Nyquist (do começo para o fim)

Nyquist (do começo para o fim)

• O critério de Estabilidade de Nyquist relaciona a resposta em frequência de malha aberta G(j)H(j) ao número de zeros e polos de 1+G(s)H(s) que se situam no SPLD;

• Observe-se que embora as singularidades da FTMA possam estar no SPLD o sistema será estável se os polos da FTMF estiverem SPLE;

Nyquist (do começo para o fim)

• O critério é útil em engenharia porque a estabilidade absoluta do sistema em MF pode ser determinada graficamente a partir das curvas de resposta em frequência em MA e não há necessidade de determinar efetivamente os polos da MF;

• As curvas de resposta em frequência de MA obtidas analítica e experimentalmente podem ser usadas na análise da estabilidade;

Nyquist (do começo para o fim)

• Princípio de Argumento de Cauchy (PAC)

• O critério de Nyquist pode ser visto como uma aplicação em Controle de um resultado de análise complexa (Re e Im) conhecido como Princípio do Argumento Cauchy.

Nyquist (do começo para o fim)

• Princípio de Argumento de Cauchy (PAC)

• Seja F(s) uma função racional (que pode ser escrita como razão de 2 polinômios) analítica (com derivada em todos os pontos), numa região especificada do plano s, exceto em um número finito de pontos;

• F(s) = 1 + G(s)H(s)

Nyquist (do começo para o fim)

• Princípio de Argumento de Cauchy (PAC)

• Suponhamos que um caminho (arbitrário) fechado CS é escolhido no plano j de modo que não passe por nenhum pólo ou zero de F(s). Quando percorrido o caminho CS, o correspondente contorno CF de F(s) envolverá a origem do plano F um número de vezes dado por: N = P-Z.

Nyquist (do começo para o fim)

• onde:

• N: número de envolvimentos da origem pelo “lócus” de F(s) no plano F, considerando-se positivo o envolvimento AH e negativo o horário.

• P: nr. de pólos de F(s) envolvidos por CS no plano j

• Z: nr de zeros de F(s) envolvidos por CS no plano j.

Aplicação em Controle:

1. F(s) = 1 + G(s) = 0 (equação característica)

2. G(s): FTMA

3. G(s) / F(s) = FTMF

4. Para que o sistema seja estável em MF, todos os zeros de F(s) [pólos do SCMF] devem estar no SPLE de s;

Aplicação em Controle:

5. Escolhe-se uma curva fechada CS envolvendo todo o semiplano direito do plano s;

6. Obtém-se a curva correspondente CF e determina-se N, o número de vezes que CF envolve a origem do plano F(s);

Aplicação em Controle:

7. O número de zeros de F(s) no semiplano direito (interior de CS) é igual a Z = N + P, onde P é o número de pólos de F(s) no semiplano direito.

8. CF: mapeamento de CS no plano F(s)

9. O valor de P é conhecido. O que não se conhece é Z, o número de zeros de F(s) (pólos do sistema em malha fechada) no semiplano direito.

Aplicação em Controle:

10. Para obter Z seria necessário fatorar o numerador de F(s). O Princípio do Argumento permite determinar Z indiretamente através de N, o número de vezes que a curva CF envolve a origem do plano F(s);

Aplicação em Controle:

11. CG = {G(s) = -1 + F(s), s Cs}

12. CG é a CF transladado de -1+j0

13. Envolvimento da origem no plano F(s) significa envolvimento de -1 no plano G(s);

14. Para que Z = N+P = 0, isto é, para que nenhum zero de F(s) pólo do SCMF] esteja no SPLD de s, CG deve envolver P vezes -1 no sentido AH.

Nyquist (do começo para o fim);

Outra maneira de expressar o critério de Nyquist

• Para estabilidade Z = N + P

• Z: número de zeros de 1+G(s)H(s) no SPLD;

• N: número de envolvimentos de -1 CW-H (clockwise, horário);

• P: número de polos de G(s)H(s) no SPLD;