UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS

INSTITUTO DE CINCIAS EXATAS

PROGRAMA DE PS-GRADUAO EM MATEMTICA

MESTRADO PROFISSIONALIZANTE EM MATEMTICA

NMEROS PERPLEXOS:UMA ABORDAGEM PARA O ENSINO

MDIO

Jlio Czar Marinho da Fonseca

MANAUS

2013

UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS

INSTITUTO DE CINCIAS EXATAS

PROGRAMA DE PS-GRADUAO EM MATEMTICA

PROGRAMA DE MESTRADO PROFISSIONALIZANTE EM MATEMTICA

Jlio Czar Marinho da Fonseca

NMEROS PERPLEXOS: UMA ABORDAGEM PARA O ENSINO

MDIO

Dissertao apresentada ao Programa de Mes-

trado Prossional em Matemtica da Universi-

dade Federal do Amazonas, como requisito para

obteno do ttulo de Mestre em Matemtica

Orientador: Prof. Dr. Afredo Wagner Martins Pinto

MANAUS

2013

JLIO CZAR MARINHO DA FONSECA

NMEROS PERPLEXOS: UMA ABORDAGEM PARA O ENSINO

MDIO

Dissertao apresentada ao Programa de Mes-

trado Prossional em Matemtica da Universi-

dade Federal do Amazonas, como requisito para

obteno do ttulo de Mestre em Matemtica.

Aprovado em 07 de maro de 2013.

BANCA EXAMINADORA

Prof. Dr. Afredo Wagner Martins Pinto

Presidente

Profa. Dr. Marcus Antonio Mendona Marrocos

Membro

Prof. Dr. Carlos Gustavo Tamm de A. Moreira

Membro

AGRADECIMENTOS

Primeiramente agradeo a Deus, por me acompanhar em todos os momentos.

A minha esposa, Angela de Albuquerque Nunes, pelo amor, compreenso e apoio sem-

pre presente em minha vida.

A Beatriz Nunes Fonseca, minha princesinha, que me d foras para lutar e buscar

vencer todas as batalhas que a vida impe;

A minha me, Rocilda Marinho da Fonseca, em memria e a meu pai, Belmiro Cidade

Fonseca, o homem mais guerreiro que conheo;

A meus irmos, pelo apoio, pela acolhida e orientao nos momentos dicieis.

Agradeo ao meu orientador Prof. Dr. Alfredo Wagner, por sua competncia e pelo

seu tempo dedicado a mim sempre que necessrio.

Agradeo a todos os meus professores do Departamento de Matemtica da UFAM e

aos amigos que me ajudaram.

Finalmente agradeo a banca examinadora pelas sugestes dadas, que contribuiram

para a melhoria desta dissertao.

RESUMO

Este trabalho visa apresentar a alunos do ensino mdio o conjunto dos nmeros perplexos.

A abordagem utilizada ser a analogia entre este conjunto e o conjunto dos nmeros

complexos, sero denidas operaes de adio e multiplicao de nmeros que compem

o sistema dos nmeros perplexos, bem como ser analisado a escrita deste nmeros na

forma polar, O sistema perplexo ser situado como estrutura algbrica e tambm ter sua

representao geomtrica discutida ao longo do trabalho. Alm disso, faremos o estudos de

equaes polinomiais em P. Por m, um estudo formal sobre a forma exponencial exigirque ocorra um desvio no escopo do trabalho, mas que se justica devida necessidade de

apresentar de forma mais precisa resultados apresentados no captulo IV.

Palavras-chave: Nmeros Reais, Nmeros Complexos, Nmeros Perplexos.

ABSTRACT

This work aims present to high school students the perplex numbers, the approach is the

analogy between the set of complex numbers and the set of perplex, are dened operations

of addition and multiplication of numbers that make up the system of numbers perplex,

and will be located as structure algebraic and geometric representation will also have

throughout in this work. As an application of this system will be answered polynomial

equations of 1

e 2

grade. Finally, a study formal on the writing exponential require a

deviation occurs in the scope of work, but it is justied due to the need of introduce a

more formal resulted presents in chapter IV.

Keyswords: Real numbers, Complex numbers, Perplex numbers .

Sumrio

Introduo 1

1 Um Breve Histrico do surgimento dos cojuntos numricos:N,Z,Q e R 31.1 N,Z,Q e R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.1 Conjunto dos Nmeros Naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2 Conjunto dos Nmeros Inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.3 Conjunto dos Nmeros Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.4 Conjunto dos Nmeros Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 O corpo dos Nmeros Complexos 9

2.1 Como surgiram os nmeros complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 O corpo dos Nmeros Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3 Conjugado e Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.4 A Forma Polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.5 Extrao de Razes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.6 Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Funes Hiperblicas 18

3.1 Consequncias da denio das funes hiperblicas . . . . . . . . . . . . . 18

3.1.1 Algumas Identidades das Funes Hiperblicas . . . . . . . . . . . . 19

3.1.2 Frmula de Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2 Resumo das Funes Hiperblicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2.1 Cosseno Hiperblico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2.2 Seno Hiperblico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2.3 Tangente Hiperblico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4 Conjunto dos Nmeros Perplexos 24

4.1 Forma Algbrica de um Nmero Perplexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.2 Conjugado de um Nmero Perplexo e o Simtrico em relao Bissetriz

dos quadrantes mpares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.3 Divisores de zero em P. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1

4.4 Forma Polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.4.1 A "norma"de um Nmero Perplexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.4.2 Funo Radial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.5 Geometria do Plano Perplexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.6 A Multiplicao na Forma Polar de Nmeros Perplexos . . . . . . . . . . . 36

4.6.1 Diviso de dois Nmeros Perplexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.6.2 Potenciao e Radiciao nos Perplexos . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.6.3 Razes de Nmeros Perplexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.7 Equaes do 1

e 2

grau em P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.7.1 Equao do 1

grau em P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.7.2 Equao polinomial do 2

grau em P. . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.7.3 Equaes polinmiais em P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.7.4 Forma Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5 Estruturas Algbricas 49

5.1 Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.1.1 Subgrupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.1.2 Homomorsmo de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.1.3 Ncleo de Homomorsmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.1.4 Isomorsmo de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.2 Anel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.2.1 Subanis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.2.2 Corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.2.3 Operaes com Ideais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.2.4 Ideais Maximais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.2.5 Anis Quocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.2.6 Homomorsmo de Anis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

6 Forma Polar dos Nmeros Perplexos 59

6.1 Funo ngulo em U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

6.2 Clculo da Forma Polar de u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6.2.1 Potenciao e Radiciao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

7 Consideraes Finais 61

Referncias Bibliogrcas 63

LISTA DE SMBOLOS

N Conjunto do Nmeros NaturaisZ Conjunto dos Nmeros InteirosR Conjunto do Nmeros ReaisP Conjunto do Nmeros PerplexosB1 Conjunto das Bissetrizes dos quandrantes mpres

B2 Conjunto das Bisstrizes quadrantes pares

Rf Conjunto das Raizes do polinmio f

R2 Plano Cartesiano(u) Funo Radial

up "mdulo" PerplexoB1 B2 conjunto dos elementos singularesP/B1 e P/B2 aneis quocientecard(Rf ) cardinalidade do conjunto Rf

Arg(z) Argumento Principal

= isomorfo

Introduo

No Ensino Mdio, os alunos tm o primeiro contato formal com o corpo dos nmeros

complexos, passam a saber que existe um ente que representa

1, alm disso, passama operacionalizar com esses nmeros e aprendem tambm a escrev-los em sua forma tri-

gonomtrica; a principal justicativa da utilizao deste nmeros neste nivel est na sua

utilizao para resolver equaes polinomiais

Sabendo que os alunos do ensino mdio so conhecedores da lgebra que envolve os n-

meros complexos e sabendo que o conjunto dos nmeros perplexos possui uma lgebra

anloga quanto as operaes que propomos uma abordagem do anel dos nmeros per-

plexos para discentes do Ensino Mdio, de maneira anloga a dos nmeros complexos,

conceituando-os como par ordenado e denindo a soma e a multiplicao neste conjunto.

Outro ponto relevante neste trabalho apresentar a unidade perplexa p.

Apesar de no ser um conjunto divulgado em livros textos do nivel mdio, o conjunto dos

nmeros perplexos no novo em [9]; Fjelstad apresentou um aplicao dos nmeros per-

plexos para interpretar o fenmeno superluminal [1]. Deste modo, estendeu a relatividade

especial para o caso v > c. os nmeros perplexos foram apresentados pela primeira vezem 1919, por L. E. Dickson, e ao longo do tempo est sendo utilizada com lucrativos ns

para resolver problemas fsicos especialmente na teoria da relatividade.

importante mencionar que na literatura, os nmeros perplexos recebem diversas nome-

claturas em [7] podemos encontar estes nomes: nmeros hiperblicos, nmeros espao-

tempo, split-complex numbers ou double numbers, em alguns artigos a unidade perplexa

tambm chamada de unidade alucinada ou fantasmagrica. Este trabalho visa no

s apresentar o conjunto dos nmeros perplexos no nivel mdio, como tambm divul-

gar os avanos matemticos realizados na matemtica moderna, fazer conhecimento "no-

vos"chegar ao conhecimento de futuros matemticos.

Para fazer a abordagem dos nmeros perplexos devemos ver a estrutura que ser tomada

na analogia, assim faz-se necessrio descrevermos o conjunto dos nmeros complexos, o

que ser feito no captulo 2. Enunciaremos as propriedades e principais resultados deste

conjunto, para as demonstraes indicamos as referncias [18] e [8]. Outro ponto, discu-

tido nos complexos sobre a quantidade de razes n-simas da expresso zn = w, bem

como suas mais variadas formas de apresentao. No corpo dos complexos existe a escrita

sob a forma trigonomtrica, de maneira anloga buscaremos uma escita para os nmeros

1

perplexos; no entanto, ao passo que avanamos, sentimos a necessidade de apresentar-

mos as funes hiperblicas, para esse propsito foi construido o captulo 3, o qual ser

largamente usado na forma polar de um nmero perplexo. Devidamente apresentados os

nmeros complexos e as funes hiperblicas, passamos a discutir a estrutura dos nmeros

perplexos.

O captulo 4, foi escrito especialmente para esse propsito, tomar o conjunto dos nmeros

perplexos anlogo ao conjunto dos complexos, neste captulo procuramos denir com pre-

ciso o que tratamos como um nmero perplexo, as operaes de adio e multiplicao,

a interpretao geomtrica destes conceitos, buscamos um meio de explorarmos a escrita

hiperblica e a exponencial destes nmeros. Tambm trataremos das equaes polinomi-

ais com coecientes perplexos e mostraremos que um polinmio mnico de grau n, possui

no mximo n2 razes perplexas, para isso utilizaremos uma base idempotente, daremos

exemplos de polinmios de grau n, que possui exatamente n2 razes. No faremos a apli-

cao fsica, mas indicamos [22] para uma anlise da aplicao. Outro ponto importante

neste captulo esta na presena de caracteristicas neste conjunto que no aparecem nos

complexos, nem nos reais. Ao falarmos de estruturas algbricas deixamos a formalizao

das propriedades da forma polar para o captulo 6, tendo em vista uma abordagem mais

sosticada para este aspecto, distoando do escopo do nivel mdio.

o captulo 5, vem repleto de estrutas algbricas, pois, buscamos formalizar a escrita per-

plexa na forma polar, sabendo que a apresentao foi feita a contento no captulo 4,

buscaremos aplicar os conceitos algbricos dos nmeros perplexos atravs de sua caracte-

rizao como um anel comutativo com unidade. Alm de mostrarmos neste capitulo que

os conjunto quociente P/B1 e P/B2 so isomorfos a R

O capitulo 6 foi idealizado para tratar de maneira formal a forma exponencial dos nme-

ros perplexos. Nas consideraes nais faremos a comparao entre os dois conjutos, bem

como listaremos algumas caractersticas presentes nos perplexos que no encontramos nos

complexos.

2

Captulo 1

Um Breve Histrico do surgimento dos

cojuntos numricos:N,Z,Q e R

1.1 N,Z,Q e R

1.1.1 Conjunto dos Nmeros Naturais

comum encontrar nos livros didticos do Ensino Mdio histrias da origem dos n-

meros naturais. consenso entre os autores utilidade fundamental desses nmeros,

"Enumerar elementos de um conjunto". LIMA (2006, p. 38) arma que a importncia

dos nmeros naturais provm do fato de que eles constituem o modelo matemtico que

torna possvel o processo de contagem. Porm, os livros do Ensino Mdio no ressal-

tam que a fundamentao lgica-matemtica do conjunto dos nmeros naturais, no foi

a primeira a acontecer, dando aos discentes a impresso de que os acontecimentos sobre

a estruturao dos cojuntos numricos ocorreu de forma linear, o que no verdadeiro,

como ca claro nas palavras de HEFEZ (1993, p. 22). "Os nmeros naturais ainda re-

sistiram s investidas por algum tempo. Segundo vrios matemticos da poca no seria

possvel construir tais nmeros".

