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números Y oPerACIones | 11PAmer CATÓLICA reguLAr 2015-III 1

COIII2NOP11

FrACCIones

números Y oPerACIones

Números racionales

Al conjunto de números racionales se le representa por Q y matemáticamente se define:

Q = {a/b / a ∈ Z ∧ b ∈ Z; b ≠ 0}

FracciónEs cualquier par ordenado (a, b) de números, escrito de la forma a/b.

Notación:

fracción = ab

NumeradorDenominador

←←

b ∈ +a ∈ +

a ≠ bo

A. El denominador Indica en cuántas partes iguales se divide a la unidad.

B. El numerador Indica cuántas de esas partes se están considerando.

Ejemplo: Utilizando un gráfico represente a la fracción:

f = 38

← Número de partes que se toma← Número de partes en que se divide la unidad

f = 38

Clasificación

A. Por la relación entre sus términos1. Propia

f = ab

es propia ⇔ a < b ∨ f < 1.

Ejemplos:25

; 310

; 78

; 1726

; 1840

2. Impropia

f = ab

es impropia ⇔ a > b ∨ f > 1.

Ejemplos:

74

; 106

; 117

; 2710

; 329

B. Por su denominador

1. Fracción decimalf = a

b es decimal ⇔ b = 10n, n ∈ Z+.

Ejemplos:18100

; 1761000

; 1310

; 2610000

2. Fracción comúnf = a

b es común ⇔ b ≠ 10n, n ∈ +.

Ejemplos:34

; 78

; 119

; 320

C. Por grupos de fracciones

1. Fracciones homogéneas Si todas las fracciones tienen el mismo denominador. Ejemplos: • 7

16; 1

16; 3

16

• 25

; 35

; 65

2. Fracciones heterogéneas Si al menos una de ellas tiene diferente denominador. Ejemplos:

38

; 710

; 54

; 34

Desarrollo Del Tema

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Conceptos importantes

A. Número mixto Son aquellos que tienen parte entera y parte fraccionaria.

Parte Fraccionaria

Parte Entera

ab

ab

Ab + ab

A = A + =

Ejemplo: 73

4 = 7 + 3

4 = 7 × 4 + 3

4 = 31

4

B. Fracciones equivalentes Son aquellos que teniendo términos distintos tienen el mismo valor. Ejemplo: Son fracciones equivalentes:

23

<> 46

<> 69

<> ...

C. Simplificacióndefracciones Es un procedimiento en el cual, dada una fracción, se busca una equivalente pero de menores términos. Ejemplo: Simplificando la fracción 54/90.

5490

<> 2745

<> 915

<> 35

÷2

÷2

÷3

÷3

÷3

÷3

D. Fracción irreductible Es aquella que no se puede simplificar, es decir sus términos son primos entre sí. f = a

b donde a y b: PESI

Ejemplo:310

; 27

; 118

; 2516

E. Expresión general de las fracciones equiva-lentes

Sea:

f = ab

una fracción irreductible ⇒ feq = aKbK

, K ∈ +

Operaciones con fracciones

1. Adición y sustracción 1er Caso: Con fracciones homogéneas

718

– 1118

+ 1218

+ 118

= 7 – 11 + 23 + 118

= 2018

= 109

2do Caso: Con fracciones heterogéneas.

35

– 415

+ 720

= 36 – 16 + 2118

= 4160

MCM (5, 15, 20)

2. Multiplicación

3649

× 712

× 149

= 36 × 7 × 1449 × 12 × 9

4 1

1 1

2

= 812

= 23

3. División

1316

÷ 2625

= 1316

1 × 25

262

= 2532

o también

1613

2625

= 13 × 2516 × 26

= 2532

2

1

Clasificacióndelosnúmerosdecimales

Número Decimal – Puro

– Mixto

- Decimal Exacto

- Decimal Inexacto

- Periódico

- No Periódico (irracionales)

1. Decimal exacto Es aquel número que tiene una cantidad finita de cifras decimales.

Ejemplos: 7,26 0,345

Cálculo de su fracción generatriz• Numerador Se coloca todo el número, sin contar la coma decimal.

