Nuno Ferreira Departamento de Engenharia Electrotécnica ...dei.isep.ipp.pt/~ana/ROBOTICA/docs/Palestra_ISEP2005.pdf · Nuno Miguel Fonseca Ferreira Controlo de Robôs Manipuladores

Nuno Miguel Fonseca Ferreira Controlo de Robôs Manipuladores 1

ROBÔS MANIPULADORES

Nuno FerreiraDepartamento de Engenharia ElectrotécnicaInstituto Superior de Engenharia de Coimbra


Robôs Manipuladores

1. Modelização2. Cinemática3. Região de Trabalho4. Planeamento das Trajectórias5. Dinâmica6. Controlo de Posição 7. Controlo de Posição/Força8. Cooperação entre Manipuladores9. Manipulabilidade


A modelização de um manipulador robótico requer o estabelecimento da cinemática e da dinâmica.

A cinemática trata do estudo analítico da geometria do movimento de um braço robótico.

A dinâmica relaciona as posições, velocidades e acelerações que ocorrem numa trajectória com as forças/binários fornecidos pelos actuadores.

Modelização


Cinemática

Um manipulador robótico pode ser modelizado como uma cadeia articulada de elos rígidos interligados por juntas (rotacionais ou prismáticas) movidas por actuadores.

Robô

ABB IRB 60


Cinemática

Uma das extremidades da cadeia está ligada a uma base de suporte, enquanto que a outra élivre e possui um órgão terminal para a manipulação de objectos e a realização de tarefas


Cinemática

Kuka KR125L90

O movimento combinado das juntas resulta no movimento dos elos que posicionam o órgão terminal.


Cinemática

Relação geométrica que envolve as coordenadas na região de trabalho {x, y} e as variáveis nas articulações {q1, q2}.

O sentido da transformação de coordenadas: cinemática directa {q1, q2} −> {x, y} cinemática inversa {x, y} −> {q1, q2}

Em qualquer dos casos pode-se estabelecer uma relação diferencial (em ordem ao tempo) de onde resulta a cinemática diferencial.


Cinemática

Duas propriedades importantes: Na cinemática directa existe só uma solução;Na cinemática inversa podem existir várias soluções;

“cotovelo em cima”“cotovelo em baixo”

l2

l1

q1

q2

J2m

J1m

J2g

J1g

x

y

Cotovelo para cima

Cotovelo para baixo


Cinemática - DirectaDefinindo Pi como sendo o vector que vai da base do sistema de eixos Oxy até á extremidade do elo i, tem-se P1 = P1’ e P2 = P1’ + P2’.

na forma matricial:

=

2

111 qsen

qcosl'P

( )( )

++

=21

2122 qqsen

qqcosl'P

( )( )

++++

=

21211

21211

qqsen.lqsen.lqqcos.lqcos.l

yx


Cinemática Diferencial de 1ª de 2ªOrdem

Relação entre a velocidade das juntas e a velocidade cartesiana do manipulador

=

2

1

qq

yx

&

&

&

&J

( ) ( )( ) ( )

++++−+−−

=21221211

21221211

cos.cos.cos....

qqlqqlqlqqsenlqqsenlsenql

J

Ao derivar a expressão do Jacobiano obtém-se as equações da aceleração

( )( )

( )( ) ( )

+

++

−

+

++−−

=

2

21

21

21211

21211

21

1

21211

21211

qq

qqqcos.lqcos.lqqsen.lqsen.l

qqq

qqcos.lqcos.lqqsen.lqsen.l

yx

&&

&

&&&&

&&

&&

&&


Cinemática - Inversa

Se (x, y) estiver fora da área de trabalho do braço robô, não é possível encontrar uma solução

No caso do ponto (x, y) estar dentro do espaço de trabalho podem existir uma ou mais soluções.

−−+

+

−

=

−

−−

21

22

21

221

221

2211

2

1

..2cos

cos..tantan

llllyx

qllsenql

xy

qq


Cinemática – Diferencial Inversa de 1ªOrdem

As velocidades dos ângulos das juntas, são obtidas encontrando o Jacobiano inverso (J−1)

=

yx

qq

2

1

&

&

&

& 1-J

1

2121121211

212212

2212

1

)()cos(cos)()cos(1

−

+−−+−−

++=

J

yx

qqsenlsenqlqqlqlqqsenlqql

senqllqq

&

&

444444444444 3444444444444 21&

&


Cinemática – Diferencial Inversa de 2ªOrdem

( )( ) ( )

−−

++=

+ y

xqsen.lqcos.l

qqsen.lqqcos.lqsenl.l

1qq

q

1111

212212

22121

1

&&

&&

&&&&

&&

( )

+

−−+

221

21

121121

22221

221 qq

qqcos.l.ll

lqcos.l.lqsenl.l

1&&

&


Cinemática – Inversa

No caso de x = y= 0 e considerando l1 = l2, obtém-se uma solução indeterminada.

