NOTAS DE AULA DE MAT-32 EQUA˙ÕES DIFERENCIAIS …botelho/sites/default/files/mat32ch7.pdfn(x nx o) = a oy 1(x)+a 1y 2(x) ; onde a o e a 1 sªo constantes arbitrÆrias e y 1 = y 1(x)

NOTAS DE AULA DE MAT-32.

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS

Marcos A. Botelho

26 de junho de 2009

2

Sumário

7 Resolução de edo�s por séries 17.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.2 Resolução na vizinhança de um ponto singular regular . . . . . . . . . . . 67.3 Equação de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

7.3.1 Ortogonalidade e completude das funções de Bessel. . . . . . . . . 257.4 Equação de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267.5 Equação de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

7.5.1 A equação de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3

4 SUMÁRIO

Capítulo 7

Resolução de edo�s por séries

Até aqui, salvo alguma �exibilidade permitida pela aplicação da transformada de Laplaceem edo�s, as equações de ordem 2 ou maior que pudemos desenvolver métodos bemsucedidos para resolução foram aquelas com coe�cientes constantes. Neste capítulo,estaremos apresentando métodos para a resolução de edo�s cujos coe�cientes não sãoconstantes e sim funções da variável independente apresentando certa regularidade. Apartir daí, estes métodos serão utilizados na resolução de algumas equações notáveis queaparecem nos estudos de Mecânica Celeste e nas resoluções por separação de variáveisde equações diferenciais parciais em domínios que apresentam algumas simetrias, taiscomo o círculo, a esfera e o cilindro.

7.1 Introdução

Método de Euler para resolver edo�s com coe�cientes constantes da forma y00+by0+cy = 0, com b e c constantes:

Procurar soluções na forma y(x) = e�x

Possível raciocínio que fundamenta o método:

Equações com coe�cientes variáveis de nosso interesse:

1

2 CAPÍTULO 7. RESOLUÇÃO DE EDO�S POR SÉRIES

Equação de Bessel de ordem p � 0 x2y00 + xy0 + (x2 � p2)y = 0

Equação de Legendre de grau p: (1� x2)y00 � 2xy0 + p(p+ 1)y = 0

Equação de Hermite de ordem p: y00 � 2xy0 + 2py = 0

Equação de Chebyshev: (1� x2)y00 � xy0 +m2y = 0m = 1; 2; : : :

Equação de Airy: y00 � xy = 0

Equação de Euler: x2y00 + �xy0 + �y = 0�; � constantes reais

Equação Hipergeométrica : x(1� x)y00 + [ � (1 + �+ �)x] y0 + ��y = 0(ou de Gauss) �; �; constantes reaisEquação de Laguerre: xy00 + (1� x)y0 +my = 0

Equação de Jacobi: x(1� x)y00 + [a� (1 + b)x] y0 +m(b+m)y = 0

Generalização para coe�cientes analíticos

De�nição 1 (Funções analíticas)

Mas muitas equações do tipo y00 + p(x)y0 + q(x)y = 0 apresentam coe�cientes dadospor funções que não são analíticas. Um exemplo de uma destas equações foi a equaçãode Cauchy-Euler

x2y00 + bxy0 + cy = 0

que, colocada na forma normal

y00 +bx

x2y0 +

c

x2y = 0 ;

resulta em que os coe�cientes não são funções analíticas no ponto xo = 0: Em particular,isto é o que acontece com muitas das equações que serão de nosso interesse. Este é ocaso das seguintes equações:Supor solução formalmente representada por um série de potências,

y(x) =1Xn=0

an(x� xo)n ;

tentar identi�car os coe�cientes an�s e validar o resultado.

7.1. INTRODUÇÃO 3

�� Exercício 7.1 � ��Resolva o sistema

Resolução:� ��

A SEGUIR, VERSÃO PRELIMINAR DO CAPÍTULO:

§. CLASSIFICAÇÃO DOS PONTOS DO DOMÍNIO DA EDO:

Lembramos dos cursos de cálculo que dizemos que uma função f é analítica em umponto xo se existir um raio de convergência � > 0 tal que vale a convergência

f(x) =1Xn=0

an(x� xo)n =

1Xn=0

f (n)(xo)

n!(x� xo)

n ; jx� xoj < �

De�nição 1. Um ponto xo é ponto ordinário da equação

y00(x) + p(x)y0(x) + q(x)y(x) = 0

se p(.) e q(.) são funções analíticas em xo. Caso contrário, dizemos que xo é um pontosingular.Além disto, xo é chamado de ponto singular regular se xo não é um ponto ordinário eas funções dadas por (x�xo)p(x) e (x�xo)2q(x) são analíticas em xo. Se xo não é umponto ordinário e pelo menos uma destas funções não for analítica em xo, diremos queele é um ponto singular irregular.

No caso da equação com coe�cientes polinomiais, esta de�nição pode ser reformuladade maneira mais especí�ca como:

De�nição 2.Considere

P (x)y00(x) +Q(x)y0(x) +R(x)y(x) = 0

onde P (:); Q(:) e R(:) são polinômios.(i) xo é um ponto singular da equação acima se P (xo) = 0:(ii) Um ponto singular xo é dito regular se existem os limites

limx!xo

(x� xo)Q(x)

P (x)e lim

x!xo(x� xo)

2 R(x)

P (x)


(iii) Se um ponto singular não é regular, dizemos que ele é um ponto singular irregular.

§. RESOLUÇÃO NA VIZINHANÇA DE UM PONTO ORDINÁRIO

Se os coe�cientes são analíticos, procurar solução analítica em torno de um ponto or-dinário xo, ou seja: Supor solução formalmente representada por uma série de potências

y(x) =

1Xn=0

an(x� xo)n

e tentar identi�car os coe�cientes an�s e validar o resultado.

Exemplo CB

Resolver a equação de Airy

y00 � xy = 0 ; x 2 Rfazendo expansão em série de potências na vizinhança de xo = 1:

Temos:

y(x) =1Xn=0

an(x� 1)n

y0(x) =1Xn=1

nan(x� 1)n�1 =1Xn=0

(n+ 1)an+1(x� 1)n

y00(x) =1Xn=2

n(n� 1)an(x� 1)n�2 =1Xn=0

(n+ 2)(n+ 1)an+2(x� 1)n

Substituindo na equação,1Xn=0

(n+ 2)(n+ 1)an+2(x� 1)n � x

1Xn=0

an(x� 1)n = 0

Fazendo x = 1 + (x� 1), que é a série de Taylor de f(x) = x em torno de xo = 1,1Xn=0

(n+ 2)(n+ 1)an+2(x� 1)n � [1 + (x� 1)]1Xn=0

an(x� 1)n = 0

1Xn=0

(n+ 2)(n+ 1)an+2(x� 1)n � 1Xn=0

an(x� 1)n +1Xn=0

an(x� 1)n+1!

= 0

1Xn=0

(n+ 2)(n+ 1)an+2(x� 1)n � 1Xn=0

an(x� 1)n +1Xn=1

an�1(x� 1)n!

= 0

7.1. INTRODUÇÃO 5

Igualando os coe�cientes de mesma potência de (x� 1), obtemos

2a2 = ao

(3 � 2)a3 = a1 + ao

(4 � 3)a4 = a2 + a1

(5 � 4)a5 = a3 + a2...

o que fornece a seguinte fórmula de recorrência (equação indicial):

(n+ 2)(n+ 1)an+2 = an + an�1 ; n � 1

Resolvendo para os primeiros an em termos de ao e a1, resulta

y(x) = aoy1(x) + a1y2(x)

onde

y1(x) = 1 +(x� 1)22

+(x� 1)36

+(x� 1)424

+(x� 1)530

+ � � �

y2(x) = (x� 1) +(x� 1)36

+(x� 1)412

+(x� 1)5120

+ � � �

Único senão: estamos em di�culdade para estabelecer � através do critério da razão,por exemplo � a convergência das séries, pois não temos uma fórmula geral para osan�s. Isto, porém, �ca resolvido por causa do chamado teorema de Fuchs.

. CB

Teorema 1 (Teorema de existência, de Fuchs)Se p(.) e q(.) são funções analíticas em xo, então a solução geral de

y00(x) + p(x)y0(x) + q(x)y(x) = 0

é dada por

y =

1Xn=0

an(x� xo)n = aoy1(x) + a1y2(x) ;

onde ao e a1 são constantes arbitrárias e y1 = y1(x) e y2 = y2(x) são duas soluções emséries linearmente independentes que são analíticas em xo:Além disto, o raio de convergência para cada uma das soluções em séries y1 e y2 é nomínimo igual ao menor dos raios de convergência das séries de p(.) e q(.).

