Notas e Exerc cios sobre Converg^encia Mestrado em Ensino ...repositorium.sdum.uminho.pt/bitstream/1822/50547/1/TemasMatSep2014.pdf · A rela˘c~ao de ordem parcial diz-se uma rela˘c~ao

Notas e Exercıcios sobre ConvergenciaMestrado em Ensino de Matematica

Jose R. Oliveira

Jose R. Oliveira - Departamento de Matematica e Aplicacoes, Universidade do Minho, BragaEndereco electronico: [email protected]

Conteudo

1 Conjuntos ordenados 1

2 Grupos ordenados 4

3 Convergencia 9

4 Espacos topologicos 11

5 Ciclo fundamental 19

6 Espacos de convergencia 20

References 29

1 Conjuntos ordenados

Nesta seccao, iremos estudar propriedades basicas dos conjuntos ordenados.

1. Seja X um conjunto. Uma ordem parcial em X e uma relacao binaria em X, denotada por≤, satisfazendo as seguintes propriedades

• ∀ x ∈ X, x ≤ x (reflexividade)

• ∀ x, y ∈ X tais que x ≤ y e y ≤ x ⇒ x = y (anti-simetria)

• ∀ x, y, z ∈ X tais que x ≤ y e y ≤ z ⇒ x ≤ z (transitividade)

O par (X,≤) chama-se um conjunto parcialmente ordenado. Escreve-se x < y quando x ≤ y ex = y. A relacao de ordem parcial ≤ diz-se uma relacao de ordem total emX, ou simplesmenteuma relacao de ordem em X, se quaisquer dois elementos de X sao comparaveis, isto e, paraquaisquer x, y ∈ X, tem-se x ≤ y ou y ≤ x. Neste caso, o par (X,≤) chama-se um conjuntototalmente ordenado ou simplesmente um conjunto ordenado.

1

2. Sejam (X,≤X) um conjunto parcialmente ordenado e Y um subconjunto de X. Define-se umarelacao de ordem parcial em Y , denotada por ≤Y , do seguinte modo

x ≤Y y ⇔ x ≤X y ∀ x, y ∈ Y

A relacao de ordem parcial ≤Y chama-se a relacao de ordem parcial induzida em Y . Geral-mente, em vez de ≤X e ≤Y , escrevemos ≤ para ambas relacoes de ordem. Neste caso, dizemosx ≤ y em X quando x ≤X y e x ≤ y em Y quando x ≤Y y. Note que, se (X,≤) e um conjuntoordenado, entao (Y,≤) e tambem um conjunto ordenado.

3. Exemplo - Considere o conjunto X = R (ou qualquer subconjunto X de R). Entao X e umconjunto ordenado para a relacao usual entre numeros. Esta ordem e denominada por ordemnatural.

4. Sejam (X,≤) um conjunto parcialmente ordenado e A um subconjunto de X.

a) Um elemento m ∈ X diz-se maximo de A se m ∈ A e, para qualquer a ∈ A, a ≤ m.Analogamente, m diz-se mınimo de A se m ∈ A e, para qualquer a ∈ A, m ≤ a. Umsubconjunto A deX pode nao ter maximo mas se tiver e unico (exercıcio). Analogamente,o mınimo de A, se existir, e unico.

b) Um elemento m ∈ X diz-se majorante de A em X se, para qualquer a ∈ A, a ≤ m.Analogamente, m diz-se minorante de A em X se, para qualquer a ∈ A, m ≤ a. O subcon-junto A diz-se majorado (resp. minorado) em X se existir pelo menos um majorante (resp.minorante) de A em X. O subconjunto A diz-se limitado em X se for simultaneamentemajorado e minorado em X.

c) Um elemento s ∈ X diz-se supremo de A em X se:

i) s e um majorante de A em X

ii) Se m ∈ X e outro majorante de A em X entao s ≤ m

A condicao ii) e equivalente a seguinte condicao: se b ∈ X e tal que b < s entao existea ∈ A tal que b < a. Um subconjunto A de X pode nao ter supremo mas se tiver e unico.O supremo de A e denotado por sup A.

d) Um elemento i ∈ X diz-se ınfimo de A em X se:

i) i e um minorante de A em X

ii) Se m ∈ X e outro minorante de A em X entao m ≤ i

A condicao ii) e equivalente a seguinte condicao: se b ∈ X e tal que i < b entao existe a ∈ Atal que a < b. Um subconjunto A de X pode nao ter ınfimo mas se tiver e unico. O ınfimode A e denotado por inf A.

5. Exercıcio - Mostre que, se A tem supremo em X, entao sup A ∈ A ⇔ A tem maximo esup A = max A. Se A tem ınfimo em X, entao inf A ∈ A⇔ A tem mınimo e inf A = min A.

6. Exercıcio - Seja X um conjunto qualquer. No conjunto P(X) de todos subconjuntos de Xdefine-se a relacao ≤ por A ≤ B sse A ⊂ B. Mostre que esta relacao e uma relacao de ordemparcial mas nao de ordem total.

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7. Exercıcio - Considere em N a relacao ≤ por x ≤ y sse x e divisor de y.

a) Mostre que esta relacao e uma relacao de ordem parcial mas nao de ordem total.

b) Sejam a, b ∈ N. Mostre que o conjunto {a, b} tem supremo e mınimo e calcule-os.

8. Exercıcio - Considere um conjunto X e uma relacao ≤ de ordem parcial em X.

a) Mostre que a relacao ≤2 em X ×X definida por

(x, y) ≤2 (x′, y′) sse x ≤ x′ e y ≤ y′

e uma relacao de ordem parcial mas nao total.

b) Suponhamos que a relacao de ordem parcial em X e uma ordem (total). Mostre que arelacao ≤3 em X ×X definida por

(x, y) ≤3 (x′, y′) sse x ≤ x′ ou x = x′ e y ≤ y′

e uma relacao de ordem. Esta relacao de ordem e chamada ordem lexicografica.

9. Exercıcio - Em cada alınea seguinte, diga se o conjunto e majorado, minorado, tem supremo,ınfimo, maximo ou mınimo, para a relacao de ordem natural.

a) N em R

b) Z em R

c) Q em R

d) R em R

e) ]2, 5] em R

f) ]2,√7] ∩Q em R

g) ]2,√7] ∩Q em Q

h) { 1n: n ∈ N}

10. Exercıcio - Sejam (X,≤) um conjunto parcialmente ordenado e Y um subconjunto de X.Considere em Y a relacao de ordem parcial induzida. Seja A um subconjunto de Y .

a) Mostre que, se A tem supremo em Y , A tem tambem supremo em X e sup A em X eigual a sup A em Y .

b) Mostre com um exemplo que A pode ter supremo em X mas nao em Y .

c) Mostre que, se A tem supremo em X e sup A em X pertence a Y , A tem tambem supremoem Y (e ambos supremos coincidem pela alınea a)).

11. Exercıcio - Seja (X,≤) um conjunto ordenado.

a) Mostre que a intersecao de dois intervalos e um intervalo.

3

b) Verifique com um exemplo que a uniao de dois intervalos pode nao ser um intervalo.

c) Mostre com um exemplo que existem conjuntos parcialmente ordenados tal que a intersecaode dois intervalos nao seja um intervalo.