Se o manipulador estiver na origem e l1=l2, existem infinitas soluções, pois qualquer ângulo q1 éadmissível.





Região de Trabalho

A região de trabalho corresponde à zona onde o robô pode manipular a sua “mão”

A região/área de trabalho do robô édeterminada pelas seguintes características;

- estrutura cinemática do robô;- comprimento dos seus elos;- limitações dos movimentos das juntas.


Região de Trabalho

Exemplo deRobôs da ABB:


Região de TrabalhoOutros Robôs da ABB:


Região de TrabalhoProblemas geométricos relacionados com o espaço de trabalho.

As trajectórias no espaço cartesiano apresentam alguns problemas nomeadamente:

os pontos intermédios que não são alcançáveis;valores elevados das velocidades nas juntas, perto das singularidades do robô; trajectórias apresentam diferentes soluções.


Região de Trabalho

os pontos intermédios que não são alcançáveis;


Região de Trabalho

valores elevados das velocidades nas juntas, perto das singularidades do robô;


Região de Trabalho

Começo e meta alcançável em soluções diferentes;





Planeamento de Trajectórias

O planeamento de trajectórias consiste na especificação do caminho que o órgão terminal do robô deve percorrer quer no espaço quer no tempo.

Por outras palavras, não são somente os pontos por onde o robô deve passar que devem ser especificados, mas também os instantes em que são alcançados esses pontos.


Planeamento das Trajectórias

A

B

C



A definição da trajectória pode ser feita quer no espaço cartesiano quer no espaço das juntas.



As trajectórias definidas no espaço cartesiano encontram-se mais adaptadas para uma fácil visualização mas, por outro lado, acarretam uma carga computacional mais elevada quando se faz apelo à cinemática inversa.

A definição das trajectórias no espaço das juntas coloca uma carga computacional mais reduzida mas, em contrapartida, torna-se difícil antever qual a trajectória executada pelo robô no espaço operacional



Planeamento de Trajectórias no Espaço Cartesiano

Planeamento de Trajectórias no Espaço das Juntas

{ } { })t(y),t(x)t(a),t(v),t(s →

{ } { })t(q),t(q)t(a),t(v),t(s 21→



O planeamento de trajectórias pode ser abordado de duas formas distintas

Especificação de um conjunto de pontos pelos quais o órgão terminal do robô deve passar, em determinados instantes, complementadas com restrições de posição, velocidade e aceleração que têm de ser cumpridas.

Especificação do tipo de movimento a ser efectuado pelo órgão terminal, nomeadamente, através de trajectórias do tipo rectilíneo.



+ Suave





Dinâmica

O estudo da dinâmica do braço do robô éimportante para a simulação, testando-se diferentes estratégias de controlo sem que isso implique custos e eventuais problemas mecânicos que podem ocorrer com robôs reais.

É ainda de salientar que o estudo da dinâmica étambém importante para a análise do manipulador na sua concepção mecânica.


Dinâmica

Relaciona as posições, velocidades e acelerações, que ocorrem numa trajectória do robô, com as correspondentes forças/binários requeridos aos actuadores.


Dinâmica

A dinâmica segue as leis da física clássica e pode ser expressa através de uma relação diferencial:

{ } { })t(T)t(q),t(q),t(q InversaDinâmicaiii →&&&

{ } { })t(q),t(q),t(q)0t(q),0t(q),t(T iiiDirectaDinâmica

ii &&&& →==


Dinâmica − Inversa

A dinâmica inversa para um robô com n eixos pode ser expressa por um conjunto de equações diferenciais não lineares da forma simbólica :

T representa o vector n × 1 dos binários dos actuadores; J é a matriz simétrica das inércias, de dimensão n ×n; C é o vector, n × 1 dimensional, dos binários/forças coriolis/centrípetos;G é o vector, n × 1 dimensional, dos binários/forças gravitacionais.

