 Exercıcios EIS - Esforcos Internos Solicitantes . . . . . . . . . 648.4.1 Fase 1: Aquecimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648.4.2 Fase 4: Caiu na Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

9 Trelicas 689.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

10 Exercıcios Resolvidos 7010.1 Estatica de Ponto Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

10.1.1 Fase 1: Aquecimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7110.1.2 Fase 2: Aprofundamento . . . . . . . . . . . . . . . . . 7410.1.3 Fase 3: Desafio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7410.1.4 Fase 4: Caiu na Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Lista de Figuras

1.1 Circulo Trigonometrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1 Estrutura de uma Edificacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 Vigas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3 Arranjos de forcas sobre elementos estruturais. . . . . . . . . . 10

2.4 Forcas Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.5 Algumas solicitacoes sobre as estruturas . . . . . . . . . . . . 12

2.6 Equilıbrio natural de estruturas . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.7 Exemplos de estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.1 Desenho de uma viga engastada no livro de Galileu. Fonte(Arruda, 2001, [2]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2 Fısico Alemao, Albert Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.3 Princıpios da Mecanica Newtoniana . . . . . . . . . . . . . . . 173.4 Lei do Parelelogramo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.5 Princıpio da Transmissibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.1 Resultante dos vetores de forcas . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5.1 Princıpio da Transmissibilidade para Corpos Rıgidos . . . . . 355.2 Restricao do princıpio transmissibilidade para corpos rıgidos. . 35

5.3 Momento de uma forca em relacao a um ponto. . . . . . . . . 36

5.4 Prob. 1 - Fase Aprofundamento . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

6.1 Exemplo de um Modelo de Calculo de uma Carga Concentrada. 41

6.2 Exemplo de um Modelo de Calculo de uma Carga Distribuıda 426.3 Centro de Gravidade de um Retangulo . . . . . . . . . . . . . 43

6.4 Centro de Gravidade de um Quadrado . . . . . . . . . . . . . 446.5 Centro de Gravidade de um Triangulo . . . . . . . . . . . . . 44

7.1 Classificacao das estruturas segundo os graus de liberdade. . . 487.2 Exemplo de Estrutura Hipostatica. . . . . . . . . . . . . . . . 49

4

LISTA DE FIGURAS 5

7.3 Exemplo de Estrutura Isostatica. . . . . . . . . . . . . . . . . 497.4 Exemplo de Estrutura Hiperestatica. . . . . . . . . . . . . . . 507.5 Nomenclatura das Estruturas de Apoio. . . . . . . . . . . . . . 507.6 Problema 03 - Fase Aquecimento . . . . . . . . . . . . . . . . 537.7 Problema 04 - Fase Aquecimento . . . . . . . . . . . . . . . . 537.8 Problema 05 - Fase Aquecimento . . . . . . . . . . . . . . . . 537.9 Problema 01 - Fase Aprofundamento . . . . . . . . . . . . . . 547.10 Problema 02 - Fase Aprofundamento . . . . . . . . . . . . . . 547.11 Problema 03 - Fase Aprofundamento . . . . . . . . . . . . . . 547.12 Problema 04 - Fase Aprofundamento . . . . . . . . . . . . . . 557.13 Problema 05 - Fase Aprofundamento . . . . . . . . . . . . . . 55

8.1 Exemplo de Estrutura de Corpo Rıgido Submetido a Carrega-mentos Combinados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

8.2 Forcas Internas no Corpo Rıgido . . . . . . . . . . . . . . . . . 588.3 Viga Submetida a Carregamentos Combinaods . . . . . . . . . 588.4 Viga Seccionada, Explicitando as Forca Internas . . . . . . . . 588.5 Diagrama de Esforco Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638.6 Diagrama de Esforco Cortante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648.7 Diagrama de Momento Fletor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Capıtulo 1

Conceitos Iniciais

Para que consigamos entender bem os conceitos trabalhados nessa nota deaula, e imprescindıvel que o aluno entenda bem alguns conceitos matematicos.Esse topico inicial pretende relembrar alguns desses assuntos de forma rapidae concisa. Fica como sugestao uma leitura aprofundada em algum livro quecontenha os assuntos mencionados nesse capıtulo (1)

1.1 Sistema Internacional de Unidades

O Sistema Internacional de Unidades (SI) e subdividido em unidades basicase unidades derivadas. As unidades basicas sao: metro (m), quilograma (kg)e segundo (s). As unidades derivadas sao, entre outras, forca, trabalho,pressao etc. As unidades do SI formam um sistema absoluto de unidades.Isto significa que as tres unidades basicas escolhidas sao independentes doslocais onde sao feitas as medicoes.

1.1.1 Indexadores

Em muitos problemas de engenharia as unidades do SI sao precedidas deindexadores, que sao multiplos de ordem 10 dessas unidades. Abaixo tem-seuma tabela de indexadores. Esses multiplos, serao de suma importancia nodecorrer do nosso estudo.

6

1.1. SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES 7

Nome Fator Mult. Sımbolo Nome Fator Mult. Sımbolo

Exa 1018 E Deci 10−1 dPeta 1015 P Centi 10−2 cTera 1012 T Mili 10−3 mGiga 109 G Micro 10−6 μMega 106 M Nano 10−9 nQuilo 103 K Pico 10−12 pHecto 102 H Femto 10−15 fDeca 10 Da Atto 10−18 a

1.1.2 Funcoes Trigonometricas

Figura 1.1: Circulo Trigonometrico

sin(α) =EF

OE

cos(α) =OF

OE

tan(α) =EF

OF

OE2 = EF 2 + OF 2

OE2 = (sin(α) · OE)2 + (cos(α) · OE)2

1 = sin(α)2 + cos(α)2

Equacao Fundamental

Capıtulo 2

Introducao a Analise Estrutural

2.1 Definicao de Estrutura

Podemos definir estrutura como sendo: “A forma com que algo e composto“,“E o conjunto de elementos que compoe algo“. Essa definicao pode ser apli-cada a todo tipo de estrutura, organizacional, polıtica, economica, militar ecivil dentre outras. Em se tratando de estruturas civis a estrutura e subdi-vidida em “pecas estruturais“ (elementos) como mostra a Figura 2.1 .

Figura 2.1: Estrutura de uma Edificacao

Cada parte que compoe a estrutura deve resistir aos esforcos internos eretransmitir os esforcos externos para as demais pecas atraves dos vınculos

8

2.1. DEFINICAO DE ESTRUTURA 9

que as unem, finalizado com a conducao do esforco para o solo que deverasuporta-lo. A ciencia responsavel pelo estudo desses fenomenos referentes aestrutura civil e a engenharia estrutural, que e o ramo da engenharia civildedicado primariamente ao projeto e calculo de estruturas. De forma simpli-ficada, e a aplicacao da mecanica dos solidos ao projeto de edifıcios, pontes,muros de contencao, barragens, tuneis e outras estruturas. (Wikipedia).

2.1.1 Classificacao dos Elementos Estruturais

Os elementos estruturais em suas variedades podem ser classificados em tresformas distintas:

Definicao 5. Barras ou fios: Caracterizado pela predominancia de umadimensao em relacao as outras duas. Exemplos claros de elementos de barrasou fios sao vigas (Figura 2.2), pilares, arcos, cabos etc.

Figura 2.2: Vigas

Definicao 6. Folhas: Caracterizado pela predominancia de duas dimensoesem relacao a uma terceira. Os principais exemplos desse tipo de estruturasao as lajes e cascas.

Definicao 7. Blocos: Em elementos classificados como blocos, nao existepredominancia entre as dimensoes. Esse tipo de estrutura possui dimensoesaproximadas nas tres direcoes. Os principais exemplos sao as fundacoes tipossapatas isoladas e blocos.

10 CAPITULO 2. INTRODUCAO A ANALISE ESTRUTURAL

2.1.2 Conceber versus Dimensionar

Podemos comecar a entender a definicao dessas duas palavras da seguinteforma: e possıvel imaginar uma forma sem uma estrutura? E possıvel imag-inar uma estrutura sem uma forma? “A estrutura e a forma, ou a estruturae a arquitetura sao um so objeto, e assim sendo, conceber uma implica emconceber a outra“. Na realidade tanto a estrutura e a forma depende ex-clusivamente da sua destinacao, em geral engenheiros tem como prioridadeespecificacoes tecnicas e economia em detrimento a forma e estetica, enquantono ponto de vista de arquitetos a forma e a estetica prevalece.