� Prova. (v. ref.).


Exercício 1 Analisar, sob o ponto de vista do teorema 2.1, a equação

y00 + (senx)y0 + (1 + x2)y = 0

Este teorema nos motiva a proceder à seguinte generalização da de�nição de pontosordinários e singulares:

Exercício 2 Analisar a equação

x2y00 � 2y = 0

7.2 Resolução na vizinhança de um ponto singularregular

Conforme desenvolvida no curso MAT-31, a resolução de equação de Cauchy-Euler podeser assim resumida:

Para a resolução equação de Cauchy-Euler

x2y00 + �xy0 + �xy = 0

em qualquer intervalo que não contenha a origem, procuramos solução na forma y = xr,para r conveniente. A�nal, não seria este o tipo de função que se poderia esperar demaneira que a soma dela e suas derivadas, multiplicadas por polinômios, desse zero?Seguindo este procedimento, pudemos obter que a solução geral da EDO é determinadapelas raízes r1 e r2 da equação algébrica

r(r � 1) + �r + � = 0

Se as raízes são reais e distintas, então a solução geral é dada por

y = c1jxjr1 + c2jxjr2

Se as raízes são reais iguais, então

y = (c1 + c2 ln jxj) jxjr1

7.2. RESOLUÇÃO NA VIZINHANÇA DE UM PONTO SINGULAR REGULAR 7

Se as raízes são complexas, r1; r2 = �� i�, então

y = jxj� [c1 cos(� ln jxj) + c2sen (� ln jxj)]

Aqui, nada mais vamos fazer do que uma generalização deste procedimento. Assim,vamos supor que xo é um ponto de singularidade regular de

P (x)y00 +Q(x)y0 +R(x)y = 0

que pode ser escrita na forma normal

y00 + p(x)y0 + q(x)y = 0 (7.1)

fazendo

p(x) =Q(x)

P (x)e q(x) =

R(x)

P (x)

Como xo é ponto singular regular da equação, temos que pelo menos uma das funçõesp(:) e/ou q(:) não é analítica em xo, mas as funções dadas por

(x� xo)p(x) = (x� xo)Q(x)

P (x)e (x� xo)

2q(x) = (x� xo)2R(x)

P (x)

são analíticas em xo: Sem perda de generalidade, vamos supor que xo = 0 (a�nal, seeste não for o caso, basta fazer uma mudança de variáveis conveniente para termos asingularidade na origem). Assim, temos que xp(x) e x2q(x) são representadas por suasséries de Taylor

xp(x) =P1

n=0 pnxn

x2q(x) =P1

n=0 qnxn (7.2)

Note que se multiplicarmos (7.1) por x2, �camos com

x2y00 + x(xp(x))y0 + x2q(x)y = 0 (7.3)

que, no caso particular de po; qo 6= 0 e pn = qn = 0 ; 8n � 1 ; recai na equação deCauchy-Euler

x2y00 + xpoy0 + qoy = 0

Esta particularização traz alguma luz sobre por que fazemos menção aos termos xp(x)e x2q(x) na classi�cação de um ponto singular regular.Vamos, agora, desenvolver um algoritmo para resolver (7.3) numa vizinhança do pontosingular regular xo = 0, conhecido como método de Frobenius. O método consiste emprocurar solução na forma

y = xr1Xn=0

anxn =

1Xn=0

anxr+n ; ao 6= 0 (7.4)


Substituindo (7.4) e suas derivadas em (7.3), vemP1n=0(r + n)(r + n� 1)anxr+n (

P1n=0 pnx

n) (P1

n=0(r + n)anxr+n)+

+ (P1

n=0 qnxn) (P1

n=0 anxr+n) = 0

Multiplicando as séries e separando os termos, obtemos

aoF (r)xr +

1Xn=1

(F (r + n)an +

nXk=0

ak [(r + k)pn�k + qn�k]

)xr+n = 0 (7.5)

ondeF (r) = r(r � 1) + por + qo

Como ao 6= 0, igualando a zero o coe�ciente de xr fornece a equação

r(r � 1) + por + qo = 0 (7.6)

a qual chamaremos de equação indicial. (Note que ela é exatamente a mesma equaçãoem r obtida no estudo da equação de Cauchy-Euler). As raízes de (7.6) são chamadasde expoentes da equação na singularidade. Elas fornecem uma condição necessária paraa EDO possuir solução na forma (7.4), no sentido de que somente para estas raízespodemos esperar encontrar soluções do tipo (7.4).

1. Se a equação indicial possui raízes reais r1 e r2 , r1 � r2 , procedemos como segue.Igualando a zero os coe�cientes de xr+n em (7.5) resulta na relação de recorrência

F (r + n)an +n�1Xk=0

ak [(r + k)pn�k + qn�k] = 0 ; n � 1 (7.7)

que fornece, em princípio, os valores de an em função do valor de r e de todos oscoe�cientes precedentes ao; a1; : : : ; an; : : : , desde que F (r + n) 6= 0 ; 8n � 1.Como as únicas possibilidades do trinômio do 2o. grau se anular é F (r1) = F (r2) = 0 ecomo r1 � r2 , então r1 + n nunca é igual a r1 ou r2, para n � 1. Portanto,

F (r1+n) 6= 0 ; 8n � 1 , e, consequentemente, sempre podemos determinaruma solução de (7.1) na forma

y = y1(x) = xr1

"1 +

1Xn=1

an(r1)xn

#; x > 0

Usamos a notação an(r1) para indicar que os coe�cientes an�s são obtidos de (7.7) comr = r1. Também, usamos 1 em vez de ao na expressão acima porque todos os an�s terão

7.2. RESOLUÇÃO NA VIZINHANÇA DE UM PONTO SINGULAR REGULAR 9

ao como fator em sua determinação, de forma que podemos colocá-lo em evidência edeixá-lo para a especi�cação da constante arbitrária na solução geral.Se r2 6= r1 e r1 � r2 não é um inteiro positivo, então r2 + n 6= r1 ; 8n � 1 ; e portantoF (r2 + n) 6= 0 ; 8n � 1 ; de forma que podemos também obter uma segunada solução

y = y2(x) = xr2

"1 +

1Xn=1

an(r2)xn

#; x > 0

Pode-se mostrar que as duas séries de potências que aparecem nas expressões de y1(:) ey2(:) convergem, no mínimo no intervalo jxj < � de convergência onde ambas as sériesde xp(x) e x2q(x) convergem, e de�nem funções analíticas em xo = 0. Desta forma,qualquer eventual comportamento singular das soluções estará ligado aos fatores xr1 exr2.Para obter soluções reais para x < 0, basta fazer a substituição x = �� , com � > 0;obtendo os mesmos coe�cientes an(r1) e an(r2).

2. Se a equação indicial possui raízes complexas (conjugadas), então r1 � r2 nunca éum inteiro positivo. Neste caso, sempre poderemos achar duas soluções do tipo (7.4),embora sejam funções complexas. Para obter soluções reais, basta tomar as partes reale imaginária das soluções complexas. (Um melhor desenvolvimento destas considerações�cam como sugestão para parte de um trabalhinho).

3. Se r1 = r2 = r 2 R, então um procedimento análogo ao que foi feito no estudo daequação de Cauchy-Euler fornece a segunda solução como sendo

y2(x) = y1(x) ln jxj+ jxjr1Xn=1

bn(r)xn

Os coe�cientes bn�s são calculados substituindo-se a expressão acima na EDO, separandoos termos e igualando â zero os coe�cientes de cada potência de x. (Também vale comosugestão para parte de um trabalhinho desenvolver estas considerações).

4. Se r1 � r2 = N , um inteiro positivo, o caso é estudado em livros avançados e nãoveremos aqui. Mas podemos adiantar que a segunda solução vai ser da forma

y2(x) = ay1(x) ln jxj+ jxjr2"1 +

1Xn=1

cn(r2)xn

#

EXERCÍCIOS


1. Resolver a seguinte equação na vizinhança de xo = 0:

2x2y00 � xy0 + (1 + x)y = 0

(Soluções linearmente independentes:

y1(x) = x

"1 +

1Xn=1

(�1)nxn[3 � 5 � 7 � : : : � (2n+ 1)]n!

#; x > 0

y2(x) = x1=2

"1 +

1Xn=1

(�1)nxn[1 � 3 � 5 � : : : � (2n� 1)]n!

#; x > 0 )

2. Discuta a natureza das soluções da equação

2x(1 + x)y00 + (3 + x)y0 � xy = 0

perto dos pontos singulares.

