Cavidades Ressonantes

Vitaly Esquerre

Em freqüências na faixa de microondas (> 300MHz), elementoslocalizados tais como R, L e C têm comportamento bastantedi d b i f üê idiverso de seu comportamento em baixas freqüências.

Isto porque em altas freqüências o efeito pelicular e as perdasIsto porque em altas freqüências o efeito pelicular e as perdaspor radiação tornam-se importantes.

Assim, na faixa de microondas os circuitos ressonantes RLC sãosubstituídos pelas cavidades ressonantes.

As cavidades ressonantes são estruturas completamente fechadaspor paredes metálicas.

Elas confinam a energia eletromagnética e dispõem de grandesElas confinam a energia eletromagnética e dispõem de grandesáreas para a circulação de corrente, eliminando radiação ediminuindo as perdas.p

A figura mostra a transformação gradual de um circuitoressonante LC numa cavidade ressonante

Cavidades RetangularesCavidades Retangulares

Podemos começar a análise partindo da equação de onda e usar oPodemos começar a análise partindo da equação de onda e usar ométodo de separação das variáveis para obter os camposelétricos e magnéticos que satisfazem as condições de contornog q çda cavidade.Porém, fica mais fácil começar com os campos TE e TM do

i i já i f di d dguia, os quais já satisfazem as condições de contorno nas paredesdo guia

0,x a= 0,0,

x ay b=

Ë necessário apenas inserir as condições de contorno Ex = Ey = 0nas paredes inicial e final em z = 0

Os campos elétricos transversais (Ex, Ey) dos modos TEmn eTMmn, do guia de ondas retangular pode ser escrito como:

( ) ( ), , , mn mnj z j ztE x y z e x y A e A eβ β−+ −⎡ ⎤= +⎣ ⎦( ) ( ), , ,t y y ⎣ ⎦

( ),e x y Variação transversal do campo( ),e x y

Amplitude dos campos em +z e -z,A A+ −

Variação transversal do campo

A constante de propagação βmn dos modos m,n (TE ou TM) podeser escrita como:

2 22 m nk π πβ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ kmn k

a bβ = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠k ω με=

Impondo a condição que o campo tem que ser nulo em z = 0

( ) ( ), ,0 , 0tE x y e x y A A+ −⎡ ⎤= + =⎣ ⎦

p q p q

Que era esperado pelo fato de termos reflexão numa superfícieA A+ −= −

Que era esperado pelo fato de termos reflexão numa superfíciecondutoraImpondo a condição que o campo tem que ser nulo em z = dImpondo a condição que o campo tem que ser nulo em z d

( ) ( ), , , 0mn mnj d j dtE x y d e x y A e A eβ β−+ +⎡ ⎤= − =⎣ ⎦

( ) ( )( ), , , 2 sin 0t mnE x y d e x y jA dβ+= − =

( ) ( ) ⎣ ⎦

d lβ π= lπβ =mnd lβ π mn dβ

O número de onda ressonante da cavidade será

2 2 2m n lk π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟mnlka b d

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Modos TEmnl ou TMmnl são os modos ressonantes onde m, n, e lindicam o numero de meios ciclos da onda estacionária nasdi õ A f ê i d â i d d TEdireções x, y, e z. A frequência de ressonância do modo TEmnl ouTMmnl é dado por

2 2 2

2 2mnl

mnlck c m n lf

a b dπ π π

π μ ε π μ ε⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠2 2r r r r a b dπ μ ε π μ ε ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Os campos para o modos TEmnl são dados por:

cos sin sinmnlxA n m n lE x y z

b a b dπ π π π

ε⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

A l⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞sin cos sinmnly

A m m n lE x y za a b dπ π π π

ε⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

0E 0zE =

sin cos cosmnlx

A m l m n lH j x y za d a b dπ π π π π

ωμε⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

cos sin cosmnly

A n l m n lH j x y zb d a b dπ π π π π

ωμε⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

22 cos cos sinmnl

zA l m n lH j k x y z

d a b dπ π π π

ωμε

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

0,1,2,3... 0,1,2,3... 1, 2,3.... 0m n l m n= = = = ≠2 2l⎛ ⎞ ⎛ ⎞Modo dominante (d > a > b) TE101 101 2 r r

c m lfa dπ π

π μ ε⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Após algumas simplificações, os modos TE10l tem as seguintesp g p 10l gexpressões para os campos:

sin sinx l zE E π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟0 sin sinyE Ea d

= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

0 sin cosE x l zH j π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sin cosxTE

H ja dη ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

0 iE x l zH π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟

0 cos sin'zE x l zH j

k a a dπ π πη

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ d a b> >

O q e claramente demonstra q e são formadas ondasO que claramente demonstra que são formadas ondasestacionárias dentro da cavidade

Fator de Qualidade: Q

Energia média armazenadaW W+

Fator de Qualidade: Q

Energia média armazenadaEnergia Perdida por segundo

m eW WQP

ω += =

Energia média armazenada nos campos magnéticos eeletricos.

,m eW W

P

eletricos.

Potência dissipada no condutor e no dielétrico

Na frequência de ressonância:We =Wm

Cálculo da energia armazenada no campo elétricoCálculo da energia armazenada no campo elétrico

∫∫∫ ∫∫∫2*

4 4e y y y

v v

W E E dv E dvε ε= =∫∫∫ ∫∫∫

0 sin sinyx l zE Ea dπ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2 20 sin sin

4

d b a

ex l zW E dxdydza d

ε π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ ∫

0 0 04 a d⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ ∫

2 1 1sin cos 2x x= −

abdε

2 2

2016e

abdW Eε=

Cálculo da energia armazenada no campo magnéticoCálculo da energia armazenada no campo magnético*

4mW H H dvμ= ∫∫∫

( ) ( )2 2* *

4 4m x x z z x zW H H H H dv H H dvμ μ= + = +∫∫∫ ∫∫∫

v

4 4v v∫∫∫ ∫∫∫

0 sin cosxE x l zH j

a dπ π

η⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

0 cos sin'zE x l zH j

k a a dπ π πη

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠TE a dη ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ k a a dη ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 20 0i i

d b aE Ex l z x l zW d d dπμ π π π π⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∫ ∫ ∫ 0 0

0 0 0

sin cos cos sin4 'm

TE

W dxdydza d k a a d

μη η

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠∫ ∫ ∫

2 1 1sin cos 22 2

x x= − 2 1 1cos cos 22 2

x x= +

22 1abdW Eμ π⎛ ⎞

+⎜ ⎟0 2 2 2 216 'mTE

W Ek aη η

= +⎜ ⎟⎝ ⎠

'TE

kηηβ

=2

210 k

aπβ β ⎛ ⎞= = − ⎜ ⎟⎝ ⎠β a⎝ ⎠

( )2221 1β +⎛ ⎞ ( )22

2 2 2 2 2 2 2

1 1' ' 'TE

ak a k

β ππ εη η η η μ

+⎛ ⎞+ = = =⎜ ⎟

⎝ ⎠

20m

abdW Eε= 016m

Ou seja:We =Wmj e m

Perdas nas paredes condutoras: PPerdas nas paredes condutoras: Pc

2st

RP H ds= ∫2c tparedes

P H ds∫

O d é i ê i fi i l d d áli d d

R ωμ=

Onde Rs é a resistência superficial das paredes metálicas dadapor:

e Ht é o campo magnético tangencial as superfícies das paredes

2sc

Rσ

=

t p g g p pmetálicas.