2 Grupos ordenados

Os espacos concretos estao, na maior parte das vezes, equipados com varias estruturasde natureza diversa, em que estas estruturas satisfazem certas condicoes de compatibilidadeentre si. Neste sentido, introduzimos agora a nocao de grupo ordenado (resp. anel e corpoordenado), que se trata de um grupo com uma relacao de ordem compatıvel com a estruturaalgebrica de grupo.

12. Um grupo ordenado e um triplo (G,+,≤), em que G e um conjunto munido de uma operacaobinaria + e uma relacao binaria ≤, tal que

i) (G,+) e um grupo abeliano

ii) (G,≤) e um conjunto ordenado

iii) A operacao binaria + e compatıvel com a estrutura de ordem, isto e, para quaisquerelementos x, y, z ∈ G

x ≤ y ⇒ x+ z ≤ y + z

Uma vez que estamos a usar linguagem aditiva, notamos, como habitualmente, o elementoneutro de G por 0G ou simplesmente por 0.

13. Exemplos - Os grupos aditivos (Z,+), (Q,+) e (R,+) sao grupos ordenados.

14. Seja (G,+,≤) um grupo ordenado. As seguintes propriedades sao validas.

a) Se x, x′, y, y′ ∈ G sao tais que x ≤ x′ e y ≤ y′, tem-se x + y ≤ x′ + y′. Alem disso, sex < x′ entao x + y < x′ + y′. Mais, por inducao, prova-se a mesma propriedade para umnumero finito de elementos de G.

b) As desigualdades

i) x < y

ii) x+ z < y + z

sao equivalentes.

c) As desigualdades

i) x < y

ii) x− y < 0

iii) y − x > 0

iv) −y < −x

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sao equivalentes.

15. Exercıcio - Considere um grupo ordenado (G,+,≤) e sejam x, y ∈ G.

a) Se x < y e n ∈ N, n > 0, entao nx < ny. Se n < 0 entao nx > ny

b) Se x > 0 e m,n ∈ N com m < n, entao mx < nx. Se x < 0, entao mx > nx.

c) Se n ∈ Z, entaonx = 0G ⇔ n = 0 ∨ x = 0G

16. Exercıcio - sejam G e H grupos ordenados. Considere em G × H a estrutura natural deproduto e a ordem lexicografica, que esta definida por

(x, y) ≤3 (x′, y′) sse x ≤ x′ ou x = x′ e y ≤ y′

Mostre que G×H e um grupo ordenado.

17. Seja (G,+,≤) um grupo ordenado. Seja x um elemento de G. Como quaisquer dois elementosde G sao comparaveis, tem-se x > 0 ou x = 0 ou x < 0. O elemento x diz-se positivo se x > 0.Analogamente, x diz-se negativo se x < 0. Note que, se x > 0, entao −x < 0 e reciprocamente.Chama-se valor absoluto de um elemento x ∈ G, e denota-se por |x|, ao maximo do conjunto

|x| = {x,−x}

Note que o simetrico de 0 e 0, donde |0| = 0. Propriedades analogas ao modulo de numerosreais continuam validas. Destacamos algumas dessas propriedades.

a) |x| ≥ 0

b) |x| = 0 ⇔ x = 0

c) | − x| = |x|d) |x+ y| ≤ |x|+ |y|e) ||x| − |y|| ≤ |x+ y|f) Seja a ∈ G tal que a > 0.

i) |x| < a ⇔ x < a ∧ x > −a

ii) |x| > a ⇔ x > a ∨ x < −a

18. Um anel ordenado e um quadruplo (A,+, ·,≤), em que A e um conjunto munido de duasoperacoes binarias + e · e uma relacao binaria ≤, tal que

i) (A,+, ·) e um anel comutativo

ii) (A,≤) e um conjunto ordenado

iii) As operacoes binarias + e · sao compatıveis com a estrutura de ordem:

a) ∀ x, y, z ∈ A, x ≤ y ⇒ x+ z ≤ y + z[(A,+,≤) e um grupo ordenado

]5

b) Para quaisquer x, y ∈ A tais que x > 0 e y > 0 tem-se xy > 0

Se A e um corpo, (A,+, ·,≤) diz-se um corpo ordenado se A, visto como anel, e um anelordenado.

19. Exemplos - O anel Z dos inteiros, ordenado com a ordem natural, e um anel ordenado. Oscorpos Q e R, ordenados com a ordem natural, sao corpos ordenados.

20. Seja (A,+, ·,≤) um anel ordenado. As seguintes propriedades sao validas.

a) ∀ x, y ∈ A tais que x < y e z > 0 entao xz < yz

b) ∀ x, y ∈ A tais que x < y e z < 0 implica xz > yz

c) ∀ x, y, x′, y′ ∈ A : x, x′, y, y′ > 0, x < x′ ∧ y < y′ ⇒ xy < x′y′

d) |x|2 = x2

e) |xy| = |x| · |y|f) Se y ∈ A e invertıvel, |x

y| = |x|

|y|

21. Exercıcio - Seja (A,+, ·,≤) um anel ordenado. Prove as seguintes condicoes.

a) xy ≥ 0 ⇔ (x ≥ 0 ∧ y ≥ 0) ∨ (x ≤ 0 ∧ y ≤ 0)

b) x2 = 0 ⇔ x = 0

c) x2 ≤ y2 ⇔ |x| ≤ |y|d) xn ≤ yn ⇔ |x| ≤ |y| (n ∈ N, n > 0

22. Exercıcio - Resolva as seguintes equacoes em R.

a) |x| = 3

b) |2x− 5| = 4

c) |x2 + 3x| = 0

d) |x− 1| · |3x− 2| = 2

e) |x+ 2| = 5 · |3x|

23. Exercıcio - Resolva as seguintes inequacoes em R.

a) |x− 3| > 5

b) |x+ 3| ≤ 1

c) |x+ 2| ≥ 4

d) |1− 3x| < 2

e) |x2 + x| > 2

f) |2− 3x| > −2

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g) |1− 4x2| < 3

h) |x− 1|+ |x+ 2| < 7

i) 2|x+ 1| < 5|x− 1|j) |x| · |x+ 1| < 2

k) |x− 12x| > 1

l) |1− 3x| ≤ 2

m) |2− x| > 2|x|n)

∣∣ 4x−3

∣∣ < x

o) |x+1||x−2| ≤ 6

24. Sejam A e B dois subconjuntos nao vazios de R tais que A ⊂ B. Suponha que B e majoradoe que, para cada b ∈ B, existe a ∈ A tal que b ≤ a. Mostre que sup A = sup B.

25. Sejam A e B dois subconjuntos nao vazios de R. Define-se o conjunto a soma de A com B,denotado por A+B, com sendo o conjunto

A+B = {z ∈ R : z = a+ b, a ∈ A, b ∈ B}

Mostre que, se A e B sao majorados em R, entao A+B e majorado e tem-se

sup (A+B) = sup A+ sup B

Estableca um resultado analogo para o conjunto produto A ·B constituido pelos produtos deum elemento de A por um elemento de B.