7.3 Equação de Bessel

Friedrich Wilhelm Bessel (alemão, 1784-1846), matemático e astrônomo, introduziu em1824 as agora chamadas funções de Bessel em seu trabalho sobre as perturbações obser-vadas nos sistemas planetários. Estas funções, porém, aparecem numa ampla variedadede problemas físicos, tais como:

� separação da equação de Helmholtz ou da onda em coordenadas cilíndricas circu-lares;

� equação de Helmholtz em coordenadas polares.

Embora o estudo das funções de Bessel pode ser introduzido de maneira bastante instru-tiva através do conceito de funções geradoras, vamos aqui priviligiar seu estudo comosoluções da equação diferencial

x2y00 + xy0 + (x2 � p2)y = 0 ; p � 0 (7.8)

chamada de equação de Bessel de ordem p, onde p é um número real não-negativo.Por simplicidade, vamos considerar apenas o intervalo x > 0.

7.3. EQUAÇÃO DE BESSEL 11

Note quexp(x) = 1 e x2q(x) = �p2 + x2

de forma que xo = 0 é um ponto singular regular da equação de Bessel. Desta foma, ométodo de Frobenius visto no capítulo III, que consiste em procurar soluções da forma

y = xr1Xn=0

anxn =

1Xn=0

anxr+n ; ao 6= 0 ;

fornece a equação indicial

r(r � 1) + por + qo = 0

r(r � 1) + r � p2 = 0

r2 � p2 = 0

com os expoentes (raízes características) reais

r1 = p � 0 e r2 = �p � 0

Primeira solução da equação de Bessel. Função de Bessel de primeira espécie.

Substituindo r1 = p na fórmula de recorrência


ak [(r + k)pn�k + qn�k] = 0 ; n � 1

obtemos, para n = 1;

((p+ 1)2 � p2)a1 + ao [(p+ 1)p1 + q1] = 0

(2p+ 1)a1 + ao [(p+ 1)� 0 + 0] = 0

a1(r1) = 0

Para n = 2;�(p+ 2)2 � p2

�a2 + ao [(p+ 0)p2 + q2] + a1 [(p+ 1)p1 + q1] = 0

4(p+ 1)a2 + ao [p� 0 + 1] + a1 [(p+ 1)� 0 + 0] = 0

a2(r1) = �1

2(2p+ 2)ao

Para n = 3; �(p+ 3)2 � p2

�a3 + ao [(p+ 0)p3 + q3] +


+a1 [(p+ 1)p2 + q2] + a2 [(p+ 2)p1 + q1] = 0

3(2p+ 3)a3 + ao � 0 + a1 [0 + 1] + a2 � 0 = 0

a3(r1) = �1

3(2p+ 3)a1 = 0

Assim, sucessivamente, podemos chegar a a1 = a3 = � � � = a2n+1 = � � � = 0 e, para ostermos pares

an(r1) = �1

n(2p+ n)an�2 ; n � 1

o que fornece

a2n(r1) =(�1)nao

22n:n!(p+ 1)(p+ 2) � � � (p+ n); n = 1; 2; : : :

Assim, a primeira solução da equação de Bessel �ca sendo

y1(x) = aoxp

�1� x2

22(p+ 1)+

x4

242!(p+ 1)(p+ 2)� x6

263!(p+ 1)(p+ 2)(p+ 3)+ � � �

�o que pode ser reescrito numa forma compacta como

y1(x) = aoxp

"1 +

1Xn=1

(�1)nx2nn!22n(p+ 1)(p+ 2) � � � (p+ n)

#(7.9)

Vamos escolher ao como sendo

ao =1

2p�(p+ 1)(7.10)

onde �(:) denota a função gama de�nida por

�(p) =

Z 1

0

xp�1e�xdx ; p > 0

e

�(p) =�(p+ n)

p(p+ 1)(p+ 2) � � � (p+ n� 1) ; �n < p < 0 ; p 6= �1;�2; : : : ;�n+ 1

Lembrar do curso de integrais impróprias que a função gama aparece ocasionalmenteem problemas físicos tais como a normalização das funções de onda de Coulomb e ocômputo de probabilidades em mecânica estatística, embora sua importância, na ver-dade, é derivada de sua utilidade no desenvolvimento de outras funções que apresentamaplicações físicas diretas, como a de Bessel. Além desta de�nição em termos de inte-gral imprópria, devida a Euler, temos no mínimo outras duas de�nições equivalentes


da função gama, uma através de um limite in�nito (também devida a Euler) e outraatravés de um produto in�nito (devida a Weierstrass) (ver, por exemplo, Arfken[4]).Muito da importância da função gama provem da seguinte fórmula facilmente demon-strável usando-se integração por partes,

�(p) = (p� 1)�(p� 1)

Daí resulta que, quando p = n é um inteiro não-negativo,

�(n+ 1) = n! ;

de maneira que a função gama generaliza o fatorial de números inteiros posi-tivos para valores reais. A �gura seguinte mostra o grá�co da função gama.

Figura . Grá�co da função gama.

Pode-se provar que, para qualquer N inteiro positivo,

limp!�N

1

�(p)= 0

Assim, a função dada por

f(p) =

�1 =�(p) ; se p 6= �N0 ; se p = �N

é de�nida e contínua, de forma que podemos adotar a seguinte fórmula:

1

�(�p) = 0 ; p = 0; 1; 2; : : : (7.11)

Voltemos à expressão da solução da equação de Bessel para a raiz característica r1 = p.Substituindo (7.10) em (7.9), temos �nalmente

y1(x) = Jp(x) =

1Xn=0

(�1)nn!�(n+ p+ 1)

�x2

�2n+p(7.12)


que é chamada de função de Bessel de primeira espécie de ordem p, denotadaJp(:): Aplicando o teste da razão, é fácil ver que esta série converge absolutamente emtoda a reta. Em particular, quando p é um inteiro positivo, a série representa umafunção analítica na origem.As funções de Bessel mais importantes são os casos particulares p = 0 e p = 1, quefornecem:

J0(x) = 1�x2

22+

x4

24(2!)2� x6

26(3!)2+ � � �

J1(x) =x

2� x3

23:2!+

x5

25:2!:3!� � � �

Notem a semelhança com as expansões em séries de Taylor de cosx e senx :

cosx = 1� x2

22+x4

4!� x6

6!+ � � �

senx = x� x3

3!+x5

5!� � � �

Assim, é de se esperar que estas funções de Bessel de 1aespécie compartilhem algumas

das propriedades destas funções trigonométricas. De fato, pode-se mostrar (ou, nomínimo, observar plotando-se os grá�cos) as seguintes propriedades das funções de Besselde 1

aespécie de ordem p:

1. As funções Jp(:) possuem uma in�nidade de zeros. Além disso, cada zero de Jp(:)situa-se entre dois zeros consecutivos de Jp+1(:):

2. Jo(x) = 1 e Jp(x) = 0 ;8 p > 0 , de forma que toda Jp(:) é �nita na origem parap � 0.

3. Embora as funções Jp(:) não sejam periódicas, elas no entanto apresentam com-portamento oscilatório amortecido.


Figura .Grá�co das funções Jp(:) para p = 0 ; p = 1 e p = 2.

EXERCÍCIOS:

1. (Sugestão para trabalhinho) Prove que se y1(x) e y2(x) são duas soluções linear-mente independentes de

y00 + P (x)y0 +Q(x)y = 0

então os zeros destas funções são distintos e ocorrem alternativamente, no sentidode y1(x) se anula exatamente uma vez entre dois zeros consecutivos de y2(x) ereciprocamente.

(Sug.: Discuta o wronskiano W (y1; y2) = y1(x)y02(x)� y2(x)y

01(x)).

2. (Sugestão para trabalhinho) Mostre que qualquer equação da forma padrão

y00 + P (x)y0 +Q(x)y = 0

pode ser escrita na forma normal

u00 + q(x)u = 0

(Sug.: Fazer a mudança y(x)� u(x)v(x) e substituir na equação na forma padrãopara obter

vu00 + (2v0 + Pv)u0 + (v00 + Pv0 +Qv)u = 0

e igualar o coe�ciente de u0 para obter v = e�12

RPdx ).

3. (Sugestão para trabalhinho) Prove que se q(x)<0 e u(x) é uma solução não-trivialde u�+q(x)u=0, então u(x) tem no máximo um zero.