Para LIMA (2010, p. 2), deve-se ao matemtico, Giuseppe Peano (1858-1932), a estru-

tura axiomtica aos nmeros naturais que se adota atualmente, e que consiste em quatro

axiomas que caracterizam os nmeros naturais completamente:

1. Todo nmero natural tem um sucessor, que ainda um nmero natural;

2. Nmeros naturais diferentes tm sucessores diferentes.

3. Existe um nico nmero natural 1 que no sucessor de nenhum outro

natural.

4. Se um conjunto de nmeros naturais contm o nmero 1 e contm tambm

o sucessor de cada um dos seus elementos, ento esse conjunto contm todos

3

os nmeros naturais.

Deve-se ressaltar que o nome do conjunto numrico {1, 2, 3, ...} conjunto dos NmerosNaturais, e denota-se por N, exatamente por seu surgimento ser to natural. Nesteconjunto so denidas duas operaes: Adio e Multiplicao.

Seja A : NXNN , onde (m,n)m+ n, do seguinte modo:{m+ 1 = s(m)

m+ s(n) = s(n+m)

Seja M : NXNN , tal que (m,n)m.n, do seguinte modo:{m.1 = m

m(n+ 1) = m.n+m

A adio associativa, comutativa e ao acrescentarmos o zero no conjunto, a adio

tambm ter elemento neutro. J a multiplicao associativa, comutativa, alm do

nmero 1 ser o elemento neutro. Existe uma propriedade que relaciona as duas operao

chamada de distributividade da multiplicao em relao a adio: m(n+ p) = mn+mp.

1.1.2 Conjunto dos Nmeros Inteiros

O conjunto dos Nmeros Naturais cheio de lacunas, j que s possvel fazer a

subtrao a b, se, e somente se, a > b, ou seja, no contemplava questes envolvendoa ideia de subtrao de nmeros naturais em que o minuendo menor que o subtraendo.

No decorrer da evoluo, o comrcio j era uma realidade em sociedade e a noo de

perdas e prejuzo guravam no cotidiano do homem. E assim, os nmeros naturais no

eram sucientes para necessidade humana, no havia a noes de nmero negativo nem

uma maneira de operar com eles. Todavia esses nmeros eram necessrios, as subtraes

a b, com b > a deveriam apresentar solues. Segundo DOMINGUES(2003, p. 30)para enfrentar essas questes, foi preciso ampliar o conjunto dos nmeros naturais com

a juno dos nmeros negativos, introduzidos a princpio para possibilitar a resposta da

subtrao de quaisquer dois elementos de N. Esse passo gerou naturalmente a necessidadede estender as operaes e a relao de ordem de N ao novo conjunto, formado pelosnmeros naturais e os nmeros negativos.

Ideia intuitiva que, por exemplo, todas as diferenas 0-1, 1-2, 2-3 ...de

alguma maneira so equivalentes e representam o mesmo nmero, um novo

nmero que veio a ser indicado por -1. De maneira anloga se introduzem os

nmeros -2,-3,-4,... . (DOMINGUES, 2003, p. 30)

Obtido esses novos nmeros, preciso ainda incorpor-los consistentemente ao conjunto

dos Nmeros Naturais, ou seja:

4

i. Estender para o novo conjunto numrico, ou seja, Z = {...,3,2,1, 0, 1, 2, 3, ...},as operaes adio e multiplicao de nmeros naturais;

ii. Estender a ideia de menor e maior a partir das ideias correspondentes em N

Depois de realizadas as extenses referidas o conjunto Z concebido como o sistema dosnmeros inteiros. De certo que os nmeros naturais tambm so chamados de inteiros

positivos. Pois N est contido em Z.

Adio e Multiplicao de Nmeros Inteiros.

Em Z temos as operaes fundamentais: Adio e Multiplicao. Estas operaes per-mitem construir novos nmeros a partir de pares de nmeros dados, e so essenciais para

o processo de contagem. Enquanto nos naturais a adio possui 3 propriedades, em Zacrescenta-se uma quarta, a existncia do nmero oposto. Ou seja, a + (a) = 0,onde -a o oposto de a. A multiplicao agora tm outras possibilidades para os fatores, a saber.

ab =

ab > 0, se a > 0 e b > 0,

ab > 0, se a < 0 e b < 0,

ab < 0, se a > 0 e b < 0,

ab < 0, se a < 0 e b > 0.

(1.1)

importante nos inteiros interpretar os produtos -1. 1 = -1 e (-1).(-1) = 1. Uma inter-

pretao para eles dado abaixo.

Considere as grandezas a, 2a, 3a, 4a, etc. o processo de acrescentar a pode prosseguir

indenidamente. Mas, tomemos o caminho inverso, ou seja, subtrair a grandeza a de

cada um dos termos anteriores, obtendo: 3a, 2a, a, 0. E depois? Como prosseguir? Que

sentido atribuir subtrao 0 a? ROQUE (2012, p. 246) arma que Argand propsuma construo capaz de assegurar, alguma "realidade"a estes termos.

Consideremos uma balana com dois pratos A e B. Acrescentemos ao prato

A as quantidades a,2a,3a,4a, e assim sucessivamente, o que faz a balana

pender para o lado do prato A. Se quisermos, podemos retirar uma quantidade

a de cada vez, restabelecendo o equilbrio. E quando chegamos a 0? Podemos

continuar retirando estas quantidades? Sim, basta acrescent-las ao prato

B". Atribuindo a noo relativa do que "retirar"signica: retirar do prato

A signica acrescentar ao prato B. Deste modo, as quantidades negativas

puderam deixar de ser "imaginrias"para se tornar "relativas". ROQUE(2012,

p. 247)

5

A Representao proposta por Argand, interpreta a multiplicao com nmeros negati-

vos, como, por exemplo, multiplicao por 1, passa a ser vista como uma reexo emrelao origem. Isto possibilita entender facilmente porque (1) (1) = +1, poisbasta observar que, aps a reexo de 1 em relao origem, obtm-se +1. O simtricode um nmero inteiro passa a ser a quantidade m que deixou a balana em equilbrio, ou

seja, o nmero inteiro m simtrico de um nmero n se m+ n = 0.

1.1.3 Conjunto dos Nmeros Racionais

Historicamente os inteiros negativos no foram os primeiros nmeros a surgir dos na-

turais, as fraes vieram antes (DOMINGUES, 2003, p. 8).

Para SMOLE(2010, p. 13), o surgimento dos nmeros racionais est associado noo de

medidas. Independentemente do que estejamos medindo, medir signica "comparar duas

grandezas do mesmo tipo", para representar as medidas surgiram os nmeros racionais,

que so tambm utilizados para representar quantidade no inteiras e relao como as que

aparecem na diviso de uma pizza ou nos problemas envolvendo escalas, convm lembrar

que os gregos usavam razes para comparar grandezas de mesma espcie, e assim dois

segmentos so ditos comensurveis quando possvel medi-los ao mesmo tempo, com a

mesma unidade estabelecida. Nos nmeros inteiros, que h representao para fraes

nas quais numerador no mltiplo do denominador.

A noo intuitiva grega de comensurabilidade, responde a expresso nx m = 0, assimtendo a concepo geomtrica de razo possvel descrever o novo nmero que foi cha-

mado de numero racional, onde neste conjunto cada nmero diferente de zero passa a ter

um inverso em Q, no entanto perde-se o principio da boa ordenao1

Obtido esses novos nmeros, preciso ainda incorpor-los consistentemente ao conjunto

dos nmeros inteiros, ou seja:

i. Estender para o novo conjunto numrico, ou seja, Q = {ab, a Z e b 6= 0 Z},as operaes adio e multiplicao de nmeros inteiros.

ii. Estender a ideia de menor e maior a partir das ideias correspondentes em

Z.

Depois de realizadas as extenses referidas o conjunto Q concebido como o sistema dosnmeros racionais. De certo que os nmeros inteiros tambm so chamados de racionais.

J que dado a Z temos a = a/1 Q, logo Z Q.

1

Principio da boa ordenao: Seja A um domnio ordenado, todo subconjunto no vazio de A limitado

inferiormente possui um menor elemento.

6

Adio e multiplicao de Nmeros Racionais.

No conjunto Q deniram-se as operaes fundamentais de adio e multiplicao.

a

b+c

d=ad+ bc

bd, onde b e d 6= 0 (1.2)

a

b.c

d=ab

cd, onde b e d 6= 0 (1.3)1.2 chamadada de Adio e 1.3 dita multiplicao.

A adio preserva as propriedades de Z, ou seja, associativa, comutativa, existe umelemento neutro. Para cada r em Q existe r em Q. J na multiplicao as propriedadesassociativa, comutativa e existncia da unidade so mantidas, e acrescentada a propri-

edade da existncia do inverso de um nmero racional no nulo.

Em Q tambm possvel observar a escrita decimal de seus elementos, atravs de umavericao observa-se que quando o denominador desprovido dos fatores primos 2 e 5 a

representao decimal ser uma dizima peridica.

1.1.4 Conjunto dos Nmeros Reais

O grande desenvolvimento da Matemtica a partir da criao do Clculo diferencial

no sculo dezessete colocou diante dos matemticos novos problemas que, para serem

melhor compreendidos e solucionados, requeriam uma fundamentao mais rigorosa do

conceito de nmero. Esta tarefa foi empreendida pelos matemticos do sculo dezenove.

HEFEZ (1997, p. 22) arma que o primeiro a idealizar um mtodo para a construo dos

nmeros inteiros negativos e dos nmeros racionais a partir dos nmeros naturais foi Karl

Weierstrass. E argumenta que foi bem mais sutil e profunda a construo dos nmeros

irracionais, a partir dos nmeros racionais, isto foi conseguido independentemente por

Georg Cantor e Richard Dedekind por volta de 1870. Os nmeros irracionais j eram

conhecidos pelos pitagricos, pois os gregos utilizavam a noo de comensurabilidade

entre duas grandezas.

Dois segmentos a e b so ditos comensurveis se existir uma unidade de

comprimento que mea, de maneira exata, ambos segmentos. Isto , dados

dois segmentos comensurveis a e b, existe um segmento u e nmeros inteiros

p e q tais que a = pu e b = qu. A razo de a por b pq. (AVILA 2003, p. 47 )

A crena dos pitagricos na qual quaisquer dois segmentos seriam comensurveis, foi

abalada com a descoberta de um par de segmentos no comensurveis. Isso ocorreu

quando eles estudaram a razo entre a diagonal e o lado de um quadrado. O fato de a

diagonal e o lado de um dado quadrado no serem comensurveis equivalente a

2 no

ser um nmero racional. Realmente, se tomarmos um quadrado de lado, digamos, 1, pelo

7

Teorema de Pitgoras, o quadrado de sua diagonal ser igual a 2. Assim o sistema dos

nmeros racionais apresentava lacunas, ao pensarmos em uma reta dos racionais essa reta

teria "buracos"ao longo de toda sua extenso, como o sistema foi concebido para medir,

esses buracos deveriam ser preenchidos. Neste ponto estrutura-se o conjunto dos nmeros

irracionais. A inspirao de Dedekind para a fundamentao do conjunto surgiu da Teoria

das Propores de Eudoxo

2

, na qual Dedekind cria o conceito de corte.

Um corte de Dedekind um par ordenado (A,B), no qual A e B so

subconjuntos no-vazios de nmeros racionais, tais que A no possui elemento

mximo, a unio de A e B o conjunto de todos os racionais e, dados x em A

e y em B quaisquer, x < y. ([3])

Em cada caso em que h um corte (A1, A2) que no produzido por qualquer nmero

racional, Dedekind criou um novo nmero a, irracional, que ser considerado como com-

pletamente denido por este corte; assim diz-se que este nmero a corresponde ao corte,

ou por ele produzido. Com estas armaes Dedekind, completa a reta numrica, e

fundamenta o conjunto dos nmeros Reais, como um corpo completamente ordenado, e

deni o conjunto I dos irracionais, tal que R = Q I. O conjunto dos nmeros R possuias operaes de adio, multiplicao, relao de ordem entre seus elementos, e satisfaz o

principio da boa ordenao, no entanto equaes do tipo x2 + 1 = 0, no possuem soluo

em R.

2

Diz-se que quatro grandezas esto na mesma razo, a primeira para a segunda e a terceira para

a quarta se, quando eqimltiplos quaisquer so tomados da primeira e da terceira e eqimltiplos

quaisquer da segunda e da quarta, os primeiros equimltiplos so ambos maiores que, ou ambos iguais a, ou

ambos menores que, os ltimos equimltiplos considerados em ordem correspondentes. BONGIOVANNI

(2005,pg 96).

8

Captulo 2

O corpo dos Nmeros Complexos

2.1 Como surgiram os nmeros complexos

Como foi tratado ao nal do captulo 1, algumas equaes algbricas no mbito dos

nmeros reais no possuam soluo em R.A histria aponta como fato crucial para a iniciativa da abordagem acerca dos nmeros

complexos, o estudo das equaes do 3

grau.

