FATEC

Notas de Aulas de

Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares

Prof. Dr. Anderson Da Silva Vieira

2017

Sumario

Introducao 2

1 Matrizes 3

1.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Tipos especiais de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Operacoes com Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.1 Adicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.2 Multiplicacao por escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.3 Transposicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.4 Multiplicacao de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Determinantes 8

2.1 Desenvolvimento de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 Sistema Lineares 14

3.1 Definicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2 Sistemas Equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.3 Sistemas Escalonados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Respostas 19

Referencias 23

Introducao

Tais notas tem como referencias os seguinte livros: [3] [1], [4] e [2].

Capıtulo 1

Matrizes

1.1 Introducao

Representaremos uma matriz de m linhas e n colunas por:

Am×n =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

......

. . ....

am1 am2 . . . amn

= [aij ]m×n.

Usaremos sempre letras maiusculas para denotar matrizes, e quando quisermos es-

pecificar a ordem de uma matriz A, ou seja, o numero de linhas e colunas, escreveremos

Am×n.

Definicao 1.1.1. Duas matrizes Am×n = [aij ]m×ne Br×s = [bij ]r×s

sao iguais, A = B, se

elas tem o mesmo numero de linhas(m = r) e colunas (n = s) e todos os elementos sao iguais

(aij = bij).

1.2 Tipos especiais de Matrizes

Consideremos uma matriz com m linhas e n colunas que denotamos por Am×n.

Matriz Quadrada e aquela que tem o mesmo numero de linhas e colunas (m = n).

Matriz Nula e aquela que tem aij = 0, para todo i e j. Denotaremos por 0.

1.3 Operacoes com Matrizes 4

Matriz-Coluna e aquela que tem apenas uma coluna (n = 1).

Matriz-Linha e aquela que tem apenas uma linha (m = 1).

Matriz Diagonal e uma matriz quadrada (m = n) onde aij = 0, para todo i 6= j, isto e, os

elementos que nao estao na ”diagonal”sao nulos.

Matriz Identidade Quadrada e aquela que aii = 1 e aij = 0, i 6= j. Denotaremos por I.

Matriz Triangular Superior e aquela onde todos os elementos abaixo da diagonal sao

nulos, isto e, m = n e aij = 0, para i > j.

Matriz Triangular Inferior e aquela onde todos os elementos acima da diagonal sao nulos,

isto e, m = n e aij = 0, para i < j.

Matriz Simetrica e aquela onde m = n e aij = aji.

1.3 Operacoes com Matrizes

1.3.1 Adicao

A soma de duas matrizes de mesma ordem, Am×n = [aij] e Bm×n = [bij ], e uma matriz

m × n, que denotaremos A + B, cujos elementos sao somas dos elementos correspondentes de

A e B, ou seja,

A + B = [aij + bij ]m×n.

Propriedades: Dadas as matrizes A, B e C de mesma ordem m × n, temos

i) A + B = B + A (comutatividade)

ii) A + (B + C) = (A + B) + C (associatividade)

iii) A + 0 = A, onde 0 denota a matriz nula m × n.

1.3 Operacoes com Matrizes 5

1.3.2 Multiplicacao por escalar

Seja Am×n = [aij] e k ∈ R, entao definimos

k · Am×n = [kaij ]m×n.

Propriedades: Dadas as matrizes A e B de mesma ordem m × n e k, k1, k2 ∈ R,

temos

i) k(A + B) = kA + kB,

ii) (k1 + k2)A = k1A + k2A,

iii) 0 · A = 0,

iv) k1(k2A) = (k1k2)A.

1.3.3 Transposicao

Dada uma matriz A = [aij ]m×n, podemos obter uma outra matriz At = [bij ]n×m,

cujas linhas sao as colunas de A, ou seja, bij = aji. At e denotada a transposta de A.

1.3.4 Multiplicacao de Matrizes

Sejam A = [aij]m×n e B = [bij ]n×p. Definimos AB = [cuv]m×p, onde

cuv =n

∑

k=1

aukbkv = au1b1v + · · · + aunbnv.