26. Sejam A e B dois subconjuntos nao vazios e limitados de R.

a) Mostre que A ∪B e limitado e tem-se

sup (A ∪B) = max {sup A, sup B}

inf (A ∪B) = min {inf A, inf B}

b) Mostre que A ∩B e limitado e tem-se

sup {inf A, inf B} ≤ inf (A ∩B) ≤ sup (A ∩B) ≤ inf {sup A, sup B}

27. Sejam X um subconjunto de R e f : X −→ R uma funcao. A funcao f diz-se majorada (resp.minorada, limitada) se o conjunto imagem f(X) for majorado (resp. minorado, limitado).Neste caso, define-se supremo de f , e denota-se por sup f , como sendo sup f = sup f(X).Seja g : X −→ R outra funcao e suponhamos que f e g sao limitadas.

a) Mostre quesup (f + g) ≤ sup f + sup g

inf (f + g) ≥ inf f + inf g

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b) De exemplos em que:

a) sup (f + g) = sup f + sup g

b) sup (f + g) < sup f + sup g

c) inf (f + g) = inf f + inf g

d) inf (f + g) > inf f + inf g

28. Um grupo ordenado (G,+,≤) diz-se arquimediano se satisfaz a condicao de Arquimedes:

∀ a, b ∈ G, a, b > e (a < b ⇒ ∃n ∈ N, n > 0 : na > b)

Um anel (resp. corpo) ordenado (A,+, ·,≤) diz-se arquimediano se (A,+,≤) for arquimediano.

29. Exercıcio - Mostre que:

a) O anel ordenado (Z,+, ·,≤) e arquimediano.

b) O corpo ordenado (Q,+, ·,≤) e arquimediano.

c) O corpo ordenado (R,+, ·,≤) e arquimediano.

30. Mostre que o conjunto N dos naturais nao e majorado.

31. Considere a funcao f : Z −→ R definida por f(n) = an com a ∈ R e a > 1. Mostre que:

a) f(Z) nao e majorado.

b) inf f(Z) = 0.

32. Sejam G e H dois grupos ordenados arquimedianos. Mostre que o produto lexicografico naoe arquimediano.

33. Definicao (Conjunto ordenado denso). Um conjunto ordenado (X,≤) diz-se denso se Xtem mais do que um elemento e se, para quaisquer x, y ∈ X tais que x < y, existe z ∈ Xtal que x < z < y. Um grupo (resp. anel, corpo) ordenado diz-se denso se, como conjuntoordenado, for denso.

Observacao. Existem aneis ordenados que nao sao densos, como por exemplo, o anel orde-nado (Z,+, ·,≤). Contudo, prova-se que todo o corpo ordenado e denso.

34. Exercıcio - Mostre que todo o corpo ordenado e denso (sugestao: considere z = x+y2u

, emque u e o elementro neutro da segunda operacao). Em particular, os corpos (Q,+, ·,≤) e(R,+, ·,≤) dos racionais e dos reais sao corpos ordenados densos.

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3 Convergencia

35. Definicao (Sucessao convergente). Seja G um grupo ordenado denso. Sejam (xn)n∈N umasucessao com valores em G e a ∈ G. Diz-se que a sucessao (xn)n∈N converge ou tende para aou que o limite de (xn)n∈N e a, e escreve-se xn → a ou lim xn = a, se

∀ δ ∈ G, δ > 0, ∃ p ∈ N : ∀ n ≥ p, |xn − a| < δ

Observacoes.

a) As condicoes

i) |xn − a| < δ

ii) a− δ < xn < a+ δ

iii) xn ∈ ]a− δ, a+ δ[

sao equivalentes.

b) Nao existe unicidade do natural p, isto e, se q ≥ p entao ∀ n ≥ q, xn ∈ ]a− δ, a+ δ[ (⇔|xn − a| < δ)

c) Esta definicao de convergencia aplica-se tambem em qualquer grupo ordenado nao neces-sariamente denso. Porem, muitos resultados sao validos apenas para grupos ordenadosdensos.

d) Num anel ou corpo ordenado (denso), a nocao de convergencia de uma sucessao e aquelaque se obtem olhando para o anel (resp. corpo) como um grupo ordenado (denso).

36. Exercıcio - Considere o corpo ordenado (Q,+, ·,≤) usual e a sucessao (xn)n∈N definida porxn = 1

n. Use o axioma de Arquimedes para provar que xn −→ 0.

Muitas das propriedades das sucessoes convergentes em R sao validas num grupo ordenadodenso. Destacamos algumas dessas propriedades que sao consequencia direta da densidade dogrupo. A unicidade do limite e uma das tais propriedades.

37. Observacao. Note que, nas demonstracoes de varios resultados em R, consideram-se δ > 0e δ′ > 0 tais que δ′ = δ

2. Esta propriedade e valida porque R e um corpo denso. Mais

geralmente, num grupo ordenado denso, para cada δ ∈ G, δ > 0, existe δ′ ∈ G, δ′ > 0 tal queδ′ + δ′ ≤ δ (basta tomar δ′ = min {λ, δ − λ} em que λ e tal que λ < δ; este λ existe porqueG e denso).

38. Num grupo ordenado denso, o limite de uma sucessao, quando existe, e unico.

39. Sejam (xn)n∈N e (yn)n∈N duas sucessoes num grupo ordenado denso G tais que lim xn < lim yn.Entao, tem-se definitivamente que xn < yn.

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40. Sejam (xn)n∈N e (yn)n∈N duas sucessoes convergentes num grupo ordenado denso G tais quese tenha xn < yn definitivamente. Entao, limxn ≤ lim yn.

41. Definicao (Subsucessao). Sejam G um grupo ordenado nao necessariamente denso ex = (xn)n∈N uma sucessao com valores em G. Seja y = (yn)n∈N outra sucessao com valo-res em G. A sucessao y diz-se uma subsucessao de x se existir uma aplicacao φ : N → Nestritamente crescente tal que y = x ◦ φ.

42. Seja φ : N → N uma aplicacao estritamente crescente. Mostre, por inducao matematica, queφ(n) ≥ n, ∀ n ∈ N.

43. Observacao fundamental. E muito conhecido que, no corpo ordenado (R,+, ·,≤), qualquersucessao definitivamente constante e convergente e, se uma sucessao converge, entao qualquersua subsucessao converge tambem. Estes dois resultados sao validos num grupo ordenado naonecessariamente denso. Na ultima seccao, veremos que estes dois fenomenos, juntamente comum outro resultado sobre subsucessoes, caracterizam completamente a nocao de convergencia.

44. Definicao (Limites infinitos). Sejam G um grupo ordenado denso e (xn)n∈N uma sucessaocom valores em G. Diz-se que a sucessao (xn)n∈N converge (impropriamente) ou tende para+∞ ou que o limite de (xn)n∈N e +∞, e escreve-se xn → +∞ ou lim xn = +∞, se

∀ δ ∈ G, δ > 0, ∃ p ∈ N : ∀ n ≥ p, xn > δ

Analogamente define-se quando xn → −∞ ou xn → ∞ (∞ sem sinal).

45. Algebra dos limites. Num grupo ordenado denso, as propriedades relativas a soma oudiferenca continuam a ser validas. Notamos que, relativamente ao produto, as regras saovalidas em qualquer corpo ordenado mas podem nao ser verdadeiras num anel ordenado.

46. Exercıcio - Sejam G um grupo ordenado e a ∈ G com a > 0.

a) Mostre que, se G e arquimediano, entao a sucessao (zn)n∈N definida por zn = na tendepara +∞.

b) Mostre que, se G nao e arquimediano, a sucessao (zn)n∈N definida por zn = na pode naoconvergir para +∞, tomando para G o produto lexicografico Q×Q e a = (0, 1) e provandoque zn < (1, 1), ∀ n ∈ N.

