Numeração

Princípios

Determinação de símbolos para representar números: sem preocupar-se das eventuais grandezas

associadas, com regras (algoritmos) de cálculo, capaz de representar qualquer numero.

Cardinal

Associação de um símbolo à unidade e reprodução do símbolo o número de vezes necessário.

Complicado para a representação de números grandes.

Ordinal

Associação de cada número a um símbolo.

Complicado porque precisa de uma quantidade ilimitada de símbolos.

Base

Agrupamento das unidades em coleções. Para economizar a quantidade de símbolos e simplificar a escrita de número grande, usamos agrupamentos.

A base 10 (sistema decimal) é hoje a mais divulgada, mas existem e são usadas várias outras bases: 2 (binário), 5, 12, 20, 60.

Base 5

Indianos Ainda hoje, em certas

regiões da India, os dedos da mão são usados da forma seguinte: uma mão para as unidades, uma mão para as coleção de cinco unidades.

Romanos I, V, X, L, C, D, M

Outro exemplo

Base 12

Uma das explicações da base 12 é ligada a um princípio de contagem usando as falanges para representar as unidades e o polegar para enumerar.

Uma das avantagens da base 12 é que 12 tem muitos divisores. Ele tem mais divisores que qualquer número minor que ele.

Base 20

A base 20 foi usada como base de numeração pelos Astecas e Maias. Ainda hoje, os povos celticos na formação literal dos numeros usam a base 20.

Uma explicação da aparição da base 20 é de origem antropomórfica: temos 20 dedos (pés e mãos).

Base 60

A base 60 era usada pelos Sumérios e Babilônios. Existe hoje vestígios dessa numeração: o tempo (60

segundos=1 minuto, 60 minutos=1 hora),

Ângulos (graus)

Base 10

A numeração decimal é também de origem antropomórfica: temos dez dedos.

Usamos os algarismos árabes. De um outro lado, a base 10 é muito pouco

eficiente para a representação dos números (não é um número primo, tem poucos divisores).

Numeração de posição

A numeração de posição constitua uma revolução, no mesmo tempo por sua economia de símbolos e sua potência: dez símbolos (em base 10), representação de qualquer numero inteiro.

Primeira notação de posição

O sumérios usavam uma notação de posição dos números: a posição dos símbolos são associados com as potencias da base.

Notação de posição

O principio da notação de posição (base b), os an são sempre inferiores a b: caso inteiro

N é caso geral (com fração)

N é

1 1 01 1 0...n n

n nN a b a b a b a b

1 0 11 0 1... ...n n m

n n mN a b a b a b a b a b

1 0...n na a a

1 0 1... , ...n n ma a a a a

Princípios da evolução

A evolução da numeração é baseada sobre: Princípios de economia (símbolos, memoria,

etc). Disponibilidade de sistema de representação

(pedras, mão, cordas, escrita, etc). Determinação de algoritmos de cálculo.

Limitações

Certos números não são representáveis. Irracionais, transcendente, etc números representáveis com uma base não são

representáveis com uma outra. Infinito

Ambigüidades: 0,999... = 1 ?

Representação com computador

Binário O computador conserva e manipula a informação

a partir de tensão de sinais (alta e baixa). Internamente, os números são representados em base 2 (a partir de 0 e 1).Exemplo:

como escreve-se 53 (notação em base 10) em base 2 Como escreve-se 12,5 em base 2

Representação com computador

Outras base de representação dos números são também usados Octal: os bits são agrupados por grupo de 3 (base

8) Hexadecimal: bits agrupados por grupo de 4

(base 16).

Algoritmo de conversão

O número a converter é dividido por 2, em seguida o quociente é dividido por 2 e assim sucessivamente ate obter um quociente de 1.

Algoritmo de conversão

Para a parte fracionaria, ela é sucessivamente multiplicado por 2 ate obter uma parte fracionaria do resultado igual a 0.

Aplicações

Conversão de 26,75 ; 12,09375 ; 1,1 em base 2

Verificar que um número fracionario tem uma representação finita em base 2 se ele é da forma p/q, com q potencia inteira de 2.

Escrever algoritmos de conversão de números decimais em números em base 2, 8 ou 16.

Representação com computador

O computador trabalho por grupo de bits (palavra) . Em geral, essas palavras são de 16 ou 32 bits, e hoje existem computador manipulando palavra de 64 bits.

Em geral, ele usa uma palavra para representar os números inteiros (INT, LONG, SHORT). O bit de maior peso é usado como sinal do número (0 positivo e 1 negativo).

Inteiros

O tamanho dos inteiros são: 2 bytes para um short: como um bit reservado

para o sinal, são representaveis números de –215 (-32768) a 215-1 (32767). –1 é representado 1s111111111111111 e não 1s000000000000001.

4 bytes para um long: são representaveis numeros de –231 (-2147483648) a 231-1 (2147483647)

Floating point number

Floating point number (Norma IEEE): No caso dos reais, diversas partes das palavras

são usadas com sentidos diferentes. Um número é em geral representado da forma seguinte:

Um bit é reservado para o sinal, um grupo de bit (característica) representa o exponente e um grupo representa os algarismos significativos (mantissa).

Floating Point Number

Para poder representar com a característica, exponente positivo e negativo, um “bias” é usado: exponente=característica -”bias”.

Para precisão simples, a repartição é a seguinte:

Tabela de repartição dos bits em função da precisão

Floating Point Number

Precisão simples: a característica tem um valor de 1 a 254 (0 e 255 são

reservados). a mantissa tem os digitos significativos, considerando um

bit “escondido”: o número representado, escecendo a parte do exponente e do sinal, é da forma 1.M.

Número especiais

No standard IEEE, além dos números finitos, são definidos números específicos: - e , para os infinitos. NaN (not-a-number), para representar resultados

de operações como 0/0, - , 0x, -0, definido com o inverso de -.

Binary Decimal Codification

Outro tipo de codificação usada pelas calculadoras: BCD (Binary Decimal Codification).

O formato BCD, mais caro em termo de memória, é mais perto da notação decimal (0,1 tem uma representação finita em BCD). Os algarismos em notação decimal são representados por grupo de 4 bits (0 a 9 são representados com bits que podem representar número ate 15).

S E E D1 D2 D3 D4

Binary Decimal Codification

Nesse sistema, un número é assim representado:

S E E D1 D2 D3 D4

S E-16384N=(-1) .10 .D1,D2D3D4...

Conclusão

A representação dos números depende do suporte material para representar e calcular (binário com o computador).

O mesmo número pode ter uma representação finita ou infinita dependendo da base:

10

1

3em base 10 ou base 12, 100,1 em base 10 ou base 2

O computador usa representação finita, ele não pode representar de forma exata os números reais.