( ) ( ) ( )qGqqCqqJT ++= &&& ,


O Robô RR

l2

l1q1

q2

J2m

J1m

J2g

J1g

x

y


Dinâmica Inversa do Robô RR

( )

( )

++

+

+++

+++

=

g2m2

222

22122

22

2212

222

g1m12212

222

2121

JJrm

Crrmrm

Crrmrm

JJCrrm2rmrmm

qJ

( )

−−= 2

12212

2122122

22212

qSrrmqqSrrm2qSrrm,

&

&&&&qqC

( ) ( )

++=

1222

1222112111

CrgmCrmCrmCrmg

qG


Dinâmica − Directa

A dinâmica directa corresponde à integração da expressão

Normalmente adopta-se um método numérico de integração que seja computacionalmente eficiente. Neste sentido é de referir o algoritmo de Runge--Kutta

[ ]G(q))qC(q,TJ(q)(t)q 1 −−= − &&&

(0)qdtq(t)qt

0

&&&& += ∫

q(0)dtqq(t)t

0

+= ∫ &



1. Modelização2. Cinemática3. Região de Trabalho4. Planeamento das Trajectórias5. Dinâmica6. Controlo de Posição7. Controlo de Posição/Força8. Cooperação entre Manipuladores9. Manipulabilidade


Controlo de Posição

Uma vez desenvolvido um modelo do sistema manipulador é necessário considerar o seu controlo nomeadamente, as variáveis de posição/velocidade e variáveis de força.

O controlo de posição tem o objectivo de assegurar que uma sequência de movimentos planeados seja executada correctamente, face a eventuais erros resultantes das limitações computacionais e efeitos mecânicos.



As estratégias de controlo de posição são adequadas para tarefas onde o manipulador não interactua significativamente com os objectos na região de trabalho, tais como, a transferência de materiais, a pintura ou a soldadura por pontos.


Controlo de Posição “transferência de materiais”


Controlo de Posição “soldadura por pontos”


Controlo de Posição “Pintura”



A formulação básica de um algoritmo de controlo consiste na medição da posição do braço manipulador durante o movimento, na comparação com a posição desejada e, consequentemente, no desenvolvimento de uma actuação com vista a eliminar o eventual erro.

Desenvolvimento de algoritmos visa o controlo das variáveis posição, velocidade e força/binário de acordo com as tarefas a executar.



Desta forma, são apresentadas várias alternativas de controlo, nomeadamente:

controladores lineares versus não-lineares,controladores baseados em modelos.

Algoritmos concebido no espaço das juntas do manipulador Algoritmos concebido no espaço das no espaço cartesiano do manipulador



Controlo Baseado No Espaço Cartesiano:A alteração do algoritmo de controlo acarreta cálculos suplementares na malha de realimentação, devido às transformações cinemáticas.Assim, a mudança da estratégia de controlo do espaço das juntas para o espaço cartesiano pode ter vantagens e inconvenientes.os algoritmos são implementados com uma frequência de amostragem mais baixa do que os sistemas de controlo baseado nas juntas.A diminuição da frequência de amostragem, acarreta uma degradação da estabilidade do sistema.





Controlo de Posição/Força

O controlo de posição/força énecessário em trabalhos que envolvam o controlo de posição segundo certas direcções no espaço de trabalho e um controlo de força de contacto entre o órgão terminal do robô e a superfície de restrição nas restantes direcções.



As estratégias de controlo de posição/força são adequadas para tarefas tais como a:

montagem;polimento;Rebarbagem;

tarefas que envolvem contacto.




Modelo do Controlo de Posição/Força

θ

l2

l1q1

q2

J2m

J1m

J2g

J1g

x

y

xc

yc


Modelo da Superfície de Restrição

)( cocccx xxKxBxMF c −⋅+⋅+⋅= &&&

)()( 20102101 qqsenrqsenrxco −−+−= θθ

(q)FJG(q))qC(q,qH(q)T T−++= &&&

Força:

Deslocamento:


CONTROLO HÍBRIDO

Robô e

Ambiente

Controladorde Posição

Controlador de Força

S Jc−1

JcTI−S

Cinemática

qYcd

qes

τPτff

τFτes FcFcd

+

+

+

+

+

−

−

I−S JcT

Yc


ALGORITMOS CLASSICOS (PIDs)