2.1.3 Acoes sobre as Estruturas

Como dito anteriormente a estrutura e o caminho de forcas ate o solo, destafeita cabe-se perguntar: qual o melhor caminho estrutural a se seguir? Aresposta para essa pergunta e um pouco complicada, uma vez a finalidade eimportante em alguns casos estruturais. De uma forma geral as estruturassao compostas do conjunto viga, laje, pilar como representado na Figura 2.3:

Figura 2.3: Arranjos de forcas sobre elementos estruturais.

Em geral a melhor concepcao tem que possuir: Funcionalidade, ser efi-ciente para o que foi prevista, Economica e Bela, onde na maioria dos casos

2.1. DEFINICAO DE ESTRUTURA 11

economia e beleza sao inversamente proporcionais, ou seja, quanto mais belamenos economica, ou quanto mais economico menos belo. Para comecara entender o funcionamento e analisar as estruturas e de fundamental im-portancia conhecer as forcas que atuam sobre a mesma. Conhecer as forcasimplica em conhecer (Figura 2.4):

Figura 2.4: Forcas Vetoriais

Todas as acoes dentro de um sistema estrutural sao forcas vetoriais,em sendo sua direcao, sentido e intensidade influenciam diretamente naconcepcao estrutural da edificacao. O capitulo seguinte estudaremos osprincıpios basicos de manipulacao de forcas vetoriais. As acoes sobre asestruturas versao por dois tipos distintos, que sao as cargas permanentes eas cargas acidentais.

2.1.4 Cargas Permanentes

As cargas permanentes sobre a estruturas sao carregamentos que atuam emtoda vida util da mesma. Dentre as cargas permanentes pode-se exemplificar:peso proprio da estrutura, peso do revestimento, peso das paredes etc. Ascargas permanentes tem uma precisao numerica grande.

2.1.5 Cargas Acidentais

As cargas acidentais como o proprio nome diz acontece esporadicamente du-rante certo perıodo de tempo, destacam-se as cargas: peso de ocupacao depessoas, peso dos moveis, peso dos veıculos, forca do vento, acao da chuvaetc. As cargas acidentais sao geralmente tabeladas e normatizadas. As cargasacidentais previstas para o uso da construcao correspondem normalmente acargas verticais de uso da construcao (prescritas na NBR 6118-2003), cargasmoveis considerando o impacto vertical, impacto lateral, forca longitudinalde frenacao ou aceleracao e forca centrıfuga.

12 CAPITULO 2. INTRODUCAO A ANALISE ESTRUTURAL

2.2 Tipos de Solicitacoes sobre as Estruturas

As acoes sobre as estruturas sao as mais diversas possıveis, dentre as princi-pais destacam-se: tracao, torcao, compressao, cisalhamento, flexao simples ecomposta dentre outras.

Figura 2.5: Algumas solicitacoes sobre as estruturas

Abaixo encontra−se a definicao dessas solicitacoes:

1. Tracao: caracteriza-se pela tendencia de alongamento do elemento nadirecao da forca atuante.

2. Compressao: a tendencia e uma reducao do elemento na direcao daforca de compressao.

3. Flexao: ocorre uma deformacao na direcao perpendicular a da forcaatuante.

4. Torcao: forcas atuam em um plano perpendicular ao eixo e cada secaotransversal tende a girar em relacao as demais.

5. Cisalhamento: forcas atuantes tendem a produzir um efeito de corte,isto e, um deslocamento linear entre secoes transversais.

Alem das solicitacoes sobre as estruturas, outro importante fator para seconceber uma estrutura sao os criterios de projeto, a saber:

• Equilıbrio: Conceber um arranjo estrutural capaz de absorver as so-licitacoes externas e transmiti-las aos elementos de apoio mantendo-seem repouso (Figura 2.6).

2.2. TIPOS DE SOLICITACOES SOBRE AS ESTRUTURAS 13

Figura 2.6: Equilıbrio natural de estruturas

Figura 2.7: Exemplos de estabilidade

• Estabilidade: A configuracao de equilıbrio do arranjo nao pode seralterada drasticamente na presenca das imperfeicoes e das acoes per-turbadoras (Figura 2.7 ).

• Resistencia: O material das pecas estruturais deve ser capaz de ab-sorver o nıvel de solicitacao interna gerado pelas acoes externas semcomprometer a sua integridade fısica.

• Rigidez: As pecas estruturais devem ser capazes de absorver as acoesexternas sem apresentar grandes deslocamentos que comprometam suafuncionalidade.

Capıtulo 3

Introducao a Estatica

3.1 Historico

Os princıpios da estatica foram desenvolvidos por grandes cientistas que con-tribuıram para o incremento dessa parte da mecanica classica. Aristoteles(384 a 322 a.c) deu inicio aos estudos dos movimentos de corpos celestes,desenvolvendo bases para formulacao posterior de Newton sobre a lei funda-mental da gravitacao universal.

Na era Alexandrina, (seculo IV a.c. ate 30 a.c., ano da conquista do Egito porRoma), aparece duas figuras centrais, Euclides e Arquimedes, sendo Euclideso responsavel por uma das obras mais influentes da humanidade denominada,os “Elementos“ (300 a.c.).

Arquimedes (287 a 212 a.c) contempla com seus trabalhos o equilıbrio dealavancas, roldanas e polias, alem da classica lei do empuxo. Arquimedes etido por muitos como o pai da matematica, uma de suas obras mais impor-tantes e o livro “Sobre o Equilıbrio dos Planos“, onde ele desenvolve as regrasda estatica. Ainda sobre Arquimedes destaca-se a celebre frase: “De-me umponto de apoio e eu moverei a terra“.

Segundo (Arruda, 2001), o primeiro estudo ligado a resistencia dos materiaisdeve ser atribuıdo a Leonardo da Vince (1452 - 1519), com os primeiros en-saios de tracao em fios metalicos, entretanto a primeira abordagem cientıficadesse assunto foi atribuıda ao cientista nascido em Pisa chamado GalileuGalilei.

Galileu Galilei (1564 a 1642) Descobriu a lei dos corpos, enunciou o princıpio

14

3.1. HISTORICO 15

da inercia e o conceito de referencial inercial, ideias precursoras da Mecanicanewtoniana. Os dois primeiros capıtulos do seu livro “Dialogos sobre DuasNovas Ciencias“ tras referencias ao estudo de barras e vigas engastadas(Figura 3.1).

Figura 3.1: Desenho de uma viga engastada no livro de Galileu. Fonte(Arruda, 2001, [2])

Um pouco antes da mecanica newtoniana se estabelecer como uma dasmaiores contribuicoes do homem a ciencia, surge em Robert Hooke (1635 a1703), que estudou a resistencia dos materiais e deixou como legado a con-hecida Lei de Hooke publicada em 1676.

Isaac Newton (1642 a 1727) Desenvolvedor da denominada Mecanica Newto-niana, sir Isaac Newton desenvolveu os princıpios da Dinamica enumerandoas tres leis classicas, alem da gravitacao universal, calculo diferencial e inte-gral.

No seculo 18, e marco para as maiores contribuicoes a mecanica dos solidos,partindo dos princıpios enumerados por Sir. Newton, os irmaos BernoulliJaques e Johan, desenvolveram estudos de vigas em balanco, rotacao de vigas,problemas de dinamica e o princıpio dos deslocamentos virtuais. Seguindo os

16 CAPITULO 3. INTRODUCAO A ESTATICA

princıpios de uma famılia de cientistas, o filho de Johan, Daniel Bernoulli, de-senvolveu junto com seu entao aluno Leonard Euler (1707-1783), a teoria deflexao em vigas batizada e ainda valida ate hoje de teoria de Euler-Bernoulli.

Destaca-se ainda contribuicoes mais recentes a resistencia dos materiais,como a teoria de Timoshenko (1878 a 1972), para vigas com cisalhamento,denominadas vigas de Timoshenko.