Propriedades:

i) Em geral, AB 6= BA,

ii) AI = IA = A,

iii) A(B + C) = AB + AC, (distributiva a esquerda da multiplicacao, em relacao a soma)

1.4 Exercıcios 6

iv) (A + B)C = AC + BC, (distributiva a direita da multiplicacao, em relacao a soma)

v) (AB)C = A(BC), (assiciatividade)

vi) (AB)t = BtAt,

vii) 0 · A = A · 0 = 0.

1.4 Exercıcios

1. Sejam

A =

1 2 3

2 1 −1

; B =

−2 0 1

3 0 1

; C =

−1

2

4

e D =[

2 −1

]

.

Encontre:

(a) A + B

(b) A · C

(c) B · C

(d) C · D

(e) D · A

(f) D · B

(g) −A

(h) −D

2. Seja A =

2 x2

2x − 1 0

. Se A′ = A, entao determine o valor de x.

3. Se A e uma matriz simetrica, entao A − At = .

4. Se A e uma matriz diagonal, entao At = .

1.4 Exercıcios 7

5. Verdadeiro ou falso?

(a) (−At) = −(At)

(b) (A + B)t = Bt + At

(c) Se AB = 0, entao A = 0 ou B = 0.

(d) (k1A)(k2B) = (k1k2)AB

(e) (−A)(−B) = −(AB).

(f) Se A e B sao matrizes simetricas, entao AB = BA.

(g) Se A · B = 0, entao B · A = 0.

(h) Se podemos efetuar o produto A · A, entao A e uma matriz quadrada.

6. Se A2 = A · A, entao A =

−2 1

3 2

2

= .

7. Se A e uma matriz triangular superior, entao A2 e .

8. Determine os valores de x, y, z e w tal que

x y

z w

2 3

3 4

=

1 0

0 1

.

Capıtulo 2

Determinantes

Quando nos referirmos ao determinante, isto e, ao numero associado a uma matriz

quadrada A = [aij ] , escreveremos

det A ou |A| ou det[aij].

Entao

• det[a] = a

• det

a11 a12

a21 a22

= a11a22 − a12a21

• det

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

= a11a22a33+a12a23a31+a13a32a21−a13a22a31−a12a21a33−a11a23a32.

Propriedades

i) Se todos os elementos de uma linha(coluna) de uma matriz sao nulos, det A = 0.

ii) det A = det At.

iii) Se multiplicarmos uma linha da matriz por uma constante, o determinante fica multi-

plicado por esta constante.

iv) Uma vez trocada a posicao de duas linhas, o determinante troca de sinal.

2.1 Desenvolvimento de Laplace 9

v) O determinante de uma matriz que tem duas linhas(colunas) iguais e zero.

vi)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a11 . . . a1n

.... . .

...

bi1 + ci1 . . . bin + cin

.... . .

...

an1 . . . ann

∣

∣

∣

∣

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∣

∣

∣

∣

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∣

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∣

∣

∣

∣

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∣

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a11 . . . a1n

.... . .

...

bi1 . . . bin

.... . .

...

an1 . . . ann

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

+

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a11 . . . a1n

.... . .

...

ci1 . . . cin

.... . .

...

an1 . . . ann

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

vii) O determinante nao se altera se somarmos a uma linha outra linha multiplicada por uma

constante.

viii) det(A · B) = det A · det B

2.1 Desenvolvimento de Laplace

Ja vimos

|A| = det

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a32a21 − a13a22a31

−a12a21a33 − a11a23a32

= a11(a22a33 − a23a32) − a12(a21a33 − a23a31)

+a13(a32a21 − a22a31)

= a11 det

a22 a23

a32 a33

− a12 det

a21 a23

a31 a33

+ a13 det

a21 a22

a31 a32

= a11D11 − a12D12 + a13D13,

onde Dij e o determinante da submatriz da inicial, de onde a i-esima e a j-esima coluna

foram retiradas. Dij e chamada menor complementar do elemento aij . Se chamamos

complemento algebrico do elemento aij por Cij = (−1)i+jDij teremos

det A = a11C11 + a12C12 + a13C13,

2.1 Desenvolvimento de Laplace 10

assim para uma matriz de ordem n

det An×n =n

∑

j=1

aijCij .

