o Artigo Final Cavidades Emc Out 2011

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APLICAÇÃO DO MÉTODO LAGRANGIANO SPH (SMOOTHED PARTICLE

HYDRODYNAMICS) PARA A SOLUÇÃO DO PROBLEMA DAS CAVIDADES

Pinto, W.J.N. – [email protected] do Federal do Espírito Santo, Centro Tecnológico - Laboratório de Simulação

de Escoamentos com Superfície Livre (LABESUL) - Av. Fernando Ferrari, 514, CampusUniversitário, Goiabeiras, 29075-910, Vitória - ES, Brasil, Tel. + 55 27 4009 2256.

Fraga Filho, C.A.D. – [email protected] do Federal do Espírito Santo, Centro Tecnológico - Laboratório de Simulaçãode Escoamentos com Superfície Livre (LABESUL) - Av. Fernando Ferrari, 514, CampusUniversitário, Goiabeiras, 29075-910, Vitória - ES, Brasil, Tel. + 55 27 4009 2256.

Instituto Federal do Espírito Santo, Campus de Guarapari – Estrada da Tartaruga S/Nº,Muquiçaba, 29215-090, Guarapari - ES, Brasil, Tel. +55 27 3362 6607

Chacaltana, J.T.A. – [email protected] do Federal do Espírito Santo, Centro Tecnológico - Laboratório de Simulaçãode Escoamentos com Superfície Livre (LABESUL) - Av. Fernando Ferrari, 514, CampusUniversitário, Goiabeiras, 29075-910, Vitória - ES, Brasil, Tel. + 55 27 4009 2256.

Resumo. O estudo do fluxo laminar em cavidades quadrados, bi-dimensional cavidades(cavidades de cisalhamento driven) é uma questão muito explorada na literatura específica, etem sido um problema clássico de Mecânica dos Fluidos com uma complexidadeconsiderável. Este artigo tem desenvolvido a discretização da equação de Navier-Stokes pelométodo numérico de Lagrange SPH (Smoothed Particle Hidrodinâmica). A validação docódigo numérico utilizado nas simulações foi feita usando outros métodos numéricos. Osresultados foram aceitáveis e promissor.

Palavras-chaves: SPH (Smoothed Particle Hydrodynamics), cavidades bidimensionais,

equações de Navier-Stokes

1. INTRODUÇÃO

O estudo dos escoamentos laminares em cavidades (shear driven cavities) é bastanteexplorado pela literatura específica, constituindo-se em um problema clássico da Mecânica

dos Fluidos e possuindo certas complexidades. Esses escoamentos apresentam uma grandezona de recirculação, mesmo com baixos números de Reynolds (Frigo, 2004). É possívelobservá-los tanto em problemas de engenharia, quanto nas ciências que estudam a atmosfera eseus ambientes. Verificam-se as suas presenças em escoamentos que ocorrem em depressões evales, fuselagem e asas de aviões, cascos de embarcações e carrocerias de veículos, estádiosde esportes e sistemas de deposição continua de películas fotossensíveis sobre filmes e papéisfotográficos (Frigo, 2004) e (Mega, 2009).

Apenas a partir do século XIX foi possível a modelagem desses fenômenos, realizada pelasequações de Navier-Stokes, no caso de fluidos newtonianos e incompressíveis. As equaçõesdiferenciais parciais que modelam os problemas não apresentam soluções analíticas simples,

sendo necessário o emprego de técnicas numéricas para o alcance das soluções. Odesenvolvimento dos computadores e de suas disponibilidades para as pesquisas fez com que

mailto:[email protected]

mailto:[email protected]



estes se tornassem ferramentas importantes para a solução de diversos problemas de Mecânicados Fluidos, entre os quais se encontram os das cavidades (Marques, 2004).