• Controlo de Posição : PD

• Controlo de Força : PI

( )ccd1

ces YYSJq −= −

esesP qbqaC PP += &

( )( )FFSIJτ dcTces −−=

eses τbdtτaC FFF += ∫

( ) dcTcff FSIJτ −=


Parâmetros do robô RR:

i ri (m) mi (kg) Jig(kgm2) Jim(kgm2) 1 0.5 1 1.0 4.0 2 6.25 0.8 1.0 4.0

{θ,M,B,K}≡{π/2,103,1.0,102} A superficie de restrição:

PD/PI: {Kp,Kd}≡{104,103}, {Kp,Ki}≡{103,102}

Trajectória:

Os Controladores de Posição e Força:

{x,y}≡{1,1}

{δycd,δFcd} = {10−1,0} and {δycd,δFcd} = {0,10}Perturbação:

EXEMPLO: CONTROLO HÍBRIDO


RESPOSTA TEMPORAL DO CONTROLADOR CH PARA UMA FORÇA DE 10N APLICADA NA SUPERFÍCIE DE CONTACTO

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-10

-5

0

5

10

15

20

dFxc(N)

Tempo (s)

ReferênciaCH


DESLOCAMENTO DA SUPERFÍCIE DE CONTACTO

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.01

-0.008

-0.006

-0.004

-0.002

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

dxc(m)

Tempo (s)

ReferênciaCH


RESPOSTA TEMPORAL PARA O ROBÔ IDEAL 2R

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

dy(m

)

Time (s)

dycPIDFO

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

dFx(

N)

Time (s)

dycPIDFO

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6-5

0

5

10

15x 10-4

dy(m

)

Time (s)

dFcPIDFO

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6-0.05

0

0.05

0.1

0.15

dFx(

N)

Time (s)

dFcPIDFO


Controlador em Cascata

Cinemática

xd

Fd

x

τ─

─

+

+ +

Posição

Velocidade

PLANEAMENTO

P/F

F

Controladorde Força

Ambiente

Forças

Robô

Cp CFControladorde Posição

Cinemática


RESPOSTA EM FREQUÊNCIA CONTROLO HÍBRIDO vs CONTROLO EM CASCATA

10-1 100 101 102 103 10410

20

30

40

50

60

70

80

90

100

|Fx(w)/yd(w)|

w(rad/s)

CHCC

10-1 100 101 102 103 104-50

-40

-30

-20

-10

0

10

|y(w)/yd(w)|

w(rad/s)

CHCC


A ocorrência de impactos

θc

l2

l1q1

q2

J2m

J1m

J2g

J1g

x

y

xc

yc

{xi,yi}

Trajectória

cθ̂


Sem Erro de estimação na inclinação θc daSuperfície de Restrição. Exemplo: θc= 45º.

1 1.5 2 2.5-0.01

-0.008

-0.006

-0.004

-0.002

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

dxc(m)

Tempo (s)

ReferênciaCHCC

1 1.5 2 2.5-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

dy(m)

Tempo (s)

ReferênciaCHCC

1 1.5 2 2.5-0.01

-0.008

-0.006

-0.004

-0.002

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

dx(m)

Tempo (s)

ReferênciaCHCC

1 1.5 2 2.5-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

dFxc(N)

Tempo (s)

ReferênciaCHCC


Erro de estimação na inclinação θc da Superfíciede Restrição. Exemplo: θc= 44º.

1 1.5 2 2.5-0.01

-0.008

-0.006

-0.004

-0.002

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

dxc(m)

Tempo (s)

ReferênciaCHCC

1 1.5 2 2.5-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

dFxc(N)

Tempo (s)

ReferênciaCHCC

1 1.5 2 2.5-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

dy(m)

Tempo (s)

ReferênciaCHCC

1 1.5 2 2.5-0.025

-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

dx(m)

Tempo(s)

ReferênciaCHCC


Erro de estimação na inclinação θc da Superfíciede Restrição. Exemplo: θc= 46º.

