M O T I V A O

F U N E S C O M P L E X A S

definies

propriedades (Teorema de Cauchy) C A M I N H O D E N Y Q U I S T

D I A G R A M A S D E N Y Q U I S T

C R I T R I O D E E S T A B I L I D A D E D E N Y Q U I S T

E S T A B I L I D A D E R E L A T I V A

Margem de Ganho

Margem de Fase

Mtodo de Nyquist

Motivao

Determinao e medida da estabilidade absoluta e relativa, que outros mtodos no conseguem fazer.

Aplicvel a funes de transferncias transcen-dentais ou determinadas experimentalmente.

Obs.: plano-s (P(s)) plano dos

polos e zeros!!!

p1*

p1 P(s) (plano-s)

Funes Complexas

A varivel independente (frequncia) s de Laplace dada por: s = +j

P(s) (plano-s)

So

o

o

j

Funes Complexas

Como s= + j, para representar G(s) so necessrios dois planos:

P(s) (plano-s)

So

o

o

j

(s) (plano complexo)

Im(G)

Re(G)

Domnio Contra-domnio

Transformao

G(So)

Funes Complexas: ex. 3D

Definies

a) A derivada de G(s) no ponto so dada por:

b) Se a derivada existe no interior de uma regio do plano complexo, onde os extremos so finitos e definidos, G(s) dita analtica nesta regio.

c) Pontos de G(s) que no so analticos, so chamados pontos singulares ou singularidades de G(s). Todo polo de G(s) uma singularidade.

.)()(

limsos

soGsG

ds

dG

sossos

Definies

d) Um curva fechada no plano complexo uma curva contnua que comea e termina num mesmo ponto

Im(G)

Re(G)

Definies

e) Todos os pontos que ficam direita de uma curva quando se anda no sentido pr-estabelecido so ditos contornados pela curva (pontos em amarelo).

Im(G)

Re(G)

Definies

Re(G)

Im(G) Origem contornada

Definies

Re(G)

Im(G) Origem fora da regio contornada.

Definies

Re(G)

Im(G) Origem contornada uma vez, positivamente

f) O sentido horrio (SH) ser considerado o sentido positivo

Definies

Re(G)

Im(G) Uma volta positiva ao redor da origem.

g) Uma curva fechada d n vezes na origem positivamente quando a reta que liga a origem a um ponto da curva percorrer nx360 no sentindo horrio.

Definies

Re(G)

Im(G) Volta negativa ao redor da Origem.

Definies

No=+1

Re(G)

Im(G)

Voltas lquidas: No= nxSH-mxSAH

Propriedades da Transformada G(s)

Para G(s) analtica, a transformao :

Unvoca

Contornos no plano-s (P(s)) excluem singularidades

A transformada conforme: ngulos e orientao relativas no plano-s so preservadas no plano complexo do contra-domnio ((s)).

Transformada conforme trajetria fechada no plano-s trajetria fechada no plano (s).

Transformada conforme P(s) (s)

Teorema de Cauchy

Tambm conhecido como Princpio do Argumento

O nmero de voltas (No) num contorno fechado ao redor da origem do plano (s) igual ao nmero de zeros (Zo) menos o nmero de polos (Po) de G(s) que so contornados por uma curva fechada no plano-s:

No= Zo-Po.

Ilustrao:

Teorema de Cauchy

j

P(s) (plano-s)

Domnio

Ilustrao:

Teorema de Cauchy

Im(G)

Re(G)

(s)

No= +1

Contra-domnio

SH

Teorema de Cauchy (cont.)

Se a origem contornada pela curva no plano

(s), ento No>0, caso contrrio No0, isto , a origem no contornada ou contornada negativamente (SAH).

Im(G)

Re(G)

(s)

No= -1 SAH

Diagramas polares

Ento, G(s) com s= + j.

No caso especial em que = 0, G(j) a funo de transferncia senoidal. O plano-s torna-se a reta do eixo imaginrio. G(j) pode ser descrita no contra-domnio em funo de um nico parmetro, a frequncia. Com o auxlio da reta j do plano-s, constroem-se os diagramas polares no plano (s).

jejGjwGjGjG )()()()(

Diagramas polares

Im(G) (s)

Re(G)

o

)( jG

Considere agora a curva fechada C no plano-s, que contorna todos os pontos no semi-plano direito. Se G(s) tem polos no eixo imaginrio ou na origem a curva C, contorna estes pontos com pequenas circunferncias de raio 0.

O raio R de C tende para infinito: R , de modo que a curva engloba todo o semi-plano direito do plano-s. Evidentemente, a curva C contornar todos os polos e zeros de G(s) que estiverem no semiplano direito.

Caminho de Nyquist

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