A cavidade quadrada, objeto deste estudo, consiste de uma caixa de alturas e larguras iguais(d ), em que um fluido newtoniano, em seu interior, é posto em movimento pela parte superior

da caixa, que se desloca com uma velocidade u1 constante. As velocidades das demaisparedes da caixa são nulas e não há deslizamento do fluido nas mesmas (condição de não-deslizamento). Este problema é conhecido como shear driven cavity. A Figura 1 apresenta ascondições iniciais e de contorno que definem o escoamento na cavidade quadrada.

Figura 1: Descrição geométrica do problema com as condições iniciaise de contorno no interior da cavidade. Fonte: Marques, 2004.

Os problemas de escoamentos em cavidades já foram tratados por diversos métodos dediscretização com malhas, entre eles os de volumes finitos e diferenças finitas. Métodos semmalhas (meshless) também são empregados, entre os quais se encontra o método lagrangianode partículas SPH - ou Smoothed Particle Hydrodynamics (Marques, 2004).

O SPH teve como precursores os trabalhos desenvolvidos para solução de modelosastrofísicos (Lucy, 1977), (Gingold e Monaghan, 1977). Neste trabalho , o método SPH seráapresentado como uma forma de discretizar as equações de Navier-Stokes na formalagrangiana. Müller et al. (2003, apud Nakamura, 2007) desenvolveram a resolução destasequações utilizando o método SPH. Para as simulações realizadas, foi possível visualizar ofluido discretizado por partículas de forma interativa no tempo. Posteriormente, diversosoutros trabalhos contribuíram para o avanço do Smoothed Particle Hydrodynamics,resultando na sua atual aplicação em diversos campos da engenharia, destacando-se asimulação de escoamentos de fluidos compressíveis e não-compressíveis.

2. METODOLOGIA

2.1. Hidrodinâmica

As equações básicas que governam a hidrodinâmica são baseadas nas leis fundamentais dafísica de conservação: da massa, do momento linear e da energia. O problema estudado nestetrabalho consiste no escoamento de um fluido newtoniano e incompressível no interior deuma cavidade quadrada (2D). As equações de conservação da massa e do momento linear sãoempregadas para descrever o escoamento.



A equação de conservação da massa para um fluido incompressível e newtoniano, escrita noreferencial lagrangiano é:

0 Dt

D

(01)

onde:

é a massa específica do fluido;

t é o tempo.

A equação da conservação do momento linear é dada por:

k

m

mk

k

k g x x

P

Dt

Du

(02)

onde:

k u é o vetor velocidade;

P é o campo de pressões;

k x é o vetor posição;

km é o tensor das tensões de cisalhamento;

k g é a aceleração devida à gravidade;

(k,m) (1,2,3).

2.2 Método SPH (Smoothed Particles Hydrodynamics)

2.2.1. Raio de Influência

O cerne desse método versa na discretização do domínio de um número finito de partículas,para obtenção dos valores das grandezas de interesse, através da interpolação ponderada dosvalores encontrados, para as mesmas grandezas, nas partículas vizinhas. Resume-se naaproximação de funções complexas por funções mais simples, permitindo a construção de umnovo conjunto de dados a partir de um conjunto discreto de dados pontuais, previamenteconhecidos. As partículas encontram-se delimitadas sob um raio suporte ( h ), que define amáxima distância permitida para a “captura das citadas partículas vizinhas”, as quaiscontribuirão para a definição do valor da grandeza estudada na partícula referencial oupartícula i . A Figura 2 apresenta uma partícula i e seu raio de suporte.

Figura 2: Representação gráfica do raio de suporte, onde são definidas as partículas vizinhas da partícula “ i ” central (a de contorno mais escuro). O circulo de maior diâmetro representa o raio de suporte. Os círculos

menores representam o volume de cada partícula, representadas por pontos. Fonte: Kelager, 2006.



No método SPH são utilizados diferentes kernels, e para que eles sejam considerados aptospara a interpolação, é necessário que cada um deles respeite determinadas propriedades:suavidade, normalização, suporte compacto, positividade, ser decrescente, simétrico econvergente (Kelager, 2006).