4. (Sugestão para trabalhinho) Prove o seguinte resultado: Seja u(x) uma soluçãonão-trivial de u�+q(x)u=0, com q(x)>0 para todo x>0. SeZ 1

1

q(x)dx =1

então u(x) tem um número in�nito de zeros no eixo x>0.

5. (Sugestão para trabalhinho) Mostre que toda solução não-trivial da equação deBessel de ordem p tem um número in�nito de zeros positivos.


6. (Sugestão para trabalhinho) Seja y(x) uam solução não-trivial de u�+q(x)u=0 numintervalo fechado [a,b]. Mostre que y(x) tem no máximo um número �nito de zerosneste intervalo.

7. (Sugestão para trabalhinho) Sejam y(x) e z(x) soluções não-triviais de

y00 + q(x)y = 0

ez00 + r(x)z = 0

onde q(x) e r(x) são funções positivas tais que q(x)>r(x). Mostre que y(x) se anulano mínimo uma vez entre quaisquer dois zeros sucessivos de z(x).

8. (Sugestão para trabalhinho) Seja yp(x) uma solução não-trivial da equação deBessel de ordem p em x>0. Mostre que

(i) Se 0 � p � 1=2 , então todo intervalo de comprimento � contém no mínimoum zero de yp(x):

(ii) Se p = 1=2 , então a distância entre zeros sucessivos de yp(x) é exatamente�:

(iii) Se p > 1=2 , então todo intervalo de comprimento � contém no máximo umzero de yp(x).

9. (Sugestão para trabalhinho) Sejam x1 e x2 dois zeros consecutivos de uma soluçãonão-trivial yp(x) da equação de Bessel de ordem p. Mostre que

(i) Se 0 � p < 1=2 , então x2 � x1 é menor do que � e tende a � quandox!1.(ii) Se p > 1=2 , então x2 � x1 é maior do que � e tende a � quando x!1.

Segunda solução linearmente independente da equação de Bessel. Funçõesde Bessel de segunda espécie.

Nossa preocupação agora é encontrar uma outra solução y = y2(x) da equação de Besselde ordem p, que vamos chamar de função de Bessel de segunda espécie de ordemp, tal que o conjunto de soluções fJp(:); y2(:)g seja linearmente independente, de formaque a solução geral da equação de Bessel seja dada por

y = c1Jp(x) + c2y2(x) ; c1; c2 constantes arbitrárias


A candidata natural é tomar

y2(x) = J�p(x) =

1Xn=0

(�1)nn!�(n� p+ 1)

�x2

�2n�p;

uma vez que a outra raiz característica da equação indicial é r2 = �p. Em alguns casos,este procedimento irá mesmo resultar na segunda solução linearmente independente,como é o caso da equação de ordem 1=2 proposta no exercício seguinte.

Exercício Estude a equação de Bessel de ordem 1/2. Em particular, mostre que suasolução geral é dada por

y = c1J1=2(x) + c2J�1=2(x) ; x > 0

com

J1=2(x) =

�2

�x

�1=2senx ; x > 0

J�1=2(x) =

�2

�x

�1=2cos x ; x > 0

Porém, nem tudo é assim tão simples. Por exemplo, note que no caso de uma equaçãode Bessel de ordem N , com N sendo um inteiro positivo, temos que y2(x) = J�N(x) ésolução, mas fJN(:); J�N(:)g é linearmente dependente. De fato, de (7.11) vem que

1

�(n�N + 1)= 0 para n = 0; 1; : : : ; N � 1

Daí, segue que

J�N(x) =

1Xn=N

(�1)nn!�(n�N + 1)

�x2

�2n�N= (�1)N

1Xk=0

(�1)kk!�(k +N + 1)

�x2

�2k+Nonde �zemos a mudança k = n�N para obter a segunda igualdade. Conclusão:

J�N(x) = (�1)NJN(x)

ou seja, JN(:) e J�N(:) são soluções linearmente dependentes da equação de Bessel, deforma que ainda estamos em falta de uma segunda solução linearmente independentepara gerar o espaço de soluções.No que segue, veremos que J�p(:) poderá ser a procurada segunda solução linearmenteindependente nos casos em que r1 � r2 = 2p for diferente de zero ou de qualquer inteiropositivo e quando 2p for um inteiro ímpar, mas que teremos que procurar outra função


para o papel de segunda solução l.i. no caso em que p for igual a zero ou um inteiropositivo. Analisemos, então, cada caso em detalhe.

I. Caso r1 � r2 = 2p =2 f0; 1; 2; 3; : : :g:

A fórmula de recorrência


ak [(r + k)pn�k + qn�k] = 0 ; n � 1

fornece:para n = 1 :

(1� 2p)a1 + 0 = 0 ; de onde a1 = 0

para n = 2 :�(�p+ 2)2 � p2

�a2 + ao [(�p+ 0):0 + 1] + 0 = 0 ; de onde a2 = �

ao2(2� 2p)

e, de maneira geral, temos a fórmula de recorrência

a1 = 0 e an =�an�2

n(n� 2p) ; n = 2; 3; : : :

Note que para todos os índices ímpares temos a1 = a3 = a5 = � � � = 0: Assim, constru-imos a série

J�p(x) =1Xn=0

(�1)nn!�(n� p+ 1)

�x2

�2n�pque é absolutamente convergente em toda a reta e também é solução da equação de Besselde ordem p. Por outro lado, note que J�p(x) possui termos na forma x�p, de maneiraque jJ�p(x)j ! 1 quando x ! 0+. Disto decorre que fJp(:); J�p(:)g é linearmenteindependente, pois se �; � 2 R são tais que

�Jp(:) + �J�p(:) = 0 ;

então �Jp(x)+ �J�p(x) = 0 ; 8x > 0 ; e limx!0+ j�Jp(x)+ �J�p(x)j = 0 se e somentese � = � = 0:Assim, a solução geral da equação de Bessel de ordem p no caso em que 2p 6= 0; 1; 2; : : :é dada por

y = c1Jp(x) + c2J�p(x)

com c1; c2 constantes arbitrárias.

II. Caso r1 � r2 = 2p = 2N + 1 ; N = 0; 1; 2; : : : :


Temos, para n = 1 :"�� 2N + 1

2+ 1

�2��2N + 1

2

�2#a1 + 0 = 0

o que resultaNa1 = 0

Para n = 2 : "�� 2N + 1

2+ 2

�2��2N + 1

2

�2#a1 + ao + a1:0 = 0

resultandoa2 = �

ao2(1� 2N)

De maneira geral, �camos com

Na1 = 0 e an = �an�2

n(n� 1� 2N) ; n = 2; 3; : : : ; n 6= 2N + 1 (7.13)

Assim, se N = 0, ou seja, p = 12, temos que a1 é arbitrário e podemos, então, tomar

a1 = 0. Isto acarretará a1 = a3 = a5 = � � � = 0:Se N = 1, temos que a1 = 0 necessariamente, e

n(n� 1� 2)an = �an�2n(n� 3)an = �an�2 ; n = 2; 3; : : :

2(�1)a2 = �ao ; portanto, a2 = ao=2

3� 0� a3 = 0 ; de forma que a3é arbitrário.

Tomemos a3 = 0. Com isto, todos os coe�cientes com índices ímpares são nulos eobtemos novamente J�p(:) como segunda solução l.i.Se N = 2, teremos que a1 = a3 = 0 necessariamente, e a5 é arbitrário. Tomandoa5 = 0, todos os coe�cientes com índices ímpares são nulos. Assim, sucessivamentetemos a solução geral

y = c1Jp(x) + c2J�p(x)

da equação de Bessel de ordem p, para qualquer p = 2N+12

; N = 0; 1; 2; 3; : : :

III. Caso r1 � r2 = 2N ; ou seja, p = N ; N = 0; 1; 2; : : : :

Aqui temos um problema porque, como já vimos, fJN(:); J�N(:)g forma um conjuntolinearmente dependente. Há no mínimo três maneiras de contornar este impasse.Vamos ver uma delas.Para isto, repare que a função dada por

Yp(x) :=Jp(x) cos p� � J�p(x)

sen p�;


conhecida como função de Weber, também é uma solução da equação de Bessel deordem p quando p não é um número inteiro, pois neste caso ela está bem de�nida e éuma combinação linear de soluções de uma equação linear. É fácil ver que fJp(:); Yp(:)gé linearmente independente, de forma que a solução geral da equação de Bessel nestacaso também pode ser dada por

y = c1Jp(x) + c2Yp(x)

Quando p = N ; N = 0; 1; 2; : : : , de�nimos

YN(x) := limp!N ; p=2Z

Yp(x)

Pode-se mostrar que este limite existe e de�ne uma solução da equação de Bessel deordem N , linearmente independente a JN(:), de forma que a solução geral é dada por

y = c1JN(x) + c2YN(x)

Esta demonstração é bastante trabalhosa. Para se ter uma idéia do procedimento, repareque no caso N = 0, usando a regra de L�Hospital, temos

YN(x) = limp!N

Jp(x) cos p� � J�p(x)

sen p�= lim

p!N

@Jp(x)

@pcos p� � �Jp(x) sen p� � @J�p(x)

@p

� cos p�

o que fornece

YN(x) =

@Jp(x)

@pjp=N � @J�p(x)

@pjp=N

�A derivação de Jp e J�p com respeito a p implica na derivação com respeito ao parâmetrop da integral imprópria que de�ne a função gama. Assim, de�nimos a função digama (x) como sendo

(p) :=d

dpln �(p+ 1) =

�0(p+ 1)

�(p+ 1)

de onde vem que

(p) =�0(p)

�(p)+1

p

Assim, de maneira geral, efetuando as derivações com respeito ao parâmetro p da fórmulade YN(x) e uma série de algebrismos, chegamos a

YN(x) =2

�

(JN(x)

� + ln

�x2

�� 12

N�1Xn=0

(N � n� 1)!n!