• Denominador Un número formado por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el número. Ejemplos:

• 0,25= 25100

= 14

• 1,348= 1348

1000 = 337

250

2. Decimal periódico puro Un número decimal será periódico puro cuando su parte decimal conste de una o más cifras que se repitan indefinidamente.

Ejemplos:

•2,484848..........=2,48 •0,5555............=0,5

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Cálculo de su fracción generatriz

• Numerador Se coloca todo el número, sin contar la coma decimal y se le resta la parte entera.

• Denominador Un número formado por tantos nueves como cifras tenga el período

Ejemplos:

• 0,48 = 4899

= 1633

• 2,342 = 2342 – 2999

= 2340999

= 260111

3. Decimal periódico mixto Un decimal será periódico mixto cuando su parte decimal tenga 2 partes bien definidas, una que no se repite, seguida de otra que se repite indefinidamente.

Ejemplos:

• 2,4626262..........=2,462 • 0,168888............=0,168

Cálculo de su fracción generatriz• Numerador Se coloca todo el número, sin contar la coma, y se le resta el número formado por la parte decimal no periódica, incluyendo a la parte entera.

• Denominador Un número formado por tantos nueves como cifras tenga el período, seguido de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal no periódica. Ejemplos:

• 2,586 = 2586 – 25990

• 0,162 = 162 – 16900

Problema 1De un grupo de alumnos la tercera parte no contestó una pregunta; de los que contestaron, 3/5 respondieron mal. ¿Qué parte del total de alumnos respondió correctamente?

PUCP 2003Nivel fácil

A. 4/15 C. 6/12B. 6/15 D. 4/11

Resolución• Nocontestaron: 1

3T ⇒ 2

3 T si contestaron

• Contestaronperomal:

35.23 T ⇒ 2

5.23 T contestaron bien

415

T

Errores más comunesFaltas al simplificar fracciones.

Respuesta: A. 4/15

Problema 2A los alumnos de sexto y sétimo ciclo se los manda a realizar un trabajo, el cual

Problemas resuelTos

lo pueden realizar individualmente o en parejas. Si deciden trabajar en parejas, uno de ellos debe ser de sexto y otro de sétimo obligatoriamente. Sabiendo que los 2/3 de los alumnos de sexto y los 3/5 de los alumnos de sétimo trabajan en pareja, ¿qué fracción del total de alumnos trabajan individualmente?

PUCP 2007Nivel intermedio

A. 519

C. 1319

B. 719

D. 819

Resolución

23

(6to) = 35

(7mo)

6to

7mo = 9k

10k Total = 19k

Individualmente:

13

(9k) + 25

(10k) = 7k

Fracción:

7k19k

= 719

Errores más comunesFalta de orden.

Respuesta: B. 7/19

Problema 3Si: m = 0,41 y n = 0,32, siendo m y n decimales periódicos puros, calcular m – n. PUCP 2007 - II

Nivel intermedio

A. 0, 3 C. 10/10B. 0,03 D. 11/11

Resolución

Planteamiento:Nos piden: m – n

Análisis e interpretación del problema:m = 0, 41 = 0, 41 = 41

99

n = 0; 32 = 0, 32 = 3299

Piden: m – n = 4199

3299

– = 9

99

= 1

11 = 1

11

Errores más comunesNo saber hallar la fracción generatriz de un decimal periódico puro.

Respuesta: D. 111

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ejercicios De clase

Nivel I

1. Efectuar:

0, 25 + 59

+ 0,4

54

A. 1 C. 5/8B. 2/3 D. 75/16

2. ¿Cuántas fracciones propias e irreductibles cuyo producto de términos sea 60 existen?A. 2 C. 4B. 3 D. 5

3. ¿Cuántas fracciones irreductibles cuyo denominador sea 15 hay entre 1

3 y 4

5?