De certo que equaes do segundo grau com discriminante negativo no

tinham soluo R, e nesse ponto se encerravam as discusses, mas quando Tar-taglia descobriu uma frmula que resolvia as equaes do 3

grau, e Bombelli

considerou a equao x3 15x 4 = 0, e utilizou a formula de Tartaglia paraencontrar a soluo, que os matemticos se propuseram a fundamentar o

conjunto com nmeros onde se pudesse ter raiz quadrada de nmero negativo.

ROQUE(2012, p. 172)

Leonhard Euler (1707-1783), introduziu a notao i =1 e identicou as razes daequao zn = 1 com os vrtices de um polgono regular de n lados. Alm de denir a

funo exponencial no conjunto dos nmeros complexos, pela frmula: ei = cos+ isen.

Carl Friedrich Gauss (1777-1855) foi quem introduziu a denominao nmero complexo.

Em sua tese de doutorado, Gauss provou, o Teorema Fundamental da lgebra, que arma

que toda equao algbrica denida sobre C admite pelo menos uma raiz. Deve-se tambma Gauss a representao geomtrica dos nmeros complexos, associando as suas partes

real e imaginria, respectivamente, abscissa e ordenada de pontos do R2. Jean Robert

Argand(1768-1822) investigou, as grandezas que satisfazem proporo +1 : +x :: +x :

1 e encontrou a resposta por meio do seguinte diagrama:

segmentos KA e KI so entendidos, respectivamente, como segmentos di-

recionados de K para A e de K para I e representam as grandezas unitrias

9

Figura 2.1: Diagrama de Argand.

positiva e negativa. Em seguida, traa-se uma perpendicular EN reta que

une I a A. O segmento KA est para o segmento direcionado KE assim como

KE est para KI; e KA est para o segmento direcionado KN assim como

KN est para KI. Logo, a condio de proporcionalidade exigida acima para

a grandeza x satisfeita por KE e KN. (ROQUE, 2012, p. 248)

Decorre desta interpretao que as grandezas geomtricas que satisfazem proporo

requerida so, portanto, KE e KN, que podem ser vistas como representaes geomtricas

de +i e i. Este diagrama mostra que devemos tomar a multiplicao por i como umarotao do segmento orientado no plano onde o zero o centro de rotao, o ponto que

organiza o giro. Nos nmeros complexos h uma relao de ordem, ou seja, no se pode

dizer que um nmero complexo maior do que outro.

2.2 O corpo dos Nmeros Complexos

Denimos o corpo dos nmeros complexos como sendo o conjunto:

C = {(x, y);x R y R} (2.1)

Onde denimos as seguintes operaes de adio e multiplicao: Seja z = (x, y) e

w = (a, b) C, ento:z + w = (x+ a, y + b) (2.2)

zw = (xa yb, xb+ ya) (2.3)

1. Observao. A adio acima simplesmente a adio de vetores em R2 enquantoque a multiplicao tem uma interpretao geomtrica mais elaborada que veremos

na seo 2.4.

10

O conjunto R2 com as operaes acima denidas ser denotado por C, e seus elementossero chamados de nmeros complexos.

O nmero complexo (0,0) ser denotado simplesmente por 0 e o nmero complexo (1,0)

por 1.

Para cada z = (x, y) C, deni-se:

a. z = (x,y)

b. z1 = ( xx2+y2

, yx2+y2

) se z 6= 0

Proposio 2.1. As seguintes propriedades se vericam para quaisquer z,w, t C

A1 z + (w + t) = (z + w) + t (associatividade da adio)

A2 z + w = w + z (comutatividade da adio)

A3 0 + z = z = z + 0 (existncia elemento neutro da adio)

A4 z + (z) = 0 (existncia do elemento simtrico da adio)

M1 z(wt) = (zw)t (associatividade da multiplicao)

M2 zw = wz (comutatividade da multiplio)

M3 z1 = z (existncia do elemento neutro da multiplicao)

M4 zz1 = 1 z 6= 0(existncia do inverso multiplicativo)

AM z(w + t) = zw + zt (distributividade da adio em relao a multiplicao)

Indicamos [14] para a demonstrao das propriedades da adio.

Tendo denido as operaes de adio e multiplicao em C, deni-se as operaes desubtrao e diviso.

z w = z + (w) (2.4)z/w = zw1, w 6= 0 (2.5)alm disso, a potenciao tambm denida de maneira usual:

z0 = 1, zn = z...zn

e zn = z1...z1 n

se z 6= 0 (n 1) (2.6)

Decorre de Propisio 2.1 que todas as propriedades das operaes aritmticas de nmeros

reais so validas para nmeros complexos.

Um conjunto no qual esto denidas uma operao de adio e uma operao de multipli-

cao satisfazendo as propriedades mencionadas na Proposio 2.1 chamado de corpo.

O nmero complexo (x, 0), com x R ser simplesmente representado por x. Note queisto est de pleno acordo com o que j zemos com o elemento neutro 0 e o elemento

11

unidade (1, 0). Deste modo. Considere o produto (0, 1)2 = (0, 1)(0, 1) = (1, 0) = 1,ou seja, o nmero 1 possui uma raiz quadrada em C. o nmero complexo (0, 1) denominado por i e chamado de algarismo imaginrio. Assim

z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = x(1, 0) + y(0, 1) = x+ yi (2.7)

Esta expresso recebe o nome de forma algbrica de z.

Com a forma algbrica no necessrio memorizar as denies de z +w e zw dadas em

2.2 e 2.3, basta usarmos algumas propriedades da adio e da multiplicao em C japresentadas.

z + w = x+ iy + a+ bi = x+ a+ (y + b)i (2.8)

zw = (x+ yi)(a+ bi) = xa+ ybi2 + (xb+ ya)i = xa yb+ (xb+ ya)i (2.9)A forma algbrica uma importante representao para os nmeros complexos. Para

LIMA (2006, pg 161), Um nmero complexo um nmero da forma x + yi, com x e y

reais e i =1. A interpretao geomtrica dada por LIMA (2006, p. 161) est descritaabaixo:

Fixando um sistema de coordenadas no plano o complexo z = x + yi

representado pelo ponto P = (x, y). o ponto P chamado de imagem do

complexo z. Como a correspondncia entre os complexos e suas imagens uma

bijeo, frequentemente identicamos os nmeros complexos e suas imagens

por (x, y) = x + yi. O plano no qual representamos os complexos chamado

de plano e Argand - Gauss. (LIMA 2006, p. 161).

Decorre da interpretao do nmero complexo z = x + yi, como par ordenado que os

complexos z = x + yi e w = a + bi so iguais se, e somente se, x = ae y = b. Em

particular x+ yi = 0 ento x = y = 0. As potncias de i apresentam um comportamento

na qual as potncias se repetem em ciclos de perodo 4. De fato, i0 = 1, i1 = i, i2 = 1,i3 = i2i = i e i4 = i2i2 = 1.

2.3 Conjugado e Valor Absoluto

Dado um nmero complexo z = a + bi, denimos a parte real e a parte imaginria

de z por Re(z) = a e Im(z) = b, respectivamente. Quando Re(z) = 0, dizemos que z

imaginrio puro.

Como um nmero complexo z = a + bi o par ordenado (a, b) podemos represent-lo

gracamente como o ponto do plano cartesiano de abscissa x e ordenada y. Figura 2.2.

Neste contexto, chamamos o plano cartesiano de plano complexo, ou Argand-Gauss, e o

12

Figura 2.2: Plano Complexo Figura 2.3: soma e subtrao

eixo x de eixo real, e o eixo y de eixo imaginrio.

Abaixo indicamos as interpretaes grcas da adio e subtrao de nmeros complexos,

denidas em 2.4 e 2.8.

Sejam, Z1 = a+ bi e z2 = c+ di dois complexos cujas imagens geomtricas

so P1 e P2, respectivamente. O complexo z = z1 + z2 tem axo P tal que,OP =

OP1 +

OP2 onde

OP ,

OP1,

OP2 so vetores. J w = z2 z1, temaxo Q, cujo vetor paralelo a diagonal e possui o mesmo mdulo de

P1P2.

(IEZZI,1993, p. 30)

Dados dois nmeros complexos w e z, a distncia entre w e z denida por |w z|.Denimos o conjugado de um nmero complexo z = x+yi como sendo o nmero complexo

z = x yi. Gracamente, z o ponto do plano complexo obtido atravs de uma reexode z em torno do eixo real.

Figura 2.4: Conjugado de z

Proposio 2.2. As seguintes propriedades se vericam para quaisquer z,w C

a. z = z, z + w = z + w e zw = zw

13

b. ( zw

) = zwse w 6= 0

c. z + z = 2Re(z), z z = 2iIm(z)

d. z R z = z

e. z imaginrio puro z = z

f. zn = zn

O valor absoluto de um nmero complexo z = x + yi denido porx2 + y2. (15)

Gracamente, o nmero real nos d o comprimento do vetor correspondente a z no plano

complexo.

Figura 2.5: mdulo de z

Proposio 2.3. As seguintes propriedades se vericam para quaisquer z,w C

a. Re(z) |Rez| |z|, Imz |Imz| |z|

b. |z|2 = zz e |z| = |z| e |zw| = |z||w|

c. | zw| = |z||w| ,se w 6= 0

d. |z + w| |z|+ |w|

e. |z + w| ||z| |w||

2. observao. A desigualdade d. conhecida como desigualdade triangular.

2. Indicamos [14] para detalhes sobre as demonstraes das proposies 2.2 e 2.3

Se z 6= 0 a proposio 2.3 b. implica que z1 = z|z|2 , em particular z1 = z, se |z| = 1.A identidade mostra que z e z1 se comparam gracamente: z1 aponta na direo de z

e tem valor absoluto z1 = 1|z| .

14

2.4 A Forma Polar

Consideremos um nmero complexo z = x + yi 6= 0. Seja 0 o ngulo que o eixo realpositivo forma com o vetor correspondente a z no sentido anti-horrio.

Como cos 0 =x|z| e sin 0 =

y|z| , temos que z = |z|(cos0 +isin0). Assim sempre possvelrepresentar z na forma z = |z|(cos0 + isin0) onde 0 R.A representao chamada representao polar de z. Se R satisfaz. dizemos que um argumento de z. Assim 0 um argumento de z, entretanto qualquer da forma

0 + 2kpi, com k inteiro, tambm satisfaz a forma polar, em particular z possui innitos

argumentos. Por outro lado, se satisfaz a forma polar ento cos0 = cos e sin 0 = sin

o que implica 0 + 2kpi para algum k inteiro. Assim o conjunto de argz de todos os

argumentos de z dado por arg z={0 + 2kpi: k Z}. denotemos o nico argumento dez que pertence ao intervalo (pi, pi] , como argumento principal e escrevemos Arg z.A identidade z = |z|(cosArgz + isinArgz). chamada forma polar de z.Sejam z = |z|(cos + isin ) e w = |w|(cos + isin) representaes polares de doisnmeros complexos no nulos z e w. Vamos agora obter representaes polares para z1

e zw:

z1 = |z|1(cos + isin) (2.10)zw = |z||w|(cos ( + ) + isin ( + )). (2.11)

3. Observao. Esta igualdade nos d a interpretao grca do produto de dois n-

meros complexos: zw tem valor absoluto |z||w| e tem + como um argumento.Denindo A = {a, a A} e A+B = {a+ b, a A e b B(A ,B C}. Decorredas frmulas 2.10 e 2.11 que arg(z1) = argz e arg(zw) = argz + argw. Porm no sempre verdade que Arg(z1) = Argz nem Arg(zw) = Argz + Argw. Ainda de 2.10 e2.11 temos que: zn = |z|n(cosn + i sinn) n Z. No caso em que |z| = 1, a igualdadenos diz que:

(cos(n) + i sin(n))n = cosn + i sinn (2.12)

Esta igualdade conhecida como formula de Moivre.

2.5 Extrao de Razes

Dado um nmero complexo w e um nmero natural n 1. Dizemos que z C umaraiz n-sima de w se zn = w.

Se w = 0, claro que z = 0 a nica soluo da equao zn = w. logo o nmero 0 possui

uma nica raiz n-sima que o prprio 0. Veremos a seguir que se w 6= 0 ento existeexatamente n solues distintas da equao zn = w.

15

Teorema 2.1. Fixe n N. Todo nmero complexo no nulo w possui exatamente nrazes n-simas complexas distintas, a saber:

n|w|[cos Arg(w) + 2kpi

n+ i sin

Arg(w) + 2kpi

n] k = 1, 2, ...n (2.13)

Demonstrao:A primeira condio satisfeita precisamente quando |z|= n|w|, en-quanto, as duas ltimas so satisfeita quando n = + 2kpi com k Z, isto = +2kpi

n,

com k Z. Assim, as razes n-simas de w so os nmeros zk para k Z. fazendok = 0, 1, ..., n 1 obtemos razes distintas n-sima de w. Entretanto, os demais valoresde k nos do repeties das razes z0, z1, ...zn1. De fato, tome k Z arbitrrio, escrevak = qn + r com q Z e 0 r < n como, = +2kpi

n= +2rpi+2qnpi

n= +2rpi

n+ 2qpi vemos

que zk = zr z0, z1, ...zn 1.A raiz n-sima de w obtida fazendo k = 0 em (22) chamada de raiz n-sima principal

de w . A notao

nw resevada para esta raiz.