47. Definicao (Sucessao limitada). Num grupo ordenado G nao necessariamente denso, umasucessao (xn)n∈N diz-se limitada se o conjunto dos seus termos {xn : n ∈ N} for limitado (⇔{xn : n ∈ N} e majorado e minorado).

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48. Definicao (Sucessao de Cauchy). Num grupo ordenado G nao necessariamente denso,uma sucessao (xn)n∈N diz-se de Cauchy se

∀ δ ∈ G, δ > 0, ∃ p ∈ N : ∀ m,n ≥ p, |xm − xm| < δ

49. Sejam G um grupo ordenado nao necessariamente denso e (xn)n∈N uma sucessao com valoresno grupo G. Prove os seguintes resultados.

a) Se (xn)n∈N converge para um elemento de G, entao (xn)n∈N e limitada.

b) Se (xn)n∈N converge para um elemento de G, entao (xn)n∈N e de Cauchy.

4 Espacos topologicos

Note que a nocao de convergencia usual no espaco R dos numeros reais e um caso particularda convergencia definida num grupo ordenado. Existem em R caracterizacoes de convergenciade sucessoes utilizando apenas conjuntos abertos ou, mais geralmente, vizinhancas, tendo-se que todas estas caracterizacoes sao equivalentes (Exercıcio). Daremos agora a nocao deespaco topologico para melhor compreender que a estrutura usual de ordem emR desempenhaum papel importante na topologia e analise de R, especialmente no que respeita a equivalenciados teoremas fundamentais de R ao axioma do supremo. Comecaremos por mostrar outrascaracterizacoes de convergencia de sucessoes utilizando conjuntos abertos ou vizinhancas.

50. Considere o conjunto R equipado com a estrutura natural de corpo ordenado. Seja (xn)n∈Numa sucessao com valores em R e a ∈ R. Mostre que as seguintes condicoes sao equivalentes.

a) ∀ δ ∈ R, δ > 0, ∃ p ∈ N : ∀ n ≥ p, |xn − a| < δ

b) Para qualquer subconjunto U aberto de R, com a ∈ U , ∃ p ∈ N : ∀ n ≥ p, xn ∈ U

c) Para qualquer vizinhanca V de a, ∃ p ∈ N : ∀ n ≥ p, xn ∈ V

51. Considere o conjunto R equipado com a estrutura natural de corpo ordenado. Prove osseguintes resultados.

a) Os conjuntos R e ∅ sao abertos de R.

b) Se (Uj)j∈J e uma famılia qualquer (finita ou infinita) de subconjuntos abertos de R entaoa sua uniao

∪j∈J Uj e um subconjunto aberto de R.

c) Se F1, · · · , Fk e uma famılia finita de subconjuntos fechados de R entao a sua intersecao∩j∈J Uj e um subconjunto fechado de R.

52. Definicao (Espaco topologico). Seja X um conjunto. Uma coleccao T de subconjuntosde X diz-se uma topologia sobre X se

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i) Os subconjuntos X e ∅ pertencem a Tii) Se (Uj)j∈J e uma famılia qualquer (finita ou infinita) de subconjuntos deX que pertencam

a T entao a sua uniao∪

j∈J Uj pertence tambem a Tiii) Se F1, · · · , Fk e uma famılia finita de subconjuntos de X que pertencam a T entao a sua

intersecao∩

j∈J Uj pertence tambem a T

Os subconjuntos que pertencem a T sao chamados subconjunos abertos deX. Um subconjuntoF de X diz-se fechado se o seu complementar e aberto, isto e, X\F ∈ T . O par (X, T ) diz-seum espaco topologico.

Dito de modo simples, uma topologia em X consiste em escolher arbitrariamente uma colecaoT de subconjuntos de X, chamados subconjuntos abertos de X tais que o vazio e o espacointeiro sao subconjuntos abertos de X, a uniao de uma famılia qualquer (finita ou infinita)de subconjuntos abertos de X e um subconjunto aberto de X e a intersecao de uma famıliafinita de subconjuntos abertos de X e um subconjunto aberto de X.

i) O vazio e o espaco inteiro sao subconjuntos abertos de X

ii) A uniao de uma famılia qualquer (finita ou infinita) de subconjuntos abertos de X e umsubconjunto aberto de X

iii) A intersecao de uma famılia finita de subconjuntos abertos de X e um subconjunto abertode X

Algumas definicoes - Sejam (xn)n∈N uma sucessao com valores em X, a um ponto de X eA um subconjunto de X.

i) xn −→ a se ∀ U ∈ T ∧ a ∈ U, ∃ p ∈ N : ∀ n ≥ p, xn ∈ U

ii) O ponto a diz-se aderente a A se ∀ U ∈ T ∧ a ∈ U, U ∩ A = ∅iii) Um subconjunto V de X diz-se uma vizinhanca de a se existe U ∈ T tal que a ∈ U ⊂ V

iv) Etc, etc, etc . . .

53. Exemplo - Seja X igual a Z ou a Q ou a R, equipado com a estrutura natural de anel/corpoordenado. Entao a classe T de todos os subconjuntos abertos no sentido usual define umatopologia sobre X, chamada topologia usual ou canonica de X.

54. Exercıcio - Seja X = {a, b, c, d, e}. Considere as classes de subconjuntos de X definidas por

T1 = {X, ∅, {a}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d, e}}

T2 = {X, ∅, {a}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d}}T2 = {X, ∅, {a}, {c, d}, {a, c, d}, {a, b, d, e}}

a) Mostre que T1 e uma topologia sobre X.

b) Mostre que, na classe T2, o axioma da uniao falha e conclua que T2 nao e uma topologiasobre X.

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c) Mostre que, na classe T3, o axioma da intersecao falha e conclua que T3 nao e uma topologiasobre X.

55. Exercıcio - Sejam X um conjunto e T a classe de todos os subconjuntos de X. Mostreque T e uma topologia sobre X, chamada topologia discreta. O par (X, T ) chama-se espacotopologico discreto. Mostre que este espaco e de Hausdorff.

56. Exercıcio - Sejam X um conjunto e T = {X, ∅}. Mostre que T e uma topologia sobre X,chamada topologia caotica. O par (X, T ) chama-se espaco topologico caotico.

57. Exercıcio - Sejam X = {a, b, c} e T = {X, ∅, {a}}. Mostre que (X, T ) e um espaco to-pologico.

58. Exercıcio - Seja X = {a, b, c, d, e}. Considere as classes de subconjuntos de X definidas por

T1 = {X, ∅, {a}, {a, b}, {a, c}}

T2 = {X, ∅, {a, b, c}, {a, b, d}, {a, b, c, d}}

T2 = {X, ∅, {a}, {a, b}, {a, c, d}, {a, b, c, d}}

a) Mostre que, na classe T1, o axioma da uniao falha e conclua que T1 nao e uma topologiasobre X.

b) Mostre que, na classe T2, o axioma da intersecao falha e conclua que T2 nao e uma topologiasobre X.

c) Mostre que T3 e uma topologia sobre X.

59. Exercıcio Sejam X = R e T a classe constituıda por R, ∅ e todos intervalos da formaAq =]q,+∞[, com q ∈ Q.

a) Mostre que

]√2,+∞[=

∪q∈Q, q>

√2

Aq

b) Conclua que T nao e uma topologia sobre R.