1 1.5 2 2.5-0.01

-0.008

-0.006

-0.004

-0.002

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

dxc(m)

Tempo (s)

ReferênciaCHCC

1 1.5 2 2.5-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

dFxc(N)

Tempo (s)

ReferênciaCHCC

1 1.5 2 2.5-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

dy(m)

Tempo (s)

ReferenciaCHCC

1 1.5 2 2.5-0.01

-0.008

-0.006

-0.004

-0.002

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

dx(m)

Tempo (s)

ReferênciaCHCC


O erro quadrático da resposta temporal de ε versusa estimação do ângulo de orientação para CH e o CC com δyd = 10−3 m

43 43.5 44 44.5 45 45.5 46 46.5 470

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6x 10-5

ε

Orientation (graus)

CHCC

dxc(m)

43 43.5 44 44.5 45 45.5 46 46.5 470

0.5

1

1.5

2

2.5

3x 104

ε

Orientation (graus)

CHCC

dFxc (Nm)

43 43.5 44 44.5 45 45.5 46 46.5 470

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5x 10-5

ε

Orientation (graus)

CHCC

dy (m)

43 43.5 44 44.5 45 45.5 46 46.5 470

1

2

3

4

5

6

7x 10-5

ε

Orientation (graus)

CHCC

dx (m)


43 43.5 44 44.5 45 45.5 46 46.5 470

1

2

3

4

5

6

7x 10-13

ε

Orientation (graus)

CHCC

dxc (m)

43 43.5 44 44.5 45 45.5 46 46.5 470

1

2

3

4

5

6

7x 10-5

ε

Orientation (graus)

CHCC

dFxc (m)

43 43.5 44 44.5 45 45.5 46 46.5 470

1

2

3

4

5

6

7

8

9x 10-13

ε

Orientation (graus)

CHCC

dy (m)

43 43.5 44 44.5 45 45.5 46 46.5 472

4

6

8

10

12

14

16x 10-13

ε

Orientação (graus)

CHCC

dx (m)

O erro quadrático da resposta temporal de ε versusa estimação do ângulo de orientação para CH e o CC com δFd = 10−3 m





Cooperação entre Robôs Manipuladores

Os manipuladores robóticos quando utilizados em cooperação podem realizar outro tipo de tarefas, à semelhança do que se passa com o ser humano;

(x2,y2)

y

(x1,y1)

x

l0α0

lb

Robô A Robô B



A cooperação entre os braços permite a realização de tarefas de uma forma mais rápida e precisa;

O ser humano utiliza os dois braços muitas vezes por auxilio diminuído os esforços aplicados;

No entanto a existência de uma cadeia fechada de elos representa um desafio para o controlo de movimento e das forças internas em cada um dos robôs;



A utilização de dois braços, permite executar tarefas com objectos longos ou largos, que se forem apenas suportados por um dos lados são usualmente difíceis de carregar;





Vantagens e desvantagens de ter Nrobôs cooperantes.Arquitecturas de Controlo de Posição/Força de Manipuladorescooperantes.

Diferentes Algoritmos de ControloDiferentes Modelos do Objecto

Índices de manipulabilidade (Desempenho)Índices de equilíbrio/desequilíbrio.Índices de esforço da distribuição de:

BináriosEnergiaEstabilidade


Controlo de Posição/Força de Manipuladores Cooperantes

Cinemática

xd

Fd

x

τ─

─

+

+ +

Posição

Velocidade

PLANEAMENTO

P/F

F

Controladorde Força

Objecto

Forças

Robôs

Cp CFControladorde Posição

Cinemática


RESPOSTA TEMPORAL PARA DOIS ROBÔS IDEAIS A SUPORTAREM UM OBJECTO

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

dFyA(N)

Tempo (s)

ReferênciaPD/PIFO

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-100

0

100

200

300

400

500

600

dFxA(N)

Tempo (s)

ReferênciaPD/PIFO

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

dyA(m)

Tempo (s)

ReferênciaPD/PIFO

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

dxA(m)

Tempo (s)

ReferênciaPD/PIFO





Manipulabilidade

A manipulabilidade é um indicador do desempenho das tarefas do robô na sua região de trabalhoYoshikawa, propos para um robô o seguinte indice:

µ= [det(J JT)]½

O calculo de µ para um robô é relativamente fácilA definição e o calculo de µ é mais complexo se considerarmos mais do que um robôAdoptou-se uma aproximação numérica para ultrapassar este problema


Manipulabilidade

O método numérico consiste em:

i) gerar uma amostragem aleatória de n pontos dentro de umaesfera de raio ρ no espaço das juntas com centro em (q1c,…,qkc)

ii) Mapeando os pontos através da cinemática directa para o espaçooperacional, (uma elipsoide com centro em (xc,yc).

iii) O tamanho e a forma de cada elipsoide determina a amplificaçãoentre o espaço das juntas e o espaço operacional.