4 Observao. Todas as n razes n-simas de w possuem o mesmo mdulo, a saber

|z|= n|w|. logo, elas so representadas por n pontos sobre uma circunferncia comcentro na origem e raio |z|= n|w|.Alm disso, estes pontos esto igualmente espaados ao longo desta circunferncia

devido relao de seus argumentos.

Exemplicando: Resolver a equao x6 + 64 = 0.

Sendo x C, temos que x = 664, sabendo que64 = 64(cos (pi + 2kpi)+i sin (pi + 2kpi).Conclumos que x = 2(cos (pi

6+ kpi

3) + i sin (pi

6+ kpi

3), tomando k = 0, 1, 2, ...5 encontramos

a razes do problema. O conjunto soluo representado pelo hexgono regular da Figura

2.6.

Figura 2.6: Conjuto da raizes

2.6 Exponencial

Da equao 2.10, sabemos que zw = |z||w|(cos ( + ) + isin ( + )), por outro ladosabemos que: e(s+t) = eset, ento faamos eiy = cos y + i sin y, uma interpretao para

16

eiy. Alm disso, temos as propriedades:

i. e0 = 1

ii. eyi.exi = e(x+y)i

iii. exi = (exi)1

Motivados por estas consideraes, temos a seguinte denio:

Denio 2.1. Dado um nmero complexo z = x + iy, a exponencial de z dada por

ez = ex(cos y + i sin y).

Proposio 2.4. Para quaisquer z,w C temos que ez = ew se, e somente se z =w + 2kpii para algum k Z

Na seo 2.4 vimos que todo nmero complexo no nulo z tem uma representao polar

z = r(cos + i sin ), onde r = |z| e um argumento de z. Com a noo de exponencialesta igualdade pode ser escrita de forma mais econmica, a saber, z = rei

Observasse tambm que as n razes n-simas de um nmero complexo no nulo w podem

ser escritas da seguinte maneira:

n|w|eiArgw+2kpin , para k = 0, 1, ..., n 1.Em particular, as n-simas do nmero 1 so dadas por k = e

i 2kpinpara k = 0, 1, ..., n 1.Notemos tambm que as n razes n-simas de w podem ser obtidas multiplicando-se a raiz

n-sima principal

nw de w pelas razes n-simas da unidade.

17

Captulo 3

Funes Hiperblicas

Denio 3.1. Chamaremos de funes hiperblicas as funes denidas abaixo:

a. Seno Hiperblico:R R, onde sinh t = etet2

b. Cosseno Hiperblico:R R,onde cosh t = et+et2

c. Tangente Hiperblico:R R,onde tanh t = etetet+et

Uma justicativa para essa nomeclatura e o fato de que se tomarmos x = cosh (t) e

y = sinh (t) teremos x2 y2 = 1, portanto a curva : R R2; (t) = (x(t), y(t)) umaparametrizao do ramo direito da hiprbole equiltera x2 y2 = 1

Proposio 3.1. cosh uma funo par, sinh e tanh so mpares.

Demonstrao. De fato, x R, temos cosh (x) = ex+ex2

= coshx, logo coshx par.

Para sinh (x) = exex2

= (exex)

2= sinhx, logo sinhx mpar. De modo anlogo possvel mostrar a paridade das outras funes.

3.1 Consequncias da denio das funes hiperbli-

cas

Proposio 3.2. Considerando x R. Se x 6= 0 ento coshx > 1

Demonstrao. Se x = 0, segue que cosh 0 = e0+e0

2= 1. Seja x R, tal que x 6= 0,e sabendo que (ex 1)2 > 0, deste modo temos e2x + 1 > 2ex, como ex > 0 x R,conclui-se que

ex+ex2

> 1, ou seja, coshx > 1.

Proposio 3.3. Considerando x R. Se x < 0 ento sinhx < 0 e tanhx ] 1, 0[.

18

Demonstrao. Se x < 0, ento x > 0 e deste modo ex < ex, logo ex ex < 0, ouseja,

exex2

< 0, portanto sinhx < 0.

Sabendo que ex < ex x R, segue que exex2

< ex+ex

2, ou seja, sinhx < coshxx

R. Segue da denio 3.1, que |tanhx| < 1 e deste modo,1 < tanhx < 1. Segue daproposio 3.1.2, que coshx estritamente positivo, portanto o sinal de (tanhx) igual

ao sinal (sinhx), e portanto para x < 0, tem-se tanhx ] 1, 0[.

Proposio 3.4. Considerando x R. Se x > 0 ento sinhx > 0 e tanhx ]0, 1[.

Demonstrao. Se x > 0, ento x < 0 e deste modo ex < ex, logo ex ex > 0, ouseja,

exex2

> 0, portanto sinhx > 0.

Sabendo que ex < ex x R, segue que exex2

< ex+ex

2, ou seja, sinhx < coshxx

R. Segue da denio 3.1, que |tanhx| < 1 e deste modo,1 < tanhx < 1. Segue daproposio 3.1.2, que coshx estritamente positivo, portanto o sinal de (tanhx) igual

(sinhx), e portanto para x > 0, tm-se tanhx ]0, 1[.

Lema 3.1. A funo sinh : R R denida por sinh (x) = exex2 crescente.

Demonstrao.

Sejam, x e y R, tal que x > y, faamos:

sinhx sinh y = ex ex

2 e

y ey2

=(ex+y + 1)(ex ey)

2ex+y

> 0

(3.1)

Pois, 2ex+y > 0, (ex+y + 1) > 0 e (ex ey) > 0. visto que a funo exponencial esabidamente crescente.

3.1.1 Algumas Identidades das Funes Hiperblicas

Para as funes hiperblicas, assim como nas funes trigonomtricas, possivel ma-

nusear as expresses matemticas que as denem am de encontrar outras expresses as

quais denotar-se-a por identidade. abaixo segue uma lista de identidades para todo x e y

reais.

a. coshx+ sinhx = ex

b. coshx sinhx = ex

c. cosh2x sinh2x = 1

19

d. cosh (x+ y) = cosh x cosh y + sinhx sinh y.

e. sinh (x+ y) = sinh x cosh y + sinh y coshx.

f. tanh (x+ y) = tanhx+tanh y1+tanhx tanh y

Para as demonstraes indicamos o livro "O Clculo com Geometria Analtica" de Louis

Leithold, 3

edio, p. 514-527.

3.1.2 Frmula de Moivre

A conhecida frmula de Moivre, proveniente da trigonometria, tem aplicaes na tri-

gonomtria hiperblica, como mostra o teorema abaixo:

Teorema 3.1 (Frmula de Moivre). Para quaisquer x R, m R vale a igualdade:(coshx+ sinhx)m = cosh (mx) + sinh (mx) e (coshx sinhx)m = cosh (mx) sinh (mx)

Demonstrao. Seja x R, das identidades hiperblicas sabemos que coshx+sinhx = ex.Logo m R (coshx+ sinhx)m = (ex)m = emx = cosh (mx) + sinh (mx).Do mesmo modo, sabendo que coshxsinhx = ex, temos (coshx sinhx)m = (ex)m =e(mx) = cosh (mx) sinh (mx)

3.2 Resumo das Funes Hiperblicas

Da identidade 3.1.1 alinea c, podemos relacionar as funes hiperblicas com a hi-

prbole equiltera unitria centrada na origem dos eixo coordenados,tendo em vista a

parametrizao x = cosh (t) e y = sinh (t).

Figura 3.1: Hiperble unitria x2 y2 = 1

20

3.2.1 Cosseno Hiperblico

Domnio, imagem, limites no innito e grco da funo cosseno hiperblico:

cosh : R RExpresso Domnio Imagem limx coshx limx+ coshx

ex+ex2 R [1,+[ + +Tabela 3.1: Funo cosseno hiperblico

Da Tabela 3.1 podemos fazer o esboo do grco da funo cosseno hiperblico.

3.2.2 Seno Hiperblico

Domnio, imagem, limites no innito e grco da funo seno hiperblico:

Da tabela 3.2 podemos fazer o esboo do grco da funo seno hiperblico.

sinh : R RExpresso Domnio Imagem limx sinhx limx+ sinhx

exex2 R ],+[ +Tabela 3.2: Funo seno hiperblico

Figura 3.2: Grco do cosh Figura 3.3: Grco do sinh

3.2.3 Tangente Hiperblico

Faremos nesta seo uma discursso acerca da bijetividade da funo tanh, tendo em

vista que ao tratarmos de nmeros perplexos na forma polar deveremos tomar a funo

inversa da tangente hiperblica, para encontarmos o argumento hiperblico, o que s far

sentido se tal funo for bijetiva.

Da tabela 3.3 temos um esboo do grco da funo tangete hiperblico.

21

tanh : R RExpresso Domnio Imagem limx tanhx limx+ tanhx

exexex+ex R ] 1, 1[ 1 1Tabela 3.3: Funo tangente hiperblico

Figura 3.4: Grco da Funo tanh

Teorema 3.2. A funo tanh : R (1, 1). uma bijeo.

Demonstrao. A tabela 3.3 mostra que tanh uma sobrejeo, visto que Im(tanh) =

(1, 1). Seja x e y R tal que tanh(x) = tanh(y), Assim segue que:

tanhx = tanh y ex exex + ex

=ey eyey + ey

e2x 1e2x + 1

=e2y 1e2y + 1

2e2x = 2e2y e2x = e2y x = y(3.2)

Portanto tanhx injetora. Deste modo conclumos que tanh uma bijeo.

Vamos mostrar que tanh : R (1, 1) crescente

22

Sejam x, y R, tal que x > y temos:

tanhx tanh y = ex exex + ex

ey eyey + ey

=e2x 1e2x + 1

e2y 1e2y + 1

=2(e2x e2y)

(e2x + 1)(e2y + 1)> 0

(3.3)

Pois, (e2x + 1)(e2y + 1) > 0, por hiptese x > y, a exponencial sabidamente crescente,

e2x > e2y logo tanhx > tanh y.

Deste modo existe a funo inversa tanh1 : (1, 1) R, dada por: y = tanhx x =tanh1 y, assim y = e

2x1e2x+1

e2x = 1+y1y x = 12 ln 1+y1y

tanh1y =1

2ln

1 + y

1 y (3.4)

23

Captulo 4

Conjunto dos Nmeros Perplexos

O corpo dos nmeros complexos o terno matemtico (R2,+, .), denido no captulo 2,onde fazemos a multiplicao (a, b)(c, d) = (ac bd, ad+ bc), foi tambm relatado naquelecaptulo as consequncias orginadas desta forma de multiplicao, onde uma interpretao

geomtrica no conjunto de todos os nmeros complexos que possuem mesma norma z =r, uma circunferncia de centro na origem e raio r no Plano de ArgandGauss.Deniremos as seguintes operaes em R2, onde u = (a, b) e v = (c, d).Adio: + : R2 R2 R2 que associa cada par (u, v) R2 R2 ao par ordenadou+ v = (a+ c, b+ d) R2.Multiplicao: : R2R2 R2 que associa cada par (u, v) R2 R2 ao par ordenadou v = (ac+ bd, ad+ bc) R2.Igualdade

u = v a = c e b = d (4.1)Observemos que a soma denida a mesma soma denida para os nmeros complexos e

que o produto difere apenas no sinal da primeira coordenada.