60. Exercıcio - Sejam X = R e T a classe constituıda por R, ∅ e todos intervalos da formaAa =]a,+∞[, com a ∈ R. Mostre que T e uma topologia sobre R.

61. Exercıcio - Sejam X = N e T a classe constituıda por ∅ e todos subconjuntos de N da formaAn = {n, n+ 1, n+ 2}, com n ∈ N.

a) Mostre que T e uma topologia sobre N.

13

b) Determine os pontos aderentes e de acumulacao do conjunto A = {4, 13, 29, 37}.c) Determine os subconjuntos fechados de N.

62. Exercıcio - Sejam X = {a, b, c, d, e} e T a classe definida por

T = {X, ∅, {a}, {a, b}, {a, c, d}, {a, b, c, d}, {a, b, e}}

a) Mostre que T e uma topologia sobre X.

b) Determine a aderencia dos subconjuntos {a}, {b} e {c, e}.c) Determine os subconjuntos fechados de X.

d) Determine o conjunto dos pontos de acumulacao dos subconjuntos A = {c, d, e} e {b}.

Nos exercıcios seguintes, salvo indicacao em contrario, considere o conjunto R (resp. Q)equipado com a topologia associada a estrutura natural de corpo ordenado.

63. Mostre que a sucessao (xn)n∈N definida por xn = (−1)n n+1n

nao e convergente em Q. Seraconvergente em R?

64. Considere em Q a sucessao (xn)n∈N definida por xn = (−1)n. Mostre que |xn+1 − xn| = 2 econclua que a sucessao nao e de Cauchy. Sera de Cauchy em R?

65. Considere as sucessoes (xn)n∈N e (yn)n∈N definidas por xn = 5n+1n

e yn = 2+ n+1n. Mostre que

as sucessoes sao monotonas e limitadas e conclua que sao convergentes.

66. Considere a sucessao (xn)n∈N definida porx1 = 1

xn+1 =xn+3

3∀ n ≥ 2

a) Mostre, por inducao, que xn < 32, ∀ n ∈ N e conclua que a sucessao e crescente.

b) Conclua que a sucessao e convergente e calcule o seu limite.

67. Seja (xn)n∈N uma sucessao tal que

0 < xn < xn+1 < 1

a) Justifique que a sucessao e convergente.

b) Indique o supremo e o ınfimo do conjunto dos termos da sucessao. Este conjunto temmaximo? E mınimo?

14

68. Seja A um subconjunto de R nao vazio e majorado. Seja s = sup A.

a) Mostre que existe uma sucessao (xn)n∈N com valors em A tal que xn −→ s.

b) Mostre que, se A nao tem maximo, a sucessao (xn)n∈N pode ser escolhida de modo queseja estritamente crescente.


xn = xn−1

n!∀ n ≥ 2

a) Mostre que a sucessao e monotona e limitada.

b) Conclua que a sucessao e convergente e calcule o seu limite.

70. Considere as sucessoes (xn)n∈N, (yn)n∈N e (zn)n∈N tais que

• zn = xn · yn• (xn)n∈N e limitada

• (yn)n∈N tende para zero.

Mostre que zn −→ 0.

71. Sejam (xn)n∈N e (yn)n∈N duas as sucessoes tais que

• (xn)n∈N e monotona

• (yn)n∈N e limitada

• ∀ n ∈ N |xn − yn| < 1n

Mostre que ambas sucessoes sao convergentes e convergem para o mesmo limite.

72. Seja (xn)n∈N uma sucessao com valores em R crescente e majorada. Mostre que a sucessaoconverge para o supremo do conjunto dos termos da sucessao. Enuncie o resultado analogopara sucessoes decrescentes e minoradas.

73. Seja (xn)n∈N uma sucessao com valores em R crescente e nao majorada. Mostre que a sucessaotende para +∞. Enuncie o resultado analogo para sucessoes decrescentes e nao minoradas.

74. Dadas as sucessoes xn = (−1)n

n2 , yn = 1 + (−1)n e zn = 2n+1

2n+1indique as que sao limitadas e as

que sao convergentes. Indique ainda o supremo, o ınfimo, o maximo e o mınimo, se existirem,do conjunto dos termos das sucessoes.

15

75. Considere as sucessoes (xn)n∈N, (yn)n∈N e (zn)n∈N definidas por

• x1 = 0, x2 = 1, xn+2 =xn+xn+1

2

• y1 = −1, yn+1 = −2yn

• z1 = 1, zn+1 =√2 + zn

Indique as que sao majoradas, minoradas e limitads.

76. Aplicando a definicao de limite, mostre que:

a) 1−3n2n

→ −32

b) 1− n+1n+2

→ 0

c) sinnxn

→ 0

d) (1− n2 → −∞e) (−1)n

√n → ∞

77. Considere a sucessao (xn)n∈N definida por xn = 2n5n+3

.

a) Mostre que 14≤ 2n

5n+3≤ 2

5.

b) Calcule o limite de(

2n5n+3

)n.

78. Exercıcio - Considere a sucessao (xn)n∈N definida por xn = 2n+43n−2

.

a) Calcule o termo de ordem 9.

b) Determine a ordem do termo que e igual a 710.

c) Mostre que a sucessao e monotona.

d) Verifique que todos os termos da sucessao sao maiores do que 23.

e) Justifique que a sucessao e limitada, isto e, existem duas constantes reais K e L tais que,para todo n ∈ N, se tenha K ≤ xn ≤ L.

f) Justifique que a sucessao e convergente.

79. Exercıcio - Considere a sucessao (xn)n∈N definida por xn = 2n−3n+1

.

a) Calcule x3 e x7.

b) Determine a ordem do termo que e igual a 53.

c) Mostre que a sucessao e monotona.

d) Verifique que nao existe nenhum termo da sucessao que e igual a 53.

e) Verifique que todos os termos da sucessao sao inferiores a 2.

f) Justifique que a sucessao e limitada, isto e, existem duas constantes reais K e L tais que,para todo n ∈ N, se tenha K ≤ xn ≤ L.

16

g) Justifique que a sucessao e convergente.

80. Considere a sucessao (xn)n∈N definida por xn = 1n− 1.

a) Determine, justificando, o valor logico da proposicao

∀ δ > 0, ∃ p ∈ N : ∀ n ≥ p, |xn| < δ.

b) Verifique que xn ∈]− 1, 0] ∀ n ∈ N.

c) Justifique que a sucessao e limitada.

d) Calcule lim xn

yn, em que yn = (−1)nn.

81. Considere a sucessao (xn)n∈N definida por

xn =

3n+12n

se n = 2k, k ∈ N

5n+12n

se n = 2k − 1, k ∈ N

A sucessao (xn)n∈N e convergente? Justifique.


xn =

n!

4n+5se n < 5

2 se n ≥ 5

a) Mostre que a sucessao e monotona (em sentido lato, isto e, monotona mas nao estritamentemonotona; as sucessoes constantes sao crescentes em sentido lato mas nao estritamentecrescentes (e sao tambem decrescentes em sentido lato mas nao estritamente decrescentes)).

b) Calcule o seu limite.

83. Mostre que a sucessao (xn)n∈N definida por

xn =

2n+ 1 se n ≤ 3

nn+1

se n > 3

nao e monotona.