A ib i ã d id à d i é i l á ib i ã dA contribuição devido à parede superior é igual á contribuição daparede inferior, o mesmo acontece com as contribuições daparede lateral direita e esquerda e da parede da frente e posteriorparede lateral direita e esquerda e da parede da frente e posterior.

y

b Parede do fundo e da frente

Parede esquerda e direita

( )0zH x =

xa

( )0xH z =Parede superior e inferior

( )zd

( )0xH z =( )0zH x =

( ) ( )2 22 0 2 0

b a d bsRP H z dxdy H x dydz⎧ +⎨ ∫ ∫ ∫ ∫( ) ( )

0 0 0 02 0 2 0

2s

c x zy x z y

P H z dxdy H x dydz= = = =

= = + =⎨⎩ ∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( )2 22 0 0

d a

H y H y dxdz⎫⎡ ⎤= + = ⎬⎢ ⎥∫ ∫ ( ) ( )0 0

2 0 0x zz x

H y H y dxdz= =

⎡ ⎤= + = ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎭∫ ∫2π ' 2 'k dη ηη

2 2 2 2R E l b bd l dλ ⎛ ⎞

2k πλ

= TE lη

β λ= =Usando:

2 2 2 20

2 2 28 ' 2 2s

cR E l ab bd l a dP

d a d aλ

η⎛ ⎞

= + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

Fator de Qualidade considerando apenas perdas nos condutores:

abdε

Fator de Qualidade considerando apenas perdas nos condutores:Qc

20

2 2 2 20

162 2m e mc

c c s

abd EW W WQP P R E l ab bd l a d

ε

ω ω ωλ

+= = =

⎛ ⎞⎜ ⎟

02 2 28 ' 2 2

c c s

d a d aη⎛ ⎞

+ + +⎜ ⎟⎝ ⎠

3

2 22

'c

k abdQl ab bd l a d

η=

⎛ ⎞22 24

2 2sl ab bd l a dRd a d a

π⎛ ⎞

+ + +⎜ ⎟⎝ ⎠

( )( )

3

2 2 3 3 2 3 3

'c

kad bQ

l b bd l d dη

=( )2 2 3 3 2 3 32 2 2cs

QR l a b bd l a d adπ + + +

Fator de Qualidade considerando apenas perdas no dielétrico: QFator de Qualidade considerando apenas perdas no dielétrico: Qd

0" tanrσ ωε ωε ε δ= = ( )0' " 1 tanrj jε ε ε ε ε δ= − = −

22* 0"1 ".

2 2 8dabd EP J E dv E dv ωεωε

= = =∫ ∫20

'' 116

abd EW W Wε

ε+

2 2 8v v∫ ∫

20

1162 2" " tan

8

m e md

d d

W W WQabd EP P

εω ω ωωε ε δ

+= = = = =

Fator de Qualidade considerando perdas no condutor e nodielétrico: Qdielétrico: Qtotal

11 1

totalQQ Q

−⎛ ⎞

= +⎜ ⎟⎝ ⎠

totalc d

QQ Q⎜ ⎟

⎝ ⎠

ExemploExemploConsidere uma cavidade oca com dimensões; 3cm x 2cm x7cm feita de cobre (σc=5.8 x 107)Calcular a frequência de ressonância e o fator de qualidadedo modo dominante.

2 2 2103 10 1 0 1 5.439842 3 2 7rf GHz⋅ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )3 'kad bη ωμ k( )( )2 2 3 3 2 3 32 2 2cs

kad bQ

R l a b bd l a d adη

π=

+ + + 2sc

R ωμσ

= k ω με=

'η μ ε=

ωμ 0,01924242s

c

R ωμσ

= =

113,984k ω με= =

( )3 'kad bη

' 376,819η μ ε= =

( )( )2 2 3 3 2 3 3

'10086

2 2 2cs

kad bQ

R l a b bd l a d adη

π= =

+ + +

Exemplo 2Exemplo 2Considere uma cavidade preenchida com polyestireno (εr =2.56, tan δ = 0,0004) com dimensões; a = 3cm b = 2cm feitade cobre (σc=5.8 x 107) determine o valor de d para

t f ê i d â i d 3 4 GHapresentar uma frequência de ressonância de 3,4 GHz.Determine o fator de qualidade do modo dominante.