2.2.2. Aproximações SPH

Com o emprego do SPH serão aproximadas quantidades físicas do fluido em escoamento, porexemplo: massa específica, velocidade, forças de pressão e forças de viscosidade,apresentando erro de 2ª ordem (Liu e Liu, 2003).

Seja )(r A uma função escalar definida e contínua sobre todo o domínio . )(r A pode serexpressa como:

' ' '( ) ( ) ( ) A r A r r r dr

(03)

onde: é o domínio;

'( )r r é o delta de Dirac;

r é uma posição fixa do domínio;'

r é uma posição variável.

Seja

'

( , )W r r h

a função kernel, a equação pode ser escrita:

' ' '

'

( ) ( ) ( , ) A r A r W r r h dr

r r r

(04)

Escrevendo a equação (04) segundo uma discretização por partículas:

1

( ) ( , )n

j

j j

j j

A A r m W r r h

(05)

A equação geral para o método de partículas SPH é:

1

( ) ( , )n

j

i j i j

j j

A A r m W r r h

(06)

onde:( )

i A r é a grandeza que está sendo aproximada e diz respeito à partícula fixa i ;

é o número de partículas vizinhas da partícula i ;

jm é a massa da partícula j ;

h é o raio de suporte do kernel W ; j

r é a posição onde se encontra a partícula j ;



j é a massa específica da partícula vizinha j ;

j A é o valor da grandeza em cada uma das partículas j , vizinhas da partícula i ;

( ji, ) (1,... )

Para a aproximação da massa específica tem-se:

1

( , )n

i j i j

j

m W r r h

(07)

Para o cálculo das forças de pressão, apresentadas na equação (02), é empregada a expressão:

2 21

( , )ni j j pressãok i

i j k j i j i

W r r hPP f m

x

(08)

onde: pressãok

i f é a força de pressão atuante na partícula i, na direção k ;

iP é a pressão na partícula i;

jP é a pressão na partícula j;k

i x é cada uma das direções cartesianas para a partícula i.

As forças viscosas, segundo termo do lado direito da equação (02), são calculadas da seguinteforma:

cos

2 21

( , )kmkmni j j jv is i da de k i i

i j k j i j i

W r r h f m

x

(09)

onde:

cosvis idadek

i f são as forças viscosas;

i e j

são as viscosidades das partículas i e j, respectivamente;

km

ij j

m

j j

j

m

i

ijm

j

m

j

j

j

k

i

ijm

j

m

j

j

jkm

i W um

x

W u

m

x

W u

m

.3

2

111

onde:km é o delta de Kronecker.

As expressões (08) e (09) são empregadas nos cálculos dos dois primeiros termos do lado

direito da equação (02). As forças gravitacionais são calculadas diretamente, sem o auxílio do

(10)



método SPH. Após a obtenção da aceleração da partícula Dt

Duk , é realizada a integração

temporal, para garantir a evolução das partículas, e para a obtenção do campo de velocidades.

2.2.3. Funções Núcleo ( Kernels)

São utilizados diferentes kernels, dependentes das grandezas a serem aproximadas. Para aviscosidade, geralmente emprega-se o kernel (11), para a pressão o (12), e para as demaisaproximações, o kernel padrão (13), conforme se verifica abaixo:

3 2

3 2cos 3

, 0152 2

20, . .

vi s i dad e

r r hr h

W h h r h

c c

(11)

3

6

( ) , 015

0, . pressure

h r r hW

h otherwise

(12)

2 2 3

p dr o 9

( ) , 0315

64 0, . .a ã

h r para r hW

h c c

(13)

onde 'r r r .