84. Mostre que as seguintes sucessoes (xn)n∈N sao divergentes.

a) xn = (−1)n · 2 + 3

b) xn = (−1)n · 2n

c) xn = (−1)n · nn2+1

+ 32(−1)n

17

d) xn = ( 1n)(−1)n

e) xn = sen(nπ2)

85. Calcule o limite das seguintes sucessoes.

a) lim 3n−33n

b) lim 5n−2×3n

5n+1+3n+1

c) lim(

1√n+1+

√n+√n−

√n+ 1

)d) lim

(13

)n × 4

√16nn+3

e) lim( sen(n+π)

n2+2

)f) lim

(1 + 2

n

)ng) lim

(1− 1

n+1

)nh) lim

(2n−13n+2

)n86. Mostre que as seguintes sucessoes sao divergentes.

(a) xn = (−1)n × 2 + 3

(b) xn = (−1)n × 2n

(c) xn = 2n+ (−1)n 1n

(d) xn = (−1)n nn2+1

32(−1)n

(e) xn = ( 1n)(−1)n

(f) xn = sennπ2

(g) xn = n2+1n

+ (−1)n n2+1n

87. Calcule o limite de cada uma das seguintes sucessoes.

(a) lim (n+ 3

n+ 1)2n

(b) lim (n+ 5

2n+ 1)n

(c) lim (1− 3

n2)n

(d) lim (n+ 1

n2+

2n − 3n+1

2n+1 − 3n)

18

5 Ciclo fundamental

Nesta seccao, salvo indicacao em contrario, considere o conjunto R (resp. Q) munido datopologia associada a estrutura natural de corpo ordenado.

88. Sucessoes de Cauchy nao convergentes em Q. Provar o seguinte:

a) Mostrar que existem numeros irracionais (√2 por exemplo, utilizando o teorema de Pitagoras

com catetos iguais a 1)

b) Construir duas sucessoes (xn)n∈N e (yn)n∈N de Cauchy com valores em Q tais que

x2n < 2 < y2n e yn − xn −→ 0

c) Construcao:

i) X = {x ∈ Q : x > 0 ∧ x2 < 2}ii) Y = {y ∈ Q : y > 0 ∧ y2 > 2}iii) Mostrar que cada elemento de X < cada elemento de Y

iv) Fixar arbitrariamente x0 ∈ X e y0 ∈ Y (⇒ x0 < y0 ou o intervalo . . . e naodegenerado).

v) c =ponto medio do intervalo, justificar que c ∈ Q e escrever [x0, y0] = [x0, c] ∪ [c, y0]

vi) Escolher o intervalo que tem uma extremidade em X e outra em Y e denotar esteintervalo por [x1, y1]. Portanto x2

1 < 2 < y21. Repetir o processo de divisao deste novointervalo.

vii) Temos x2n < 2 < y2n e yn − xn = y0−x0

2n−→ 0

viii) Mostrar que ambas sucessoes sao de Cauchy

ix) Mostrar que se uma converge, a outra converge tambem para o mesmo limite e queeste limite ao quadrado = a 2

x) Mostrar que a equacao x2 = 2 nao tem solucao em Q

89. Teorema de Cauchy-Bolzano - Uma sucessao real e convergente em R se, e so se, e deCauchy.

90. Princıpio do encaixe - Seja J1 = [a1, b1], . . . , Jn = [an, bn] . . . uma famılia de intervalos deR indexada em N tal que

• Jn e fechado e limitado, para cada n ∈ N

• J1 ⊃ J2 ⊃ · · · ⊃ Jn ⊃ . . .

• bn − an −→ 0

Entao

i) As sucessoes (an)n∈N e (bn)n∈N sao convergentes e convergem para o mesmo ponto c ∈ R.

ii) O ponto c pertence a todos intervalos e e o unico ponto nestas condicoes.

19

91. Princıpio do supremo e do ınfimo - Todo o subconjunto nao vazio e majorado de R (resp.minorado) tem supremo (resp. ınfimo).

92. Teorema da sucessao monotona e limitada - Toda sucessao com valores em R que sejamonotona e limitada e convergente.

93. Teorema da Bolzano-Weierstrass - Toda o subconjunto de R infinito e limitado tem umponto de acumulacao.

94. Teorema da sucessao limitada - Toda sucessao com valores em R que seja limitada admiteuma subsucessao convergente em R.

Cauchy −BolzanoAA

))SSSSSS

SSSSSS

S

Suc− Lim

44iiiiiiiiiiiiiiiiEncaixe

��Bolzano−Weier

OO

Supremo

uukkkkkk

kkkkkk

k

Suc−Mon− Lim

jjUUUUUUUUUUUUUUUUU

6 Espacos de convergencia

95. Definicao (Espaco de convergencia). Seja X um conjunto. Denote por Σ o conjunto detodas as sucessoes com valores em X e seja cv : Σ −→ P(X) um processo de convergencia.O triplo (X,Σ, cv) diz-se um espaco de convergencia se a aplicacao cv satisfazer o axioma deFrechet e o axioma de Alexander.

Algumas definicoes - Sejam U , F e A tres subconjuntos de um espaco de convergencia Xe a um ponto de X.

i) O conjunto U diz-se sequencialmente aberto se cada sucessao em U , convergente para umponto de U , esta definitivamente em U

ii) O conjunto F diz-se sequencialmente fechado se para cada sucessao (xn)n∈N em F , se tem

cv((xn)n∈N) ⊂ F

iii) O ponto a diz-se sequencialmente interior a A se cada sucessao (xn)n∈N ∈ Σ, convergentepara a, esta definitivamente em A.

20

iv) O ponto a diz-se sequencialmente aderente a A se existe uma sucessao (xn)n∈N ∈ Σ,convergente para a, que esteja definitivamente em A.

v) Etc, etc, etc . . .

Nota - convergencia de Moore-Smith. A nocao de espaco de convergencia dada emBourbaki, Kelley ou Kuratowski e um pouco mais restrita do que aquela que estamos aconsiderar nestas notas. Segundo estes autores, um processo de convergencia devera satisfazerainda o segundo axioma de Alexander. Um processo de convergencia satisfazendo os quatroaxiomas e geralmente conhecido como convergencia de Moore-Smith. A nocao de integral deRiemann num intervalo limitado e um exemplo de convergencia de Moore-Smith. Veremosabaixo que a nocao usual de convergencia no conjunto R obtida a partir da ordem usual e umexemplo de convergencia de Moore-Smith.

96. Exercıcio - Seja X um espaco topologico (resp. grupo ou anel ordenado, espaco metrico).Mostre que X, equipado com a nocao usual de convergencia, e um espaco de convergencia, cha-mado espaco de convergencia canonico ou usual associado a topologia (resp. ordem, metrica)de X.

97. Exercıcio - Sejam X um conjunto e Σ o conjunto de todas as sucessoes com valores emX. Para cada α ∈ Σ, seja cv(α) = X. Mostre que (X,Σ, cv) e um espaco de convergencia,chamado espaco de convergencia caotico. Mostre ainda que, se ♯X > 1, entao (X,Σ, cv) naoe de Hausdorff.

98. Exercıcio - Sejam X um conjunto e Σ o conjunto de todas as sucessoes com valores em X.Para cada α ∈ Σ definitivamente igual a a, seja cv(α) = {a}. Mostre que (X,Σ, cv) e umespaco de convergencia de Hausdorff, chamado espaco de convergencia discreto.