2 2 2103 10 1 0 1 3,43 22 2 56rf GHz

d⋅ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠7d cm=

3 22 2.56 d⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )3 'kad bη ωμ k( )( )2 2 3 3 2 3 32 2 2cs

kad bQ

R l a b bd l a d adη

π=

+ + + 2sc

R ωμσ

= k ω με=

'η μ ε=

ωμ 0,01521242s

c

R ωμσ

= =

113,984k ω με= =

' 235,512η μ ε= =

( )( )

3

2 2 3 3 2 3 3

'7973,66

2 2 2cs

kad bQ

R l a b bd l a d adη

π= =

+ + +( )s

1 2500tandQ δ

= =

1 11 1 1 1 1903 27Q

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

tanδ

1903, 277973,66 2500total

c d

QQ Q

= + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

Cavidades Cilíndricas

Podemos começar a análise partindo da equação de onda e usar oPodemos começar a análise partindo da equação de onda e usar ométodo de separação das variáveis para obter os camposelétricos e magnéticos que satisfazem as condições de contornog q çda cavidade.Porém, fica mais fácil começar com os campos TE e TM do

i i l i já i f di dguia circular, os quais já satisfazem as condições de contorno nasparedes do guia

aρ =

Ë necessário apenas inserir as condições de contorno Eρ = Eϕ = 0nas paredes inicial e final em z = 0 e d

Os campos elétricos transversais (Eρ, Eϕ) dos modos TEnm e

( ) ( ) j z j zE A Aβ βφ φ +⎡ ⎤

p ( ρ ϕ)TMnm, do guia de ondas retangular pode ser escrito como:

( ) ( ), , , nm nmj z j ztE z e A e A eβ βρ φ ρ φ −+ −⎡ ⎤= +⎣ ⎦

( ),e ρ φ Variação transversal do campo( ),ρ φ

Amplitude dos campos em +z e -z,A A+ −

Variação transversal do campo

A constante de propagação βnm dos modos TEnm e TMnm,respectivamente, pode ser escrita como:p p

22 'nmk ρβ

⎛ ⎞⎜ ⎟

22 nmk ρβ

⎛ ⎞⎜ ⎟

2 nmnm k

aρβ = − ⎜ ⎟

⎝ ⎠2 nm

nm kaρβ = − ⎜ ⎟

⎝ ⎠

k ω με=

Impondo a condição que o campo tem que ser nulo em z = 0

( ) ( ), ,0 , 0tE e A Aρ φ ρ φ + −⎡ ⎤= + =⎣ ⎦

p q p q

Que era esperado pelo fato de termos reflexão numa superfícieA A+ −= −

Que era esperado pelo fato de termos reflexão numa superfíciecondutoraImpondo a condição que o campo tem que ser nulo em z = dImpondo a condição que o campo tem que ser nulo em z d

( ) ( ), , , 0nm nmj d j dtE d e A e A eβ βρ φ ρ φ −+ +⎡ ⎤= − =⎣ ⎦

( ) ( )( ), , , 2 sin 0t nmE d e jA dρ φ ρ φ β+= − =

( ) ( ) ⎣ ⎦

d lβ π= lπβ =mnd lβ π mn dβ

Modos TEnml ou TMnml são os modos ressonantes onde m, n, e li di d i i l d d t i á iindicam o numero de meios ciclos da onda estacionária nasdireções ρ, ϕ, e z.A frequência de ressonância do modo TE l é dada porA frequência de ressonância do modo TEnml é dada por

2 2'nmnml

c lf ρ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠2nml

r r

fa dπ μ ε ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

0 1 2 3 1 2 3 1 2 3n m l= = =

A frequência de ressonância do modo ou TMnml é dado por

0,1, 2,3... 1, 2,3... 1, 2,3....n m l= = =

2 2

2nm

nmlc lf

dρ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠2nmlr r

fa dπ μ ε ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

0,1,2,3... 1, 2,3... 0,1,2,3....n m l= = =

O modo dominante TE é o modo TE111, cuja freqüência de111 j qressonância é dada por:

2 21 8412⎛ ⎞ ⎛ ⎞111

1.84122

TE

r r

cfa d

ππ μ ε

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

O modo dominante TM é o modo TM010 cuja freqüência deressonância é dada por:

2

0102, 4049

2TM cf

aπ μ ε⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠2 r rπ μ ε ⎝ ⎠

As freqüências de ressonância são iguais se d/a = 2,03 (modosdegenerados)

Quando d/a < 2,03, o modo dominante é o TM010 e quando d/a >

degenerados)

2,03 o modo dominante é o modo TE111

Os campos para o modos TEnml são dados por:

( )( )

20

2

' ' sin sin'

nmn

nm

jk a nH lE J n za dρ

η ρ πρ φρ ρ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

( )0' '' cos sin'

nmn

nm

jk aH lE J n za dφ

η ρ πρ φρ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

0zE =

( )0 '' cos cos'

nmn

aH lH J n zdρ

β ρ πρ φ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

( )' nnm a dρ ρ φ

ρ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

( )( )

20

2

' sin cosnmn

a nH lH J n zdφ

β ρ πρ φ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

( )0' cos sinnm

nlH H J n zρ πρ φ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

( )( )2'

nnm

a dφ ρ φρ ρ

⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

( )0 cos sinz nH H J n za d

ρ φ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

2 2'⎛ ⎞ ⎛ ⎞0,1, 2,3... 1, 2,3... 1, 2,3....n m l= = =

Modo dominante TE11111

111'

2 r r

cfa dρ π

π μ ε⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

Distribuição do campo para modos ressonantes com l = 1 e l = 2p p

O q e claramente demonstra q e são formadas ondasO que claramente demonstra que são formadas ondasestacionárias dentro da cavidade

Fator de Qualidade: Q

Energia média armazenadaW W+

Fator de Qualidade: Q

Energia média armazenadaEnergia Perdida por segundo

m eW WQP

ω += =

Energia média armazenada nos campos magnéticos eeletricos.

,m eW W

P

eletricos.

Potência dissipada no condutor e no dielétrico

Na frequência de ressonância:We =Wm

F t d Q lid d d M d TEFator de Qualidade dos Modos TEnml

Cálculo da energia armazenada, comoW =W

( )2

2 22

d a

W W E E d d dzπ

ε ρ ρ φ= = +∫ ∫ ∫

Cálculo da energia armazenada, comoWe Wm

( )0 0 0

22e

z

W W E E d d dzρ φ

φ ρ

ρ ρ φ= = =

= = +∫ ∫ ∫2a

⎛ ⎞

( )

22 2 2 22 20

2

0

' ' '''4 '

a

nm nmn n

nmnm

k a dH naJ J da a

ρ

ε η π ρ ρρ ρ ρ ρρ ρρ

=

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠∫

ρ

( )22 2 2 2

20' 1 'k a dH n Jε η π ρ⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= − ⎜ ⎟( )

( )2 1'8 '

n nmnmnm

J ρρρ

⎢ ⎥= ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

Perdas nas paredes condutoras: PPerdas nas paredes condutoras: Pc

2st

RP H ds= ∫2c tparedes

P H ds∫

O d é i ê i fi i l d d áli d d

R ωμ=

Onde Rs é a resistência superficial das paredes metálicas dadapor:

e Ht é o campo magnético tangencial as superfícies das paredes

2sc

Rσ

=

t p g g p pmetálicas.

A ib i ã d id à d i é i l á ib i ã dA contribuição devido à parede superior é igual á contribuição daparede inferior.

zd

ρ ( )zH aρ =Parede lateralParede superior e inferior

( )0H zρ =( )0H ρ

a( )0H zφ = ( )H aφ ρ =φ

( ) ( )2 2 2d

sRP H a H a ad dzπ

ρ ρ φ⎧ ⎡ ⎤+⎨ ⎢ ⎥∫ ∫ ( ) ( )0 02

sc z

zP H a H a ad dzφ

φρ ρ φ

= =

⎡ ⎤= = + =⎨ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎩∫ ∫( ) ( )