Ao terno (R2,+,) chamaremos de conjunto dos nmeros perplexos e denotaremospor PTomemos 0 = (0, 0) e 1 = (1, 0) em P

Proposio 4.1. As seguintes propriedades da adio e multiplicao se vericam para

quaisquer z,w, t P

A1) z + (w + t) = (z + w) + t (associatividade da adio)

A2) z + w = w + z (comutatividade da adio)

A3) 0 + z = z = z + 0 (existncia elemento neutro da adio)

A4) z + (z) = 0 (existncia do elemento oposto da adio)

M1 z (w t) = (z w) t (associatividade da multiplicao)

24

M2 z w = w z (comutatividade da multiplio)

M3 z 1 = 1 z = z com 0 6= 1(existncia do elemento neutro da multiplicao)

M4 z = (a1, a2) P, com a1 6= a2 se z1 = ( a1a21a22 ,a2a21a22 ) ento z z

1 = 1

(existncia do inverso multiplicativo)

MA z(w+t) = zw+zt (distributividade da adio em relao a multiplicao)

Demonstrao. Como a adio coincide com a adio nos complexos, indicamos [14] para

maiores detalhes nas demosntraes das propriedades

Demonstrao. Seja z = (a1, a2); w = (b1, b2) e t = (c1, c2), em P temos que:

M1)(z w) t = (a1b1 + a2b2, a1b2 + a2b1) (c1, c2)(z w) t = ([a1b1 + a2b2]c1 + [a1b2 + a2b1]c2, [a1b1 + a2b2]c2 + [a1b2 + a2b1]c1)(z w) t = ([a1b1]c1 + [a1b2]c2 + [a2b2]c1 + [a2b1]c2, [a1b1]c2 + [a1b2]c1 + [a2b2]c2

+ [a2b1]c1)

(z w) t = (a1[b1c1 + b2c2] + a2[b2c1 + b1c2], a1[b1c2] + b2c1] + a2[b2c2 + b1c1])(z w) t = (a1, a2) (b1c1 + b2c2, b2c1 + b1c2)(z w) t = z (w t)

M2) (z w) = (a1b1 + a2b2, a1b2 + a2b1) = (b1a1 + b2a2, b1a2 + b2a1) = w zM3) Tomemos 1 = (1, 0), faamos z1 = (a1.1+a2.0, a1.0+a2.1) = (a1, a2) = z , z PM4) z P, com a1 6= a2 existe o perplexo z1 tal que z z1 = 1Seja z1 = (x, y) tal que z z1 = 1, assim (a1, a2) (x, y) = (1, 0) se, e somente se;(a1x + a2y, a2x + a1y) = (1, 0)

{a1x+ a2y = 1

a2x+ a1y = 0. x = a1

a21a22 e y =a2a21a22 o que

mostra a existncia do inverso multiplicativo quando a1 6= a2

MA)z (w + t) = (a1, a2) (b1 + c1, b2 + c2)z (w + t) = (a1[b1 + c1] + a2[b2 + c2], a2[b1 + c1] + a1[b2 + c2])z (w + t) = (a1b1 + a2b2 + a1c1 + a2c2, a2b1 + a1b2 + a2c1 + a1c2)z (w + t) = (a1b1 + a2b2, a2b1 + a1b2) + (a1c1 + a2c2, a2c1 + a1c2)z (w + t) = z w + z t

Chamamos de perplexo real ao nmero z = (a, 0), para todo a R, a representaoarma que todo nmero real considerado um nmero perplexo.

Tomemos a operao z+ (w) e a representemos por zw, est operao recebe o nome

25

de subtrao em P.De M4 resulta que dado u = (a, b), tal que |a| 6= |b|, ento o inverso do nmero perplexou o nmero u1 = ( a

a2b2 ,b

a2b2 ), deste modo consideremos um perplexo v que possua

inverso multiplicativo, e faamos u v1 e a representemos por uvest operao recebe o

nome de diviso em P. Assim:

u v1 = uv

= (ac bdc2 d2 ,

bc adc2 d2 ) (4.2)

Denimos tambm as potncias em P: n N, faamos u0 = 1 e un = u un1.Sem prejuizos para o entendimento da operao a ser utilizada, mudaremos o simbolo

representativo da multiplicao, ou seja, u v = u.v

4.1 Forma Algbrica de um Nmero Perplexo

Para os nmeros complexos, a forma algbrica dada por z = x + yi, onde i2 = 1,faamos ento para os nmeros perplexos as seguintes observao.

Denotemos por unidade perplexa o nmero p = (0, 1).

Sejam a e b, nmeros reais, ento a+ b = (a+ b, 0) = (a, 0) + (b, 0).

Fazendo ento a b = (ab, 0) = (a, 0).(b, 0).p2 = (0, 1).(0, 1) = (1, 0) = 1, logo no perplexos p2 = 1.

c.(a, b) = (c, 0).(a, b) = (ca, cb) = c(a, b)

Assim como os nmeros complexos cada nmeros perplexo u pode ser representado no

plano cartesiano, onde no eixo das abcissas representaremos a primeira coordenada que

ser chamada parte real de u, e no eixo das ordenadas representaremos a segunda coor-

denada de u que ser chamada de parte perplexa. Temos assim o plano perplexo

Figura 4.1: Plano Perplexo.

Proposio 4.2. Todo u = (a, b) P pode ser escrito na forma u = a+ bp.

26

Demonstrao. Seja u = (a, b) P, segue das observaes acima, as quais mostram queas denies da adio e multiplicao em P para nmeros reais coincidem com a adio emultiplicao denidas em R, desde modo, o nmero perplexo escrito como par ordenadou = (a, b), pode ser escrito como u = (a, b) = (a, 0) + (0, b) = a+ b(0, 1) = a+ bp

De posse desta forma no precisamos memorizar as denies da adio e multiplica-

o.

De fato, basta usar algumas propriedades da adio e da multiplicao em P j apresen-tadas:

Se u = a+ bp e v = c+ dp so nmeros perplexos, ento

u+ v = (a+ bp) + (c+ dp) = a+ c+ bp+ cd = (a+ c) + (b+ d)p

u.v = (a+ bp).(c+ dp) = ac+ bpc+ adp+ bdp2 = (ac+ bd) + (bc+ ad)p

Exemplo 1. Podemos observar que pn = 1 para n par ou pn = p, quando n mpar.

De fato, temos que p2 = 1, se n = 2k ento pn = p2k = (p2)k = 1. Caso n = 2k+ 1, temos

pn = p2k+1 = p2k.p = 1.p = p

Exemplo 2. Dados dois nmeros perplexos, u = 3 + 5p e v = 5 + 7p. Vamos efetuaras seguintes operaes

(a) u+ v = (3 + 5p) + (5 + 7p) = (3 5) + (5 + 7)p = 2 + 12p(b) u v = (3 + 5p) (5 + 7p) = (3 + 5) + (5 7)p = 8 2p(c) uv = (3 + 5p)(5 + 7p) = 15 + 21p 25p+ 35p2 = 15 + 35 + (21 25)p = 20 4p(d)

uv

= 3.(5)5.7(5)272 +

5.(5)3.7(5)272 p =

15352549 +

25212549 p =

5024 +

4624p =

2512

+ 2312p.

(e) A soma 1 + p2 + p3 + p4 + p5 = 1 + 1 + p+ 1 + p = 3 + 2p

4.2 Conjugado de um Nmero Perplexo e o Simtrico

em relao Bissetriz dos quadrantes mpares.

Dado um nmero perplexo u = (a, b) = a+bp, denimos a parte real e a parte perplexa

de z por Re(u) = a e Per(z) = b, respectivamente. Quando Re(z) = 0, dizemos que z

perplexo puro.

Como um nmero perplexo z = (a, b) = a+bp o par ordenado (a, b), podemos represent-

lo gracamente como o ponto do plano cartesiano de abscissa a e ordenada b, ou como o

vetor que liga a origem a este ponto Figura 4.1.

Denimos conjugado de um nmero perplexo z como sendo o nmero perplexo o

z = (a,b) = abp, gracamente o conjugado obtido por uma reexo sobre o eixo real.Denimos o perplexo simtrico de z e denotemos por u = (b, a) = b + ap, gracamente

27

Figura 4.2: Imagem de u Figura 4.3: Imagem de u

o perplexo simtrico obtido pela reexo de z em torno da bissetriz dos quadrantes

mpares.

Proposio 4.3. As seguintes propriedades se vericam para quaisquer u, v P.

a) u = u, au = au, u v = u v e u v = u v

b) (uv) = u

v, desde que v admita inverso.

c) u+ u = 2Re(u) e u u = 2pPer(u)

d) u R u = u

e) u um perplexo puro se,e somente se u = u

f) u u = a2 b2

Demonstrao.

a. Seja u = a+ bp ento u = a bp, ento u = a bp = a+ bp = u;au = aa+ abp = aa abp = a(a bp) = au;u v = (a c) (b d)p = (a bp) (c dp) = u vu v = ac+ bd (ad+ bc)pu v = ac+ bdp2 (ad+ bc)pu v = a(c d) + (c dp)bpu v = ((a bp)(c dp) = u vb) Vamos primeiro mostrar que u1 = (u)1, para u invertvel e posteriormente a propri-

edade segue imediatamente de a.

u1 = aa2b2 ba2b2p ento u1 = aa2b2 + ba2b2p, por outro lado, u = a bp e assim

(u)1 = aa2b2 +

ba2b2p, ou seja, u

1 = (u)1. Como (uv) = uv1 = uv1 = u.(v)1 = u

v.

c) u+ u = a+ bp+ a bp = 2a = 2Re(u) e u u = a+ bp a+ bp = 2bp = 2pPer(u)

28

d) Se u R ento u = a+ 0p, logo u = a 0p = a = u. Caso u = u ento a+ bp = a bpento b = b b = 0, logo u = a e assim u R.e) u um perplexo puro ento u = bp logo u = bp = u. Caso u = u entoa bp = a bp, logo a = a a = 0 portanto u um perplexo puro.f) u u = (a+ bp)(a bp) = a2 (bp)2 = a b2

Proposio 4.4. As seguintes propriedades se vericam para quaisquer u, v P

a. p.u = u

b. (u) = u, (au) = au, (u v) = u v, (u.v) = u.v = u.v

c. u = u

Demonstrao.

a) Seja u = a+ bp ento p(a+ bp) = pa+ bp2 = ap+ b = b+ ap = u.

b) pelo item a. pu = u, como p invertvel, faamos p(pu) = pu = (u) logo u = (u).

Sabendo que (au) = (aa+ abp) = aap+ ab = a(ap+ b) = au. Tomando (u v) =((a c) + (b dp)) = (a c)p + (b d) = (ap + b) (cp + d) = u v; Por m,(u.v) = [(ac + bd) + (ad + bc)p] = (ac + bd)p + (ad + bc), por outro lado, u.v = (b +

ap).(c+dp) = (bc+ad)+(ac+bd)p e tambm u.v = (a+bp)(d+cp) = (ad+bc)+(ac+bd)p,

portanto (u.v) = u.v = u.v.

c)u = (b+ ap) = b ap, por outro lado, u = (a bp) = (ap b) = b ap, logou = u.

Proposio 4.5. Para quaisquer nmeros perplexos u e v as representaes so equiva-

lentes:

a) u.v = (ac+ bd) + (ad+ bc)p

b) u.v = av + bv

Demonstrao. De fato, faamos u.v = ac+bd+(ad+bc)p u.v = ac+adp+bd+bcpu.v = a(c+ dp) + b(d+ cp) = av + bv.

Exemplos 1. Vamos encontrar o simtrico do ponto (3, 4) em relao bissetriz dos

quadrantes mpares.

Soluo. O ponto (3, 4) = 3 + 4p, logo o simtrico (3, 4)p = 3p+ 4 = 4 + 3p = (4, 3)

Exemplos 2. Dados dois nmeros perplexos, u = 3 + 5p e v = 5 + 7p, Temos:(a) u = 3 5p e v = 5 7p(b) u+ u = (3 5p) + (3 + 5p) = 6

29

(c) u.v = (3 5p)(5 7p) = 15 21p+ 25p+ 35 = 20 + 4p(d) u.u = (3 + 5p)(3 5p) = 32 52 = 9 25 = 16(e) (u.v) = u.v = (5 + 3p)(5 + 7p) = 25 + 21 + (35 15)p = 4 + 20p

4.3 Divisores de zero em P.

Vimos que u.u = a2 b2, ento se |a| = |b| ento u.u = 0, com u 6= 0 isso mostra queexistem nmeros perplexos no nulos cujo produto igual a zero, esses nmeros sero

chamados divisores de zero.

Sejam B1 = {(x, y); y = x} e B2 = {(x, y); y = x} as bissetrizes do plano perplexo.Teorema 4.1. Dados u e v nmeros perplexos no nulos, ento u.v = 0 se, e somente

se, (u, v) B1 B2 ou (u, v) B2 B1

Demonstrao. A demonstrao ser feita em duas etapas:

T: Sejam u e v nmeros perplexos no nulos, tal que u.v = 0

H: (u, v) B1 B2 ou (u, v) B2 B1.u.v = (ac + bd) + (ad + bc)p = 0 + 0p

{ac+ bd = 0

ad+ bc = 0, onde {(a, b), a 6= 0 ou b 6= 0} e

{(c, d), c 6= 0 ou d 6= 0}, sem perda de generalidade tomemos a, c 6= 0, segue que a = bdc,

susbtituindo na segunda equao do sistema temos:

bd2c

+ bc2

c= 0 b(c2 d2) = 0

b = 0 ou c2 d2 = 0, Se b = 0 ento a = 0, absurdo. Portanto c2 d2 = 0 c = d,Assim v B1 ou B2, e a = b assim u B2 ou B1, portanto (u, v) B1 B2 ou(u, v) B2 B1.

T: Sejam u e v perplexos no nulos tais que (u, v) B1 B2 ou (u, v) B2 B1.H: u.v = 0 Tomemos (u, v) B1 B2, ento a = b e c = d, segue da denio demultiplicao que u.v = (ad + ad) + (ad ad)p = 0 + 0p) = 0, de maneira anlogamostrasse para (u, v) B2 B1.Proposio 4.6. Dado um nmero u perplexo qualquer, ento u B1 B2 se, e somentese, u.u = 0

A partir deste momento quando u B1 B2 diremos que u singular.