A amplificação está relacionada com os valores próprios do Jacobiano e correspondem à area da elipsoide.


Manipulabilidade

q1

y

Cinemática Directa

q2

(xc,yc)

x

(q1c,q2c)


Manipulabilidade

Método de Yoshikawa

Método Numérico

221 sen)det( qllJJ T ==µ


ManipulabilidadeForam considerados alguns sub-indices para simplificar o estudoda manipulabilidade de vários braços:

•O sub-indice µ1 representa o valor máximo de µ, em todas as possibilidades da região de trabalho W.

µ1 = Max [ µ(x,y),∀ (x,y) ∈ W ] (2)

• O sub-indice µ2 é o volume médio de µ considerando apenas a região de trabalho W onde µ ≠ 0 .

µ2 = Av [ µ(x,y),∀ (x,y) ∈ W: µ (x,y)≠0 ] (3)

• O sub-indice µ3 é o volume médio de of µ, em todas as possibilidades da região de trabalho W.

µ3 = Av [ µ(x,y),∀ (x,y) ∈ W ] (4)


Manipulabilidade

A manipulação µ1, µ2 e µ3 na região de trabalho de dois robôs a trabalharem em cooperação para lb ∈ [0, 4[ versus l1/l2 com l1+l2=2m, e l0 = 1m considerando α0 = 0.

01

23

4

01

23

40

0.1

0.2

0.3

0.4 l0=1(m)

α0=0 (Deg)

µ2

l1/l2 lb(m)01

23

4

01

23

40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

lb(m)l1/l2

µ1

l0=1(m)

α0=0 (Deg)

01

23

4

01

23

40

0.1

0.2

0.3

0.4

α0=0 (Deg)

l0=1(m)

µ3

l1/l2 lb(m)


ManipulabilidadeExemplo: Robô 1 = Robô 2 {l1 = l2 = 1 m}

µ1 = Max [ µ(x,y),∀ (x,y) ∈ W ]

01

23

4

-100

0

100

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

lb(m)α0

µ1

(Deg)

l0=0(m)

01

23

4

-100

0

100

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

lb(m)α

0

µ1

(Deg)

l0=0.5(m)

01

23

4

-100

0

100

0

0.1

0.2

0.3

0.4

lb(m)α0

µ1

l0=1.5(m)

(Deg)01

23

4

-100

0

100

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

lb(m)α

0

µ1

(Deg)

l0=1(m)



µ2 = Av [ µ(x,y),∀ (x,y) ∈ W: µ (x,y)≠0 ] 01

23

4

-100

0

100

0

0.1

0.2

0.3

0.4

lb(m)α

0

µ2

l0=1.5(m)

(Deg)01

23

4

-100

0

100

0

0.1

0.2

0.3

0.4

lb(m)α

0

µ2

l0=1(m)

(Deg)

01

23

4

-100

0

100

0

0.1

0.2

0.3

0.4

lb(m)α

0

µ2

(Deg)

l0=0(m)

01

23

4

-100

0

100

0

0.1

0.2

0.3

0.4

lb(m)α0

µ2

(Deg)

l0=0(m)



µ3 = Av [ µ(x,y),∀ (x,y) ∈ W ]0

12

34

-100

0

100

0

0.1

0.2

0.3

0.4

lb(m)α

0

µ3

l0=1.5(m)

(Deg)0

12

34

-100

0

100

0

0.1

0.2

0.3

0.4

lb(m)α

0

µ3

l0=1(m)

(Deg)

01

23

4

-100

0

100

0

0.1

0.2

0.3

0.4

lb(m)

α0

µ3

(Deg)

l0=0.5(m)

01

23

4

-100

0

100

0

0.1

0.2

0.3

0.4

lb(m)α

0

µ3

(Deg)

l0=0(m)



01

23

4

01

23

40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

lb(m)l0(m)

µ1

α0=0

01

23

4

01

23

40

0.1

0.2

0.3

0.4

lb(m)l0(m)

µ2

α0=0

01

23

4

01

23

40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

lb(m)l0(m)

µ3

α0=0




Obrigado pela atenção, e bom trabalho a todos.

Documents

Nuno Ferreira Departamento de Engenharia Electrotécnica ...dei.isep.ipp.pt/~ana/ROBOTICA/docs/Palestra_ISEP2005.pdf · Nuno Miguel Fonseca Ferreira Controlo de Robôs Manipuladores