Albert Einstein (1879 a 1955) descobriu as limitacoes da mecanica New-toniana, entretanto em sistemas de Engenharia, a base esta fundamentadana Mecanica Classica de Newton.

Figura 3.2: Fısico Alemao, Albert Einstein

3.2 Mecanica Newtoniana

A Mecanica de Newton e uma teoria que versa sobre o movimento dos cor-pos e suas causas. A essencia da teoria foi publicada pelo ingles Isaac New-ton no seu livro Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (PrincıpiosMatematicos da Filosofia Natural) publicado no ano de 1687, mas notaveiscontribuicoes a fısica ja tinham sido feitas, principalmente por Galileu, aofazer seus experimentos que contradisseram a teoria aristotelica.

No entanto, a teoria como esta aqui exposta se vale de uma nova roupagemmatematica e conceitual desenvolvida nos seculos que se seguiram. Nos anosque se seguiram a Newton, diversos fısicos e matematicos aplicaram essa

3.2. MECANICA NEWTONIANA 17

teoria ao movimento dos corpos na terra e tambem ao movimento dos cor-pos celestes, desenvolvendo assim o grande triunfo da teoria newtoniana: aMecanica Celeste.

Essa teoria se aplicou com bastante sucesso aos resultados experimentaisate enfrentar problemas no final do seculo XIX e inıcio do seculo XX. Amecanica de Newton pode ser entendida pelos seis princıpios fundamentais(Figura 3.3 ).

Figura 3.3: Princıpios da Mecanica Newtoniana

3.2.1 Lei do Paralelogramo para Adicao de Forcas

Estabelece que duas forcas atuando numa partıcula possam ser substituıdaspor uma unica forca, chamada resultante, obtida tracando a diagonal doparalelogramo que tem por lados as duas forcas dadas (Figura 3.4).

Figura 3.4: Lei do Parelelogramo


3.3 1a Lei de Newton

Se a resultante das forcas que atuam numa partıcula e nula, esta permaneceraem repouso (se estava inicialmente em repouso) ou mover-se-a com velocidadeconstante segundo uma linha reta (se estava inicialmente em movimento).


Se a resultante que atua sobre um ponto material nao e zero, este tera umaaceleracao proporcional a intensidade da resultante e na direcao desta, como mesmo sentido, sendo sua equacao descrita na forma simplificada pelaEquacao 3.1 .

F = ma (3.1)


As forcas de acao e reacao entre corpos interagindo tem as mesmas intensi-dades, mesmas linhas de acao e sentidos opostos.

3.6 Princıpio da Transmissibilidade

Teorema 3.1 (Princıpio da Transmissibilidade). Estabelece que as condicoesde equilıbrio ou de movimento de um corpo rıgido nao se alteram se sub-stituirmos uma forca atuando num ponto do corpo por outra forca com amesma intensidade, direcao e sentido, mas atuando em um outro ponto docorpo, desde que ambas as forcas possuam a mesma linha de acao (Figura3.5).

3.7 Lei da Gravitacao Universal

Estabelece que dois pontos materiais de massas M e m sao mutuamenteatraıdas com forcas iguais e opostas F e −F de intensidade F dada por (Eq.3.2):

F =Mm

r2G (3.2)

3.7. LEI DA GRAVITACAO UNIVERSAL 19

Figura 3.5: Princıpio da Transmissibilidade

onde r e a distancia que separa os corpos e G e a constante da gravitacaouniversal. O Exemplo abaixo ilustra como funcionam alguns a aplicacao dosprincıpios da mecanica newtoniana.

Exemplo 3.1. Dado o portico abaixo identificar os princıpios da mecanicade newton.

Se as forcas T = 2kN e a forca P = 1, 5kN , qual sera a resultante? Nocaso numerico acima o metodo grafico ilustra claramente a direcao da forcaresultante, entretanto para se achar a intensidade da mesma deve-se recorreras equacoes classicas da matematica vetorial: a lei dos senos e dos cossenos.

3.7.1 Lei dos Cossenos

Dados dois vetores como indicado na Figura abaixo, a lei dos cossenos re-tornara a resultante desses vetores (Eq. 3.3).

r =√

a2 + b2 + 2ab · cos(θ) (3.3)


Para vetores com a posicao ponta−cauda como mostrado na Figura abaixo,a lei dos cossenos se resume a Equacao (3.5)

r =√

a2 + b2 − 2ab · cos(θ) (3.4)

3.7. LEI DA GRAVITACAO UNIVERSAL 21

3.7.2 Lei dos Senos

Uma segunda lei muito importante para o estudo da estabilidade das con-strucoes esta na chamada lei dos senos. A lei dos senos leva em consideracaoo lado de um vetor fechado em forma de triangulo e seu respectivo angulooposto.

a

sin(α)=

b

sin(β)=

c

sin(δ)(3.5)

Exemplo 3.2. Encontrar a resultante dos vetores mostrados na figura abaixoe o angulo que a resultante faz com o eixo horizontal.

r =√

a2 + b2 + 2ab · cos(θ)


=√

22 + 1, 52 + 2 · 2 · 1, 5 · cos(120o)

=√

3, 25 = 1, 803kN

a

sin(α)=

b

sin(β)=

c

sin(δ)

R

sin(60o)=

P

sin(x)

sin(x) =P

R · sin(60o)

sin(x) =1, 5

1, 803 · sin(60o)

sin(x) = 0, 7206

x = 46, 10o

= 46, 10 − 30 = 16, 10o

3.8. ESTATICA 23

Exemplo 3.3. Calcule o a tracao nos cabos da figura abaixo

∑Fx = 0

Tab · cos(30o) − Tac · cos(50o) = 0

∑Fy = 0

Tab · sin(30o) + Tac · sin(50o) = 750

0, 866 · Tab − 0, 643 · Tac = 0

0, 5 · Tab + 0, 766 · Tac = 750

Tab = 486, 84N

Tac = 657, 89N

3.8 Estatica

A estatica e a parte da fısica que estuda sistemas sob a acao de forcas quese equilibram. De acordo com a segunda lei de Newton, a aceleracao destessistemas e nula.

∑F = 0 (3.6)

De acordo com a primeira lei de Newton, todas as partes de um sistemaem equilıbrio tambem estao em equilıbrio. Este fato permite determinar as


forcas internas de um corpo a partir do valor das forcas externas.De uma forma simplificada, as estruturas sao submetidas a diversos car-regamentos combinados e para que se possa garantir que ela nao se movera,deve-se garantir que:o.

• Primeiramente, que ela nao translade, ou seja, o somatorio de todas asforcas tem que ser nulo;

• Segundo, que ela nao rotacione, ou seja, o somatorio dos momentosaplicados a qualquer ponto da estrutura devera ser nulo. Mais adiantedescobriremos e falaremos mais sobre essas duas condicoes de equilıbrioestatic

3.9 Exercıcios de Fixacao

1. Defina estrutura?

2. Defina estrutura?

3. Qual a funcao das estruturas?

4. Os elementos estruturais sao classificados de acordo com as suas di-mensoes; Classifique os elementos estruturais e cite exemplos para cadaclassificacao.

5. De forma geral o que uma estrutura deve possuir?

6. Defina Cargas Permanentes e Cargas Acidentais; De exemplos.

7. Para execucao de obras de engenharia, deve se optar por criterios deprojetos, como: Equilıbrio, Estabilidade e Rigidez. Defina-os.

8. A mecanica de Newton pode ser entendida por seis princıpios, quais?

9. O que voce entende por estatica?

Capıtulo 4

Estatica dos Pontos Materiais

4.1 Introducao

Em Mecanica, ponto material e uma abstracao feita para representar qual-quer objeto que em virtude do fenomeno tem dimensoes desprezıveis, ou seja,dimensoes tais que nao afetam o estudo do fenomeno. Por exemplo, no es-tudo dos movimentos planetas, dada a distancia que separa esses corpos suasdimensoes sao desprezıveis e eles podem ser considerados pontos materiais.

Esse capıtulo contempla o estudo do efeito de forcas sobre pontos materi-ais. Um exemplo pratico foi discutido e analisado no capitulo anterior sobrea otica da acao de apenas duas forcas.