Exemplos 1. Vamos calcular o prduto dos nmeros perplexos u = 5 + 5p e v = 1 p.Soluo. O ponto u.v = (5 + 5p).(1 p) = (5 5) + (5 5)p = 0.Exemplos 2. Dados o nmeros perplexos, u = 3 + 3p. Temos

(a) u.u = (3 3p)(3 + 3p) = 32 32 = 0, logo u singular.

30

4.4 Forma Polar

4.4.1 A "norma"de um Nmero Perplexo

A m de escrevermos a forma polar de um nmero perplexo examinemos o que acontece

nos numros complexos.

No caso complexo, para a forma polar necessitamos da denio de norma de um nmero

complexo, que denida do seguinte modo:

z2 = z.z = x2+y2, onde z complexo, e denomina-se de argumento do nmero complexoz, onde z no nulo, ao ngulo argz = que o vetor OP faz com o semi-eixo positivo

dos reais.

De posse destes dois conceitos descreve-se o nmero complexo atravs de sua forma polar.

Faamos ento a denio de norma de um nmero perplexo. Primeiramente, tomemos

o produto u.u = a2 b2, seguindo a denio dos complexos faamos:

(u) = u.u = a2 b2. (4.3)

5. Observao. (p) = 02 12 = 1.

6. Observao. Ao conjunto {u P; (u) = 1} damos o nome de Esfera de raio 1.

7. Observao. Ao conjunto {u P; (u) = 1} damos o nome de Esfera de raio 1.

8. Observao. Ao conjunto {u P; (u) = sgn(r)r2} damos o nome de Esfera deraio r.

9. Observao Denimos sgn(r) =

{1, se r 0,1, se r < 0.

4.4.2 Funo Radial

Seja a aplicao : P R, tal que a cada u P associa (u) = |u.u|.Denio 4.1. Seja u P a norma de u o nmero real u = sgn(u.u)(u)

Exemplos 1. Seja u = 5 + 2p ento u = sgn(52 22)|52 22| = 21.Exemplos 2. Seja v = 3 + 5p ento v = sgn(32 52)|32 52| = |16| = 4Exemplos 3. Seja w = 3 + 2p ento w = sgn((3)2 22)|(3)2 22| = 5Exemplos 4. Seja h = 3 5p ento u = sgn(32 (5)2)|32 (5)2| = |16| =4

31

Proposio 4.7. As seguintes propriedades se vericam para quaisquer u e v P.

i. (u) 0.

ii. (u) = 0 u B1 B2.

iii. u = 0 (u) = 0.

iv. (uv) = (u)(v).

v. u possui inverso multiplicativo se, e somente se, (u) > 0.

vi. Se u possui inverso multiplicativo ento u1 = uuu .

vii. Se u possui inverso multiplicativo ento (u1) = [(u)]1.

Demonstrao.

i. Temos que |u.u| 0, logo |u.u| 0 assim (u) 0ii. Se (u) = 0 ento |u.u| = 0 u.u = 0 a2 = b2 a = b, u B1 ou u B2,ou seja u B1 B2. Se u B1 segue que u.u = a2 a2 = 0. Caso u B2 segue queu.u = a2 (a)2 = 0, portanto u B1 B2 u.u = 0 (u) = 0iii. u = 0 sgn(u.u)(u) = 0 (u) = 0.iv. (uv) =

|(uv).uv| = |uv.uv| = |(uu)(vv)| = |(uu)||(vv)| = |(uu)||(vv)| =(u)(v)

v. Vamos supor que u possua inverso multiplicativo, sem que (u) > 0, deste modo

(u) = 0, assim u B1 B2, ora Tomemos u P no nulo, tal que u B1, logou B2 e assim u.u = 0, como u admite inverso multiplicativo, ento existe v P tal queu.v = 1, multipliquemos u em ambos os membros, u.(u.v) = u, pela associatividade da

multiplicao. (u.u).v = u e assim 0 = u, absurdo pois u no nulo.

Admitindo que (u) > 0, tomemos v P tal que u.v = 1, ou seja, ac+ bd+ (ad+ bc)p = 1{ac+ bd = 1

ad+ bc = 0, sabendo que a2 b2 > 0, temos que o sistema admite uma nica

soluo, onde v = c+ dp o inverso de u, dado por, u1 = aa2b2 +

ba2b2p

vi. Dado que u tm inverso multiplicavo, ele da forma v = u1 = aa2b2 +

ba2b2p, assim

u1 = 1a2b2 (a bp) = ua2b2 = uu.uvii. Dado que u possui inverso multiplicativo ento (u1) =

|u1.u1| = |u1.(u)1|,logo (u1) = (

|u.u|)1 = [(u)]1.Proposio 4.8. As seguintes propriedades se vericam para quaisquer u e v P.

i. u = u e u.v = u.v.

ii. v1 = (v)1, se v admite inverso multiplicativo.

32

iii. uv = uv , se v admite inverso multiplicativo.

Demonstrao.

i. u = sgn(u.u)(u) = sgn(u.u)(u) = u, Consideremos u.v = sgn(uv.uv)(uv)assim u.v = sgn(u.u)(u).sgn(vv)(v) = u.v.ii. v1 = sgn(u1.u1)(u1) = (sgn(u.u))1((u))1 = (v)1iii. imediato de i e ii.

Exemplos 1. Seja u = 2 + p e v = 3 + 2p vamos calcular u.v.

Soluo. Vamos primeiro resolver o produto u.v = (2+p).(3+2p) = (6+2)+(4+3)p, logo

u.v = sgn(82 72)82 72 = 64 49 = 15. Poderiamos ter usado a propriedade,i. visto que, u = sgn(22 12)22 12 = 3 e v = sgn(32 22)32 22 = 5,portanto u.v = u.v = 35 = 15

Temos que no conjunto dos nmeros perplexos a "norma" denida no satisfaz a desi-

gualde triangular.

Para melhor exemplicar tomemos u = 3 + 2p e v = 1 + p, segue que u + v = 4 + 3p,

ento u = 5; v = 0 e u+ v = 16 9 = 7, assim u+ v > u+ v.A desiguadade u+ v u v tambm falsa quando tomanda a denio da"norma" nos perplexos.

4.5 Geometria do Plano Perplexo

Se u = a+ bp e (u) = c 6= 0 temos

a2

c b

2

c= 1 (4.4)

Ou seja u est em uma hiprbole equiltera.

Seja U = {u P, (u) = 1}, consideremos o conjuntoH1 = {(a, b) U, com a > 0 e a > |b|}.Deste modo (u) = 1 ou (u) = 1. Se (u) = 1, com a > 0 e a > |b| temos a2 b2 = 1,portanto u H1, da trigonometria hiperblica temos cosh2 tsinh2 t = 1, como cosht > 0e cosh t > |sinh t|, para todo t, segue que a = cosh t e b = sinh t, para todo t R, e assimu = cosh t + p sinh t.

Se (u) = a2 b2 > 0 e (u) 6= 1, com a > 0 e a > |b|, temos (u) = a2 b2, edeste modo ( a

a2b2 ,b

a2b2 ) H1, novamente recorrendo a trigonometria hiperblicaa = (u) cosh t e b = (u) sinh t, para todo t R e assim

u = (u)(cosh t+ p sinh t)

33

. onde tanh t = ba, ou seja t = ln

a+bab , ou de modo equivalente

t = lna+ b

(u)

. Desta Forma denimos a forma polar para os nmeros perplexos u tal que a > |b|.Para a < |b| denimos a formar polar de u como sendo (1) vezes a forma polar de u.Para b > |a| denimos a forma polar de u como sendo a forma polar de pu multiplicadopor p

Para b < |a| denimos a forma polar de u como sendo p vezes a forma polar de pu.

Exemplo 4.1. Escrever os nmeros perplexos abaixo na sua forma polar.

a) u = 3 + 2

2p

Soluo. Ora (u) =

9 8 = 1, sabendo que 3 > 0 e 3 > 22, logo u H1.Assim temos que t = ln(3 + 2

2) portanto a forma polar u = cosh ln(3 + 2

2) +

p sinh ln(3 + 2

2)

b) u = 5 + 4p

Soluo. Ora (u) =

25 16 = 3, sabendo que 5 > 0 e 5 > 4, logo u(u)

H1. seguedo exposto acima que t = ln5+4

3= ln3, portanto a forma polar u = 3(cosh ln3 +

p sinh ln3).

c) u = 5 4p

Soluo. Ora (u) =

25 16 = 3, sabendo que 5 > 0 e 5 > 4, concluimos queu(u)

H1. segue do exposto acima que t = ln543 = ln13 , portanto a forma polar u = 3(cosh ln1

3+ p sinh ln1

3).

Consideremos os seguintes conjuntos:

H1 = {u U ; a > 0 e a > |b|} (4.5)

H1 = {u U ; a < 0 e a > |b|} (4.6)Hp = {u U ; b > 0 e b > |a|} (4.7)Hp = {u U ; b < 0 e b > |a|} (4.8)U = H1 H1 Hp Hp (4.9)

Proposio 4.9. Hp = pH1 = {ph; h H1}; H1 = 1H1 = {h; h H1} e Hp =pH1 = {ph; h H1}.

34

Demonstrao.

Hp = pH1 = {ph; h H1}.i. Hp pH1, seja u = a + bp Hp, ou seja, b > 0 e b > |a|, sabendo p2 = 1, temosu = ap2 + bp = p(b+ ap), assim h = b+ ap H1 logo u pH1.ii. Hp pH1, seja u pH1, u = p(a+ bp), a > 0 e a > |b|, logo u = b+ ap, assim u Hp.De i e ii temos a igualdade.

2. H1 = H1 = {h; h H1}.i. H1 (1)H1, seja u = a+bp, com a < 0 e a > |b|, sabendo que u = [(a)+(b)p],assim h = a+ (b)p H1 assim u (1)H1.ii. H1 (1)H1, seja u (1)H1, u = (a + (b)p), a < 0 e (a) > |b|, logou = b+ ap H1. De i e ii temos a igualdade.3. Hp = pH1 = ph;h H1. i. Hp pH1 , seja u = a + bp, com b < 0 eb > |a|, sabendo p2 = 1, temos u = ap2 + bp = p(b + ap) = p(b + (a)p), assimh = b+ (a)p H1 assim u pH1.ii. Hp pH1, seja u pH1, u = p(a+ bp), a > 0 e a > |b|, logo u = b+ (a)p,assim u Hp. De i e ii temos a igualdade.Exemplo 4.2.

Vamos localizar os nmeros perplexos

u(u), com (u) 6= 0 em relao aos conjuntos H1,

H1, Hp e Hp, B1 ou B2,

1. u = 3 2p, (u) = 32 (2)2 = 9 4 = 5 > 0, logo (u) = 5, como 3 > |2|,concluimos que

u(u) H1.2. u = 4 + 7p, (u) = (4)2 (7)2 = 16 49 = 33 < 0, logo (u) = 33, como

7 > |4|, concluimos que u(u) Hp3. u = 2 2p, (u) = 22 (2)2 = 4 4 = 0, logo u B24. u = 3 3p, (u) = (3)2 (3)2 = 9 9 = 0, logo u B1Exemplo 4.3. Escrever os nmeros perplexos abaixo na sua forma polar.

a. z = 1 + 2p

Temos que (z) =|1 4| = 3, como 2 > 0 e 2 > 1; concluimos que z

(z) Hp.Ento faamos z = p(1p + 2), onde h = 2 + p, e (h) =

4 1 = 3, 2 > 0 e 2 > 1,assim

h(h) H1. Logo h =

3(cosh ln 3

3+p sinh ln 3

3), deste modo z = p

3(cosh ln 3

3+

p sinh ln 33). Portanto, z =

3(sinh ln 3

3+ p cosh ln 3

3).

b. z = 2 + pTemos que (z) =

|4 1| = 3, como 2 < 0 e (2) > 1; concluimos quez(z) H1. Ento faamos z = (1)(2 p), onde h = 2 p, e (h) =

4 1 = 3,

2 > 0 e 2 > 1, assim h(h)

H1. Logo h =

3(cosh ln 13

+ p sinh ln 13), deste modo

z = (1)3(cosh ln 13

+ p sinh ln 13). Portanto, z =

3( cosh ln 3

3 p sinh ln 3

3)

35

c. z = 1 2p

Demonstrao. Temos que (z) =|1 4| = 3, como 2 < 0 e (2) > 1; concluimosque

z(z) Hp. Ento faamos z = (p)(2 p), onde h = 2 p, e (h) =

4 1 = 3,

2 > 0 e 2 > 1, assim h(h)

H1. Logo h =

3(cosh ln 13

+ p sinh ln 13), deste modo

z = (p)3(cosh ln 13

+ p sinh ln 13). Portanto, z =

3( sinh ln 3

3 p cosh ln 3

3)

Figura 4.4: Representao dos possivis sinais da "norma" no plano perplexo

Exemplo 4.4. Conjunto Q = {u P, u = r} ilimitado, visto que sua representaogeometrica uma hiprbole equiltera

4.6 A Multiplicao na Forma Polar de Nmeros Per-

plexos

Assim como nos nmeros complexos denimos a multiplicao atravs da forma polar,

nos nmeros perplexos tambm possivel fazer a multiplicao atravs da forma polar,

no entanto, devemos fazer uma anlise cuidadosa quanto os possivis resultados do pro-

duto e suas localizao entre os ramos hiperblicos e as Bissetrizes dos quadrantes pares

e mpares.