�x2

�2n�N�

�12

1Xn=0

(�1)n [�(n) + �(n+N)]

n!(n+N)!

�x2

�2n+N)


onde

= limn!1

�1 +

1

2+ � � �+ 1

n� lnn

�= 0:5772156 : : :

é a constante de Euler-Mascheroni e

�(n) = (n) + = 1 +1

2+ � � �+ 1

n

A �gura seguinte mostra os grá�cos de Yo(:) e Y1(:). Note que ambas tendem a �1quando x! 0+.

Propriedades das funções de Bessel

Nesta seção, estaremos desenvolvendo algumas propriedades das funções de Bessel quesão úteis em suas aplicações. Vamos começar com algumas identidades.Derivando em relação a x a identidade

xpJp(x) =

1Xn=0

(�1)n22n+pn!�(n+ p+ 1)

x2n+2p

vemd

dx[xpJp(x)] =

1Xn=0

(�1)n(2n+ 2p)22n+pn!�(n+ p+ 1)

x2n+2p�1 =

=

1Xn=0

(�1)n22n+p�1n!

:(n+ p)

�(n+ p+ 1)x2n+2p�1 =

=1Xn=0

(�1)n22n+p�1n!�(n+ p)

x2n+2p�1 =

= xp1Xn=0

(�1)nn!�(n+ p)

�x2

�2n+p�1= xpJp�1(x)


Assim, temos nossa primeira identidade:

d

dx[xpJp(x)] = xpJp�1(x) (7.14)

De modo análogo, obtemos

d

dx

�x�pJp(x)

�= �x�pJp+1(x) (7.15)

Expandindo as derivadas em (7.14) e (7.15), vem

J 0p(x) = Jp�1(x)�p

xJp(x) (7.16)

eJ 0p(x) =

p

xJp(x)� Jp+1(x) (7.17)

Subtraindo (7.16) - (7.17) resulta na seguinte fórmula de recorrência

Jp+1(x) =2p

xJp(x)� Jp�1(x) (7.18)

Como ilustração, note que p = 0 em (7.14) fornece

J 0o(x) = J�1(x)

o que pode ser expresso como ZJ�1(x)dx = Jo(x) + c

Analogamente, para p = 1 e p = 2, temosZxJo(x)dx = xJ1(x) + cZx2J1(x)dx = x2J2(x) + c

Também, da fórmula de recorrênccia (7.18), podemos, por exemplo, expressar J3(x) emfunção de Jo(x) e J1(x) :

J3(x) =4

xJ2(x)� J1(x)

=4

x

�2

xJ1(x)� Jo(x)

�� J1(x)


resultando em

J3(x) = �4

xJo(x)�

�1� 8

x2

�J1(x)

Exercício. ObtenhaRxJ2(x)dx

Solução: De (7.15), temos queRx�1J2(x)dx = �x�1J1(x) + c: Assim, podemos usar

integração por partes: ZxJ2(x)dx =

Zx2�x�1J2(x)

�dx =

= �xJ1(x) + 2ZJ1(x)dxZ

xJ2(x)dx = �xJ1(x)� 2Jo(x) + c

Exercício Obtenha ZJ2(x)

x2dx

Solução: Não temos diretamente nenhuma informação sobreRx�2J2(x)dx, mas de

(7.14) temos qued

dx

�x2J2(x)

�= x2J1(x)

Assim, podemos explorar esta identidade fazendoZJ2(x)

x2dx =

Z �x2J2(x)

� 1x4dx

e resolver por integração por partes para obterZJ2(x)

x2dx = � 1

3xJ2(x)�

1

3J1(x) +

1

3

ZJo(x)dx

Exercício Prove que entre cada par de zeros positivos consecutivos de Jp(x) existe umaraiz de Jp�1(x) e uma de Jp+1(x).(Sug.: Aplicar o teorema de Rolle a f(x) = xpJp(x)).

Função geradora das funções de Bessel


Temos que as seguintes expansões em séries de t (de Taylor e Laurent, respectivamente)convergem absolutamente:

exp

�x:t

2

�=

1Xj=0

1

j!:xj

2jtj

exp

�� x

2:1

t

�=

1Xk=0

(�1)kk!

:xk

2kt�k

Daí, multiplicando formalmente as duas séries,

exp

�x

2

�t� 1

t

��=

1Xj=0

1

j!:xj

2jtj

! 1Xk=0

(�1)kk!

:xk

2kt�k

!;

o resultado é uma chamada série dupla, cujos termos são todos os produtos possíveis deum termo da primeira série por um termo da segunda série. A convergência absoluta decada uma das séries garante que esta série dupla converge independentemente da ordemde seus termos. Pode-se provar que este produto fornece

exp

�x

2

�t� 1

t

��=

1Xn=0

'n(x) tn +

1Xn=1

n(x) t�n

onde

'n(x) =1Xk=0

1

(n+ k)!:xn+k

2n+k:(�1)kk!

:xk

2k= Jn(x)

n(x) =1Xj=0

1

j!:xj

2j:(�1)n+j(n+ j)!

:xn+j

2n+j= (�1)nJn(x)

Daí, temos �nalmente

exp

�x

2

�t� 1

t

��= Jo(x) +

1Xn=1

Jn(x)�tn + (�1)nt�n

�=

1Xn=�1

Jn(x) tn (7.19)

A partir daí, podemos deduzir a fórmula integral de Bessel. Para isto, fazendo amudança t = ei�, o argumento de exp(.) em (7.19) �ca sendo

xei� � e�i�

2= ix sen �

de maneira que (7.19) passa a ser

cos (x sen �) + i sen (x sen �) =1X

n=�1Jn(x) e

in� =1X

n=�1Jn(x) ((cosn�) + isenn�)


Igualando as partes reais e imaginárias, �camos com

cos (x sen �) =1X

n=�1Jn(x) cosn� = Jo(x) + 2

1Xn=1

J2n(x) cos 2n� (7.20)

sen (x sen �) =1X

n=�1Jn(x) senn� = 2

1Xn=1

J2n�1(x) sen (2n� 1)� (7.21)

Multiplicando (7.20) por cosm� e (7.21) por senm� e somando o resultado membro amembro, vem

cos (m� � x sen �) =1X

n=�1Jn(x) cos (m� n) �

o que, integrando na variável � de 0 a �, resulta na seguinte importante representaçãointegral da função de Bessel

Jn(x) =1

�

Z �

0

cos (n� � x sen �) d� (7.22)

Foi na forma destas integrais que, em seus trabalhos de astronomia, Bessel encontrouas funções Jn(x) e a partir delas que ele estabeleceu muitas das suas propriedades.

7.3.1 Ortogonalidade e completude das funções de Bessel.

Teorema 1. As autofunções radialmente simétricas do laplaciano com condições decontorno iguais a zero no disco unitário são

�n = Jo(�nr) ; n = 1; 2; : : :

onde �1 < �2 < � � � são os zeros positivos da função de Bessel Jo. Estas autofunções for-mam uma base ortogonal completa do espaço de todas as funções de quadrado integrávelradialmente simétricas no disco unitário, i.e.,

< Jo(�nr); Jo(�mr) >=

Z 1

0

rJo(�nr); Jo(�mr)dr = 0 ; se n 6= m

e, para cada f com < f; f >=R 10rf(r)2dr <1 , temos a seguinte expansão de Fourier-

Bessel

f =

1Xn=1

�nJo(�nr)


onde

�n =< f; Jo(�nr) >

< Jo(�nr); Jo(�nr) >

(Obs.: Pode-se provar que

< Jo(�nr); Jo(�nr) >=J1(�n)

2

2

é um fator de normalização, i.e., transforma a base ortogonal em base ortonormal).