Em problemas de engenharia as acoes sobre pontos materiais nao sao con-stituıdas de duas unicas forcas e sim de uma combinacao de forcas. E fatoque os corpos rıgidos influenciam no sistema, entretanto para inıcio de estudodevemos tratar os pontos materiais.

O que devemos trabalhar e a substituicao de duas ou mais forcas por umaunica forca representativa chamada de forca resultante. Os princıpios da leidos senos e cossenos sao validos para mais de uma forca, porem demandaum trabalho razoavel para sua utilizacao.

Nesse sentido busca-se a utilizacao da decomposicao de forcas como umaalternativa rapida e de facil entendimento para determinacao da resultantede forcas.

25

26 CAPITULO 4. ESTATICA DOS PONTOS MATERIAIS

4.2 Resultante de Forcas sobre Ponto Mate-

rial

O Vetor Resultante independe de qual sequencia de vetores sera tomadacomo base. Obedecendo ao sistema Ponta-a-cauda, o resultado sempre serao mesmo (Figura 4.1).

Figura 4.1: Resultante dos vetores de forcas

Qualquer que seja a sequencia tomada, a direcao do vetor resultante naose altera, esse sistema e denominado regra do polıgono.

4.3 Componentes de uma Forca

Para sistemas de mais de dois vetores, a tecnica de decomposicao vetoriale importante para definicao do vetor resultante. A decomposicao parte doprincıpio que qualquer forca pode ser decomposta em direcoes principais, emgeral definidas pelo eixo cartesiano. Entretanto qualquer forca pode ser de-composta em qualquer direcao, para esse primeiro caso trabalharemos apenascom as direcoes principais.

Uma forca unica pode ser substituıda por duas ou mais forcas que, juntas,geram o mesmo efeito sobre o corpo, essas forcas sao chamadas de compo-nentes da forca original, e o processo de substituicao da original por ela edenominado decomposicao dos componentes da forca. Para cada forca existeum numero infinito de possıveis conjuntos de componentes.

Exemplo 4.1. Problema vetorial com tres vetores.

decompondo o vetor v na direcao ortogonal tem−se:

vx = v · cos(35o)

vy = v · sen(35o)

4.3. COMPONENTES DE UMA FORCA 27

decompondo o vetor w na direcao ortogonal tem−se:

wx = w · cos(45o)

wy = w · sen(45o)

decompondo o vetor u na direcao ortogonal tem−se:

ux = w · cos(20o)

uy = w · sen(20o)

procedendo o somatorio das forcas nas duas direcoes principais. tem−se:∑

Fx = vx − wx + ux∑

Fx = v · cos(35o) − w · cos(45o) + u · cos(20o)∑

Fx = 3, 5 · 0, 8192− 4, 0 · 0, 7071 + 2, 0 · 0, 9397∑

Fx = 2, 8670− 2, 8284 + 1, 8794 = 1,9180

na direcao vertical temos:∑

Fy = vy + wy − uy∑

Fy = v · sin(35o) + w · sin(45o) − u · sin(20o)∑

Fy = 3, 5 · 0, 5736 + 4, 0 · 0, 7071 − 2, 0 · 0, 3420∑

Fy = 2, 0076 + 2, 8284 − 0, 6840 = 4,1520

Aplicando o teorema de Pitagoras para os vetores ortogoanis encontradostem−se:

R = F 2x + F 2

y


R = 1, 91802 + 4, 15202

R = 3, 6787 + 17, 2391

R = 20, 9178

R = 4,5736 kN

Para achar o angulo da resultaante com a hrizontal:

sin(α) =F 2

y

R

sin(α) =4, 1520

4, 5736

sin(α) = 0, 9078

α = 65, 20o

4.4 Metodos de Analise de Forcas

Como vimos existem dois metodos basicos para analise da composicao deforcas, o primeiro e o metodo grafico utilizando o processo vetor-ponta-cauda,onde pode-se encontrar a resultante de um sistema de varias forcas. Proced-imento semelhante pode ser observado com a aplicacao da regra do paralel-ogramo, sendo um metodo com pouca precisao.

O segundo metodo consiste na interpretacao numerica das forcas utilizandoduas vertentes, a lei dos cossenos e senos ou decomposicao de forcas.

4.5 Exercıcios de Estatica de Ponto Material

Problemas retirados do (Beer e Johnston Jr, 1991), com algumas adaptacoes.

4.5. EXERCICIOS DE ESTATICA DE PONTO MATERIAL 29

4.5.1 Fase 1: Aquecimento

1. As forcas P e Q agem sobre umparafuso. Determinar sua resul-tante e o angulo de inclinacaoda resultante com a horizontal.

2. Dada a chapa parafusada abaixo,pede-se, a resultante das forcasque agem na chapa e o angulode inclinacao da mesma com ahorizontal.

3. Quatro forcas atuam no para-fuso da figura abaixo. Deter-mine a resultante das forcas queagem no parafuso.

4. Dada a estrutura de sustentacaoabaixo, sabendo que a tracao nocabo AC e de 370N. Determinea componente horizontal e ver-tical da forca exercida em C.

5. Uma estaca e arrancada do solocom o auxilio de duas cordas,como mostrado na figura ao lado.Com θ = 30o e determine o moduloda forca P necessario para quea resultante na estaca seja ver-tical.

6. Calcule a resultante das forcasmostrado no sistema abaixo.

7. Dado o parafuso da figura abaixosubmetido a diversas forcas, pergunta-


se: Qual a resultante das forcase o angulo que a resultante fazcom o eixo Y.

8. Um homem puxa com a forcade 300N uma corda amarradaa um edifıcio, como mostra afigura. Quais sao as componentes

horizontais e verticais e a resul-tante da forca exercida pela corda.

9. A figura representa uma barrahomogenea de peso igual a 200N,articulada em P e mantida emequilıbrio por meio do fio idealAB.O corpo pendurado na ex-tremidade A da barra tem pesode 100N. Determine a intensi-dade da forca de tensao no fioAB.

4.5.2 Fase 2: Aprofunda-mento

1. Determine a tracao nos fios ideaisAB e BC, sabendo-se que o sis-tema esta e equilıbrio na posicao

4.5. EXERCICIOS DE ESTATICA DE PONTO MATERIAL 31

indicada. Dados: sen(θ) = 0, 6; cos(θ) =0, 8; P = 90N

2. Para o sistema da figura, em equilıbrio,qual a relacao entre o peso PAe PB dos corpos A e B? Os fiose a polia sao ideais.

3. Dado um corpo arbitrario commassa 12kg concentrada em umponto P ligado a outro de massa10kg concentrada em um pontoQ ligado por um fio ideal queatravessa uma polia ideal, assimcomo na figura abaixo. Qualdeve ser o coeficiente de atritopara que este sistema esteja emequilıbrio?

4.5.3 Fase 3: Desafio

1. Um equilibrista de peso “P“, estaandando sobre uma corda bamba

de comprimento “L“, quando oequilibrista chega a um terco dopercurso, o mesmo causa um deslo-camento vertical na corda “y“.Qual a tensao na corda nesseponto.

4.5.4 Fase 4: Caiu na Prova

1. [2008] As tres forcas da figuraabaixo agem na cabeca de umparafuso. Determinar sua resul-tante e o angulo de inclinacaoda resultante com a horizontal.Para das duas configuracoes aolado.

2. [2008] Dado o sistema abaixo sobacao de duas forcas pede-se, en-contrar a resultante das forcas eo angulo de inclinacao da mesmacom a horizontal.

3. [2010] Qual o angulo theta paraque a resultante das duas forcas


tenha intensidade de 1500N? Nes-sas condicoes qual o angulo quea resultante faz com a horizon-tal?

Respostas, Fase 1: Aquecimento

1. R = 98N, θ = 35o

2. R = 5, 84kN

3. R = 199, 6N, = 4, 11o

4. 261Ne − 168N

5. 101N

6. 1, 28N

7. 65, 23kN

8. Rx : 240N, Ry : 180N

9. T : 424, 26N

Respostas, Fase 2: Aprofunda-mento

1. R =

2. R = tg(60o)

3. R = 0, 83

Respostas, Fase 3: Desafio

1. 2PL9y

Respostas, Fase 4: Caiu na Prova

1. R =

2. R =

3. R =

Capıtulo 5

Estatica de Corpos Rıgidos

5.1 Introducao

O corpo rıgido e um corpo ideal, resultante da combinacao de um numero fini-tos de partıculas ocupando posicoes fixas no espaco. Como dito no capıtuloanterior a estatica de pontos materiais considera o corpo como sendo apenasum ponto, desprezando sua massa e a relacao de atuacao da forca no mesmo.