Consideremos os conjuntos H1, H1, Hp e Hp , B1 ou B2. Seja u U , ento u =k(cosh + p sinh ), onde k {1,1, p,p} de acordo com sua localizao entre os con-juntos H1, H1, Hp e Hp. Caso u P; (u) = 0 ento u B1 ou B2Sejam u e v elementos de U , escrevemos u = k(cosh +p sinh ) e v = k(cosh +p sinh ),

onde k, k {1,1, p,p}, ento:

u.v = k(cosh +p sinh ).k(cosh +p sinh ) = kk(cosh ( + )+p sinh ( + )) (4.10)

A expresso mostra que se tomarmos u e v pertencentes a Hk; k = {1,1, p,p}, o pro-duto uv H1. De modo particular u2n H1.

36

Para situarmos o produto de dois perplexos em U basta obtermos o resultado do produto

k = kk, visto que k {1,1, p,1}.Consideremos agora 0 < (u) 6= 1 e 0 < (v) 6= 1, pelo que foi visto anteriormenteu(u)

, v(v) U , com argumentos e respectivamente, portanto:

u.v = (u)u

(u)(v)

v

(v)= k(u)(v)(cosh ( + ) + p sinh ( + )) (4.11)

4.6.1 Diviso de dois Nmeros Perplexos

Para a diviso entre dois nmeros perplexos em sua forma polar, faamos algumas

consideraes acerca de , dados u e v, perplexos tomando (u) e (v) > 0, com e os

argumentos de

u(u)e

v(v)armamos que:

u

v= k

(u)

(v)(cosh ( ) + p sinh ( )) (4.12)

Soluo. Seja z U , e o argumento de z, do corolrio 4.3, segue que z1 = k(cosh p sinh ), assim dado u U , com o argumento de u, temos que u

z= u.z1 = k(cosh ()+

p sinh ())k(cosh p sinh ), logouz

= k cosh + p sinh , onde k {1,1, p,p}. Para completar a demons-trao, tomemos u tal que 0 < (u) 6= 1 e v tal que 0 < (v) 6= 1, como u1

(u1) U ,consideremos o argumento de u

(u), concluimos que v1 = k(v1)(cosh () p sinh ()),ento

uv

= u.v1 = k(u)(v)

(cosh ( ) + p sinh ( ))

4.6.2 Potenciao e Radiciao nos Perplexos

Do mesmo modo que a formula de Moivre utilizada nos nmeros complexos, utili-

zaremos uma verso hiperblica da frmula de Moivre para denimos a potncia de um

nmero perplexo.

Teorema 4.2 (Teorema de Moivre verso perplexa). Dado u P, com (u) > 0 e oargumento de

u(u), consideremos n Z, e k {1,1, p,p} ento:

un = kn[(u)]n(coshn + p sinh (n) (4.13)

Demonstrao. Vamos demonstrar por induo sobre n. Para n = 1 evidente o teorema.

Para n = 2 utilizando 4.11, temos que u2 = u.u = k2[(u)]2(cosh(2) + p sinh(2)), deste

modo o teorema verdadeiro para n = 2. Vamos supor que o teorema seja verdadeiro

para um certo n natural, ou seja, un = kn[(u)]n(coshn + p sinhn), tomemos ento

un+1 = un.u = {kn[(u)]n(coshn+p sinh (n))}.(k(u)(cosh +p sinh )), desenvolvendo

37

o produto perplexo dado em 4.11 e usando as igualdades hiperblicas dadas em 3.1.1,

temos un+1 = knk([(u)]n(u))(cosh (n + ) + p sinh (n + )), deste modo concluimos

que, un+1 = kn+1[(u)]n+1(cosh ((n+ 1)) + p sinh ((n+ 1))), deste modo o teorema

vlido para todo n natural

Faamos agora n = m, onde m um inteiro positivo, ento

[k(u)(cosh () + p sinh ()]n = (k(u)(cosh () + p sinh ())m

=1

(k(u)(cosh () + p sinh ())m

=cosh 0 + p sinh 0

(km[(u)]m(cosh (m) + p sinh (m))

= km[(u)]m(cosh (m) + p sinh (m)= kn[(u)]n(cosh (n) + p sinh (n)) (4.14)

Exemplo 4.5. Clculo de (3 + p)9

Como (u) =

9 1 = 22 escrevemos o nmero perplexos na sua forma polar 3 + p =2

2(cosh (ln

2) + p sinh (ln

2), ento (3 + p)9 = 2272 (cosh (9ln

2) + p sinh (9ln

2))

Exemplo 4.6. Clculo de (2 + p)9Como (u) =

4 1 = 3 escrevemos o nmero perplexos na sua forma polar2 +

p = (1)3(cosh (ln 13) + p sinh (ln 1

3), ento (2 + p)9 = (1)93 92 (cosh (9ln 1

3) +

p sinh (9ln 13))

4.6.3 Razes de Nmeros Perplexos

Calcular

nk(u)[cosh () + p sinh ()] determinar o perplexos z, tal que:

zn = k(u)[cosh () + p sinh ()] (4.15)

Vamos utilizar verso da frmula de Moivre para nmeros perplexos para responder esta

pergunta.

Seja z = k(z)[cosh + p sinh], pelo teorema 4.4, temos que:

zn = k(u)[cosh () + p sinh ()]

kn[(z)]n[coshn + p sinhn] = k(u)[cosh + p sinh ] (4.16)

Pela igualdade dos nmeros perplexos, temos:

kn = k e [(z)]n = (u) e tanh (n) = tanh . Para determinamos z devemos separar

dois casos.

38

1. Se n par ento k = 1, assim s possivel responder a raiz se u(u) H1. Neste caso

zn = u ter 4 razes, visto que k {1,1, p,p}, (z) = n(u) e = n.

2. Se n mpar ento k = k, e deste modo zn = u tem uma nica raiz, onde (z) =n(u) e =

n.

Exemplo 4.7. Clculo de

32 + pComo (u) =

4 1 = 3 escrevemos o nmero perplexos na sua forma polar2 + p =

(1)3(cosh (ln 13)+p sinh (ln 1

3), ento 3

2 + p = 31 63[cosh (13ln 1

3)+p sinh (1

1ln 1

3))

4.7 Equaes do 1

e 2

grau em P

4.7.1 Equao do 1

grau em P

Admitindo coecientes no conjunto P, as equaes passam a ter comportamento dis-tintos quanto a suas solues nos conjuntos dos nmeros reais ou complexos.

De fato h equaes do 1

grau, que tm innitas solues.

Exemplo 4.8. (1 + p)z (1 + p) = 0Soluo: Sendo z = a + bp, a equao ca, (a + b 1) + p(a + b 1) = 0 + 0p, logo{a+ b = 1

a+ b = 1, a = 1 b, e portanto z tm innitas solues.

possvel encontrar equaes na qual no existe soluo.

Exemplo 4.9. (1 + p)z 1 = 0Soluo: Sendo z = a + bp, a equao ca, (a + b 1) + p(a + b) = 0 + 0p, logo{a+ b = 1

a+ b = 0, 1 = 0, absurdo, e portanto (1 + p)z 1 = 0 no possui soluo.

possvel encontrar equaes na qual existe uma nica soluo.

Exemplo 4.10. (2 + p)z 1 = 0Soluo: Sendo z = a + bp, a equao ca, (2a + b 1) + p(a + 2b) = 0 + 0p, logo{2a+ b = 1

a+ 2b = 0, a = 2

3e b = 1

3, portanto z = 2

3 1

3p.

Proposio 4.10. A equao uz = v tm uma nica soluo em P se, e somente se, upossui inverso multiplicativo.

39

Demonstrao.

Seja u = a+ bp, z = x+ yp e v = c+ dp, como uz = v ax+ by+ (ay+ bx)p = c+ dp

{ax+ by = c

bx+ ay = d, possui uma nica soluo a2 b2 6= 0 u invertvel.

Corolrio 4.1. Seja s um nmero real diferente de zero, ento a equao sz = v possui

uma nica soluo.

4.7.2 Equao polinomial do 2

grau em P.

Decorre do teorema fundamental da lgebra que uma equao do segundo grau com

coecientes complexos tm exatamente duas razes complexas, se considerermos apenas

solues reais, ento a equao do segundo grau ter no mximo duas raizes reais.

J para a equao polinomial do 2

grau nos perplexos, h um fato marcante: a equao

z2 = 1 possui quatro solues perplexas, a saber, 1, 1 , p e p, visto que, 12 = 1,(1)2 = 1, p2 = 1 e (p)2 = 1. A fatorao de z2 1 = (z 1)(z + 1) = (z p)(z + p).Entretanto a equao z2 = 1, no possui soluo em P, pois z2 = (x + yp).(x + yp) =(x2 + y2) + 2xyp, ou seja, Re(z2) 0.Dada a equao z2 + z + = 0, com, , R e fazendo z2 + z + 2

4=

2

4

(z + 2)2 =

2

4 = 24

4. Faamos = 2 4, deste modo (z +

2)2 =

4. Segue que:

Se > 0, a equao possui quatro solues distintas.

De fato, (z + 2)2 =

4 4(z+2 )2

2 = 1 (2(z+

2

)

)2 = 1, que possui como soluo 1, p.Segue que

2(z+2

)

= 1 z = 2

2ou

2(z+2

)

= p z = 2

p2, todas distintas

Se = 0 possui como nica soluo z = 2. Caso < 0 no possui soluo.

Proposio 4.11. z2 = u Tem soluo em P se, e somente se, a |b|

Demonstrao.

H: z2 = u Tem soluo em P.T: a |b|, sendo u = (a, b).Seja z = x+yp a soluo da equao z2 = u, ento (x2+y2)+2xyp = a+bp, pela igualdade

dos nmeros perplexos,

{x2 + y2 = a

2xy = blogo, x2 +2xy+y2 = a+b ou x22xy+y2 = ab.

Segue que x2 +2xy+y2 = a+b (x+y)2 = a+b x+y = a+ b, como z = x+py soluo ento a b. Para x22xy+y2 = a b (xy)2 = a b xy = a b;como z = x+ yp soluo ento a b. deste modo a max{b,b} = |b|

H: a |b|, sendo u = a+ bpT: z2 = u tm soluo em P.Seja (x, y) uma pretensa soluo da equao z2 = u, ento (x2 + y2, 2xy) = (a, b)

40

{x2 + y2 = a

2xy = bLogo,

{x2 + y2 = a

x2y2 = b2

4

(x2, y2), so solues da equao do segundo

grau w2 aw + b24

= 0, que possui soluo a2 b2 0, ou seja, a |b|.

Nota 1. Admitindo que z2 = u possui soluo em P. Resolvendo a equao w2aw+ b24

= 0

e posteriormente retornando ao sistema inicial mostrasse que as solues so.

z0 =1

2[(a+ b+

a b) + (a+ ba b)p];z0; pz0;pz0. (4.17)Nota 2. Caso z0 6= 0 tal que z0 B1 B2, temos pz0 = z0 e pz0 = z0, ou seja, temosduas raizes perplexas distintas.

Nota 3. z0 6= 0 tal que z0 B1 B2, se, e somente se, u B1 B2; a = |b|.Nota 4. Se u = (0, 0) a nica soluo da equao z2 = u z = (0, 0)

Figura 4.5: Regio do plano que adimite raiz quadrada

Exemplos 1. Vamos determinar todas as razes perplexas dos polinmios abaixo:

(a) x2 4x = 0

Soluo. = (4)24.1.0 = 16, portanto temos quatro raizes perplexas, dadas porx = 4

16

2, ou seja x1 = 4, x2 = 0, ou x =

416p2, assim x3 = 2 + 2p ou x3 = 2 2p.Logo V = {0, 4, 2 + 2p, 2 2p}

(b) x2 = x

Soluo. x2 x = 0, assim = (1)2 4.1.0 = 1, portanto temos quatro raizesperplexas, dadas por x = 1

1

2, ou seja x1 = 1, x2 = 0, ou x =

11p2, assim x3 =

1+p2

ou x3 =1p

2. Logo V = {0, 1, 1p

2, 1+p

2}

(c) z2 + (p)z + (1 + p) = 0

41

Soluo. = (p)2 4.1.(1 + p) = 1 + 4 4p = 5 4p, como 5 > |4|, temosquatro raizes perplexas, dadas por x = p

54p

2, ou seja x =

p

(2p)22, x1 = 1p,ou x2 = 1, ou x = p

(2p)2p2

= p(2p1)2assim x3 =

1+p2ou x4 =

13p2. Logo

V = {1, 1 p, 1+p2, 13p

2}

(d) z2 + (2 + p)z + (1 + 5p) = 0

Soluo. = (2 + p)2 4.1.(1 + 5p) = 4 + 4p + p2 + 4 20p = 9 16p, como9 < |16|, no possui raiz.