7.4 Equação de Legendre

Equação de Legendre de ordem p � 0:

(1� x2)y00 � 2xy0 + p(p+ 1)y = 0

Aparece na resolução da EDP do potencial (i.e., equação de Laplace) com simetriaesférica, tais como temperaturas em estado permanente (steady-state) numa esfera e opotencial eletrostático devido a duas cargas pontuais de mesma magnitude mas sinaisopostos. Em geral, aparecem dissimuladas por meio de variáveis não �retangulares�.

Exercício 6.1 Mostre que a mudança de variáveis x = cos � ; jxj < 1; transforma aequação

1

sen �d

d�

�sen �

dy

d�

�+ n(n+ 1)y = 0

na equação de Legendre de ordem n.

6.1 Resolução em séries da equação de Legendre

Como xo = 0 é ponto ordinário da equação de Legendre, é natural procurarmos umasolução na forma

y =

1Xn=0

anxn

Fazendo as substituições e os agrupamentos cabíveis, chegamos a

7.4. EQUAÇÃO DE LEGENDRE 27

an+2 = �(p� n)(p+ n+ 1)

(n+ 2)(n+ 1)an ; n = 0; 1; 2; : : :

que resultam em duas soluções linearmente independentes (o wronskiano W (up; vp) éigual a 1 quando x = 0), que convergem em jxj < 1:

up(x) = 1�p(p+ 1)

2!x2 +

(p� 2)p(p+ 1)(p+ 3)4!

x4 � � � �

vp(x) = x� (p� 1)(p+ 2)3!

x3 +(p� 3)(p� 1)(p+ 2)(p+ 4)

5!x5 � � � �

Desta forma, de acordo com a teoria desenvolvida para expansão em séries na vizinhançade pontos ordinários, a solução geral da equação de Legendre de ordem p é

y(x) = aoup(x) + a1vp(x)

Note que, quando p = n, um número inteiro não-negativo, uma e só uma das séries sereduz a um polinômio. Daí, temos a seguinte de�nição:

De�nição 6.1 Os polinômios de Legendre,denotados Pn(x), são de�nidos como sendo

Pn(x) =un(x)

un(1); se n é par

Pn(x) =vn(x)

vn(1); se n é ímpar

A escolha destes denominadores é para que os polinômios de Legendre apresentem valorunitário quando x = 1. Os Pn(x) são polinômios de grua n que contêm apenas potênciasímpares ou pares de x, dependendo de n se par ou ímpar. Também, é bom reparar quecada Pn(x) , com n � 0, é uma solução da equação de Legendre de ordem n, de formaque a solução geral é

y = aoPn(x) + a1Qn(x)

Assim, podemos também chamar cada polinômio de Legendre de função de Legendrede primeira espécie. Com respeito à solução l.i. correspondente, Qn(x), que podemoschamar de função de Legendre de segunda espécie, de�nimos como sendo

Qn(x) =

��vn(1)un(x) ; se né ímparun(1)vn(x) ; se né par

; jxj < 1


A razão dos fatores �vn(1) e un(1) é para que tanto y = Pn(x) quanto y = Qn(x)satisfaçam as relações de recorrências

(n+ 1)yn+1 = (2n+ 1)xyn � nyn�1

y0

n+1 � y0

n�1 = (2n+ 1)yn

válidas para n = 1; 2; : : :, e que serão provadas na seção 6.3.Note que as funções de Legendre de segunda espécie são séries convergentes em jxj < 1.

6.2 Fórmula de Rodrigues

Existe ma maneira alternativa e mais prática de encontrar os polinômios de Legendre.Para isto, observe que o polinômio vn de�nido por

vn(x) :=dn

dxn(x2 � 1)n

satisfaz

(1� x2)d2vndx2

� 2xdvndx

+ n(n+ 1)vn = 0

que é a equação de Legendre de ordem n: Consequentemente, devemos ter que vn(x) ePn(x) devem ser linearmente dependentes, ou seja,

Pn(x) = Cdn

dxn(x2 � 1)n = C

dn

dxn[(x+ 1)n(x� 1)n]

Daí, segue que

Pn(x) = C(x+ 1)ndn

dxn(x� 1)n + termos com o fator (x� 1)

Como Pn(1) = 1 e levando-se em conta que

dn

dxn(x� 1)n = n! ;

temos facilmente que 1 = C:2n:n!. Desta forma, temos que o polinômio de Legendre degrau n satisfaz

Pn(x) =1

2nn!

dn

dxn(x2 � 1)n

que é chamada de Fórmula de Rodrigues.


Exercício 6.2 Use a fórmula de Rodrigues para mostrar que

(i) P2(x) =1

2(3x2 � 1)

(ii) x2 =2

3P2(x) +

1

3Po(x)

(iii)Z 1

�1xmPn(x)dx = 0 ; se m < n

6.3 Função geradora

Propriedades importantes dos polinômios de Legendre podem ser estabelecidas usandoa noção de função geradora. Para isto, considere uma carga elétrica q localizada no eixoz no ponto z = a: O potencial eletrostático desta carga num ponto P é

' =1

4�"o:q

r1

onde r1 é a distância de z = a até P . Usando a lei dos cossenos, podemos expressaro potencial eletrostático em termos das coordenadas polares esféricas r e � (a outracoordenada pode ser deixada de lado por causa da simetria em torno do eixo z) comosendo

' =q

4�"o:

1pr2 + a2 � 2ar cos �

=q

4�"or:

1q1 +

�ar

�2 � 2 �ar

�cos �

com r > a ou, mais precisamente, r2 > ja2 � 2ar cos �j.Esta ligeira digressão serve para motivar considerarmos a função de x e y dada por

F (x; z) =1p

1� 2xz + z2=

1p1� (2xz � z2)

; com j2xz � z2j < 1

e sua expansão em série de série de Taylor na variável z, na vizinhança de z = 0:

F (x; z) =1Xn=0

An(x)zn (7.23)

Vamos mostrar que An(x) = Pn(x). Para isto, a�rmamos que:

1. An(x) é um polinômio de grau n:


Isto segue do teorema binomial generalizado,

(1 + v)p = 1 + pv +p(p� 1)2!

v2 +(p� 1)(p� 2)

3!v3 + � � � ; jvj < 1

com

v = �z(2x� z)

p = �12

2. An(1) = 1 , para cada n.De fato,

F (1; z) =1

1� z= 1 + z + z2 + � � �+ zn + � � � ; jzj < 1

3. An(x) satisfaz a equação de Legendre de ordem n.Para mostrar isto, as derivadas @F

@ze @F@xfornecem as identidades

(1� 2xz + z2)@F

@z= (x� z)F (x; z) (7.24)

z@F

@z= (x� z)

@F

@x(7.25)

Substituindo (7.23) em (7.24) e igualando os coe�cientes de mesma potência de z, resulta

A1(x) = xAo(x) (7.26)

nAn(x)� (2n� 1)xAn�1(x) + (n� 1)An�2(x) = 0 ; n = 2; 3; : : : (7.27)

Analogamente, substituindo (7.23) em (7.25) e igualando os coe�cientes de mesma potên-cia de z, resulta

xA0

o(x) = 0 (7.28)

A0

n�1(x) = xA0

n(x)� nAn(x) ; n = 1; 2; : : : (7.29)

ou, trocando n por n� 1,

A0

n�2(x) = xA0

n�1(x)� (n� 1)An�1(x) ; n = 2; 3; : : : (7.30)

A0

n�2(x) = x(xA0

n(x)� nAn(x))� (n� 1)An�1(x) ; n = 2; 3; : : :

A0

n�2(x) = x2A0

n(x)� nxAn(x)� (n� 1)An�1(x) ; n = 2; 3; : : : (7.31)


Por outro lado, derivando (7.27) em relação a x, temos

nA0

n(x)� (2n� 1)xA0

n�1(x) + (n� 1)A0

n�2(x) = 0 ; n = 2; 3; : : : (7.32)

Finalmente, substituindo as expressões de A0n�1(x) de (7.29) e A

0n�2(x) de (7.31) em

(7.32) e fazendo as devidas simpli�cações, segue que

A0

n(x) = x2A0

n(x)� nxAn(x) + nAn�1(x) ; n = 2; 3; : : :

Derivando novamente esta expressão em relação a x e substituindo A0n�1(x) de (7.29),

chegamos �nalmente que

(1� x2)A00

n � 2xA0

n + n(n+ 1)An = 0 ; n = 2; 3; : : :

de forma que An é uma solução polinomial da equação de Legendre para n = 2; 3; : : :Por outro lado, (7.28) fornece que Ao(x) = constante e, como An(1) = 1, vem que

Ao(x) = 1

e, usando (7.26),A1(x) = x

o que prova que An satisfaz a equação de Legendre de ordem n.