99. Exercıcio - Seja Σ o conjunto de todas as sucessoes com valores em R. Para cada α ∈ Σ seja

cv(α) = {p ∈ R : α esta definitivamente em ]p− δ,+∞[, ∀ δ > 0}

a) Mostre que (R,Σ, cv) e um espaco de convergencia.

b) Determine cv(α), onde α e a sucessao definida por

i) αn = 1n

ii) αn = − 1n

iii) αn = n

iv) αn = (−1)n 1n

v) αn = −n

vi) αn = 1 + (−1)n

c) Mostre que cv(α) = ∅ sse α e minorada.

d) De exemplo de uma sucessao α convergente para a qual exista uma subsucessao α′ de α detal modo que cv(α) ( cv(α

′).

21


cv(α) = {p ∈ R : α esta definitivamente em ]p,+∞[}

a) Determine cv(α), onde α e a sucessao definida por

i) αn = 1n

ii) αn = − 1n

iii) αn = n

iv) αn = (−1)n 1n

v) αn = −n

vi) αn = 1 + (−1)n

b) Mostre que cv(α) = ∅ sse α e minorada.

c) Mostre que (R,Σ, cv) nao e um espaco de convergencia.


cv(α) = {p ∈ R : α esta definitivamente em [p,+∞[}

a) Determine cv(α), onde α e a sucessao definida por

i) αn = 1n

ii) αn = − 1n

iii) αn = n

iv) αn = (−1)n 1n

v) αn = −n

vi) αn = 1 + (−1)n

b) Mostre que cv(α) = ∅ sse α e minorada.

c) Mostre que (R,Σ, cv) nao e um espaco de convergencia.

102. Considere o conjunto Σ das sucessoes com valores em R×R definido por

ξ ∈ Σ ⇔ ∃ a ∈ R ∃ p ∈ N ∀ n ≥ p π2(ξn) = a

em que π2 : R×R −→ R denota a segunda projecao. Seja ξ ∈ Σ e considere a ∈ R e p ∈ Rtais que, para cada n ≥ p, π2(ξn) = a. Define-se o conjunto de convergencia de ξ como sendoo conjunto

cv(ξ) = {(x, a) ∈ R×R : x ∈ R}

a) Mostre que (R×R,Σ, cv) e um espaco de convergencia.

b) Diga, justificando, se (R×R,Σ, cv) e um espaco de Hausdorff.

c) Mostre que o conjunto A definido por

A = {(x, a) ∈ R×R : x ∈ R, a ∈ R e fixo}

e sequencialmente aberto.

22

103. Seja X um espaco de convergencia. Mostre que toda a subsucessao de uma sucessao em Xdefinitivamente constante e definitivamente constante.

104. Sejam X um conjunto (nao necessariamente um espaco de convergencia) e Z um subconjuntode X. Considere uma sucessao (xn)n∈N com valores em X. Mostre que (xn)n∈N nao estadefinitivamente em Z sse (xn)n∈N esta frequentemente em Zc.

105. Sejam X um espaco de convergencia e p ∈ X. Sejam x = (xn)n∈N e y = (yn)n∈N duas sucessoescom valores em X. Mostre que a sucessao (zn)n∈N definida por z2n = xn e z2n+1 = yn convergepara p sse p ∈ cv(x) ∩ cv(y).

106. Sejam X um espaco de convergencia de Hausdorff e (xn)n∈N uma sucessao em X que naadmite subsucessoes convergentes. Mostre que o conjunto dos termos da sucessao (xn)n∈N eum conjunto sequencialmente fechado.

107. De um exemplo de um espaco de convergencia (que nao seja de Hausdorff) e de uma sucessaocom valores nesse espaco que nao admita subsucessoes convergentes e cujo o conjunto dos seustermos nao seja fechado.

108. Sejam X um espaco de convergencia e (xn)n∈N uma sucessao em X. Seja φ : N −→ N umaaplicaao com a seguinte propriedade:

∀ n ∈ N ∃ p ∈ N (m ≥ p ⇒ φ(m) ≥ n)

Mostre que se (xn)n∈N converge para x ∈ X entao a sucessao (zn)n∈N definida por zn = xφ(n)

converge para x.

109. Sejam X e Y dois espacos de convergencia e f : X −→ Y uma aplicacao.

a) Diga o que entende por aplicacao sequencialmente contınua.

b) Mostre que se f e contınua entao f e sequencialmente contınua. A recıproca sera verda-deira? Justifique.

Nos exercıcios seguintes, salvo indicacao em contrario, considere o conjunto R (resp. Q)equipado com a estrutura de convergencia obtida a partir da estrutura de ordem natural.

110. Sabendo que limx→0

ex − 1

x= 1, calcule o limite lim

e1n − 11n

. Generalize este resultado para

qualquer sucessao convergente para zero.

23


xn =n!

nn

(a) Calcule os cinco primeiros termos da sucessao.

(b) Mostre que a sucessao (xn)n∈N e decrescente.

(c) Mostre que a sucessao (xn)n∈N e limitada e conclua que a sucessao e convergente.

(d) Mostre que xn ≤ 1n, ∀ n ∈ N e use o teorema das sucessoes enquadradas para calcular

o limite de (xn)n∈N.


xn = cos(nπ) + 2 sin[(2n+ 1)

π

2

](a) Sendo k um numero natural, escreva as expressoes das subsucessoes (x2k)k∈N e (x2k−1)k∈N.

(b) A sucessao (xn)n∈N e convergente? Justifique.


xn =n∑

j=1

1

j2 + 4n2

(a) Mostre que an ≤ xn ≤ bn, ∀ n ∈ N, em que an = 15n

e bn = n1+4n2 ∀ n ∈ N.

(b) Calcule o limite de (xn)n∈N.

114. Calcule limxn+1

xn

em que (xn)n∈N e a sucessao definida por xn = 9n − 2× 3n.

115. Seja (xn)n∈N uma sucessao nao majorada. Mostre que limxn = +∞.

116. Mostre que a sucessao (xn)n∈N definida por

xn =(−1)n

3n+ (−1)n−1

e limitada mas nao e convergente.

117. Seja (xn)n∈N uma sucessao crescente. Suponha que a subsucessao dos termos de ordem par emajorada. Mostre que a sucessao (xn)n∈N e convergente.

24


xn+1 =xn+3

3

(a) Mostre que ∀ n ∈ N, xn ≤ 32.

(b) Mostre que (xn)n∈N e crescente.

(c) Conclua que (xn)n∈N e convergente e calcule o seu limite.

119. Sejam (xn)n∈N uma sucessao convergente e (xn)n∈N uma sucessao divergente. Mostre que asucessa soma e convergente.

120. Diga o valor logico de cada uma das seguintes proposicoes.

(a) Se o conjunto dos termos de uma sucessao nao tem maximo nem mınimo, a sucessao edivergente.

(b) Uma sucessao de termos positivos e com limite igual a zero e decrescente.

(c) Se a subsucessao dos termos de ordem par e a subsucessao dos termos de ordem ımpar deuma sucessao (xn)n∈N convergem para o mesmo numero real a entao a sucessao (xn)n∈Nconverge para a.

(d) Seja (xn)n∈N uma sucessao e suponhamos que a subsucessoes (x2k)k∈N e (x2k−1)k∈N con-vergem para o mesmo numero real a entao a sucessao (xn)n∈N converge para a.

121. Considere a sucessao (xn)n∈N definida por xn = nn

n!