Na estatica de ponto material, todas as forcas atuam em um mesmo ponto,fato que nao acontece comumente na pratica da engenharia. Em contra-partida tem-se como valvula de escape o estudo da estatica de corpos rıgidos,onde se considera cada corpo como uma composicao de pontos materiais,sendo assim, deve-se a partir desse momento levar em consideracao o tamanho,o peso, a geometria, dentre outros fatores.

Os corpos rıgidos sao tratados dentro da mecanica classica como sendo cor-pos indeformaveis, entretanto sabemos que todos os corpos quando sujeitosa carregamentos deformam.

Os problemas de deformacao de corpos rıgidos sao estudados pela cienciadenominada Resistencia dos Materiais, e nao sera alvo de estudo dentro docurso tecnico em edificacoes.

33

34 CAPITULO 5. ESTATICA DE CORPOS RIGIDOS

5.2 O que se Estuda na Estatica de Corpos

Rıgidos?

Da mesma forma que no capıtulo anterior, a estatica de uma forma geralestuda a acao de forca sobre os corpos, sendo que na estatica de corpo rıgidonao se tem a restricao de um ponto de aplicacao de forca e sim a forca podeatuar em qualquer ponto da geometria do corpo.

Os efeitos das forcas nao pontuais em um corpo pode ser entendido a anal-isado por 3 parametros:

• Sistema equivalente de forca−binarios

• Momento de uma forca em relacao a um ponto

• Forcas externas e forcas internas.

Tomemos como exemplo o caminhao nas condicoes de carregamento abaixo:

Exemplo 5.1. Aplicacao das leis de Newton na estatica de corpos rıgidos.

No problema acima tem um caminhao sendo rebocado por uma corda,sendo assim podemos destacar as forcas atuantes no sistema como sendo:Destacando o peso proprio por “P“, as reacoes do solo nas rodas como sendo“R1“ e “R2“ e a forca que reboca o caminhao por “F“.

O Princıpio da transmissibilidade pode ser usado livremente para o calculode forcas externas e determinacao da condicao de equilıbrio ou movimentode um corpo rıgido, entretanto deve ser evitado para o calculo das forcasinternas (Fig. 5.1).

Quando se fala de forcas externas nao existem problemas quanto ao uso

5.3. MOMENTO DE UMA FORCA EM RELACAO A UM PONTO 35

Figura 5.1: Princıpio da Transmissibilidade para Corpos Rıgidos

Figura 5.2: Restricao do princıpio transmissibilidade para corpos rıgidos.

do princıpio enunciado por Newton, entretanto, analisando a aplicacao doprincıpio da transmissibilidade na Figura (5.2), abaixo.

No sistema descrito na Figura (5.2), em ambas as situacoes a resultanteexterna sera sempre nula, ou seja, o deslocamento da forca “P1“, nao influ-enciou no sistema de equacoes externas, entretanto para forcas internas osdois sistemas estudados sao completamente diferentes

No primeiro o corpo esta tracionado e no segundo o corpo esta comprim-ido. O estudo de forcas internas se dara nos proximos capıtulos.

5.3 Momento de uma Forca em Relacao a um

Ponto

Definicao 8. Momento e a tendencia que uma forca, atuando sobre um corpoque tenha a possibilidade de gira-lo em torno de um ponto fixo. O momentodepende somente da intensidade da forca e do seu braco de alavanca.

No caso de ponto material, basta garantir que o corpo nao translade,estara garantido que o corpo estara em equilıbrio. No caso de uma barra


ou uma ponte (corpos extensos) teremos que garantir que o corpo nao rota-cione tambem. A grandeza fısica que relaciona forca e rotacao num ponto echamada de momento ou torque.

Obtem-se o momento de uma forca em relacao a um ponto multiplicando-sea intensidade da forca pela distancia do ponto a linha de acao da forca (Fig.5.3). O momento depende somente da intensidade da forca e do seu braco

Figura 5.3: Momento de uma forca em relacao a um ponto.

de alavanca (Eq. 5.1).

M = F · r (5.1)

Retomando o exemplo 4, anterior: Qual o momento das forcas em relacao aoponto A:

Tem-se que definir a convencao do sinal do momento. Em geral utiliza-se aregra da mao direita. Como mostrado abaixo, os momento sao calculadosmultiplicando as forcas pelo seu respectivo braco de alavanca ate o pontoescolhido, lembrando que forcas verticais o braco de alavanca sera horizontale forcas horizontais terao braco de alavanca vertical.

Mf = F · h

5.4. EXERCICIOS DE ESTATICA DE CORPO RIGIDO 37

Mp = P · LMr2 = R2 · xMR1 = R1 · 0

Exemplo 5.2. Problema numerico: estatica de corpos rıgidos.

Suponha que o corpo estejam em equilibrio, sob a acao das forcas ilustradasna figura acima: Qual sera o valor das resultantes H1, R1 e R2?

Nessa situacao pode-se aplicar o princıpio da estaticas onde diz que para ocorpo em equilıbrio todas as forcas que agem nas direcoes principais, bemcomo as rotacoes devem ser nula, sendo assim tem-se:

∑Fx = 0

−F + H1 = 0

H1 = 5kN∑Fy = 0

R1 + R2 − P = 0

R1 + R2 = 10∑M = 0

F · 0, 2 − P · 2 + R2 · 3 − H1 · 0, 5 = 0

5 · 0, 2 − 10 · 2 + R2 · 3 − 5 · 0, 5 = 0

R2 = 7, 16kN

R1 + R2 = 10kN

R1 + 7, 16 = 10kN

R1 = 2, 84kN

5.4 Exercıcios de Estatica de Corpo Rıgido

Problemas retirados do (Beer e Johnston Jr, 1991), com algumas adaptacoes.



1. Calcular o momento no pontoA.

2. Calcular o momento no pontoA.

3. Dada a viga sujeita a acao deforcas abaixo, pede-se. Calcu-lar o momento no ponto A.

4. Calcular o momento no pontoA, do portico abaixo.

5. A forca inclinada atua em umportico, como mostrado na figuraao lado. Calcular o momento noponto A.

5.4.2 Fase 2: Aprofunda-

mento

1. Dada a figura de uma retro es-cavadeira abaixo, pede-se calcu-lar o momento das forcas atu-antes na retro-escavadeira no pontoA (Figura 5.4).

2. Encontrar o momento no pontoA da figura abaixo.

5.4. EXERCICIOS DE ESTATICA DE CORPO RIGIDO 39

3. Uma barra homogenia AB depeso P=10N e comprimento L=50cm esta apoiada num corpo depeso Q1=50N. A que distanciax de B deve ser colocada umcorpo de peso Q2=10N para quea barra fique em equilıbrio nahorizontal? O peso Q1 esta dis-tante de O, 5cm.


Figura 5.4: Prob. 1 - Fase Aprofundamento


1. R =

2. MA = 31, 25kNm

3. MA = 9, 75kNm

4. R =

5. R =

6. R =

Respostas, Fase 2: Aprofundamento

1. R =

2. R =

3. R =



Capıtulo 6

Carregamentos Distribuıdos

6.1 Cargas Pontuais e Carregamentos Distribuıdos

As cargas atuantes nas estruturas sao definidas em dois tipos, concentrada,ou seja, aplicada em um unico ponto, esse tipo de carga pode ser uma forcaou uma rotacao (carga momento) ou distribuıda, composta por um numeroinfinito de forcas concentradas ou rotacoes.

Suponha a viga mostrada na Figura (6.1), onde tem-se uma segunda vigaapoiada na mesma. Ao lado encontra-se o modelo de calculo desse estrutura,onde substitui-se o peso da viga apoiada por uma carga concentrada no eixode apoio da viga. Lembra-se que nesse modelo nao se contabilizou o peso daviga principal bi-apoiada.

Figura 6.1: Exemplo de um Modelo de Calculo de uma Carga Concentrada.