Desta forma, de acordo com o que foi mostrado nos ítens acima, segue que An � Pn e,portanto, temos a seguinte relação geradora dos polinômios de Legendre:

1p1� 2xz + z2

=1Xn=0

Pn(x)zn (7.33)

que é válida para jxj � 1 e jzj < 1.Em particular, todas as fórmulas de recorrências obtidas acima para An também seaplicam para Pn. Por exemplo, temos a seguinte fórmula de recorrência

Pn+1(x) =2n+ 1

n+ 1xPn(x)�

n

n+ 1Pn�1(x) ; n = 1:2: : : : (7.34)

que permite determinar todos os Pn a partir do conhecimento de Po e P1.

Exercício 6.2 Determine P2(x) e P3(x).

6.4 Ortogonalidade dos polinômios de Legendre


Basicamente, nesta seção estaremos preocupados em calcular a integralR 1�1 Pm(x)Pn(x)dx.

De maneira geral, se f 2 Cn[�1; 1], temos que

I =

Z 1

�1f(x)Pn(x)dx =

Z 1

�1f(x)

1

2nn!

dn

dxn(x2 � 1)ndx

e, fazendo integrações por parte sucessivamente, chegamos a

I =(�1)n2nn!

Z 1

�1f (n)(x)(x2 � 1)ndx

No caso em que f(x) = Pm(x) , com m < n, temos que f (n)(x) = 0. Assim, sem perdade generalidade, segue queZ 1

�1Pm(x)Pn(x)dx = 0 ; se m 6= n

Consideremos agora o caso m = n:

In =

Z 1

�1Pn(x)

2dx

ComoPn(x) =

2n� 1n

xPn�1(x)�n� 1n

Pn�2(x)

temos que

In =

Z 1

�1Pn(x)

�2n� 1n

xPn�1(x)�n� 1n

Pn�2(x)

�dx

=2n� 1n

Z 1

�1xPn(x)Pn�1(x)dx + 0

Mas, como

xPn(x) =1

2n+ 1[nPn�1(x) + (n+ 1)Pn+1(x)] ; n � 1

podemos facilmente mostrar por indução a seguinte recorrência:

In =2n� 12n+ 1

In�1 ; n � 2

ou aindaIn =

2n� 12n+ 1

:2n� 32n� 1 :

2n� 52n� 3In�3


e

In =2n� (2n� 1)

2n+ 1Io ; n � 0

Como Io = 2, segue que

In =2

2n+ 1; n � 0

Daí, concluindo, temos que, para n = 0; 1; 2; : : : ;

Z 1

�1Pm(x)Pn(x)dx =

8<:0 ; se m 6= n

22n+1

; se m = n

Muitos problemas da teoria do potencial dependem da possibilidade de se expandir umdada função numa série de polinômios de Legendre. É fácil ver que isto sempre podeser feito quando a função dada é ela mesma um polinômio (cf. o capítulo VIII, sobrepolinômios ortogonais). O problema que surge é saber para que classe de funções f(x)é válida (i.e., temos a convergência) a chamada expansão em série de Legendre:

f(x) =1Xn=0

anPn(x)

Embora não seja o objetivo deste curso apresentar uma demonstração, enunciamosabaixo o chamado teorema de expansão de Legendre, que apresenta uma condição su�-ciente para que uma função f = f(x) admita uma expansão em série de Legendre.

Teorema de expansão de Legendre.Se f(x) e f�(x) têm ambas no máximo um número �nito de descontinuidades do tiposalto no intervalo �1 � x � 1 , então os coe�cientes an�s existem e a série de Legendreconverge nos seguintes termos

1Xn=0

anPn(x) =

8<:12[f(x�) + f(x+)] ; se � 1 < x < 1

f(�1+) ; se x = �1f(1�) ; se x = 1

Em particular, a série converge para f(x) em todos os pontos de continuidade.

6.5 Função associada de Legendre

Chamamos de equação associada de Legendre à equação

(1�x2)v00�2xv0+�n(n+ 1)� m2

1� x2

�v = 0 ; m; n inteiros não-negativos (7.35)


Sua relação com a equação de Legendre é que, através de uma mudança de variáveisconveniente, ela pode ser transformada numa nova equação que é obtida da equação deLegendre por derivações sucessivas. Mais precisamente, a aplicação direta da regra dacadeia fornece que a mudança de variáveis

v = (1� x2)m=2u

transforma (7.35) na equação

(1� x2)u00 � 2(m+ 1)xu0 + (n�m)(n+m+ 1)u = 0 (7.36)

Daí, temos o seguinte:

Proposição 6.1 A solução geral de (7.35) é

v = aPmn (x) + bQmn (x)

onde

Pmn (x) = (1� x2)m=2dm

dxmPn(x)

Qmn (x) = (1� x2)m=2dm

dxmQn(x)

(Estas funções são chamadas de função de Legendre associada de primeira e de segundaespécie, respectivamente).

� Prova. Derivando m vezes a equação de Legendre

(1� x2)y00 � 2xy0 + n(n+ 1)y = 0

resulta

(1� x2)d2

dx2y(m) � 2(m+ 1)x d

dxy(m) + (n�m)(n+m+ 1)y(m) = 0

onde

y(m) =dm

dxmy

Daí, u = y(m) é solução de (7.36), com y = aPn(x) + bQn(x). Portanto,

v = (1� x2)m=2u = (1� x2)m=2dm

dxm(aPn(x) + bQn(x))

e o resultado segue. �

7.5. EQUAÇÃO DE HERMITE 35

Exercício 6.3 Sabendo que

P2(x) =1

2(3x2 � 1)

Q1(x) =x

2ln1 + x

1� x+

x

1� x2

mostre que

P 12 (x) = 3xp1� x2

Q11(x) = (1� x2)1=2�1

2ln1 + x

1� x+

x

1� x2

�

7.5 Equação de Hermite

A equação de Hermite de ordem p é

y00 � 2xy0 + 2py = 0 (7.37)

onde p é uma constante. A aplicação do método das séries de potências em torno doponto ordinário xo = 0 para a obtenção de sua solução fornece, para certos valoresdiscretos de p, truncamentos gerando polinômios, chamados polinômios de Hermite,como solução. Como a aplicação mais importante dos polinômios de Hermite (e daequação de Hermite) é na teoria do oscilador harmônico linear na mecânica quântica,vamos motivar nosso estudo considerando a equação de Schrödinger.

§1.1 Resolução em série e polinômios de Hermite:

Resolvendo a equação de Hermite

y00 � 2xy0 + 2py = 0

por séries de potências fornece que sua solução geral é y = aoy1(x) + a1y2(x), onde asséries

y1(x) = 1�2p

2!x2 +

22p(p� 2)4!

x4 � 23p(p� 2)(p� 4)

6!x6 + � � � (7.38)

y2(x) = x� 2(p� 1)3!

x3 +22(p� 1)(p� 3)

5!x5 � 2

3(p� 1)(p� 3)(p� 5)7!

x7 + � � � (7.39)

convergem para todo x (V. teorema de Fuchs). Se a constante p é um inteiro não-negativo, então uma destas séries trunca (termina) e torna-se um polinômio enquanto


a outra continua uma série in�nita. Obviamente, as únicas soluções polinomiais daequação de Hermite são múltiplos constantes destes polinômios. Assim, de�nimos ospolinômios de Hermite, e denotamosHn(x), como sendo estes múltiplos constantes destespolinômios para os quais o coe�ciente de xn é igual a 2n. É fácil veri�car que

Ho(x) = 1

H1(x) = 2x

H2(x) = 4x2 � 2H3(x) = 8x3 � 12x

...