2.2.4. Condições de contorno

De forma geral, utilizam-se partículas virtuais para implementar as condições de contornosólido. Essas partículas podem ser alocadas sobre ou fora do contorno, conforme mostra aFigura 3. De acordo com suas posições, são classificadas em duas categorias: tipo I(localizadas sobre o contorno) e tipo II (localizadas fora do contorno). As partículas do tipo Isão as geralmente utilizadas, pois a geração de partículas do tipo II sobre contornos degeometrias mais complexas pode não ser uma tarefa fácil (Liu e Liu, 2003).

Figura 3. Ilustração esquemática da região do escoamento, contorno sólido, partículas reais do fluido e partículas virtuais. Adaptada (Liu e Liu, 2010).



As partículas do tipo I exercem uma força de repulsão () sobre as partículas reais dofluido, evitando que essas ultrapassem o contorno sólido. Trata-se de uma força conservativacalculada através de uma analogia com a força molecular de Lennard-Jones e exercida nadireção da linha que une os centros de ambas as partículas da forma que segue (Rapaport,2004), (Groot e Warren, 1997):

1 2

0 0 0

2

0

, 1

0, 1.

n n

ab

ab ab ababab

ab

r r x r D

r r r r F

r

r

onde:

1n e2n são parâmetros de valores usuais 12 e 4, respectivamente;

D é um parâmetro que depende do problema e deve ser da mesma ordem de grandeza do

quadrado da maior velocidade do escoamento;0r é a distância de corte;

abr é a distância entre os centros dos pares de partículas que interagem. O índice a refere-se à

partícula real e o índice b à partícula virtual.

ab x é cada uma das componentes da distância entre os centros dos pares de partículas que

interagem.

3. RESULTADOS E DISCUSSÕES

No presente trabalho, as equações de Navier-Stokes na forma lagrangiana foram discretizadasatravés do método SPH. Simulações foram realizadas para números de Reynolds iguais a0.01, 1.0 e 10.0. Os lados da cavidade quadrada eram de 10-3 m. Os passos de tempo para asimulação foram de 5 x 10-5 s. Em todas as simulações foram empregadas 1600 partículasreais, distribuídas no interior da cavidade, e 320 partículas virtuais dispostas nas paredes. Aspartículas no interior da cavidade iniciaram a simulação com velocidade nula, até atingirem acondição de estacionariedade (3000 passos). As partículas virtuais da parede superior foraminicializadas e mantidas com diferentes velocidades, funções dos números de Reynolds. Ofluido utilizado foi a água com massa específica de 103 kg/m3 e viscosidade cinemática de 10-

6 m2 /s. A Figura 4 mostra a distribuição das partículas na cavidade.

Figura 4. Distribuição das partículas reais (40 x 40) e

virtuais (nas paredes). As partículas reais são representadas

por pontos e as virtuais por circunferências.

(14)



Neste trabalho, para Re = 0.01, foram obtidos campos de velocidades na cavidade quadrada.A figura 5 (a) apresenta um desses campos, após o desenvolvimento do escoamento. Pelacomparação entre este campos de velocidade e o campo obtido por De et al. - figura 5 (b) – para um mesmo número de Reynolds, em um escoamento desenvolvido, verifica-se existirem

significantes convergências qualitativas entre os resultados.

(a) (b)

Figura 5. Resultados dos campos de velocidades encontrados no presente

trabalho(a) e em De et al., 2008 (b), para Reynolds=0.01, com centros dos

vórtices localizados nas posições (0.50;0.75).

Para Re = 1.0, uma nova simulação foi realizada, com a velocidade da parede móvel superiorsendo constante e igual a 1x10-3 m/s. Da mesma forma que na simulação anterior, um campode velocidades obtido após o desenvolvimento do escoamento é apresentado – figura 6 (a). A

figura 6 (b) apresenta o resultado obtido por Griebel et al. para um número de Reynoldstambém igual a 1.0, após o desenvolvimento do escoamento. A análise permite dos resultadosmostra, em ambos os casos, o surgimento de um vórtice bem definido, com centro localizadomais a nordeste da cavidade.