41

42 CAPITULO 6. CARREGAMENTOS DISTRIBUIDOS

Suponha agora a estrutura mostrada na Figura (6.2), onde alem de umaviga apoiada, a estrutura serve de suporte para uma parede. Nesse caso, umacarga apoiada nao se adequa para o modelo de calculo do sistema, e sim umaserie de cargas representativas.

Figura 6.2: Exemplo de um Modelo de Calculo de uma Carga Distribuıda

Sabemos manipular vetores, as operacoes basicas e decomposicao veto-rial, a pergunta e: como trabalharemos com um numero infinito de vetores,como mostrado na Figura (6.2)? E muito simples, iremos converter essascargas distribuıdas em um unico vetor representativo aplicado no centro degravidade do carregamento.

Definicao 9. Centro de Gravidade: e um ponto em torno do qual opeso do corpo esta igualmente distribuıdo em todas as direcoes. O centro degravidade de um corpo coincide com seu centro de massa quando a aceleracaoda gravidade tiver o mesmo valor em toda extensao do corpo. Isso significaque corpos com dimensao pequena comparada a Terra, como tem o mesmovalor de aceleracao da gravidade para todas as diferentes partes do corpo, seucentro de gravidade coincide com seu centro de massa.

Definicao 10. Centro de Massa: um corpo extenso ou de um sistema departıculas e uma idealizacao utilizada em Fısica para reduzir o problema daacao de forcas externas sobre este corpo ou sistema de partıculas. A ideiae tentar reduzi-los a uma partıcula de massa igual a massa total do corpo

6.1. CARGAS PONTUAIS E CARREGAMENTOS DISTRIBUIDOS 43

extenso ou do sistema de partıculas, posicionada justamente no centro demassa.

Abaixo encontram-se com os principais centros de gravidades a seremutilizados no nosso curso.

6.1.1 Retangulo

Um retangulo e um paralelogramo cujos lados formam angulos retos entresi e que, por isso, possui dois pares de lados de mesma medida. Para figura

Figura 6.3: Centro de Gravidade de um Retangulo

geometrica retangulo Figura (6.3) o centro de gravidade, onde o corpo seequilibrara estara nas coordenadas xg e yg:

xg =b

2, yg =

h

2(6.1)

6.1.2 Quadrado

Um quadrado e um quadrilatero (polıgono de 4 lados)com tamanhos iguais.Para figura geometrica quadrado Figura (6.4) o centro de gravidade, onde ocorpo se equilibrara estara nas coordenadas xg e yg:

xg =L

2, yg =

L

2(6.2)

6.1.3 Triangulo

Um triangulo e a figura geometrica que ocupa o espaco interno limitadopor tres linhas retas que concorrem, duas a duas, em tres pontos diferentes


Figura 6.4: Centro de Gravidade de um Quadrado

Figura 6.5: Centro de Gravidade de um Triangulo

formando tres lados e tres angulos internos que somam 180◦. Para figurageometrica triangulo Figura (6.5) o centro de gravidade, onde o corpo seequilibrara estara nas coordenadas xg e yg:

xg =b

3, yg =

2h

3(6.3)

Exemplo 6.1. Problema de Conversao de Carga Distribuıda em Concen-trada.

Como o carregamento e um retangulo de base 5m e altura 15N/m, pode-mos calcular o centro de gravidade da figura. Nota-se que so precisa calcularo eixo X.

xg =b

2=

5

2= 2, 5m

Convertendo em forca

6.1. CARGAS PONTUAIS E CARREGAMENTOS DISTRIBUIDOS 45

F = 15N/m · 5m = 75N

Exemplo 6.2. Problema de Conversao de Carga Distribuıda em Concen-trada.

No caso abaixo tem-se dois problemas distintos, onde pode-se dividir afigura em duas, sendo um retangulo e um triangulo, e a partir dai comecar atrabalhar

1o passo: Achar o centro de gravidade para o retangulo de base 9m e altura10N/m

xg =b

2=

9

2= 4, 5m

Convertendo em forcav2 = 10N/m · 9m = 90N

2o passo: Achar o centro de gravidade para o triangulo de base 9m e al-tura 15N/m, (25N/m - 10N/m)


xg =1b

3=

1 · 93

= 3, 0m

Convertendo em forca

v1 =15N/m · 9m

2= 67, 5N

Por fim tem-se os carregamentos distribuıdos convertidos em cargas pon-

tuais, como mostrado na figura abaixo.

Sempre que houver figuras nao conhecidas, as mesmas podem ser subdividi-das em figuras conhecidas como, retangulos, triangulos, quadrados etc.

Quando nao e possıvel utilizar essa tecnica, a mecanica disponibiliza out-ros metodos para encontrar o centro de gravidade de figuras complexas, oque nao e o objetivo principal dessa apostila.

6.2 Exercıcios de Cargas Pontuais e Carrega-

mentos Distribuıdos

6.2. EXERCICIOS DE CARGAS PONTUAIS E CARREGAMENTOS DISTRIBUIDOS47


mento

1. Dado o portico engastado abaixo,submetido a carregamentos dis-tribuıdos como mostrado na figura,pede-se: mostre que o momentono ponto A (Engaste) e dadopela equacao (Considerando rotacaohoraria positiva):

∑MA =

L2

8· [4Q − 3q]

Capıtulo 7

Tipos de Estruturas de Apoio

7.1 Introducao

As estruturas de engenharia podem ser classificadas em relacao aos grausde liberdade em que ela esta executada. Quanto mais rıgida for a estruturamaior sera o impedimento ao movimento. Em engenharia existem seis graus

Figura 7.1: Classificacao das estruturas segundo os graus de liberdade.

de liberdade, sendo tres translacoes, nas direcoes X, Y e Z, e tres rotacoes,nas direcoes RX, RY e RZ. A Figura (7.1) mostra os tipos de estruturassegundo os graus de liberdade impedidos, sao elas:

48

7.1. INTRODUCAO 49

Definicao 11. Hipostatica: onde as equacoes da estatica, sao superioresaos numeros de incognita do problema, as caracterısticas desse tipo de estru-tura e a instabilidade constante: ex, balanco, gangorra etc.

Figura 7.2: Exemplo de Estrutura Hipostatica.

Definicao 12. Isostatica: as estruturas isostaticas, o numero de equacoese exatamente igual ao numero de incognitas. Esse tipo de estrutura e bastanteutilizado na engenharia, e sera bastante utilizada no nosso curso.

Figura 7.3: Exemplo de Estrutura Isostatica.

Definicao 13. Hiperestatica: as estruturas hiperestaticas, o numero deequacoes e menor que o numero de incognitas, nesse caso nao se consegueresolver o problema apenas com as equacoes classicas da estatica, necessi-tando do uso de outras equacoes.

No curso tecnico, nao trabalharemos com estruturas hiperestaticas, ape-nas com estruturas isostaticas.

50 CAPITULO 7. TIPOS DE ESTRUTURAS DE APOIO

Figura 7.4: Exemplo de Estrutura Hiperestatica.

7.2 Reacoes de Apoio

As reacoes de apoio, sao os graus de liberdade travados do sistema, comodito anteriormente uma estrutura isostatica possuı, 3 reacoes de apoio, umaestrutura hiperestatica mais de 3 e uma estrutura hipostatica menos de 3.

A Figura (7.5), mostra a simbologia, o tipo e as reacoes a serem travadas.Em relacao ao tipo, as reacoes podem ser classificadas como do primeiro,segundo e terceiro generos.

Figura 7.5: Nomenclatura das Estruturas de Apoio.

Exemplo 7.1. Calcular as reacoes de apoio para estrutura da figura abaixo.

7.2. REACOES DE APOIO 51

Como observado na figura o lado esquerdo possui um apoio do primeirogenero enquanto o apoio esquerdo e um apoio do segundo genero.