§1.2 Função geradora e fórmula de Rodrigues:

As propriedades importantes dos polinômios de Hermite (em particular, uma fórmulade recorrência para obter qualquer Hn a partir de Ho e H1) são melhor estabelecidas apartir da função geradora F (x; t) = e2xt�t

2mediante a seguinte expansão em série de

potências de t:

F (x; t) = e2xt�t2

=1Xn=0

Hn(x)

n!tn = Ho(x) +H1(x)t+

H2(x)

2!t2 + � � � (7.40)

Esta fórmula é deduzida a partir das séries (7.38) e (7.39) e do produto de séries depotências. Porém, não vamos nos preocupar com esta dedução aqui.Trabalhando de maneira análoga ao que foi feito no caso dos polinômios de Legendre(i.e., derivando F (x; t) parcialmente em relação a x e a t para obter expressões auxiliares)podemos obter propriedades tais como

Hn+1(x) = 2xHn(x)� 2nHn�1(x) ; n = 1; 2; : : : (7.41)

H0

n(x) = 2nHn�1(x) (7.42)

Hn(x) = (�1)nHn(�x) (7.43)

Como (7.40) é a expansão em série de Taylor de F (x; t) na vizinhança de to = 0, temosque

Hn(x) =@nF (x; t)

@tn

��t=0

= ex2

�@n

@tne�(x�t)

2

�t=0

(7.44)

Se introduzirmos uma nova variável z = x� t e usamos o fato que @:=@t = �(@:=@z) et = 0 corresponde a z = x, (7.44) resulta em

(�1)nex2�dn

dzne�z

2

�z=x

= (�1)nex2 dn

dxne�x

2


o que nos fornece a fórmula de Rodrigues para os polinômios de Hermite:

Hn(x) = (�1)nex2 dn

dxne�x

2

(7.45)

§1.3 Ortogonalidade dos polinômios de Hermite:

Temos que um(x) = Hm(x)e�x2=2 e un(x) = Hn(x)e

�x2=2 satisfazem, respectivamente,

u00

m + (2m+ 1� x2)um = 0 (7.46)

u00

n + (2n+ 1� x2)un = 0 (7.47)

Multiplicando (7.46) por �un e (7.47) por um e subtraindo as equações membro a mem-bro, obtemos �

umu0

n � u0

mun

�0+ 2(n�m)umun = 0

de forma que, integrando, �camos comZ 1

�1

d

dx

�umu

0

n � u0

mun

�dx+ 2(n�m)

Z 1

�1umundx = 0

limx!1

�umu

0

n � u0

mun

�� lim

x!�1

�umu

0

n � u0

mun

�+ 2(n�m)

Z 1

�1umundx = 0

Mas como limx!�1�umu

0n � u

0mun

�= 0, segue queZ 1

�1e�x

2

Hm(x)Hn(x)dx = 0 ; se m 6= n (7.48)

de forma que os polinômios de Hermite são ortogonais com respeito ao peso W (x) =e�x

2; x 2 R.

Para o caso m = n, basta usarmos a fórmula de Rodrigues:Z 1

�1e�x

2

Hn(x)Hn(x)dx =

Z 1

�1e�x

2

�(�1)nex2 d

n

dxne�x

2

�Hn(x)dx

= (�1)nZ 1

�1Hn(x)

dn

dxne�x

2

dx

o que, integrando por partes sucessivamente, forneceZ 1

�1e�x

2

Hn(x)Hn(x)dx = (�1)2nZ 1

�1H(n)n (x) e�x

2

dx

Como o coe�ciente de Hn(x) é 2n; temos que H(n)n (x) = 2nn!. Logo,Z 1

�1e�x

2

Hn(x)2dx = 2nn!

Z 1

�1e�x

2

dx = 2nn!p�


7.5.1 A equação de Schrödinger

A equação de Schrödinger unidimensional é

ih@

@t= � h

2

2m

@2

@x2+ V (x)

onde = (x; t) é tal que, para cada x 2 R, j (x; t)j2dx dá a probabilidade da partícula

estar no intervalo�x� dx

2; x+

dx

2

�quando sujeita a um potencial dado por V = V (x).

Vamos aqui considerar o problema de encontrar = (x; t) na classe de funções dequadrado integráveis (i.e., tais que

R1�1 j (x; t)j

2dx < 1) satisfazendo a equação (sim-pli�cada)

i@

@t+@2

@x2� V (x) = 0 (7.49)

e as condições de normalização e inicial dadas, respectivamente, porR1�1 j (x; t)j

2dx = 1

(x; 0) = F (x) (para uma F : R! R dada)

Também, estaremos considerando o caso correspondente ao do oscilador harmônico, ouseja,

V (x) =1

2Kx2 (7.50)

§2.1 Resolução do problema do oscilador harmônico linear da mecânica quân-tica:

Usando o método da separação de variáveis, i.e., procurando solução na forma (x; t) =u(x)f(t), temos, substituindo em (7.49),

if 0(t)

f(t)= �u

00(x)

u(x)+ V (x) = constante

4= E

Isto nos dá duas equações, sendo a primeira

if 0(t) = f(t)

com uma solução facilmente dada por

f(t) = e�iEt (7.51)


A outra equação resultante,

u00(x) +

�E � 1

2Kx2

�u(x) = 0 (7.52)

requer um tratamento mais detalhado. Vamos introduzir uma variável independenteadimensional, mediante a mudança de variáveis � = �x. Aplicação simples da regra dacadeia transforma (7.52) na equação

u00(�) +

�E

�2� 12

K

�4�2�u(�) = 0 (7.53)

Escolhendo � = (K=2)1=4 para que

1

2

K

�4= 1

�camos comu00(�) + (�� 2)u(�) = 0 (7.54)

onde

� =E

!c; !c =

rK

2

Resolver (7.54) diretamente por séries acaba não sendo um bom caminho. Nem énecessário, porque podemos mostrar que ela se reduz a uma equação de Hermite, medi-ante mudanças de variáveis adequadas. Então, vamos fazer uso do seguinte resultado:

Em primeiro lugar, uma diferença que podemos perceber de imediato entre (7.54) e aequação de Hermite é que esta apresenta um termo com derivada primeira da funçãoincógnita enquanto a outra, não. Mas isto não é um problema, porque uma equação daforma

u00(�) + g(�)u(�) = 0

pode ser transformada numa equação na forma

y00(�) + a1(�)y0(�) + a2(�)y(�) = 0

mediante a transformação

u = y: exp

�1

2

Za1(�)d�

�Assim, basta considerar a1(�) = �2� na transformação acima e teremos o coe�ciente daderivada de primeira ordem igual ao de uma equação de Hermite. Na verdade, é fácilveri�car que v = e�(1=2)�

2é tal que u = H(�)v(�) transforma

u00(�) + (�� 2)u(�) = 0


na equação:H 00(�)� 2�H 0(�) + (�� 1)H(�) = 0 (7.55)

que é a equação de Hermite de ordem p = (� � 1)=2; cuja resolução recapitulamos naseção 1 acima. Mais precisamente, procurando solução da equação de Hermite na forma

H(�) =

1Xn=0

an�n ; ao 6= 0 (7.56)

resulta na seguinte fórmula de recorrência

an+2 =2n+ 1� �

(n+ 2)(n+ 1)an ; n = 0; 1; 2; : : : (7.57)

Porém, a condição de normalização implica que j (x; t)j ! 0 quando x ! �1. Isto,por sua vez, implica que ju(�)j ! 0 quando � ! �1:Logo, para termos ju(�)j = jH(�)e�(1=2)�2j ! 0 quando � ! �1, a série (7.56) deve sertruncada (ou seja, um polinômio). Consequentemente, de (7.57) segue que temos umseqüência (�n) de valores de � para os quais a série (7.56) seja um polinômio:

�n = 2n+ 1 (7.58)

o que fornece valores discretos da energia E:

En = (2n+ 1)!c (7.59)

Finalmente, fazendo uso da condição inicial (x; 0) = F (x), com F (:) expandida emsérie de polinômios de Hermite (ortogonais, a propósito), chegamos em

(x; t) =

1Xn=0

AnHn(�x)e�(1=2)�2x2e�i(2n+1)!ct

como candidata à solução. A partir daqui, basta mostrar que realmente a série acimaconverge no domínio do problema e satisfaz a edp e as condições. Em particular, oscoe�cientes An�s são determinados a partir de F (:) e da ortogonalidade dos polinômiosde Hermite.

7.6 Exercícios

Referências Bibliográ�cas

[1] Arfken, M. C. A.

[2] Boyce, M. T .

[3] Simmons,

41

Documents

NOTAS DE AULA DE MAT-32 EQUA˙ÕES DIFERENCIAIS …botelho/sites/default/files/mat32ch7.pdfn(x nx o) = a oy 1(x)+a 1y 2(x) ; onde a o e a 1 sªo constantes arbitrÆrias e y 1 = y 1(x)