2 2 22 0 0

a

H z H z d dπ

ρ ρ φ⎫⎡ ⎤+ = + = ⎬⎢ ⎥∫ ∫ ( ) ( )0 0

2 0 0H z H z d dρ φφ ρ

ρ ρ φ= =

⎡ ⎤+ = + = ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎭∫ ∫

( )2 22 2

2 2 ' 1 1sR da an a nP H J β βπ ρ⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎪ ⎪⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟= + +⎨ ⎬⎜ ⎟( )

( ) ( )0 2 21 12 2 '' '

c n nmnmnm nm

P H Jπ ρρρ ρ

⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟= + + −⎨ ⎬⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎩ ⎭

Fator de Qualidade considerando apenas perdas nos condutores:

22 2 2 2 ⎡ ⎤⎛ ⎞

Fator de Qualidade considerando apenas perdas nos condutores:Qc

( )( )

22 2 2 220

2

2

' 1 ''4 '

2 2n nm

nmnmmc

k a dH n JWQP

ε η π ρρρ

ω ω

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥− ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦= =

⎧ ⎫⎡ ⎤( )

( ) ( )

2 22 22 20 2 2' 1 1

2 2 '' '

cc

sn nm

nmnm nm

QP

R da an a nH J β βπ ρρρ ρ

⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎪ ⎪⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + −⎨ ⎬⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎩ ⎭⎣ ⎦⎩ ⎭

2⎡ ⎤⎛ ⎞

( )( )

2

3

2

1'' nm

c

n

ka adQ

ρη

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥− ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦=

⎧ ⎫⎡ ⎤( )

( ) ( )

2 2 22 2

2 2

4 '1 1

2 '' '

cnm s

nmnm nm

QR ad an a nρ β β

ρρ ρ

⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎪ ⎪⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + −⎨ ⎬⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎩ ⎭⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎩ ⎭

Fator de Qualidade considerando apenas perdas no dielétrico: Qd

0" tanrσ ωε ωε ε δ= = ( )0' " 1 tanrj jε ε ε ε ε δ= − = −

2 2*1 ".2 2d

v v

P J E dv E E dvρ φωε ⎡ ⎤= = +⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫

22 2 2 22 20" ' ' '

ak a dH naωε η π ρ ρ⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥∫( )

2 202

0

''4 '

nm nmd n n

nmnm

k a dH naP J J da a

ρ

ωε η π ρ ρρ ρ ρ ρρ ρρ

=

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥= + ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

∫

22 2 4 2" 'k a H nωε η ⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥

( )( )20

2 1 ''8 '

d n nmnmnm

k a H nP Jωε η ρρρ

⎛ ⎞⎢ ⎥= − ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

Fator de Qualidade considerando apenas perdas no dielétrico: Qd

( )22 2 4 2

20' ' 1 'k a H n Jε η ρ⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟( )

( )2

22 2 4 2

1'8 ' ' 1

" tan" '

n nmnmnmm e

dd

JW WQP k a H n

ρρρ εω ω

ε δωε η

⎢ ⎥− ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠+ ⎣ ⎦= = = =⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥

( )( )20

2 1 ''8 '

d

n nmnmnm

k a H n Jωε η ρρρ

⎛ ⎞⎢ ⎥− ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

Fator de Qualidade considerando perdas no condutor e nopdielétrico: Qtotal

11 1

totalQQ Q

−⎛ ⎞

= +⎜ ⎟⎝ ⎠c dQ Q⎝ ⎠

Fator de Qualidade dos Modos TMFator de Qualidade dos Modos TM010

Ë importante quando d / a < 2,03Ë importante quando d / a 2,03

0E E H Hρ φ ρ φ= = = =

201 0 01

0zEE j J

a aρ ρ ρ

ωμε⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠a aωμε⎝ ⎠ ⎝ ⎠

01 0 010'z

EH Jρ ρ ρ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

0z a aρ

μ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2, 4049cQ a

με=

⎛ ⎞2 1 sa Rd

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

Outras Geometrias