(a) Calcule a expressao designatoria de xn+1

xn.

(b) Mostre que a sucessao (xn)n∈N e crescente.

(c) Calcule lim (xn)n∈N.

122. Considere a sucessao (xn)n∈N definida por xn = 2n+1n

(a) Mostre que a sucessao (xn)n∈N e monotona.

(b) Mostre que a seguinte proposicao e verdadeira

∀ n ∈ N, xn ∈ B(2, 3)

(c) Justifique que a sucessao e convergente e calcule o seu limite.

123. Mostre que toda a sucessao real definitivamente monotona admite uma subsucessao monotona.

25

124. Seja (xn)n∈N uma sucessao real definitivamente crescente. Mostre que (xn)n∈N e limitada ssequalquer sua subsucessao crescente e limitada.

125. Seja (xn)n∈N uma sucessao real.

a) Mostre que (xn)n∈N e ilimitada sse (xn)n∈N admite uma subsucessao monotona ilimitada.

b) Conclua que (xn)n∈N admite uma subsucessao que nao converge, desde que (xn)n∈N sejailimitada.

126. Seja A um subconjunto nao vazio de R.

a) Mostre que A e sequencialmente limitado sse A e limitado.

b) Mostre que A e limitado sse para cada sucessao (an)n∈N com valores em A e para cadasucessao (λn)n∈N real convergente para zero, a sucessao (λnan)n∈N converge para zero.

127. De um exemplo de uma sucessao real ilimitada com subsucessoes convergentes.

128. Indique o valor logico da seguinte proposicao: em R existe uma sucessao limitada sem algumasubsucessao convergente.

129. No que se segue φ designa uma sucessao real e γ(φ) o conjunto dos seus sublimites.

a) De exemplo de uma sucessao φ em que γ(φ) = ∅.b) De exemplo de uma sucessao φ majorada em que γ(φ) = ∅ e o supremo do conjunto dos

termos de φ nao pertenca a γ(φ).

c) Diga, justificando, se e verdadeira a seguinte afirmacao: se γ(φ) tem supremo, entao estee maximo.

130. Sejam A um subconjunto de R e x ∈ R. Mostre que:

a) x e interior a A sse x e sequencialmente interior a A.

b) x e aderente a A sse x e sequencialmente aderente a A.

c) A e aberto sse A e sequencialmente aberto.

d) A e fechado sse A e sequencialmente fechado.

e) A e compacto sse A e sequencialmente compacto.

131. Seja (xn)n∈N uma sucessao real de Cauchy. Mostre que, se (xn)n∈N admite um sublimite, entao(xn)n∈N e convergente.

26

132. Seja (xn)n∈N uma sucessao real e a ∈ R.

a) Mostre que as seguintes condicoes sao equivalentes.

i) a e sublimite de (xn)n∈N

ii) ∀ δ > 0 ∀ n ∈ N ∃ p ≥ n : |xp − a| < δ

b) Mostre que (xn)n∈N converge para a sse toda a subsucessao de (xn)n∈N admite a como seusublimite.

133. Seja, para cada n ∈ N, Xn um subconjunto majorado e nao vazio de R tal que Xn ⊂ Xn+1.Considere a sucessao (xn)n∈N definida por xn = sup Xn. Mostre que as seguintes condicoessao equivalentes.

i) A sucessao (xn)n∈N e convergente.

ii) Existe um subconjunto X de R que seja majorado e que Xn ⊂ X, para todo n ∈ N.

134. De exemplos de conjuntos Xn majorados e nao vazio tais que Xn ⊂ Xn+1 e:

i) Todos os conjuntos Xn sejam infinitos e a sucessao definida pelo supremo de cada Xn sejaconvergente;

ii) Todos os conjuntos Xn sejam finitos e a sucessao definida pelo supremo de cada Xn sejadivergente.

135. Sejam (xn)n∈N e (yn)n∈N duas sucessoes limitadas.

a) Mostre que lim (−xn) = lim xn.

b) Mostre que lim xn + lim yn ≤ lim (xn + yn) ≤ lim (xn + yn) ≤ lim xn + lim yn

c) Mostre que, se (xn)n∈N for convergente, entao

lim (xn + yn) = lim xn + lim yn

lim (xn + yn) = lim xn + lim yn

136. James Alexander. Seja (xn)n∈N uma sucessao limitada. Para cada n ∈ N, define-se assucessoes (xn)n∈N e (xn)n∈N por

xn = sup {xk : k ≥ n}

xn = inf {xk : k ≥ n}

a) Mostre que as sucessoes (xn)n∈N e (xn)n∈N sao limitadas.

b) Mostre que (xn)n∈N e decrescente e que (xn)n∈N e crescente. Conclua que ambas sucessoessao convergente e que lim xn ≤ lim xn.

c) Sejam α = lim xn e ω = lim xn. Mostre que:

i) Os limites α e ω sao sublimites de (xn)n∈N

27

ii) Qualquer sublimite de (xn)n∈N esta entre α e β.

iii) lim xn = ω e lim xn = α.

d) Mostre que (xn)n∈N e convergente sse lim xn = lim xn.

137. Seja (xn)n∈N uma sucessao limitada. Mostre que o conjunto dos sublimites de (xn)n∈N e umsubconjunto compacto e nao vazio.

138. Sejam (xn)n∈N uma sucessao e φ : N −→ N uma aplicacao tal que lim xn = +∞. Seja a umnumero real tal que xn −→ a. Mostre que a sucessao (yn)n∈N definida yn = xφ(n), ∀ n ∈ N,converge para a.

139. Seja (xn)n∈N uma sucessao tal que a sucessao das somas parciais e limitada. Mostre quelim xn ≤ 0 e lim xn ≥ 0.

140. Calcule os sublimites das seguintes sucessoes.

a) xn = (−1)n

b) xn = sen (nπ4)

141. (Exer 49) Sejam G um grupo ordenado, (xn)n∈N uma sucessao com valores em G e a ∈ G.Mostre que

xn −→ a =⇒ (xn)n∈N e de Cauchy

142. (Exer 131) Sejam X um espaco de convergencia, A um subconjunto de X e x ∈ X. Mostreque

x e interior a A ⇐⇒ x e sequencialmente interior a A

143. Considere o conjunto R equipado com a estrutura natural de espaco de convergencia. Sejam(xn)n∈N uma sucessao com valores em R e a ∈ R tal que

xn 9 a

Mostre que existe uma subsucessao ξ de (xn)n∈N tal que

∀ η subsucessao de ξ =⇒ η 9 a

144. Considere o conjunto R equipado com a estrutura natural de espaco de convergencia. SejamA um subconjunto de R e x ∈ R um ponto de acumulacao de A.

i) Mostre que, para cada δ > 0,

]x− δ, x+ δ[ ∩ A e um subconjunto infinito

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ii) Mostre que, se (xn)n∈N e uma sucessao com valores em R e A e o conjunto definido por

A = {xn : n ∈ N}

entao existe uma subsucessao (ξn)n∈N de (xn)n∈N tal que ξ −→ x.

Referencias

[1] Bourbaki, N., General Topology, Part 1, Hermann, 1966.

[2] Kelley, J., General Topology, R. R. Donnelley Sons, Harrisonburg, 1955.

[3] Kuratowski, K., Topologie, volume II, PWN - Polish Scientific Publishers, 1961.

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