A. 1 C. 3B. 2 D. 4

4. Hallar una fracción equivalente a 7/12 sabiendo que si al término menor le sumamos 70 para que el valor de la fracción no se altere, entonces el otro término debe triplicarse.A. 14/24 C. 28/48B. 21/36 D. 35/60

Nivel II

5. Calcular m + n si:0,mn + 0,nm = 1,4

A. 13 C. 10B. 15 D. 14

6. ¿Cuántas fracciones impropias existen de términos pares consecutivos que sean mayores que 23/18?A. 1 C. 3B. 2 D. 4

7. Sabiendo que:a11

+ b9

= 0,(a+1)(a+b)

hallar el valor de b si a ≠ 0.A. 1 C. 3B. 2 D. 4

8. Calcule la última cifra de A: A = abc4 + ba3 + b2 Si: a = b + 1; c = a + 1 y

15212

= 0,...nb

A. 3 C. 7B. 5 D. 9

9. Un caño A llena un depósito en 5 horas, otro caño B llena el mismo depósito en 10 horas. Si los dos trabajan juntos, ¿cuánto tiempo se demorarán en llenar todo el depósito?A. 15 horas C. 15/2 horasB. 5 horas D. 10/3 horas

10. Se reparte una herencia entre cuatro hermanos. Al primero le toca 1/3 de la herencia, al segundo 1/4 y al tercero $200. Si el monto de la herencia asciende a $1200, ¿qué fracción del total recibe el cuarto hermano?A. 1/5 C. 1/4B. 1/3 D. 1/6

11. Se tiene un material volátil, cuyo peso es 729 g; que por cada hora que pasa pierde 1/3 de su peso. ¿Cuánto pesará este material al cabo de 5 horas?A. 32 g C. 64 gB. 96 g D. 48 g

12. Después de sacar de un tanque 1 600 litros de agua, el nivel de la misma descendió de 2/5 a 1/3. ¿Cuántos litros habrá que añadir para llenar el tanque hasta sus 5/8?A. 8 000 C. 7 000B. 15 000 D. 1 000

13. Un jugador pierde 1/6 de su dinero, vuelve a apostar y gana ahora 2/5 de lo que le quedaba; en una tercera apuesta pierde 2/7 de lo que ahora tiene, y en un cuarto juego gana los 3/10 de lo que le restaba. Si al terminar de jugar ésta persona se da cuenta que ha ganado S/.9, ¿con cuánto empezó a jugar?A. S/.210 C. S/.140B. S/.70 D. S/.108

14. A y B pueden hacer una obra en 20 días. Trabajan juntos durante 12 días y se retira A, terminando B el resto en 12 días. ¿En cuánto tiempo A haría toda la obra?A. 30 días C. 80 díasB. 48 días D. 60 días

15. ¿Cuál será la superficie de un rectángulo, sabiendo que aumentando una de sus dimensiones en sus 2/9 y la otra en sus 3/11, la superficie del rectángulo aumenta a 1 400 m2?A. 700 m2 C. 900 m2

B. 800 m2 D. 1000 m2

16. Hallar la hora en que se cumple que la fracción transcurrida del día es igual a los 3/7 de la fracción del día que falta transcurrir.A. 7:10 a.m. C. 7:12 a.m.B. 7:00 a.m. D. 7:24 a.m.

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Nivel III

17. Se ha mezclado 10 litros de ron con 2 litros de gaseosa, pero como la mezcla tenía mucha gaseosa, se consumieron 3 litros y se sustituyeron por ron. ¿Cuál es la fracción de gaseosa en la nueva mezcla?A. 2/7 C. 1/6B. 1/8 D. 2/3

18. A, B y C pueden hacer una obra en 15 días. Trabajan en común durante 5 días, al cabo de las cuales se retira A, continuando el trabajo B y C durante otros 5 días, logrando hacer las 3/8 de lo que faltaba; pero B no pudo continuar con el trabajo, por lo cual C termina la obra en 10 días. ¿En cuántos días pueden hacer el trabajo cada uno, trabajando solo?A. 60, 120 y 24 días C. 10, 20 y 24 díasB. 16, 12 y 15 días D. 12, 20 y 15 días