∑Fx = 0

Rxa = 0

∑Fy = 0

Rya + Ryb − 15 · 5 = 0

Rya + Ryb = 75

∑Ma = 0

−Ryb · 5 + 75 · 5

2= 0

Ryb = 37, 5N

Rya + Ryb = 75

Rya + 37, 5 = 75

Rya = 37, 5N


7.3 Exercıcios de Reacoes de Apoio


1. Dada a trelica abaixo, sujeta a duas forca concentradas, pede-se paracalcular as reacoes de apoio.

2. Para a viga bi-apoiada abaixo, encontrar as reacoes de apoio.

3. Calcular as reacoes de apoio para estrutura abaixo (Figura 7.6).

4. Calcular as reacoes de apoio para estrutura abaixo (Figura 7.7).

5. Calcular as reacoes de apoio do portico abaixo (Figura 7.8).

7.3. EXERCICIOS DE REACOES DE APOIO 53

Figura 7.6: Problema 03 - Fase Aquecimento



7.3.2 Fase 2: Aprofundamento

Calcular as Reacoes de Apoio da Viga Abaixo.


Figura 7.9: Problema 01 - Fase Aprofundamento



7.3. EXERCICIOS DE REACOES DE APOIO 55





1. Va = 78kN ,Vb = 66kN ,Ha = 18kN

Respostas, Fase 2: Aprofunda-mento

Prob. 1: Va = Vb = 27, 5kN ,Ha = 25, 98kNProb. 2: Va = −5kN ,Vb = 95kN ,Ha = 0kNProb. 3: Va = 0, 59kN ,Vb = 51, 05kN ,Hb = −14kNProb. 4: Va = 57, 4kN ,Vb = 55, 1kN ,Ha = 0kNProb. 5: Va = −8, 75kN ,Vb = 8, 75kN ,Ha = 0kN



Capıtulo 8

Esforcos Internos Solicitantes

8.1 Introducao

Dado um corpo rıgido sujeito a carregamentos combinados, as forcas exter-nas sao convertidas em acoes a exemplos: compressao, tracao, cisalhamento,flexao dentre outras.

Figura 8.1: Exemplo de Estrutura de Corpo Rıgido Submetido a Carrega-mentos Combinados

Ao tentar romper uma estrutura, existem forcas contrarias, ja descritas pela3a lei de Newton, Para estrutura esta em equilıbrio as forcas internas tambemdeverao obrigatoriamente esta em equilıbrio.

Os esforcos internos encontrados nas estruturas, sao caracterizados por ligacoesinternas de tensoes, ao longo de uma secao transversal.

57

58 CAPITULO 8. ESFORCOS INTERNOS SOLICITANTES

Figura 8.2: Forcas Internas no Corpo Rıgido

8.2 Equacoes Diferenciais de Equilıbrio*

O primeiro passo do estudo e determinar os esforcos internos solicitantes nassecoes (S1) e (S2), da viga que encontra-se na Figura (8.3).

Figura 8.3: Viga Submetida a Carregamentos Combinaods

Figura 8.4: Viga Seccionada, Explicitando as Forca Internas

8.2. EQUACOES DIFERENCIAIS DE EQUILIBRIO* 59

para secao localizada em (S1), temos:

N =3pL

4

Q =3qL

4

M =−9qL2

32

para secao localizada em (S2), temos:

N =1pL

2

Q =1qL

2

M =−1qL2

8

Conclui-se que, os esforcos internos solicitantes variam ao longo do ele-mento estrutural e que os esforcos internos solicitantes sao funcoes de parametrosdas acoes externas e de parametros geometricos.

Exemplo 8.1. Expressar matematicamente a lei de variacao dos esforcosinternos solicitantes ao longo do elemento estrutural, [Problema retirado dasnotas de aula do prof. Eduardo Nobre]

Construindo o diagrama de corpo livre de um pequeno segmento decomprimento Δs, a partir da secao referenciada pela coordenada s, e es-tabelecendo as equacoes de equilıbrio, tem-se: Procedendo o somatorio das


equacoes de equilıbrio da estatica temos:

∑Flongitudinal = 0

(N(s) + ΔN) − N(s) + p(s) · Δs = 0

ΔN(s) = −p(s) · Δs

ΔN(s)

Δs= −p(s)

limΔs→0

ΔN(s)

Δ(s)=

dN(s)

ds= −p(s)

Utilizando o mesmo raciocınio para direcao transversal, temos:

∑Ftransversal = 0

−(Q(s) + ΔQ) + Q(s) − q(s) · Δs = 0

−ΔQ(s) = q(s) · Δs

ΔQ(s)

Δs= −q(s)

limΔs→0

ΔQ(s)

Δs=

dQ(s)

ds= −q(s)

por fim calculando o momento em (s + Δs), com rotacao positiva anti-horaria, temos:

∑Ms+Δs = 0

−Q(s)Δs − M(s) + (M(s) + ΔM) + q(s)ΔsΔs

2+ m(s)Δs = 0

−Q(s)Δs + ΔM + q(s)Δs2

2+ m(s)Δs = 0

8.3. DIAGRAMA DE ESFORCOS INTERNOS SOLICITANTES 61

ΔM(s) = Q(s)Δs − q(s)Δs2

2− m(s)Δs

ΔM(s)

Δs= Q(s) − q(s)

Δs

2− m(s)

limΔs→0

ΔM(s)

Δs=

dM(s)

ds= Q(s) − m(s)

Desta feita, tem-se as equacoes diferenciais de equilıbrio:

dN(s)

ds= −p(s) (8.1)

dQ(s)

ds= −q(s) (8.2)

dM(s)

ds= Q(s) − m(s) (8.3)

Das equacoes acima deduzidas pode-se concluir que as funcoes que descrevemos esforcos normal e cortante apresentam complexidades com uma ordema mais que as funcoes que descrevem as forcas distribuıdas longitudinal etransversal, respectivamente.

A funcao que descreve o momento fletor apresenta complexidade com duasordens a mais que a funcao que descreve a forca distribuıda transversal com-binada com uma ordem a mais que a funcao que descreve o momento dis-tribuıdo.

Notar que a equacao diferencial de equilıbrio referente ao esforco normale totalmente desacoplada das duas outras equacoes diferenciais.

8.3 Diagrama de Esforcos Internos Solicitantes

Sabemos da secao anterior que os esforcos internos exitem e que na maioriadas vezes, variam de acordo com a distancia onde se calcula. Disnte destefato tomemos como exemplo inicial uma viga de carregamento disbuıdo eanalizaremos todos os esforcos nela embutida.

Exemplo 8.2. Problema de Analise de Esforcos

Primeiramente procede-se um corte da estrutura em uma secao imaginarias. A distancia do apoio do primeiro geneto para o corte denominaremos dex.


As reacoes de apoio da estrutura deve ser previamente calculada uma vezque essas sao icognitas iniciais do problema. Assim tem-se Rax = 0, Ray =37, 5, Rby = 37, 5 como calculado anteriormente. Se tomarmos como re-ferencia a figura 8.3, e analisarmos as forcas pertinentes a uma viga com car-regamento distribuıdo apenas temos como resultado do euquilıbrio na direcaox:

∑Fx = 0

Rax + N = 0

N = −Rax

N = 0

Na direcao vertical temos:

∑Fy = 0

Ray − Q − 15 · x = 0

Q = 37, 5 − 15 · x

8.3. DIAGRAMA DE ESFORCOS INTERNOS SOLICITANTES 63

Calculando os momento considerando rotacao positiva o sentido horario temos:∑

Ms = 0

−M + Ray · x − 15 · x · x

2= 0

M = 37, 5x − 7, 5x2

De posse das equacoes que representam os esforcos internos na estruturapodemos desenhar os respectivos diagramas. Para construcao dos diagramastoma-se cinco pontos distintos na estrutrura, verificando os esforcos nas re-spectivas funcoes acima encontradas.Para o esforco normal na viaga temos:

N(x) = 0

sendo assim para qualquer valor de x tomado na funcao normal o resultadosera nulo. Abaixo tem-se o diagrama de esforco normal.

Figura 8.5: Diagrama de Esforco Normal

Para o esforco cortante temos:

Q(x) = 37, 5 − 15 · xQ(0) = 37, 5 − 15 · 0 = 37, 5

Q(1, 25) = 37, 5 − 15 · 1, 25 = 18, 7

Q(2, 5) = 37, 5 − 15 · 2, 5 = 0

Q(3, 75) = 37, 5 − 15 · 3, 75 = −18, 7

Q(5) = 37, 5 − 15 · 5 = −37, 5

O resultado do diagrama pode ser observado na figura (8.6). Para o calculodo diagrama de momento fletor procede-se de forma semelhante ao anterior.