Ao numero Cij chamamos cofator.

Com os cofatores podemos formar uma nova matriz A que sera chamada matriz dos

cofatores de A

A′ = [Cij].

Dada uma matriz quadrada A, chamaremos de matriz adjunta de A a transposta a

matriz dos cofatores de A

A = (A′)t.

Exemplo 2.1.1. Seja

B =

1 2 3

0 3 2

0 0 −2

.

Vamos calcular a adjunta de B.

B11 = (−1)1+1

3 2

0 −2

= −6, B12 = (−1)1+2

0 2

0 −2

= 0, B13 = (−1)1+3

0 3

0 0

= −0,

B21 = (−1)2+1

2 3

0 −2

= 4, B22 = (−1)2+2

1 3

0 −2

= −2, B23 = (−1)2+3

1 2

0 0

= 0,

B31 = (−1)3+1

2 3

3 2

= −5, B32 = (−1)3+2

1 3

0 2

= −2, B33 = (−1)3+3

1 2

0 3

= 3,

entao, a adjunta de B e

B = (B′)t =

−6 4 −5

0 −2 −2

0 0 3

.

Definicao 2.1.1. Dada uma matriz quadrada A de ordem n, chamamos de inversa de A

a uma matriz B tal que A · B = B · A = In, onde In e a matriz identidade de ordem n.

Escreveremos A−1 para a inversa de A.

2.1 Desenvolvimento de Laplace 11

Teorema 2.1.1. A · (A′)t = A · A = (det A)In.

Corolario 2.1.1.1. Seja An×n. Se det(A) 6= 0, entao

A−1 =1

det(A)A.

Exemplo 2.1.2. Seja

B =

1 2 3

0 3 2

0 0 −2

.

Vamos calcular a inversa B.

No Exemplo 2.1.1, ja calculamos sua adjunta, logo

B−1 =1

det(B)B =

1

−6.

−6 4 −5

0 −2 −2

0 0 3

=

1 −2

3

5

6

01

3

1

3

0 0 −1

2

.

Suponhamos que An×n tenha inversa: A · A−1 = In, entao

det A−1 =1

det A.

Logo, concluımos que se A tem inversa

i) det A 6= 0;

ii) det A−1 =1

det A.

Teorema 2.1.2. Uma matriz quadrada A admite uma inversa se, e somente se, det A 6= 0.

Para encontrar a matriz inversa podemos usar o seguinte procedimento: “Operamos

simultaneamente com as matrizes A e I, atraves de operacoes elementares:

(I) Permutar duas linhas de A;

2.2 Exercıcios 12

(II) Multiplicar uma das linhas de A por um numero real λ 6= 0;

(III) Somar a uma das linhas da matriz A uma outra linha dessa matriz multiplicada por

um numero real;

ate chegamos a matriz I na posicao correspondente a matriz A”:

(A : I) −→ (I : A−1).

2.2 Exercıcios

1. Calcule det

2 0 −1

3 0 2

4 −3 7

(a) pela definicao;

(b) em relacao a segunda coluna, usando o desenvolvimento de Laplace.

2. Dadas as matrizes A =

1 2

1 0

e B =

3 −1

0 1

, calcule

(a) det A + det B

(b) det(A + B)

3. Dada A =

2 3 1 −2

5 3 1 4

0 1 2 2

3 −1 −2 4

, calcule

(a) D23

(b) C23

(c) det A.

