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Operações com FunçõesTexto de Apoio
1 Operações Básicas
As funções, assim como os número reais, podem ser somadas,
subtráıdas,multiplicadas e divididas para obter novas funções.
Para efetuar estas operaçõesdevemos levar em consideração os
domı́nios das funções de forma que aoperação faça sentido
matematicamente, ou seja, operamos valores que per-tencem
simultaneamente aos domı́nios de todas as funções envolvidas
nocálculo.
Assim, dadas as funções f e g, para qualquer x que esteja no
domı́nio deambas funções, podemos definir f + g, f − g, f · g.
Além disso, para qualquerx, com g(x) 6= 0, também podemos definir
f
g, como mostrado a seguir:
Operações Básicas
Sejam f e g funções de variável real, definimos a soma, a
subtração, amultiplicação e a divisão de f e g como:
(f + g)(x) = f(x) + g(x), com Dom(f + g) = Dom(f) ∩Dom(g);
(f − g)(x) = f(x)− g(x), com Dom(f + g) = Dom(f) ∩Dom(g);
(f · g)(x) = f(x) · g(x), com Dom(f + g) = Dom(f) ∩Dom(g);(f
g
)(x) =
f(x)
g(x), com Dom
(f
g
)= Dom(f) ∩Dom(g)− {x | g(x) = 0}.
Exemplo 1. Se tomamos as funções f(x) = x+ 1 e g(x) =√x de
domı́nios
Dom(f) = R e Dom(g) = {x ∈ R | x ≥ 0} respectivamente.Sabemos
que a subtração de f e g só faz sentido nos elementos comuns
de Dom(f) e Dom(g). Assim,
(f − g)(x) = (x+ 1)−√x
1
-
eDomf − g = Dom(f) ∩Dom(g) = {x ∈ R | x ≥ 0}.
Exemplo 2. Consideremos as funções f(x) = ln(x) e g(x) = ex de
domı́niosDom(f) = {x ∈ R | x ≥ 0} e Dom(g) = R respectivamente.
Sabemos que a soma de f e g só faz sentido nos elementos comuns
deDom(f) e Dom(g). Assim,
(f + g)(x) = ln(x) + ex
eDomf + g = Dom(f) ∩Dom(g) = {x ∈ R | x > 0}.
Para efetuarmos a multiplicação usamos o mesmo racioćınio, no
entanto,devemos tomar um cuidado especial com a divisão de
funções, pois além dacondição dada, devemos ter o denominador
diferente de 0.
Exemplo 3. Sejam f(x) = e1
x+1 e g(x) = cos(x). Para fazer a divisão de fpor g, devemos
considerar os valores de Dom(f)∩Dom(g) tais que g(x) 6= 0.O
domı́nio de f é Dom(f) = R− {−1}, pois o denominador do expoente
dee deve ser diferente de 0. Já o domı́nio de g é Dom(g) = R,
pois a regra quedefine a função é válida para todo número
real. Com isso, temos que
Dom(f) ∩Dom(g) = R− {−1}.
Precisamos agora, encontrar os valores de x tais que g(x) =
cos(x) 6= 0.Observemos, no gráfico abaixo, que a função cosseno
é periódica, isto é, existeum número real k tal que g(x+ k) =
g(x) para qualquer valor de x. Assim,
g(x) = 0 quando x =π
2+ kπ, com k ∈ Z.
−2π −3π2
−π −π2
0 π2
π 3π2
2π
Portanto, (f
g
)(x) =
f(x)
g(x)=
e1
x+1
cos(x),
com x ∈ R−({−1} ∪
{π2
+ kπ, k ∈ Z}).
2
-
2 Transformações
Também é posśıvel obter funções, partindo de funções
básicas já definidas,por deslocamento, expansão ou reflexão de
seus gráficos. Entender este pro-cesso nos permitirá aplicar
certas transformações aos gráficos de uma funçãoconhecida para
obter o gráfico de funções relacionadas.
Neste texto, abordaremos três tipos de transformações: a
translação, a re-flexão e a mudança de escala. Além disso,
veremos como estas transformaçõesinterferem no domı́nio e no
conjunto imagem da função original.
No que segue tomaremos como exemplo a função f(x) = x2 + x − 2
deráızes x = −2 e x = 1, cujo gráfico esboçamos a seguir:
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
f
2.1 Translação
A translação de um gráfico é um movimento que desloca cada
ponto dográfico em uma determinada direção. Classificamos a
translação em verticale horizontal.
2.1.1 Translação Horizontal
Para mover o gráfico horizontalmente, devemos somar uma
constante kao escopo da função da seguinte forma: f(x + k).
Somando um númeropositivo, movemos a função para esquerda.