(a) (b)

Figura 6. Resultados para os campos de velocidades encontrados

no presente trabalho(a) e por Griebel et al., 1998 (b), para Re=1.0.



A figura 7 apresenta resultados numéricos obtidos no presente trabalho (a) e nas simulaçõesde Griebel et al. (b), para Re = 10.0, onde se verifica a concordância qualitativa entre osresultados.

(a) (b)

Figura 7. Resultados para os campos de velocidades encontrados no presente

trabalho (a) e nas simulações de Griebel et al., 1998 (b), para Re=10.0.

4. CONCLUSÕES

No presente trabalho foi empregado um código numérico na linguagem Fortran, baseado noMétodo Lagrangiano SPH, objetivando a resolução das Equações de Navier-Stokes para umfluido newtoniano e incompressível. Na presente fase deste estudo, o código foi avaliado parabaixos números de Reynolds ( Re) iguais a 0.01, 1.0 e 10.0. Foi verificado que existemcomportamentos bastante análogos para a recirculação e formação de vórtices no interior das

cavidades quadradas para os números de Reynolds simulados. Através da comparação comresultados de outros autores, pôde-se verificar uma concordância qualitativa entre eles, o quemostra ser promissora a aplicação do código para simulações em faixas de velocidadessuperiores (maiores números de Reynolds) e com mudanças nas razões de aspecto dascavidades.

5. REFERÊNCIAS

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cavity by lattice Boltzmann method . Department of Aerospace Engineering, Indian Institute of Science,Bangalore, India.

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Liu M.B. and· Liu G.R. (2010), Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH): an Overview and Recent

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1977, p. 1013-1024.

Marques, A.C. (2004), Desenvolvimento de Modelo Numérico Utilizando o Método dos Volumes Finitos em Malhas Não-Estruturadas. Dissertação de Mestrado - Programa de Pós-Graduação em EngenhariaAmbiental, Universidade Federal do Espírito Santo.

Mega, E. A. F. (2009), Estudo Experimental do escoamento em Cavidades Abertas Utilizado um Canal de

Superfície Livre. Dissertação de Mestrado – Programa de Pós- Graduação em Engenharia Mecânica,Faculdade de Engenharia – UNESP – Campus de Ilha Solteira.

Monaghan, J.J. (1994), Simulating free surface flow with SPH . Journal of Computational Physics, 100:399-406.Monaghan, J.J. and Latanzio J.(1985), A refined particle method for astrophysical problems. Astronomy and

Asprophysics , 149(1) 135 – 143.Müller, M.; Charypar, D. and Gross, M. (2003), Particle-based fluid simulation for interactive applications. In:

SCA ’03: Proceedings of the 2003 ACM SIGGRAPH/Eurographics symposium on Computer animation.Aire-la-Ville, Switzerland, Switzerland: Eurographics Association,. p. 154 – 159. ISBN 1-58113-659-5.

Nakamura, F. I.(2007), Animação Interativa de Fluido baseada em Partículas pelo Método SPH . Pontifícia

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APPLICATION OF THE SPH LAGRANGIAN METHOD (SMOOTHED PARTICLEHYDRODYNAMICS) FOR THE SOLUTION OF THE PROBLEM OF THECAVITIES

Abstract. The study of the laminar flow in square cavities, two-dimensional cavities (shear

driven cavities) is a highly explored issue within the specific literature, and it has been a

classical problem of Fluid Mechanics with a considerable complexity. This article hasdeveloped the discretization of the Navier-Stokes equations by the numerical Lagrangian

method SPH (Smoothed Particle Hydrodynamics). The validation of the numeric code

employed in the simulations was made using other numerical methods. The results were

acceptable and promising.

Keywords: SPH (Smoothed Particle Hydrodynamics), two-dimensional cavity, shear driven

cavity, Navier-Stokes Equations.

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