4. Calcule det A, onde

2.2 Exercıcios 13

(a) A =

3 −1 5 0

0 2 0 1

2 0 −1 3

1 1 2 0

(b) A =

3 0 0 0 0

19 18 0 0 0

−6 π −5 0 0

4√

2√

3 0 0

8 3 5 6 −1

5. Encontre A−1, onde

(a) A =

4 −1 2 −2

3 −1 0 0

2 3 1 0

0 7 1 1

(b) A =

1 0 x

1 1 x2

2 2 x2

Capıtulo 3

Sistema Lineares

3.1 Definicoes

Definicao 3.1.1. Dados os numeros reais α1, · · · , αn, β, (n ≥ 1), a equacao

α1x1 + . . . + αnxn = β,

onde os xi sao variaveis em R, damos o nome de equacao linear sobre R nas incognitas

x1, . . . , xn.

Uma solucao dessa equacao e uma sequencia de n numeros reais1(nao necessariamente

distintos entre si), indicada por (b1, . . . , bn), tal que

α1b1 + . . . + αnbn = β

e uma frase verdadeira.

Definicao 3.1.2. Um sistema de m equacoes lineares com n incognitas (m, n ≥ 1) e conjunto

de m equacoes lineares, cada uma delas com n incognitas, consideradas simultaneamente. Um

1Tambem chamada de n-upla

3.2 Sistemas Equivalentes 15

sistema linear se apresenta do seguinte modo

S :

α11x1 + . . . + α1nxn = β1

α21x1 + . . . + α2nxn = β2

......

...

αm1x1 + . . . + αmnxn = βm

.

Uma solucao do sistema acima e uma n-upla (b1, . . . , bn) de numeros reais que e

solucao de cada uma das equacoes do sistema.

Definicao 3.1.3. Dizemos que um sistema linear S e incompatıvel se S nao admite nenhuma

solucao. Um sistema linear que admite uma unica solucao e chamado compatıvel determi-

nado. Se um sistema linear S admitir mais de uma solucao, ele recebe o nome de compatıvel

indeterminado.

Se βi = 0, 1 ≤ i ≤ m, o chamamos S de homogeneo. A n-upla (0, 0, . . . , 0) e

solucao de S neste caso e por isto todo sistema homogeneo e chamado compatıvel. Chamamos

(0, 0, . . . , 0) de solucao trivial.

Corolario 3.1.0.1 (Regra de Cramer). Se o sistema linear AX = B e tal que A e n × n e

invertıvel, entao a solucao do sistema e dada por

xj =det(Aj)

det(A), 1 ≤ j ≤ n,

em que Aj e a matriz que se obtem de A substituindo-se a sua j-esima coluna por B.

3.2 Sistemas Equivalentes

Seja S um sistema linear de m equacoes com n incognitas. Interessa-nos considerar

os sistemas que podem ser obtidos de S de uma das seguintes maneiras:

(I) Permutar duas das equacoes de S.

3.3 Sistemas Escalonados 16

(II) Multiplicar uma das equacoes de S por um numero real λ 6= 0.

(III) Somar a uma das equacoes do sistema uma outra equacao desse sistema multiplicada

por um numero real.

3.3 Sistemas Escalonados

Consideremos um sistema linear de m equacoes com n incognitas que tem o seguinte

aspecto:

S :

α1r1xr1

+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . + α1nxn = β1

α2r2xr2

+ . . . . . . . . . . . . + α2nxn = β2

...

αkrkxrk

+ . . . + αknxn = βk

0xn = βk+1

,

onde αirixri

6= 0, 1 ≤ i ≤ k, e cada ri ≥ 1.

Se tivermos 1 ≤ r1 < r2 < . . . rn ≤ n diremos que S e um sistema linear escalonado.

Proposicao 3.1. Todo sistema linear S e equivalente a um sistema escalonado.

Suponhamos que um sistema tenha sido escalonado e ao retirar todas as equacoes

do tipo 0 = 0 restaram p equacoes com n incognitas.

(I) Se a ultima das equacoes restantes e

0x1 + . . . + 0xn = βp, βp 6= 0

entao o sistema e incompatıvel;

(II) Se p = n o sistema e compatıvel determinado;

(III) Se p < n, entao o sistema e compatıvel indeterminado.