Podemos ver isto desenvolvendog(x) = f(x+ 2), em que k = 2,
obtendo:
g(x) = f(x+ 2) = (x+ 2)2 + (x+ 2)− 2= x2 + 4x+ 4 + x+ 2− 2= x2 +
5x+ 4.
3
-
Calculando as ráızes de g, encontramos x = −4 e x = −1, que
são exatamenteas ráızes de f deslocadas duas unidades para
esquerda. No gráfico abaixoobservamos que o mesmo acontece para os
outros pontos do gráfico da função.
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
fg
Por outro lado, somando um número negativo ao escopo da
função, deslo-camos o gráfico para direita. Tomamos, como
exemplo, a função h(x) =f(x− 2), em que k = −2. Desenvolvendo
h(x), obtemos
h(x) = f(x− 2) = (x− 2)2 + (x− 2)− 2= x2 − 4x+ 4 + x− 2− 2= x2 −
3x.
As ráızes de h são x = 0 e x = 3, que são exatamente as
ráızes de f deslocadasduas unidades para direita. Podemos ver o
deslocamento da função no gráficoa seguir:
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
f g
4
-
2.1.2 Translação Vertical
A translação vertical é obtida somando uma constante k à
função, fazendof(x) + k. Se k > 0, o deslocamento é para cima
e, se k < 0, o deslocamentoé para baixo. Vejamos, como exemplo,
a função g(x) = f(x) + 2.
Desenvolvendo g(x), temos:
g(x) = f(x) + 2 = (x2 + x− 2) + 2= x2 + x.
O gráfico foi deslocado duas unidades para cima, como vemos a
seguir:
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
f g
O conjunto imagem da função f é Im(f) =
{y ∈ R | y ≥ −9
4
}. Após a
translação, o conjunto imagem referente à função g é Im(g)
=
{y ∈ R | y ≥ −1
4
}.
Observação 1. A função f(x) = x2 + x − 2 foi obtida a partir
da funçãoy = x2 por meio de translações, que podem ser
encontradas completandoquadrados na expressão que define a
função f .
f(x) = x2 + x− 2
=
(x+
1
2
)2− 1
4− 2
=
(x+
1
2
)2− 9
4.
5
-
Com isso, temos que f foi obtida por meio de uma translação
de1
2unidade
para esquerda e outra de9
4unidades para baixo como ilustrado no gráfico a
seguir:
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
f y = x2
Fórmulas para Translação
Translação Horizontal
g(x) = f(x+ k) Se k > 0, o gráfico de f se desloca k
unidades para esquerdaSe k < 0, o gráfico de f se desloca |k|
unidades para direita
Translação Vertical
g(x) = f(x) + k Se k > 0, o gráfico de f se desloca k
unidades para cimaSe k < 0, o gráfico de f se desloca |k|
unidades para baixo
2.2 Reflexão
A reflexão de uma função acontece quando seu gráfico é
espelhado emrelação a um eixo ou a uma reta qualquer, isto é, os
pontos que estão a umacerta distância de um eixo são refletidos
para o outro lado desse eixo a uma
6
-
mesma distância. Neste texto, abordaremos a reflexão do
gráfico de umafunção em relação aos eixos x e y.
2.2.1 Reflexão em relação ao eixo x
Quando a reflexão de uma função f é feita em relação ao
eixo das abscis-sas, a nova função g é obtida mediante a
relação: g(x) = −f(x).
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
f
g
O conjunto imagem de f é Im(f) =
{y ∈ R | y ≥ −9
4
}. Após a re-
flexão em torno do eixo x, o conjunto imagem da função g é
Im(g) ={y ∈ R | y ≤ 9
4
}.
2.2.2 Reflexão em relação ao eixo y
Quando a reflexão de uma função f é feita em relação ao
eixo das orde-nadas, a função h é obtida mediante a seguinte
relação: h(x) = f(−x), paratodo x do domı́nio da f .
7
-
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
f q
Desenvolvendo h(x), obtemos:
h(x) = f(−x) = (−x)2 + (−x)− 2= x2 − x− 2.
As ráızes de h são x = −1 e x = 2, que são os opostos das
ráızes de f . Omesmo vale para os outros pontos da função.
Reflexão
g(x) = −f(x) O gráfico de f se reflete em torno do eixo x
g(x) = f(−x) O gráfico de f se reflete em torno do eixo y
8
-
2.3 Mudança de escala de uma função
A mudança de escala de uma função consiste em alongar ou
comprimiro gráfico dessa função. Essa mudança pode ser na
direção do eixo x ou doeixo y.
2.3.1 Mudança de escala na direção do eixo x
A mudança de escala na direção do eixo x é obtida
multiplicando osvalores de x por uma constante k positiva, ou seja,
fazendo f(kx), comk > 0. Assim,
• Se 0 < k < 1, alongamos o gráfico da função.
• Se k > 1, comprimimos o gráfico.