M(x) = 37, 5 · x − 7, 5 · x2

M(0) = 37, 5 · 0 − 7, 5 · 02 = 0

M(1, 25) = 37, 5 · 1, 25 − 7, 5 · 1, 252 = 32, 5

M(2, 5) = 37, 5 · 2, 5 − 7, 5 · 2, 52 = 46, 9

M(3, 75) = 37, 5 · 3, 75 − 7, 5 · 3, 752 = 32, 5

M(5) = 37, 5 · 5 − 7, 5 · 52 = 0


Figura 8.6: Diagrama de Esforco Cortante

Figura 8.7: Diagrama de Momento Fletor

Algumas regras deve ser respeitada quando se deseja calcular os esforcosinternos de uma estrutura.

Aqui em especial o exemplo nos trouxe uma estrutura contınua com apenasum carregamento distribuıdo, desta feita precisou-se fazer apenas um cortena estrutura para analisa-la, porem existem casos em sao necessarios maisde um corte para poder solucionar o problema, para as excecoes destaca-se:

1. Carga Concentradas;

2. Carga Momento;

3. Mudanca de geormetria da secao transversal;

8.4 Exercıcios EIS - Esforcos Internos Solici-

tantes


1. Dada a viga abaixo, pede-se calcular os diagramas de esforcos internossoliciatntes.

8.4. EXERCICIOS EIS - ESFORCOS INTERNOS SOLICITANTES 65

2. Dada a viga abaixo, pede-se calcular os diagramas de esforcos internossoliciatntes.


1. [2009] Dada a viga abaixo, pede-se calcular os diagramas de esforcosinternos soliciatntes.


1. Prob.01 Diagramas - Esforco Normal, Esforco Cortante e MomentoFletor


2. Prob.02

Diagramas - Esforco Normal, Esforco Cortante e Momento Fletor

8.4. EXERCICIOS EIS - ESFORCOS INTERNOS SOLICITANTES 67

Capıtulo 9

Trelicas

9.1 Introducao

Trelicas, sao elementos estruturais contituıdos por elementos lineares (bar-ras) e nos (articulacoes), desta feita, as acoes atuantes nos elementos consistede forcas normais (tracao ou compressao).

As trelicas podem ser divididas em dois grupos distintos:

1. Trelicas Planas: Quando todos os elementos estejam em um unicoplano;

2. Trelicas Espaciais: Quando existem elementos em diversos planos noespaco.

68

Referencias Bibliograficas

[1] Beer, F. P., and Johnston Jr, E. R. (1991). Mecanica Vetorial paraEngenheiros. Sao Paulo: Makron Books.

[2] Arruda, J. R. (2001). Introducao Historica a Mecanica dos Solidos.Campinas, Sao Paulo, Brasil.

[3] Hallyday, D. and Resnick, J.W(2009). Fundamentals of Physics, NewYork, USA.

69

Capıtulo 10

Exercıcios Resolvidos

10.1 Estatica de Ponto Material

70

10.1. ESTATICA DE PONTO MATERIAL 71


1. As forcas P e Q agem sobre umparafuso. Determinar sua resul-tante e o angulo de inclinacaoda resultante com a horizontal.Primeiro passo decompor todas

as forcas inclinadas nas direcoesprincipais x e y

Qx = Q · cos(45o)

Qx = 60 · cos(45o)

Qx = 42, 4264

Qy = Q · sen(45o)

Qy = 60 · sen(45o)

Qy = 42, 426

Px = P · cos(20o)

Px = 40 · cos(20o)

Px = 37, 587

Py = 40 · sen(20o)

Py = 40 · sen(20o)

Py = 13, 681

Rx =∑

Fx

= Qx + Px

= 42, 4264 + 37, 587

Rx = 80, 043

Ry =∑

Fy

= Qy + Py

= 42, 4264 + 13, 681

Ry = 56, 1074

R2 = R2y + R2

x

R2 = 80, 0432 + 56, 10742

R =√

9.554, 9862

R = 97, 7496N

Achando agora o angulo de in-clinacao da resultante com a hor-izontal:

tg(θ) =Ry

Rx

tg(θ) =56, 1074

80, 043

tg(θ) = 0, 7010

tg−1 = 35, 03o

θ = 35, 03o

2. Dada a chapa parafusada abaixo,pede-se, a resultante das forcasque agem na chapa e o angulode inclinacao da mesma com ahorizontal.

Aplicando a lei dos cossenos paraachar a resultante das forcas en-tre os dois vetores:

R =√

52 + 3, 52 + 2 · 5 · 3 · cos(95o)

=√

25 + 12, 5 − 3, 0505

= 5, 848kN

72 CAPITULO 10. EXERCICIOS RESOLVIDOS

3. Quatro forcas atuam no para-fuso da figura abaixo. Deter-mine a resultante das forcas queagem no parafuso.

F1y = 110N

F2x = F2 · sen(20o)

= 80 · sen(20o)

F2x = 27, 361N

F2y = F2 · cos(20o)

= 80 · cos(20o)

F2y = 75, 175N

F3x = F3 · cos(30o)

= 150 · cos(30o)

F3x = 129, 903N

F3y = F3 · sen(30o)

= 150 · sen(30o)

F3y = 75, 0N

F4x = F4 · cos(15o)

= 100 · cos(15o)

F4x = 96, 592N

F4y = F4 · sen(15o)

= 100 · sen(15o)

F4y = 25, 882N

Rx =∑

Fx

= F3x + F4x − F2x

= 129, 903 + 96, 592− 27, 361

Rx = 199, 13N

Ry =∑

Fy

= F2y + F3y − F4y − F1y

= 75, 175 + 75 − 25, 88 − 110

Ry = 14, 295N

R2 = R2y + R2

x

R2 = 14, 2952 + 199, 132

R =√

38.858, 697

R = 199, 646N

Achando agora o angulo de in-clinacao da resultante com a hor-izontal:

tg(θ) =Ry

Rx

tg(θ) =14, 295

199, 13

tg(θ) = 0, 07018

10.1. ESTATICA DE PONTO MATERIAL 73

tg−1 = 4, 10o

θ = 4, 10o

4. Dada a estrutura de sustentacaoabaixo, sabendo que a tracao nocabo AC e de 370N. Determinea componente horizontal e ver-tical da forca exercida em C.

5. Uma estaca e arrancada do solocom o auxilio de duas cordas,como mostrado na figura ao lado.Com θ = 30o e determine o moduloda forca P necessario para quea resultante na estaca seja ver-tical.

6. Calcule a resultante das forcasmostrado no sistema abaixo.

7. Dado o parafuso da figura abaixosubmetido a diversas forcas, pergunta-se: Qual a resultante das forcase o angulo que a resultante fazcom o eixo Y.

8. Um homem puxa com a forcade 300N uma corda amarradaa um edifıcio, como mostra afigura. Quais sao as componenteshorizontais e verticais e a resul-tante da forca exercida pela corda.

9. A figura representa uma barrahomogenea de peso igual a 200N,articulada em P e mantida emequilıbrio por meio do fio ideal

74 CAPITULO 10. EXERCICIOS RESOLVIDOS

AB.O corpo pendurado na ex-tremidade A da barra tem pesode 100N. Determine a intensi-dade da forca de tensao no fioAB.


mento

10.1.3 Fase 3: Desafio

1. Um equilibrista de peso “P“, estaandando sobre uma corda bambade comprimento “L“, quando oequilibrista chega a um terco dopercurso, o mesmo causa um deslo-camento vertical na corda “y“.Qual a tensao na corda nesseponto.


1. [2008] As tres forcas da figuraabaixo agem na cabeca de umparafuso. Determinar sua resul-tante e o angulo de inclinacaoda resultante com a horizontal.Para das duas configuracoes aolado.

2. [2008] Dado o sistema abaixo sobacao de duas forcas pede-se, en-contrar a resultante das forcas eo angulo de inclinacao da mesmacom a horizontal.

Documents

Notas de Aula de Estabilidade das Constru¸cões · Prefácio Estas notas de aula foram escritas em 2008 para as disciplinas de Estabili-dade das Constru¸cões , do Centro Federal