3.4 Exercıcios 17

Definicao 3.3.1. Dadas uma matriz Am×n, seja Bm×n a matriz escalonada equivalente a A.

O posto de A, denotado por p, e o numero de linhas nao nulas de B. A nulidade de A e o

numero n − p.

3.4 Exercıcios

1. Resolva o sistema de equacoes, escrevendo as matrizes ampliadas, associadas aos novos

sistemas.

2x − y + 3z = 11

4x − 3y + 2z = 0

x + y + z = 6

3x + y + z = 4

2. Reduza as matrizes a forma escada reduzida por linhas.

(a)

1 −2 3 −1

2 −1 2 3

3 1 2 3

(b)

0 1 3 −2

2 1 −4 3

2 3 2 −1

(c)

0 2 2

1 1 3

3 −4 2

2 −3 1

3. Calcule o posto e a nulidade das matrizes da questao 3.

4. Determine k, para que o sistema admita solucao.

−4x + 3y = 2

5x − 4y = 0

2x − y = k

3.4 Exercıcios 18

5. Encontre todas as solucoes do sistema

x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 − 7x5 = 14

2x1 + 6x2 + x3 − 2x4 + 5x5 = −2

x1 + 3x2 − x3 + x5 = −1

.

6. Resolva o sistema, usando a Regra de Cramer:

x − 2y + z = 1

2x + y = 3

y − 5z = 4

.

Respostas

CAPITULO 1

1. (a)

−1 2 4

5 1 0

(b)

15

−4

(c)

6

1

(d)

−2 1

4 −2

8 −4

(e)[

0 3 7

]

(f)[

−7 0 1

]

(g)

−1 −2 −3

−2 −1 1

(h)[

−2 1

]

2. x = 1

3. Matriz nula

4. A

3.4 Exercıcios 20

5. (a) V

(b) V

(c) F,

1 0

0 0

.

0 0

0 1

=

0 0

0 0

(d) V

(e) F

(f) F. Dica: A =

1 1

1 1

, B =

0 0

0 1

(g) F. Dica: A =

1 1

0 0

, B =

1 −1

−1 1

(h) V

6.

7 0

0 7

7. Triangular superior.

8. x = −4, y = 3, z = 3, w = −2.

CAPITULO 2

1. (a) 21

(b) 21

2. (a) 1

(b) 3

3. (a) 36

(b) -36

(c) 0

3.4 Exercıcios 21

4. (a) 12

(b) 0

5. (a)

−1 −1 4 −2

−3 −4 12 −6

11 14 −43 22

10 14 −41 21

(b)

1 − 2

x1

x

−1 −x−2

xx−1

x

0 2

x2 − 1

x2

6. x =36

23, y = − 3

23, x = −19

23.

CAPITULO 3

1. x = −1, y = 2, z = 5

2. (a)

1 0 0 −4

0 1 0 −3

0 0 1 −1

(b)

1 0 −7

2

5

2

0 1 3 −2

0 0 0 0

(c)

1 0 2

0 1 1

0 0 0

0 0 0

3. (a) Posto: 3; Nulidade:0.

Indice Remissivo 22

(b) Posto: 2; Nulidade:1.

(c) Posto: 2; Nulidade:0.

4. k = −6

5. x1 = 1 − 3x2 − x5, x3 = 2 + x5, x4 = 3 + 2x5.

6. x = −6

7, y =

33

7, z =

1

7

Referencias

[1] J.L. Boldrini. Algebra linear. HARBRA, 1986.

[2] C. Henry Edwards and David E. Penney. Introducao a algebra linear. Prentice-Hall, 1988.

[3] Gelson Iezzi and Samuel Hazzan. Fundamentos de Matematica Elementar: Sequencias,

Matrizes, Determinantes e Sistemas, volume 4. Atual Editora, 8a edition, 2013.

[4] S.J. Leon. Algebra linear com aplicacoes. LTC, 1999.