Relembramos que estamos analisando a função f(x) = x2 + x−
2.Podemos ver a compressão de f fazendo g(x) = f(2x). Dessa
forma,
estamos alterando f(x) segundo um fator1
2na direção do eixo x. Observamos
esse fato desenvolvendo g(x):
g(x) = f(2x) = (2x)2 + (2x)− 2= 4x2 + 2x− 2.
As ráızes de g são x = −1 e x = 12
que são as metades das ráızes de f , como
ilustrado no gráfico a seguir.
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
f g
Além disso, podemos ver o alongamento de f fazendo g(x) =
f(x
2
).
Dessa forma, estamos alterando f(x) segundo um fator 2 na
direção do eixo
9
-
x. Observamos esse fato desenvolendo g(x):
g(x) = f(x
2
)=
(x2
)2+(x
2
)− 2
=x2
4+x
2− 2.
As ráızes de g são x = −4 e x = 2 que são o dobro das ráızes
de f , comoilustrado no gráfico a seguir.
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
f
g
2.3.2 Mudança de escala na direção do eixo y
A mudança de escala na direção do eixo y é obtida
multiplicando a funçãof por uma constante k > 0, ou seja,
fazendo kf(x). Assim,
• Se 0 < k < 1, comprimimos o gráfico da função.
• Se k > 1, alongamos o gráfico da função.
Podemos ver o alongamento de f ao fazer h(x) = 2f(x). Nesse
caso,estamos alterando a função f segundo um fator 2 na direção
do eixo y.
Com esse alongamento, o conjunto imagem de função h é Im(h)
=
{y ∈ R|y ≥ −9
2
},
como ilustrado na figura a seguir:
10
-
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
f h
Além disso, podemos ver a compressão de f ao fazer h(x) =1
2f(x). Nesse
caso, estamos alterando a função f segundo um fator1
2na direção do eixo y.
Com essa compressão, o conjunto imagem da função h é Im(h)
=
{y ∈ R|y ≥ −9
8
},
como ilustrado na figura a seguir:
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
fh
A seguir, apresentamos um resumo desta subseção:
11
-
Mudança de Escala
Para k > 0
Mudança de escala na direção do eixo x
g(x) = f(kx) Se k > 1, o gráfico de f se comprime
horizontalmentepor um fator k;
Se k < 1, o gráfico de f se expande horizontalmente
por um fator1
k.
Mudança de escala na direção do eixo y
g(x) = kf(x) Se k > 1, o gráfico de f se expande
verticalmentepor um fator k;
Se k < 1, o gráfico de f se comprime verticalmente
por um fator1
k.
Vejamos a seguir alguns exemplos:
Exemplo 4. Seja f(x) =√x, cujo domı́nio é Dom(f) = {x ∈ R | x
≥
0}. Se fizermos uma translação para esquerda em 3 unidades,
por exemplo,obteremos uma função g(x) =
√x+ 3, cujo domı́nio é Dom(g) = {x ∈
R | x ≥ −3}, como ilustrado no gráfico abaixo:
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6−1
1
2
3
4
g
f
Exemplo 5. Fazendo uma reflexão de f(x) =√x em relação ao
eixo y,
obtemos a função h(x) =√−x, cujo domı́nio é Dom(h) = {x ∈ R |
x ≤ 0},
como mostra o gráfico a seguir:
12
-
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5−1
1
2
3
4
h f
Note que nos exemplos 3 e 4, os domı́nios das funções
estudadas eram li-mitados, assim ao realizarmos transformações
estes conjuntos também foramalterados.
Exemplo 6. Seja f(x) = sen(x), ao realizarmos uma translação
por umfator π
2, obtemos a função g(x) = f(x+ π
2), como ilustrado graficamente per-
cebemos que g(x) = cos(x), esta translação ilustra a relação
trigonométricasen
(x+ π
2
)= cos(x):
−2π −3π2
−π −π2
0 π2
π 3π2
2π
fg
Com as operações básicas entre funções e algumas
transformações, pode-mos obter diversas funções. Convidamos o
leitor a aplicar algumas dessasoperações às seguintes funções
para melhor entendimento:
i) y = a, com a ∈ R;
ii) y = xn, com n ∈ Q;
iii) y = ax, com a ∈ R;
iv y = loga(x), com a ∈ R+;
v) y = cos(x);
vi) y = sen(x).
13
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Referências
[1] THOMAS, G., Cálculo: volume I - 11a ed., São Paulo,
Addison Wesley,2009.
14
Operações BásicasTransformaçõesTranslaçãoTranslação
HorizontalTranslação Vertical
ReflexãoReflexão em relação ao eixo xReflexão em relação ao eixo
y
Mudança de escala de uma funçãoMudança de escala na direção do
eixo xMudança de escala na direção do eixo y