(e) z2 (5 + p)z + 6 + 3p = 0

Soluo. = ((5 + p))2 4.1.(6 + 3p) = 25 + 10p + p2 24 12p = 2 2p,como 2 = |2|, possui duas razes perplexas, dadas por x = 5+p

22p

2, ou seja

x =5+p

(1p)22, x1 = 3, ou x2 = 2 + p, ou x =

5+p

(1p)2p2

= 5+p(p1)2assim

x3 = 2 + p ou x4 = 3. Logo V = {3, 2 + 2p}

(f) z2 (2 + 2p)z + 2 + 2p = 0

Soluo. = ((2 + 2p))2 4.1.(2 + 2p) = 4 + 8p + 4p2 8 8p = 0, possui umanica raiz perplexa, dada por x = 2+2p

0

2, ou seja x = 2+2p

2, x1 = 1 + p, Logo

V = {1 + p}

Exemplos 2. Sejam = a+ bp e = c+ dp em P e considere a equao

z2 + z + = 0 (4.18)

Vamos mostrar que se 4.18 tem soluo ento a2 + b2 4c |2ab 4d|.

Soluo.

z2 + z + = 0 (z + 2)2 =

2

4 , seja = 2

4 = a2+b24c

4+ 2ab4d

4p, admitindo

que 4.18 tem soluo e usando a proposio 4.12, conclumos que a2 +b24c |2ab 4d|.Caso = 0 + 0p, 4.18 apresentar um nica soluo

Caso 6= 0 entretanto B1 B2 e 4.18 admite soluo concluimos pela nota 2 e nota3, que 4.18 possui 2 solues distintas.

Caso no pertena a B1 B2 e 4.18 admita soluo conclumos que 4.18 tem 4 razesdistintas.

42

4.7.3 Equaes polinmiais em P

Do exposto acima possivel observar que um polinmio em P pode no ter razes, podeter um nmero nito de razes ou pode ter innita razes, alm do que o nmero de razes

do polinmio no controlado pelo grau do polinmio. Como exemplo citamos a equao:

(1 + p)z2 = 4 + 4p, onde z = a+ (2 a)p ou z = a (2 + a)p a R (4.19)A discursso sobre as razes de polinmios do 2

grau quando existem feitas em 4.16,

tambm nos indicam que podemos ter 4 raizes perplexas, os problemas a seguir trataram

de razes perplexas de polinomios de 3

o

e 4

grau, e indicaram um resultado acerca da

quantidade de razes desses polinmios.

Exemplo 4.11. Determinaremos todas as razes perplexas de z3 2z = 0Soluo. z3 9z = z(z2 9) = z(z 3)(z + 3) = 0, com solues reais, z = 0 ou z = 3.No entanto, z, z + 3 e z 3, podem ser tomados como divisores de 0.Seja z = a + bp, onde z(z 3) = 0 so divisores prprios de 0, pelo teorema 4.2, temosque a = b e a 3 = b ou a = b e a 3 = b.Se a = b e a 3 = b, ento 2a = 3, logo a = 3

2.

Deste modo z = 32

+ 32p

Se a = b e a 3 = b, ento a = 32, e a soluo z = 3

2 3

2p.

Seja z(z + 3) = 0 divisores de 0, assim resolvendo do mesmo modo, conclui-se que z =

32 3

2p ou z = 3

2+ 3

2p

Seja (z 3)(z + 3) = 0 divisores prprios de 0, ento z = 3p ou z = 3p. Portanto, oconjunto soluo S = {0, 3, 3, 3p, 3p, 3

2+ 3

2p, 3

2 3

2p, 3

2 3

2p, 3

2+ 3

2p,}Exemplo 4.12. Vamos determinar todas as razes perplexas de z4 5z2 + 4 = 0Soluo. z45z2 +4 = (z1)(z+1)(z2)(z+2) = 0, as razes reais, z = 1 ou z = 2.No entanto, (z 1), (z + 1) e z 2, z + 2, podem ser tomados como divisores de 0.Ao procedemos como no problema 4.5, e relembrado os conceitos de contagem, devemos

fazer 4 3, operaes onde 2 a 2 tomamos os fatores como divisores de 0. logo teremos4 3 + 4 raizes perplexas, ou seja, 16 raizes compe o conjunto soluo dado abaixo.S = {1,2,p,2p, 3

2 p

2,3

2 p

2, 1

2 3p

2,1

2 3p

2}Exemplo 4.13. Determinaremos todas as razes perplexas de (z p)(z2 + p) = 0Soluo. z = p, z = 1 soluo, visto que (1 p)(1 + p) = 0. Vamos vericar se existeoutras solues. seja z = a + bp, ento z p = a + (b 1)p e z2 = a2 + b2 + 2abp, logoz2+p = a2+b2+(2ab+1)p, devemos ter (zp, z2+p) B1 B2 ou (zp, z2+p) B2 B1.Se (z p, z2 + p) B1 B2

{a = b 1

a2 + b2 = 2ab 1 {

a b = 1a2 + 2ab+ b2 = 1 Impos-

sivel. Se (z p, z2 + p) B2 B1 {

a = b+ 1a2 + b2 = 2ab+ 1

{

a+ b = 1

a2 2ab+ b2 = 1

43

{a+ b = 1

(a b)2 = 1 , onde a = 1 e b = 0 e a = 0 e b = 1 so as nicas solues, portantoz = 1 ou z = p.

Uma Base Idempotente

Na discursso sobre as diferenas entre os conjuntos complexos e perplexos, citamos os

nmeros perplexos = {1+p2, 1p

2}. Tomemos 1 = 1p2 e 2 = 1+p2 e observemos que:

1. 1.2 = 0, De fato, sabendo que 1 B2 e 2 B1 decorre do teorema 4.1, 1.2 = 0

2. n1 = 1. Vamos demonstrar por induo sobre n. Para n = 1 imediato o resultado.

faamos n = 2, ento 21 = (1p

2)2, onde 21 =

12p+14

= 22p4, portanto 21 =

1p2

= 1.

Vamos supor a igualdade verdadeira para n > 2, ou seja, n1 = 1. Tomemos, n+11 ,

segue que n+11 = n1 .1

h.I= 11 =

21 = 1. Logo a igualdade vale para todo n

natural.

3. n2 = 2. A demonstrao feita de modo anlogo.

Proposio 4.12. Seja u = a+ bp um nmero perplexo ento existem nicos e reais

tais que u = 1 + 2.

Demonstrao.

Existncia: observe que a+ pb = (a b) (1p)2

+ (a+ b) (1+p)2, assim = a b e = a+ b.

Unicidade: Observe que (1p)2

+ (1+p)2

= 0 (+)2

+ ()2p = 0+0p

{ + = 0

= 0

= 0 e = 0 ento (1p)2

+ (1+p)2

= (1p)

2+

(1+p)2 () (1p)

2+( ) (1+p)

2= 0

= e =

Denominaremos como sendo a base idempotente de P

Proposio 4.13. Sejam u = 11 + 22 e v = 11 + 22, ento u.v = (11)1 +

(22)2

A demonstrao segui direto da observao de que 1.2 = 0.

Potncia de u = a+ bp na base

Vamos calcular a potncia un = (1 + 2)n, n N, utilizando da frmula Binmio.

(1 + 2)n = (1)

n +n1i=1

(n

i

)niini1

i2 + (2)

n, pelas observaes 2 e 3 feitas.

un = n1 + n2 (4.20)

44

Sabendo que = a b e = a + b, reescrevendo na base {1, p}, temos as coordenadasun = (a b)n1 + (a+ b)n2 = (ab)n+(a+b)n2 + (a+b)

n(ab)n2

p

Exemplo 4.14. Vamos mostrar que un = 0 u = 0. Se u = 0 imediato a armao.Por outro lado, tomemos un = 0, logo n1 +

n2 = 0 {n = 0

n = 0{ = 0

= 0

Exemplo 4.15. Vamos mostrar que u R = .Seja u = a+ bp, ento u = (a b)1 + (a+ b)2 = 1 +2, sabendo que u R, b = 0,e como = a b e = a+ b, logo = = a.

Exemplo 4.16. Na base temos que u B1 = 0 e u B2 = 0

Exemplo 4.17. Utilizando a Base vamos calcular:

(1 + p)n = (1 1)n1 + (1 + 1)n2 = 2n2 = 2n1(1 + p)(a+ ap)n = an(1 + p)n = 2n1an(1 + p)

(1 p)n = (1 + 1)n1 + (1 1)n2 = 2n1 = 2n1(1 p).

Exemplo 4.18. Vamos usar a base para encontrar u P tal que un = 1.Sabemos que un = n1 +

n2 = 1 = 11 + 12, assim

{n = 1

n = 1. Se n par, teremos

que = 1 e = 1, logo as respostas so os pares (1, 1); (1,1), (1, 1) e (1,1)que so respectivamente {1, p,p,1}. Caso n mpar, ento = = 1 portanto u = 1.

Exemplo 4.19. Vamos resolver agora equaes usando a base

a) u2 4u = 0. Sabemos que u = 1 + 2, e 4 = 41 + 42, logo u2 = 21 + 22e 4u = 41 + 42, logo u

2 4u = (2 4)1 + (2 4)2 = 0 2 4 = 0 e2 4 = 0, assim = 0 ou = 4 e = 0 ou = 4 assim as solus em {1, 2}, so(0, 0); (0, 4); (4, 0) e (4, 4) que na base {1, p} so os nmeros {0, 2 + 2p, 2 2p, 4}.b) u2 + (p)u + (1 + p) = 0. Para simplicar a escrita vamos usar pares ordenados,mas sempre lembrando que a base . u = (, ); p = (1, 1) e 1 + p = (2, 0),logo u2 + (p)u + (1 + p) = (2, 2) + (, ) + (2, 0) = (0, 0) (2 2, 2 + + 0) = (0, 0), portanto = 2 ou = 1 e = 0 e = 1, assim as solusem {1, 2}, so (2, 0); (2,1); (1, 0) e (1,1) que na base {1, p} so os nmeros{1 p, 1

2 3

2p, 1

2+ 1

2p,1}.c) z2 +(2+p)z+(1+5p) = 0. fazendo u = (, ), 2+p = (1, 3), 1+5p = (6, 4), logoz2 +(2+p)z+(1+5p) = (2, 2)+(, 3)+(6, 4) = (0, 0) (2 +6, 2 +3+4) =(0, 0). Ora 2 + 3 + 4 = 0 2 = 32 4.4. como 9 < |16|, no possui raiz.

45

Equao do 2

grau na base

Vamos retornar a equaes do segundo grau u2u+ = 0, onde , P, no entantotomemos todos na base {1, 2}, assim u = (, ) e = (1, 1) e = (2, 2), logou2u+ = (2, 2)+(1, 1)+(2, 2) = (0, 0) (2+1+2, 2+1+2) = (0, 0){2 + 1 + 2 = 0

2 + 1 + 2 = 0, onde 1 =

21 42 e 2 = 21 42. Vamos separar os casos.

1 > 0 e 2 > 0, existe 4 raizes perplexas distintas,

1 < 0 ou 2 < 0, nao existe raiz perplexa,

1 = 0 ou 2 = 0, 2 raizes perplexas distintas,

1 = 2 = 0, existe uma raiz perplexa.

Teorema 4.3. Se h(u) =n

i=0 aiuie an invertvel ento o nmero de razes de h(u)

menor ou igual a n2

Demonstrao. Seja an = a1n1 + a2n2 = (a1n, a2n) e u = r1 + s2 = (r, s). Te-

mos que a1n.a2n 6= 0, pois an invertvel, ui = (ri, si), logo h(u) =n

i=0 aiui =n

i=0 (a1iri, a2is

i), portanto h(u) = (n

i=0 a1iri,n

i=0 a2isi), sejam f(r) =

ni=0 a1ir

ie

g(s) =n

i=0 a2isi, como o total de raizes de h(u) dado por card(Rh) = card(Rf Rg) =

card(Rf ).card(Rg), como a1n e a2n so no nulos os polinmios f e g tem grau n por-

tanto no so identicamente nulos . O total de razes de h(u) dado por card(Rh) =

card(Rf ).card(Rg) como card(Rf ) n e card(Rg) n, conclumos que card(Rh) n2.

Teorema 4.4. Se h(u) = (u 1)...(u q) um polinmio com q fatores perplexos ondei j invertvel, para i, j = {1, ..., q}, ento h(u) possui q2 raizes perplex